RÓWNANIE ADMITANCYJNE I IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA

Transkrypt

1 Czwórniki... RÓWNANE ADMTANCYJNE MPEDANCYJNE CZWÓRNKA Na rysunku przedstawiony jest obwód liniowy z wydzielonymi gałęziami '- i '-. Przyjęto taką numerację oczek niezaleŝnych, Ŝe prąd płynący w pierwszym jest prądem wejściowym, a prąd płynący w drugim prądem wyjściowym. Nie występują zmiany komutacyjne (załączenia, przełączenia, odłączenia i zwarcia) oraz elementy pasywne czwórnika są stałe w czasie (stacjonarność). Rys.. Obwód z wydzielonymi gałęziami wejściową -' i wyjściową -'. Układ równań oczkowych Maxwella ma przy zapisie symbolicznym następującą postać: Z Z... ZN U Z Z... Z N U = Z Z... Z 0 N N NN N Metodą wyznaczników moŝna obliczyć prądy, = U U = U U NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe w symetrii wyznacznika głównego względem głównej przekątnej wynika równość = (zasada wzajemności).

2 Czwórniki... PowyŜsze równania nazywa się równaniami admitancyjnymi czwórnika i są one zapisywane w następującej postaci: = Y U +Y U = Y U + Y U lub Y Y U = Y Y U Rozwiązując te równania względem napięć U i U otrzymuje się równania impedancyjne czwórnika, które wyglądają następująco:. U = Z Z U = Z Z U Z Z = U Z Z

3 Czwórniki... 3 Z U = dla = 0 mpedancja mierzona między zaciskami wejściowymi przy rozwartych zaciskach '-. Z U = dla = 0 mpedancja mierzona między zaciskami wejściowymi przy rozwartych zaciskach '-. Z U = dla = 0 Transmitancja napięciowo-prądowa przy rozwartych zaciskach '-. Z U = dla = 0 Transmitancja napięciowo-prądowa przy rozwartych zaciskach '-.

4 Czwórniki... 4 RÓWNANA ŁAŃCUCHOWE CZWÓRNKA. PARAMETRY ABCD. Przekształcając równania: = U U = U U otrzymujemy następującą zaleŝność wielkości wejściowych od wielkości wyjściowych: U = U + = U + U A B U = C D Uwzględniając równość = otrzymujemy następujący związek dla parametrów łańcuchowych ABCD: AD - BC = Wynika stąd waŝna własność czwórnika liniowego pasywnego: spośród czterech parametrów tylko trzy są niezaleŝne. Dodatkowo spełnienie zaleŝności AD - BC = jest warunkiem odwracalności czwórnika. W przypadku czwórnika symetrycznego zachodzi dodatkowo: A = D.

5 Czwórniki... 5 ZASLANE CZWÓRNKA OD STRONY ZACSKÓW WYJŚCOWYCH. Rozpatrzmy dwa układy podane na rysunku: Rys.. Czwórnik zasilany od zacisków -', a następnie od -'. Dla układu zasilanego od strony zacisków '- otrzymuje się następujące równania łańcuchowe (AD - BC = ): U = AU + B = CU + D Przenosząc zasilanie do zacisków '- i podłączając obciąŝenie do zacisków ', otrzymuje się po zmianie oznaczeń: U = AU B U = DU + B = CU D = CU + A Oznacza to zmianę w równaniach stałych A i D miejscami. W czwórnikach symetrycznych A = D i równania nie ulegną zmianie. Przy powyŝszych przekształceniach wykorzystany został warunek odwracalności czwórnika tzn. AD - BC =.

6 Czwórniki... 6 MPEDANCJA FALOWA STAŁA PRZENOSZENA CZWÓRNKA SYMETRYCZNEGO. Jeśli impedancja odbiornika załączonego do zacisków wyjściowych czwórnika symetrycznego Z C ma tę własność, Ŝe równa impedancji wejściowej czwórnika Z, to impedancję taką nazywamy impedancją falową. Rys. 3. Czwórnik obciąŝony impedancją falową. Równania łańcuchowe w zapisie symbolicznym: U = AU + B = CU + A Z C U U AU + B AZ + B CU + A CZ + A C = = = = C mpedancja falowa (charakterystyczna) określona jest wzorem: B e jϕ ZC = = ZC C Przy obciąŝeniu czwórnika symetrycznego impedancją falową stosunek napięć na wejściu i wyjściu jest równy stosunkowi prądów na wejściu i wyjściu: U B = A + B = A + = A + BC = e U U Z C U = C + A = CZC + A = BC + A = e γ γ Stałą przenoszenia określa się równaniem: γ e = A + BC; γ = α + j β, przy czym: α - współczynnik tłumienia amplitud przebiegów sinusoidalnych napięć lub prądów przy przejściu ich przez czwórnik. β - zmiana kąta przesunięcia fazowego tych przebiegów.

7 Czwórniki... 7 W stanie dopasowania falowego moce czynne doprowadzane do wejścia czwórnika i pobrane z wyjścia wynoszą: P = U cosϕ P = U cosϕ Z c = Z c e iϕ Stosunek mocy wynosi: P U = = e e = e P U α α α Jeśli w czwórniku występują straty energii, współczynnik tłumienia jest dodatni. mpedancja wejściowa czwórnika wynosi dla róŝnych impedancji obciąŝenia: AZ + B Z =, U = Z we CZ + A W stanie zwarcia Z = 0, a w stanie biegu jałowego Z = Otrzymuje się następujące zaleŝności: Z 0 = A/C ; Z Z = B/A Z B = = C Z Z C 0 Z γ e = A+ BC, γ γ e + e chγ = = A= Z0 Z Z 0 Z γ A BC A BC e = = = = ; A BC A+ BC A+ BC A BC A BC ( )( ) γ γ e e B sh γ = = BC = = CZC; Z C a stąd równania łańcuchowe czwórnika w postaci hiperbolicznej : U = U chγ + Z C U = shγ + Z C shγ chγ

8 Czwórniki... 8 CZWÓRNK ELEMENTARNE Równania łańcuchowe i macierz łańcuchowa takiego czwórnika: U = U = 0 A = 0

9 Czwórniki... 9 CZWÓRNK JEDNOELEMENTOWE ORAZ TRANSFORMATOR DEALNY Czwórnik jednoelementowy z impedancją włączoną szeregowo : U = U +Z = macierz łańcuchowa takiego czwórnika: Z A = 0 Jeśli Z =0 otrzymujemy dla połączenia nieskrzyŝowanego dwóch przewodów macierz łańcuchową : 0 A = 0 zaś dla połączenia skrzyŝowanego dwóch przewodów : 0 A = 0

10 Czwórniki... 0 Czwórnik jednoelementowy z impedancją (admitancją) włączoną równolegle : U = U = Y U + macierz łańcuchowa : 0 A = Y Transformator idealny : U =n U =/n macierz łańcuchowa : n 0 A = 0 n CZWÓRNK TYPU :, Γ, T oraz Π Czwórnik typu Γ : macierz łańcuchowa : 0 Z A = Y 0 Z A = + Y ZY

11 Czwórniki... Czwórnik typu : macierz łańcuchowa : Z 0 A = 0 Y + ZY Z A = Y Czwórnik typu T : macierz łańcuchowa : Z Z A = + 0 Y ZY Y = C ; Z = (A -)/C ; + ZY Z + Z + ZZ Y A = + Y ZY Z = (D -)/C Czwórnik typu Π: macierz łańcuchowa : 0 + ZY Z A = Y Y + ZY Z A = Y + Y + Y Y Z + ZY Z = B ; Y = (D -)/B ; Y = (A -)/B

12 Czwórniki... CZWÓRNK TYPU T i Π (inny sposób). Dla podanego na rysunku czwórnika typu T z praw Kirchhoffa otrzymuje się równania: = + Y 0 (Z + U ) ; U = Z + Z + U Z tych równań otrzymuje się takie same równania łańcuchowe: U + Z Y Z + Z + Z Z Y 0 0 U = Y + Z Y 0 0 Dla czwórnika symetrycznego Z = Z A = D =+Z Y 0. Dodatkowo wyznacznik macierzy łańcuchowej jest równy jedności. A D B C = ( + Z Y 0 )( + Z Y 0 ) - Y 0 (Z + Z + Z Z Y 0 ) Dla podanego na rysunku czwórnika typu Π obliczenia przeprowadza się mnoŝąc macierze połączonych łańcuchowo czwórników elementarnych: A B 0 Z0 0 + Z0Y Z0 C D = Y 0 Y = Y + Y + Y Y Z0 + Z0Y

13 Czwórniki... 3 ŁAŃCUCH CZWÓRNKÓW SYMETRYCZNYCH. Jak pokazano wcześniej, dla czwórnika symetrycznego moŝna parametry łańcuchowe uzaleŝnić od funkcji hiperbolicznych współczynnika przenoszenia i od impedancji falowej: γ e = A + BC, chγ = A e γ = = A A BC BC shγ = BC Z = + C B C Przekształcając powyŝsze równania otrzymujemy: A = ch γ ; B = Z C sh γ ; C = Z C - sh γ. Łańcuchem czwórników nazywamy kaskadowy układ czwórników, w którym zaciski wyjściowe pierwszego czwórnika są połączone z zaciskami wejściowymi drugiego itd. RozwaŜmy łańcuch złoŝony z n jednakowych czwórników symetrycznych o parametrach łańcuchowych A,B,C, impedancji falowej Z C i stałej przenoszenia γ: MoŜna wykazać, Ŝe parametry łańcuchowe całego połączenia określone są przez: n chγ ZCshγ chnγ ZCshnγ U = γ Un + = γ Un + sh γ shn + γ ch n chn n+ ZC ZC Jeśli na wyjściu ostatniego czwórnika załączymy impedancję falową, to zachodzi: U U U U U... 3 n n+ = = = = = = 3 n n+ U U U3 Un γ U = = =... = = e = e U U U U U 3 4 n+ n+ 3 n γ = = =... = = e = e 3 4 n+ n+ Oznacza to, Ŝe wypadkowy czwórnik określony jest przez impedancję falową Z C i stałą przenoszenia równą nγ zgodnie z równaniem zapisanym macierzowo powyŝej. Z C nγ nγ

14 METODY ŁĄCZENA CZWÓRNKÓW Czwórniki... 4 Kaskadowe (łańcuchowe) połączenie czwórników: czwórniki składowe opisujemy łańcuchowo, a wypadkową macierz łańcuchową otrzymujemy przez pomnoŝenie przez siebie macierzy łańcuchowych poszczególnych czwórników : jeśli U A' B' U = C ' D' oraz U A" B" U3 = C " D " 3 to : U A' B' A" B" U3 = C ' D' C " D " 3

15 Kaskadowe łączenie czwórników opisanych parametrami charakterystycznymi Czwórniki... 5 (impedancja falowa, współczynnik przenoszenia) : równania łańcuchowe z parametrami charakterystycznymi : U = Z Z U C C oraz e γ U = Z Z U C 3 3C e to otrzymujemy : γ U = Z Z U C 3 3C e γ + γ

16 Czwórniki... 6 Równoległe łączenie czwórników U = U ' = U '' ; U = U ' = U '' = '+ '' ; = '+ '' Czwórnik opisujemy za pomocą macierzy admitancyjnych : ' ' ' Y Y U = ' ' ' Y U Y oraz " " " Y Y U = " " " Y U Y to otrzymujemy : ' " ' ' " " Y Y U Y Y U = + = ' " ' ' " " U + Y Y Y U = Y ' ' " " Y U Y Y Y = + ' ' " " Y U Y Y Y ' " ' " Y + Y Y + Y U = ' " ' " U Y + Y Y + Y

17 Czwórniki... 7 Łączenie czwórników szeregowe = ' = '' ; = ' = '' U = U '+U '' ; U = U '+U '' Czwórnik opisujemy za pomocą macierzy impedancyjnych : U Z Z ' ' ' ' = ' ' U Z Z oraz U Z Z " " " " = " " U Z Z to otrzymujemy : ' " ' ' " " U U U Z Z Z Z ' " ' ' " " U = + = + = U U Z Z Z Z Z Z Z Z = + ' ' " " ' ' " " Z Z Z Z ' " ' " U Z + Z Z + Z ' " ' " U = Z + Z Z + Z

18 Łączenie czwórników szeregowo - równoległe Czwórniki... 8 U = U '+U '' ; U = U ' = U '' = ' = '' ; = '+ '' Czwórnik opisujemy za pomocą macierzy hybrydowych : ' ' ' U h h ' = ' ' h h U oraz " " " U h h " = " " h h U to otrzymujemy : ' " ' " U h + h h + h ' " ' " = h + h h + h U Parametry hybrydowe tranzystora (przy przeciwnym strzałkowaniu prądu): U = h + h U U U, h =, h =, h =, h = = h + hu U U U = 0 = 0 U = 0 = 0

19 NWERTERY MPEDANCYJNE ZaleŜności ogólne Czwórniki... 9 dealny inwerter impedancyjny jest czwórnikiem aktywnym, w którym po dołączeniu do jednej pary zacisków impedancji Z 0 impedancja widziana z drugiej strony zacisków jest odwrotna do Z 0 dla wszystkich pulsacji. Zachodzi więc równość: Z we = (A Z 0 (s) + B)/(C Z 0 (s) + D) = K i (s) / Z 0 (s). Aby powyŝsze równanie było prawdziwe musi być spełniony warunek : A = D = 0 Współczynnik inwersji jest funkcją wymierną rzeczywistą określoną zaleŝnością : K i (s) = B(s) / C(s) Jeśli w inwerterze zamienimy wejście z wyjściem, to zachodzi : Z we ' = (D Z 0 (s) + B)/(C Z 0 (s) + A) = B / C Z 0 (s) = K i (s) / Z 0 (s) = Z we, zatem idealny inwerter odwraca impedancję w obydwu kierunkach z tym samym współczynnikiem inwersji.

20 Czwórniki... 0 nwerter ujemnoimpedancyjny (Negative mpedance inverter - NV) Jest to taki inwerter, w którym współczynnik inwersji jest liczbą ujemną. Zatem impedancja wejściowa takiego inwertera wynosi: Z we = - K i (s) / Z 0 (s) ; gdzie: K i > 0 ; Element NV moŝe być zrealizowany za pomocą dodatnich i ujemnych impedancji połączonych w czwórniki kształtu T lub Π. Macierz łańcuchowa przyjmuje postać : 0 Z A = ± 0 Z Zatem impedancja wejściowa wyraŝa się wzorem : Z we = - Z / Z 0 Element NV moŝna takŝe zrealizować przez łańcuchowe połączenie idealnego Ŝyratora i elementu NC odpowiedniego typu.

21 Czwórniki... nwerter impedancji dodatniej (Positive mpedance inverter - PV) Jest to taki inwerter, w którym współczynnik inwersji jest liczbą dodatnią. Jeśli we wzorze na współczynnik inwersji K i (s) = B(s) / C(s) przyjmiemy, Ŝe: B = R oraz C = /R = G to otrzymujemy Ŝyrator idealny, którego współczynnik inwersji wynosi: K i = B / C = R = / G gdzie: R - rezystancja Ŝyracji ; G - konduktancja Ŝyracji

22 KONWERTERY MPEDANCYJNE Czwórniki... dealny konwerter impedancyjny to taki czwórnik, który przekształca impedancję Z 0 (s) dołączoną do wyjścia w inną impedancję proporcjonalną do Z 0 (s) dla wszystkich pulsacji; tzn. impedancja wejściowa takiego czwórnika jest proporcjonalna do impedancji obciąŝenia. Dla czwórnika o kierunkach prądów określonych jak na rysunku: równania łańcuchowe mają postać : U = AU + B = CU + D stąd: Z we = U / = (A U + B ) / (C U + D ) = = (A(Z 0 (s) + B )/(C(Z 0 (s) ) + D ) = = (A Z 0 (s) + B) / (C Z 0 (s) + D) Dla idealnego konwertera impedancji : Z we = K(s)Z 0 (s), gdzie K(s) jest współczynnikiem konwersji Z tych wzorów wynika, Ŝe dla idealnego konwertera impedancji : B = C = 0 zaś współczynnik konwersji wynosi : K(s) = A / D

23 Czwórniki... 3 Jeśli w konwerterze impedancji zamienimy miejscami wejście i wyjście to impedancja wejściowa wynosi: Z we = (D Z 0 (s) + B) / (C Z 0 (s)+a) = (D / A) Z 0 (s) = Z 0 (s) / K(s) W analizie układów aktywnych często korzysta się z postaci hybrydowej. Wychodząc z równań konwertera w postaci łańcuchowej : U = AU ; = D dostajemy : U = AU ; = /D stąd w postaci macierzowej : U 0 h = h 0 U h = A ; h = /D skąd współczynnik konwersji K(s) = h h Uogólniony konwerter impedancji (Generalized mpedance Converter) Współczynnik konwersji definiowany jest zaleŝnością : K(s) = - Z α ( s)/z β (s) gdzie: Z α (s), Z β (s) - impedancje operatorowe WyróŜnia się dwie klasy GC :. GC z inwersją napięcia, tzw. VGC, opisany układem równań : U = - (Z α (s) / Z ß (s)) U =. GC z inwersją prądów, tzw. CGC, opisany układem równań : U = U = -(Z α ( s)/z ß (s))

24 Czwórniki... 4 Konwerter ujemnoimpedancyjny (Negative mpedance Converter). Jest to szczególny przypadek GC w którym współczynnik konwersji jest ujemny, tzn : Z we = - K Z 0 ; gdzie K Z 0 > 0 Dla NC z inwersją prądów stosujemy oznaczenie CNC i opisujemy łańcuchowym układem równań: lub hybrydowym : U 0 U = 0 K U 0 = K 0 U NC z inwersją napięcia oznaczamy przez VNC i opisujemy łańcuchowym układem równań: lub hybrydowym : U K 0 U = 0 U 0 K = 0 U Realizację NC najwygodniej jest przeprowadzić na bazie źródeł sterowanych.

25 Czwórniki... 5 VNC moŝna zrealizować wykorzystując źródło napięcia sterowane napięciem wejściowym (VVT) : Dla tego przypadku zachodzą równania : - = 0 U (-µ)- U = 0 Układ ten moŝna zapisać w postaci łańcuchowej : U K 0 U = 0 gdzie: K = /(µ - ) Warunek realizowalności VNC: K > 0 oznacza, Ŝe µ >.

26 Czwórniki... 6 CNC moŝna zrealizować na bazie źródła prądu sterowanego prądem wejściowym : Dla tego przypadku zachodzą równania : U = U - - α = 0 lub postaci łańcuchowej : gdzie: K = α -. Warunek realizowalności : α > U 0 U = 0 K

27 Czwórniki... 7 Praktyczna realizacja elementu CNC ze wzmacniaczem operacyjnym: Dla idealnych własności wzmacniacza zachodzą równości : U = U (-) = U (+) = U ; i (-) = i (+) = 0 Dokonujemy bilansu napięć : U U R R = 0 stąd : = - R /R oraz : U = U. W postaci łańcuchowej : U 0 U = R 0 R Zatem współczynnik konwersji wynosi : K = R /R

28 Czwórniki... 8 Konwerter dodatnioimpedancyjny (Positive mpedance Converter) Jest to taki przypadek GC w którym współczynnik konwersji jest dodatni. Równania opisujące PC : U = k U = (/k ) gdzie: k k > 0 Współczynnik konwersji wynosi K = k k >0 W szczególnym przypadku gdy k = k = n; idealnym o przekładni n : PC jest transformatorem Układ równań dla tego konwertera : U = n U = ( / n) Współczynnik konwersji wynosi : K = n

29 Czwórniki... 9 śyrator Własności Ŝyratora idealnego śyratorem jest element PV, którego współczynnik inwersji wynosi : K i = B / C = R = / G gdzie R - rezystancja Ŝyracji, G - konduktancja Ŝyracji Oznaczanie Ŝyratora: Opis Ŝyratora idealnego przy pomocy macierzy: łańcuchowej: admitancyjnej : 0 R A = G 0 0 G Y = G 0 impedancyjnej : Własności Ŝyratora : Z 0 R = R 0 U = R ; U = R = G U ; = G U U + U = 0 co oznacza, Ŝe Ŝyrator przekształca idealne źródła prądu na źródła napięcia i odwrotnie oraz, Ŝe Ŝyrator jest elementem bezstratnym.

30 Czwórniki Przykłady zastosowań Ŝyratora impedancja wejściowa Ŝyratora: Z we (s) = R / Z 0 (s) przyjmując Z 0 (s) = / sc otrzymujemy: Z we (s) = sc R = sl ; gdzie L = CR Zatem Ŝyrator obciąŝony pojemnością C moŝna traktować od strony zacisków wejściowych jako indukcyjność o wartości: L = CR, np. C = 00µF, R = 000Ω wtedy L = 00H. przy czym jeden koniec indukcyjności jest uziemiony. Energia zgromadzona w kondensatorze: W = U C = = 0,05[J] = W = L przy : L = 00H = 0,05[A] = 5[mA]. 6 C C L L Dla układu przedstawionego niŝej obowiązuje układ równań: L czyli : U 0 R U = YU G 0 U 0 R U = G YR

31 Czwórniki... 3 Natomiast dla układu : układ równań wygląda następująco : czyli : U 0 R U + Z = G 0 U 0 R U = G GZ. Porównując te równania ze sobą moŝna stwierdzić, Ŝe: Y = Z / R = Z G Wynika stąd, Ŝe indukcyjność L dołączoną szeregowo na wyjściu Ŝyratora moŝna zamienić na pojemność C dołączoną równolegle na wejściu Ŝyratora: C = LG. Łańcuchowe połączenie dwóch Ŝyratorów pozwala zrealizować idealny transformator: n 0 R 0 R RG 0 = = G G R G n gdzie: n = R / R jest przekładnią transformatora.

32 Czwórniki... 3 Realizacja Ŝyratora stnieją dwa podstawowe sposoby realizacji Ŝyratora. Pierwszy z nich bazuje na łańcuchowym połączeniu NV i CNC. Dla elementu NV w kształcie T oraz elementu CNC o współczynniku K = macierz łańcuchowa układu wynosi : A = A NV A CNC = 0 R 0 0 R = 0 0 R 0 R Zatem układ ten przedstawia Ŝyrator o współczynniku inwersji: K i = B / C = -R /(-/R) = R Przykładowy układ praktyczny Ŝyratora otrzymanego przez połączenie elementu CNC i NV w kształcie T: Układ ten zawiera element CNC oraz element NV w kształcie T. W gałęzi pionowej element CNC słuŝy do uzyskania ujemnej rezystancji: Z we = -K i R = -R

33 Czwórniki Ze względu na stabilność lepsze własności ma układ wykorzystujący element NV w kształcie Π: Element CNC, występujący w gałęzi poziomej, pełni podwójną funkcję : słuŝy do zmiany znaku rezystancji w gałęzi pionowej oraz występuje w połączeniu łańcuchowym NV i CNC. Macierz łańcuchową całego układu otrzymujemy mnoŝąc macierze czwórników A, A, A 3 : R 0 0 R 0 0 R A = AAA 3 = = = G 0 0 G G 0 G G 0 Przykładowy układ praktyczny Ŝyratora otrzymanego przez połączenie elementu CNC i NV w kształcie Π:

34 Czwórniki Drugi sposób realizacji Ŝyratora bazuje na wykorzystaniu wzmacniaczy operacyjnych jako źródeł sterowanych o nieskończenie wysokim wzmocnieniu. Praktyczna realizacja zostanie rozpatrzona na poniŝszym przykładzie.

35 Czwórniki Wyznaczyć warunki, jakie musi spełnić układ przedstawiony poniŝej, aby stanowił on realizację Ŝyratora. Układ ten wygodnie jest rozpatrzyć jako połączenie równoległe dwóch czwórników. Z prawa Kirchhoffa dla węzła A : U /R + U /R +U W /R = 0 stąd U W = -(U + U ) Dla węzła B : U W /R + U W /R = 0 stąd: U W = -U W = U + U Z prawa Ohma: ' = U /R Bilans prądów dla węzła C : ' = U /nr + (U -U W )/mr +U /R = = (U + nu )/nr + (U -U -U )/mr = = -U /mr + (mn + m - n)u /mnr

36 Czwórniki ZaleŜności te zapisane w postaci równań admitancyjnych: ' 0 U R = mn + m n U ' mr mnr Wzmacniacz operacyjny 4 dokonuje inwersji sygnału U w postaci: U W3 = - U Z bilansu prądów dla oczka E : U W4 = U - U prawo Kirchhoffa dla węzła D przyjmuje postać: '' = U /nr + (U - U W4 )/mr +U /R = = (U + nu )/nr + (U - U + U )/mr = = (mn + m -n)u /mnr + U /mr Z prawa Ohma otrzymujemy: '' = U / R Zapisując powyŝsze zaleŝności w postaci równań admitancyjnych: " mn + m n U mnr mr = 0 U R " PoniewaŜ czwórniki są połączone równolegle, zatem macierz Y całego układu jest sumą macierzy składowych czwórników: 3mn + m n ' " mnr mr Y = Y + Y = 3mn + m n mr mnr Aby układ stanowił realizację Ŝyratora musi być spełniony warunek: (3mn + m - n)/mnr = 0 wówczas układ ten staje się Ŝyratorem o wartości konduktancji G = /mr np. m = 0,5 oraz n =.

37 Czwórniki ROTATOR Jeśli zachodzi potrzeba obrócenia charakterystyki lub pola charakterystyk układu o określony kąt, funkcje tą moŝe spełnić rotator. Kąt obrotu Θ tylko wtedy będzie określony jednoznacznie, kiedy znane są skale na osiach współrzędnych. x = au, [a] = [cm/v] y = b, [b] = [cm/a] Wielkość b/a ma wymiar rezystancji i jest nazywana współczynnikiem skali R S. Rozpatrując obrót krzywej widać, Ŝe punkt P o współrzędnych (x,y ) przechodzi w punkt P o współrzędnych (x,y ). ZaleŜności między starymi i nowymi współrzędnymi zgodnie z zasadami geometrii: uwzględniając skale: x = x cosθ+ y sinθ y = - x sinθ + y cosθ au = au cosθ + b sinθ b = - au sinθ + b cosθ dzieląc równanie pierwsze przez a oraz drugie przez b otrzymujemy : U = U cosθ + R S sinθ = - (U /R S )sinθ + cosθ

38 Czwórniki Układ, który dla danego współczynnika skali R S charakterystyki o kąt Θ musi spełniać powyŝsze równania. powoduje obrót Układ podstawowy rotatora: Zgodnie z zasadą superpozycji: U = AU + B = CU + D Dla = 0 mamy: U = R 4 /(R 3 + R 4 ) U >>> A = + R 3 /R 4 = U /R 4 >>> C = /R 4 Dla U = 0: = ((R 3 R 4 ) U ) / [(R 3 + (R 3 R 4 ))R 3 ] >>> B = R 3 /R 4 + R 3 = + R 3 /R 4 >>> D = + R 3 /R 4 Równania przenoszenia zapisujemy więc następująco: U = ( + R 3 /R 4 ) U + (R 3 /R 4 + R 3 ) = (/R 4 ) U + ( + R 3 /R 4 )

39 Czwórniki Przez porównanie z wyprowadzonymi wcześniej równaniami dla współrzędnych otrzymujemy : następnie otrzymujemy : cosθ = + R 3 /R 4 -(sinθ /R S ) = /R 4 R S sinθ = R 3 /R 4 + R 3 R 4 = -R S /sinθ R 3 = R S ( - cosθ) / sinθ = R S tg (Θ/) Po przyjęciu wartości R S oraz Θ moŝna więc obliczyć parametry układu. Wartość R S zaleŝy od przyjętych podziałek osi współrzędnych i jest zawsze dodatnia (R S = b/a). Dla kątów 0 < Θ < 80 o rezystancja R 4 przyjmuje wartości ujemne, natomiast dla Θ > 80 o wartości ujemne przyjmuje rezystancja R 3. Rezystancje ujemne otrzymuje się przez zastosowanie elementu NC. Przykładowa realizacja praktyczna układu rotatora dla kątów obrotu 0 o < Θ < 80 o : parametry układu : R 3 = R S tg(θ/) ; R 5 = - R 4 = R S /sin Θ W celu dokonania obrotu charakterystyki dwójnika dołącza się go do wejścia rotatora i mierzy się parametry zmienne obróconej charakterystyki na dwóch pozostałych końcówkach.