3 Podstawy teorii drgań ośrodków ciągłych

Transkrypt

1 3 Podstawy teorii drgań ośrodków ciągłych 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny o końcach A, B mającej sztywność K i pomijalną masę w stosunku do masy M umocowanej w jej końcu A, na który działa zmienna w czasie siła F(t). Zarówno przemieszczenia końców sprężyny u A, u B jak i siła F mają składowe wyłącznie w kierunku 0x pokazanym na rys B A M F x Rys Oscylator harmoniczny Równanie ruchu punktu A oscylatora, wynikające z drugiej zasady dynamiki, jest w postaci (3.1) Widzimy, że jego rozwiązanie wymaga znajomości przemieszczenia końca u B, którego określenie jest zwyczajowo nazywane warunkiem brzegowym i pełni formalnie rolę wymuszenia podobnie jak siła F. Rozróżniamy więc dwa typy wymuszeń - siłowe lub kinematyczne. (3.2) Przyjmijmy, że u B =0, a siła ma postać funkcji harmonicznej F(t)=Fexp(j t). Jeżeli przedmiotem poszukiwań jest rozwiązanie stanu ustalonego, to jest takiego kiedy przemieszczenie jest również funkcją harmoniczną u A (t)=u A exp(j t), to równanie (3.2) przyjmuje szczególnie prosta postać Jego rozwiązanie zapisuje się zwykle jako (3.3) (3.4)

2 Iloraz F/K nosi nazwę statycznego przemieszczenia u 0 =u A ( Zauważamy, że w przypadku, kiedy K/M to amplituda u A dąży do nieskończoności. Efekt ten nazywamy rezonansem mechanicznym a częstość = (K/M) częstością rezonansową lub częstością drgań swobodnych (bez wymuszeń). To ostatnie określenie wynika z tego, że przemieszczenie u A1 =u 1 exp(j 1t) jest rozwiązaniem równania (3.2), w którym prawa strona jest definicyjnie równa zeru. Amplituda u 1 może być wówczas dowolną liczbą rzeczywistą, co łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Mówimy, że postać drgań swobodnych jest określona z dokładnością do stałego mnożnika. Rozwiązanie równania ruchu oscylatora w przypadku czystego wymuszenia kinematycznego (F=0, u B 0) ma identyczną postać jak (1.78), należy jedynie zastąpić u 0 przez u B. Rozwiązywane równanie (3.1) dotyczy układu bezstratnego, w którym możliwe są nieskończenie wielkie drgania w warunkach rezonansu, kiedy siła bezwładności jest równa i przeciwnie skierowana do siły sprężystej. W rzeczywistych układach drgających zawsze występuje dodatkowa siła tarcia, która odpowiada rozpraszaniu energii na ciepło. Najprostszym modelem takiego rozpraszania jest tzw. tarcie wiskotyczne, w którym siła tarcia jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia a jej wartość jest proporcjonalna do prędkości. Równanie ruchu przyjmuje wtedy postać (3.5) Zakładając jak poprzednio ustalone drgania harmoniczne u A (t)=u A exp(j t) i wprowadzając amplitudę przemieszczenia statycznego u 0 otrzymuje się równanie ruchu, tym razem w postaci zespolonej (3.6) Dla uproszczenia zapisu wprowadza się pojęcie tłumienia krytycznego C k, powyżej którego w układzie nie są możliwe swobodne oscylacje [11][13] (3.7) Rozwiązując (3.6) otrzymuje się następującą zależność dla wymuszonych siłowo przy u B =0 drgań z tłumieniem (3.8) Kąt fazowy przemieszczenia wynika ze wzoru (3.9) Przebiegi charakterystyk amplitudowej (3.8) i fazowej (3.) w funkcji normalizowanej częstości analizowanego układu pokazano na rys.3.1 i rys.3.2.

3 u A /u 0 ζ=0.05 ζ=0.2 ζ=0.5 ζ=1.0 ω/ω 1 Rys.3.1. Charakterystyka wzmocnienia amplitudowego układu o jednym stopniu swobody φ A [deg] ζ=0.05 ζ=0.2 ζ=0.5 ζ=1.0 ω/ω 1 Rys.3.2. Charakterystyka fazowa kąta opóźnienia przemieszczenia względem siły wymuszającej dla układu o jednym stopniu swobody Przesunięcie maksimum charakterystyki amplitudowej wynikające z tłumienia w stosunku do wartości w modelu bezstratnym wynosi (3.10)

4 Dla większości materiałów konstrukcyjnych względny współczynnik tłumienia ζ jest mniejszy od 0.1 i dlatego też w obliczeniach częstości rezonansowych stosuje się model bezstratny (3.1). Tłumienie dodaje się zwykle na etapie obliczeń drgań wymuszonych. Szczegółowa analiza charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu częstości rezonansowej pozwala znalezienie jej własności mających istotne znaczenie przy wyznaczaniu współczynnika tłumienia na drodze eksperymentalnej. Składowe rzeczywista H Re ( ) i urojona H Im ( ) wzmocnienia drgań o amplitudzie u A ( ) wyrażają się wzorami (3.11) (3.12) Dla współczynnika tłumienia ζ<0.1 częstość ζ, przy której H Re ( ) jest równy H Im ( ) wynosi a przy tym zachodzi (3.13) (3.14) Stąd wynika, że dla tej częstości amplituda wzmocnienia H( ) jest równa (3.15) W praktyce charakterystyka wzmocnienia jest najczęściej podawana w decybelowej skali mocy sygnału L H ( ), co przy dotychczasowych oznaczeniach daje (3.16) Poziom mocy sygnału, przy którym odczytujemy wartość współczynnika tłumienia jest więc równy (w stosunku do maksimum przebiegu) (3.17)

5 H( H Re ( 0 H Im ( Rys.3.3. Charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu częstości rezonansowej ( =0.01) 3.2 Drgania własne układu o dwóch stopniach swobody Rozpatrzmy obecnie właściwości układu posiadającego dwa stopnie swobody reprezentowane przez przemieszczenia dwóch mas zawieszonych sprężyście względem otoczenia rys.3.4. Przyjmuje się, że przemieszczenia u 1, u 2 mają tylko jedną składową w kierunku 0x. Warunki brzegowe dla końców sprężyn K 1, K 3 ustala się na u A =u B =0. Jak poprzednio rozpatrujemy wyłącznie stan ustalony przy wymuszeniu harmonicznym. A K 1 K 2 K 3 M 1 M 2 B u 1 u 2 x Rys.3.4. Układ o dwóch stopniach swobody Równania harmonicznego ruchu układu (bez tłumienia) są w postaci (3.18)

6 które zapisuje się w zwartej postaci jako Analizę drgań swobodnych prowadzi się przekształcając (3.19) poprzez lewostronne wymnożenie przez macierz odwrotną M -1 i podstawienie {F}=0 gdzie I jest macierzą identycznościową, a elementy diagonalnej macierzy [M] -1 są równe odwrotnościom odpowiadających im elementów macierzy mas [M]. Nietrywialne ({u} 0) rozwiązanie (1.95) występuje, kiedy wyznacznik macierzy tego równania jest równy zeru Dla rozpatrywanego elementarnego przypadku o dwu stopniach swobody prowadzi to do równania kwadratowego (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) w którym przez = k 2 oznaczono poszukiwaną k-tą wartość własną. Podstawiając otrzymane wartości k 2 wstecz do równania (3.20) otrzymujemy związki pozwalające na wyznaczenie k- tej postaci drgań własnych (k-tego wektora własnego macierzy). PRZYKŁAD. Wyznaczyć częstości i postacie drgań własnych układu pokazanego na rys.3.4, gdzie K 1 =K 2 =K 3 =K i M 1 =M 2 =M. Oznaczmy iloraz K/M przez Równanie charakterystyczne (1.97) uprości się do postaci którego pierwiastki wynoszą Równanie (1.95) zapisuje dla k-tej postaci drgań ψk się jako Podstawiając kolejno 1 i 2 uzyskuje się zależność wiążącą wartości składowych postaci własnych Brakujące równanie do określenia wartości poszczególnych składowych przyjmuje się zwykle podając wymaganie normalizacyjne ψk =1, które w normie energetycznej oznacza Ostatecznie poszukiwane postacie drgań własnych wynoszą

7 Pierwsza postać drgań własnych jest jednoczesnym przemieszczaniem się mas M 1 i M 2 wzdłuż osi osi 0x sprężyna K 2 jest cały czas nienapięta. Mamy tu więc do czynienia z wzajemnie odseparowanymi drganiami dwóch identycznych oscylatorów drgających w przeciw-fazie o częstości własnej Druga postać drgań polega jednoczesnym ściskaniu (rozciąganiu) sprężyny K 2 i rozciąganiu (ściskaniu) sprężyn K 1 i K 3. Środek ciężkości całego układu jest w tym przypadku nieruchomy. Schematycznie pokazano to na rys.3.5. A K 1 K 2 K 3 M 1 M 2 B u 1 u 2 A K 1 K 2 K 3 M 1 M 2 B u 1 u 2 x Rys.3.5. Postacie drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody 3.3 Drgania układów o wielu stopniach swobody. Analiza modalna Liczba par wartość własna/wektor własny jest równa liczbie stopni swobody N danego układu mas i sprężystości. Każda para spełnia równanie (3.19), które zapiszemy teraz jako Mnożąc lewostronnie przez dowolny inny wektor własny {ψk} T otrzymujemy Zamieniając kolejność operacji można także napisać (3.23) (3.24) (3.25) Macierze sprężystości i mas są symetryczne, z czego wynika, że lewe strony równań (3.24)(3.25) są sobie równe. Odejmując stronami dwa powyższe równania otrzymamy warunek

8 (3.26) z którego wynika, że przy j k zachodzi (3.27) oraz po podstawieniu do (3.25) również (3.28) Dwie ostatnie zależności są nazywane własnościami M-, K-ortogonalności wektorów własnych (postaci drgań swobodnych). Jak wynika z równania (3.23) wektor własny może być wymnożony przez dowolną liczbę, co wykorzystuje się do ich skalowania. Najczęściej stosowane sposoby skalowania to wspomniana już normalizacja ψk =1 lub taki dobór mnożnika k-tej postaci aby Przy tej ostatniej jednocześnie zachodzi (3.29) (3.30) Uzyskana własność ortogonalności jest bardzo istotna dowolny N-elementowy wektor może być przedstawiony jako kombinacja liniowa postaci ψ k. Rozpatrzmy obecnie statyczne odkształcenie układu o N stopniach swobody pod wpływem dowolnego układu sił {F 0 }={F 1, F 2... F N }. Równanie stanu (3.19) redukuje się do (3.31) Poszukiwany wektor przemieszczeń *u0+ rozkładamy na składowe względem postaci własnych (tzw. składowe modalne) (3.32) Podstawiając (3.32) do (3.31) i mnożąc lewostronnie przez dowolny wektor własny {ψj} T otrzymujemy (3.33) Wykorzystując K-ortogonalność postaci własnych (3.28) otrzymuje się N zależności definiujących współczynniki modalne (3.34) Wartość Kj wynika, jak już wyjaśniono, z przyjętego sposobu normalizacji wektorów własnych.

9 W analogiczny sposób można dokonać rozprzęgnięcia układu równań (3.19) opisującego dynamikę badanego systemu przy wymuszeniu harmonicznym {F(t)}={F0}exp(j t). Otrzymuje się kolejno z pominięciem czynnika czasowego (3.35) (3.36) i ostatecznie wektor współczynników modalnych przemieszczeń przy bezstratnych drganiach wymuszonych jest opisany zależnością (3.37) Jeżeli poszczególne składniki wektora wymuszeń {F} są przesunięte w fazie, to współczynniki modalne u0j są liczbami zespolonymi i muszą być liczone oddzielnie - dla rzeczywistej i urojonej części przestrzennej postaci wymuszenia. Liczba stopni swobody układu rośnie wtedy dwukrotnie. Równanie (3.37) jest nazywane bezstratną modalną funkcją odpowiedzi częstotliwościowej. Uwzględnienie tłumienia dokonuje się zazwyczaj identycznie jak dla układu o jednym stopniu swobody porównaj wzór (3.8). Przyjmując, że tłumienie ζj jest znane dla każdej częstości i postaci rezonansowej, można obliczyć amplitudę części rzeczywistej u jr i urojonej uji składowych modalnych wg. wzorów (3.11)(3.12) (3.38) (3.39) Pamiętamy, że przez część rzeczywistą przemieszczenia rozumiemy tę jego składową, która jest w fazie z siłą wymuszającą. Określenie wartości modalnego współczynnika tłumienia ζj nie jest łatwe, wymaga zazwyczaj przeprowadzenia złożonych pomiarów zanikania drgań w badanym układzie. Możemy obecnie przystąpić do sumowania poszczególnych składowych modalnych, oddzielnie dla części rzeczywistej i urojonej (3.40)

10 (3.41) oraz obliczyć widmo amplitudowe i fazowe przemieszczeń układu (3.42) (3.43) PRZYKŁAD. Wyznaczyć funkcje odpowiedzi częstotliwościowej dla układu o dwóch stopniach swobody pokazanego na rys.1.33, gdzie K 1 =K 2 =K 3 =K i M 1 =M 2 =M. Wektor siły przypadającej na jednostkę masy wynosi {F M }={1, 0} T /M, a współczynniki tłumienia modalnego są równe ζ1= ζ2=0.05. W pierwszej kolejności wyznaczamy wektor przemieszczeń statycznych *u0} rozwiązując układ równań [K]{u}={F0}. Oznaczmy jak poprzednio iloraz K/M przez (częstość drgań własnych elementarnego oscylatora) W wyniku otrzymuje się Postacie i częstości drgań własnych wyznaczono uprzednio, wynoszą one Obecnie musimy wyznaczyć współrzędne modalne u0j wykorzystując szczególny przypadek ( =0) równania (3.38). Sprowadza się to do nowego określenia modalnej sztywności Kj poprzez wprowadzenie niewiadomej aj=1/kj. Podstawiając zależności liczbowe mamy układ dwóch równań który w postaci jawnej zapisuje się następująco

11 Jego rozwiązanie jest natychmiastowe i wynosi Przez j oraz Mj oznaczono jak poprzednio j-tą częstość drgań własnych i j-tą masę modalną. Uproszczenie dalszych obliczeń otrzymuje się po wprowadzeniu jednostkowych mas modalnych. Jest to równoznaczne z przeskalowaniem wektorów własnych czynnikiem 1/ Mj. Uwzględniając powyższe współrzędne modalne wynoszą Zwróćmy uwagę, że przy danych jak podano w treści przykładu mamy co oznacza, że przykładowe wymuszenie w jednakowym stopniu zawiera obydwie postacie drgań własnych. Ponieważ jednocześnie zachodzi ω1 2 < ω2 2, to należy spodziewać się większej amplitudy drgań w otoczeniu pierwszej częstości rezonansowej niż drugiej. Na rys.3.6 pokazano w skali logarytmicznej widmo amplitudowe składowej u1 badanego układu odniesione do wychylenia statycznego tego punktu Charakterystyczną cechą tego wykresu jest wyraźne zmniejszenie poziomu drgań pomiędzy częstościami rezonansowymi. Wynika to ze zmiany znaku na przeciwny składowej {ψ1}1 przemieszczenia po przekroczeniu jej częstości drgań własnych. Dla częstości przy której L 11 = L 21, składowe rzeczywiste przemieszczenia się znoszą a wypadkowe przemieszczenie wynika tylko ze składowej urojonej, której wartość daleko od częstości rezonansowej jest znikoma. Efekt ten nazywamy dynamicznym tłumieniem drgań. Odmienna sytuacja występuje przy obliczaniu składowej przemieszczenia masy M 2, z punktu widzenia której pobudzenie ma charakter kinematyczny. Ze względu na przeciwne znaki {ψ2}2 i {ψ1}2 modalne składniki w przedziale (0, 1) będą się odejmować a w ( 1, 2) dodawać. Przy przejściu drugiej częstotliwości rezonansowej 2 faza wektora

12 {ψ2} zmieni się na przeciwną i składowe {ψ2}2 i {ψ1}2 ponownie będą się odejmować. Przedstawiono to na rys.3.7 L u [ db ] L u1 L 11 L 21 Rys.3.6. Widmo amplitudowe poziomu przemieszczeń L u1 współrzędnej u 1 i jej składowych modalnych L 11, L 21 dla układu o dwóch stopniach swobody. L u [ db ] L u2 L 22 L 12 Rys.3.7. Widmo amplitudowe poziomu przemieszczeń L u2 współrzędnej u 2 i jej składowych modalnych L 12, L 22 dla układu o dwóch stopniach swobody

13 h Paweł Witczak 3.4 Elementy dynamiki układów ciągłych. Drgania giętne. Metodykę przedstawioną w poprzednim rozdziale można zastosować do układów o bardziej złożonej geometrii. Rozpatrzmy cienkościenną, prostokątną powłokę o wymiarach a, b odpowiednio wzdłuż kierunków 0x, 0y układu współrzędnych usytuowanego jak na rysunku 3.8. Zakłada się, że grubość powłoki h jest stała na całym jej obszarze i jest przy tym wielokrotnie mniejsza od pozostałych jej wymiarów geometrycznych. Parametry materiałowe oznaczono następująco: moduł Younga E, gęstość oraz współczynnik Poissona. Warunki brzegowe narzucono w postaci tzw. swobodnego podparcia, co oznacza, że przekroje powłoki w miejscu jej podparcia mogą się swobodnie obracać (bez zmiany kształtu). a z x y b Rys.3.8. Geometria i warunki brzegowe prostokątnej powłoki swobodnie zamocowanej Zginanie powłoki zachodzi pod wpływem momentów występujących wzdłuż linii zamocowania - rys.3.9a, powstają one zazwyczaj w wyniku oddziaływania sił przyłożonych prostopadle do powierzchni powłoki i reakcji w podparciu. Poszczególne przekroje powłoki obracają się o kąt wynikający z ich położenia względem jednego punktu będącego środkiem krzywizny zginania. W wyniku tego odległość pomiędzy punktami położonymi na zewnętrznych powierzchniach powłoki zmienia się. Na powierzchni położonej bliżej środka krzywizny obserwujemy skrócenie tych odległości materiał ulega ściskaniu, a na powierzchni bardziej oddalonej mamy odwrotną sytuację punkty tam leżące oddalają się od siebie, czyli materiał jest rozciągany. Schematycznie pokazano to na rys.3.9b. Wynika z tego również, że wewnątrz powłoki istnieje warstwa nazywana obojętną, na której nie występują zmiany odległości pomiędzy punktami do niej należącymi. Dla powłok o stałej grubości warstwa ta leży pośrodku jej objętości. Należy pamiętać, że zmiany poszczególnych wymiarów powłoki (odkształcenia) przy drganiach są bardzo małe nie przekraczają Charakterystyczną cechą deformacji zginanych cienkościennych powłok jest zasadnicza

14 różnica pomiędzy składowymi przemieszczeń przemieszczenia w kierunku prostopadłym do powierzchni powłoki są o kilka rzędów większe od przemieszczeń w kierunkach stycznych. Dlatego też w opisie drgań poszczególnych punktów powłoki można przyjąć, że jej grubość nie ulega zmianie, a do opisu kształtu deformacji jej powierzchni wystarczy składowa normalna przemieszczeń. +M - M warstwa obojętna rozciąganie ściskanie a. b. Rys.3.9. Ilustracja idealnego zginania (deformacje w wyolbrzymionej rysunkowo skali) a. geometria przekroju poprzecznego b. przestrzenny rozkład odkształceń. Uwzględniając powyższe uproszczenia wykazuje się [14], że równanie drgań nietłumionych powierzchni powłoki jest w postaci gdzie m, n są liczbami całkowitymi różnymi od zera a D oznacza sztywność powłoki na zginanie Harmonicznego rozwiązania u(x,y,t) spełniającego jednorodne warunki brzegowe poszukujemy w postaci superpozycji fal stojących (3.44) (3.45) Wyznaczenie m,n-tej częstości drgań własnych na podstawie równania (3.46) jest natychmiastowe (3.46)

15 (3.47) a postacie drgań własnych z dokładnością do mnożnika u km podano zależnością (3.46) i dla kilku najniższych rzędów r km pokazano na rys Numeracja rzędu wynika z liczby półfal wzdłuż boków powłoki. r km=(1,1) r km=(1,2) r km=(1,3) r km=(2,1) r km=(1,4) r km=(2,2) Rys Postacie drgań własnych prostokątnej powłoki o najniższych rzędach (wyznaczone metodą elementu skończonego) Na zamieszczonych powyżej rysunkach zaznaczono linie węzłowe poszczególnych postaci drgań czyli zbiory takich punktów powłoki, których przemieszczenia są równe zeru. Położenie tych linii będzie miało kluczowe znaczenie przy ocenie zdolności danego pola sił wymuszających do wzbudzenia drgań rezonansowych. Drugą, ważną cechą przedstawionych postaci drgań własnych jest nieregularność ich powierzchni, widoczna zwłaszcza dla wyższych rzędów. Wynika ona z tego, że do tworzenia tych rysunków wykorzystano narzędzia graficzne, w których liczba danych przypadających na przestrzenny półokres fali była mocno ograniczona. Dane te zostały wytworzone za pomocą dyskretnej metody tzw. elementów skończonych, której omówienie znajduje się w następnym rozdziale. Aby było możliwe zastosowanie przedstawionej wcześniej metodyki analizy modalnej do rozwiązania danego w postaci szeregów funkcji ciągłych dwu zmiennych stosuje się rozwinięcie wzoru (1.4) wyznaczającego iloczyn skalarny funkcji 1(x,y) i 2(x,y)

16 (3.48) Z elementarnych własności funkcji trygonometrycznych wynika, że postacie drgań własnych są wzajemnie ortogonalne (3.49) z czego wynika, że mogą być bazą do rozwinięcia dowolnej funkcji przestrzennej. Taką funkcją, wykorzystywaną w analizie modalnej, jest postać statycznego odkształcenia u 0 (x,y) wywołana przestrzennym rozkładem sił wymuszających F(x,y). Wykorzystując zależność (1.15), podaną dla funkcji jednej zmiennej, jej dwuwymiarowy analog dla m,n-tej amplitudy modalnego widma sił jest w postaci (3.50) Stąd amplituda modalnych składników odkształcenia statycznego u 0mn wynosi (3.51) Można więc napisać wynikową zależność dla m,n-tej amplitudy drgań wymuszonych w układzie bezstratnym o częstości por. zależność (1.112) (3.52) Wynikowy czasoprzestrzenny rozkład drgań będzie w postaci Uwzględnienie tłumienia dokonuje się analogicznie jak w układzie o jednym stopniu swobody modyfikując postać funkcji H( ). (3.53) 3.5 Wstęp do metody elementów skończonych. Rzeczywiste urządzenia będące przedmiotem zainteresowań inżynierów niezwykle rzadko mają na tyle proste geometrie, że zjawiska w nich występujące dają się opisać wzorami analitycznymi. Naturalną tendencją obserwowaną od wielu lat przy modelowaniu takich obiektów było arbitralne dzielenie ich struktury na skończoną liczbę prostych części elementów, dla których można było opracować szybko działający algorytm obliczeń czy wręcz znaleźć jawną zależność matematyczną, a następnie połączyć je w układ wzajemnie uzależnionych niewiadomych rozwiązywalnych metodami algebry liniowej. Istnieje obecnie

17 wiele typów elementów o różnej geometrii, poczynając od punktu przez odcinek, płaski trójkąt lub czworokąt do przestrzennych czworo- i sześciościanów. a. b. c. d. Rys Przykładowe elementy skończone wykorzystywane w obliczeniach drgań ośrodków ciągłych a. element prętowy dwuwęzłowy, b. element płaski trójkątny sześciowęzłowy, c. element powłokowy czworokątny czterowęzłowy, d. element bryłowy sześciościenny ośmiowęzłowy. W dalszym ciągu tego rozdziału zostanie przedstawiona jedynie idea zunifikowanego podejścia nazywanego metodą elementów skończonych na przykładzie drgań mechanicznych. Szczegółowy jej opis daleko wykracza poza ramy niniejszego wykładu a rozwinięcie poruszanych tematów można znaleźć w bardzo bogatej bibliografii, przykładowe pozycje to [8] [16] [17]. Istotą metody elementu skończonego, zastosowanej do modelowania sprężystego kontinuum, jest wprowadzenie arbitralnych funkcji i(x,y,z) interpolujących rozkład przemieszczeń wewnątrz elementu na zbiorze wartości przemieszczeń w wybranych punktach (węzłach) elementu usytuowanych na jego zewnętrznej powierzchni (lub obwodzie dla elementów płaskich). Funkcje te, nazywane funkcjami kształtu lub bazowymi, są wielomianami o stopniu od 1 do 3. Szczególną ich cechą jest lokalność przyjmują wartości niezerowe jedynie w tych elementach, które zawierają dany węzeł, co pokazano na rys Rys Postać funkcji kształtu w płaskich, trójkątnych, trzywęzłowych elementach zawierających węzeł i. Z każdym węzłem związany jest zbiór niewiadomych, którego skład zależy od typu elementu i rodzaju obliczeń do jakich jest on przeznaczony. Przykładowo, elementy bryłowe (ang. solid) w każdym węźle mają trzy niewiadome składowe przemieszczeń, elementy płaskie (ang. plane) w każdym węźle mają dwie niewiadome składowe przemieszczeń (w płaszczyźnie elementu) a elementy powłokowe (ang. shell) w każdym węźle mają trzy

18 niewiadome składowe przemieszczeń i trzy niewiadome składowe obrotów. Te ostatnie są wprowadzane w sposób uproszczony jako pochodne przemieszczeń normalnych względem kierunków stycznych do powierzchni powłoki. Tak więc przemieszczenie dowolnego punktu {u(x,y,z)} e wewnątrz elementu e jest opisane za pomocą kombinacji liniowej wektorów przemieszczeń węzłowych w tym elemencie {u} e (3.54) Rozmiar macierzy funkcji kształtu [ ] wynika z łącznej ilości stopni swobody w węzłach danego elementu. Na podstawie ogólnych praw mechaniki ośrodków ciągłych, wykorzystujących tensorowy opis energii odkształceń sprężystych, można określić tzw funkcjonał energetyczny danego elementu będący opisem zmagazynowanej w nim energii w funkcji nieznanych a priori przemieszczeń węzłowych. Powtarzając to postępowanie dla wszystkich elementów i porządkując względem przemieszczeń węzłowych otrzymujemy opis całkowitej energii sprężystej za pomocą nieznanych N amplitud składowych przemieszczeń {u} (stopni swobody w węzłach siatki elementów) Minimalizacja tego funkcjonału względem nieznanych amplitud poszczególnych przemieszczeń prowadzi do układu N równań liniowych o ogólnej postaci (3.55) gdzie [K] - symetryczna macierz sztywności, {F} wektor składowych sił węzłowych. Dzięki lokalności funkcji kształtu macierz sztywności jest macierzą rzadką, której większość elementów ma wartość zerową. Umożliwia to efektywne rozwiązywanie nawet bardzo wielkich układów równań np. rzędu 10 6 w akceptowalnym czasie. Po rozwiązaniu układu (3.55) otrzymujemy pole przemieszczeń węzłów siatki, które nie jest jednorodne zakładamy bowiem, że badany obiekt nie może przemieszczać się jako bryła sztywna, co otrzymaliśmy przez wprowadzenie zerowych warunków brzegowych w miejscu jego podparcia. W wyniku uzyskaliśmy, że poszczególne ściany elementów uległy przemieszczeniu, obrotowi oraz zmieniły swój rozmiar, zachowując przy tym ciągłość siatki. Pokazano to na rys.3.13 na prostym przykładzie zginanej belki. F Rys Deformacja dwustronnie zamocowanej belki Do analizy drgań układu jest potrzebne jeszcze wyznaczenie wektora sił bezwładności. Macierz mas nie jest już diagonalną jak w rozdziale 3.3, kiedy skupione masy podlegały jedynie przemieszczeniom. Przyjmując, że gęstość materiału e w elemencie jest stała, strukturę macierzy mas elementu [M] e określa zależność [16]

19 (3.56) Wyznaczenie całek, zarówno w (3.56) jak i przy obliczaniu macierzy sztywności [K] e, jest wykonywane metodami numerycznymi za pomocą tzw. kwadratur Gaussa. W oparciu o przemieszczenia w węzłach elementu {u} e można określić wektor sił bezwładności związany z danym elementem (3.57) Sumując składniki pochodzące od wszystkich elementów otrzymujemy wypadkowy wektor sił bezwładności, który wstawiony do zależności (3.55) daje równanie drgań ustalonych układu bezstratnego (3.58) Otrzymaliśmy formalnie identyczne równanie jak przy analizie drgań układu o dwóch stopniach swobody (3.19), jednak jego rozwiązanie wymaga zastosowania całkowicie odmiennych metod numerycznych ze względu na rozmiar macierzy, który zazwyczaj znajduje się w przedziale ( ). Przy wyznaczaniu rozwiązania drgań własnych dla tak wielkich układów wykorzystywane są praktycznie bez wyjątku metody iteracyjne (podprzestrzeni, blokowa Lanczosa)[3][4], w których poszukuje się skończonej i przeważnie niewielkiej liczby najmniejszych wartości własnych oraz związanych z nimi wektorów własnych. Postępowanie takie wynika z następujących przesłanek: - teoretyczna liczba wartości własnych jest równa liczbie stopni swobody w danym układzie, tym niemniej z punktu widzenia możliwości powstania wzmocnienia rezonansowego znaczenie mają tylko te wektory własne, których częstotliwość znajduje w zakresie częstotliwości składowych sił wymuszających oraz jednocześnie ich postać jest zbliżona do postaci składowych pola sił. - najlepszą emisyjność akustyczną mają fale odkształceń giętnych o największej długości czyli najmniejszej liczbie falowej (rzędzie), drgania własne o zbliżonej postaci mają wtedy przeważnie małą wartość własną. Przy obliczaniu drgań wymuszonych za pomocą syntezy modalnej stosowana jest metodyka omówiona w rozdziale równanie stanu 3.58 jest uzupełniane o składnik reprezentujący siły tłumiące drgania (3.59) a składowe modalne wypadkowych przemieszczeń dane są wzorami (3.38)(3.39). Tłumienie materiałowe może być również wprowadzone w bardziej zaawansowany sposób macierz tłumienia [C] jest obliczana jako (3.60) Współczynniki są określane na drodze pomiarowej i mogą mieć różne wartości dla poszczególnych materiałów wchodzących w skład badanego urządzenia. Formuła (3.60) pozwala na zachowanie własności ortogonalności wektorów własnych. Przy stosowaniu powyższej metody obliczeń należy zadbać, aby odkształcenie statyczne {u 0 } było

20 dostatecznie dobrze odwzorowane przez wybrany zbiór postaci własnych, co w przypadku obiektu o wielkiej liczbie stopni swobody nie jest łatwe. Alternatywną metodą wyznaczenia czasoprzestrzennego rozkładu drgań jest rozwiązanie wprost zespolonego układu równań (3.59) dla wybranych wartości częstości. Postępowanie takie daje dokładniejsze wyniki niż synteza modalna, lecz jest okupione znacznie większym nakładem czasu obliczeń. Budowa wirtualnych urządzeń za pomocą metody elementu skończonego praktycznie zawsze wymaga znalezienia kompromisu pomiędzy dokładnością modelu a czasem obliczeń niezbędnym do uzyskania rozwiązania. W trakcie tworzenia modelu jest konieczne pomijanie czy upraszczanie tych jego części, których wpływ na wynikowe drgania jest niewielki. Wynika stąd, że dobrą praktyką jest budowa kilku modeli o coraz większym stopniu skomplikowania, aby było możliwe ustalenie wpływu poszczególnych jego części na oczekiwany wynik obliczeń. Zasadnicze znaczenie ma tu gęstość siatki elementów i rząd wielomianu interpolacyjnego. Można przyjąć, że na długość pojedynczej fali odkształceń powinno przypadać co najmniej kilkanaście stopni swobody siatki. Przykładem takich ograniczeń są dwie postacie drgań własnych powłoki powtórzone za rys poniżej. Obliczenia były wykonane dla elementów powłokowych mających wielomian interpolujący trzeciego stopnia cztery węzły na krawędzi elementu. Widać, że dla podstawowej postaci drgań o rzędzie (1,1) uzyskany kształt jest wystarczająco gładki 24 stopnie swobody wzdłuż krawędzi o długości połowy fali. Natomiast dla rzędu (1,4) mającym 6 stopni swobody na połowę fali, mamy do czynienia ze znacznym odkształceniem od oczekiwanego sinusoidalnego przebiegu i w konsekwencji z zawyżeniem odpowiadającej mu częstości rezonansowej. r km=(1,1) r km=(1,4) Rys Wpływ gęstości siatki elementu skończonego na dokładność odwzorowania deformacji Przy wizualnej ocenie kształtu postaci należy pamiętać o dodatkowym zniekształceniu wywołanym przez procedury graficzne deformacja jest przedstawiana wyłącznie w oparciu o przemieszczenia węzłów w narożach elementów. Na zakończenie tego niezwykle skrótowego omówienia możliwości metody elementu skończonego przedstawiono przykłady jej zastosowania do modelowania drgań maszyn elektrycznych. Numeryczne rozmiary modeli zamieszczonych na rys.3.15 i 3.16 są różne od kilkudziesięciu do kilkuset tysięcy równań, w zależności od środowiska programowego, w którym były zrealizowane. Kolejnym czynnikiem mającym istotny wpływ na technologię budowy modelu jest data jego wykonania rozwój sprzętu komputerowego i oprogramowania jest tak szybki, że możliwości obliczeniowe skokowo zmieniają się po upływie zaledwie kilku lat. Na rys.3.15 pokazano kształt postaci drgań własnych silnika indukcyjnego wysokiego rzędu (o numerze 49 wg. rosnącej listy częstości). Zwraca uwagę bardzo złożony kształt deformacji, w którym uczestniczą wszystkie części składowe maszyny. Podobną cechę ma

21 większość pozostałych postaci drgań. Dlatego też obliczenie ewentualnego wzmocnienia rezonansowego innymi metodami niż numerycznymi jest w praktyce niemożliwe. Rys Przykładowa postać drgań własnych silnika indukcyjnego [1] Na rys.3.16 przedstawiono chwilowe postacie drgań wymuszonych silników prądu przemiennego pochodzące od sił magnetycznych o rzędzie r=2. Do ich obliczenia wykorzystano widmo 2DFT sił magnetycznych działających na wewnętrzną powierzchnię stojana maszyny, którego odpowiedni składnik stanowił zespoloną funkcję wymuszeń do obliczeń drganiowych w postaci {F( t r )}, gdzie jest kątem mierzonym wokół osi obrotu wirnika maszyny. a. b. Rys Deformacje kadłubów silników elektrycznych wywołane siłami magnetycznymi 2 rzędu (skala deformacji wyolbrzymiona rysunkowo) a. mocowanie kołnierzowe (za zgodą OTIS United Technologies) b. mocowanie na łapach [15]