Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk"

Transkrypt

1 Teoria grup I Andriy Panasyuk 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1 Grupa: Zbiór G wyposażony w działanie μ : G G G (skrótowo oznaczamy μ(a, b) =: a b lub poprostu ab) spełniające następujące aksjomaty: 1. działanie jest łączne, czyli (ab)c = a(bc) a, b, c G; 2. istnieje element e G, zwany neutralnym, taki, że ea = ae = a a G; 3. dla każdego a G istnieje element odwrotny a 1, czyli taki, że aa 1 = a 1 a = e. Uwaga: Element neutralny jest jedyny: jeśli e inny neutralny, to e = e e = e. Analogicznie, dla każdego a G element odwrotny a 1 jest wyznaczony jednoznacznie. Podgrupa grupy G: Podzbiór H G o własnościach 1) μ(h, H) H oraz 2) H 1 H, czyli 1) ab H a, b H oraz 2) a 1 H a H. Uwaga: 1) i 2) implikują e H oraz fakt, że podgrupa H sama staje się grupą z działaniem μ H H. Przykład podstawowy - grupa permutacji: Permutacją zbioru X nazywamy bijekcję a : X X. Zbiór bijekcji oznaczamy S X (S od symetrii, grupę permutacji inaczej nazywamy grupą symetrii zbioru X) i wyposażamy w działanie - złożenie bijekcji, czyli μ(a, b) := a b : X X. Element neutralny - odwzorowanie identycznościowe Id X, element odwrotny do a - odwzorowanie odwrotne a 1 : X X. Inne przykłady: Wszystkie inne przykłady grup to podgrupy grupy S X (:-o, na serio: jest to treść twierdzenia Cayley a). Przykłady bardziej przyziemne: 1. G = { } grupa jednoelementowa. 2. (Z, +), (R, +), (C, +), (Z n, +), (R n, +), (C n, +); przy tym mamy ciągi podgrup: Z R C, Z n R n C n. 1

2 3. (R =0, ), (R >0, ), (C =0, ); ciąg podgrup R >0 R =0 C =0. 4. U(1) := {z C z = 1} (podgrupa C =0 ). 5. S n, grupa permutacji zbioru n-elementowego. Uwaga: są przykładami grup przemiennych lub abelowych, czyli takich, że μ(a, b) = μ(b, a) a, b G. 5. jest przykładem grupy nieprzemiennej, jeśli n > 2. Przykłady mniej przyziemne otrzymują się w ramach następującej ważnej konstrukcji. Załóżmy, że zbiór X wyposażony jest w pewną strukturę S. Wybierzmy z S X tylko bijekcje o tej własności, że one same i ich odwrotności zachowują S, i oznaczmy przez S X,S ich zbiór. Wtedy S X,S jest podgrupą w S X. Grupa S X,S jest grupą symetrii struktury S i często zawiera istotną informację o S (zob. przykład podłogi, poniżej). Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X, wtedy zachowanie struktury oznacza liniowość bijekcji, S X,S = GL(X) (od angielskiego general linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X. Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X wraz z formą objętości σ, S X,S = SL(X) (od angielskiego special linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X zachowujących σ. Uwaga: SL(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: S struktura przestrzeni euklidesowej na X, czyli X jest przestrzenią liniową z zadaną metryką euklidesową ( ), S X,S = O(X) grupa ortogonalna, czyli grupa liniowych bijekcji, zachowujących metrykę. Uwaga: O(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: SO(X) := SL(X) O(X). Przykład: Niech X = R 4 będzie wyposażone w strukturę metryki ( ) o sygnaturze (1, 3), czyli S będzie strukturą lorentzowską na X. Wtedy S X,S = O(1, 3), grupa liniowych bijekcji zachowujących ( ), jest tzw. grupą Lorentza. Przykład: S struktura przestrzeni metrycznej lub topologicznej na X, zachowanie struktury oznacza ciągłość bijekcji, S X,S grupa homeomorfizmów przestrzeni X. Przykład: S struktura rozmaitości gładkiej na X, zachowanie struktury oznacza gładkość bijekcji, S X,S grupa dyfeomorfizmów przestrzeni X. Działanie (lewe) grupy G na zbiorze X: Odwzorowanie ν : G X X (skrótowo oznaczamy też ν(g, x) =: g x) o własnościach 1. (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) g 1, g 2 G, x X; 2. e x = x x X. Przykład: Działanie grupowe μ : G G G jest przykładem lewego (oraz prawego) działania G na G. 2

3 Przykład: Grupa S X w naturalny sposób działa na X: a x := a(x), a S X, x X. Uwaga: jest to lewe działanie: (a b) x = (a b)(x) = a(b(x)) = a (b x). Przykład: Analogicznie, S X,S działa na X. Orbita elementu x X działania G na X: G x := {g x g G}. Uwaga: X jest sumą rozłączną orbit działania. Rzeczywiście, każdy element zawiera się w jakiejś orbicie (bo e x = x), ponadto, jeśli x G x oraz x G x, to G x = G x (bo x = g x = g x = x = (g ) 1 g x = g x = g (g ) 1 g x = G x G x i odwrotnie). Stabilizator G x elementu x X względem działania G na X: G x := {g G g x = x}. Uwaga 1. Stabilizator jest podgrupą: g 1 x = x, g 2 x = x = (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) = g 1 x = x oraz g x = x = x = g 1 g x = g 1 x. Uwaga 2. Stabilizatory elementów z jednej orbity są sprzężone: x = h x = G x = h 1 G x h (Ćwiczenie). Stabilizator G Y podzbioru Y X względem działania G na X: G Y := {g G g Y Y }. Przykład: Grupa D n symetrii wielokąta prawidłowego o n wierzchołkach. Niech X = R 2 ze standardową metryką euklidesową, Y n-kąt foremny o środku w zerze: Wtedy D n jest podgrupą grupy O(X) będąca stabilizatorem Y. Przykład: Grupa G symetrii podłogi, składa się z: 1) kraty Z 2Z; 2) odbić względem prostych poziomych i pionowych, przechodzących przez węzły kraty oraz przez środki płytek ; 3) obrotów o 180 względem węzłów kraty oraz punktów leżących w środkach płytek oraz ich krawędzi. 3

4 Grupa G działa na R 2. Orbita zera: Z 2Z. Ona nie pokrywa się z podłogą (bo nie zawiera fugi ), ale dobrze odzwierciedla nierównoprawność poziomego i pionowego kierunku. Czyli znając samą tylko grupę symetrii obiektu czasem (nie zawsze, zob. następny przykład) możemy w dużej mierze odtworzyć strukturę obiektu. Przykład: Grupa G symetrii kawałka podłogi jest o wiele biedniejsza, ma tylko 3 nietrywialne elementy: odbicia względem prostych pionowej i poziomej przechodzących przez środek kawałka oraz ich złożenie, czyli obrót o 180. Taka grupa bardzo słabo odzwierciedla strukturę obiektu. Powodem jest jego nijednorodność. Do opisu symetrii takich obiektów lepiej służą grupoidy, uogólnienia grup [Wei96]. 4

5 2 Wprowadzenie do wykładu, cz. II Grupy dyskretne : Z n, symetrie podłogi (nieskończone), S n, D n (skończone). Grupy ciągłe : (R n, +), (R >0, ), (R =0, ), (C =0, ), GL(X), SL(X), O(1, 3) (niezwarte), U(1), O(X), SO(X) (zwarte). Grupy topologiczne (Liego): Są to grupy (G, μ) takie, że G jest wyposażone w strukturę przestrzeni topologicznej (rozmaitości różniczkowej) o tej własności, że odwzorowanie μ : G G G oraz odwzorowanie ε : g g 1 : G G są ciągłe (gładkie). Uwaga: Jeśli G jest grupa topologiczną (Liego), w poniższych definicjach wymagamy ciąłości (gładkości) wszystkich odwzorowań. Reprezentacja grupy G w przestrzeni liniowej X: działanie ν : G X X takie, że dla każdego g G odwzorowanie ν(g, ) : X X jest liniowe. Przykład: naturalna reprezentacja grup GL(X), SL(X), O(X), SO(X), O(1, 3), D n w przestrzeni X. Homomorfizm grup: Odwzorowanie f : G 1 G 2 pomiędzy dwiema grupami o własnościach: f(e 1 ) = e 2, f(a 1 b) = f(a) 2 f(b) a, b G 1. Izomorfizm grup: Homomorfizm f : G 1 G 2 będący bijekcją. Uwaga: Odwrotne odwzorowanie f 1 : G 2 G 1 automatycznie jest homomorfizmem: f 1 (c d) = f 1 (f(f 1 (c)) f(f 1 (d))) = f 1 (f(f 1 (c) f 1 (d))) = f 1 (c) f 1 (d). Grupa automorfizmów grupy G: Nawiasem mówiąc, otrzymaliśmy jeszcze jeden przykład grupy S X,S : S jest strukturą grupy na zbiorze X = G, a S X,S grupą izomorfizmów z G w G, które nazywamy automorfizmami G. Oznaczamy Aut(G) := S G,S. Przykład: Dla dowolnej G odwzorowanie Id G : G G jest przykładem izomorfizmu, a odwzorowanie f : G { } homomorfizmu. Przykład: exp( ) : (R, +) (R =0, ) homomorfizm, exp( ) : (R, +) (R >0, ) izomorfizm. Przykład: exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) homomorfizm. Przykład: f : U(1) SO(R 2 ) izomorfizm, tutaj SO(R 2 ) grupa obrotów płaszczyzny, f odwzorowuje liczbę e iφ w obrót o kąt φ. Równoważność działań: Działania ν 1 : G 1 X 1 X 1 i ν 2 : G 2 X 2 X 2 nazywają się równoważnymi, jeśli istnieje izomorfizm grup f : G 1 G 2 oraz bijekcja h : X 1 X 2 takie, że następujący diagram jest przemienny: G 1 X 1 ν 1 X 1 f h ν 2 G 2 X 2 X 2 czyli h(ν 1 (g, x)) = ν 2 (f(g), h(x)) g G 1, x X 1. Ważne pytania matematyczne: 5 h

6 1. Sklasyfikować grupy z dokładnością do izomorfizmu; 2. Sklasyfikować działania (w tym reprezentacje) z dokładnością do równoważności. Sklasyfikować w ideale oznacza: 1) sporządzić listę cegiełek, czyli prostych 1 obiektów (grup w przypadku 1., czy w przypadku 2. działań ustalonej grupy), których strukturę znamy; 2) określić procedurę budowania z cegiełek bardziej skomplikowanych obiektów; 3) podać kryteria, kiedy wybrany obiekt jest izomorficzny (równoważny) z jednym z obiektów zbudowanych z cegiełek. W rzeczywistości, takie listy cegiełek istnieją, ale istnieją też obiekty nie poddające się klasyfikacji. Naszym najbliższym celem będzie zdefiniowanie cegiełek w przypadku grup. Jądro homomorfizmu f : G 1 G 2 : ker f := f 1 (e 2 ). Podgrupa normalna: Podgrupę H G nazywamy normalną, jeśli ghg 1 H dla wszystkich g G. Związek pomiędzy grupami normalnymi a jądrami homomorfizmów: Twierdzenie Podzbiór H G grupy G jest podgrupą normalną wtedy i tylko wtedy gdy jest jądrem pewnego homomorfizmu f : G G 2. Dowód: ( =) Niech f : G G 2 będzie homomorfizmem, a H := ker f. Wtedy a, b H = f(a) = e 2, f(b) = e 2 = f(ab) = f(a)f(b) = e 2 e 2 = e 2 = ab H; a H = f(a 1 ) = (f(a)) 1 = e 1 2 = e 2 = a 1 H; f(ghg 1 ) = f(g)f(h)f(g 1 ) = f(g)e 2 (f(g)) 1 = e 2 = ghg 1 H. Dowód implikacji (= ) pokrywa się z następującą konstrukcją. Grupa ilorazowa G/H i homomorfizm naturalny G G/H: Niech G będzie grupą z działaniem μ : G G G a H G będzie dowolną podgrupą. Wtedy ograniczenie μ G H daje prawe działanie grupy H na zbiorze G. Orbita elementu g G pod względem tego działania ma postać gh = {gh h H} i nazywa się prawą warstwą g ze względu na H. Zbiór takich warstw oznaczamy G/H. Zbiór G jest sumą rozłączną warstw (jako że dowolny zbiór z działaniem grupy jest sumą rozłączną orbit). Ponadto, wszystkie warstwy mają jednakową moc, równą mocy H: odwzorowanie H h gh gh jest bijekcją. Lemat Niech H G będzie podgrupą normalną. Wtedy: 1. każda prawa warstwa gh pokrywa się z lewą warstwą Hg := {hg h H}; 2. wzór gh g H = (g g )H zadaje poprawnie określone działanie μ : G/H G/H G/H spełniające aksjomaty działania grupowego; 1 Słowo prostych piszemy w cudzysłowie, ponieważ cegiełki mogą mieć dosyć skomplikowaną strukturę. Na przykład tzw. grupa Potwór (ang. Monster), będąca grupą prostą w sensie definicji, którą poznamy za moment, liczy = elementów, zob. 6

7 3. odwzorowanie π : G G/H, π(g) := gh jest homomorfizmem grup. Dowód: 1. ghg 1 H ghg 1 = H gh = Hg 2. Poprawność: niech g 1 gh, g 1 g H, wtedy istnieją h H, h H takie, że g 1 = gh, g 1 = g h. Mamy g 1 H g 1H = (g 1 g 1)H = ghg h H = ghg H = ghhg = ghg = gg H. Łączność: (gh g H) g H = (gg )H g H = (gg )g H = g(g g )H = gh (g g )H = gh (g H g H). Element neutralny: ehgh = egh = gh = geh = gheh. Element odwrotny: g 1 HgH = g 1 gh = eh = gg 1 H = ghg 1 H. 3. π(gg ) = gg H = ghg H = π(g)π(g ), π(e) = eh. Uwaga I: Homomorfizm π jest epimorfizmem (czyli jest surjektywny). Uwaga II: Żeby jakiś epimorfizm f : G 1 G 2 był izomofrizmem, wystarczy i dosyć, żeby jego jądro było trywialne (tj. ker f = {e 1 }) (Ćwiczenie). Obraz homomorfizmu: Lemat Obraz H 2 := im f homomorfizmu f : G 1 G 2 jest pogrupą w G 2 izomorficzną z G 1 /H 1, gdzie H 1 := ker f. Dowód: Jeśli a, b H 2, to istnieją a 1, b 1 G 1 takie, że f(a 1 ) = a, f(b 1 ) = b. Wtedy f(a 1 b 1 ) = f(a 1 )f(b 1 ) = ab, czyli H 2 H 2 H 2. Z kolei, f(a 1 1 ) = (f(a 1 )) 1 = a 1 implikuje (H 2 ) 1 = H 2. f Szukany izomorfizm określimy wzorem G 1 /H 1 gh 1 f(g) H2. Odwzorowanie f jest określone poprawnie: jeśli g gh inny przedstawiciel warstwy, to g g 1 = h dla pewnego h H, i f(g )(f(g)) 1 = f(h) = e 2 skąd f(g ) = f(g). Podobnie sprawdzamy, że jest homomorfizmem oraz że ma trywialne jądro. Przykład: Każda podgrupa H grupy abelowej G jest normalna. W szczególności, jeśli weźmiemy G = Z, H = nz, otrzymujemy grupę cykliczną Z n := Z/nZ. Przykład: Obrazem homomorfizmu exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) jest podgrupa U(1) (C =0, ), a jego jądrem podgrupa (Z, +). Mamy więc izomorfizm R/Z = U(1). Przykład: Niech sign : S n (R =0, ) homomorfizm odwzorowujący permutację τ w ±1 w zależności od znaku τ. Jądrem jest tutaj grupa alternująca A n permutacji parzystych, a obrazem grupa 2-elmentowa {±1} izomorficzna z Z 2. Mamy izomorfizm S n /A n = Z2. Przykład: Niech G będzie dowolną grupą. Określmy odwzorowanie φ : G Aut(G) wzorem g A g, A g (h) := ghg 1 (poprawność: A g (hh ) = ghh g 1 = ghg 1 gh g 1 = A g (h)a g (h ), A g (e) = e, A 1 g = A g 1). Ponadto, samo φ jest homomorfizmem: A gg = A g A g, A e = Id G. Jego obraz Int(G) Aut(G) nazywamy grupą automorfizmów wewnętrznych. Okazuje się, że Int(G) podgrupa normalna w Aut(G): jeśli f : G G dowolny automorfizm, to f A g f 1 (h) = f(g[f 1 (h)]g 1 ) = f(g)f[f 1 (h)]f(g 1 ) = A f(g) (h), czyli f Int(G) f 1 Int(G). Grupę ilorazową Out(G) := Aut(G)/Int(G) nazywamy grupą automorfizmów zewnętrznych grupy G. Grupy proste: Są to grupy G nie posiadające nietrywialnych (czyli rożniących się od G i {e}) podgrup normalnych. 7

8 Uwaga: W przypadku grup topologicznych lub Liego w definicji grup prostych dopuszczamy istnienie nietrywialnych normalnych podgrup dyskretnych 2. Np. prosta grupa Liego SL(R 2 ) ma nietrywialną dyskretną podgrupę normalną {±I}. To właśnie grupy proste są cegiełkami, dającymi się sklasyfikować. 2 Dyskretność podgrupy H G oznacza dyskretność H jako przestrzeni topologicznej, czyli istnienie dla każdego punktu h H otoczenia nie przecinającego się z otoczeniami innych punktów z H. 8

9 3 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. I Literatura dodatkowa: [Kir72, Kir76] Poniżej określimy sposoby sklejania cegiełek, czyli budowania z kilku grup jednej, bardziej skomplikowanej grupy. Iloczyn prosty grup G 1,..., G n : Jest to zbiór G 1 G n wyposażony w działanie (g 1,..., g n ) (h 1,..., h n ) := (g 1 h 1,..., g n h n ) z elementem neutralnym (e 1,..., e n ) oraz (g 1,..., g n ) 1 := (g1 1,..., gn 1 ). (Poniżej będziemy nieco nietradycyjnie oznaczać elementy iloczynu kartezjańskiego nawiasami kwadratowymi [ ].) Przykład: Grupa GL + (2, R) := {A Mat(2, R) det A > 0} jest izomorficzna z R >0 SL(2, R), gdzie SL(2, R) := {A Mat(2, R) det A = 1}. Rzeczywiście, izomorfizm zadajemy wzorem F : R >0 SL(2, R) GL + (2, R), F ([x, X]) := xx a jego odwrotność to Z [ det Z, Z/ det Z]. Iloczyn półprosty G 2 G 1 grup G 2 i G 1 : Załóżmy, że mamy działanie grupy G 2 na grupie G 1, respektujące strukturę grupy na G 1. Innymi słowy, zadany jest homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) (w takiej sytuacji można też powiedzieć, że jest zadana reprezentacja grupy G 2 w grupie G 1 ). Określamy działanie na zbiorze G 2 G 1 : [g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ] := [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] (tutaj oznaczyliśmy f g2 h 1 := f(g 2 )h 1 ). Łączność: ([g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ]) [j 2, j 1 ] = [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] [j 2, j 1 ] = [(g 2 h 2 ) j 2, (g 1 f g2 h 1 ) f g2 h 2 j 1 ] = [g 2 h 2 j 2, (g 1 f g2 h 1 ) (f g2 f h2 j 1 )] = [g 2 h 2 j 2, g 1 (f g2 h 1 f g2 (f h2 j 1 ))] = [g 2 (h 2 j 2 ), g 1 (f g2 (h 1 f h2 j 1 ))] = [g 2, g 1 ] [h 2 j 2, h 1 f h2 j 1 ] = [g 2, g 1 ] ([h 2, h 1 ] [j 2, j 1 ]) Element neutralny: [e 2, e 1 ] Element odwrotny: [g 2, g 1 ] 1 := [g2 1, f g 1 g ] Inne oznaczenie dla G 2 G 1 to G 2 f G 1. Przykład: Grupa O(R 2 ) liniowych odwracalnych przekształceń ortogonalnych płaszczyzny euklidesowej jest izomorficzna z iloczynem Z 2 SO(R 2 ) grupy Z 2 = {±1} z grupą obrotów[ SO(R] 2 ). a b Rzeczywiście, O(R 2 ) jest izomorficzna z grupą O(2, R) = {A Mat(2, R) AA T = I} = { c d a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0} a SO(R 2 ) z SO(2, R) = {A O(2, R) det A = 1}). Określmy homomorfizm [ f : {±1} ] Aut(SO(2, R)) wzorem 1 Id, 1 L, gdzie L : O φ cos φ sin φ O φ, tutaj O φ := ) jest macierzą obrotu o kąt φ. Zauważmy, że L rzeczywiście jest sin φ cos φ elementem Aut(SO(2, R)): odwzorowanie L : SO(2, R) [ SO(2, R) ] jest ograniczeniem do SO(2, R) 0 1 automorfizmu wewnętrznego A g grupy O(2, R), gdzie g = (Ćwiczenie: sprawdzić ten fakt). 1 0 Ponadto, ponieważ g 2 = I, odwzorowanie f jest homomorfizmem. Zostało zbudować izomorfizm F : Z 2 f SO(2, R) O(2, R). Połóżmy σ(1) := 0, σ( 1) := 1 oraz F ([x, X]) := Xg σ(x) (mamy f(x) = A g σ(x)). Wtedy F ([x, X] [y, Y ]) = F ([xy, XA g σ(x)(y )]) = Xg σ(x) Y g σ(x) g σ(xy) = Xg σ(x) Y g σ(x2y) = Xg σ(x) Y g σ(y) = F ([x, X]) F ([y, Y ]). Homomorfizm odwrotny: F 1 (Z) := [det Z, Zg σ(det Z) ]. (Ćwiczenie: sprawdzić, że F F 1 (Z) = Z oraz F 1 F ([x, X]) = [x, X].) Przykład: Grupa GL(2, R) := {A Mat(n, R) det A = 0}, jest izomorficzna z R SL(2, R), gdzie SL(2, R) : {A Mat(2, R) det A = 1}, a R to inne oznaczenie dla grupy (R =0, ). Rzeczywiście, określmy odwzorowanie τ : R {0, 1}, τ(x) := σ(sign(x)), oraz homomorfizm f : R 9

10 Aut(SL(2, R)), f(x) := A g τ(x). Izomorfizm F : R f SL(n, R) GL(n, R) określamy wzorem F ([x, X]) := xxg τ(x). Ćwiczenie: zbudować izomorfizm odwrotny, sprawdzić szczegóły. Przykład: Grupa SE(2, R) := SO(2, R) f R 2 ruchów płaszczyzny euklidesowej. Tutaj f : SO(2, R) Aut(R 2 ) standardowe działanie grupy obrotów płaszczyzny na płaszczyźnie. Uwaga 1: Jeśli f jest homomorfizmem trywialnym, to G 2 f G 1 = G2 G 1. Pytanie 1: Czy bywają nietrywialne f, dla których też G 2 f G 1 = G2 G 1? Bardziej ogólnie: jeśli f, f : G 2 Aut(G 1 ) dwa homomorfizmy, kiedy istnieje izomorfizm G 2 f1 G 1 = G2 f2 G 1 Uwaga 2: odwzorowanie π : [g 2, g 1 ] g 2 : G G 2 jest epimorfizmem grup: π([g 2, ][h 2, ]) = π([g 2 h 2, ]) = g 2 h 2 = π([g 2, ])π([h 2, ]). Stąd mamy wnioski: a) {e} G 1 = ker π podgrupa normalna w G = G 2 f G 1 ; b) G/G 1 = G2 (izomorfizm grup). Pytanie 2: Czy każda grupa G posiadająca podgrupę normalną G 1 jest izomorficzna z G 2 f G 1, gdzie f pewien homomorfizm z grupy ilorazowej G 2 = G/G 1 w grupę Aut(G 1 )? W celu znalezienia odpowiedzi na to pytanie wprowadźmy kilka nowych pojęć. Ciąg dokładny homomorfizmów grup: Jest to ciąg f k 1 G k f k Gk+1 grup i ich homomorfizmów taki, że im f k 1 = ker f k dla każdego k. ι Krótki ciąg dokładny: Jest to ciąg dokładny postaci { } G 1 G π G 2 { }. W szczególności mamy: ker ι = {e}, czyli ι jest włożeniem (monomorfizmem); im π = G 2, czyli π jest epimorfizmem; im ι = ker π, czyli podgrupa im ι = G 1 jest podgrupą normalną, a grupa G 2 jest izomorficzna z grupą ilorazową G/G 1. Rozszerzenie grupy G 2 za pomocą grupy G 1 : Jest to krótki ciąg dokładny postaci { } G 1 Przykład: G = G 2 f G 1, ι (g 1 ) := [e, g 1 ], π ([g 2, g 1 ]) := g 2. ι G π G 2 { }. (1) ι Równoważność rozszerzeń: Rozszerzenia { } G 1 G π ι G 2 { } oraz { } G 1 G π G 2 { } są równoważne, jeśli istnieje izomorfizm Q : G G dla którego następujący diagram jest przemienny: G ι π Q { } ι G 1 G π G 2 { } Pytanie 2 teraz można przeformułować w nieco węższym kontekscie. Pytanie 2 : czy każde rozszerzenie { } G 1 G π ι π ι G 2 { } jest równoważne z { } G 1 G1 f G 2 G2 { } dla pewnego f? Pytanie 1, natomiast, teraz sformułujemy w następujący sposób. Pytanie 1 : dla jakich f, f ι π ι π rozszerzenia { } G 1 G1 f G 2 G2 { } oraz { } G 1 G1 f G 2 G2 { } są równoważne? Spróbujemy dać na odpowiedź na te pytania w terminach tzw. kohomologii grupy G 2 w szczególnym przypadku abelowej grupy G 1. Założenie o grupie G 1 : Od tego momentu zakładamy, że G 1 jest abelowa. Operację w G 1 będziemy oznaczali plusem, element neutralny zerem, a element odwrotny minusem (tzw. notacja addytywna). 10

11 Kohomologie grupy G 2 o wartościach w (abelowej) grupie G 1 : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) ustalony homomorfizm. Dowolną funkcję c : G n 2 G 1 nazywamy n-kołańcuchem na G 2 o wartościach G 1. Zbiór n-kołańcuchów oznaczmy przez C n (G 2, G 1 ) (tworzy on grupę abelową ze względu na dodawanie funkcji). Z definicji C 0 (G 2, G 1 ) = G 1. Określmy odwzorowania d i : C i (G 2, G 1 ) C i+1 (G 2, G 1 ) d 0 c(g) := f g c c, c G 1, g G 2 ; d 1 c(g, h) := f g c(h) c(gh) + c(g), g, h G 2, c C 1 (G 2, G 1 ); d 2 c(g, h, j) := f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h), g, h, j G 2, c C 2 (G 2, G 1 ). Łatwo się sprawdza (Ćwiczenie:), że 1) d i jest homomorfizmem grup; 2) d i+1 d i = 0. Z 2) mamy wniosek: im d i ker d i+1. Mówimy, że Z i (G 2, G 1 ) := ker d i jest i-tą grupą kocykli, B i (G 2, G 1 ) := im d i jest i-tą grupą kobrzegów, a H i (G 2, G 1 ) := ker d i / im d i 1 jest i-tą grupą kohomologii grupy G 2 ( o wartościach w G 1, lub, bardziej dokładnie, w reprezentacji f ). 11

12 4 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. II Próba odpowiedzi na pytanie 2 : Rozważmy rozszerzenie (1). Najpierw zauważmy, że w tej sytuacji mamy jednoznacznie określone działanie G 2 na G 1, czyli homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ). Istotnie, każdy element g G określa automorfizm wewnętrzny A g, który zachowuje podgrupę G 1 ponieważ ona jest normalna. Czyli mamy homomorfizm F : G Aut(G 1 ), g A g G1. Elementy z G 1 leżą w jądrze tego homomorfizmu, bo G 1 jest abelowa, czyli F przepuszcza się przez G/G 1. Innymi słowy istnieje jedyny f : G 2 Aut(G 1 ) taki, że następujący diagram jest przemienny: G F π G/G 1 f Aut(G1 ) Następnie, wybierzmy cięcie odwzorowania π (czyli takie odwzorowanie s : G 2 G, że πs = Id G2 ) o własności s(e 2 ) = 0. Wybór takiego cięcia jest równoważny wyborowi jednego przedstawiciela s(g 2 ) w każdej warstwie π 1 (g 2 ), g 2 G 2, co, z kolei, jest równoważne utożsamieniu zbiorów G i G 2 G 1 a odwzorowań ι, π z włożeniem ι : g 1 [e, g 1 ] : G 1 G 2 G 1 oraz z rzutem π na pierwszą składową odpowiednio. (Istotnie, jeśli g 2 G 2, h π 1 (g 2 ) = G 1 s(g 2 ), to istnieje jedyne g 1 := h(s(g 2 )) 1 G 1 takie, że h = g 1 s(g 2 ). Punkt h utożsamiamy z parą [g 2, g 1 ].). Dalej zakładamy, że G = G 2 G 1 (jako zbiór) i pytamy jakie mnożenia (działania grupowe) w G 2 G 1 są dopuszczalne, czyli takie, że odwzorowania ι, π są homomorfizmami grup. Lemat Dopuszczalne mnożenia są postaci [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )], (2) gdzie c(e, e) = 0 oraz c Z 2 (G 2, G 1 ), czyli jest kocyklem. Ponadto, jeśli c, c są dwoma kocyklami odpowiadającymi równoważnym rozszerzeniom, to c c B 2 (G 2, G 1 ), czyli istnieje q C 1 (G 2, G 1 ) o własności c c = dq. Przy tym q(e) = 0. Uwaga: 12

13 Dowód: Sposób utożsamienia G z G 2 G 1 implikuje wzór [e, h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + h 1 ], g i, h i G i. Istotnie, element h 1 π 1 (e 2 ) utożsamia się z [e, h 1 (s(e 2 )) 1 ] = [e, h 1 ], element g π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, g 1 ] (tutaj g 1 := g(s(g 2 )) 1 ), skąd element h 1 g π 1 (e 2 g 2 ) = π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, h 1 g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, h 1 g 1 ] = [g 2, h 1 + g 1 ]. Z kolei, sposób zadania homomorfizmu f daje [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 = [e, f g2 h 1 ]. Fakt, że π jest homomorfizmem oznacza w szczególności, że [g 2, 0][h 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] dla pewnego c C 2 (G 2, G 1 ). Używając tych wzorów dostajemy oraz [g 2, g 1 ][e, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 [g 2, g 1 ] = [e, f g2 h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ] [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][h 2, 0] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2, 0][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )]. Ponieważ ι ma być homomorfizmem, mamy ι (g 1 )ι (h 1 ) = [e, g 1 ][e, h 1 ] = [e, g 1 +f e h 1 +c(e, e)] = [e, g 1 + h 1 ] = ι (g 1 + h 1 ). Stąd c(e, e) = 0. Teraz sprawdźmy warunek kocyklu: ([g 2, 0][h 2, 0])[j 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )][j 2, 0] = [g 2 h 2 j 2, c(g 2, h 2 ) + c(g 2 h 2, j 2 )] [g 2, 0]([h 2, 0][j 2, 0]) = [g 2, 0][h 2 j 2, c(h 2, j 2 )] = [g 2 h 2 j 2, f g2 c(h 2, j 2 ) + c(g 2, h 2 j 2 )]. Równoważność Q : G 2 G 1 G 2 G 1 rozszerzeń odpowiadających kocyklom c i c oznacza istnienie odwzorowania q : G 2 G 1 takiego, że 1) Q([g 2, g 1 ]) = [g 2, g 1 + q(g 2 )] 2) Q jest homomorfizmem. Warunek 2) implikuje następujące równości: Q([g 2, 0][h 2, 0]) = Q([g 2 h 2, c(g 2, h 2 )]) = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 ) + q(g 2 h 2 )] = Q([g 2, 0])Q([h 2, 0]) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) + f g2 q(h 2 ) + c (g 2, h 2 )]. Stąd c(g 2, h 2 ) c (g 2, h 2 ) = f g2 q(h 2 ) q(g 2 h 2 ) + q(g 2 ). Mamy też 0 = c(e, e) c (e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e). Uwaga: Jeśli kocykl c jest kobrzegiem, czyli c = dq dla pewnego q C 1 (G 2, G 1 ), to odwzorowanie s : g 2 [g 2, q(g 2 )] : G 2 G 2 G 1 jest homomorfizmem. Istotnie, wyrażenie s (g 2 h 2 ) = [g 2 h 2, q(g 2 h 2 )] jest równe s (g 2 )s (h 2 ) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) f g2 q(h 2 )+c(g 2, h 2 )] wskutek definicji dq. Rozpoznawanie iloczynów półprostych wśród wszystkich rozszerzeń: Rozszerzenie (1) jest równoważne z { } G 1 G 1 f G 2 G 2 { } jeśli i tylko jeśli odwzorowanie π posiada cięcie 13

14 s : G 2 G będące homomorfizmem grup. Istotnie, poprzez wybór cięcia s : G 2 G (nie będącego w ogólności homomorfizmem) utożsamiamy G z G 2 G 1 a samo s z odwzorowaniem g 2 [g 2, 0]. Równowazność z iloczynem półprostym G 1 f G 2 oznacza trywialność kocyklu c (czyli istnienie q takiego, że c = dq) i homomorficzność nowego cięcia s : g 2 [g 2, q(g 2 )]. Uwaga: Element q C 1 (G 2, G 1 ) taki, że dq = c jest określony z dokładnością do dodawania elementów kobrzegowych da (tutaj a G 1, da(g 2 ) = f g2 a a). Cięcie s : G 2 G, s (g 2 ) := [g 2, q(g 2 ) da(g 2 )], jest otrzymane z ciecia s zastosowaniem automorfizmu wewnętrznego A a : G G, czyli s = A a s. Istotnie, [e, a][g 2, q(g 2 )][e, a] 1 = [g 2, a q(g 2 )][e, a] = [g 2, a q(g 2 ) f g2 a]. Przykład rozszerzenia nie bedącego iloczynem półprostym: Rozważmy tzw. grupę Heisenberga składającą się z macierzy postaci 1 a b 0 1 c Jasne, że jako zbiór ona może być utożsamiona z R 3. Mnożenie natomiast jest zadawane następującym wzorem: [x, y, z][x, y, z ] = [x + x, y + y + xz, z + z ]. Jest to rozszerzenie grupy abelowej G 2 = (R 2, +) za pomocą grupy abelowej G 1 = (R, +) z kocyklem c([x, z], [x, z ]) := xz (i trywialnym działaniem f). Kocykl ten nie może być kobrzegiem: kobrzeg dq(g, h) = q(h) q(gh)+q(g) na grupie abelowej jest funkcją symetryczną argumentów g, h. Kocykl c, natomiast, funkcją symetryczną nie jest. W szczególności z tego wynika też, że grupa kohomologii H 2 (C 2, C 1 ) jest nietrywialna. Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że grupa kohomologii H 2 (G 2, G 1 ) jest w bijekcji z klasami równoważności rozszerzeń grupy G 2 za pomocą grupy G 1. Ćwiczenie: Pokazać, że klasy autorównoważności rozszerzenia (1) modulo autorównoważności pochodzące z automorfizmów wewnętrznych A a, gdzie a G 1, są w bijekcji z grupą H 1 (G 2, G 1 ). Odpowiedź na pytanie 1 : Ponieważ homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) jest jednoznacznie wyznaczony przez rozszerzenie (1), rozszerzenia { } G 1 ι G1 f G 2 π G2 { } oraz { } G 1 ι G 1 f G 2 π G2 { } są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy f = f. Zadania na ćwiczenia. Inne spojrzenie na działanie grupy na zbiorze: Niech ν : G X X będzie lewym działaniem grupy G na zbiorze X. Pokazać, że: 1) przy ustalonym g G odwzorowanie x ν(g, x) : X X jest bijekcją, czyli ν(g, ) S X ; 2) odwzorowanie g ν(g, ) : G S X jest homomorfizmem grup. Odwrotnie, każdy homomorfizm f : G S X zadaje działanie ν : G X X według wzoru ν(g, x) := f g x (tutaj f g := f(g)). Działanie z kocyklem : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) będzie homomorfizmem, a q Z 1 (G 2, G 1 ) pewnym kocyklem. Pokazać, że odwzorowanie f : G 2 S G1, f g2 g 1 := f g2 g 1 + q(g 2 ), jest homomorfizmem, czyli zadaje działanie G 2 na G 1 za pomocą przekształceń afinicznych. Przykład 1: Niech G 2 := (R n, +), G 1 := (R m, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) homomorfizm trywialny. Pokazać, że każdy operator liniowy q : R n R m jest kocyklem. Znaleźć orbitę i stabilizator każdego punktu x R m ze względu na działąnie z kocyklem f. Przykład 2: Niech G 2 := SO(2, R), G 1 := (R 2, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) działanie naturalne. Rozważmy kocykl q = da będący kobrzegiem (tutaj a G 1, q(g 2 ) := f g2 a a, g 2 G 2 ). Opisać 14

15 działanie z kocyklem f. Odpowiedź: działanie f polega na obrotach płaszczyzny wokół elementu a. 15

16 5 Elementy teorii grup krystalograficznych Literatura dodatkowa:[szc] 3 Dygresja o topologii Przestrzeń topologiczna: Zbiór X wraz z rodziną podzbiorów {U α } α A własnościach: nazywanych otwartymi o 1. zbiory oraz X są otwarte; 2. zbiór α B jest otwarty dla dowolnego podzbioru B A 3. przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Rodzinę {U α } α A nazywamy topologią na X. Przykład 1: Rodzina zbiorów otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej. Przykład 2: Topologia dyskretna składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru X. Przykład 3: Niech X przestrzeń topologiczna, Y X pewien podzbiór. Topologia indukowana na Y składa się ze wszystkich przecięć zbiorów otwartych w X z podzbiorem Y. Odwzorowanie ciągłe φ : X Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi: jest to odwzorowanie takie, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego (w Y ) jest otwarty (w X). Podzbiór zwarty K X: Jest to podzbiór o tej własności, że z dowolnego pokrycia α B U α K zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone. Topologia ilorazowa: Niech X będzie przestrzenią przestrzeń topologiczną, a R X X relacją równoważności. Zbiór X/R = X/ klas równoważności posiada naturalną topologię zwaną ilorazową. Jest to najmocniejsza (czyli najbogatsza ) topologia na X/R, w której rzut naturalny π : X X/R jest ciągły. Zbiór U X/R jest w niej otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy π 1 (U) jest otwarty w X. Przykład: Niech X = R 2 i niech (a, b) (c, d) def a = c. Wtedy X/ naturalnie utożsamia się z R, a topologia ilorazowa pokrywa się ze standardową topologią na R. def Uwaga: Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to relacja a b g G a = gb jest relacją równoważności (Ćwiczenie: sprawdzić). Zbiór X/ (oznaczany przez X/G) jest zbiorem orbit działania G na X. Przykład: Niech X = R 2 i niech grupa SO(2, R) działa w sposób naturalny na X. Wtedy przestrzeń orbit X/G z topologią ilorazową jest promieniem {x R x 0}. Jeśli C n SO(2, R) jest grupą cykliczną generowaną przez obrót o kąt 2π/n, to X/C n jest stożkiem. Grupa euklidesowa: Niech R n będzie wyposażone w standardowy iloczyn skalarny ( ). Odwzorowanie φ : R n R n o własności (φ(x) φ(y)) = (x y) x, y R n nazywamy izometrią. Ćwiczenie: sprawdzić, że izometrie tworzą grupę względem złożenia odwzorowań. Lemat Każda izometria φ : R n R n jest superpozycją t a A przekształcenia ortogonalnego A O(R n ) i translacji t a : R n R n, x x + a, a R n. 3 Zob. także 16

17 Dowód: ćwiczenie. Grupę izometrii nazywamy grupą euklidesową i oznaczamy E(R n ). Lemat Grupa E(R n ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym O(n, R) R n =: E(n, R). Dowód: Niech [A] będzie macierzą odwzorowania A w dowolnej bazie ortonormalnej, a [a] kolumną współrzędnych elementu a. Określmy odwzorowanie t a A ([A], [a]) : E(R n ) O(n, R) R n. Dla x R n mamy (t b B) (t a A)x = (t b B)(Ax + a) = BAx + Ba + b, wiec złożenie izometrii indukuje następujące działanie grupowe na O(n, R) R n : ([B], [b])([a], [a]) := ([B][A], [B][a] + [b]). Poniżej pod grupą euklidesową będziemy rozumieć grupę E(n, R). Kozwarta grupa Γ E(n, R): Jest to podgrupa grupy euklidesowej taka, że przestrzeń orbit R n /Γ jest zwarta. Przykład: Podgrupa Γ = {t a a Z n R n } = Z n translacji całkowitoliczbowych jest kozwarta. Przestrzeń orbit R n /Z n jest torusem n-wymiarowym. Obszar fundamentalny: Niech Γ E(R n ) będzie dowolną podgrupą. Podzbiór F R n nazywamy obszarem fundamentalnym działania Γ na R n, jeśli gf = R n g Γ oraz g int(f ) g int(f ) = dla g = g. Tutaj int(f ) jest zbiorem punktów wewnętrznych zbioru F, czyli takich punktów p F, które posiadają otoczenie otwarte (czyli zbiór otwarty U p) zawarte w F. Przykład: Kwadrat domknięty o boku 1 jest obszarem fundamentalnym dla działania grupy Γ = Z n. Obszarem fundamentalnym dla działania skończonej grupy obrotów C n jest domknięty wycinek nieograniczony o kącie 2π/n. Krystalograficzna grupa Γ wymiaru n: Jest to dyskretna 4 i kozwarta podgrupa grupy euklidesowej E(n, R). Przykład: Γ = Z n. Twierdzenie (Bieberbacha) 1. Jeżeli Γ E(n, R) jest grupą krystalograficzną, to jej zbiór translacji Γ t := Γ (I R n ) jest normalną podgrupą abelową skończonego indeksu (ostatnie oznacza, że grupa ilorazowa Γ/Γ t jest skończona). Ponadto, Γ t jest maksymalna podgrupą abelową w Γ (czyli nie zawiera się w żadnej większej podgrupie abelowej) i jest izomorficzna z Z n. 2. Dla każdego n istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru n. 3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru n są izomofriczne wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzeżone w grupie A(n, R) afinicznych przeksztalceń R n. 4 Zob. definicję podgrupy dyskretnej w przypisie na końcu Wykładu 2. Równoważna definicja: podzbiorem dyskretnym w przestrzeni topologicznej X nazywamy taki podzbiór Y X, że topologia indukowana na Y jest dyskretną. 17

18 (Bez dowodu.) Z punktu 1 wynika, że grupy krystalograficzne posiadają zwarte obszary fundamentalne. To stanowi podstawę ich zastosowań w krystalografii: ciało stałe jest kryształem (w odróżnieniu od kwazikryształów i ciał amorficznych), jeśli jego struktura atomowa jest okresowym powtórzeniem ograniczonego kawałka tej struktury. Przykład: Grupa Z 1 := {t (n,0) n Z} E(2, R) nie ma zwartego obszaru fundamentalnego. Twierdzenie (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupą krystalograficzną wymiaru n wtedy i tylko wtedy, gdy ma normalną podgrupę abelową skończonego indeksu izomorficzną z Z n, będącą maksymalną podgrupą abelową. Dowód: Jedna z implikacji jest punktem 1 twierdzenia Bieberbacha. Żeby udowodnić drugą rozważmy następujący diagram przemienny: { } Z n Γ G { } { } ι 1 R n Γ ι 2 G { } ι 4 { } R n A(n, R) GL(n, R) { }, którego składniki określimy poniżej. W pierwszym wierszu G := Γ/Z n, czyli mamy rozszerzenie odpowiadające włożeniu podrgupy normalnej Z n w grupę Γ i rzutowi na odpowiednią grupę ilorazową. Grupę Γ określmy jako iloczyn półprosty G R n, a odwzorowanie ι 1, jako włożenie standardowe. Przypomnijmy sobie, że pierwszy wiersz jednoznacznie określa homomorfizm grup f : G Aut(Z n ) (wybieramy cięcie s : G Γ i określamy f(g) jako A s(g) Z n). Zauważmy, że Aut(Z n ) = GL(n, Z) (ostanie wyrażenie oznacza grupę takich macierzy odwracalnych X, że X i X 1 mają współczynniki całkowite 5 ) i oznaczmy przez f złożenie f : G GL(n, Z) GL(n, R) = Aut(R n ), gdzie jest włożeniem naturalnym. Żeby określić odwzorowanie ι 2 najpierw zróbmy utożsamienie zbiorów φ s : Γ G Z n (za pomocą cięcia s). Przypomnijmy również, że rozszerzenie z pierwszego wiersza zadaje kocykl c Z 2 (G, Z n ) (odpowiadający homomorfizmowi f) określony z dokładnością do dodawania kobrzegów. Ponieważ każdy kocykl na G o wartościach w Z n może być uważany za kocykl na G o wartościach w R n (ostatni oznaczmy przez c), na iloczynie kartezjańskim G R n mamy strukturę grupy, zadaną wzorem (2) (zob. lemat o dopuszczalnych mnożeniach z poprzedniego wykładu) z homomorfizmem f i kocyklem c. Natępnie skorzystamy z faktu, że H 2 (G, R n ) = 0, który przyjmiemy bez dowodu. Fakt ten mówi, że każdy 2-kocykl na G o wartościach w R n jest kobrzegiem. W szczególności istnieje q C 1 (G, R n ) 5 izomorfizm grupy Aut(Z n ) z grupą GL(n, Z) buduje się w sposób następujący. Niech e 1,..., e n Z n R n będą elementami bazy standardowej. Wtedy każdy φ Aut(Z n ) reprezentuje się w sposób jednoznaczny macierzą o wyrazach całkowitych, której kolumny są współczynnikami rozkładu φ(e j ) po tej że bazie. Macierz odwrotna będzie miała wyrazy całkowite, ponieważ odwzorowanie φ 1 rozumiane jako odwzorowanie R n R n zachowuje kratę Z n R n, w szczególności φ 1 (e j ) muszą mieć współczynniki całkowite rozkładu po bazie standardowej. Zauważmy, że każdy inny wybór bazy Ae 1,..., Ae n, gdzie A GL(n, Z), zadaje inny izomorfizm Aut(Z n ) = GL(n, Z). ι 3 18

19 taki, że dq = c. Z ogólnej teorii wiemy, że q określa pewną bijekcję G R n G R n, zadającą izomorfizm wyżej określonej grupy G R n z iloczynem półprostym Γ := G f R n. Oznaczmy tę bijekcję przez ι 2, a ι 2 określmy jako złożenie G = G Z n G R n ι 2 Γ. Teraz połóżmy ι 3 := f i zauważmy, że maksymalność podgrupy abelowej Z n implikuje monomorficzność odwzorowania f. Istotnie, jeśli g G jest nietrywialnym elementem należącym do jądra f, to A s(g) zostawia każdy element z Z n na miejscu, czyli s(g) komutuje z Z n. Wtedy podgrupa generowana przez Z n i s(g) jest abelowa. Z drugiej strony s(g) Z n (bo s(g) leży w nietrywialnej warstwie), co przeczy maksymalności Z n. Wreszcie określimy odwzorowanie ι 4. Grupa A(n, R) afinicznych przekształceń przestrzeni R n jest iloczynem półprostym GL(n, R) R n (dowód jest analogiczny jak w przypadku grupy euklidesowej). Odwzorowanie ι 4 jest naturalnym włożeniem jednego iloczynu półprostego (G ι3 R n ) w drugi (GL(n, R) R n ). Ponieważ wszystkie odwzorowania ι j są monomorfizmami, mamy włożenie grupy Γ w grupę A(n, R). Zostało pokazać, że tak naprawdę G leży w O(n, R) GL(n, R). To wynika z następującego lematu, który udowodnimy w teorii reprezentacji. Lemat Każda skończona grupa macierzy n n o wyrazach rzeczywistych jest sprzężona do grupy macierzy ortogonalnych. Z lematu tego wynika, że Γ jest izomorficzna z podgrupą w E(n, R). Dyskretność tej podgrupy wynika z tego, że jako zbiór jest ona iloczynem prostym zbioru skończonego G oraz podzbioru dyskretnego Z n R n. Kozwartość, z kolei, wynika z tego, że Γ t = Z n (tę implikację przyjmujemy bez dowodu). Algorytm Zassenhausa klasyfikacji grup krystalograficznych: Powyższy dowód sugeruje pewną metodę klasyfikacji grup krystalograficznych. Składa się ona z następujących kroków: 1. Opisać wszystkie skończone podgrupy G grupy GL(n, Z) (z dokładnością do izomorfizmu). 2. Opisać wszystkie włożenia ι : G GL(n, Z) = Aut(Z n ), czyli działania wierne (z dokładnością do równoważności). 3. Obliczyć H 2 (G, Z n ) dla wszystkich grup z p. 1 i dla wszystkich działań z p Określić które z grup otrzymanych za pomocą odpowiednich kocykli są izomorficzne (rozszerzenia odpowiadające różnym elementom H 2 (G, Z n ) są nierównoważne, ale odpowiednie grupy mogą być izomorficzne). Ilustracja algorytmu Zassenhausa dla grup tapetowych Grupami tapetowymi nazywamy grupy krystalograficzne wymiaru n = 2. Następujący lemat opisuje wynik 1-go i 2-go kroku algorytmu. Lemat (Ograniczenie krystalograficzne). Niech G GL(2, Z) będzie podgrupą skończoną. Wtedy G jest izomorficzna z jedną z następujących grup {I}, C 2, C 3, C 4, C 6, D 2, D 3, D 4, D 6. Przy tym grupa C 2 ma 3 nierównoważne włożenia, a grupy D 2 i D 3 ma ich 2. 19

20 Lemat ten przyjmujemy bez dowodu, ale spróbujmy zrobić następujące Ćwiczenie: znaleźć (chociażby jedno) włożenie grup C 3, C 6 w GL(2, Z). Trzy nierównoważne włożenia grupy C 2 = {e, v} w GL(2, Z) zadają się wzorami v M i, i = 1, 2, 3, gdzie M 1 := [ ], M 2 := [ ], M 3 := [ ] odpowiednio. Zadanie na ćwiczenia: Obliczyć grupę H 2 (C 2, Z 2 ) dla trzech powyższych działań C 2 na Z 2 i zbudować odpowiednie grupy tapetowe. Rozwiązanie: Rozważmy warunek kocyklu c Z 2 (G, G 1 ): f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h) = 0, g, h, j G. Podstawiając g, e, e lub e, e, j zamiast g, h, j otrzymujemy odpowiednio f g c(e, e) = c(g, e), c(e, j) = c(e, e). W szczególności z tych wzorów wynika, że do tego, żeby określić 2-kocykl c na grupie dwuelementowej G = C 2 = {e, v} wystarczy określić c(e, e) oraz c(v, v). Zobaczmy, jakie ograniczenia na elementy c(e, e), c(v, v) grupy G 1 nakłada warunek kocyklu. Łatwo sprawdzić, że jedyne niezależne ograniczenie otrzymujemy, gdy podstawiamy v, v, v zamiast g, h, j: f v c(v, v) c(e, v) + c(v, e) c(v, v) = 0 (tutaj skorzystaliśmy z tego, że v 2 = e), lub, z uwzględnieniem powyższych wzorów: f v c(v, v) c(e, e) + f v c(e, e) c(v, v) = 0. (3) Podobnie, każdy 1-kołańcuch q C 1 (C 2, G 1 ) określony jest przez zadanie q(e) oraz q(v), a z definicji różniczki d mamy Z. dq(e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e), dq(g, g) = f g q(g) q(e) + q(g). Niech G := C 2, G 1 := Z 2, c(e, e) := (a, b), c(v, v) := (r, s), q(e) := (m, n), q(v) := (k, l), a, b, r, s, m, n, k, l Przypadek 1: f : C 2 GL(2, Z), f v := M 1. Wtedy warunek kocyklu (3) implikuje wiąz ( r, s) (a, b) + ( a, b) (r, s) = 0, skąd r = a, s = b. Zbadajmy, czy kocykl c może być kobrzegiem dq: (a, b) = c(e, e) = dq(e, e) = q(e) = (m, n), (r, s) = c(v, v) = dq(v, v) = ( k, l) (m, n) + (k, l) = ( m, n). Czyli, jeśli określimy q(e) := (a, b), a q(v) dowolnie, będziemy mieli c = dq. Innymi słowy H 2 (C 2, Z 2 ) = 0 w tym przypadku. Odpowiednia grupa tapetowa naprzykład może być generowana przez elementy t (0,0) M 1, t (1,0), t (0,1) i być grupą symetrii poniższej tapety 20

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Maria Donten Nr albumu: 209516 Rozmaitości Kummera Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie MATEMATYKI OGÓLNEJ Praca wykonana

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład VI Elementy teorii grup Wstęp do teorii grup Teoria grup (TG) = matematyka symetrii liczne zastosowania w fizyce i chemii Odpowiada na ważne pytanie: jakie

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup

Grupy. Rozdział 1. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy. 1.1.1 Definicja i przykłady grup Rozdział 1 Grupy Ostatnie zmiany 24.10.2005 r. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Wydział Matematyki i Fizyki Kierunek: Matematyka Sekcja teoretyczna PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY NA PŁASZCZYŹNIE Zbigniew Galias opiekun: doc. Jerzy

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Elementy Algebry Wyższej w Fizyce

Elementy Algebry Wyższej w Fizyce Elementy Algebry Wyższej w Fizyce Rafał R. Suszek Katedra Metod Matematycznych Fizyki Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 31 stycznia 2016 r. Streszczenie. Niniejszy skrypt stanowi zapis wykładów

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek Algebra Wykłady dla Studiów Doktoranckich Kazimierz Szymiczek 29.11.2010 Spis treści Przedmowa v 1 Grupy 1 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy.................... 1 1.1.1 Definicja i przykłady grup....................

Bardziej szczegółowo

Topologia i geometria różniczkowa

Topologia i geometria różniczkowa Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995 Spis treści

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Czy umiemy mnożyć wektory?

Czy umiemy mnożyć wektory? Czy umiemy mnożyć wektory? wprowadzenie do algebry geometrycznej Jacek Grela 1 UJ 2010 Plan działania Motywacja Wprowadzenie do algebry geometrycznej Algebra 2D, 3D Przykład fizyczny Algebra czasoprzestrzeni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Pewne klasyczne twierdzenia geometrii algebraicznej w ujęciu torycznym

Pewne klasyczne twierdzenia geometrii algebraicznej w ujęciu torycznym Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Jacek Jendrej Nr albumu: 277525 Pewne klasyczne twierdzenia geometrii algebraicznej w ujęciu torycznym Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA

Bardziej szczegółowo

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery

jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystkich reprezentacji grup punktowych, a związki ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charaktery Reprezentacje grup puntowych związi pomiędzy h i n a jednoznacznie wyznaczają wymiary wszystich reprezentacji grup puntowych, a związi ortogonalności jednoznacznie wyznaczają ich charatery oznaczenia:

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo