PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009

Transkrypt

1 Ryszard Zieliński XXXVIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009

2 ESTYMACJA FRAKCJI W populacji składającej się z N elementów jest nieznana liczba M elementów wyróżnionych W statystycznej kontroli jakości: oszacowanie wadliwości (frakcji sztuk wadliwych) w partii produktów lub w procesie produkcyjnym Medycyna, np, szacowanie frakcji tych pacjentów z udarem mózgu, u których wcześniej wystąpił określony zespół symptomów

3 Problem Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z nieznanym prawdopodobieństwem sukcesu θ : P θ {X = 1} = θ = 1 P θ {X = 0}, 0 < θ < 1 X 1, X 2,, X n próba losowa, S n = n j=1 X j minimalna zupełna statystyka dostateczna Obserwacja: S n Interesuje nas ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA parametru θ

4 DEFINICJA Losowy przedział ( ) θ(s n ), θ(s n ) nazywamy przedziałem ufności dla parametru θ na poziomie ufności γ jeżeli P θ {θ(s n ) θ θ(s n )} γ dla każdego θ (0, 1)

5 OGÓLNA KONSTRUKCJA PRZEDZIAŁU UFNOŚCI w modelach parametrycznych Obserwacja X ma rozkład z parametrem θ

6 X P θ {X S θ } γ S θ θ Ogólna konstrukcja przedziału ufności Θ

7 X D = {(x, θ) : x S θ, θ Θ} D S θ θ Ogólna konstrukcja przedziału ufności Θ

8 X T x = {θ : x S θ } D x S θ T x θ Ogólna konstrukcja przedziału ufności Θ

9 Mamy z tej konstrukcji θ T x x S θ Zatem dla każdego θ Θ: P θ {θ T X } = P θ {X S θ } γ

10 Przykład: rozkład jednostajny U(0, θ) ( ) 1 + γ 1/n ( ) 1 γ 1/n θ 1 = x, θ 2 = x 2 2 ( 1+γ 2 )1/nθ ( 1 γ 2 )1/nθ 0 x θ 1 θ 2

11 S n θ Konstrukcja przedziału ufności dla frakcji (n = 10, γ = 095)

12 S n θ Konstrukcja przedziału ufności dla frakcji (n = 10, γ = 095)

13 ( ) k n θ j (1 θ) n j = B(n k, k + 1; 1 θ), j j=0 k = 0, 1,, n

14 Rozkład beta B(α, β; t) = Γ(α + β) t u α 1 (1 u) β 1 du Γ(α)Γ(β) 0

15 Rozkład beta B(α, β; t) = Γ(α + β) t u α 1 (1 u) β 1 du Γ(α)Γ(β) 0 Γ(α + β) B 1 (α,β;γ) u α 1 (1 u) β 1 du = γ Γ(α)Γ(β) 0

16 ( B 1( S n, n S n + 1; 1 γ 2 ), B 1( S n + 1, n S n ; 1 + γ ) ) 2

17 ( B 1( S n, n S n + 1; 1 γ 2 ), B 1( S n + 1, n S n ; 1 + γ ) ) Prawdopodobieństwo pokrycia przedziałem Neymana (n = 20, γ = 09)

18 ( B 1( S n, n S n + 1; 1 γ 2 ), B 1( S n + 1, n S n ; 1 + γ ) ) 2 Tablice rozkładu beta ( ) k n θ j (1 θ) n j = B(n k, k + 1; 1 θ), k = 0, 1,, n, j j=0 Tablice rozkładu dwumianowego Nomogramy przedziałów ufności Nomogramy rozkładu beta

19 PRZEDZIAŁY ASYMPTOTYCZNE { } ˆθ n θ ( x) P θ x Φ(x), θ(1 θ)/n n ( ) ˆθ n = S n /n

20 PRZEDZIAŁY ASYMPTOTYCZNE { } ˆθ n θ ( x) P θ x Φ(x), θ(1 θ)/n n ( ) ˆθ n = S n /n Dla dużych n zmienna losowa (ˆθ n θ)/ θ(1 θ)/n ma W PRZYBLIŻENIU rozkład normalny N(0, 1)

21 PRZEDZIAŁY ASYMPTOTYCZNE { } ˆθ n θ ( x) P θ x Φ(x), θ(1 θ)/n n ( ) ˆθ n = S n /n Dla dużych n zmienna losowa (ˆθ n θ)/ θ(1 θ)/n ma W PRZYBLIŻENIU rozkład normalny N(0, 1) Inna szkoła uznaje, że (ˆθ n θ)/ ˆθ n (1 ˆθ n )/n ma asymptotyczny rozkład normalny N(0, 1) ( x) P θ ˆθ n θ x ˆθ n (1 ˆθ Φ(x), n )/n n

22 Oznaczenia γ z 1+γ 2 q z q

23 { } ˆθn θ P N(0,1) z 1+γ = γ θ(1 θ)/n 2 ( n n+z 2 (1+γ)/2 n n+z 2 (1+γ)/2 ˆθ n + z2 (1+γ)/2 2n ˆθ n + z2 (1+γ)/2 2n z (1+γ)/2 +z (1+γ)/2 ˆθ n (1 ˆθ n ) ( z ) (1+γ)/2 2 +, n 2n ˆθ n (1 ˆθ n ) + n ( z (1+γ)/2 2n ) ) 2

24 P N(0,1) ˆθ n θ ˆθ n (1 ˆθ n )/n z 1+γ 2 = γ ( ) ˆθ n (1 ˆθ n ) ˆθ n (1 ˆθ n ) ˆθ n z (1+γ)/2, ˆθ n + z n (1+γ)/2 n

25 Typowe prawdopodobieństwo pokrycia przedziałem asymptotycznym

26 Udoskonalenia : θ z (1+γ)/2 θ(1 θ) n + b(s n ), θ(1 θ) θ + z (1+γ)/2 n + b(s n ) gdzie oraz θ = S n + a(s n ) n + b(s n ) (1/2, 5/4), gdy S n = 0, (1, 7/4), gdy S n = 1, (a, b)(s n ) = (3/4, 7/4), gdy S n = n 1, (3/4, 5/4), gdy S n = n, (3/4, 3/2), poza tym

27 Udoskonalenia Stosować przedział asymptotyczny Walda wtedy, gdy nˆθ n 5 oraz n(1 ˆθ n ) 5

28 Kłopot z przybliżeniem asymptotycznym Wprawdzie { } ˆθ n θ ( x) P θ x Φ(x), n, θ(1 θ)/n ale n θ { } ˆθ n θ P θ 0 Φ(0) > 1 θ(1 θ)/n 4

29 DOKŁADNE PRZEDZIAŁY UFNOŚCI W Excelu (polska wersja Microsoft Excel 2002) robi się to na przykład tak: wpisuje się n do komórki A1, S n do komórki A2, γ do komórki A3 i wtedy dolną granicę przedziału ufności otrzymuje się za pomocą formuły ROZKŁADBETAODW((1 A3)/2; A2; A1 A2 + 1) oraz górną za pomocą formuły ROZKŁADBETAODW((1 + A3)/2; A2 + 1; A1 A2)

30 DOKŁADNE PRZEDZIAŁY UFNOŚCI W pakiecie Statistica obliczenia realizuje się za pomocą funkcji VBeta((1 γ)/2, S n, n S n + 1) oraz VBeta((1 + γ)/2, S n + 1, n S n ) odpowiednio dla dolnej i dla górnej granicy przedziału ufności

31 DOKŁADNE PRZEDZIAŁY UFNOŚCI W pakiecie Mathematica dla dolnej i górnej granicy mamy, odpowiednio, Quantile[BetaDistribution[S n, n S n + 1], (1 γ)/2] oraz Quantile[BetaDistribution[S n + 1, n S n ], (1 + γ)/2]

32 DOKŁADNE PRZEDZIAŁY UFNOŚCI W środowisku R możemy to zrealizować za pomocą funkcji qbeta((1 γ)/2, S n, n S n + 1) oraz qbeta((1 + γ)/2, S n + 1, n S n )

33 Wszędzie tam, gdzie nie mamy bezpośredniego dostępu do kwantyli rozkładu beta, możemy korzystać z kwantyli rozkładu F : B 1 (α, β; q) = α α + βf 1 (2β, 2α; q), F 1 (2β, 2α; q) - kwantyl rzędu q rozkładu F z (2β, 2α) stopniami swobody

34 Jarosław Bartoszewicz (1996): Wykłady ze statystyki matematycznej PWN Dobiesław Bobrowski, Krystyna Maćkowiak-Łybacka (2006): Wybrane metody wnioskowania statystycznego Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej