Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych"

Transkrypt

1 Estymacja parametru rozkładu Rayleigha i logistycznego w terminach k-tych wartości rekordowych Iwona Malinowska Politechnika Lubelska Dominik Szynal UMCS, Lublin XXXIII Konferencja "STATYSTYKA MATEMATYCZNA WISŁA 2007"

2 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne

3 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty

4 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty

5 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha

6 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 5 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha

7 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 5 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 6 Ilustracja numeryczna

8 Omawiane zagadnienia: 1 Wiadomości wstępne 2 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty 3 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty 4 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 5 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha 6 Ilustracja numeryczna 7 Estymatory parametru rozkładu logistycznego

9 Wiadomości wstępne k-te wartości rekordowe Dla ustalonej liczby naturalnej k 1 określamy k te górne czasy rekordowe {U k (n), n 1}, ciągu {X n, n 1} jako U k (1) = 1, { } U k (n + 1) = min j > U k (n) : X j:j+k 1 > X Uk (n):u k (n)+k 1, n 1, oraz k-te górne wartości rekordowe jako Y n (k) dla {X n, n 1}. = X Uk (n):u k (n)+k 1

10 Wiadomości wstępne k-te wartości rekordowe Dla ustalonej liczby naturalnej k 1 określamy k te górne czasy rekordowe {U k (n), n 1}, ciągu {X n, n 1} jako U k (1) = 1, { } U k (n + 1) = min j > U k (n) : X j:j+k 1 > X Uk (n):u k (n)+k 1, n 1, oraz k-te górne wartości rekordowe jako Y n (k) = X Uk (n):u k (n)+k 1 dla {X n, n 1}. Dla ustalonej liczby naturalnej k 1 określamy k te dolne czasy rekordowe {L k (n), n 1}, ciągu {X n, n 1} jako L k (1) = 1, } L k (n + 1) = min {j > L k (n) : X k:lk (n)+k 1 > X k:j+k 1, n 1, oraz k-te dolne wartości rekordowe jako Z n (k) {X n, n 1}. = X k:lk (n)+k 1, dla

11 Wiadomości wstępne Łączna gęstość prawdopodobieństwa wektora losowego (Y (k) 1,..., Y n (k) ), n N ma postać f (k) Y 1,...,Y n (k) (x 1,..., x n ) k = n n 1 f (x i ) i=1 1 F (x i ) (1 F (x n)) k 1 f (x n ), x 1 <... < x n, 0, poza tym.

12 Wiadomości wstępne Łączna gęstość prawdopodobieństwa wektora losowego (Y (k) 1,..., Y n (k) ), n N ma postać f (k) Y 1,...,Y n (k) (x 1,..., x n ) k = n n 1 f (x i ) i=1 1 F (x i ) (1 F (x n)) k 1 f (x n ), x 1 <... < x n, 0, poza tym. Funkcja gęstości zmiennej losowej Y (k) n dana jest wzorem f (k) Y (x) = n kn (n 1)! ( ln(1 F (x)))n 1 (1 F (x)) k 1 f (x), n 1.

13 Wiadomości wstępne Rozkład Rayleigha f (x θ) = 2θxe θx2, x > 0; θ > 0, F (x θ) = 1 e θx2, x > 0; θ > 0, ( Soliman (2006)).

14 Wiadomości wstępne Rozkład Rayleigha f (x θ) = 2θxe θx2, x > 0; θ > 0, F (x θ) = 1 e θx2, x > 0; θ > 0, ( Soliman (2006)). Uogólniony rozkład logistyczny typu I f (x θ) = θe x, < x < + ; θ > 0, (1 + e x θ+1 ) F (x θ) = 1, < x < + ; θ > 0, (Asgharzadeh (2006)). (1 + e x θ )

15 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem kwadratowej funkcji starty Kwadratowa (Sq) funkcja straty jest postaci L(φ(θ), φ(θ)) = (φ(θ) φ(θ)) 2. Bayesowski estymator funkcji parametrycznej φ(θ) względem rozkładu a priori wyraża się wzorem φ(θ) = E φ (φ(θ)).

16 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem kwadratowo-logarytmicznej funkcji starty Kwadratowo-logarytmiczna (Sq-log) funkcja straty jest postaci L( φ(θ), φ(θ)) = (ln φ(θ) ln φ(θ)) 2, (Ferguson (1967)). Bayesowski estymator względem tej funkcji (oznaczony przez φ(θ) BLG ) wyraża się wzorem: φ BLG = exp [E φ (ln φ(θ))], o ile E φ (ln φ(θ)) istnieje i jest skończona.

17 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem funkcji starty typu odległości Kullbacka-Leiblera Funkcja straty typu odległości Kullbacka-Leiblera (DKL) dla φ(θ), dana jest wzorem: ( ) L φ(θ), φ(θ) (φ(θ)) r ln φ(θ) ( ) r φ(θ) + φ(θ) φ(θ) ln φ(θ), gdzie φ jest estymatorem φ i r jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

18 Bayesowskie estymatory względem symetrycznych funkcji starty Bayesowski estymator względem funkcji starty typu odległości Kullbacka-Leiblera Funkcja straty typu odległości Kullbacka-Leiblera (DKL) dla φ(θ), dana jest wzorem: ( ) L φ(θ), φ(θ) (φ(θ)) r ln φ(θ) ( ) r φ(θ) + φ(θ) φ(θ) ln φ(θ), gdzie φ jest estymatorem φ i r jest liczbą rzeczywistą dodatnią.bayesowski estymator φ(θ), oznaczany przez φ := φ BKL względem DKL funkcji straty jest rozwiązaniem równania r ( ) r φ BKL ln φ ( ) r ( ) r BKL + φ BKL r φ BKL Eφ ln φ(θ) = E φ (φ(θ)) r, zakładając, że E φ ( ) istnieje i jest skończona.

19 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty Bayesowski estymator względem LINEX funkcji starty Liniowo-wykładnicza (LINEX ) funkcja straty dla φ := φ(θ) jest wyrażona następująco L( ) = e a a 1, a 0, gdzie = φ(θ) φ(θ) i φ jest estymowaną wartością φ (Varian (1975)). Bayesowski estymator φ(θ) względem LINEX funkcji straty (oznaczony przez φ BL ) wyraża się wzorem φ BL = 1 a ln ( E φ ( e aφ(θ))) zakładając, że E φ (e aφ(θ)) istnieje i jest skończona.

20 Bayesowskie estymatory względem asymetrycznych funkcji straty Bayesowski estymator względem uogólnionej entropijnej funkcji starty Uogólniona entropijna (GE) funkcja straty jest postaci: L( φ(θ), φ(θ)) ( φ(θ)/φ(θ)) q q ln( φ(θ)/φ(θ)) 1, (Soliman (2006)) i minimum przyjmuje w φ(θ) = φ(θ). Bayesowski estymator φ(θ) BGE dla φ(θ) względem GE funkcji straty jest postaci: φ BGE = [ E φ ( φ(θ) q )] 1 q zakładając, że E φ (φ(θ) q ) istnieje i jest skończona.

21 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Przypuśćmy teraz, że zaobserwowano m pierwszych ktych górnych wartości rekordowych Y (k) 1 = x (k) 1, Y (k) 2 = x (k) 2,..., Y m (k) = x m (k) pochodzących z próby o rozkładzie Rayleigha. Funkcja wiarogodności ma postać: ( m 1 L(x (k) θ) = k m = k m e kθ(x(k) i=1 m ) 2 m i=1 f (x (k) ) i ) 1 F (x (k) i ) 2θx (k) i gdzie x (k) = (x (k) 1, x (k) 2,..., x (k) m ). ( k m θ m e kθ [1 F (x m (k) )] k 1 f (x m (k) ) x (k) m ) 2, x (k) 1 < x (k) 2 <... < x m (k)

22 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha ML estymator parametru θ wyraża się wzorem ( Y (k) m θ (k,m) ML = m ( k Y (k) m ) 2. ) 2 ma rozkład gamma z parametrami (m, kθ) tj. oraz ( f ( x (k) m ) 2 θ) = (kθ) m Var( θ (k,m) ML θ) = Γ(m) ( ( x (k) m ) 2 ) m 1 e kθ (x (k) E( θ (k,m) ML θ) = mθ m 1, m > 1, m 2 θ 2 (m 1) 2 (m 2), m > 2. m ) 2

23 Klasyczne estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha ( Y m (k) ) 2 jest statystyką dostateczną i zupełną, zatem z twierdzeń Rao Blackwella i Lehmanna Scheffe wynika, że MVU estymator dla parametru θ dany jest wzorem z θ (k,m) MVU = ( m 1 ) 2, k Y (k) m E( θ (k,m) (k,m) MVU θ) = θ i Var( θ MVU θ) = θ2 m 2, m > 2.

24 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Zakładamy, że rozkład a priori ma postać π(θ) = βα Γ(α) θα 1 e βθ, θ > 0; α, β > 0. Natomiast rozkład a posteriori θ jest rozkładem gamma z ( ) 2 parametrami (m + α, k + β), danym przez Y (k) m π (θ x (k) ) = ( ( β + k x (k) m Γ(m + α) ) 2 ) m+α θ m+α 1 e ( ( β+k x (k) m ) 2 ) θ, θ > 0.

25 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator względem Sq funkcji straty Dla k=1 Dla m = 1 θ (k,m) B = θ (1,m) B = θ (1,1) B m + α ( β + k Y (k) m ) 2. m + α ( ) 2. β + Y (1) m = 1 + α β + X 2 1 jest estymatorem opisanym na próbie o rozmiarze 1. Nasze podejście pozwala otrzymać estymator dla θ używając próbki o rozmiarze k. Mianowicie, dla m = 1 mamy θ (k) B = 1 + α β + k (X 1:k ) 2.

26 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Jeżeli α i β dążą do zera, to estymator Bayesowski ˆθ (k,m) ML. ˆθ (k,m) B dąży do

27 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Jeżeli α i β dążą do zera, to estymator Bayesowski ˆθ (k,m) ML. ( ) 2 Rozkład brzegowy jest postaci Y (k) m ˆθ (k,m) B dąży do f ( ( ) ) 2 x m (k) = βα k m B(m, α) ( (x (k) m ) 2) m 1 (β + k(x (k) m ) 2 ) m+α, gdzie B(a, b) jest funkcją beta. (k,m) Dla Bayesowskiego estymatora ˆθ B mamy E(ˆθ (k,m) B ) = α (k,m), Var(ˆθ B ) = β αm (m + α + 1)β 2.

28 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Jeżeli α i β dążą do zera, to estymator Bayesowski ˆθ (k,m) ML. ( ) 2 Rozkład brzegowy jest postaci Y (k) m ˆθ (k,m) B dąży do f ( ( ) ) 2 x m (k) = βα k m B(m, α) ( (x (k) m ) 2) m 1 (β + k(x (k) m ) 2 ) m+α, gdzie B(a, b) jest funkcją beta. (k,m) Dla Bayesowskiego estymatora ˆθ B mamy E(ˆθ (k,m) B ) = α (k,m), Var(ˆθ B ) = β αm (m + α + 1)β 2.

29 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator parametru θ względem Sq-log funkcji straty ( θ (k,m) ( BLG [ψ(m = exp + α) ln β + k gdzie ψ(x) = d dx ln Γ(x). Y (k) m ) 2 )],

30 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator parametru θ względem Sq-log funkcji straty ( θ (k,m) ( BLG [ψ(m = exp + α) ln β + k gdzie ψ(x) = d dx ln Γ(x). E(ˆθ (k,m) BLG Var(ˆθ (k,m) BLG ) = α exp(ψ(m + α)) ) =, β(m + α) Y (k) m αm (exp(ψ(m + α)))2 (m + α) 2 (m + α + 1)β 2. ) 2 )],

31 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator θ BKL dla parametru θ względem DKL funkcji straty jest rozwiązaniem równania r ( θ (k,m) BKL ( θ (k,m) BKL + = ) r ln (k,m) θ BKL ) r r ( θ (k,m) BKL Γ(m + α + r) Γ(m + α) ( ( β + k ) ( r ψ(m + α) ln Y (k) m ) 2 ) r p.p. ( ( β + k Y (k) m ) 2 ))

32 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator postaci θ (k,m) BL θ (k,m) BL ( = 1 a ln β + k ( β + k względem LINEX funkcji straty jest Y m (k) ) 2 Y (k) m ) 2 + a α+m.

33 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator postaci θ (k,m) BL θ (k,m) BL ( = 1 a ln β + k ( β + k względem LINEX funkcji straty jest Y m (k) ) 2 Y (k) m ) 2 + a α+m E(ˆθ (k,m) (m + α) BL ) = (1 2 F 2 (1, α; 1, α + m; a ) a β ), Var(ˆθ (k,m) (m + α)2 BL ) = 2. ( ) n ( 1) n a β (α)n (ψ(n) ψ(1)) (1) n (α + m) n a 2 n=2 ( ( (m + α) 1 2 F 2 (1, α; 1, α + m; a )) 2 a β ), a β + kt (k) m < 1, p.p.

34 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator straty jest postaci θ (k,m) θ (k,m) BGE [ BGE = Γ(α + m) Γ(α + m q) parametru θ względem GE funkcji ] 1 q 1 ( β + k ( Y (k) m ) 2 ),

35 Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu Rayleigha Bayesowski estymator straty jest postaci θ (k,m) θ (k,m) BGE [ BGE = Γ(α + m) Γ(α + m q) parametru θ względem GE funkcji ] 1 q 1 ( β + k ( Y (k) m ) 2 ), ( ) E(ˆθ (k,m) Γ(m + α) 1/q BGE ) = α Γ(m + α q) β(m + α), ( ) Var(ˆθ (k,m) Γ(m + α) 2/q BGE ) = αm Γ(m + α q) (m + α) 2 (m + α + 1)β 2.

36 Ilustracja numeryczna Ilustracja numeryczna Wartość parametru θ = została wygenerowana z rozkładu gamma z parametrami α = 2.0 i β = 2.0. Wartość parametru skali a w LINEX funkcji straty i wartość q w GE funkcji straty są równe odpowiednio a = 3 i q = 5. Funkcję straty typu odległości Kullbacka-Leiblera bierzemy z r = 2, 3 i 4.

37 Ilustracja numeryczna TABELA 1. Estymatory θ (k,m), θ (k,m) ML MVU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE. θ = m k θ ML θ MVU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) BKL BKL BKL θ BL θ BGE θ (r) jest estymatorem θ(k,m) BKL BKL z r=2,3,4.

38 Ilustracja numeryczna

39 Ilustracja numeryczna TABELA 2. MSE estymatorów θ (k,m) ML, θ (k,m) MU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE m k θ ML θ MU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) BKL BKL BKL θ BL θ BGE θ (r) jest estymatorem θ(k,m) BKL BKL z r=2,3,4.

40 Ilustracja numeryczna

41 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Zakładamy, że zaobserwowaliśmy m pierwszych ktych dolnych wartości rekordowych Z (k) 1 = x (k) 1, Z (k) 2 = x (k) 2,..., Z m (k) = x m (k) pochodzących z próby o rozkładzie uogólnionym logistycznym typu I. Funkcja wiarogodności jest postaci gdzie L(θ x (k) ) [ ] kθ = k m m 1 + e x(k) m i=1 θe x(k) i 1 + e x(k) i k m θ m (k) kθt e m, x (k) 1 > x (k) 2 >... > x m (k), ( x (k) = (x (k) 1, x (k) 2,..., x m (k) ), T m (k) = ln 1 + e x(k) m ).

42 Estymatory parametru rozkładu logistycznego ML estymator θ ma postać ˆθ (k,m) ML = m kt m (k) E(ˆθ (k,m) ML θ) = mθ (k,m), Var(ˆθ ML θ) = (m 1) MVU estymator θ jest postaci ˆθ (k,m) MVU = m 1, kt m (k), m 2 θ 2 (m 1) 2 (m 2). E(ˆθ (k,m) MVU θ) = θ, Var(ˆθ (k,m) MVU θ) = θ 2 (m 2).

43 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowskie estymatory dla parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator względem Sq funkcji straty dla parametru rozkładu logistycznego ma postać ˆθ (k,m) B = m + α β + kt (k). Bayesowski estymator θ BLG względem Sq-log funkcji straty dla parametru θ jest postaci θ (k,m) BLG gdzie ψ(x) = d dx ln Γ(x). m exp(ψ(m + α)) = β + kt m (k),

44 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator θ BKL względem DKL funkcji straty parametry θ jest rozwiązaniem równania r ( θ (k,m) ) r (k,m) BKL ln θ BKL ( θ (k,m) ) r ( BKL ( r = Γ(m + α + p) Γ(m + α) ( θ + (k,m) ) r BKL ( )) ψ(m + α) ln β + kt m (k) ) r β + kt m (k), pp.

45 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator θ BKL względem DKL funkcji straty parametry θ jest rozwiązaniem równania r ( θ (k,m) ) r (k,m) BKL ln θ BKL ( θ (k,m) ) r ( BKL ( r = Γ(m + α + p) Γ(m + α) ( θ + (k,m) ) r BKL ( )) ψ(m + α) ln β + kt m (k) ) r β + kt m (k), pp. Bayesowski estymator θ BL względem LINEX funkcji straty dla θ ma formę θ (k,m) BL = 1 ( ) (k) α+m a ln β + kt m β + kt m (k). + a

46 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Bayesowski estymator θ BGE względem GE funkcji straty dla θ jest następujący [ BGE = Γ(α + m) Γ(α + m q) θ (k,m) ] 1 q 1 ( β + kt (k) m ).

47 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Ilustracja numeryczna Wartość parametru θ = została wygenerowana z rozkładu gamma z parametrami α = 2.0 i β = 2.0. Wartość parametru skali a w LINEX funkcji straty, i wartość q w GE funkcji straty są równe odpowiednio a = 3 i q = 5. DKL funkcję straty bierzemy z r = 2, 3 i 4.

48 Estymatory parametru rozkładu logistycznego TABELA 3. Estymatory θ (k,m), θ (k,m) ML MVU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE, θ = m k θ ML θ MVU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) θ BKL BKL BKL BL θ BGE

49 Estymatory parametru rozkładu logistycznego

50 Estymatory parametru rozkładu logistycznego TABELA 4. MSE estymatorów θ (k,m), θ (k,m) ML MVU, θ(k,m), θ (k,m) B BLG, θ(k,m) BKL, θ(k,m), θ (k,m) BL BGE. m k θ ML θ MVU θ B θ BLG θ (2) θ (3) θ (4) BKL BKL BKL θ BL θ BGE

51 Estymatory parametru rozkładu logistycznego Literatura: Dziubdziela, W. and Kopociński, B. (1976). Limiting properties of the k-th record values. Appl. Math. 15: Dey, D. K., Ghosh, M. and Srinivasan, C. (1987). Simultaneous estimation of parameters under entropy loss. J. Statist. Plann. Infer. 25: Ferguson, T.S (1967). Mathematical Statistics. Academic Press, New York and London, England. Soliman, A. A. (2006). Estimators for finite mixture of Rayleigh model based on progressively censored date. Commun. Statist. Theor. Meth. 32: Varian, H.R. (1975). A Bayesian approach to real estate assessment. Amsterdam: North Holland

52 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

53 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

54 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

55 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

56 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

57 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

58 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

59 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

60 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

61 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

62 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

63 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

64 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

65 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

66 Estymatory parametru rozkładu logistycznego DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

67 Estymatory parametru rozkładu logistycznego

Uogolnione modele liniowe

Uogolnione modele liniowe Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa

SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa Wrocław University of Technology SPOTKANIE 3: Regresja: Regresja liniowa Adam Gonczarek Studenckie Koło Naukowe Estymator adam.gonczarek@pwr.wroc.pl 22.11.2013 Rozkład normalny Rozkład normalny (ang. normal

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. { 1, jeżeli ˆr(x) > 0, pozatym. Regresja liniowa Regresja logistyczne Jądrowe estymatory gęstości. Metody regresyjne

Wprowadzenie. { 1, jeżeli ˆr(x) > 0, pozatym. Regresja liniowa Regresja logistyczne Jądrowe estymatory gęstości. Metody regresyjne Wprowadzenie Prostym podejściem do klasyfikacji jest estymacja funkcji regresji r(x) =E(Y X =x)zpominięciemestymacjigęstościf k. Zacznijmyodprzypadkudwóchgrup,tj.gdy Y = {1,0}. Wówczasr(x) =P(Y =1 X =x)ipouzyskaniuestymatora

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 Ryszard Zieliński XXXVIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 ESTYMACJA FRAKCJI W populacji składającej się z N elementów jest nieznana liczba M elementów

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Jądrowe klasyfikatory liniowe

Jądrowe klasyfikatory liniowe Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 i 3 Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną

Bardziej szczegółowo

Własności porządkowe w modelu proporcjonalnych szans

Własności porządkowe w modelu proporcjonalnych szans Własności porządkowe w modelu proporcjonalnych szans Wisła, 8 grudnia 2009 Oznaczenia Wprowadzenie Oznaczenia Porządki stochastyczne Klasy rozkładów czasu życia X F, Y G zmienne losowe o gęstościach f

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ), Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie

Bardziej szczegółowo

Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych

Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych Łukasz Wawrowski l.wawrowski@stat.gov.pl Urząd Statystyczny w Poznaniu SKN Estymator, UEP 5.03.2012 1 Wprowadzenie Podstawowe pojęcia Badanie 2 Estymator

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

BAYESOWSKA ANALIZA KRAŃCOWEJ SKŁONNOŚCI DO KONSUMPCJI

BAYESOWSKA ANALIZA KRAŃCOWEJ SKŁONNOŚCI DO KONSUMPCJI Bayesowska analiza krańcowej skłonności do konsumpcji STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 9 MARIUSZ DOSZYŃ Uniwersytet Szczeciński BAYESOWSKA ANALIZA KRAŃCOWEJ SKŁONNOŚCI DO KONSUMPCJI

Bardziej szczegółowo

Rynek, opcje i równania SDE

Rynek, opcje i równania SDE Rynek, opcje i równania SDE Adam Majewski Uniwersytet Gdański kwiecień 2009 Adam Majewski (Uniwersytet Gdański) Rynek, opcje i równania SDE kwiecień 2009 1 / 16 1 Rynek, portfel inwestycyjny, arbitraż

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa

Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Wykład z analizy danych: estymacja punktowa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Cel wykładu Model statystyczny W pewnej zbiorowości (populacji generalnej) obserwowana jest pewna cecha

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej Ekonometria Modelowanie zmiennej jakościowej Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 8 Zmienna jakościowa 1 / 25 Zmienna jakościowa Zmienna ilościowa może zostać zmierzona

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Metody bootstrapowe w statystyce

Metody bootstrapowe w statystyce Metody bootstrapowe w statystyce Instytut Matematyki, Uniwersytet Gdański 2013-02-09 Szkic wystąpienia 1 Podstawowe zagadnienia i problemy statystyki 2 Opis metody bootstrap 3 Zastosowania metody bootstrap

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1 LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku w Lokalnie Ergodycznym Środowisku Tymoteusz Chojecki UMCS, Lublin Tomasz Komorowski IMPAN, Warszawa Kościelisko, 10 września 2016, XLV Konferencja Zastosowań Matematyki T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie

Bardziej szczegółowo

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Estymacja w regresji nieparametrycznej

Estymacja w regresji nieparametrycznej Estymacja w regresji nieparametrycznej Jakub Kolecki Politechnika Gdańska 28 listopada 2011 1 Wstęp Co to jest regresja? Przykład regresji 2 Regresja nieparametryczna Założenia modelu Estymacja i jej charakterystyki

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyczne

Rozkłady statystyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 23 października 2008 Agenda 1 Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami... 2 Przegląd rozkładów ciągłych, 3, 4 Rozkład beta, 5 Rozkład wielowymiarowy.

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Dane kategoryczne

Wykład 8 Dane kategoryczne Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy estymacji stanu (filtry)

Algorytmy estymacji stanu (filtry) Algorytmy estymacji stanu (filtry) Na podstawie: AIMA ch15, Udacity (S. Thrun) Wojciech Jaśkowski Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska 21 kwietnia 2014 Problem lokalizacji Obserwowalność? Determinizm?

Bardziej szczegółowo

Niepewność wartości parametrów przy wycenie nieproporcjonalnych kontraktów reasekuracyjnych.

Niepewność wartości parametrów przy wycenie nieproporcjonalnych kontraktów reasekuracyjnych. Niepewność wartości parametrów przy wycenie nieproporcjonalnych kontraktów reasekuracyjnych. Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne Teoria i Praktyka, Warszawa 9-11 czerwca 2008 Jakub

Bardziej szczegółowo

METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE

METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Dominik Krężołek Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Wprowadzenie Procesy i zjawiska ekonomiczne obserwowane

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: STATYSTYKA W MODELACH NIEZAWODNOŚCI I ANALIZIE PRZEŻYCIA Nazwa w języku angielskim: STATISTICS IN RELIABILITY MODELS AND

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą

Bardziej szczegółowo

Operatory samosprzężone

Operatory samosprzężone Operatory samosprzężone grudzień 2013 Operatory samosprzężone Operatory hermitowskie (3.29) (g, Lf) = (Lg, f) albo (3.30) g (x){l(x)f(x)}w(x)dx = {L(x)g(x)} f(x)w(x)dx. (Użyliśmy nawiasu klamrowego jako

Bardziej szczegółowo

estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń

estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń Łukasz Wawrowski, Maciej Beręsewicz 12.06.2015 Urząd Statystyczny w Poznaniu, Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej

Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej RYSZARD ZIELIŃSKI Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej Zadania zweryfikowała oraz wskazówkami i rozwiązaniami uzupełniła Agata Boratyńska WARSZAWA 2004 Siedem wykładów wprowadzających

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

Metody oceny ryzyka operacyjnego

Metody oceny ryzyka operacyjnego Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa

Bardziej szczegółowo

Spis wszystkich symboli

Spis wszystkich symboli 1 Spis wszystkich symboli Symbole podstawowe - pojedyncze znaki, alfabet grecki α β γ Γ δ ξ η ε ϕ ν ρ τ θ Θ ψ Ψ φ Φ Ω Υ Σ -alfa -beta - gamma - gamma (duże) - delta (małe) - delta (duże) -ksi -eta - epsilon

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Część II Estymacja 41

Część II Estymacja 41 Część II Estymacja 41 Rozdział 3 Metody estymacji W statystyce matematycznej zakładamy, że rozkład prawdopodobieństwa opisujący doświadczenie należy do rodziny {P θ : θ Θ}, ale nie znamy parametru θ.

Bardziej szczegółowo