Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych

Transkrypt

1 Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych Iwona Malinowska Politechnika Lubelska Dominik Szynal UMCS, Lublin XXXIII Konferencja "STATYSTYKA MATEMATYCZNA WISŁA 2007"

2 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne

3 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty

4 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty

5 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha

6 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 5 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha

7 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 5 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 6 Ilustracja numeryczna

8 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 5 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 6 Ilustracja numeryczna 7 Estymatory parametru rozkładu logistycznego

9 Wiadomości wstępne k-te wartości rekordowe Dla ustalonej liczby naturalnej k 1 określamy k te górne czasy rekordowe {U k (n), n 1}, ciągu {X n, n 1} jako U k (1) = 1, { } U k (n + 1) = min j > U k (n) : X j:j+k 1 > X Uk (n):u k (n)+k 1, n 1, oraz k-te górne wartości rekordowe jako Y n (k) dla {X n, n 1}. = X Uk (n):u k (n)+k 1

10 Wiadomości wstępne k-te wartości rekordowe Dla ustalonej liczby naturalnej k 1 określamy k te górne czasy rekordowe {U k (n), n 1}, ciągu {X n, n 1} jako U k (1) = 1, { } U k (n + 1) = min j > U k (n) : X j:j+k 1 > X Uk (n):u k (n)+k 1, n 1, oraz k-te górne wartości rekordowe jako Y n (k) = X Uk (n):u k (n)+k 1 dla {X n, n 1}. Dla ustalonej liczby naturalnej k 1 określamy k te dolne czasy rekordowe {L k (n), n 1}, ciągu {X n, n 1} jako L k (1) = 1, } L k (n + 1) = min {j > L k (n) : X k:lk (n)+k 1 > X k:j+k 1, n 1, oraz k-te dolne wartości rekordowe jako Z n (k) {X n, n 1}. = X k:lk (n)+k 1, dla

11 Wiadomości wstępne Łączna gęstość prawdopodobieństwa wektora losowego (Y (k) 1,..., Y n (k) ), n N ma postać f (k) Y 1,...,Y n (k) (x 1,..., x n ) k = n n 1 f (x i ) i=1 1 F (x i ) (1 F (x n)) k 1 f (x n ), x 1 <... < x n, 0, poza tym.

12 Wiadomości wstępne Łączna gęstość prawdopodobieństwa wektora losowego (Y (k) 1,..., Y n (k) ), n N ma postać f (k) Y 1,...,Y n (k) (x 1,..., x n ) k = n n 1 f (x i ) i=1 1 F (x i ) (1 F (x n)) k 1 f (x n ), x 1 <... < x n, 0, poza tym. Funkcja gęstości zmiennej losowej Y (k) n dana jest wzorem f (k) Y (x) = n kn (n 1)! ( ln(1 F (x)))n 1 (1 F (x)) k 1 f (x), n 1.

13 Wiadomości wstępne Rozkład Rayleigha f (x θ) = 2θxe θx2, x > 0; θ > 0, F (x θ) = 1 e θx2, x > 0; θ > 0, ( Soliman (2006)).

14 Wiadomości wstępne Rozkład Rayleigha f (x θ) = 2θxe θx2, x > 0; θ > 0, F (x θ) = 1 e θx2, x > 0; θ > 0, ( Soliman (2006)). Uogólniony rozkład logistyczny typu I f (x θ) = θe x, < x < + ; θ > 0, (1 + e x θ+1 ) F (x θ) = 1, < x < + ; θ > 0, (Asgharzadeh (2006)). (1 + e x θ )

15 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem kwadratowej funkcji starty Kwadratowa (Sq) funkcja straty jest postaci L(φ(θ), φ(θ)) = (φ(θ) φ(θ)) 2. Bayesowski estymator funkcji parametrycznej φ(θ) względem rozkładu a priori wyraża się wzorem φ(θ) = E φ (φ(θ)).

16 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem kwadratowo-logarytmicznej funkcji starty Kwadratowo-logarytmiczna (Sq-log) funkcja straty jest postaci L( φ(θ), φ(θ)) = (ln φ(θ) ln φ(θ)) 2, (Ferguson (1967)). Bayesowski estymator względem tej funkcji (oznaczony przez φ(θ) BLG ) wyraża się wzorem: φ BLG = exp [E φ (ln φ(θ))], o ile E φ (ln φ(θ)) istnieje i jest skończona.

17 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem funkcji starty typu odległości Kullbacka-Leiblera Funkcja straty typu odległości Kullbacka-Leiblera (DKL) dla φ(θ), dana jest wzorem: ( ) L φ(θ), φ(θ) (φ(θ)) r ln φ(θ) ( ) r φ(θ) + φ(θ) φ(θ) ln φ(θ), gdzie φ jest estymatorem φ i r jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

18 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem funkcji starty typu odległości Kullbacka-Leiblera Funkcja straty typu odległości Kullbacka-Leiblera (DKL) dla φ(θ), dana jest wzorem: ( ) L φ(θ), φ(θ) (φ(θ)) r ln φ(θ) ( ) r φ(θ) + φ(θ) φ(θ) ln φ(θ), gdzie φ jest estymatorem φ i r jest liczbą rzeczywistą dodatnią.bayesowski estymator φ(θ), oznaczany przez φ := φ BKL względem DKL funkcji straty jest rozwiązaniem równania r ( ) r φ BKL ln φ ( ) r ( ) r BKL + φ BKL r φ BKL Eφ ln φ(θ) = E φ (φ(θ)) r, zakładając, że E φ ( ) istnieje i jest skończona.

19 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty Bayesowski estymator względem LINEX funkcji starty Liniowo-wykładnicza (LINEX ) funkcja straty dla φ := φ(θ) jest wyrażona następująco L( ) = e a a 1, a 0, gdzie = φ(θ) φ(θ) i φ jest estymowaną wartością φ (Varian (1975)). Bayesowski estymator φ(θ) względem LINEX funkcji straty (oznaczony przez φ BL ) wyraża się wzorem φ BL = 1 a ln ( E φ ( e aφ(θ))) zakładając, że E φ (e aφ(θ)) istnieje i jest skończona.

20 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty Bayesowski estymator względem uogólnionej entropijnej funkcji starty Uogólniona entropijna (GE) funkcja straty jest postaci: L( φ(θ), φ(θ)) ( φ(θ)/φ(θ)) q q ln( φ(θ)/φ(θ)) 1, (Soliman (2006)) i minimum przyjmuje w φ(θ) = φ(θ). Bayesowski estymator φ(θ) BGE dla φ(θ) względem GE funkcji straty jest postaci: φ BGE = [ E φ ( φ(θ) q )] 1 q zakładając, że E φ (φ(θ) q ) istnieje i jest skończona.

21 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Przypuśćmy teraz, że zaobserwowano m pierwszych ktych górnych wartości rekordowych Y (k) 1 = x (k) 1, Y (k) 2 = x (k) 2,..., Y m (k) = x m (k) pochodzących z próby o rozkładzie Rayleigha. Funkcja wiarogodności ma postać: ( m 1 L(x (k) θ) = k m = k m e kθ(x(k) i=1 m ) 2 m i=1 f (x (k) ) i ) 1 F (x (k) i ) 2θx (k) i gdzie x (k) = (x (k) 1, x (k) 2,..., x (k) m ). ( k m θ m e kθ [1 F (x m (k) )] k 1 f (x m (k) ) x (k) m ) 2, x (k) 1 < x (k) 2 <... < x m (k)

22 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha ML estymator parametru θ wyraża się wzorem ( Y (k) m θ (k,m) ML = m ( k Y (k) m ) 2. ) 2 ma rozkład gamma z parametrami (m, kθ) tj. oraz ( f ( x (k) m ) 2 θ) = (kθ) m Var( θ (k,m) ML θ) = Γ(m) ( ( x (k) m ) 2 ) m 1 e kθ (x (k) E( θ (k,m) ML θ) = mθ m 1, m > 1, m 2 θ 2 (m 1) 2 (m 2), m > 2. m ) 2

23 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha ( Y m (k) ) 2 jest statystyką dostateczną i zupełną, zatem z twierdzeń Rao Blackwella i Lehmanna Scheffe wynika, że MVU estymator dla parametru θ dany jest wzorem z θ (k,m) MVU = ( m 1 ) 2, k Y (k) m E( θ (k,m) (k,m) MVU θ) = θ i Var( θ MVU θ) = θ2 m 2, m > 2.

24 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Zakładamy, że rozkład a priori ma postać π(θ) = βα Γ(α) θα 1 e βθ, θ > 0; α, β > 0. Natomiast rozkład a posteriori θ jest rozkładem gamma z ( ) 2 parametrami (m + α, k + β), danym przez Y (k) m π (θ x (k) ) = ( ( β + k x (k) m Γ(m + α) ) 2 ) m+α θ m+α 1 e ( ( β+k x (k) m ) 2 ) θ, θ > 0.

25 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator względem Sq funkcji straty Dla k=1 Dla m = 1 θ (k,m) B = θ (1,m) B = θ (1,1) B m + α ( β + k Y (k) m ) 2. m + α ( ) 2. β + Y (1) m = 1 + α β + X 2 1 jest estymatorem opisanym na próbie o rozmiarze 1. Nasze podejście pozwala otrzymać estymator dla θ używając próbki o rozmiarze k. Mianowicie, dla m = 1 mamy θ (k) B = 1 + α β + k (X 1:k ) 2.

26 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Jeżeli α i β dążą do zera, to estymator Bayesowski ˆθ (k,m) ML. ˆθ (k,m) B dąży do

27 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Jeżeli α i β dążą do zera, to estymator Bayesowski ˆθ (k,m) ML. ( ) 2 Rozkład brzegowy jest postaci Y (k) m ˆθ (k,m) B dąży do f ( ( ) ) 2 x m (k) = βα k m B(m, α) ( (x (k) m ) 2) m 1 (β + k(x (k) m ) 2 ) m+α, gdzie B(a, b) jest funkcją beta. (k,m) Dla Bayesowskiego estymatora ˆθ B mamy E(ˆθ (k,m) B ) = α (k,m), Var(ˆθ B ) = β αm (m + α + 1)β 2.

28 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Jeżeli α i β dążą do zera, to estymator Bayesowski ˆθ (k,m) ML. ( ) 2 Rozkład brzegowy jest postaci Y (k) m ˆθ (k,m) B dąży do f ( ( ) ) 2 x m (k) = βα k m B(m, α) ( (x (k) m ) 2) m 1 (β + k(x (k) m ) 2 ) m+α, gdzie B(a, b) jest funkcją beta. (k,m) Dla Bayesowskiego estymatora ˆθ B mamy E(ˆθ (k,m) B ) = α (k,m), Var(ˆθ B ) = β αm (m + α + 1)β 2.

29 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator parametru θ względem Sq-log funkcji straty ( θ (k,m) ( BLG [ψ(m = exp + α) ln β + k gdzie ψ(x) = d dx ln Γ(x). Y (k) m ) 2 )],

30 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator parametru θ względem Sq-log funkcji straty ( θ (k,m) ( BLG [ψ(m = exp + α) ln β + k gdzie ψ(x) = d dx ln Γ(x). E(ˆθ (k,m) BLG Var(ˆθ (k,m) BLG ) = α exp(ψ(m + α)) ) =, β(m + α) Y (k) m αm (exp(ψ(m + α)))2 (m + α) 2 (m + α + 1)β 2. ) 2 )],

31 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator θ BKL dla parametru θ względem DKL funkcji straty jest rozwiązaniem równania r ( θ (k,m) BKL ( θ (k,m) BKL + = ) r ln (k,m) θ BKL ) r r ( θ (k,m) BKL Γ(m + α + r) Γ(m + α) ( ( β + k ) ( r ψ(m + α) ln Y (k) m ) 2 ) r p.p. ( ( β + k Y (k) m ) 2 ))

32 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator postaci θ (k,m) BL θ (k,m) BL ( = 1 a ln β + k ( β + k względem LINEX funkcji straty jest Y m (k) ) 2 Y (k) m ) 2 + a α+m.

33 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator postaci θ (k,m) BL θ (k,m) BL ( = 1 a ln β + k ( β + k względem LINEX funkcji straty jest Y m (k) ) 2 Y (k) m ) 2 + a α+m E(ˆθ (k,m) (m + α) BL ) = (1 2 F 2 (1, α; 1, α + m; a ) a β ), Var(ˆθ (k,m) (m + α)2 BL ) = 2. ( ) n ( 1) n a β (α)n (ψ(n) ψ(1)) (1) n (α + m) n a 2 n=2 ( ( (m + α) 1 2 F 2 (1, α; 1, α + m; a )) 2 a β ), a β + kt (k) m < 1, p.p.

34 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator straty jest postaci θ (k,m) θ (k,m) BGE [ BGE = Γ(α + m) Γ(α + m q) parametru θ względem GE funkcji ] 1 q 1 ( β + k ( Y (k) m ) 2 ),

35 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator straty jest postaci θ (k,m) θ (k,m) BGE [ BGE = Γ(α + m) Γ(α + m q) parametru θ względem GE funkcji ] 1 q 1 ( β + k ( Y (k) m ) 2 ), ( ) E(ˆθ (k,m) Γ(m + α) 1/q BGE ) = α Γ(m + α q) β(m + α), ( ) Var(ˆθ (k,m) Γ(m + α) 2/q BGE ) = αm Γ(m + α q) (m + α) 2 (m + α + 1)β 2.

36 Ilustracja numeryczna Ilustracja numeryczna Wartość parametru θ = została wygenerowana z rozkładu gamma z parametrami α = 2.0 i β = 2.0. Wartość parametru skali a w LINEX funkcji straty i wartość q w GE funkcji straty są równe odpowiednio a = 3 i q = 5. Funkcję straty typu odległości Kullbacka-Leiblera bierzemy z r = 2, 3 i 4.

37 Ilustracja numeryczna TABELA 1. Estymatory θ (k,m), θ (k,m) ML MVU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE. θ = m k θ ML θ MVU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) BKL BKL BKL θ BL θ BGE θ (r) jest estymatorem θ(k,m) BKL BKL z r=2,3,4.

38 Ilustracja numeryczna

39 Ilustracja numeryczna TABELA 2. MSE estymatorów θ (k,m) ML, θ (k,m) MU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE m k θ ML θ MU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) BKL BKL BKL θ BL θ BGE θ (r) jest estymatorem θ(k,m) BKL BKL z r=2,3,4.

40 Ilustracja numeryczna

41 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Zakładamy, że zaobserwowaliśmy m pierwszych ktych dolnych wartości rekordowych Z (k) 1 = x (k) 1, Z (k) 2 = x (k) 2,..., Z m (k) = x m (k) pochodzących z próby o rozkładzie uogólnionym logistycznym typu I. Funkcja wiarogodności jest postaci gdzie L(θ x (k) ) [ ] kθ = k m m 1 + e x(k) m i=1 θe x(k) i 1 + e x(k) i k m θ m (k) kθt e m, x (k) 1 > x (k) 2 >... > x m (k), ( x (k) = (x (k) 1, x (k) 2,..., x m (k) ), T m (k) = ln 1 + e x(k) m ).

42 Estymatory parametru rozkładu logistycznego ML estymator θ ma postać ˆθ (k,m) ML = m kt m (k) E(ˆθ (k,m) ML θ) = mθ (k,m), Var(ˆθ ML θ) = (m 1) MVU estymator θ jest postaci ˆθ (k,m) MVU = m 1, kt m (k), m 2 θ 2 (m 1) 2 (m 2). E(ˆθ (k,m) MVU θ) = θ, Var(ˆθ (k,m) MVU θ) = θ 2 (m 2).

43 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator względem Sq funkcji straty dla parametru rozkładu logistycznego ma postać ˆθ (k,m) B = m + α β + kt (k). Bayesowski estymator θ BLG względem Sq-log funkcji straty dla parametru θ jest postaci θ (k,m) BLG gdzie ψ(x) = d dx ln Γ(x). m exp(ψ(m + α)) = β + kt m (k),

44 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator θ BKL względem DKL funkcji straty parametry θ jest rozwiązaniem równania r ( θ (k,m) ) r (k,m) BKL ln θ BKL ( θ (k,m) ) r ( BKL ( r = Γ(m + α + p) Γ(m + α) ( θ + (k,m) ) r BKL ( )) ψ(m + α) ln β + kt m (k) ) r β + kt m (k), pp.

45 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator θ BKL względem DKL funkcji straty parametry θ jest rozwiązaniem równania r ( θ (k,m) ) r (k,m) BKL ln θ BKL ( θ (k,m) ) r ( BKL ( r = Γ(m + α + p) Γ(m + α) ( θ + (k,m) ) r BKL ( )) ψ(m + α) ln β + kt m (k) ) r β + kt m (k), pp. Bayesowski estymator θ BL względem LINEX funkcji straty dla θ ma formę θ (k,m) BL = 1 ( ) (k) α+m a ln β + kt m β + kt m (k). + a

46 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator θ BGE względem GE funkcji straty dla θ jest następujący [ BGE = Γ(α + m) Γ(α + m q) θ (k,m) ] 1 q 1 ( β + kt (k) m ).

47 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Ilustracja numeryczna Wartość parametru θ = została wygenerowana z rozkładu gamma z parametrami α = 2.0 i β = 2.0. Wartość parametru skali a w LINEX funkcji straty, i wartość q w GE funkcji straty są równe odpowiednio a = 3 i q = 5. DKL funkcję straty bierzemy z r = 2, 3 i 4.

48 Estymatory parametru rozkładu logistycznego TABELA 3. Estymatory θ (k,m), θ (k,m) ML MVU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE, θ = m k θ ML θ MVU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) θ BKL BKL BKL BL θ BGE

49 Estymatory parametru rozkładu logistycznego

50 Estymatory parametru rozkładu logistycznego TABELA 4. MSE estymatorów θ (k,m), θ (k,m) ML MVU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE. m k θ ML θ MVU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) BKL BKL BKL θ BL θ BGE

51 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Literatura: Dziubdziela, W. and Kopociński, B. (1976). Limiting properties of the k-th record values. Appl. Math. 15: Dey, D. K., Ghosh, M. and Srinivasan, C. (1987). Simultaneous estimation of parameters under entropy loss. J. Statist. Plann. Infer. 25: Ferguson, T.S (1967). Mathematical Statistics. Academic Press, New York and London, England. Soliman, A. A. (2006). Estimators for finite mixture of Rayleigh model based on progressively censored date. Commun. Statist. Theor. Meth. 32: Varian, H.R. (1975). A Bayesian approach to real estate assessment. Amsterdam: North Holland

52 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

53 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

54 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

55 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

56 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

57 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

58 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

59 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

60 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

61 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

62 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

63 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

64 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

65 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

66 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

67 Estymatory parametru rozkładu logistycznego