Kryteria wyboru i oceny metod badawczych

Transkrypt

1 Kryteria wyboru i oceny metod badawczych Mariusz B. Bogacki Politechnika Poznańska, Instytut Technologii i Inżynierii Chemicznej, Zakład Inżynierii Procesowej.

2 Błędy pomiarowe Błąd pomiaru oznacza niemożliwą do uniknięcia niepewność co do rzeczywistej wartości mierzonej cechy i nierozerwalnie związany jest z istotą pomiaru. 1

3 Błąd pomiaru a niepewność pomiaru Błąd pomiaru jest liczbą mówiącą o tym jak bardzo wynik pomiaru odbiega od prawdziwej wartości mierzonej wielkości. Natomiast niepewność pomiaru oznacza istnienie pewnego przedziału, w którym, najczęściej z określonym prawdopodobieństwem, znajduje się rzeczywista wartość mierzonej wielkości. 2

4 Błędy pomiarowe Żadnej z wielkości fizycznych (długość, czas, temperatura, stężenie itd.) nie można zmierzyć z absolutną dokładnością. Postępując z należytą starannością możemy zmniejszyć występujące błędy pomiarowe, aż staną się one bardzo małe, ale całkowite ich wyeliminowanie nie jest możliwe. 3

5 Błąd pomiaru definicja: Błąd pomiaru interpretuje się jako każde zdarzenie, które powoduje, że wynik pomiaru jest różny od wartości rzeczywistej. Błędem nazywamy również wielkość różnicy pomiędzy wartością dokładną a zmierzoną. W tym przypadku błąd pomiaru jest liczbą i wyznacza się go z ogólnej zależności: ε = x x. (1) gdzie x jest wynikiem przeprowadzonego pomiaru, natomiast x jest wartością dokładną. 4

6 Błąd systematyczny Wystąpienie błędu systematycznego oznacza, że w serii powtórzonych pomiarów tej samej wielkości obserwujemy odchylenia wszystkich wartości w tym samym kierunku. Cechą charakterystyczną tego błędu jest to, że jeśli on występuje, to obserwować będziemy go zawsze za każdym razem gdy powtarzamy pomiar. Jest on trudny do stwierdzenie i nie poddaje się analizie statystycznej. 5

7 Rysunek 1. Interpretacja geometryczna błędu losowego, błędu systematycznego oraz błędu grubego. 6

8 Błąd systematyczny źródła błędu Błędy w procedurze pomiarowej; Błędy popełniane przez eksperymentatora; Niewłaściwie skalibrowana aparatura; Złe przygotowanie próbki lub całego eksperymentu. 7

9 Błąd systematyczny sposoby jego zapobiegania Często kalibrujemy aparaturę pomiarową stosując odpowiednie standardy; Kolejność wykonywanych doświadczeń określamy w sposób losowy; Właściwie dobieramy procedurę pomiarową. 8

10 Błąd losowy Wystąpienie błędu losowego oznacza istnienie rozrzutu w pomiarach mierzonej cechy. Rozrzut ten jest losowy (w wszystkich możliwych kierunkach) i całkowicie niezależny od eksperymentatora. Nie można go w żaden sposób wyeliminować, natomiast stosując odpowiednie metody statystyczne można określić jego wartość liczbową oraz zredukować. 9

11 Rysunek 1. Interpretacja geometryczna błędu losowego, błędu systematycznego oraz błędu grubego. 10

12 Wielkość błędu losowego zależy od: Precyzji stosowanej metody; Prawidłowej kalibracji; Umiejętnego posługiwania się przyrządem pomiarowym. 11

13 Błędy losowe możemy zredukować poprzez: Modyfikację stosowanej metody badawczej; Poprawiając aparaturę pomiarową; Wielokrotne powtarzanie pomiaru. 12

14 Rozkład normalny Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyrażone jest wzorem: f(x) = 1 exp (x µ x) 2 (2) σ x 2π σ 2 x gdzie µ x jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej X natomiast σ x jest odchyleniem standardowym zmiennej losowej X. 13

15 1.0 funkcja gęstości prawdopodobieństwa µ = 2, σ = 1 µ = 0, σ = 0.5 µ = 0, σ = 1 µ = 0, σ = x Rysunek 2. Funkcje gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego, dla różnych wartości σ x oraz µ x. 14

16 Typowe założenie Najczęściej zakładamy, że wszystkie obserwowane zakłócenia (błędy losowe) ε i, i = 1, 2,..., n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym, wartości oczekiwanej µ ε = 0 i jednakowych oraz skończonych dla wszystkich zakłóceń wariancjach σ 2 ε, czyli ε i N ( 0, σ 2). (3) 15

17 Typowe założenie cd. Zakłócenia oddziaływują addytywnie na obiekt badań, to znaczy: x i = µ xi + ε i, i = 1, 2,..., n, (4) gdzie µ xi są prawdziwymi, nieznanymi wartościami, które próbujemy mierzyć. Przy tych założeniach dla odpowiednio dużej liczby powtórzeń średnia pozwala na praktycznie całkowite wyeliminowanie błędu losowego. 16

18 Błąd gruby Są to sporadyczne błędy zwane również wynikami odbiegającymi i pojawiają się w wyniku: Złego użycia przyrządu pomiarowego; Nieprawidłowego działania przyrządu; Błędnie odczytana wartość pomiaru; Błędnie zapisany wynik pomiaru. 17

19 Rysunek 2. Błąd losowy oraz systematyczny wynikający z zjawiska paralaksy. 18

20 Typowe źródła błędów 1 Niepełna definicja: Należy rozważne wyspecyfikować i przeanalizować wszystkie możliwe warunki wpływające na przeprowadzany pomiar. Błędy stąd wynikające mogą być zarówno systematyczne jak też losowe. Rozdzielczość: Wszystkie urządzenia pomiarowe mają określoną rozdzielczość, która ogranicza zdolność aparatu do rozróżniania małych różnic pomiędzy mierzonymi wartościami. Obserwowane błędy są błędami losowymi. 19

21 Typowe źródła błędów 2 Paralaksa: Jest to błąd związany z istnieniem pewnej odległości pomiędzy urządzeniem pomiarowym a obserwatorem odczytującym wyniki pomiaru. Błąd z tym związany może być zarówno błędem systematycznym jak też losowym. Błędna kalibracja lub złe ustawienie zera w aparacie: Kalibracja aparatu pomiarowego powinna być przeprowadzona każdorazowo przed przystąpieniem do pomiarów oraz przeprowadzana w trakcie wykonywania pomiarów tak często jak tylko jest to możliwe. Obserwowane błędy są błędami systematycznymi. 20

22 Typowe źródła błędów 3 Czynniki środowiskowe: Są to błędy, które wprowadzić może środowisko w jakim pracujemy. Mogą to być wibracje, brak wypoziomowania aparatu, zmiany temperatury, wahania napięcia w sieci zasilającej, szumy elektroniczne i wiele innych. Błąd z tym związany może być zarówno błędem systematycznym jak też losowym. Błędy w uwzględnieniu czynników wpływających na badany proces: Obserwowane błędy są zwykle błędami systematycznymi. Są to błędy wynikające z braku uwagi, błędów technicznych związanych z obsługą urządzenia pomiarowego lub innych czynników związanych z niektórymi eksperymentatorami. 21

23 Typowe źródła błędów 4 Błędy w przygotowaniu badanej próbki: Zdarzyć się może, że próbka do badań zostanie źle przygotowana. Obserwowane błędy są błędami systematycznymi. Efekt operatora: Są to błędy wynikające z braku uwagi, błędów technicznych związanych z obsługą urządzenia pomiarowego lub innych czynników związanych z niektórymi eksperymentatorami. Obserwowane błędy są zwykle błędami systematycznymi. 22

24 Typowe źródła błędów 5 Czas martwy, histereza i dryfowanie: W przypadku wielu urządzeń elektronicznych obserwuje się dryfowanie odczytów w czasie. W wielu przypadkach urządzenie pomiarowe wymaga czasu do osiągnięcia równowagi. Obserwowane błędy są zwykle błędami systematycznymi. Oddziaływania chemiczne: Do tej grupy błędów zaliczyć można problemy związane z wpływem matrycy na rezultaty pomiarów. Obserwowane błędy są zwykle błędami systematycznymi. 23

25 Typowe źródła błędów 6 Błędy powstające przy przetwarzaniu wyników: Obserwowane błędy są zwykle błędami losowymi. Zdarzenia losowe: Wszelkie inne zdarzenia, których w żaden sposób nie można przewidzieć. Obserwowane błędy są zwykle błędami losowymi. 24

26 Definicja: Błąd bezwzględny oraz błąd względny Niech liczba x będzie przybliżoną wartością rzeczywistego pomiaru x. Różnicę x = x x (5) nazywamy błędem bezwzględnym przybliżenia x liczby x. Natomiast iloraz δx = x x nazywamy błędem względnym. = x x x (6) 25

27 Definicja: Liczba cyfr znaczących Mówimy, że liczba x przybliża liczbę x z dokładnością t cyfr znaczących (cyfr istotnych), jeżeli t jest największą nieujemną liczbą całkowitą, dla której zachodzi następująca relacja: x x x < 5 10 t (7) 26

28 Liczba cyfr znaczących Generalnie jako cyfry znaczące w podanym wyniku traktujemy wszystkie te cyfry, które znajdą się pomiędzy (włączając ją do cyfr znaczących) pierwszą niezerową cyfrą od lewej strony, aż do ostatniej po prawej stronie cyfry. 27

29 Liczba cyfr znaczących przykłady: trzy cyfry znaczące; cztery cyfry znaczące; sześć cyfr znaczących; pięć cyfr znaczących; dwie cyfry znaczące; cztery cyfry znaczące. 28

30 Liczba cyfr znaczących Przyjmuje się, że każdy pomiar powinien być zapisany za pomocą tylu cyfr ile uzyskany wynik ma cyfr znaczących, pomijając wszystkie zera z lewej strony liczby. Dodatkowo ta sama liczba cyfr znaczących powinna być zachowana przy podawaniu wartości charakteryzujących pomiar, a więc wariancji, odchylenia standardowego itd. 29

31 Tabela 1. Przybliżony związek pomiędzy liczbą cyfr znaczących a błędem względnym wyniku. Błąd względny Liczba cyfr Zawiera się w Jest w przybliżeniu znaczących zakresie równy 1 10% - 100% 50% 2 1% - 10% 5% 3 0.1% - 1% 0.5% 30

32 Sposób podawania wyników pomiaru (wartość mierzona ± niepewność pomiarowa) jednostka (8) Zapis ten oznacza, że: wartość rzeczywista wielkości mierzonej znajduje się w przedziale równym podwojonej wartości niepewności pomiarowej, niepewności pomiarowe wyrażone są w tych samych jednostkach co wynik pomiaru, podany błąd jest całkowitą niepewnością pomiarową. 31

33 Przykład podawania wyników pomiaru: 9.81 ± 0.02 m/s 2 ; o.10 ± mol/l; Uwagi: Z reguły niepewność związana z błędem pomiaru jest duża i wynosi ±50%. W typowych pomiarach wystarczy podać błąd z dokładnością do jednej cyfry znaczącej. Jeżeli pierwsza cyfra błędu wynosi 1 lub 2, to błąd należy podać z dokładnością dwóch cyfr znaczących. 32

34 Precyzja a dokładność metody 33

35 Definicja: Dokładność metody Przez dokładność pomiaru rozumiemy wielkość mówiącą o tym, jak dużą obserwujemy zgodność pomiędzy wartością mierzoną a wartością prawdziwą lub akceptowalną (uznawaną za prawdziwą). Miarą dokładności jest błąd pomiaru. 34

36 Definicja: Precyzja Precyzja pomiaru mówi nam o tym jak dobrze wykonany został pomiar nie odnosząc przy tym wyniku tego pomiaru do wartości teoretycznej lub prawdziwej. Jest to stopień w jakim wszystkie niezależne pomiary tej samej wielkości są ze sobą spójne i zgodne. Przez precyzję rozumiemy również niezawodność oraz powtarzalność wyników pomiarów. Jako miarę precyzji wykorzystuje się jedną z miar rozproszenia wyników. Najczęściej jest to odchylenie standardowe. 35

37 Krzywa gęstości prawdopodobieństwa f(x) 68.3% 95.5% 99.7% µ 3σ,µ 2σ,µ σ, µ, µ+σ,µ+2σµ+3σ Rysunek 3. Zależność wielkości błędu od przyjętych jako wielokrotność odchylenia standardowego granic przedziału ufności. 36

38 Rysunek 4. Interpretacja precyzji i dokładności. A) wynik precyzyjny i dokładny; B) wynik precyzyjny, ale nie dokładny; C) wynik dokładny, ale nie precyzyjny; D) wynik zarówno niedokładny jak też nieprecyzyjny; E) wynik precyzyjny i dokładny ale w połączeniu z błędem grubym. 37

39 Rachunek błędów Rachunek błędów prowadzi do uzyskania liczby mówiącej o tym, jak dużym błędem obarczony jest wynik pomiaru. Natomiast rachunek niepewności prowadzi do określenie przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się prawdziwa wartość mierzona. 38

40 Propagacja błędów Wiele wielkości fizyko chemicznych można wyznaczyć bezpośrednio (czas, długość, objętość,...). Zdecydowanie częściej korzystamy z pomiarów pośrednich: najpierw mierzymy wielkości poddające się pomiarom bezpośrednim, a następnie obliczamy korzystając z odpowiednich zależności interesujące nas wartości. 39

41 Przykład Do kompleksometrycznego oznaczenia stężenia jonów metalu wykorzystano biuretę, w której najmniejsza podziałka wynosiła 0.05mL. Poziom titrantu w biurecie na początku miareczkowania wynosił Ṽ0 = 62.2 ml natomiast na końcu Ṽ1 = 49.5 ml. Obliczyć ilość zużytego w tym miareczkowaniu titrantu oraz błąd bezwzględny i względny tego pomiaru. 40

42 Błąd odczytu objętości wynosi połowę najmniejszej podziałki, czyli V = ml. Stąd prawdziwe objętości początkową i końcową wyrazić możemy jako: V 0 = Ṽ0 ± V = 62.2 ± ml, V 1 = Ṽ1 ± V = 49.5 ± ml, gdzie Ṽ0 oraz Ṽ1 są naszymi najlepszymi przybliżeniami początkowej V 0 i końcowej V 1 objętości titrantu w biurecie. 41

43 Najlepszym przybliżeniem objętości titrantu zużytego do miareczkowania V = V 0 V 1 jest różnica: V = Ṽ0 Ṽ1 = = 12.7 ml. Chcąc znaleźć błąd tej wartości musimy określić jaka jest największa i najmniejsza możliwa wartość V 0 V 1. 42

44 Największa możliwa wartość V 0 V 1 zostałaby osiągnięta, gdyby V 0 miało swą największą prawdopodobną wartość, czyli V 0 = Ṽ0 + V natomiast V 1 miało w tym samym momencie wartość najmniejszą, czyli V 1 = Ṽ1 V. Zatem: (V 0 V 1 ) max = (Ṽ0 + V ) (Ṽ1 V ) = (Ṽ0 Ṽ1) + ( V + V ) = = (Ṽ0 Ṽ1) + 2 V = = Ṽ + 2 V. 43

45 Najmniejsza możliwa wartość różnicy V 0 V 1 powstaje wtedy, gdy V 0 jest najmniejsze, czyli V 0 = Ṽ0 V, natomiast V 1 jest największe, czyli V 1 = Ṽ1 + V. Zatem: (V 0 V 1 ) min = (Ṽ0 V ) (Ṽ1 + V ) = (Ṽ0 Ṽ1) ( V + V ) = = (Ṽ0 Ṽ1) 2 V = = Ṽ 2 V. 44

46 Rzeczywista objętość zużytego do miareczkowania titrantu leży w przedziale o szerokości 2 V, którego środkiem jest różnica V 0 Ṽ1, gdyż (V 0 V 1 ) max = Ṽ + 2 V, (V 0 V 1 ) min = Ṽ 2 V. Oznacza to, że błąd bezwzględny różnicy V 0 V 1 jest sumą błędów bezwzględnych pierwotnych wielkości V 0 + V 1 Ostatecznie: V = 12.7 ± 0.05 ml. 45

47 Reguła 1: W przypadku dodawania lub odejmowania błędy bezwzględne się sumują. Reguła 2: W przypadku działań mnożenia i dzielenia sumują się błędy względne poszczególnych czynników. 46

48 Analiza przenoszenia się (propagacji) błędów Przyjmijmy, że wynik badań y zależy od k, różnych obserwacji (pomiarów) x i, i = 1, 2,..., k i dany jest za pomocą funkcji f postaci: y = f (x 1, x 2,..., x k ). (9) 47

49 Analiza przenoszenia się (propagacji) błędów bezwzględnych y y x 1 x 2,x 3,...,x k x 1 + y x 2 x 1,x 3,...,x k x y x k x 1,x 2,...,x k 1 x k. (10) 48

50 Tabela 2. Propagacja błędu bezwzględnego w przypadku typowych działań algebraicznych. Zależność funkcyjna Wariancja y = x 1 ± x 2 y = x 1 + x 2 y y = x 1 x 2 y = x 1 x + 2 x 1 x 2 y y = x 1 /x 2 y = x 1 x + 2 x 1 x 2 y = a x y = a x y = x ± a y = x y = x a y y = a x x y = log a (x) y = 1 ln(a) x x y = a x y y = ln(a) x 49

51 Analiza przenoszenia się (propagacji) błędów w postaci wariancji s 2 y = 2 y s 2 y x x x 2,x 3,...,x k x 2 y 2 + s 2 x x k. k x 1,x 2,...,x k 1 2 x 1,x 3,...,x k s 2 x 2 + (11) 50

52 Tabela 3. Propagacja błędu podanego jako wariancja w przypadku typowych działań algebraicznych. Zależność funkcyjna Wariancja y = x 1 ± x 2 s 2 y = s 2 x 1 + s 2 x 2 s 2 y y = x 1 x 2 y 2 = 2 2 s x1 + s x2 s 2 y x 1 y = x 1 /x 2 y 2 = s x1 x 1 y = a x s 2 y = (a s x ) 2 y = x ± a s 2 y = s 2 x y = x a s 2 y y 2 = s x a x y = log a (x) s 2 1 y = ln(a) sx x y = a x 2 + x 2 s x2 x s 2 y y 2 = (ln(a) s x)

53 Przykład: Obliczanie odchylenia standardowego dla średniej Korzystając z równania (11) oraz wzorów podanych w tabeli 3 obliczyć odchylenie standardowe dla średniej z serii pomiarów. Rozwiązanie: Średnia dana jest wzorem: x = 1 n n x i. i=1 Wariancja średniej jako sumy n różnych zmiennych x i, i = 1, 2,..., n równa jest sumie wariancji poszczególnych zmiennych, czyli: s 2 x = 1 n 2 { s 2 x1 + s 2 x + + } 1 s2 21 x n = n 2 n i=1 s2 x i. 52

54 Ponieważ jest to seria pomiarów tej samej wielkości, to wszystkie wariancje będą sobie równe: s 2 x 1 = s 2 x 2 =... = s 2 x n = s 2 x. Stąd s 2 x = 1 n 2 n i=1 s2 x i = 1 n 2 n i=1 s2 x = 1 n 2 n s 2 x = s2 x n. Ostatecznie odchylenie standardowe dla średniej przedstawia się zależnością: s x = s x n. 53

55 Niepewność pomiarów Rachunek niepewności prowadzi do określenie przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się prawdziwa wartość mierzona. 54

56 Definicja niepewności pomiarów wg. ISO Niepewność pomiaru jest parametrem charakteryzującym rozrzut wartości, które można w sposób uzasadniony przypisać wartości mierzonej. 55

57 Najczęściej wyniki pomiaru podajemy w postaci: x = x ± x, (12) gdzie x jest najlepszym, uzyskanym przez nas, przybliżeniem wartości prawdziwej, jakie byliśmy wstanie osiągnąć oraz x jest niepewnością związaną z tym pomiarem. Jak rozumiemy niepewność? 1000 ± 0.1m 1.0 ± 0.1m 56

58 Niepewność względna zwana czasami dokładnością δx% = x x 100%. (13) Niepewności względne rzędu 10% charakteryzują pomiary zgrubne. Niepewności względne rzędu 1% charakteryzują pomiary dokładne. Niepewności względne mniejsze od 1% są trudne do osiągnięcia i oznaczają bardzo dużą dokładność pomiaru. 57

59 Jak rozumieć zapis x = x ± x? Prawdziwa wartość mierzonej cechy mieści się w przedziale, którego środek stanowi wynik pomiaru, natomiast dolną i górną granicę stanowią odpowiednio liczby x x oraz x + x. Taki sposób interpretacji niepewności przyjęty jest przy podawaniu niepewności dla wzorców oraz gotowych naważek analitycznych. 58

60 Rysunek 5. Interpretacja geometryczna niepewności pomiaru x = x± x rozumianej jako zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym. x najlepsze przybliżenie wykonanego pomiaru; x niepewność pomiaru; f(x) funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego. 59

61 Błąd miernika Wskazać można na dwa podstawowe składniki tego błędu: skończony odstęp sąsiednich kresek podziałki skali przyrządu pomiarowego niepewność pomiaru x s jest równa połowie podziałki na skali urządzenia pomiarowego, błąd związany z fabrycznym wzorcowaniem przyrządu klasa zakres x w =, (14) 100 gdzie klasa oznacza klasę przyrządu pomiarowego podaną przez producenta natomiast zakres oznacza maksymalną wartość pomiaru jaki można dla danego miernika wykonać. 60

62 Niepewności pomiaru wynikające z skończonej odległości pomiędzy sąsiadującymi elementami skali x s oraz niepewność fabrycznego wzorcowania miernika x w sumują się dając maksymalną niepewność miernika x m : x m = x s + x w, (15) 61

63 Błąd miernika Błędy urządzenia pomiarowego są błędami systematycznymi! Niepewności te traktowane są podobnie jak niepewności dla wzorców i naważek analitycznych. O błędzie takim mówimy: błąd aparaturowy lub niepewność aparaturowa. 62

64 Określenia niepewności w przypadku przeprowadzenia serii pomiarów Średnie odchylenie: x i x x = i=1 n Odchylenie standardowe: s x = gdzie x jest średnią n n (x i x) 2 i=1 n 1 = = n x i i=1, (16) n n i=1 x2 i n 1. (17) x = 1 n x i (18) i=1 obliczoną na podstawie n pomiarów wielkości x i, i = 1,..., n. n 63

65 Standardowa niepewność x = x ± s x. (19) Jeżeli wykonamy kolejny pomiar interesującej nas wielkości, to z około 68.3% prawdopodobieństwem możemy być pewni, że nowa wartość znajdzie sie w podanym przedziale. 64

66 Krzywa gęstości prawdopodobieństwa f(x) 68.3% 95.5% 99.7% µ 3σ,µ 2σ,µ σ, µ, µ+σ,µ+2σµ+3σ Rysunek 6. Interpretacja geometryczna niepewności pomiaru w postaci odchylenia standardowego o rozkładzie normalnym. x = µ najlepsze przybliżenie wykonanego pomiaru; s x = σ odchylenie standardowe; f(x) funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego. 65

67 Jeżeli zmienna losowa przyjmuje zgodnie z rozkładem jednostajnym z równym prawdopodobieństwem wartości z przedziału x ± x, to odchylenie standardowe dla tej zmiennej wynosi: s x = x 3. (20) 66

68 Rysunek 7. Interpretacja geometryczna niepewności pomiaru w postaci odchylenia standardowego o rozkładzie jednostajnym. x najlepsze przybliżenie wykonanego pomiaru; x błąd bezwzględny, x odchylenie standardowe; f(x) funkcja gęstości 3 prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego. 67

69 Przedział ufności obliczany z rozkładu t-studenta W przedziale x = x ± t kr s x, gdzie t kr jest wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu t- Studenta, z kreślonym prawdopodobieństwem znajduje się prawdziwa wartość mierzonej cechy. Zwykle przyjmuje się 95% margines błędu. 68

70 Zgodnie z normą ISO (International Standard Organization) z 1993r. niepewność pomiarowa definiowana jest jako: Parametr charakteryzujący wątpliwości dotyczące wartości wyniku pomiarowego. 69

71 Jako miarę niepewności wprowadza się niepewność standardową, która może być szacowana na dwa sposoby: Niepewność typu A wykorzystuje metody analizy statystycznej zastosowanej do serii pomiarów. W tym przypadku niepewność pomiaru wyrażona jest za pomocą odchylenia standardowego dla średniej. Niepewność typu B oparta jest na naukowym osądzie eksperymentatora oraz związana jest z rozkładem prawdopodobieństwa jaki opisuje rozkład zmiennej losowej. W przypadku gdy zmienna losowa podlega rozkładowi jednostajnemu z przedziału ( x, x) niepewność standardowa wyrażona jest za pomocą odchylenia standardowego tego rozkładu s = x. 3 70

72 Jako symbol niepewności proponuje się literę u (od ang. uncertainty). Niepewność zapisać można jako: u, u(x) lub u x. Każdy z tych zapisów jest dopuszczalny i równoważny, jakkolwiek drugi zapis u(x), który podobny jest do zapisu funkcji może być mylący. 71

73 Zgodnie z normą ISO ocena niepewności wyników badań eksperymentalnych spełniać musi następujące kryteria: Podstawą wszelkiej oceny niepewności wyników badań eksperymentalnych jest analiza statystyczna przeprowadzona zgodnie z jej zasadami; Wszystkie wyniki badań powinny być przedstawiane z podaniem całkowitej standardowej niepewności; Standardowa niepewność pomiaru pojedynczej wielkości jest równoważna odchyleniu standardowemu uzyskanego wyniku; 72

74 W przypadku, gdy niepewność pojedynczego wyniku związana jest z błędem aparaturowym, stężeniem wzorca, lub innym błędem podanym przez producenta w postaci błędu bezwzględnego typu x, należy, przy założeniu odpowiedniego rozkładu prawdopodobieństwa przeliczyć ten błąd na odchylenie standardowe; Całkowita standardowa niepewność złożonego pomiaru powinna być obliczona z niepewności poszczególnych składowych z uwzględnieniem praw propagacji błędu (równanie (11)). W obliczeniach uwzględnić należy niepewności związane z stosowanym miernikiem, a wynikające z skończonej odległości na skali pomiarowej oraz z wzorcowania fabrycznego miernika. Błędy te sumują się z błędami innych elementów składowych pomiaru;

75 Obliczona na tej podstawie niepewność pomiaru oznacza 68.3% przedział ufności; Jeżeli konieczne jest podanie niepewności na wyższym poziomie ufności, to stosuje się mnożnik k = 2, 3, który pozwala na podanie niepewności pomiaru na poziomie ufności odpowiednio 95% i 99.7%. Niepewność pomiaru wyrażoną w ten sposób nazywamy rozszerzoną niepewnością. W takim przypadku należy bardzo wyraźnie zaznaczyć w opracowaniu fakt użycia mnożnika oraz podać należy jego wartość. Informacje te podać należy w taki sposób, aby nie sprawiała problemu interpretacja znaczenia niepewności; Wynik pomiaru zapisujemy w postaci (wartość mierzona ± niepewność pomiarowa) jednostka (21)

76 Próg czułości i czułość metody 73

77 Rysunek 8. Metoda badawcza jako urządzenie typu "czarna skrzynka" przetwarzające sygnał wejściowy x na sygnał wyjściowy y. 74

78 Definicja progu czułości Próg czułości metody badawczej jest to najmniejszy sygnał na wejściu metody, który powoduje pojawienie się dostrzegalnego sygnału na wyjściu metody. 75

79 Sygnał na wyjściu metody y 2 y 0 y 1 y = f(x) Poziom szumów, y s x 1 x 0 x 2 Sygnał na wejściu metody Rysunek 9. Interpretacja geometryczna progu czułości metody badawczej. Na rysunku zaznaczono: y = f(x) funkcję transformującą sygnał wejściowy na sygnał wyjściowy; y s poziom szumów; x 0 - próg czułości metody, x 1 - sygnał podprogowy, x 2 - sygnał użyteczny. 76

80 a) b) Sygnał na wyjściu metody y 2 y 0 y 1 x 1 x 0 x 2 y = f(x) Poziom szumów, y s Sygnał na wyjściu metody y 3 y 2 y 0 x 0 x 2 x 3 y = f(x) Poziom szumów, y s Sygnał na wejściu metody Sygnał na wejściu metody Rysunek 10. Interpretacja geometryczna progu czułości metody badawczej. a) podwyższanie progu czułości metody, b) obniżanie progu czułości metody poniżej poziomu szumów. Na rysunku zaznaczono: y = f(x) funkcję transformującą sygnał wejściowy na sygnał wyjściowy; y s poziom szumów; x 0 - próg czułości metody, x 1 - sygnał podprogowy, x 2 - sygnał użyteczny. 77

81 Definicja czułości metody Przez czułość metody badawczej rozumiemy najmniejszą różnicę pomiędzy dwoma sygnałami na wejściu metody, która wywołuje dostrzegalną różnicę pomiędzy odpowiednimi sygnałami na wyjściu metody. 78

82 Sygnał na wyjściu metody y 4 y3 y 2 y 1 y 0 y = f(x) Poziom szumów, y s x 0 x 3 x 4 x 1 x 2 Sygnał na wejściu metody Rysunek 11. Interpretacja geometryczna czułości metody badawczej. y = f(x) funkcję transformującą sygnał wejściowy na sygnał wyjściowy; y s poziom szumów. 79

83 W przypadku liniowej zależności pomiędzy sygnałami wejściowymi i wyjściowymi: y = b 0 + b 1 x. (22) Wtedy y 1 = b 0 + b 1 x 1, y 2 = b 0 + b 1 x 2. Odejmując te równania stronami, otrzymamy: (23) y = b 1 x 1. (24) 80

84 Zmiana sygnału na wyjściu metody, y y 3 y 2 y 1 y = b 1,3 x y = b 1,2 x y = b 1,1 x Poziom szumów, y s x 1 Zmiana sygnału na wyjściu metody, x Rysunek 12. Zależność obserwowanej różnicy w sygnałach wyjściowych od różnicy w sygnałach wejściowych w przypadku metody badawczej opisaną liniową funkcją kalibracyjną. Współczynniki kierunkowe: b 1,3 > b 1,2 > b 1,1. 81

85 Porównanie metod 1. Porównanie precyzji metod; 2. Porównanie dokładności metod. 82

86 Weryfikacja istotności różnic między wariancjami dwóch zmiennych losowych σ 2 1 i σ Hipoteza zerowa o równości wariancji: Hipoteza alternatywna: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 H 1 : σ 2 1 σ Hipoteza zerowa: Hipoteza alternatywna: H 0 : σ 2 1 σ 2 2 H 1 : σ 2 1 > σ

87 Funkcja testowa (test F ) F = s2 1 s 2 ; s 2 1 s 2 N1 ( 2 x1i x gdzie: s 2 1 = 1) i=1 N 1 1 oraz s 2 = prób pierwszej i drugiej, N 2 i=1 ( x2i x 2) 2 N 2 1 są wariancjami z N 1 i N 2 liczebność prób (liczba wykonanych pomiarów w pierwszym i drugim eksperymencie), x 1, x 2 wyznaczone średnie z prób. 84

88 Tabela 4. Test F dla wariancji. Reguły decyzyjne. Hipoteza Odrzucić Brak podstaw Prawdopod. Zerowa Alternat. H 0, do odrzucenia błędu H 0 H 1 gdy H 0, gdy I rodzaju σ 2 1 = σ2 2 σ 2 1 σ2 2 F F r1,r2,α F < F r1,r2,α 2α σ 2 1 σ2 2 σ 2 1 > σ2 2 F F r1,r2,α F < F r1,r2,α α F r1,r2,α wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu F Snedecora dla r 1 = N 1 1 oraz r 2 = N 2 1 stopni swobody i poziomie istotności α. 85

89 Weryfikacja istotności różnicy między wartościami oczekiwanymi dwóch zmiennych losowychµ 1 i µ 2 1. Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 2. Hipoteza zerowa Hipoteza alternatywna H 0 : µ 1 µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 86

90 Funkcja testowa (test t) t = x 1 x 2 s 2 ( 1 N1 + N 1 ) = x 1 x 2 s 2 2 N 1 N 2, N 1 + N 2 gdzie: N 1 i N 2 liczebności prób (liczby wykonanych pomiarów w pierwszym i drugim eksperymencie), x 1, x 2 wyznaczone średnie z prób, s 2 wariancja mieszana. 87

91 Wariancja mieszana: s 2 = N 1 (x 1i x 1 ) 2 + N 2 (x 2i x 2 ) 2 i=1 i=1 N 1 +N 2 2 = = s2 1 (N 1 1) + s 2 2 (N 2 1) N 1 + N 2 2. Warunkiem połączenia obu wariancji s 2 1 i s2 2 i obliczenia s2 jest brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości wariancji H 0 : σ1 2 = σ2 2. Hipotezę te weryfikujemy za pomocą testu F Snedecora. 88

92 Tabela 5. Test t dla dwóch wartości oczekiwanych (µ 1, µ 2 ). Reguły decyzyjne. Hipoteza Odrzucić Brak podstaw Prawdopodob. Zerowa Alternat. H 0, do odrzucenia błędu H 0 H 1 gdy H 0, gdy I rodzaju µ 1 = µ 2 µ 1 µ 2 t t r, α / 2 t < t r, α / 2 α µ 1 µ 2 µ 1 > µ 2 t t r,α t < t r,α α t r,α - wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu t Studenta dla r = N 1 + N 2 2 stopni swobody i poziomie istotności α. 89

93 Przykład 4. Dwiema różnymi metodami wykonano oznaczenia tytanu w roztworze. Korzystając z przedstawionych w Tabeli 6 wyników, zweryfikować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę statystyczną o porównywalności zastosowanych metod analitycznych. Wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu F Snedecora F 5,5,0.05 = 5.05 oraz z tablic rozkładu t Studenta t 10,0.05 =

94 Tabela 6. Wyniki oznaczeń tytanu różnymi metodami. Wartości podane w miligramach. Nr. próby Metoda I II

95 Zawartość tytanu, mg Metoda I Metoda II Metoda Rysunek 13. Wyniki oznaczeń tytanu. Wykres punktowy. 92

96 Średnie z próby: x 1 = Wariancje z próby: N 1 i=1 x 1 i N 1 = 1.127, x 2 = N 2 i=1 x 2 i N 2 = 1.16 N 1 ( x1i x 1) 2 N 2 ( x2i x 2) 2 s 2 1 = i=1 N 1 1 = , s 2 2 = i=1 N 2 1 = Wariancja mieszana: s 2 = s2 1 (N 1 1) + s 2 2 (N 2 1) N 1 + N 2 2 = = =

97 Porównanie precyzji metod Hipoteza zerowa: H 0 : σ1 2 = σ2 2 Hipoteza alternatywna: H 0 : σ1 2 σ2 2 94

98 Statystyka: F = σ2 2 σ 2 1 = Odczytana z tablic rozkładu F Snedecora wartość krytyczna dla r 1 = 5 i r 2 = 5 stopni swobody oraz poziomu istotności α = 0.05 wynosi F 5,5,0.05 = Ponieważ obliczona wartość statystyki F = < F 5,5,0.05 = 5.05, przeto nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o jednakowej wariancji (precyzji) porównywanych metod analitycznych na poziomie istotności α =

99 Porównanie dokładności metod analitycznych Hipoteza zerowa: H 0 : µ 1 = µ 2 Hipoteza alternatywna: H 0 : µ 1 µ 2 96

100 Statystyka: t = x 1 x 2 s 2 N 1 N 2 = N 1 + N = Odczytana z tablic rozkładu t Studenta wartość krytyczna dla r = 10 stopni swobody oraz poziomu istotności α = 0.05 wynosi t 10,0.05 = Ponieważ obliczona wartość statystyki t = < t 10,0.05 = 2.228, przeto nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku systematycznych różnic między porównywanymi metodami analitycznymi na poziomie istotności α =

101 Walidacja procedur analitycznych 98

102 Walidacja metody jest to proces oceny metody analitycznej prowadzony w celu zapewnienia jej zgodności ze stawianymi tej metodzie wymogami. Procedura walidacyjna definiuje ocenianą metodę oraz pozwala określić jej przydatność. 99

103 Procedura analityczna określa sposób przeprowadzenia analizy. W opisie procedury analitycznej podać należy w sposób dokładny kolejne kroki jakie podjąć należy celem przeprowadzenie każdego z testów analitycznych. Powinna ona określać: rodzaj próbki, standardy referencyjne, sposób otrzymywania reagentów, sposób użycia aparatury pomiarowej, sposób w jaki otrzymuje się krzywą kalibracyjną, formuły obliczeniowe oraz sposób ich wykorzystania, sposób oceny niepewności pomiaru. 100

104 Typowa charakterystyka walidacyjna metody analitycznej powinna określać: Dokładność; Precyzję rozumianą jako powtarzalność oraz odtwarzalność wewnątrz laboratoryjną i między laboratoryjną; Specyficzność; Poziom (granicę) wykrywalności; Poziom (granicę) oznaczalności; Liniowość; Zakres metody. 101

105 Specyficzność to zdolność do jednoznacznego oznaczenia analitu w obecności innych składników, których obecność możemy oczekiwać. W typowych sytuacjach uwzględnić należy między innymi: zanieczyszczenia, produkty degradacji, matrycę. 102

106 Zapewnienie specyficzności procedury analitycznej ma istotne znaczenie w następujących trzech dziedzinach: Identyfikacja: Jej celem jest zapewnienie tożsamości analitu; Testy czystości: Zapewnienie, że wszystkie procedury analityczne pozwalają na poprawne określenie poziomu zanieczyszczeń w analicie: metali ciężkich, pozostałości rozpuszczalników, itd; Testy ilościowe: Zapewnienie poprawności i dokładności wyników analiz mających określić zawartość lub zdolność leczniczą analitu w próbce. 103

107 Dokładność procedury analitycznej oznacza określony stopień zgodności pomiędzy wartością akceptowaną jako wartość prawdziwa lub referencyjna, a wynikiem pomiaru. Za miarę poprawności przyjmuje się różnicę pomiędzy wartością zmierzoną, a wartością rzeczywistą, której nośnikiem jest wzorzec lub substancja odniesienia. 104

108 Przez precyzję procedury analitycznej rozumiemy skupienie (stopień rozrzutu) wyników uzyskanych w serii pomiarów, przeprowadzonych w ściśle określonych warunkach, różnych próbek pobranych z tej samej homogenicznej partii badanego produktu. W przypadku, gdy nie ma możliwości otrzymania odpowiednich homogenicznych próbek produktu, użyć można próbek sztucznie otrzymanych w laboratorium. Zwykle precyzję procedury analitycznej wyraża się poprzez wariancję lub odchylenie standardowe obliczone dla serii wykonanych pomiarów. 105

109 Powtarzalność: Jest to przypadkowy rozrzut wyników uzyskanych w ciągu wielokrotnego badania (oznaczania wartości) tej samej cechy (właściwości) tego samego obiektu w warunkach powtarzalnych. 106

110 Warunki powtarzalne to: ta sama metoda badawczo pomiarowa, to samo laboratorium, ta sama osoba badająca, analizy przeprowadzone na tym samym urządzeniu badawczopomiarowym, przy użyciu tych samych czynników pomocniczych, w tych samych warunkach danego laboratorium. 107

111 Precyzja pośrednia: Jest to przypadkowy rozrzut wyników uzyskanych w ciągu wielokrotnego badania (oznaczania wartości) tej samej cechy (właściwości) tego samego obiektu w warunkach odtwarzalnych w danym laboratorium. 108

112 Warunki odtwarzalne to: ta sama lub odmienna metoda badawczo-pomiarowa, w dużych odstępach czasu, przeprowadzona przez różne osoby badające, na różnych urządzeniach badawczo-pomiarowych, przy użyciu różnych czynników pomocniczych, przeprowadzona w różnych warunkach laboratoryjnych. 109

113 Odtwarzalność: Jest to porównanie wyników zastosowania metody analitycznej w różnych warunkach, w różnych laboratoriach. Działania takie podejmuje się zwykle w przypadku prób standaryzacji metody. 110

114 Warunki prowadzenia pomiarów analitycznych jakie muszą być zachowane w trakcie wyznaczania powtarzalności, precyzji pośredniej i odtwarzalności. Warunek Powtarzalność Precyzja Odtwarzalność pośrednia Aparatura + Partia akcesoriów + Analityk + Skład matrycy Stężenie Partia odczynników + Warunki laboratoryjne + Laboratorium

115 Granicą wykrywalności (Limit of Detection - LOD) procedury analitycznej nazywamy najmniejszą ilość analitu w próbce, która może być wykryta za pomocą danej metody analitycznej, ale niekoniecznie musi być określona jej dokładna ilość. Innymi słowy jest to najmniejszym stężeniem analitu, przy którym istnieje pewność jego obecności w próbce. 112

116 Granica oznaczalności (Limit of Quantification - LOQ):jest to najmniejsza ilość analitu w próbce, jaka może być w sposób ilościowy oznaczona z akceptowalnym poziomem precyzji i dokładności. Najczęściej przyjmuje się, że LOQ = 3 LOD. 113

117 Przez liniowość procedury analitycznej rozumiemy jej zdolność, w założonym zakresie zmian (zakresie metody analitycznej), do otrzymywania wyników testowych, których wartości są wprost proporcjonalne do stężenia analitu w próbce. Innymi słowy liniowość metody analitycznej oznacza, że zależność sygnału wyjściowego metody od sygnału wejściowego (stężenia) opisuje się równaniem linii prostej. 114

118 Przez zakres metody analitycznej rozumiemy przedział domknięty stężeń ograniczony przez najmniejszą i największą wartość stężenia analitu w próbce, dla którego wykazano, że procedura analityczna zachowuje akceptowalny poziom dokładności, precyzji oraz liniowość. W przypadku analizy stężeń minimalnych w badanym materiale dolna granica zakresu metody odpowiada zwykle granicy oznaczalności bądź (rzadziej) wartości granicy wykrywalności. 115

119 Definicja walidacji według normy EN/PN 17025:2001. Walidacja jest potwierdzeniem przez zbadanie i przedstawienie obiektywnego dowodu, że zostały spełnione wymagania dotyczące zamierzonego zastosowania. Walidacja jest procesem potwierdzającym, że procedura analityczna (badana metoda) użyta do wykonania konkretnego, wyspecyfikowanego oznaczenia/testu jest odpowiednia do zamierzonego celu. Definicja jest zgodna z zaleceniami International Conference on Harmonisation of Technical Requirements for Registration of Pharmaceuticals for Human Use (ICH). 116

120 Testy identyfikacyjne: Testy identyfikacyjne mają na celu identyfikację analitów w próbce jak też identyfikację produktu końcowego. Z reguły testy identyfikacyjne polegają na porównaniu właściwości próbki (widma, chromatogramu, reaktywności chemicznej, itd.) z referencyjnymi standardami (wzorcami). 117

121 Testy na zanieczyszczenia: Testy na zanieczyszczenia podzielić można na dwa rodzaje: testy ilościowe oraz testy sprawdzające nie przekroczenie wartości granicznych. Zadaniem każdego z tych testów jest określenie czystości próbki, jednakże każdy z nich wymaga zastosowania innej charakterystyki walidacyjnej. 118

122 Analizy ilościowe na zawartość substancji czynnej: Testy ilościowe mają za zadanie określenie stężenia analitu w próbce. Z reguły określa się w ten sposób zawartość głównego składnika (substancji czynnej) w leku. Procedurę tę stosować można również do określenia zawartości innych substancji obecnych w leku. jak dla oznaczeń ilościowych W innych procedurach analitycznych takich, jak na przykład badaniu rozpuszczalności, rozkładzie wielkości cząstek substancji leczniczej (jednorodności) itd zaleca się stosowanie tej samej charakterystyki walidacyjnej. 119

123 Typowe procedury analityczne i ich charakterystyki. Rodzaj procedury analitycznej Parametry Testy zanieczyszczeń Analiza metody Identyfikacja ilościowe graniczne ilościowa Dokładność + + Precyzja powtarzalność + + odtwarzalność Specyficzność Gr. wykrywalności 3 + Gr. oznaczalności + Liniowość + + Zakres metody

124 Kolejne etapy procedury walidacyjnej Sformułowanie zadania; Przeprowadzenie charakterystyki metody badawczej (określenie wartości liczbowych cech charakterystycznych metody); Porównanie wartości cech charakterystycznych metody badawczej z wymaganiami sformułowanymi w stosunku do metody badawczej; Określenie przydatności metody badawczej do rozwiązania zadania ( stwierdzenie przydatności "metoda spełnia wymagania" albo poszukanie innej metody badawczej lub zmiana wymagań stawianych metodzie lub rezygnacja ze zlecenia.); 121

125 W przypadku braku specyfikacji, walidacja polega na scharakteryzowaniu wartości wybranych cech metody w warunkach laboratorium. 122

126 Ustalenie charakterystycznych cech metody badawczej uzyskuje się poprzez: Systematyczne badanie czynników wpływających na wynik badania. Porównanie z wzorcami odniesienia połączone z systematycznym badaniem czynników wpływających na wynik. Porównawcze badania międzylaboratoryjne przy użyciu tej samej metody badawczej. Porównanie wyników uzyskanych innymi metodami badawczymi. 123

127 Rysunek 13. Schemat powstawania metody analizy jakościowej. 124

128 Rysunek 14. Schemat powstawania metody analizy ilościowej. 125

129 Dziękuję za uwagę 126

130 127