Estymatory kwantylowe i estymacja kwantyli
|
|
- Nina Krzemińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Tomasz Rychlik Instytut Matematyczny PAN Chopina 12, Toruń XXXVIII Konferencja Statystyka Matematyczna Sesja poświȩcona pamiȩci prof. Ryszarda Zielińskiego Wisła,
2 Prof. ( )
3 Plan: 1 Nieparametryczna estymacja kwantyli 2 Odporna estymacja parametry położenia za pomoca kwantyli próbkowych
4 Nieparametryczne estymatory kwantyli
5 Założenia: Próba (skończona!): X 1,..., X n - i.i.d., Model: F = {F : dystrybuanty cia głe i ściśle rosna ce} (wtedy F 1 też cia głe i ściśle rosna ce), Klasa estymatorów: T = {T = T (X 1:n,..., X n:n ) : ϕ ściśle rosn aca T (ϕ(x 1:n ),..., ϕ(x n:n )) = ϕ(t (X 1:n,..., X n:n ))} = {X J(λ):n : λ S n }, gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λ j, j = 1,..., n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23 40). ((X 1:n,..., X n:n ) statystyka dostateczna i zupełna)
6 Założenia: Próba (skończona!): X 1,..., X n - i.i.d., Model: F = {F : dystrybuanty cia głe i ściśle rosna ce} (wtedy F 1 też cia głe i ściśle rosna ce), Klasa estymatorów: T = {T = T (X 1:n,..., X n:n ) : ϕ ściśle rosn aca T (ϕ(x 1:n ),..., ϕ(x n:n )) = ϕ(t (X 1:n,..., X n:n ))} = {X J(λ):n : λ S n }, gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λ j, j = 1,..., n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23 40). ((X 1:n,..., X n:n ) statystyka dostateczna i zupełna)
7 Założenia: Próba (skończona!): X 1,..., X n - i.i.d., Model: F = {F : dystrybuanty cia głe i ściśle rosna ce} (wtedy F 1 też cia głe i ściśle rosna ce), Klasa estymatorów: T = {T = T (X 1:n,..., X n:n ) : ϕ ściśle rosn aca T (ϕ(x 1:n ),..., ϕ(x n:n )) = ϕ(t (X 1:n,..., X n:n ))} = {X J(λ):n : λ S n }, gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λ j, j = 1,..., n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23 40). ((X 1:n,..., X n:n ) statystyka dostateczna i zupełna)
8 Założenia: Próba (skończona!): X 1,..., X n - i.i.d., Model: F = {F : dystrybuanty cia głe i ściśle rosna ce} (wtedy F 1 też cia głe i ściśle rosna ce), Klasa estymatorów: T = {T = T (X 1:n,..., X n:n ) : ϕ ściśle rosn aca T (ϕ(x 1:n ),..., ϕ(x n:n )) = ϕ(t (X 1:n,..., X n:n ))} = {X J(λ):n : λ S n }, gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λ j, j = 1,..., n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23 40). ((X 1:n,..., X n:n ) statystyka dostateczna i zupełna)
9 Założenia: Próba (skończona!): X 1,..., X n - i.i.d., Model: F = {F : dystrybuanty cia głe i ściśle rosna ce} (wtedy F 1 też cia głe i ściśle rosna ce), Klasa estymatorów: T = {T = T (X 1:n,..., X n:n ) : ϕ ściśle rosn aca T (ϕ(x 1:n ),..., ϕ(x n:n )) = ϕ(t (X 1:n,..., X n:n ))} = {X J(λ):n : λ S n }, gdzie J(λ) niezależna od próby i P(J(λ) = j) = λ j, j = 1,..., n, (Uhlmann (1963), Metrika 7, 23 40). ((X 1:n,..., X n:n ) statystyka dostateczna i zupełna)
10 Problem: Dla ustalonego 0 < q < 1, znaleźć w klasie T optymalny estymator T wartości F 1 (q), F F, wzglȩdem różnych rozsa dnych kryteriów R(T, F ), T T, F F. Uwaga: Dla F nie maja sensu kryteria typu: średni bła d kwadratowy: E(T F 1 (q)) 2, średni bła d absolutny: E T F 1 (q), itp.
11 Problem: Dla ustalonego 0 < q < 1, znaleźć w klasie T optymalny estymator T wartości F 1 (q), F F, wzglȩdem różnych rozsa dnych kryteriów R(T, F ), T T, F F. Uwaga: Dla F nie maja sensu kryteria typu: średni bła d kwadratowy: E(T F 1 (q)) 2, średni bła d absolutny: E T F 1 (q), itp.
12 Rozważamy błȩdy F (T ) q zamiast T F 1 (q)
13 Wyniki negatywne dla liniowych kombinacji: Mediana próbkowa dla prób parzystych: M 2n = 1 2 (X n:2n + X n+1:2n ) RZ (1995) Appl. Math. (Warsaw) 23, n N C > 0 F F med(m 2n, F ) F 1 (1/2) > C. AB, RZ (1997) Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Lublin A 41, n N ε > 0 F F, na [0, 1], sym. wzgl. 1/2 E F M 2n 1/2 > 1/4 ε.
14 Wyniki negatywne dla liniowych kombinacji: Mediana próbkowa dla prób parzystych: M 2n = 1 2 (X n:2n + X n+1:2n ) RZ (1995) Appl. Math. (Warsaw) 23, n N C > 0 F F med(m 2n, F ) F 1 (1/2) > C. AB, RZ (1997) Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Lublin A 41, n N ε > 0 F F, na [0, 1], sym. wzgl. 1/2 E F M 2n 1/2 > 1/4 ε.
15 Wyniki negatywne dla liniowych kombinacji: Mediana próbkowa dla prób parzystych: M 2n = 1 2 (X n:2n + X n+1:2n ) RZ (1995) Appl. Math. (Warsaw) 23, n N C > 0 F F med(m 2n, F ) F 1 (1/2) > C. AB, RZ (1997) Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Lublin A 41, n N ε > 0 F F, na [0, 1], sym. wzgl. 1/2 E F M 2n 1/2 > 1/4 ε.
16 podobnie źle zachowuja siȩ L-estymatory: Kaigh-Lachenbruch: L 1 (k, q) = Bernstein-Polynomial: r+n k j=r ( j 1 )( n j r 1 k r ) ( n k) X j:n, r = (k + 1)q, L 2 (q) = n B j 1,n 1 (q)x j:n = 1 n j=1 n f j:n (q)x j:n, j=1 Harrell-Davis: n [ ( ) ( )] j j 1 L 3 (q) = B (n+1)q,(n+1)(1 q) B n (n+1)q,(n+1)(1 q) X j:n, n j=1 bo rozkłady F (L i ) q zależa of F.
17 Kryterium MAD: R 1 (T, F ) = E F F (T ) q = E U J(λ):n q RZ (1999), Statist. Probab. Lett. 45, U j:n F j:n (x) = n k=j ( ) n x k (1 x) n k, 0 < x < 1, k 1 > F 1:n (x) >... > F n:n (x) > 0, 0 < x < 1. Twierdzenie T = X j :n, gdzie 1, gdy F 2:n+1 (q) 1/2, j n, gdy F = n:n+1 (q) 1/2, jeśli F 2:n+1 (q) > 1/2 > F n:n+1 (q), to takie j, że F j:n+1 (q) > 1/2 > F j+1:n+1 (q).
18 Kryterium MAD: R 1 (T, F ) = E F F (T ) q = E U J(λ):n q RZ (1999), Statist. Probab. Lett. 45, U j:n F j:n (x) = n k=j ( ) n x k (1 x) n k, 0 < x < 1, k 1 > F 1:n (x) >... > F n:n (x) > 0, 0 < x < 1. Twierdzenie T = X j :n, gdzie 1, gdy F 2:n+1 (q) 1/2, j n, gdy F = n:n+1 (q) 1/2, jeśli F 2:n+1 (q) > 1/2 > F n:n+1 (q), to takie j, że F j:n+1 (q) > 1/2 > F j+1:n+1 (q).
19 Kryterium MSE: R 2 (T, F ) = E F (F (T ) q) 2 = E(U J(λ):n q) 2 RZ (1999), Commun. Statist. Theory Meth. 38, Twierdzenie T = X j :n, gdzie 1, gdy q 3/2 j n+2, 3/2 = [(n + 2)q + 1/2], gdy n+2 < q < n+1/2 n+2, n, gdy q n+1/2 n+2. ([ ] zaokra glenie do całkowitej)
20 Kryterium MSE: R 2 (T, F ) = E F (F (T ) q) 2 = E(U J(λ):n q) 2 RZ (1999), Commun. Statist. Theory Meth. 38, Twierdzenie T = X j :n, gdzie 1, gdy q 3/2 j n+2, 3/2 = [(n + 2)q + 1/2], gdy n+2 < q < n+1/2 n+2, n, gdy q n+1/2 n+2. ([ ] zaokra glenie do całkowitej)
21 Kryterium LINEX: R α (T, F ) = E F [exp(α(f (T ) q)) α(f (T ) q) 1], α < 0, RZ (2005), Appl. Math. (Warsaw) 32, Twierdzenie T = X j :n, gdzie j = arg min 1 j n [ exp( αq) 1 F 1 (j, n + 1, α) }{{} jα n + 1 }{{} ] Γ(n) 1F 1 (j, n, α) = e αt t j 1 (1 t) n j 1 dt Γ(j)Γ(n j) 0 funkcja Whittakera (confluent geometric). W pracy jeszcze optymalne estymatory kwantyli w modelu normalnym postaci X + const(j, n, α) σ oraz X + const(j, n, α) S. 1
22 Kryterium LINEX: R α (T, F ) = E F [exp(α(f (T ) q)) α(f (T ) q) 1], α < 0, RZ (2005), Appl. Math. (Warsaw) 32, Twierdzenie T = X j :n, gdzie j = arg min 1 j n [ exp( αq) 1 F 1 (j, n + 1, α) }{{} jα n + 1 }{{} ] Γ(n) 1F 1 (j, n, α) = e αt t j 1 (1 t) n j 1 dt Γ(j)Γ(n j) 0 funkcja Whittakera (confluent geometric). W pracy jeszcze optymalne estymatory kwantyli w modelu normalnym postaci X + const(j, n, α) σ oraz X + const(j, n, α) S. 1
23 Kryterium LINEX: R α (T, F ) = E F [exp(α(f (T ) q)) α(f (T ) q) 1], α < 0, RZ (2005), Appl. Math. (Warsaw) 32, Twierdzenie T = X j :n, gdzie j = arg min 1 j n [ exp( αq) 1 F 1 (j, n + 1, α) }{{} jα n + 1 }{{} ] Γ(n) 1F 1 (j, n, α) = e αt t j 1 (1 t) n j 1 dt Γ(j)Γ(n j) 0 funkcja Whittakera (confluent geometric). W pracy jeszcze optymalne estymatory kwantyli w modelu normalnym postaci X + const(j, n, α) σ oraz X + const(j, n, α) S. 1
24 Kryterium miara bliskości Pitmana: T : T T F F P F ( F (T ) q) F (T ) q ) 1/2, RZ (2001), Statistics 35, Twierdzenie Jeśli j 0 = { n 1, gdy Fn 1:n (q) 1/2, min{i n 1 : F i+1:n (q) < 1/2}, w p. p. oraz { j j0, gdy q < q(j = 0, n), (wyznaczone numerycznie z równania) j 0 + 1, w p. p., to T = X j :n.
25 Kryterium miara bliskości Pitmana: T : T T F F P F ( F (T ) q) F (T ) q ) 1/2, RZ (2001), Statistics 35, Twierdzenie Jeśli j 0 = { n 1, gdy Fn 1:n (q) 1/2, min{i n 1 : F i+1:n (q) < 1/2}, w p. p. oraz { j j0, gdy q < q(j = 0, n), (wyznaczone numerycznie z równania) j 0 + 1, w p. p., to T = X j :n.
26 Estymatory medianowo-nieobcia żone: RZ (1988), Statistics 19, T U(q) = {T T : F F med(t, F ) = q}, { } n = T = X J(λ):n : λ i F i:n (q) = 1. 2 i=1 U(q) F 1:n (q) 1 2 F n:n(q) n ln 2 ln max{q, 1 q}.
27 Estymatory medianowo-nieobcia żone: RZ (1988), Statistics 19, T U(q) = {T T : F F med(t, F ) = q}, { } n = T = X J(λ):n : λ i F i:n (q) = 1. 2 i=1 U(q) F 1:n (q) 1 2 F n:n(q) n ln 2 ln max{q, 1 q}.
28 Kryterium MAD dla U(q): RZ (1999), Statist. Probab. Lett. 45, Twierdzenie Jeśli F 1:n (q) 1 2 F n:n(q), to dla j takiego, że F j :n(q) 1 2 F j +1:n(q) oraz T = X J(λ ):n. 1/2 F j λ j = +1:n(q) F j :n(q) F j +1:n(q) = 1 λ j +1, λ j = 0, j {j, j + 1},
29 Estymator medianowo-nieobcia żony o najwiȩkszej koncentracji RZ (1988), Statistics 19, Estymator medianowo-nieobcia żony o minimalnym średnim błȩdzie absolutnym spełnia: T U(q) F F 0 < q < q < q + < 1 P(F 1 (q ) T F 1 (q + )) P(F 1 (q ) T F 1 (q + ))
30 Kryterium MSE dla V(q): Estymatory F -nieobcia żone: T V(q) = {T T : F F EF (T ) = q}, { } n iλ i = T = X J(λ):n : EF (X J(λ):n ) = n + 1 = q. Uhlmann (1963), Metrika 7, Twierdzenie Dla j = (n + 1)q oraz T = X J(λ ):n. i=1 λ j = (n + 1)q (n + 1)q = 1 λ j +1, λ j = 0, j {j, j + 1},
31 Kryterium MSE dla V(q): Estymatory F -nieobcia żone: T V(q) = {T T : F F EF (T ) = q}, { } n iλ i = T = X J(λ):n : EF (X J(λ):n ) = n + 1 = q. Uhlmann (1963), Metrika 7, Twierdzenie Dla j = (n + 1)q oraz T = X J(λ ):n. i=1 λ j = (n + 1)q (n + 1)q = 1 λ j +1, λ j = 0, j {j, j + 1},
32 Estymator przedziałowy kwantyla o minimalnej długości RZ, WZ (2005), Statistics 39, Wyznaczyć [X I :n, X J:n ] taki. że P(X I :n F 1 (q) X J:n ) = P(U I :n q U J:n ) γ, E(J I ) = min Możliwe, gdy P(U 1:n q U n:n ) γ, tzn., gdy q n + (1 q) n 1 γ. ( ) n p k (q) = P(U k:n q U k+1:n ) = q k (1 q) n k, k k = 1,..., n 1 cia g jednomodalny wzgl. k (k max nq).
33 Estymator przedziałowy kwantyla o minimalnej długości RZ, WZ (2005), Statistics 39, Wyznaczyć [X I :n, X J:n ] taki. że P(X I :n F 1 (q) X J:n ) = P(U I :n q U J:n ) γ, E(J I ) = min Możliwe, gdy P(U 1:n q U n:n ) γ, tzn., gdy q n + (1 q) n 1 γ. ( ) n p k (q) = P(U k:n q U k+1:n ) = q k (1 q) n k, k k = 1,..., n 1 cia g jednomodalny wzgl. k (k max nq).
34 Estymator przedziałowy kwantyla o minimalnej długości RZ, WZ (2005), Statistics 39, Wyznaczyć [X I :n, X J:n ] taki. że P(X I :n F 1 (q) X J:n ) = P(U I :n q U J:n ) γ, E(J I ) = min Możliwe, gdy P(U 1:n q U n:n ) γ, tzn., gdy q n + (1 q) n 1 γ. ( ) n p k (q) = P(U k:n q U k+1:n ) = q k (1 q) n k, k k = 1,..., n 1 cia g jednomodalny wzgl. k (k max nq).
35 Rozwia zanie: Dokładaj kolejne kawałki {U k:n q U k+1:n } o maksymalnym prawdopodobieństwie, uzyskuja c kolejno ła czne prawdopodobieństwa: P 1 (q) < P 2 (q) <... < P m (q) γ < P m+1 (q).... Niech P m (q) = P(U i:n q U j:n ), P m+1 (q) = P(U i :n q U j :n), gdzie (i, j ) = (i, j + 1) lub (i 1, j). Wtedy { [Xi:n, X j:n ] z p stwem [X I :n, X J:n ] = [ Xi :n, X j :n] z p stwem P m+1 (q) γ P m+1 (q) P, m(q) γ P m(q) P m+1 (q) P. m(q) W pracy jeszcze optymalne przedziały jednostronne.
36 Rozwia zanie: Dokładaj kolejne kawałki {U k:n q U k+1:n } o maksymalnym prawdopodobieństwie, uzyskuja c kolejno ła czne prawdopodobieństwa: P 1 (q) < P 2 (q) <... < P m (q) γ < P m+1 (q).... Niech P m (q) = P(U i:n q U j:n ), P m+1 (q) = P(U i :n q U j :n), gdzie (i, j ) = (i, j + 1) lub (i 1, j). Wtedy { [Xi:n, X j:n ] z p stwem [X I :n, X J:n ] = [ Xi :n, X j :n] z p stwem P m+1 (q) γ P m+1 (q) P, m(q) γ P m(q) P m+1 (q) P. m(q) W pracy jeszcze optymalne przedziały jednostronne.
37 Odporne estymatory położenia
38 Asymptotycznie odporny estymator położenia RZ, TR (1985), Lect. Notes in Math. 1233, str Model: {F (x µ) : µ R}, F - znana dystrybuanta jednomodalna, Zaburzenie: Z(µ) = {G = (1 ε)f µ + εh : H dowolna dystrybuanta}, 0 < ε < 1/2, Estymatory: T = {(T n ) : T n (X 1 + c,..., X n + c) = T n (X 1,..., X n ) + c, Kryterium: lim med(t n, F µ ) = µ}, n B((T n ), µ) = B((T n ), 0) = lim sup n G 1,G 2 Z(0) med(t n, G 1 ) med(t n, G 2 ).
39 Asymptotycznie odporny estymator położenia c.d. G Z(0) L = (1 ε)f G U = (1 ε)f + ε ( ) ( ) x ε x U 1 (x) = F 1 < L 1 (x) = F 1, ε < x < 1 ε, 1 ε 1 ε q = arg inf ε<q<1 ε (L 1 (q) U 1 (q)), T n = X L(n):n F 1 (q ) L(n)/n q, (wystarczy, gdy ε < q < 1 ε), n(l(n)/n ε), (potrzebne, gdy q = ε), n(1 ε L(n)/n), (potrzebne, gdy q = 1 ε). Huber (1964): Jeśli F dodatkowo symetryczna, to q = 1/2.
40 Asymptotycznie odporny estymator położenia c.d. G Z(0) L = (1 ε)f G U = (1 ε)f + ε ( ) ( ) x ε x U 1 (x) = F 1 < L 1 (x) = F 1, ε < x < 1 ε, 1 ε 1 ε q = arg inf ε<q<1 ε (L 1 (q) U 1 (q)), T n = X L(n):n F 1 (q ) L(n)/n q, (wystarczy, gdy ε < q < 1 ε), n(l(n)/n ε), (potrzebne, gdy q = ε), n(1 ε L(n)/n), (potrzebne, gdy q = 1 ε). Huber (1964): Jeśli F dodatkowo symetryczna, to q = 1/2.
41 Asymptotycznie odporny estymator położenia c.d. G Z(0) L = (1 ε)f G U = (1 ε)f + ε ( ) ( ) x ε x U 1 (x) = F 1 < L 1 (x) = F 1, ε < x < 1 ε, 1 ε 1 ε q = arg inf ε<q<1 ε (L 1 (q) U 1 (q)), T n = X L(n):n F 1 (q ) L(n)/n q, (wystarczy, gdy ε < q < 1 ε), n(l(n)/n ε), (potrzebne, gdy q = ε), n(1 ε L(n)/n), (potrzebne, gdy q = 1 ε). Huber (1964): Jeśli F dodatkowo symetryczna, to q = 1/2.
42 Nieasymptotycznie odporny estymator położenia RZ (1988), Statistics 19, Model: {F (x µ) : µ R}, F - cia gła znana dystrybuanta jednomodalna taka, że gȩstość f (x) 0 na końcach nośnika, Zaburzenie: Z(µ) = {G = (1 ε)f µ + εh : H dowolna dystrybuanta}, 0 < ε < 1/2, Estymatory: T = {T : T (X 1 + c,..., X n + c) = T (X 1,..., X n ) + c, Kryterium: B(T, µ) = B(T, 0) = med(t, F µ ) = µ}, sup med(t, G 1 ) med(t, G 2 ). G 1,G 2 Z(0)
43 Nieasymptotycznie odporny estymator położenia c.d. ε < q < 1 ε takie, że Wtedy L 1 (q ) U 1 (q ) = inf ε<q<1 ε (L 1 (q) U 1 (q)) T = X J(λ):n F 1 (q ), X J(λ):n U(q ).
44 Przekornie odporny estymator położenia RZ (1988), Appl. Math. (Warsaw) 29, 1 6. Model: {F (x µ) : µ R}, F - znana cia gła, ściśle rosna ca dystrybuanta symetryczna jednomodalna (o skończonej wartości oczekiwanej), C > 0 - wystarczaja co duże, Zaburzenie: H + C (x) = 1 C x 1 [C, )(x) (Pareto(1, C)), H C (x) = C x 1 (,C](x) ( Pareto(1, C)), Z(0) = {G : L = (1 ε)f + εh + C G = (1 ε)f + εh U = (1 ε)f + εh C }, (Jeśli Z H i max{ez +, EZ } < C, to H + C H H C ) Estymatory, kryterium: jak wyżej,
45 Przekornie odporny estymator położenia c.d. q = arg inf 0<q<1 (L 1 (q) U 1 (q)), T = X J(λ):n F 1 (q ), X J(λ):n U(q ). (Jeśli F takie, że E F X <, to istnieja G1, G 2 Z(0) takie, że E G i X <, i = 1, 2 oraz B(T, 0) = med(t, G 1 ) med(t, G 2 ). Przykład F = Φ, ε = 0.2, C > , q { = 1 2 dla C > , 1 2 w p. p.
46 Przekornie odporny estymator położenia c.d. q = arg inf 0<q<1 (L 1 (q) U 1 (q)), T = X J(λ):n F 1 (q ), X J(λ):n U(q ). (Jeśli F takie, że E F X <, to istnieja G1, G 2 Z(0) takie, że E G i X <, i = 1, 2 oraz B(T, 0) = med(t, G 1 ) med(t, G 2 ). Przykład F = Φ, ε = 0.2, C > , q { = 1 2 dla C > , 1 2 w p. p.
47 Przekornie odporny estymator położenia c.d. q = arg inf 0<q<1 (L 1 (q) U 1 (q)), T = X J(λ):n F 1 (q ), X J(λ):n U(q ). (Jeśli F takie, że E F X <, to istnieja G1, G 2 Z(0) takie, że E G i X <, i = 1, 2 oraz B(T, 0) = med(t, G 1 ) med(t, G 2 ). Przykład F = Φ, ε = 0.2, C > , q { = 1 2 dla C > , 1 2 w p. p.
O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10 14 grudnia 2009 PARAMETRY POŁOŻENIA Przypomnienie: Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru X = µ + ε 1. ε jest zmienną losową 2. E(ε) = 0 pomiar nieobciążony, pomiar
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE
Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoDetekcja rozkładów o ciężkich ogonach
Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoEstymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu
Estymacja gęstości prawdopodobieństwa metodą selekcji modelu M. Wojtyś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Wisła, 7 grudnia 2009 Wstęp Próba losowa z rozkładu prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoOdporność statystyk według Ryszarda Zielińskiego a porządki stochastyczne
Odporność statystyk według Ryszarda Zielińskiego a porządki stochastyczne Jarosław Bartoszewicz Uniwersytet Wrocławski Zieliński (1977) wprowadził następującą definicję odporności statystycznej. M 0 =
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoWykład 10 Testy jednorodności rozkładów
Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów Wrocław, 16 maja 2018 Test Znaków test jednorodności rozkładów nieparametryczny odpowiednik testu t-studenta dla prób zależnych brak normalności rozkładów Test Znaków
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych
Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych Iwona Malinowska Politechnika Lubelska Dominik Szynal UMCS, Lublin XXXIII Konferencja "STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoAlgorytm Metropolisa-Hastingsa
Seminarium szkoleniowe, 25 kwietnia 2006 Plan prezentacji 1 Problem Metoda MCMC 2 Niezależny algorytm Metropolisa-Hastingsa Bła dzenie losowe Zbieżność procedury Metropolisa-Hastingsa Problem Metoda MCMC
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowox x 1. Przedmiot identyfikacji System x (1) x (2) : x (s) a 1 a 2 : a s mierzone, a = zestaw współczynników konkretyzujacych F ()
. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) x (s) mierzone, a = a a 2 a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych
Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoPorównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej
Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoPRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR Wojciech Zieliński Katedra Ekonometrii i Statystyki SGGW Nowoursynowska 159, PL-02-767 Warszawa wojtek.zielinski@statystyka.info
Bardziej szczegółowoUPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA. Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski
UPORZĄDKOWANIE STOCHASTYCZNE ESTYMATORÓW ŚREDNIEGO CZASU ŻYCIA Piotr Nowak Uniwersytet Wrocławski Wprowadzenie X = (X 1,..., X n ) próba z rozkładu wykładniczego Ex(θ). f (x; θ) = 1 θ e x/θ, x > 0, θ >
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoJądrowe klasyfikatory liniowe
Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie
Bardziej szczegółowoW3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego
W3 - Niezawodność elementu nienaprawialnego Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Jarosław Sugier www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Niezawodność elementu nienaprawialnego 1. Model niezawodności elementu nienaprawialnego
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowoZawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009
Ryszard Zieliński XXXVIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 ESTYMACJA FRAKCJI W populacji składającej się z N elementów jest nieznana liczba M elementów
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoEstymatory regresji rangowej oparte na metodzie LASSO
Estymatory regresji rangowej oparte na metodzie LASSO Wojciech Rejchel UMK Toruń Wisła 2013 Z = (X, Y ), Z = (X, Y ) - niezależne wektory losowe o tym samym rozkładzie P X, X X R m, Y, Y R Z = (X, Y ),
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład I, 22.02.2016 STATYSTYKA OPISOWA, cz. I Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: strona z materiałami z przedmiotu: wne.uw.edu.pl/azylicz akson.sgh.waw.pl/~aborata
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoStacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoSzacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE Joanna Sawicka Plan prezentacji Model Poissona-Gamma ze składnikiem regresyjnym Konstrukcja optymalnego systemu Bonus- Malus Estymacja
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 5.05.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Jednoczesna estymacja kilku parametrów - przykład Weryfikacja hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoExcel: niektóre rozkłady ciągłe (1)
MS Ecel niektóre rozkłady ciągłe (1) Ecel: niektóre rozkłady ciągłe (1) 1. ROZKŁAD.BETA (tylko dystrybuanta)...1 2. ROZKŁAD.BETA.ODW (kwantyl w rozkładzie beta)...3 3. ROZKŁAD.LIN.GAMMA (to nie jest żaden
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowo1.1 Statystyka matematyczna Literatura Model statystyczny Preliminaria... 3
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Statystyka matematyczna...................... 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Model statystyczny......................... 2 1.4 Preliminaria.............................
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowo