Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk"

Transkrypt

1 Teoria grup I Andriy Panasyuk 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1 Grupa: Zbiór G wyposażony w działanie μ : G G G (skrótowo oznaczamy μ(a, b) =: a b lub poprostu ab) spełniające następujące aksjomaty: 1. działanie jest łączne, czyli (ab)c = a(bc) a, b, c G; 2. istnieje element e G, zwany neutralnym, taki, że ea = ae = a a G; 3. dla każdego a G istnieje element odwrotny a 1, czyli taki, że aa 1 = a 1 a = e. Uwaga: Element neutralny jest jedyny: jeśli e inny neutralny, to e = e e = e. Analogicznie, dla każdego a G element odwrotny a 1 jest wyznaczony jednoznacznie. Podgrupa grupy G: Podzbiór H G o własnościach 1) μ(h, H) H oraz 2) H 1 H, czyli 1) ab H a, b H oraz 2) a 1 H a H. Uwaga: 1) i 2) implikują e H oraz fakt, że podgrupa H sama staje się grupą z działaniem μ H H. Przykład podstawowy - grupa permutacji: Permutacją zbioru X nazywamy bijekcję a : X X. Zbiór bijekcji oznaczamy S X (S od symetrii, grupę permutacji inaczej nazywamy grupą symetrii zbioru X) i wyposażamy w działanie - złożenie bijekcji, czyli μ(a, b) := a b : X X. Element neutralny - odwzorowanie identycznościowe Id X, element odwrotny do a - odwzorowanie odwrotne a 1 : X X. Inne przykłady: Wszystkie inne przykłady grup to podgrupy grupy S X (:-o, na serio: jest to treść twierdzenia Cayley a). Przykłady bardziej przyziemne: 1. G = { } grupa jednoelementowa. 2. (Z, +), (R, +), (C, +), (Z n, +), (R n, +), (C n, +); przy tym mamy ciągi podgrup: Z R C, Z n R n C n. 1

2 3. (R =0, ), (R >0, ), (C =0, ); ciąg podgrup R >0 R =0 C =0. 4. U(1) := {z C z = 1} (podgrupa C =0 ). 5. S n, grupa permutacji zbioru n-elementowego. Uwaga: są przykładami grup przemiennych lub abelowych, czyli takich, że μ(a, b) = μ(b, a) a, b G. 5. jest przykładem grupy nieprzemiennej, jeśli n > 2. Przykłady mniej przyziemne otrzymują się w ramach następującej ważnej konstrukcji. Załóżmy, że zbiór X wyposażony jest w pewną strukturę S. Wybierzmy z S X tylko bijekcje o tej własności, że one same i ich odwrotności zachowują S, i oznaczmy przez S X,S ich zbiór. Wtedy S X,S jest podgrupą w S X. Grupa S X,S jest grupą symetrii struktury S i często zawiera istotną informację o S (zob. przykład podłogi, poniżej). Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X, wtedy zachowanie struktury oznacza liniowość bijekcji, S X,S = GL(X) (od angielskiego general linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X. Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X wraz z formą objętości σ, S X,S = SL(X) (od angielskiego special linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X zachowujących σ. Uwaga: SL(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: S struktura przestrzeni euklidesowej na X, czyli X jest przestrzenią liniową z zadaną metryką euklidesową ( ), S X,S = O(X) grupa ortogonalna, czyli grupa liniowych bijekcji, zachowujących metrykę. Uwaga: O(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: SO(X) := SL(X) O(X). Przykład: Niech X = R 4 będzie wyposażone w strukturę metryki ( ) o sygnaturze (1, 3), czyli S będzie strukturą lorentzowską na X. Wtedy S X,S = O(1, 3), grupa liniowych bijekcji zachowujących ( ), jest tzw. grupą Lorentza. Przykład: S struktura przestrzeni metrycznej lub topologicznej na X, zachowanie struktury oznacza ciągłość bijekcji, S X,S grupa homeomorfizmów przestrzeni X. Przykład: S struktura rozmaitości gładkiej na X, zachowanie struktury oznacza gładkość bijekcji, S X,S grupa dyfeomorfizmów przestrzeni X. Działanie (lewe) grupy G na zbiorze X: Odwzorowanie ν : G X X (skrótowo oznaczamy też ν(g, x) =: g x) o własnościach 1. (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) g 1, g 2 G, x X; 2. e x = x x X. Przykład: Działanie grupowe μ : G G G jest przykładem lewego (oraz prawego) działania G na G. 2

3 Przykład: Grupa S X w naturalny sposób działa na X: a x := a(x), a S X, x X. Uwaga: jest to lewe działanie: (a b) x = (a b)(x) = a(b(x)) = a (b x). Przykład: Analogicznie, S X,S działa na X. Orbita elementu x X działania G na X: G x := {g x g G}. Uwaga: X jest sumą rozłączną orbit działania. Rzeczywiście, każdy element zawiera się w jakiejś orbicie (bo e x = x), ponadto, jeśli x G x oraz x G x, to G x = G x (bo x = g x = g x = x = (g ) 1 g x = g x = g (g ) 1 g x = G x G x i odwrotnie). Stabilizator G x elementu x X względem działania G na X: G x := {g G g x = x}. Uwaga 1. Stabilizator jest podgrupą: g 1 x = x, g 2 x = x = (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) = g 1 x = x oraz g x = x = x = g 1 g x = g 1 x. Uwaga 2. Stabilizatory elementów z jednej orbity są sprzężone: x = h x = G x = h 1 G x h (Ćwiczenie). Stabilizator G Y podzbioru Y X względem działania G na X: G Y := {g G g Y Y }. Przykład: Grupa D n symetrii wielokąta prawidłowego o n wierzchołkach. Niech X = R 2 ze standardową metryką euklidesową, Y n-kąt foremny o środku w zerze: Wtedy D n jest podgrupą grupy O(X) będąca stabilizatorem Y. Przykład: Grupa G symetrii podłogi, składa się z: 1) kraty Z 2Z; 2) odbić względem prostych poziomych i pionowych, przechodzących przez węzły kraty oraz przez środki płytek ; 3) obrotów o 180 względem węzłów kraty oraz punktów leżących w środkach płytek oraz ich krawędzi. 3

4 Grupa G działa na R 2. Orbita zera: Z 2Z. Ona nie pokrywa się z podłogą (bo nie zawiera fugi ), ale dobrze odzwierciedla nierównoprawność poziomego i pionowego kierunku. Czyli znając samą tylko grupę symetrii obiektu czasem (nie zawsze, zob. następny przykład) możemy w dużej mierze odtworzyć strukturę obiektu. Przykład: Grupa G symetrii kawałka podłogi jest o wiele biedniejsza, ma tylko 3 nietrywialne elementy: odbicia względem prostych pionowej i poziomej przechodzących przez środek kawałka oraz ich złożenie, czyli obrót o 180. Taka grupa bardzo słabo odzwierciedla strukturę obiektu. Powodem jest jego nijednorodność. Do opisu symetrii takich obiektów lepiej służą grupoidy, uogólnienia grup [Wei96]. 4

5 2 Wprowadzenie do wykładu, cz. II Grupy dyskretne : Z n, symetrie podłogi (nieskończone), S n, D n (skończone). Grupy ciągłe : (R n, +), (R >0, ), (R =0, ), (C =0, ), GL(X), SL(X), O(1, 3) (niezwarte), U(1), O(X), SO(X) (zwarte). Grupy topologiczne (Liego): Są to grupy (G, μ) takie, że G jest wyposażone w strukturę przestrzeni topologicznej (rozmaitości różniczkowej) o tej własności, że odwzorowanie μ : G G G oraz odwzorowanie ε : g g 1 : G G są ciągłe (gładkie). Uwaga: Jeśli G jest grupa topologiczną (Liego), w poniższych definicjach wymagamy ciąłości (gładkości) wszystkich odwzorowań. Reprezentacja grupy G w przestrzeni liniowej X: działanie ν : G X X takie, że dla każdego g G odwzorowanie ν(g, ) : X X jest liniowe. Przykład: naturalna reprezentacja grup GL(X), SL(X), O(X), SO(X), O(1, 3), D n w przestrzeni X. Homomorfizm grup: Odwzorowanie f : G 1 G 2 pomiędzy dwiema grupami o własnościach: f(e 1 ) = e 2, f(a 1 b) = f(a) 2 f(b) a, b G 1. Izomorfizm grup: Homomorfizm f : G 1 G 2 będący bijekcją. Uwaga: Odwrotne odwzorowanie f 1 : G 2 G 1 automatycznie jest homomorfizmem: f 1 (c d) = f 1 (f(f 1 (c)) f(f 1 (d))) = f 1 (f(f 1 (c) f 1 (d))) = f 1 (c) f 1 (d). Grupa automorfizmów grupy G: Nawiasem mówiąc, otrzymaliśmy jeszcze jeden przykład grupy S X,S : S jest strukturą grupy na zbiorze X = G, a S X,S grupą izomorfizmów z G w G, które nazywamy automorfizmami G. Oznaczamy Aut(G) := S G,S. Przykład: Dla dowolnej G odwzorowanie Id G : G G jest przykładem izomorfizmu, a odwzorowanie f : G { } homomorfizmu. Przykład: exp( ) : (R, +) (R =0, ) homomorfizm, exp( ) : (R, +) (R >0, ) izomorfizm. Przykład: exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) homomorfizm. Przykład: f : U(1) SO(R 2 ) izomorfizm, tutaj SO(R 2 ) grupa obrotów płaszczyzny, f odwzorowuje liczbę e iφ w obrót o kąt φ. Równoważność działań: Działania ν 1 : G 1 X 1 X 1 i ν 2 : G 2 X 2 X 2 nazywają się równoważnymi, jeśli istnieje izomorfizm grup f : G 1 G 2 oraz bijekcja h : X 1 X 2 takie, że następujący diagram jest przemienny: G 1 X 1 ν 1 X 1 f h ν 2 G 2 X 2 X 2 czyli h(ν 1 (g, x)) = ν 2 (f(g), h(x)) g G 1, x X 1. Ważne pytania matematyczne: 5 h

6 1. Sklasyfikować grupy z dokładnością do izomorfizmu; 2. Sklasyfikować działania (w tym reprezentacje) z dokładnością do równoważności. Sklasyfikować w ideale oznacza: 1) sporządzić listę cegiełek, czyli prostych 1 obiektów (grup w przypadku 1., czy w przypadku 2. działań ustalonej grupy), których strukturę znamy; 2) określić procedurę budowania z cegiełek bardziej skomplikowanych obiektów; 3) podać kryteria, kiedy wybrany obiekt jest izomorficzny (równoważny) z jednym z obiektów zbudowanych z cegiełek. W rzeczywistości, takie listy cegiełek istnieją, ale istnieją też obiekty nie poddające się klasyfikacji. Naszym najbliższym celem będzie zdefiniowanie cegiełek w przypadku grup. Jądro homomorfizmu f : G 1 G 2 : ker f := f 1 (e 2 ). Podgrupa normalna: Podgrupę H G nazywamy normalną, jeśli ghg 1 H dla wszystkich g G. Związek pomiędzy grupami normalnymi a jądrami homomorfizmów: Twierdzenie Podzbiór H G grupy G jest podgrupą normalną wtedy i tylko wtedy gdy jest jądrem pewnego homomorfizmu f : G G 2. Dowód: ( =) Niech f : G G 2 będzie homomorfizmem, a H := ker f. Wtedy a, b H = f(a) = e 2, f(b) = e 2 = f(ab) = f(a)f(b) = e 2 e 2 = e 2 = ab H; a H = f(a 1 ) = (f(a)) 1 = e 1 2 = e 2 = a 1 H; f(ghg 1 ) = f(g)f(h)f(g 1 ) = f(g)e 2 (f(g)) 1 = e 2 = ghg 1 H. Dowód implikacji (= ) pokrywa się z następującą konstrukcją. Grupa ilorazowa G/H i homomorfizm naturalny G G/H: Niech G będzie grupą z działaniem μ : G G G a H G będzie dowolną podgrupą. Wtedy ograniczenie μ G H daje prawe działanie grupy H na zbiorze G. Orbita elementu g G pod względem tego działania ma postać gh = {gh h H} i nazywa się prawą warstwą g ze względu na H. Zbiór takich warstw oznaczamy G/H. Zbiór G jest sumą rozłączną warstw (jako że dowolny zbiór z działaniem grupy jest sumą rozłączną orbit). Ponadto, wszystkie warstwy mają jednakową moc, równą mocy H: odwzorowanie H h gh gh jest bijekcją. Lemat Niech H G będzie podgrupą normalną. Wtedy: 1. każda prawa warstwa gh pokrywa się z lewą warstwą Hg := {hg h H}; 2. wzór gh g H = (g g )H zadaje poprawnie określone działanie μ : G/H G/H G/H spełniające aksjomaty działania grupowego; 1 Słowo prostych piszemy w cudzysłowie, ponieważ cegiełki mogą mieć dosyć skomplikowaną strukturę. Na przykład tzw. grupa Potwór (ang. Monster), będąca grupą prostą w sensie definicji, którą poznamy za moment, liczy = elementów, zob. 6

7 3. odwzorowanie π : G G/H, π(g) := gh jest homomorfizmem grup. Dowód: 1. ghg 1 H ghg 1 = H gh = Hg 2. Poprawność: niech g 1 gh, g 1 g H, wtedy istnieją h H, h H takie, że g 1 = gh, g 1 = g h. Mamy g 1 H g 1H = (g 1 g 1)H = ghg h H = ghg H = ghhg = ghg = gg H. Łączność: (gh g H) g H = (gg )H g H = (gg )g H = g(g g )H = gh (g g )H = gh (g H g H). Element neutralny: ehgh = egh = gh = geh = gheh. Element odwrotny: g 1 HgH = g 1 gh = eh = gg 1 H = ghg 1 H. 3. π(gg ) = gg H = ghg H = π(g)π(g ), π(e) = eh. Uwaga I: Homomorfizm π jest epimorfizmem (czyli jest surjektywny). Uwaga II: Żeby jakiś epimorfizm f : G 1 G 2 był izomofrizmem, wystarczy i dosyć, żeby jego jądro było trywialne (tj. ker f = {e 1 }) (Ćwiczenie). Obraz homomorfizmu: Lemat Obraz H 2 := im f homomorfizmu f : G 1 G 2 jest pogrupą w G 2 izomorficzną z G 1 /H 1, gdzie H 1 := ker f. Dowód: Jeśli a, b H 2, to istnieją a 1, b 1 G 1 takie, że f(a 1 ) = a, f(b 1 ) = b. Wtedy f(a 1 b 1 ) = f(a 1 )f(b 1 ) = ab, czyli H 2 H 2 H 2. Z kolei, f(a 1 1 ) = (f(a 1 )) 1 = a 1 implikuje (H 2 ) 1 = H 2. f Szukany izomorfizm określimy wzorem G 1 /H 1 gh 1 f(g) H2. Odwzorowanie f jest określone poprawnie: jeśli g gh inny przedstawiciel warstwy, to g g 1 = h dla pewnego h H, i f(g )(f(g)) 1 = f(h) = e 2 skąd f(g ) = f(g). Podobnie sprawdzamy, że jest homomorfizmem oraz że ma trywialne jądro. Przykład: Każda podgrupa H grupy abelowej G jest normalna. W szczególności, jeśli weźmiemy G = Z, H = nz, otrzymujemy grupę cykliczną Z n := Z/nZ. Przykład: Obrazem homomorfizmu exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) jest podgrupa U(1) (C =0, ), a jego jądrem podgrupa (Z, +). Mamy więc izomorfizm R/Z = U(1). Przykład: Niech sign : S n (R =0, ) homomorfizm odwzorowujący permutację τ w ±1 w zależności od znaku τ. Jądrem jest tutaj grupa alternująca A n permutacji parzystych, a obrazem grupa 2-elmentowa {±1} izomorficzna z Z 2. Mamy izomorfizm S n /A n = Z2. Przykład: Niech G będzie dowolną grupą. Określmy odwzorowanie φ : G Aut(G) wzorem g A g, A g (h) := ghg 1 (poprawność: A g (hh ) = ghh g 1 = ghg 1 gh g 1 = A g (h)a g (h ), A g (e) = e, A 1 g = A g 1). Ponadto, samo φ jest homomorfizmem: A gg = A g A g, A e = Id G. Jego obraz Int(G) Aut(G) nazywamy grupą automorfizmów wewnętrznych. Okazuje się, że Int(G) podgrupa normalna w Aut(G): jeśli f : G G dowolny automorfizm, to f A g f 1 (h) = f(g[f 1 (h)]g 1 ) = f(g)f[f 1 (h)]f(g 1 ) = A f(g) (h), czyli f Int(G) f 1 Int(G). Grupę ilorazową Out(G) := Aut(G)/Int(G) nazywamy grupą automorfizmów zewnętrznych grupy G. Grupy proste: Są to grupy G nie posiadające nietrywialnych (czyli rożniących się od G i {e}) podgrup normalnych. 7

8 Uwaga: W przypadku grup topologicznych lub Liego w definicji grup prostych dopuszczamy istnienie nietrywialnych normalnych podgrup dyskretnych 2. Np. prosta grupa Liego SL(R 2 ) ma nietrywialną dyskretną podgrupę normalną {±I}. To właśnie grupy proste są cegiełkami, dającymi się sklasyfikować. 2 Dyskretność podgrupy H G oznacza dyskretność H jako przestrzeni topologicznej, czyli istnienie dla każdego punktu h H otoczenia nie przecinającego się z otoczeniami innych punktów z H. 8

9 3 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. I Literatura dodatkowa: [Kir72, Kir76] Poniżej określimy sposoby sklejania cegiełek, czyli budowania z kilku grup jednej, bardziej skomplikowanej grupy. Iloczyn prosty grup G 1,..., G n : Jest to zbiór G 1 G n wyposażony w działanie (g 1,..., g n ) (h 1,..., h n ) := (g 1 h 1,..., g n h n ) z elementem neutralnym (e 1,..., e n ) oraz (g 1,..., g n ) 1 := (g1 1,..., gn 1 ). (Poniżej będziemy nieco nietradycyjnie oznaczać elementy iloczynu kartezjańskiego nawiasami kwadratowymi [ ].) Przykład: Grupa GL + (2, R) := {A Mat(2, R) det A > 0} jest izomorficzna z R >0 SL(2, R), gdzie SL(2, R) := {A Mat(2, R) det A = 1}. Rzeczywiście, izomorfizm zadajemy wzorem F : R >0 SL(2, R) GL + (2, R), F ([x, X]) := xx a jego odwrotność to Z [ det Z, Z/ det Z]. Iloczyn półprosty G 2 G 1 grup G 2 i G 1 : Załóżmy, że mamy działanie grupy G 2 na grupie G 1, respektujące strukturę grupy na G 1. Innymi słowy, zadany jest homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) (w takiej sytuacji można też powiedzieć, że jest zadana reprezentacja grupy G 2 w grupie G 1 ). Określamy działanie na zbiorze G 2 G 1 : [g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ] := [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] (tutaj oznaczyliśmy f g2 h 1 := f(g 2 )h 1 ). Łączność: ([g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ]) [j 2, j 1 ] = [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] [j 2, j 1 ] = [(g 2 h 2 ) j 2, (g 1 f g2 h 1 ) f g2 h 2 j 1 ] = [g 2 h 2 j 2, (g 1 f g2 h 1 ) (f g2 f h2 j 1 )] = [g 2 h 2 j 2, g 1 (f g2 h 1 f g2 (f h2 j 1 ))] = [g 2 (h 2 j 2 ), g 1 (f g2 (h 1 f h2 j 1 ))] = [g 2, g 1 ] [h 2 j 2, h 1 f h2 j 1 ] = [g 2, g 1 ] ([h 2, h 1 ] [j 2, j 1 ]) Element neutralny: [e 2, e 1 ] Element odwrotny: [g 2, g 1 ] 1 := [g2 1, f g 1 g ] Inne oznaczenie dla G 2 G 1 to G 2 f G 1. Przykład: Grupa O(R 2 ) liniowych odwracalnych przekształceń ortogonalnych płaszczyzny euklidesowej jest izomorficzna z iloczynem Z 2 SO(R 2 ) grupy Z 2 = {±1} z grupą obrotów[ SO(R] 2 ). a b Rzeczywiście, O(R 2 ) jest izomorficzna z grupą O(2, R) = {A Mat(2, R) AA T = I} = { c d a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0} a SO(R 2 ) z SO(2, R) = {A O(2, R) det A = 1}). Określmy homomorfizm [ f : {±1} ] Aut(SO(2, R)) wzorem 1 Id, 1 L, gdzie L : O φ cos φ sin φ O φ, tutaj O φ := ) jest macierzą obrotu o kąt φ. Zauważmy, że L rzeczywiście jest sin φ cos φ elementem Aut(SO(2, R)): odwzorowanie L : SO(2, R) [ SO(2, R) ] jest ograniczeniem do SO(2, R) 0 1 automorfizmu wewnętrznego A g grupy O(2, R), gdzie g = (Ćwiczenie: sprawdzić ten fakt). 1 0 Ponadto, ponieważ g 2 = I, odwzorowanie f jest homomorfizmem. Zostało zbudować izomorfizm F : Z 2 f SO(2, R) O(2, R). Połóżmy σ(1) := 0, σ( 1) := 1 oraz F ([x, X]) := Xg σ(x) (mamy f(x) = A g σ(x)). Wtedy F ([x, X] [y, Y ]) = F ([xy, XA g σ(x)(y )]) = Xg σ(x) Y g σ(x) g σ(xy) = Xg σ(x) Y g σ(x2y) = Xg σ(x) Y g σ(y) = F ([x, X]) F ([y, Y ]). Homomorfizm odwrotny: F 1 (Z) := [det Z, Zg σ(det Z) ]. (Ćwiczenie: sprawdzić, że F F 1 (Z) = Z oraz F 1 F ([x, X]) = [x, X].) Przykład: Grupa GL(2, R) := {A Mat(n, R) det A = 0}, jest izomorficzna z R SL(2, R), gdzie SL(2, R) : {A Mat(2, R) det A = 1}, a R to inne oznaczenie dla grupy (R =0, ). Rzeczywiście, określmy odwzorowanie τ : R {0, 1}, τ(x) := σ(sign(x)), oraz homomorfizm f : R 9

10 Aut(SL(2, R)), f(x) := A g τ(x). Izomorfizm F : R f SL(n, R) GL(n, R) określamy wzorem F ([x, X]) := xxg τ(x). Ćwiczenie: zbudować izomorfizm odwrotny, sprawdzić szczegóły. Przykład: Grupa SE(2, R) := SO(2, R) f R 2 ruchów płaszczyzny euklidesowej. Tutaj f : SO(2, R) Aut(R 2 ) standardowe działanie grupy obrotów płaszczyzny na płaszczyźnie. Uwaga 1: Jeśli f jest homomorfizmem trywialnym, to G 2 f G 1 = G2 G 1. Pytanie 1: Czy bywają nietrywialne f, dla których też G 2 f G 1 = G2 G 1? Bardziej ogólnie: jeśli f, f : G 2 Aut(G 1 ) dwa homomorfizmy, kiedy istnieje izomorfizm G 2 f1 G 1 = G2 f2 G 1 Uwaga 2: odwzorowanie π : [g 2, g 1 ] g 2 : G G 2 jest epimorfizmem grup: π([g 2, ][h 2, ]) = π([g 2 h 2, ]) = g 2 h 2 = π([g 2, ])π([h 2, ]). Stąd mamy wnioski: a) {e} G 1 = ker π podgrupa normalna w G = G 2 f G 1 ; b) G/G 1 = G2 (izomorfizm grup). Pytanie 2: Czy każda grupa G posiadająca podgrupę normalną G 1 jest izomorficzna z G 2 f G 1, gdzie f pewien homomorfizm z grupy ilorazowej G 2 = G/G 1 w grupę Aut(G 1 )? W celu znalezienia odpowiedzi na to pytanie wprowadźmy kilka nowych pojęć. Ciąg dokładny homomorfizmów grup: Jest to ciąg f k 1 G k f k Gk+1 grup i ich homomorfizmów taki, że im f k 1 = ker f k dla każdego k. ι Krótki ciąg dokładny: Jest to ciąg dokładny postaci { } G 1 G π G 2 { }. W szczególności mamy: ker ι = {e}, czyli ι jest włożeniem (monomorfizmem); im π = G 2, czyli π jest epimorfizmem; im ι = ker π, czyli podgrupa im ι = G 1 jest podgrupą normalną, a grupa G 2 jest izomorficzna z grupą ilorazową G/G 1. Rozszerzenie grupy G 2 za pomocą grupy G 1 : Jest to krótki ciąg dokładny postaci { } G 1 Przykład: G = G 2 f G 1, ι (g 1 ) := [e, g 1 ], π ([g 2, g 1 ]) := g 2. ι G π G 2 { }. (1) ι Równoważność rozszerzeń: Rozszerzenia { } G 1 G π ι G 2 { } oraz { } G 1 G π G 2 { } są równoważne, jeśli istnieje izomorfizm Q : G G dla którego następujący diagram jest przemienny: G ι π Q { } ι G 1 G π G 2 { } Pytanie 2 teraz można przeformułować w nieco węższym kontekscie. Pytanie 2 : czy każde rozszerzenie { } G 1 G π ι π ι G 2 { } jest równoważne z { } G 1 G1 f G 2 G2 { } dla pewnego f? Pytanie 1, natomiast, teraz sformułujemy w następujący sposób. Pytanie 1 : dla jakich f, f ι π ι π rozszerzenia { } G 1 G1 f G 2 G2 { } oraz { } G 1 G1 f G 2 G2 { } są równoważne? Spróbujemy dać na odpowiedź na te pytania w terminach tzw. kohomologii grupy G 2 w szczególnym przypadku abelowej grupy G 1. Założenie o grupie G 1 : Od tego momentu zakładamy, że G 1 jest abelowa. Operację w G 1 będziemy oznaczali plusem, element neutralny zerem, a element odwrotny minusem (tzw. notacja addytywna). 10

11 Kohomologie grupy G 2 o wartościach w (abelowej) grupie G 1 : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) ustalony homomorfizm. Dowolną funkcję c : G n 2 G 1 nazywamy n-kołańcuchem na G 2 o wartościach G 1. Zbiór n-kołańcuchów oznaczmy przez C n (G 2, G 1 ) (tworzy on grupę abelową ze względu na dodawanie funkcji). Z definicji C 0 (G 2, G 1 ) = G 1. Określmy odwzorowania d i : C i (G 2, G 1 ) C i+1 (G 2, G 1 ) d 0 c(g) := f g c c, c G 1, g G 2 ; d 1 c(g, h) := f g c(h) c(gh) + c(g), g, h G 2, c C 1 (G 2, G 1 ); d 2 c(g, h, j) := f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h), g, h, j G 2, c C 2 (G 2, G 1 ). Łatwo się sprawdza (Ćwiczenie:), że 1) d i jest homomorfizmem grup; 2) d i+1 d i = 0. Z 2) mamy wniosek: im d i ker d i+1. Mówimy, że Z i (G 2, G 1 ) := ker d i jest i-tą grupą kocykli, B i (G 2, G 1 ) := im d i jest i-tą grupą kobrzegów, a H i (G 2, G 1 ) := ker d i / im d i 1 jest i-tą grupą kohomologii grupy G 2 ( o wartościach w G 1, lub, bardziej dokładnie, w reprezentacji f ). 11

12 4 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. II Próba odpowiedzi na pytanie 2 : Rozważmy rozszerzenie (1). Najpierw zauważmy, że w tej sytuacji mamy jednoznacznie określone działanie G 2 na G 1, czyli homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ). Istotnie, każdy element g G określa automorfizm wewnętrzny A g, który zachowuje podgrupę G 1 ponieważ ona jest normalna. Czyli mamy homomorfizm F : G Aut(G 1 ), g A g G1. Elementy z G 1 leżą w jądrze tego homomorfizmu, bo G 1 jest abelowa, czyli F przepuszcza się przez G/G 1. Innymi słowy istnieje jedyny f : G 2 Aut(G 1 ) taki, że następujący diagram jest przemienny: G F π G/G 1 f Aut(G1 ) Następnie, wybierzmy cięcie odwzorowania π (czyli takie odwzorowanie s : G 2 G, że πs = Id G2 ) o własności s(e 2 ) = 0. Wybór takiego cięcia jest równoważny wyborowi jednego przedstawiciela s(g 2 ) w każdej warstwie π 1 (g 2 ), g 2 G 2, co, z kolei, jest równoważne utożsamieniu zbiorów G i G 2 G 1 a odwzorowań ι, π z włożeniem ι : g 1 [e, g 1 ] : G 1 G 2 G 1 oraz z rzutem π na pierwszą składową odpowiednio. (Istotnie, jeśli g 2 G 2, h π 1 (g 2 ) = G 1 s(g 2 ), to istnieje jedyne g 1 := h(s(g 2 )) 1 G 1 takie, że h = g 1 s(g 2 ). Punkt h utożsamiamy z parą [g 2, g 1 ].). Dalej zakładamy, że G = G 2 G 1 (jako zbiór) i pytamy jakie mnożenia (działania grupowe) w G 2 G 1 są dopuszczalne, czyli takie, że odwzorowania ι, π są homomorfizmami grup. Lemat Dopuszczalne mnożenia są postaci [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )], (2) gdzie c(e, e) = 0 oraz c Z 2 (G 2, G 1 ), czyli jest kocyklem. Ponadto, jeśli c, c są dwoma kocyklami odpowiadającymi równoważnym rozszerzeniom, to c c B 2 (G 2, G 1 ), czyli istnieje q C 1 (G 2, G 1 ) o własności c c = dq. Przy tym q(e) = 0. Uwaga: 12

13 Dowód: Sposób utożsamienia G z G 2 G 1 implikuje wzór [e, h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + h 1 ], g i, h i G i. Istotnie, element h 1 π 1 (e 2 ) utożsamia się z [e, h 1 (s(e 2 )) 1 ] = [e, h 1 ], element g π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, g 1 ] (tutaj g 1 := g(s(g 2 )) 1 ), skąd element h 1 g π 1 (e 2 g 2 ) = π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, h 1 g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, h 1 g 1 ] = [g 2, h 1 + g 1 ]. Z kolei, sposób zadania homomorfizmu f daje [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 = [e, f g2 h 1 ]. Fakt, że π jest homomorfizmem oznacza w szczególności, że [g 2, 0][h 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] dla pewnego c C 2 (G 2, G 1 ). Używając tych wzorów dostajemy oraz [g 2, g 1 ][e, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 [g 2, g 1 ] = [e, f g2 h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ] [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][h 2, 0] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2, 0][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )]. Ponieważ ι ma być homomorfizmem, mamy ι (g 1 )ι (h 1 ) = [e, g 1 ][e, h 1 ] = [e, g 1 +f e h 1 +c(e, e)] = [e, g 1 + h 1 ] = ι (g 1 + h 1 ). Stąd c(e, e) = 0. Teraz sprawdźmy warunek kocyklu: ([g 2, 0][h 2, 0])[j 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )][j 2, 0] = [g 2 h 2 j 2, c(g 2, h 2 ) + c(g 2 h 2, j 2 )] [g 2, 0]([h 2, 0][j 2, 0]) = [g 2, 0][h 2 j 2, c(h 2, j 2 )] = [g 2 h 2 j 2, f g2 c(h 2, j 2 ) + c(g 2, h 2 j 2 )]. Równoważność Q : G 2 G 1 G 2 G 1 rozszerzeń odpowiadających kocyklom c i c oznacza istnienie odwzorowania q : G 2 G 1 takiego, że 1) Q([g 2, g 1 ]) = [g 2, g 1 + q(g 2 )] 2) Q jest homomorfizmem. Warunek 2) implikuje następujące równości: Q([g 2, 0][h 2, 0]) = Q([g 2 h 2, c(g 2, h 2 )]) = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 ) + q(g 2 h 2 )] = Q([g 2, 0])Q([h 2, 0]) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) + f g2 q(h 2 ) + c (g 2, h 2 )]. Stąd c(g 2, h 2 ) c (g 2, h 2 ) = f g2 q(h 2 ) q(g 2 h 2 ) + q(g 2 ). Mamy też 0 = c(e, e) c (e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e). Uwaga: Jeśli kocykl c jest kobrzegiem, czyli c = dq dla pewnego q C 1 (G 2, G 1 ), to odwzorowanie s : g 2 [g 2, q(g 2 )] : G 2 G 2 G 1 jest homomorfizmem. Istotnie, wyrażenie s (g 2 h 2 ) = [g 2 h 2, q(g 2 h 2 )] jest równe s (g 2 )s (h 2 ) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) f g2 q(h 2 )+c(g 2, h 2 )] wskutek definicji dq. Rozpoznawanie iloczynów półprostych wśród wszystkich rozszerzeń: Rozszerzenie (1) jest równoważne z { } G 1 G 1 f G 2 G 2 { } jeśli i tylko jeśli odwzorowanie π posiada cięcie 13

14 s : G 2 G będące homomorfizmem grup. Istotnie, poprzez wybór cięcia s : G 2 G (nie będącego w ogólności homomorfizmem) utożsamiamy G z G 2 G 1 a samo s z odwzorowaniem g 2 [g 2, 0]. Równowazność z iloczynem półprostym G 1 f G 2 oznacza trywialność kocyklu c (czyli istnienie q takiego, że c = dq) i homomorficzność nowego cięcia s : g 2 [g 2, q(g 2 )]. Uwaga: Element q C 1 (G 2, G 1 ) taki, że dq = c jest określony z dokładnością do dodawania elementów kobrzegowych da (tutaj a G 1, da(g 2 ) = f g2 a a). Cięcie s : G 2 G, s (g 2 ) := [g 2, q(g 2 ) da(g 2 )], jest otrzymane z ciecia s zastosowaniem automorfizmu wewnętrznego A a : G G, czyli s = A a s. Istotnie, [e, a][g 2, q(g 2 )][e, a] 1 = [g 2, a q(g 2 )][e, a] = [g 2, a q(g 2 ) f g2 a]. Przykład rozszerzenia nie bedącego iloczynem półprostym: Rozważmy tzw. grupę Heisenberga składającą się z macierzy postaci 1 a b 0 1 c Jasne, że jako zbiór ona może być utożsamiona z R 3. Mnożenie natomiast jest zadawane następującym wzorem: [x, y, z][x, y, z ] = [x + x, y + y + xz, z + z ]. Jest to rozszerzenie grupy abelowej G 2 = (R 2, +) za pomocą grupy abelowej G 1 = (R, +) z kocyklem c([x, z], [x, z ]) := xz (i trywialnym działaniem f). Kocykl ten nie może być kobrzegiem: kobrzeg dq(g, h) = q(h) q(gh)+q(g) na grupie abelowej jest funkcją symetryczną argumentów g, h. Kocykl c, natomiast, funkcją symetryczną nie jest. W szczególności z tego wynika też, że grupa kohomologii H 2 (C 2, C 1 ) jest nietrywialna. Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że grupa kohomologii H 2 (G 2, G 1 ) jest w bijekcji z klasami równoważności rozszerzeń grupy G 2 za pomocą grupy G 1. Ćwiczenie: Pokazać, że klasy autorównoważności rozszerzenia (1) modulo autorównoważności pochodzące z automorfizmów wewnętrznych A a, gdzie a G 1, są w bijekcji z grupą H 1 (G 2, G 1 ). Odpowiedź na pytanie 1 : Ponieważ homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) jest jednoznacznie wyznaczony przez rozszerzenie (1), rozszerzenia { } G 1 ι G1 f G 2 π G2 { } oraz { } G 1 ι G 1 f G 2 π G2 { } są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy f = f. Zadania na ćwiczenia. Inne spojrzenie na działanie grupy na zbiorze: Niech ν : G X X będzie lewym działaniem grupy G na zbiorze X. Pokazać, że: 1) przy ustalonym g G odwzorowanie x ν(g, x) : X X jest bijekcją, czyli ν(g, ) S X ; 2) odwzorowanie g ν(g, ) : G S X jest homomorfizmem grup. Odwrotnie, każdy homomorfizm f : G S X zadaje działanie ν : G X X według wzoru ν(g, x) := f g x (tutaj f g := f(g)). Działanie z kocyklem : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) będzie homomorfizmem, a q Z 1 (G 2, G 1 ) pewnym kocyklem. Pokazać, że odwzorowanie f : G 2 S G1, f g2 g 1 := f g2 g 1 + q(g 2 ), jest homomorfizmem, czyli zadaje działanie G 2 na G 1 za pomocą przekształceń afinicznych. Przykład 1: Niech G 2 := (R n, +), G 1 := (R m, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) homomorfizm trywialny. Pokazać, że każdy operator liniowy q : R n R m jest kocyklem. Znaleźć orbitę i stabilizator każdego punktu x R m ze względu na działąnie z kocyklem f. Przykład 2: Niech G 2 := SO(2, R), G 1 := (R 2, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) działanie naturalne. Rozważmy kocykl q = da będący kobrzegiem (tutaj a G 1, q(g 2 ) := f g2 a a, g 2 G 2 ). Opisać 14

15 działanie z kocyklem f. Odpowiedź: działanie f polega na obrotach płaszczyzny wokół elementu a. 15

16 5 Elementy teorii grup krystalograficznych Literatura dodatkowa:[szc] 3 Dygresja o topologii Przestrzeń topologiczna: Zbiór X wraz z rodziną podzbiorów {U α } α A własnościach: nazywanych otwartymi o 1. zbiory oraz X są otwarte; 2. zbiór α B jest otwarty dla dowolnego podzbioru B A 3. przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Rodzinę {U α } α A nazywamy topologią na X. Przykład 1: Rodzina zbiorów otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej. Przykład 2: Topologia dyskretna składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru X. Przykład 3: Niech X przestrzeń topologiczna, Y X pewien podzbiór. Topologia indukowana na Y składa się ze wszystkich przecięć zbiorów otwartych w X z podzbiorem Y. Odwzorowanie ciągłe φ : X Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi: jest to odwzorowanie takie, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego (w Y ) jest otwarty (w X). Podzbiór zwarty K X: Jest to podzbiór o tej własności, że z dowolnego pokrycia α B U α K zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone. Topologia ilorazowa: Niech X będzie przestrzenią przestrzeń topologiczną, a R X X relacją równoważności. Zbiór X/R = X/ klas równoważności posiada naturalną topologię zwaną ilorazową. Jest to najmocniejsza (czyli najbogatsza ) topologia na X/R, w której rzut naturalny π : X X/R jest ciągły. Zbiór U X/R jest w niej otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy π 1 (U) jest otwarty w X. Przykład: Niech X = R 2 i niech (a, b) (c, d) def a = c. Wtedy X/ naturalnie utożsamia się z R, a topologia ilorazowa pokrywa się ze standardową topologią na R. def Uwaga: Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to relacja a b g G a = gb jest relacją równoważności (Ćwiczenie: sprawdzić). Zbiór X/ (oznaczany przez X/G) jest zbiorem orbit działania G na X. Przykład: Niech X = R 2 i niech grupa SO(2, R) działa w sposób naturalny na X. Wtedy przestrzeń orbit X/G z topologią ilorazową jest promieniem {x R x 0}. Jeśli C n SO(2, R) jest grupą cykliczną generowaną przez obrót o kąt 2π/n, to X/C n jest stożkiem. Grupa euklidesowa: Niech R n będzie wyposażone w standardowy iloczyn skalarny ( ). Odwzorowanie φ : R n R n o własności (φ(x) φ(y)) = (x y) x, y R n nazywamy izometrią. Ćwiczenie: sprawdzić, że izometrie tworzą grupę względem złożenia odwzorowań. Lemat Każda izometria φ : R n R n jest superpozycją t a A przekształcenia ortogonalnego A O(R n ) i translacji t a : R n R n, x x + a, a R n. 3 Zob. także 16

17 Dowód: ćwiczenie. Grupę izometrii nazywamy grupą euklidesową i oznaczamy E(R n ). Lemat Grupa E(R n ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym O(n, R) R n =: E(n, R). Dowód: Niech [A] będzie macierzą odwzorowania A w dowolnej bazie ortonormalnej, a [a] kolumną współrzędnych elementu a. Określmy odwzorowanie t a A ([A], [a]) : E(R n ) O(n, R) R n. Dla x R n mamy (t b B) (t a A)x = (t b B)(Ax + a) = BAx + Ba + b, wiec złożenie izometrii indukuje następujące działanie grupowe na O(n, R) R n : ([B], [b])([a], [a]) := ([B][A], [B][a] + [b]). Poniżej pod grupą euklidesową będziemy rozumieć grupę E(n, R). Kozwarta grupa Γ E(n, R): Jest to podgrupa grupy euklidesowej taka, że przestrzeń orbit R n /Γ jest zwarta. Przykład: Podgrupa Γ = {t a a Z n R n } = Z n translacji całkowitoliczbowych jest kozwarta. Przestrzeń orbit R n /Z n jest torusem n-wymiarowym. Obszar fundamentalny: Niech Γ E(R n ) będzie dowolną podgrupą. Podzbiór F R n nazywamy obszarem fundamentalnym działania Γ na R n, jeśli gf = R n g Γ oraz g int(f ) g int(f ) = dla g = g. Tutaj int(f ) jest zbiorem punktów wewnętrznych zbioru F, czyli takich punktów p F, które posiadają otoczenie otwarte (czyli zbiór otwarty U p) zawarte w F. Przykład: Kwadrat domknięty o boku 1 jest obszarem fundamentalnym dla działania grupy Γ = Z n. Obszarem fundamentalnym dla działania skończonej grupy obrotów C n jest domknięty wycinek nieograniczony o kącie 2π/n. Krystalograficzna grupa Γ wymiaru n: Jest to dyskretna 4 i kozwarta podgrupa grupy euklidesowej E(n, R). Przykład: Γ = Z n. Twierdzenie (Bieberbacha) 1. Jeżeli Γ E(n, R) jest grupą krystalograficzną, to jej zbiór translacji Γ t := Γ (I R n ) jest normalną podgrupą abelową skończonego indeksu (ostatnie oznacza, że grupa ilorazowa Γ/Γ t jest skończona). Ponadto, Γ t jest maksymalna podgrupą abelową w Γ (czyli nie zawiera się w żadnej większej podgrupie abelowej) i jest izomorficzna z Z n. 2. Dla każdego n istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru n. 3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru n są izomofriczne wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzeżone w grupie A(n, R) afinicznych przeksztalceń R n. 4 Zob. definicję podgrupy dyskretnej w przypisie na końcu Wykładu 2. Równoważna definicja: podzbiorem dyskretnym w przestrzeni topologicznej X nazywamy taki podzbiór Y X, że topologia indukowana na Y jest dyskretną. 17

18 (Bez dowodu.) Z punktu 1 wynika, że grupy krystalograficzne posiadają zwarte obszary fundamentalne. To stanowi podstawę ich zastosowań w krystalografii: ciało stałe jest kryształem (w odróżnieniu od kwazikryształów i ciał amorficznych), jeśli jego struktura atomowa jest okresowym powtórzeniem ograniczonego kawałka tej struktury. Przykład: Grupa Z 1 := {t (n,0) n Z} E(2, R) nie ma zwartego obszaru fundamentalnego. Twierdzenie (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupą krystalograficzną wymiaru n wtedy i tylko wtedy, gdy ma normalną podgrupę abelową skończonego indeksu izomorficzną z Z n, będącą maksymalną podgrupą abelową. Dowód: Jedna z implikacji jest punktem 1 twierdzenia Bieberbacha. Żeby udowodnić drugą rozważmy następujący diagram przemienny: { } Z n Γ G { } { } ι 1 R n Γ ι 2 G { } ι 4 { } R n A(n, R) GL(n, R) { }, którego składniki określimy poniżej. W pierwszym wierszu G := Γ/Z n, czyli mamy rozszerzenie odpowiadające włożeniu podrgupy normalnej Z n w grupę Γ i rzutowi na odpowiednią grupę ilorazową. Grupę Γ określmy jako iloczyn półprosty G R n, a odwzorowanie ι 1, jako włożenie standardowe. Przypomnijmy sobie, że pierwszy wiersz jednoznacznie określa homomorfizm grup f : G Aut(Z n ) (wybieramy cięcie s : G Γ i określamy f(g) jako A s(g) Z n). Zauważmy, że Aut(Z n ) = GL(n, Z) (ostanie wyrażenie oznacza grupę takich macierzy odwracalnych X, że X i X 1 mają współczynniki całkowite 5 ) i oznaczmy przez f złożenie f : G GL(n, Z) GL(n, R) = Aut(R n ), gdzie jest włożeniem naturalnym. Żeby określić odwzorowanie ι 2 najpierw zróbmy utożsamienie zbiorów φ s : Γ G Z n (za pomocą cięcia s). Przypomnijmy również, że rozszerzenie z pierwszego wiersza zadaje kocykl c Z 2 (G, Z n ) (odpowiadający homomorfizmowi f) określony z dokładnością do dodawania kobrzegów. Ponieważ każdy kocykl na G o wartościach w Z n może być uważany za kocykl na G o wartościach w R n (ostatni oznaczmy przez c), na iloczynie kartezjańskim G R n mamy strukturę grupy, zadaną wzorem (2) (zob. lemat o dopuszczalnych mnożeniach z poprzedniego wykładu) z homomorfizmem f i kocyklem c. Natępnie skorzystamy z faktu, że H 2 (G, R n ) = 0, który przyjmiemy bez dowodu. Fakt ten mówi, że każdy 2-kocykl na G o wartościach w R n jest kobrzegiem. W szczególności istnieje q C 1 (G, R n ) 5 izomorfizm grupy Aut(Z n ) z grupą GL(n, Z) buduje się w sposób następujący. Niech e 1,..., e n Z n R n będą elementami bazy standardowej. Wtedy każdy φ Aut(Z n ) reprezentuje się w sposób jednoznaczny macierzą o wyrazach całkowitych, której kolumny są współczynnikami rozkładu φ(e j ) po tej że bazie. Macierz odwrotna będzie miała wyrazy całkowite, ponieważ odwzorowanie φ 1 rozumiane jako odwzorowanie R n R n zachowuje kratę Z n R n, w szczególności φ 1 (e j ) muszą mieć współczynniki całkowite rozkładu po bazie standardowej. Zauważmy, że każdy inny wybór bazy Ae 1,..., Ae n, gdzie A GL(n, Z), zadaje inny izomorfizm Aut(Z n ) = GL(n, Z). ι 3 18

19 taki, że dq = c. Z ogólnej teorii wiemy, że q określa pewną bijekcję G R n G R n, zadającą izomorfizm wyżej określonej grupy G R n z iloczynem półprostym Γ := G f R n. Oznaczmy tę bijekcję przez ι 2, a ι 2 określmy jako złożenie G = G Z n G R n ι 2 Γ. Teraz połóżmy ι 3 := f i zauważmy, że maksymalność podgrupy abelowej Z n implikuje monomorficzność odwzorowania f. Istotnie, jeśli g G jest nietrywialnym elementem należącym do jądra f, to A s(g) zostawia każdy element z Z n na miejscu, czyli s(g) komutuje z Z n. Wtedy podgrupa generowana przez Z n i s(g) jest abelowa. Z drugiej strony s(g) Z n (bo s(g) leży w nietrywialnej warstwie), co przeczy maksymalności Z n. Wreszcie określimy odwzorowanie ι 4. Grupa A(n, R) afinicznych przekształceń przestrzeni R n jest iloczynem półprostym GL(n, R) R n (dowód jest analogiczny jak w przypadku grupy euklidesowej). Odwzorowanie ι 4 jest naturalnym włożeniem jednego iloczynu półprostego (G ι3 R n ) w drugi (GL(n, R) R n ). Ponieważ wszystkie odwzorowania ι j są monomorfizmami, mamy włożenie grupy Γ w grupę A(n, R). Zostało pokazać, że tak naprawdę G leży w O(n, R) GL(n, R). To wynika z następującego lematu, który udowodnimy w teorii reprezentacji. Lemat Każda skończona grupa macierzy n n o wyrazach rzeczywistych jest sprzężona do grupy macierzy ortogonalnych. Z lematu tego wynika, że Γ jest izomorficzna z podgrupą w E(n, R). Dyskretność tej podgrupy wynika z tego, że jako zbiór jest ona iloczynem prostym zbioru skończonego G oraz podzbioru dyskretnego Z n R n. Kozwartość, z kolei, wynika z tego, że Γ t = Z n (tę implikację przyjmujemy bez dowodu). Algorytm Zassenhausa klasyfikacji grup krystalograficznych: Powyższy dowód sugeruje pewną metodę klasyfikacji grup krystalograficznych. Składa się ona z następujących kroków: 1. Opisać wszystkie skończone podgrupy G grupy GL(n, Z) (z dokładnością do izomorfizmu). 2. Opisać wszystkie włożenia ι : G GL(n, Z) = Aut(Z n ), czyli działania wierne (z dokładnością do równoważności). 3. Obliczyć H 2 (G, Z n ) dla wszystkich grup z p. 1 i dla wszystkich działań z p Określić które z grup otrzymanych za pomocą odpowiednich kocykli są izomorficzne (rozszerzenia odpowiadające różnym elementom H 2 (G, Z n ) są nierównoważne, ale odpowiednie grupy mogą być izomorficzne). Ilustracja algorytmu Zassenhausa dla grup tapetowych Grupami tapetowymi nazywamy grupy krystalograficzne wymiaru n = 2. Następujący lemat opisuje wynik 1-go i 2-go kroku algorytmu. Lemat (Ograniczenie krystalograficzne). Niech G GL(2, Z) będzie podgrupą skończoną. Wtedy G jest izomorficzna z jedną z następujących grup {I}, C 2, C 3, C 4, C 6, D 2, D 3, D 4, D 6. Przy tym grupa C 2 ma 3 nierównoważne włożenia, a grupy D 2 i D 3 ma ich 2. 19

20 Lemat ten przyjmujemy bez dowodu, ale spróbujmy zrobić następujące Ćwiczenie: znaleźć (chociażby jedno) włożenie grup C 3, C 6 w GL(2, Z). Trzy nierównoważne włożenia grupy C 2 = {e, v} w GL(2, Z) zadają się wzorami v M i, i = 1, 2, 3, gdzie M 1 := [ ], M 2 := [ ], M 3 := [ ] odpowiednio. Zadanie na ćwiczenia: Obliczyć grupę H 2 (C 2, Z 2 ) dla trzech powyższych działań C 2 na Z 2 i zbudować odpowiednie grupy tapetowe. Rozwiązanie: Rozważmy warunek kocyklu c Z 2 (G, G 1 ): f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h) = 0, g, h, j G. Podstawiając g, e, e lub e, e, j zamiast g, h, j otrzymujemy odpowiednio f g c(e, e) = c(g, e), c(e, j) = c(e, e). W szczególności z tych wzorów wynika, że do tego, żeby określić 2-kocykl c na grupie dwuelementowej G = C 2 = {e, v} wystarczy określić c(e, e) oraz c(v, v). Zobaczmy, jakie ograniczenia na elementy c(e, e), c(v, v) grupy G 1 nakłada warunek kocyklu. Łatwo sprawdzić, że jedyne niezależne ograniczenie otrzymujemy, gdy podstawiamy v, v, v zamiast g, h, j: f v c(v, v) c(e, v) + c(v, e) c(v, v) = 0 (tutaj skorzystaliśmy z tego, że v 2 = e), lub, z uwzględnieniem powyższych wzorów: f v c(v, v) c(e, e) + f v c(e, e) c(v, v) = 0. (3) Podobnie, każdy 1-kołańcuch q C 1 (C 2, G 1 ) określony jest przez zadanie q(e) oraz q(v), a z definicji różniczki d mamy Z. dq(e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e), dq(g, g) = f g q(g) q(e) + q(g). Niech G := C 2, G 1 := Z 2, c(e, e) := (a, b), c(v, v) := (r, s), q(e) := (m, n), q(v) := (k, l), a, b, r, s, m, n, k, l Przypadek 1: f : C 2 GL(2, Z), f v := M 1. Wtedy warunek kocyklu (3) implikuje wiąz ( r, s) (a, b) + ( a, b) (r, s) = 0, skąd r = a, s = b. Zbadajmy, czy kocykl c może być kobrzegiem dq: (a, b) = c(e, e) = dq(e, e) = q(e) = (m, n), (r, s) = c(v, v) = dq(v, v) = ( k, l) (m, n) + (k, l) = ( m, n). Czyli, jeśli określimy q(e) := (a, b), a q(v) dowolnie, będziemy mieli c = dq. Innymi słowy H 2 (C 2, Z 2 ) = 0 w tym przypadku. Odpowiednia grupa tapetowa naprzykład może być generowana przez elementy t (0,0) M 1, t (1,0), t (0,1) i być grupą symetrii poniższej tapety 20

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup Rozdział 1 Grupy Ostatnie zmiany 24.10.2005 r. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Topologia i geometria różniczkowa

Topologia i geometria różniczkowa Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995 Spis treści

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek Algebra Wykłady dla Studiów Doktoranckich Kazimierz Szymiczek 29.11.2010 Spis treści Przedmowa v 1 Grupy 1 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy.................... 1 1.1.1 Definicja i przykłady grup....................

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery Reprezentacje grup puntowych związi pomiędzy h i n a jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystich reprezentacji grup puntowych, a związi ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charatery oznaczenia:

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

LVII Olimpiada Matematyczna

LVII Olimpiada Matematyczna LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (12 września 2005 r 5 grudnia 2005 r) Zadanie 1 Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite n, dla których liczba

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM Wymagania podstawowe(k- ocena dopuszczająca, P ocena dostateczna), wymagania ponadpodstawowe( R ocena dobra, D ocena bardzo dobra, W ocena celująca) DZIAŁ 1:

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich

Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Wymogi edukacyjne z kryteriami na poszczególne oceny z matematyki dla uczniów klasy pierwszej Publicznego Gimnazjum nr 1 w Strzelcach Opolskich Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016 Litery w nawiasach oznaczają kolejno: K - ocena dopuszczająca P - ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ Z PODZIAŁEM NA POZIOMY W ODNIESIENIU DO DZIAŁÓW NAUCZANIA Poziomy wymagań edukacyjnych : KONIECZNY (K) - OCENA DOPUSZCZAJĄCA, PODSTAWOWY( P) - OCENA DOSTATECZNA, ROZSZERZAJĄCY(R) - OCENA DOBRA, DOPEŁNIAJĄCY (D) - OCENA BARDZO DOBRA WYKRACZAJACY(W) OCENA CELUJĄCA.

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I

KRYTERIA OCENIANIA KLASA I KRYTERIA OCENIANIA KLASA I POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający ocena bardzo dobra

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2015/z1

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w I klasie gimnazjum Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Kryteria ocen z matematyki w I klasie gimnazjum Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej porównuje liczby wymierne zaznacza liczby wymierne na osi liczbowej zamienia ułamki zwykłe na dziesiętne i odwrotnie zna pojęcia:

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo