zajęcia 3. Marcin Andrychowicz, Tomasz Kulczyński,

Transkrypt

1 zajęcia 3. Marcin Andrychowicz, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński

2 Dane Metoda pozwalajaca sortować w czasie liniowym Ciag liczb z zakresu O, 1,..., M 5, 1, 4, 5, 1, 0, 4, 5, 1, 3, 5 Zliczamy wystapienia 0, 1, itd. aż do M. Pomocnicza tablica c i c[i]

3 Dane Metoda pozwalajaca sortować w czasie liniowym Ciag liczb z zakresu O, 1,..., M 5, 1, 4, 5, 1, 0, 4, 5, 1, 3, 5 Zliczamy wystapienia 0, 1, itd. aż do M. Pomocnicza tablica c i c[i]

4 Dane Metoda pozwalajaca sortować w czasie liniowym Ciag liczb z zakresu O, 1,..., M 5, 1, 4, 5, 1, 0, 4, 5, 1, 3, 5 Zliczamy wystapienia 0, 1, itd. aż do M. Pomocnicza tablica c i c[i]

5 Pomocnicza tablica c Wynik i c[i] Wstawiamy c[0] zer, c[1] jedynek, itd. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5

6 Pomocnicza tablica c Wynik i c[i] Wstawiamy c[0] zer, c[1] jedynek, itd. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5

7 Pomocnicza tablica c Wynik i c[i] Wstawiamy c[0] zer, c[1] jedynek, itd. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5

8 Pomocnicza tablica c Wynik i c[i] Wstawiamy c[0] zer, c[1] jedynek, itd. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5

9 Pomocnicza tablica c Wynik i c[i] Wstawiamy c[0] zer, c[1] jedynek, itd. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5

10 Pomocnicza tablica c Wynik i c[i] Wstawiamy c[0] zer, c[1] jedynek, itd. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5

11 Pomocnicza tablica c Wynik i c[i] Wstawiamy c[0] zer, c[1] jedynek, itd. 0, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5

12 Dodatkowe wymaganie Tablica o M-elementach. Nie zawsze można pozwolić sobie na zużycie takiej ilości pamięci! Złożoność czasowa Zależy od: n - długości ciagu M - zakresu liczb O(n + M) - złożoność liniowa.

13 Dodatkowe wymaganie Tablica o M-elementach. Nie zawsze można pozwolić sobie na zużycie takiej ilości pamięci! Złożoność czasowa Zależy od: n - długości ciagu M - zakresu liczb O(n + M) - złożoność liniowa.

14 Dodatkowe wymaganie Tablica o M-elementach. Nie zawsze można pozwolić sobie na zużycie takiej ilości pamięci! Złożoność czasowa Zależy od: n - długości ciagu M - zakresu liczb O(n + M) - złożoność liniowa.

15 Dodatkowe wymaganie Tablica o M-elementach. Nie zawsze można pozwolić sobie na zużycie takiej ilości pamięci! Złożoność czasowa Zależy od: n - długości ciagu M - zakresu liczb O(n + M) - złożoność liniowa.

16 Dodatkowe wymaganie Tablica o M-elementach. Nie zawsze można pozwolić sobie na zużycie takiej ilości pamięci! Złożoność czasowa Zależy od: n - długości ciagu M - zakresu liczb O(n + M) - złożoność liniowa.

17 Dodatkowe wymaganie Tablica o M-elementach. Nie zawsze można pozwolić sobie na zużycie takiej ilości pamięci! Złożoność czasowa Zależy od: n - długości ciagu M - zakresu liczb O(n + M) - złożoność liniowa.

18 Przydatne pojęcia Definicja 1. nazywamy stabilnym gdy dwa równe elementu z ciagu, pozostawia w tym samym porzadku co przed wykonaniem algorytmu. sortowanie można uczynić stabilnym Definicja 2. Sufiksem słowa nazywamy pewna jego końcowa część np. racja jest sufiksem słowa demokracja

19 Przydatne pojęcia Definicja 1. nazywamy stabilnym gdy dwa równe elementu z ciagu, pozostawia w tym samym porzadku co przed wykonaniem algorytmu. sortowanie można uczynić stabilnym Definicja 2. Sufiksem słowa nazywamy pewna jego końcowa część np. racja jest sufiksem słowa demokracja

20 Problem Dane n słów k-literowych. Należy posortować je w kolejności j. Pomysł Sortujemy stabilnie względem liter na kolejnych pozycjach poczynajac od ostatniej, a kończac na pierwszej. Łacznie k sortowań.

21 Problem Dane n słów k-literowych. Należy posortować je w kolejności j. Pomysł Sortujemy stabilnie względem liter na kolejnych pozycjach poczynajac od ostatniej, a kończac na pierwszej. Łacznie k sortowań.

22 Kolejność sortowania Teza: Po wykonaniu k sortowań słowa sa uporzadkowane względem swoich k-literowych sufiksów. Dowód indukcyjny: Baza indukcji: sortowanie 1-literowych sufiksów. Krok indukcyjny: dwa przypadki: Różne litery aababca aabebca Te same litery aababaa aababab

23 Kolejność sortowania Teza: Po wykonaniu k sortowań słowa sa uporzadkowane względem swoich k-literowych sufiksów. Dowód indukcyjny: Baza indukcji: sortowanie 1-literowych sufiksów. Krok indukcyjny: dwa przypadki: Różne litery aababca aabebca Te same litery aababaa aababab

24 Kolejność sortowania Teza: Po wykonaniu k sortowań słowa sa uporzadkowane względem swoich k-literowych sufiksów. Dowód indukcyjny: Baza indukcji: sortowanie 1-literowych sufiksów. Krok indukcyjny: dwa przypadki: Różne litery aababca aabebca Te same litery aababaa aababab

25 Kolejność sortowania Teza: Po wykonaniu k sortowań słowa sa uporzadkowane względem swoich k-literowych sufiksów. Dowód indukcyjny: Baza indukcji: sortowanie 1-literowych sufiksów. Krok indukcyjny: dwa przypadki: Różne litery aababca aabebca Te same litery aababaa aababab

26 Kolejność sortowania Teza: Po wykonaniu k sortowań słowa sa uporzadkowane względem swoich k-literowych sufiksów. Dowód indukcyjny: Baza indukcji: sortowanie 1-literowych sufiksów. Krok indukcyjny: dwa przypadki: Różne litery aababca aabebca Te same litery aababaa aababab OK, dzięki stabilności.

27 Złożoność czasowa k-krotne uruchomienie sortowania Złożoność: O(k (n + Σ)) Σ - wielkość alfabetu....proporcjonalna do wielkości danych, czyli liniowa.

28 Złożoność czasowa k-krotne uruchomienie sortowania Złożoność: O(k (n + Σ)) Σ - wielkość alfabetu....proporcjonalna do wielkości danych, czyli liniowa.

29 Złożoność czasowa k-krotne uruchomienie sortowania Złożoność: O(k (n + Σ)) Σ - wielkość alfabetu....proporcjonalna do wielkości danych, czyli liniowa.

30 Metoda zachłanna Idea Wybieramy chwilowo (lokalnie) najlepsze możliwości, które utworza optymalne rozwiazanie.

31 Problem Kinoman ma do dyspozycji repertuar kina, z godzinami rozpoczęcia i zakończenia seansów. Jak powinien wybierać filmy by zobaczyć ich jak najwięcej? Rozwiazanie Należy zawsze wybierać film kończacy się najwcześniej. Dowód indukcyjny Oczywisty.

32 Problem Kinoman ma do dyspozycji repertuar kina, z godzinami rozpoczęcia i zakończenia seansów. Jak powinien wybierać filmy by zobaczyć ich jak najwięcej? Rozwiazanie Należy zawsze wybierać film kończacy się najwcześniej. Dowód indukcyjny Oczywisty.

33 Problem Kinoman ma do dyspozycji repertuar kina, z godzinami rozpoczęcia i zakończenia seansów. Jak powinien wybierać filmy by zobaczyć ich jak najwięcej? Rozwiazanie Należy zawsze wybierać film kończacy się najwcześniej. Dowód indukcyjny Oczywisty.

34 Problem Mamy do dyspozycji pewne nominały monet, chcielibyśmy wydać określona kwotę. Jak to zrobić za pomoca minimalnej liczby monet? Rozwiazanie Wybieramy zawsze monetę o największym nominale, która mieści się w wydawanej kwocie. Poprawność Kwota 12, dostępne nominały: 1, 4, 8, 10 Wynik algorytmu go: 10, 1, 1 Rozwiazanie optymalne: 8, 4 Strategia zachłanna jest niepoprawna!

35 Problem Mamy do dyspozycji pewne nominały monet, chcielibyśmy wydać określona kwotę. Jak to zrobić za pomoca minimalnej liczby monet? Rozwiazanie Wybieramy zawsze monetę o największym nominale, która mieści się w wydawanej kwocie. Poprawność Kwota 12, dostępne nominały: 1, 4, 8, 10 Wynik algorytmu go: 10, 1, 1 Rozwiazanie optymalne: 8, 4 Strategia zachłanna jest niepoprawna!

36 Problem Mamy do dyspozycji pewne nominały monet, chcielibyśmy wydać określona kwotę. Jak to zrobić za pomoca minimalnej liczby monet? Rozwiazanie Wybieramy zawsze monetę o największym nominale, która mieści się w wydawanej kwocie. Poprawność Kwota 12, dostępne nominały: 1, 4, 8, 10 Wynik algorytmu go: 10, 1, 1 Rozwiazanie optymalne: 8, 4 Strategia zachłanna jest niepoprawna!

37 Problem Mamy do dyspozycji pewne nominały monet, chcielibyśmy wydać określona kwotę. Jak to zrobić za pomoca minimalnej liczby monet? Rozwiazanie Wybieramy zawsze monetę o największym nominale, która mieści się w wydawanej kwocie. Poprawność Kwota 12, dostępne nominały: 1, 4, 8, 10 Wynik algorytmu go: 10, 1, 1 Rozwiazanie optymalne: 8, 4 Strategia zachłanna jest niepoprawna!

38 Problem Mamy do dyspozycji pewne nominały monet, chcielibyśmy wydać określona kwotę. Jak to zrobić za pomoca minimalnej liczby monet? Rozwiazanie Wybieramy zawsze monetę o największym nominale, która mieści się w wydawanej kwocie. Poprawność Kwota 12, dostępne nominały: 1, 4, 8, 10 Wynik algorytmu go: 10, 1, 1 Rozwiazanie optymalne: 8, 4 Strategia zachłanna jest niepoprawna!

39 Problem Mamy do dyspozycji pewne nominały monet, chcielibyśmy wydać określona kwotę. Jak to zrobić za pomoca minimalnej liczby monet? Rozwiazanie Wybieramy zawsze monetę o największym nominale, która mieści się w wydawanej kwocie. Poprawność Kwota 12, dostępne nominały: 1, 4, 8, 10 Wynik algorytmu go: 10, 1, 1 Rozwiazanie optymalne: 8, 4 Strategia zachłanna jest niepoprawna!

40 Problem Firma zwleka z wykonaniem n-zadań. Wykonanie i-tego zadania zajmuje d i dni, a za każdy dzień opóźnienia trzeba zapłacić z i złotych kary. W jakiej kolejności należy wykonywać zadania, by zapłacić jak najniższa karę? Nieoczywiste rozwiazanie Należy wybierać zadania względem malej acego współczynnika z i d i

41 Problem Firma zwleka z wykonaniem n-zadań. Wykonanie i-tego zadania zajmuje d i dni, a za każdy dzień opóźnienia trzeba zapłacić z i złotych kary. W jakiej kolejności należy wykonywać zadania, by zapłacić jak najniższa karę? Nieoczywiste rozwiazanie Należy wybierać zadania względem malej acego współczynnika z i d i

42 Dowód, przez sprzeczność Optymalna kolejność wykonywania 1, 2,, n, ale dla pewnego k: z k < z k+1 d k d k+1 Obecne kary: d k z k +(d k +d k+1 ) z k+1 = d k z k +d k+1 z k+1 +d k z k+1 Po zamianie miejscami k i k + 1: d k+1 z k+1 +(d k +d k+1 ) z k = d k z k +d k+1 z k+1 +d k+1 z k Po odjęciu stronami: bo: Sprzeczność! d k z k+1 d k+1 z k > 0 d k+1 z k < d k z k+1

43 Dowód, przez sprzeczność Optymalna kolejność wykonywania 1, 2,, n, ale dla pewnego k: z k < z k+1 d k d k+1 Obecne kary: d k z k +(d k +d k+1 ) z k+1 = d k z k +d k+1 z k+1 +d k z k+1 Po zamianie miejscami k i k + 1: d k+1 z k+1 +(d k +d k+1 ) z k = d k z k +d k+1 z k+1 +d k+1 z k Po odjęciu stronami: bo: Sprzeczność! d k z k+1 d k+1 z k > 0 d k+1 z k < d k z k+1

44 Dowód, przez sprzeczność Optymalna kolejność wykonywania 1, 2,, n, ale dla pewnego k: z k < z k+1 d k d k+1 Obecne kary: d k z k +(d k +d k+1 ) z k+1 = d k z k +d k+1 z k+1 +d k z k+1 Po zamianie miejscami k i k + 1: d k+1 z k+1 +(d k +d k+1 ) z k = d k z k +d k+1 z k+1 +d k+1 z k Po odjęciu stronami: bo: Sprzeczność! d k z k+1 d k+1 z k > 0 d k+1 z k < d k z k+1

45 Dowód, przez sprzeczność Optymalna kolejność wykonywania 1, 2,, n, ale dla pewnego k: z k < z k+1 d k d k+1 Obecne kary: d k z k +(d k +d k+1 ) z k+1 = d k z k +d k+1 z k+1 +d k z k+1 Po zamianie miejscami k i k + 1: d k+1 z k+1 +(d k +d k+1 ) z k = d k z k +d k+1 z k+1 +d k+1 z k Po odjęciu stronami: bo: Sprzeczność! d k z k+1 d k+1 z k > 0 d k+1 z k < d k z k+1

46 Dowód, przez sprzeczność Optymalna kolejność wykonywania 1, 2,, n, ale dla pewnego k: z k < z k+1 d k d k+1 Obecne kary: d k z k +(d k +d k+1 ) z k+1 = d k z k +d k+1 z k+1 +d k z k+1 Po zamianie miejscami k i k + 1: d k+1 z k+1 +(d k +d k+1 ) z k = d k z k +d k+1 z k+1 +d k+1 z k Po odjęciu stronami: bo: Sprzeczność! d k z k+1 d k+1 z k > 0 d k+1 z k < d k z k+1

47 Metody Sa intuicyjne, daja wydajne. Jednak często sa tylko pozornie poprawne!

48 Metody Sa intuicyjne, daja wydajne. Jednak często sa tylko pozornie poprawne!