JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE"

Transkrypt

1 1 JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE Precyzja Dr hab. inż. Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/ GDAŃSK

2 Wielkość sygnałów dla takiej samej zawartości analitu precyzja (powtarzalność, precyzja pośrednia, odtwarzalność).

3 Definicje 3 Precyzja (ang. precision) zgodność pomiędzy niezależnymi wynikami uzyskanymi w trakcie analizy danej próbki z zastosowaniem danej procedury analitycznej.

4 Definicje 4 Powtarzalność (ang. repeatability) precyzja wyników uzyskanych w tych samych warunkach pomiarowych (dane laboratorium, analityk, instrument pomiarowy, odczynniki).

5 Definicje 5 Precyzja pośrednia (ang. intermediate precision) długoterminowe odchylenie procesu pomiarowego, do którego wyznaczenia wykorzystuje się odchylenie standardowe serii pomiarów uzyskanych w danym laboratorium w kilkutygodniowym okresie czasu. Precyzja pośrednia jest pojęciem szerszym od powtarzalności.

6 Definicje 6 Odtwarzalność (ang. reproducibility) precyzja wyników uzyskanych w różnych laboratoriach z zastosowaniem danej procedury pomiarowej.

7 7 Powtarzalność - wyznaczana na podstawie wartości obliczonego odchylenia standardowego serii pomiarów przeprowadzonych: w danym laboratorium; przez danego analityka; z wykorzystaniem danego urządzenia pomiarowego; w krótkim okresie czasu.

8 8 Precyzja pośrednia jest pojęciem szerszym od powtarzalności, gdyż na jej wartość wpływ mają: czynniki osobowe różni analitycy wykonujący oznaczenia jak i niestabilność pracy danego analityka w ciągu całego okresu czasu; czynniki aparaturowe ze względu na to, że pomiary mogą być przeprowadzone z wykorzystaniem: różnych instrumentów z danego laboratorium; roztworów wzorcowych i odczynników pochodzących od różnych producentów, lub też różnych szarż produkcyjnych; różnych akcesoriów np. różnych kolumn GC, o tej samej charakterystyce, lecz pochodzących od różnych producentów, bądź też z różnych szarż produkcyjnych;

9 Warunki prowadzenia pomiarów analitycznych jakie muszą być zachowane w trakcie wyznaczania powtarzalności, precyzji pośredniej i odtwarzalności 9 Warunek Powtarzalność Precyzja pośrednia Odtwarzalność Aparatura S Z Z Partia akcesoriów S Z Z Analityk S Z Z Skład matrycy Z Z Z Stężenie Z Z Z Partia odczynników S Z Z Warunki laboratoryjne (temperatura wilgotność) S Z Z Laboratorium S S Z S konieczność zachowania stałości parametru Z możliwość zmiany danego parametru

10 Porównanie dotychczasowych i nowo proponowanych definicji parametrów dotyczących precyzji 10 Podejście klasyczne Precyzja miara zgodności między wartościami eksperymentalnymi otrzymanymi w trakcie badań wykonanych w określonych warunkach. Powtarzalność - precyzja procedury w przypadku jednego wykonawcy pomiarów pracującego w danym laboratorium, otrzymującego kolejne wyniki podczas badania w krótkich odstępach czasu identycznego produktu z wykorzystaniem tej samej procedury i za pomocą tej samej aparatury. Podejście zalecane przez VIM Precyzja stopień zgodności między niezależnymi wynikami uzyskanymi w trakcie analizy danej próbki z zastosowaniem danej procedury analitycznej. Powtarzalność precyzja wyników uzyskanych w tych samych warunkach pomiarowych (dane laboratorium, analityk, instrument pomiarowy, odczynniki). VIM - International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology

11 Porównanie dotychczasowych i nowo proponowanych definicji parametrów precyzji Podejście klasyczne Odtwarzalność precyzja metody, będąca miarą zgodności wyników osiąganych w przypadku różnych wykonawców pracujących w różnych laboratoriach lub w tym samym laboratorium w różnych okresach, przy czym każdy z nich otrzymuje indywidualne wyniki podczas badania identycznego produktu z wykorzystaniem tej samej metody. Podejście zalecane przez VIM Odtwarzalność precyzja wyników uzyskanych w różnych laboratoriach z zastosowaniem danej procedury pomiarowej. Precyzja pośrednia długoterminowe odchylenie procesu pomiarowego, do którego wyznaczenia wykorzystuje się odchylenie standardowe serii pomiarów uzyskanych w danym laboratorium w kilkutygodniowym okresie czasu. Precyzja pośrednia jest pojęciem szerszym od powtarzalności. 11 VIM - International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology

12 1 Wg ICH wartość odchylenia standardowego można obliczyć na podstawie jednego z poniższych sposobów: przeprowadzeniu co najmniej 9 niezależnych oznaczeń w całym zakresie pomiarowym (np.: 3 niezależne oznaczenia na 3 poziomach stężeń); przeprowadzeniu 6 niezależnych oznaczeń analitu w próbkach wzorcowych na poziomie stężenia odpowiadającemu stężeniu w próbce rzeczywistej; na podstawie wyników 6 niezależnych oznaczeń dla analitów występujących w 3 różnych matrycach i na lub 3 poziomach stężeń; Wg zaleceń EURACHEM wskazane jest przeprowadzenie 10 niezależnych oznaczeń i na tej podstawie obliczenie odchylenia standardowego.

13 13 s 1 s μ 1 μ np.: wykonanie daną procedurą pomiarową (stałe odchylenie standardowe) analiz dla próbek o różnej zawartości analitu; s s 1 μ 1 = μ np.: wykonanie analiz dla tej samej próbki (taka sama wartość oczekiwana) dwiema niezależnymi procedurami (różne wartości odchylenia standardowego); GBC Rodzinnie, Zakopane,

14 Wariancja Wariancja jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości. 14 s = 1 n 1 n i 1 ( ) x i x śr

15 Odchylenie standardowe Definiowane jako miara rozproszenia uzyskanych poszczególnych wartości oznaczeń wokół wartości średniej: 15 s = n i = 1 ( x x ) i n 1 śr gdzie: x i wartość pojedynczego wyniku oznaczenia; x śr średnia arytmetyczna z uzyskanych wyników; n liczba uzyskanych wyników;

16 16 Odchylenie standardowe jest równe zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są identyczne. W każdym innym przypadku wielkość ta jest dodatnia. Zatem im większe rozproszenie wyników, tym wartość s jest większa. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeden podstawowy fakt. Rozrzut wyników związany jest z każdym postępowaniem analitycznym. Możliwe jest natomiast, że zjawiska tego nie udało się zaobserwować ze względu na np. zbyt niską rozdzielczość stosowanego przyrządu kontrolno-pomiarowego.

17 17 Serie wyników pomiarów uzyskane z wykorzystaniem przyrządów kontrolno-pomiarowych o różnej rozdzielczości. Uzyskane wyniki Wartość odchylenia standardowego Przyrząd 1 Przyrząd Przyrząd ,8 16, ,1 17, ,9 16, ,4 17, ,3 17, , 17, ,0 16,96 0 0, 0,3

18 18 Właściwości odchylenia standardowego jeżeli do każdej wartości wyniku pomiaru dodamy (lub od niej odejmiemy) stałą wartość to wartość odchylenia standardowego nie zmieni się, jeżeli każdą wartość wyniku pomiaru pomnożymy lub podzielimy przez dowolną stałą to wartość odchylenia standardowego zostanie także pomnożona lub podzielona przez tę stałą, odchylenie standardowe jest zawsze liczbą mianowaną, przy czym miano jego jest wyrażone w takich samych jednostkach jak miano wartości wyników w próbce,

19 Odchylenie standardowe: 19 a. dla znanej wartości rzeczywistej µ x s n i = 1 = ( x μ ) i n x b. dla nieznanej wartości rzeczywistej (oszacowanie x śr ) s = n i = 1 ( x x ) i n 1 śr

20 0 c. względne odchylenie standardowe ( s ) RSD = R s x śr d. odchylenie standardowe średniej arytmetycznej s= s n

21 1 e. odchylenie standardowe metody (ogólne) s g = 1 n k k i = 1 s i ( n 1) i gdzie: n - ogólna liczba oznaczeń k - liczba serii dla równolicznych serii wzór upraszcza się do postaci: s 1 k = g s i k i = 1

22 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności (CV) powstaje przez pomnożenie wartości RSD przez 100%: CV 100% = RSD Współczynnik zmienności - jest ilorazem bezwzględnej miary zmienności cechy i średniej wartości tej cechy, jest wielkością niemianowaną, najczęściej podawaną w procentach. Współczynnik zmienności stosuje się w porównaniach zróżnicowania: kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy, tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech.

23 3

24 4 Tabela 8 Współczynniki zmienności (CV) dla metod ilościowych dla różnych zakresów ułamków masy pierwiastków Ułamek masy CV (%) 10 μg/kg do 100 μg/kg 0 > 100 μg/kg do μg/kg μg/kg 10

25 5 Odchylenie standardowe Liczba pomiarów

26 6 Odchylenie standardowe Liczba pomiarów

27 7 Odchylenie standardowe koszt Liczba pomiarów

28 8 Odchylenie standardowe koszt czas Liczba pomiarów

29 9 Odchylenie standardowe koszt czas n opt Liczba pomiarów

30 30 Ocena (porównanie) uzyskanej(ych) wartości odchylenia standardowego 1. Ocena na podstawie obliczonej wartości RSD (bądź CV). Z zastosowaniem odpowiedniego testu statystycznego a. w celu sprawdzenia istotności różnicy między odchyleniem standardowym badanej populacji a wartością zadaną stosujemy test χ. b. w celu porównania precyzji dwóch niezależnych serii pomiarowych uzyskanych w trakcie analizy próbek o zawartości analitu na takim samym poziomie, stosujemy test F-Snedecora

31 31 c. do porównania precyzji dwóch zależnych serii pomiarowych, stosujemy test Morgana d. do porównywania precyzji dla równolicznych populacji (ilość wyników uzyskanych porównywanymi procedurami) stosujemy test F max Hartleya e. w celu porównywania precyzji (kilka metod, serie nie koniecznie równoliczne) - test Bartletta

32 test χ Sprawdzamy hipotezę zerową, że odchylenie standardowe s populacji badanej nie różni się w sposób statystycznie istotny od wartości zadanej s o. stosowalność testu tylko w przypadku rozkładu normalnego! Sposób postępowania: 3 obliczyć wartość wyrażenia: χ = n s s o porównać wartość obliczoną z wartością krytyczną χ (z tablic rozkładu χ ) kr

33 test χ 33 Opracowywano metodę oznaczania zawartości jonów Ca + w wodzie z wykorzystaniem techniki potencjometrycznej z zastosowaniem elektrody jonoselektywnej. Sprawdzić czy odchylenie standardowe dla opracowywanej metody, różni się w sposób statystycznie istotny od wartości odchylenia standardowego dla metody odniesienia - ASA, dla której s o = 0,067 mg/dm 3.

34 test χ 34 Wykonano 5 oznaczeń uzyskując następujące wyniki w mg/dm 3 : Lp. wynik Lp. wynik 1 8, ,77 8, ,88 3 8, ,75 4 8, ,68 5 8, ,71 6 8, ,73 7 8,65 0 8,74 8 8,7 1 8,80 9 8,88 8, ,60 3 8, ,63 4 8,7 1 8,7 5 8, ,75 χ = n s s o Obliczone parametry: s = 0,074 mg/dm 3 χ = 30,

35 test χ Test χ wartości krytyczne 35 α 0,05 0,01 f 1 3,84 6,64 5,99 9,1 3 7,81 11,34 4 9,49 13,8 5 11,07 15,09 6 1,59 16, ,07 18, ,51 0, ,9 1, ,31 3, ,68 4,7 1 1,03 6, 13,36 7, ,68 9, ,00 30, ,30 3, ,59 33, ,87 34, ,14 36, ,41 37,57 1 3,67 38,93 33,9 40,9 3 35,17 41, ,41 4, ,65 44,31 z tablicy rozkładu χ : χ (α =0,05; f =n -1=4) = kr 36,41 χ = 30, ponieważ χ <χ nie ma podstaw do kr odrzucenia hipotezy o równości wartości odchylenia standardowego

36 test F-Snedecora 36 Sposób postępowania: obliczyć wartości odchyleń standardowych dla serii wyników uzyskanych obydwiema procedurami (s 1 i s ), obliczyć wartość parametru testu F-Snedecora wg wzoru: F = 1 n1 1 n n n 1 s s 1 F > 1 zawsze!!!

37 test F-Snedecora 37 z tabeli rozkładu testu F-Snedecora wyszukać wartość parametru F kr dla przyjętego poziomu istotności - α (najczęściej α = 0,05) oraz wyliczonych stopni swobody f 1 i f (gdzie f 1 =n 1-1 i f =n -1 a n 1 i n to ilość wyników uzyskanych z zastosowaniem obydwu metod); porównać wartość F z wartością F kr ;

38 test F-Snedecora 38 Oznaczano zawartość HCl dwiema metodami: kulometryczną i konduktometryczną. Sprawdzić, czy obliczone wartości odchyleń standardowych dla uzyskanych tymi metodami serii pomiarowych różnią się między sobą w sposób statystycznie istotny. Uzyskane wyniki [mol/dm 3 ]: kulometria konduktometria 0,0095 0,0103 0,0098 0,0110 0,0097 0,011 0,0093 0,0108 0,0097 0,0106 0,0096 0,0104 0,0099 0,0109

39 test F-Snedecora 39 Obliczone wartości: kulometria konduktometria n = 7 n =7 s = 0,0000 mol/dm 3 s = 0,00033 mol/dm 3 s s 1 F = s s 1 =,69

40 test F-Snedecora Test F-Snedecora wartości krytyczne f 1 f 19,00 99,01 19,16 99,17 19,5 99,5 19,30 99,30 19,33 99,33 19,36 99,34 19,37 99,36 19,38 99,38 19,39 99,40 19,40 99,41 3 9,55 30,81 9,8 9,46 9,1 8,71 9,01 8,4 8,94 7,91 8,88 7,67 8,84 7,49 8,81 7,34 8,78 7,3 8,76 7,13 4 6,94 18,00 6,59 16,69 6,39 15,98 6,6 15,5 6,16 15,1 6,09 14,98 6,04 14,80 6,00 14,66 5,96 14,54 5,93 14,45 5 5,79 13,7 5,41 1,06 5,19 11,39 5,05 10,97 4,95 10,67 4,88 10,45 4,8 10,7 4,78 10,15 4,74 10,05 4,70 9,96 6 5,14 10,9 4,76 9,78 4,53 9,15 4,39 8,57 4,8 8,47 4,1 8,6 4,15 8,10 4,10 7,98 4,06 7,87 4,03 7,79 7 4,74 9,55 4,35 8,45 4,1 7,85 3,97 7,46 3,87 7,19 3,79 7,00 3,73 6,84 3,68 6,71 3,63 6,6 3,60 6,54 8 4,46 8,65 4,07 7,59 3,84 7,01 3,69 6,63 3,58 6,37 3,50 6,19 3,44 6,03 3,39 5,91 3,34 5,8 3,31 5,74 9 4,6 8,0 3,86 6,99 3,63 6,4 3,48 6,06 3,37 5,80 3,9 5,6 3,3 5,47 3,18 5,35 3,13 5,6 3,10 5, ,10 3,71 3,48 3,33 3, 3,14 3,07 3,0,97,94 7, ,98 7,0 6,55 3,59 6, 5,99 3,36 5,67 5,64 3,0 5,3 5,39 3,09 5,07 5,1 3,01 4,88 5,06,95 4,74 4,95,90 4,63 4,85,86 4,54 4,78,8 4,46 α = 0,05 α = 0,01 Z tablicy rozkładu F-Snedecora odczytano wartość F kr dla danego poziomu istotności i odpowiednich liczb stopni swobody. F kr (α=0,05; f 1 =f =6)= F =, ,8 Ponieważ F<F kr zatem wynika stąd wniosek, że uzyskane wartości odchylenia standardowego nie różnią się między sobą w sposób statystycznie istotny (porównywane metody nie różnią się pod względem precyzji).

41 test F max Hartleya 41 Sposób postępowania: obliczyć wartości odchylenia standardowego dla poszczególnych serii wyników uzyskanych poddawanymi ocenie metodami znaleźć wśród nich wartość minimalną s min i maksymalną s max ; obliczyć wartość parametru testu F max wg wzoru: F = max s s max min porównać wartość F max z wartością krytyczną F max o (z tablic rozkładu F max o )

42 test F max Hartleya 4 Oznaczano zawartość HCl trzema metodami: kulometryczną, konduktometryczną i miareczkowania alkacymetrycznego. Sprawdzić, czy obliczone wartości odchylenia standardowego dla uzyskanych tymi metodami serii pomiarowych różnią się między sobą w sposób statystycznie istotny. Uzyskane wyniki [mol/dm 3 ]: kulometria konduktometria alkacymetria 0,0095 0,0103 0,011 0,0098 0,0110 0,0103 0,0097 0,011 0,010 0,0093 0,0108 0,0095 0,0097 0,0106 0,009 0,0096 0,0104 0,0093 0,0099 0,0109 0,0098

43 test F max Hartleya 43 Obliczone wartości: kulometria konduktometria alkacymetria n = 7 n =7 n =7 s = 0,0000 mol/dm 3 s = 0,00033 mol/dm 3 s = 0,00106 mol/dm 3 s min s max F max max = min = s s 8,1

44 test F max Hartleya 44 Wartości krytyczne F max o dla α = 0,05 f k ,0 87, ,4 7,8 39, 50,7 6,0 7,9 83,5 93, ,60 15,5 0,6 5, 9,5 33,6 37,5 41,1 44,6 48,0 5 7,15 10,8 13,7 16,3 18,7 0,8,9 4,7 6,5 8, 6 5,8 8,38 10,4 1,1 13,7 15,0 16,3 17,5 18,6 19,7 7 4,99 6,94 8,44 9,70 10,8 11,8 1,7 13,5 14,3 15,1 8 4,43 6,00 7,18 8,1 9,03 9,78 10,5 11,1 11,7 1, 9 4,03 5,34 6,31 7,11 7,80 8,41 8,95 9,45 9,91 10,3 10 3,7 4,85 5,67 6,34 6,9 7,4 7,87 8,9 8,66 9,01 15,86 3,54 4,01 4,37 4,68 4,95 5,19 5,40 5,59 5,77 0,46,95 3,9 3,54 3,76 3,94 4,10 4,4 4,37 4,49 30,07,40,61,78,91 3,0 3,1 3,1 3,9 3, ,67 1,85 1,96,04,11,17,,6,30,33 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 Z tablicy rozkładu F max odczytano wartość F max o dla danego poziomu istotności (α), ilości porównywanych wartości odchylenia standardowego (k) i odpowiednich liczb stopni swobody (f ). GBC Rodzinnie, Zakopane, F max o (α=0,05; k = 3; f =6)= 8,38 F max = 8,1 Ponieważ F max > F max o zatem wynika stąd wniosek, że uzyskane wartości odchylenia standardowego różnią się między sobą w sposób statystycznie istotny (porównywane metody różnią się pod względem precyzji).

45 Przykład 45 Oznaczano zawartość siarczanów w wodzie techniką nefelometryczną. Oznaczeń dokonano w 5 próbkach (5 serii) o różnej zawartości siarczanów wykonując po 7 oznaczeń w serii. Obliczyć odchylenie standardowe metody. Uzyskane wyniki zestawiono poniżej (wszystkie dane w mg/dm 3 ): Pomiar Seria 1 Seria Seria 3 Seria 4 Seria 5 1 1,6 8,31 31,5 15,1 6,1 1,4 8,45 31,8 15,8 6,8 3 1,8 8,70 31,9 15,6 7,3 4 1,4 8,11 3,1 15,0 8,1 5 1,0 8,5 33,4 14,7 7,8 6 1,9 8,10 33,3 15,9 6,3 7 11,8 8,78 31, 14,6 7,0 x śr 1,4 8,39 3, 15, 7,1 s 0,40 0,7 0,86 0,53 0,74 CV [%] 3,4 3,3,66 3,45,7

46 Ponieważ zbiory są równoliczne, w celu sprawdzenia jednorodności wariancji (warunek konieczny przy wyznaczaniu odchylenia standardowego metody) zastosowano test F max Hartleya. W tym celu obliczono wartość wyrażenia: max W tym przypadku gdy poziomy zawartości są różne operujemy CV zamiast s: F = max CV max = CV min = stąd: CV CV 3,45,66 F max = 1,68 max min F = max Pomiar Seria 1 Seria Seria 3 Seria 4 Seria 5 1 1,6 8,31 31,5 15,1 6,1 1,4 8,45 31,8 15,8 6,8 3 1,8 8,70 31,9 15,6 7,3 4 1,4 8,11 3,1 15,0 8,1 5 1,0 8,5 33,4 14,7 7,8 6 1,9 8,10 33,3 15,9 6,3 7 11,8 8,78 31, 14,6 7,0 min x śr 1,4 8,39 3, 15, 7,1 s 0,40 0,7 0,86 0,53 0,74 CV [%] 3,4 3,3,66 3,45,7 s s 46

47 Wartości krytyczne F max o dla α = 0,05 f k ,0 87, ,4 7,8 39, 50,7 6,0 7,9 83,5 93, ,60 15,5 0,6 5, 9,5 33,6 37,5 41,1 44,6 48,0 5 7,15 10,8 13,7 16,3 18,7 0,8,9 4,7 6,5 8, 6 5,8 8,38 10,4 1,1 13,7 15,0 16,3 17,5 18,6 19,7 7 4,99 6,94 8,44 9,70 10,8 11,8 1,7 13,5 14,3 15,1 8 4,43 6,00 7,18 8,1 9,03 9,78 10,5 11,1 11,7 1, 9 4,03 5,34 6,31 7,11 7,80 8,41 8,95 9,45 9,91 10,3 10 3,7 4,85 5,67 6,34 6,9 7,4 7,87 8,9 8,66 9,01 15,86 3,54 4,01 4,37 4,68 4,95 5,19 5,40 5,59 5,77 0,46,95 3,9 3,54 3,76 3,94 4,10 4,4 4,37 4,49 30,07,40,61,78,91 3,0 3,1 3,1 3,9 3, ,67 1,85 1,96,04,11,17,,6,30,33 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 F max o (α=0,05; k = 5; f =6)= 1,1 F max =1,68 47 Z tablicy rozkładu F max odczytano wartość F max o dla danego poziomu istotności (α), ilości porównywanych wartości odchylenia standardowego (k) i odpowiednich liczb stopni swobody (f ). Ponieważ F max <F maxo zatem wynika stąd wniosek, że uzyskane wartości odchylenia standardowego nie różnią się między sobą w sposób statystycznie istotny.

48 Obliczono odchylenie standardowe metody: 48 dla równolicznych serii skorzystano z zależności: CV stąd po podstawieniu danych: 1 k = g CV i k i = 1 CV g =3,10% Można także policzyć średnią z wartości CV (tylko gdy wartości odchyleń standardowych nie różnią się w sposób statystycznie istotny): CV g =3,06%

49 49 Obliczanie powtarzalności procedury Oznaczano zawartość jonów chlorkowych (Cl - ) w próbkach wody morskiej z wykorzystaniem techniki potencjometrycznej z zastosowaniem chlorkowej elektrody jonoselektywnej. W celu wyznaczenia powtarzalności zastosowanej procedury analitycznej przeprowadzono pomiary zawartości jonów Cl - dla próbek roztworu modelowego. Badania przeprowadzono w 7 seriach po 7 pomiarów w serii.

50 Wyniki pomiarów jak i obliczone wartości średnie dla każdej serii, wartości odchylenia standardowego oraz wartości współczynnika zmienności zestawiono w tabeli: 50 F = max F max = 3,3 CV CV max min zawartość jonów chlorkowych [mg Cl - /dm 3 ] seria 1 seria seria 3 seria 4 seria 5 seria 6 seria , 99,8 103,1 103,8 104,8 103,0 100,4 10,3 101,6 10,9 106, 106,4 105,4 99, ,1 100,9 10,3 105, 105, 103,7 100, 4 104, 98,3 104,4 100,8 105, 104,8 101, , 101,1 106,0 10,8 103,4 100,8 100,8 6 10,8 103,3 10,9 103, 104,6 104,1 98, , 100,8 103,1 104,6 106,0 10, 98,6 średnia 104,1 100,8 103,5 103,8 105,1 103,4 100,0 odchylenie standardowe 1,65 1,54 1,6 1,77 0,98 1,58 1,00 CV RSD 1,59% 1,53% 1,% 1,70% 0,93% 1,5% 1,00%

51 Wartości krytyczne F max o dla α = 0,05 f k ,0 87, ,4 7,8 39, 50,7 6,0 7,9 83,5 93, ,60 15,5 0,6 5, 9,5 33,6 37,5 41,1 44,6 48,0 5 7,15 10,8 13,7 16,3 18,7 0,8,9 4,7 6,5 8, 6 5,8 8,38 10,4 1,1 13,7 15,0 16,3 17,5 18,6 19,7 7 4,99 6,94 8,44 9,70 10,8 11,8 1,7 13,5 14,3 15,1 8 4,43 6,00 7,18 8,1 9,03 9,78 10,5 11,1 11,7 1, 9 4,03 5,34 6,31 7,11 7,80 8,41 8,95 9,45 9,91 10,3 10 3,7 4,85 5,67 6,34 6,9 7,4 7,87 8,9 8,66 9,01 15,86 3,54 4,01 4,37 4,68 4,95 5,19 5,40 5,59 5,77 0,46,95 3,9 3,54 3,76 3,94 4,10 4,4 4,37 4,49 30,07,40,61,78,91 3,0 3,1 3,1 3,9 3, ,67 1,85 1,96,04,11,17,,6,30,33 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 F max o (α=0,05; k = 7; f =6)= 15,0 F max =3,3 51 Z tablicy rozkładu F max odczytano wartość F max o dla danego poziomu istotności (α), ilości porównywanych wartości odchylenia standardowego (k) i odpowiednich liczb stopni swobody (f ). Ponieważ F max < F maxo zatem wynika stąd wniosek, że uzyskane wartości odchylenia standardowego nie różnią się między sobą w sposób statystycznie istotny. Można policzyć wartość średnią

52 5 Wartość powtarzalności obliczono jako średnią arytmetyczną z obliczonych wartości współczynnika zmienności dla każdej z 7 serii. Wyniosła ona w tym przypadku: CV = 1,35 %

53 53 Obliczanie precyzji pośredniej Na podstawie wyników badań opisanych w poprzednim przykładzie wyznaczono dodatkowo wartość precyzji pośredniej. W tym celu obliczono wartość średnią i wartość odchylenia standardowego dla wszystkich 49 wyników - (7 serii po 7 wyników w serii) pomiarów. Otrzymano następujące wartości: średnia: 103 mg Cl - /dm 3 odchylenie standardowe:,19 mg Cl - /dm 3

54 54 Z kolei wartość precyzji pośredniej wyznaczono jako współczynnik zmienności: CV =,1% Jest rzeczą zrozumiałą, że wartość precyzji pośredniej przewyższa wartość powtarzalności, gdyż na jej wartość ma wpływ znacznie większa liczba zmiennych (np.: czas pomiarów).

55 55

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów

STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów STATYSTYKA MATEMATYCZNA narzędzie do opracowywania i interpretacji wyników pomiarów Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Statystyka matematyczna - część matematyki

Bardziej szczegółowo

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie 2010-10-20

Wprowadzenie 2010-10-20 PODSTAWY STATYSTYKI Dr hab. inż. Piotr Konieczka piotr.konieczka@pg.gda.pl 1 Wprowadzenie Wynik analityczny to efekt przeprowadzonego pomiaru(ów). Pomiar to zatem narzędzie wykorzystywane w celu uzyskania

Bardziej szczegółowo

JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE

JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE 1 Granica wykrywalności i granica oznaczalności Dr inż. Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/12

Bardziej szczegółowo

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem. Teoria błędów Wskutek niedoskonałości przyrządów, jak również niedoskonałości organów zmysłów wszystkie pomiary są dokonywane z określonym stopniem dokładności. Nie otrzymujemy prawidłowych wartości mierzonej

Bardziej szczegółowo

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji

Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH Walidacja metod analitycznych (według ISO) to proces ustalania parametrów charakteryzujących

Bardziej szczegółowo

JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE

JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE JAK WYZNACZA SIĘ PARAMETRY WALIDACYJNE 1 Przykład walidacji procedury analitycznej Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/1 80-33 GDAŃSK

Bardziej szczegółowo

Ana n l a i l za z a i ns n tru r men e t n al a n l a

Ana n l a i l za z a i ns n tru r men e t n al a n l a Analiza instrumentalna rok akademicki 2014/2015 wykład: prof. dr hab. Ewa Bulska prof. dr hab. Agata Michalska Maksymiuk pracownia: dr Marcin Wojciechowski Slide 1 Analiza_Instrumentalna: 2014/2015 Analiza

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Szkoła Letnia STC Łódź mgr inż. Paulina Mikoś

Szkoła Letnia STC Łódź mgr inż. Paulina Mikoś 1 mgr inż. Paulina Mikoś Pomiar powinien dostarczyć miarodajnych informacji na temat badanego materiału, zarówno ilościowych jak i jakościowych. 2 Dzięki temu otrzymane wyniki mogą być wykorzystane do

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

NARZĘDZIA DO KONTROLI I ZAPEWNIENIA JAKOŚCI WYNIKÓW ANALITYCZNYCH. Piotr KONIECZKA

NARZĘDZIA DO KONTROLI I ZAPEWNIENIA JAKOŚCI WYNIKÓW ANALITYCZNYCH. Piotr KONIECZKA 1 NARZĘDZIA DO KONTROLI I ZAPEWNIENIA JAKOŚCI WYNIKÓW ANALITYCZNYCH Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/12 80-952 GDAŃSK e-mail: kaczor@chem.pg.gda.pl

Bardziej szczegółowo

JAK WYZNACZYĆ PARAMETRY WALIDACYJNE W METODACH INSTRUMENTALNYCH

JAK WYZNACZYĆ PARAMETRY WALIDACYJNE W METODACH INSTRUMENTALNYCH JAK WYZNACZYĆ PARAMETRY WALIDACYJNE W METODACH INSTRUMENTALNYCH dr inż. Agnieszka Wiśniewska EKOLAB Sp. z o.o. agnieszka.wisniewska@ekolab.pl DZIAŁALNOŚĆ EKOLAB SP. Z O.O. Akredytowane laboratorium badawcze

Bardziej szczegółowo

SYSTEM KONTROLI I ZAPEWNIENIA JAKOŚCI WYNIKÓW BADAŃ W LABORATORIUM. Piotr Konieczka

SYSTEM KONTROLI I ZAPEWNIENIA JAKOŚCI WYNIKÓW BADAŃ W LABORATORIUM. Piotr Konieczka SYSTEM KONTROLI I ZAPEWNIENIA JAKOŚCI WYNIKÓW BADAŃ W LABORATORIUM Piotr Konieczka 1 2 Jakość spełnienie określonych i oczekiwanych wymagań (zawartych w odpowiedniej normie systemu zapewnienia jakości).

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA. dr inż. Aleksander Astel

ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA. dr inż. Aleksander Astel ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA dr inż. Aleksander Astel Gdańsk, 22.12.2004 CHEMOMETRIA dziedzina nauki i techniki zajmująca się wydobywaniem użytecznej informacji z wielowymiarowych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6 Metody sprawdzania założeń w analizie wariancji: -Sprawdzanie równości (jednorodności) wariancji testy: - Cochrana - Hartleya - Bartletta -Sprawdzanie zgodności

Bardziej szczegółowo

Metrologia: powtarzalność i odtwarzalność pomiarów. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: powtarzalność i odtwarzalność pomiarów. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: powtarzalność i odtwarzalność pomiarów dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Definicje: Pojęciami związanymi z metodami diagnozowania procesów i oceny ich bezpieczeństwa oraz

Bardziej szczegółowo

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ budynek Centrum Mechatroniki, iomechaniki i Nanoinżynierii) wwwzmispmtputpoznanpl tel +48

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1.

Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Zadania ze statystyki cz.8. Zadanie 1. Wykonano pewien eksperyment skuteczności działania pewnej reklamy na zmianę postawy. Wylosowano 10 osobową próbę studentów, których poproszono o ocenę pewnego produktu,

Bardziej szczegółowo

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności

DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM. Procedura szacowania niepewności DOKUMENTACJA SYSTEMU ZARZĄDZANIA LABORATORIUM Procedura szacowania niepewności Szacowanie niepewności oznaczania / pomiaru zawartości... metodą... Data Imię i Nazwisko Podpis Opracował Sprawdził Zatwierdził

Bardziej szczegółowo

Walidacja metod analitycznych

Walidacja metod analitycznych Kierunki rozwoju chemii analitycznej Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH oznaczanie coraz niŝszych w próbkach o złoŝonej matrycy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

KALIBRACJA BEZ TAJEMNIC

KALIBRACJA BEZ TAJEMNIC KALIBRACJA BEZ TAJEMNIC 1 Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska e-mail: piotr.konieczka@pg.gda.pl 2 S w S x C x -? C w 3 Sygnał wyjściowy detektora funkcja

Bardziej szczegółowo

MIARY KLASYCZNE Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy

MIARY KLASYCZNE Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy MIARY POŁOŻENIA Opisują średni lub typowy poziom wartości cechy. Określają tą wartość cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy. Wśród nich można wyróżnić miary tendencji

Bardziej szczegółowo

Wyniki operacji kalibracji są często wyrażane w postaci współczynnika kalibracji (calibration factor) lub też krzywej kalibracji.

Wyniki operacji kalibracji są często wyrażane w postaci współczynnika kalibracji (calibration factor) lub też krzywej kalibracji. Substancja odniesienia (Reference material - RM) Materiał lub substancja której jedna lub więcej charakterystycznych wartości są wystarczająco homogeniczne i ustalone żeby można je było wykorzystać do

Bardziej szczegółowo

Walidacja metod badawczych i szacowanie niepewności pomiaru. Wojciech Hyk

Walidacja metod badawczych i szacowanie niepewności pomiaru. Wojciech Hyk Walidacja metod badawczych i szacowanie niepewności pomiaru Wojciech Hyk wojhyk@chem.uw.edu.pl Plan Zagadnienia poruszane na szkoleniu Wstęp do analizy statystycznej Walidacja metody badawczej / pomiarowej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów

LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,

Bardziej szczegółowo

CHROMATOGRAFIA GAZOWA analiza ilościowa - walidacja

CHROMATOGRAFIA GAZOWA analiza ilościowa - walidacja CHROMATOGRAFIA GAZOWA analiza ilościowa - walidacja 1 Dr hab. inż. Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/12 8-233 GDAŃSK e-mail: piotr.konieczka@pg.gda.pl

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich

Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Testy t-studenta są testami różnic pomiędzy średnimi czyli służą do porównania ze sobą dwóch średnich Zmienne muszą być zmiennymi ilościowym (liczymy i porównujemy średnie!) Są to testy parametryczne Nazwa

Bardziej szczegółowo

Zasady wykonania walidacji metody analitycznej

Zasady wykonania walidacji metody analitycznej Zasady wykonania walidacji metody analitycznej Walidacja metod badań zasady postępowania w LOTOS Lab 1. Metody badań stosowane w LOTOS Lab należą do następujących grup: 1.1. Metody zgodne z uznanymi normami

Bardziej szczegółowo

JEDNOCZYNNIKOWA ANOVA

JEDNOCZYNNIKOWA ANOVA Analizę ANOVA wykorzystujemy do wykrycia różnic pomiędzy średnimi w więcej niż dwóch grupach/więcej niż w dwóch pomiarach JEDNOCZYNNIKOWA ANOVA porównania jednej zmiennej pomiędzy więcej niż dwoma grupami

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Analiza Analiza rozkładu

Zadanie 1. Analiza Analiza rozkładu Zadanie 1 data lab.zad 1; input czas; datalines; 85 3060 631 819 805 835 955 595 690 73 815 914 ; run; Analiza Analiza rozkładu Ponieważ jesteśmy zainteresowani wyznaczeniem przedziału ufności oraz weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3

STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 STATYSTYKA MATEMATYCZNA, LISTA 3 1. Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety; H: p = 0.5 przeciwko K: p 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny i zweryfikować hipotezę H gdy

Bardziej szczegółowo

KALIBRACJA. ważny etap procedury analitycznej. Dr hab. inż. Piotr KONIECZKA

KALIBRACJA. ważny etap procedury analitycznej. Dr hab. inż. Piotr KONIECZKA KALIBRAJA ważny etap procedury analitycznej 1 Dr hab. inż. Piotr KONIEZKA Katedra hemii Analitycznej Wydział hemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/12 8-233 GDAŃK e-mail: piotr.konieczka@pg.gda.pl

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY ODNIESIENIA - kryteria wyboru i zasady stosowania

MATERIAŁY ODNIESIENIA - kryteria wyboru i zasady stosowania 1 MATERIAŁY ODNIESIENIA - kryteria wyboru i zasady stosowania Dr inż. Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/12 80-952 GDAŃSK e-mail: kaczor@chem.gda.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

I jest narzędziem służącym do porównywania rozproszenia dwóch zmiennych. Używamy go tylko, gdy pomiędzy zmiennymi istnieje logiczny związek

I jest narzędziem służącym do porównywania rozproszenia dwóch zmiennych. Używamy go tylko, gdy pomiędzy zmiennymi istnieje logiczny związek ZADANIA statystyka opisowa i CTG 1. Dokonano pomiaru stężenia jonów azotanowych w wodzie μg/ml 1 0.51 0.51 0.51 0.50 0.51 0.49 0.52 0.53 0.50 0.47 0.51 0.52 0.53 0.48 0.59 0.50 0.52 0.49 0.49 0.50 0.49

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo

Metrologia: definicje i pojęcia podstawowe. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: definicje i pojęcia podstawowe. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: definicje i pojęcia podstawowe dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Pojęcia podstawowe: Metrologia jest nauką zajmująca się sposobami dokonywania pomiarów oraz zasadami interpretacji

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie materiałów odniesienia

Zastosowanie materiałów odniesienia STOSOWANIE MATERIAŁÓW ODNIESIENIA W PRAKTYCE LABORATORYJNEJ 1 Piotr KONIECZKA Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska ul. G. Narutowicza 11/1 80-33 GDAŃSK e-mail:piotr.konieczka@pg.gda.pl

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

P: Czy studiujący i niestudiujący preferują inne sklepy internetowe?

P: Czy studiujący i niestudiujący preferują inne sklepy internetowe? 2 Test niezależności chi-kwadrat stosuje się (między innymi) w celu sprawdzenia czy pomiędzy zmiennymi istnieje związek/zależność. Stosujemy go w sytuacji, kiedy zmienna zależna mierzona jest na skali

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.

Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów. Wykład 9. Terminologia i jej znaczenie. Cenzurowanie wyników pomiarów.. KEITHLEY. Practical Solutions for Accurate. Test & Measurement. Training materials, www.keithley.com;. Janusz Piotrowski: Procedury

Bardziej szczegółowo

Analiza środowiskowa, żywności i leków CHC l

Analiza środowiskowa, żywności i leków CHC l Analiza środowiskowa, żywności i leków CHC 0307 l Ćwiczenie : Analiza próbek pochodzenia roślinnego - metale; analiza statystyczna Dobra Praktyka Laboratoryjna w analizie śladowej Oznaczanie całkowitych

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI 1. Test dla dwóch średnich P.G. 2. Testy dla wskaźnika struktury 3. Testy dla wariancji DECYZJE Obszar krytyczny od pozostałej

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich.

Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. Ćwiczenie: Weryfikacja hipotez statystycznych dla jednej i dwóch średnich. EXCEL Do weryfikacji różnic między dwiema grupami jednostek doświadczalnych w Excelu wykorzystujemy funkcję o nazwie T.TEST. Zastosowana

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Walidacja metody analitycznej podejście metrologiczne. Waldemar Korol Instytut Zootechniki-PIB, Krajowe Laboratorium Pasz w Lublinie

Walidacja metody analitycznej podejście metrologiczne. Waldemar Korol Instytut Zootechniki-PIB, Krajowe Laboratorium Pasz w Lublinie Walidacja metody analitycznej podejście metrologiczne Waldemar Korol Instytut Zootechniki-PIB, Krajowe Laboratorium Pasz w Lublinie Walidacja potwierdzenie parametrów metody do zamierzonego jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizycznej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczny, błąd przypadkowy,

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne #7 1 Czy straszenie jest bardziej skuteczne niż zachęcanie? Przykład 5.2. s.197 Grupa straszona: 8,5,8,7 M 1 =7 Grupa zachęcana: 1, 1, 2,4 M 2 =2 Średnia ogólna M=(M1+M2)/2= 4,5 Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 7. Walidacja metody redoksymetrycznego oznaczania kwasu askorbowego w suplementach diety i w moczu osób suplementowanych witaminą C

Ćwiczenie 7. Walidacja metody redoksymetrycznego oznaczania kwasu askorbowego w suplementach diety i w moczu osób suplementowanych witaminą C Ćwiczenie 7 Walidacja metody redoksymetrycznego oznaczania kwasu askorbowego w suplementach diety i w moczu osób suplementowanych witaminą C Literatura 1. Bulska E. Metrologia chemiczna, sztuka prowadzenia

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej cechy. Średnia arytmetyczna suma wartości zmiennej wszystkich

Bardziej szczegółowo

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów: Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

, a ilość poziomów czynnika A., b ilość poziomów czynnika B. gdzie

, a ilość poziomów czynnika A., b ilość poziomów czynnika B. gdzie Test Scheffego, gdzie (1) n to ilość powtórzeń (pomiarów) w jednej grupie (zabiegu) Test NIR Istnieje wiele testów dla porównań wielokrotnych opartych o najmniejszą istotna różnicę między średnimi (NIR).

Bardziej szczegółowo

Porównanie wielu rozkładów normalnych

Porównanie wielu rozkładów normalnych Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych Statystyka Opisowa analiza zjawisk masowych Typy rozkładów empirycznych jednej zmiennej Rozkładem empirycznym zmiennej nazywamy przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej (x i ) odpowiadających im

Bardziej szczegółowo