Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk"

Transkrypt

1 Teoria grup I Andriy Panasyuk 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1 Grupa: Zbiór G wyposażony w działanie μ : G G G (skrótowo oznaczamy μ(a, b) =: a b lub poprostu ab) spełniające następujące aksjomaty: 1. działanie jest łączne, czyli (ab)c = a(bc) a, b, c G; 2. istnieje element e G, zwany neutralnym, taki, że ea = ae = a a G; 3. dla każdego a G istnieje element odwrotny a 1, czyli taki, że aa 1 = a 1 a = e. Uwaga: Element neutralny jest jedyny: jeśli e inny neutralny, to e = e e = e. Analogicznie, dla każdego a G element odwrotny a 1 jest wyznaczony jednoznacznie. Podgrupa grupy G: Podzbiór H G o własnościach 1) μ(h, H) H oraz 2) H 1 H, czyli 1) ab H a, b H oraz 2) a 1 H a H. Uwaga: 1) i 2) implikują e H oraz fakt, że podgrupa H sama staje się grupą z działaniem μ H H. Przykład podstawowy - grupa permutacji: Permutacją zbioru X nazywamy bijekcję a : X X. Zbiór bijekcji oznaczamy S X (S od symetrii, grupę permutacji inaczej nazywamy grupą symetrii zbioru X) i wyposażamy w działanie - złożenie bijekcji, czyli μ(a, b) := a b : X X. Element neutralny - odwzorowanie identycznościowe Id X, element odwrotny do a - odwzorowanie odwrotne a 1 : X X. Inne przykłady: Wszystkie inne przykłady grup to podgrupy grupy S X (:-o, na serio: jest to treść twierdzenia Cayley a). Przykłady bardziej przyziemne: 1. G = { } grupa jednoelementowa. 2. (Z, +), (R, +), (C, +), (Z n, +), (R n, +), (C n, +); przy tym mamy ciągi podgrup: Z R C, Z n R n C n. 1

2 3. (R =0, ), (R >0, ), (C =0, ); ciąg podgrup R >0 R =0 C =0. 4. U(1) := {z C z = 1} (podgrupa C =0 ). 5. S n, grupa permutacji zbioru n-elementowego. Uwaga: są przykładami grup przemiennych lub abelowych, czyli takich, że μ(a, b) = μ(b, a) a, b G. 5. jest przykładem grupy nieprzemiennej, jeśli n > 2. Przykłady mniej przyziemne otrzymują się w ramach następującej ważnej konstrukcji. Załóżmy, że zbiór X wyposażony jest w pewną strukturę S. Wybierzmy z S X tylko bijekcje o tej własności, że one same i ich odwrotności zachowują S, i oznaczmy przez S X,S ich zbiór. Wtedy S X,S jest podgrupą w S X. Grupa S X,S jest grupą symetrii struktury S i często zawiera istotną informację o S (zob. przykład podłogi, poniżej). Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X, wtedy zachowanie struktury oznacza liniowość bijekcji, S X,S = GL(X) (od angielskiego general linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X. Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X wraz z formą objętości σ, S X,S = SL(X) (od angielskiego special linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X zachowujących σ. Uwaga: SL(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: S struktura przestrzeni euklidesowej na X, czyli X jest przestrzenią liniową z zadaną metryką euklidesową ( ), S X,S = O(X) grupa ortogonalna, czyli grupa liniowych bijekcji, zachowujących metrykę. Uwaga: O(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: SO(X) := SL(X) O(X). Przykład: Niech X = R 4 będzie wyposażone w strukturę metryki ( ) o sygnaturze (1, 3), czyli S będzie strukturą lorentzowską na X. Wtedy S X,S = O(1, 3), grupa liniowych bijekcji zachowujących ( ), jest tzw. grupą Lorentza. Przykład: S struktura przestrzeni metrycznej lub topologicznej na X, zachowanie struktury oznacza ciągłość bijekcji, S X,S grupa homeomorfizmów przestrzeni X. Przykład: S struktura rozmaitości gładkiej na X, zachowanie struktury oznacza gładkość bijekcji, S X,S grupa dyfeomorfizmów przestrzeni X. Działanie (lewe) grupy G na zbiorze X: Odwzorowanie ν : G X X (skrótowo oznaczamy też ν(g, x) =: g x) o własnościach 1. (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) g 1, g 2 G, x X; 2. e x = x x X. Przykład: Działanie grupowe μ : G G G jest przykładem lewego (oraz prawego) działania G na G. 2

3 Przykład: Grupa S X w naturalny sposób działa na X: a x := a(x), a S X, x X. Uwaga: jest to lewe działanie: (a b) x = (a b)(x) = a(b(x)) = a (b x). Przykład: Analogicznie, S X,S działa na X. Orbita elementu x X działania G na X: G x := {g x g G}. Uwaga: X jest sumą rozłączną orbit działania. Rzeczywiście, każdy element zawiera się w jakiejś orbicie (bo e x = x), ponadto, jeśli x G x oraz x G x, to G x = G x (bo x = g x = g x = x = (g ) 1 g x = g x = g (g ) 1 g x = G x G x i odwrotnie). Stabilizator G x elementu x X względem działania G na X: G x := {g G g x = x}. Uwaga 1. Stabilizator jest podgrupą: g 1 x = x, g 2 x = x = (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) = g 1 x = x oraz g x = x = x = g 1 g x = g 1 x. Uwaga 2. Stabilizatory elementów z jednej orbity są sprzężone: x = h x = G x = h 1 G x h (Ćwiczenie). Stabilizator G Y podzbioru Y X względem działania G na X: G Y := {g G g Y Y }. Przykład: Grupa D n symetrii wielokąta prawidłowego o n wierzchołkach. Niech X = R 2 ze standardową metryką euklidesową, Y n-kąt foremny o środku w zerze: Wtedy D n jest podgrupą grupy O(X) będąca stabilizatorem Y. Przykład: Grupa G symetrii podłogi, składa się z: 1) kraty Z 2Z; 2) odbić względem prostych poziomych i pionowych, przechodzących przez węzły kraty oraz przez środki płytek ; 3) obrotów o 180 względem węzłów kraty oraz punktów leżących w środkach płytek oraz ich krawędzi. 3

4 Grupa G działa na R 2. Orbita zera: Z 2Z. Ona nie pokrywa się z podłogą (bo nie zawiera fugi ), ale dobrze odzwierciedla nierównoprawność poziomego i pionowego kierunku. Czyli znając samą tylko grupę symetrii obiektu czasem (nie zawsze, zob. następny przykład) możemy w dużej mierze odtworzyć strukturę obiektu. Przykład: Grupa G symetrii kawałka podłogi jest o wiele biedniejsza, ma tylko 3 nietrywialne elementy: odbicia względem prostych pionowej i poziomej przechodzących przez środek kawałka oraz ich złożenie, czyli obrót o 180. Taka grupa bardzo słabo odzwierciedla strukturę obiektu. Powodem jest jego nijednorodność. Do opisu symetrii takich obiektów lepiej służą grupoidy, uogólnienia grup [Wei96]. 4

5 2 Wprowadzenie do wykładu, cz. II Grupy dyskretne : Z n, symetrie podłogi (nieskończone), S n, D n (skończone). Grupy ciągłe : (R n, +), (R >0, ), (R =0, ), (C =0, ), GL(X), SL(X), O(1, 3) (niezwarte), U(1), O(X), SO(X) (zwarte). Grupy topologiczne (Liego): Są to grupy (G, μ) takie, że G jest wyposażone w strukturę przestrzeni topologicznej (rozmaitości różniczkowej) o tej własności, że odwzorowanie μ : G G G oraz odwzorowanie ε : g g 1 : G G są ciągłe (gładkie). Uwaga: Jeśli G jest grupa topologiczną (Liego), w poniższych definicjach wymagamy ciąłości (gładkości) wszystkich odwzorowań. Reprezentacja grupy G w przestrzeni liniowej X: działanie ν : G X X takie, że dla każdego g G odwzorowanie ν(g, ) : X X jest liniowe. Przykład: naturalna reprezentacja grup GL(X), SL(X), O(X), SO(X), O(1, 3), D n w przestrzeni X. Homomorfizm grup: Odwzorowanie f : G 1 G 2 pomiędzy dwiema grupami o własnościach: f(e 1 ) = e 2, f(a 1 b) = f(a) 2 f(b) a, b G 1. Izomorfizm grup: Homomorfizm f : G 1 G 2 będący bijekcją. Uwaga: Odwrotne odwzorowanie f 1 : G 2 G 1 automatycznie jest homomorfizmem: f 1 (c d) = f 1 (f(f 1 (c)) f(f 1 (d))) = f 1 (f(f 1 (c) f 1 (d))) = f 1 (c) f 1 (d). Grupa automorfizmów grupy G: Nawiasem mówiąc, otrzymaliśmy jeszcze jeden przykład grupy S X,S : S jest strukturą grupy na zbiorze X = G, a S X,S grupą izomorfizmów z G w G, które nazywamy automorfizmami G. Oznaczamy Aut(G) := S G,S. Przykład: Dla dowolnej G odwzorowanie Id G : G G jest przykładem izomorfizmu, a odwzorowanie f : G { } homomorfizmu. Przykład: exp( ) : (R, +) (R =0, ) homomorfizm, exp( ) : (R, +) (R >0, ) izomorfizm. Przykład: exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) homomorfizm. Przykład: f : U(1) SO(R 2 ) izomorfizm, tutaj SO(R 2 ) grupa obrotów płaszczyzny, f odwzorowuje liczbę e iφ w obrót o kąt φ. Równoważność działań: Działania ν 1 : G 1 X 1 X 1 i ν 2 : G 2 X 2 X 2 nazywają się równoważnymi, jeśli istnieje izomorfizm grup f : G 1 G 2 oraz bijekcja h : X 1 X 2 takie, że następujący diagram jest przemienny: G 1 X 1 ν 1 X 1 f h ν 2 G 2 X 2 X 2 czyli h(ν 1 (g, x)) = ν 2 (f(g), h(x)) g G 1, x X 1. Ważne pytania matematyczne: 5 h

6 1. Sklasyfikować grupy z dokładnością do izomorfizmu; 2. Sklasyfikować działania (w tym reprezentacje) z dokładnością do równoważności. Sklasyfikować w ideale oznacza: 1) sporządzić listę cegiełek, czyli prostych 1 obiektów (grup w przypadku 1., czy w przypadku 2. działań ustalonej grupy), których strukturę znamy; 2) określić procedurę budowania z cegiełek bardziej skomplikowanych obiektów; 3) podać kryteria, kiedy wybrany obiekt jest izomorficzny (równoważny) z jednym z obiektów zbudowanych z cegiełek. W rzeczywistości, takie listy cegiełek istnieją, ale istnieją też obiekty nie poddające się klasyfikacji. Naszym najbliższym celem będzie zdefiniowanie cegiełek w przypadku grup. Jądro homomorfizmu f : G 1 G 2 : ker f := f 1 (e 2 ). Podgrupa normalna: Podgrupę H G nazywamy normalną, jeśli ghg 1 H dla wszystkich g G. Związek pomiędzy grupami normalnymi a jądrami homomorfizmów: Twierdzenie Podzbiór H G grupy G jest podgrupą normalną wtedy i tylko wtedy gdy jest jądrem pewnego homomorfizmu f : G G 2. Dowód: ( =) Niech f : G G 2 będzie homomorfizmem, a H := ker f. Wtedy a, b H = f(a) = e 2, f(b) = e 2 = f(ab) = f(a)f(b) = e 2 e 2 = e 2 = ab H; a H = f(a 1 ) = (f(a)) 1 = e 1 2 = e 2 = a 1 H; f(ghg 1 ) = f(g)f(h)f(g 1 ) = f(g)e 2 (f(g)) 1 = e 2 = ghg 1 H. Dowód implikacji (= ) pokrywa się z następującą konstrukcją. Grupa ilorazowa G/H i homomorfizm naturalny G G/H: Niech G będzie grupą z działaniem μ : G G G a H G będzie dowolną podgrupą. Wtedy ograniczenie μ G H daje prawe działanie grupy H na zbiorze G. Orbita elementu g G pod względem tego działania ma postać gh = {gh h H} i nazywa się prawą warstwą g ze względu na H. Zbiór takich warstw oznaczamy G/H. Zbiór G jest sumą rozłączną warstw (jako że dowolny zbiór z działaniem grupy jest sumą rozłączną orbit). Ponadto, wszystkie warstwy mają jednakową moc, równą mocy H: odwzorowanie H h gh gh jest bijekcją. Lemat Niech H G będzie podgrupą normalną. Wtedy: 1. każda prawa warstwa gh pokrywa się z lewą warstwą Hg := {hg h H}; 2. wzór gh g H = (g g )H zadaje poprawnie określone działanie μ : G/H G/H G/H spełniające aksjomaty działania grupowego; 1 Słowo prostych piszemy w cudzysłowie, ponieważ cegiełki mogą mieć dosyć skomplikowaną strukturę. Na przykład tzw. grupa Potwór (ang. Monster), będąca grupą prostą w sensie definicji, którą poznamy za moment, liczy = elementów, zob. 6

7 3. odwzorowanie π : G G/H, π(g) := gh jest homomorfizmem grup. Dowód: 1. ghg 1 H ghg 1 = H gh = Hg 2. Poprawność: niech g 1 gh, g 1 g H, wtedy istnieją h H, h H takie, że g 1 = gh, g 1 = g h. Mamy g 1 H g 1H = (g 1 g 1)H = ghg h H = ghg H = ghhg = ghg = gg H. Łączność: (gh g H) g H = (gg )H g H = (gg )g H = g(g g )H = gh (g g )H = gh (g H g H). Element neutralny: ehgh = egh = gh = geh = gheh. Element odwrotny: g 1 HgH = g 1 gh = eh = gg 1 H = ghg 1 H. 3. π(gg ) = gg H = ghg H = π(g)π(g ), π(e) = eh. Uwaga I: Homomorfizm π jest epimorfizmem (czyli jest surjektywny). Uwaga II: Żeby jakiś epimorfizm f : G 1 G 2 był izomofrizmem, wystarczy i dosyć, żeby jego jądro było trywialne (tj. ker f = {e 1 }) (Ćwiczenie). Obraz homomorfizmu: Lemat Obraz H 2 := im f homomorfizmu f : G 1 G 2 jest pogrupą w G 2 izomorficzną z G 1 /H 1, gdzie H 1 := ker f. Dowód: Jeśli a, b H 2, to istnieją a 1, b 1 G 1 takie, że f(a 1 ) = a, f(b 1 ) = b. Wtedy f(a 1 b 1 ) = f(a 1 )f(b 1 ) = ab, czyli H 2 H 2 H 2. Z kolei, f(a 1 1 ) = (f(a 1 )) 1 = a 1 implikuje (H 2 ) 1 = H 2. f Szukany izomorfizm określimy wzorem G 1 /H 1 gh 1 f(g) H2. Odwzorowanie f jest określone poprawnie: jeśli g gh inny przedstawiciel warstwy, to g g 1 = h dla pewnego h H, i f(g )(f(g)) 1 = f(h) = e 2 skąd f(g ) = f(g). Podobnie sprawdzamy, że jest homomorfizmem oraz że ma trywialne jądro. Przykład: Każda podgrupa H grupy abelowej G jest normalna. W szczególności, jeśli weźmiemy G = Z, H = nz, otrzymujemy grupę cykliczną Z n := Z/nZ. Przykład: Obrazem homomorfizmu exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) jest podgrupa U(1) (C =0, ), a jego jądrem podgrupa (Z, +). Mamy więc izomorfizm R/Z = U(1). Przykład: Niech sign : S n (R =0, ) homomorfizm odwzorowujący permutację τ w ±1 w zależności od znaku τ. Jądrem jest tutaj grupa alternująca A n permutacji parzystych, a obrazem grupa 2-elmentowa {±1} izomorficzna z Z 2. Mamy izomorfizm S n /A n = Z2. Przykład: Niech G będzie dowolną grupą. Określmy odwzorowanie φ : G Aut(G) wzorem g A g, A g (h) := ghg 1 (poprawność: A g (hh ) = ghh g 1 = ghg 1 gh g 1 = A g (h)a g (h ), A g (e) = e, A 1 g = A g 1). Ponadto, samo φ jest homomorfizmem: A gg = A g A g, A e = Id G. Jego obraz Int(G) Aut(G) nazywamy grupą automorfizmów wewnętrznych. Okazuje się, że Int(G) podgrupa normalna w Aut(G): jeśli f : G G dowolny automorfizm, to f A g f 1 (h) = f(g[f 1 (h)]g 1 ) = f(g)f[f 1 (h)]f(g 1 ) = A f(g) (h), czyli f Int(G) f 1 Int(G). Grupę ilorazową Out(G) := Aut(G)/Int(G) nazywamy grupą automorfizmów zewnętrznych grupy G. Grupy proste: Są to grupy G nie posiadające nietrywialnych (czyli rożniących się od G i {e}) podgrup normalnych. 7

8 Uwaga: W przypadku grup topologicznych lub Liego w definicji grup prostych dopuszczamy istnienie nietrywialnych normalnych podgrup dyskretnych 2. Np. prosta grupa Liego SL(R 2 ) ma nietrywialną dyskretną podgrupę normalną {±I}. To właśnie grupy proste są cegiełkami, dającymi się sklasyfikować. 2 Dyskretność podgrupy H G oznacza dyskretność H jako przestrzeni topologicznej, czyli istnienie dla każdego punktu h H otoczenia nie przecinającego się z otoczeniami innych punktów z H. 8

9 3 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. I Literatura dodatkowa: [Kir72, Kir76] Poniżej określimy sposoby sklejania cegiełek, czyli budowania z kilku grup jednej, bardziej skomplikowanej grupy. Iloczyn prosty grup G 1,..., G n : Jest to zbiór G 1 G n wyposażony w działanie (g 1,..., g n ) (h 1,..., h n ) := (g 1 h 1,..., g n h n ) z elementem neutralnym (e 1,..., e n ) oraz (g 1,..., g n ) 1 := (g1 1,..., gn 1 ). (Poniżej będziemy nieco nietradycyjnie oznaczać elementy iloczynu kartezjańskiego nawiasami kwadratowymi [ ].) Przykład: Grupa GL + (2, R) := {A Mat(2, R) det A > 0} jest izomorficzna z R >0 SL(2, R), gdzie SL(2, R) := {A Mat(2, R) det A = 1}. Rzeczywiście, izomorfizm zadajemy wzorem F : R >0 SL(2, R) GL + (2, R), F ([x, X]) := xx a jego odwrotność to Z [ det Z, Z/ det Z]. Iloczyn półprosty G 2 G 1 grup G 2 i G 1 : Załóżmy, że mamy działanie grupy G 2 na grupie G 1, respektujące strukturę grupy na G 1. Innymi słowy, zadany jest homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) (w takiej sytuacji można też powiedzieć, że jest zadana reprezentacja grupy G 2 w grupie G 1 ). Określamy działanie na zbiorze G 2 G 1 : [g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ] := [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] (tutaj oznaczyliśmy f g2 h 1 := f(g 2 )h 1 ). Łączność: ([g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ]) [j 2, j 1 ] = [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] [j 2, j 1 ] = [(g 2 h 2 ) j 2, (g 1 f g2 h 1 ) f g2 h 2 j 1 ] = [g 2 h 2 j 2, (g 1 f g2 h 1 ) (f g2 f h2 j 1 )] = [g 2 h 2 j 2, g 1 (f g2 h 1 f g2 (f h2 j 1 ))] = [g 2 (h 2 j 2 ), g 1 (f g2 (h 1 f h2 j 1 ))] = [g 2, g 1 ] [h 2 j 2, h 1 f h2 j 1 ] = [g 2, g 1 ] ([h 2, h 1 ] [j 2, j 1 ]) Element neutralny: [e 2, e 1 ] Element odwrotny: [g 2, g 1 ] 1 := [g2 1, f g 1 g ] Inne oznaczenie dla G 2 G 1 to G 2 f G 1. Przykład: Grupa O(R 2 ) liniowych odwracalnych przekształceń ortogonalnych płaszczyzny euklidesowej jest izomorficzna z iloczynem Z 2 SO(R 2 ) grupy Z 2 = {±1} z grupą obrotów[ SO(R] 2 ). a b Rzeczywiście, O(R 2 ) jest izomorficzna z grupą O(2, R) = {A Mat(2, R) AA T = I} = { c d a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0} a SO(R 2 ) z SO(2, R) = {A O(2, R) det A = 1}). Określmy homomorfizm [ f : {±1} ] Aut(SO(2, R)) wzorem 1 Id, 1 L, gdzie L : O φ cos φ sin φ O φ, tutaj O φ := ) jest macierzą obrotu o kąt φ. Zauważmy, że L rzeczywiście jest sin φ cos φ elementem Aut(SO(2, R)): odwzorowanie L : SO(2, R) [ SO(2, R) ] jest ograniczeniem do SO(2, R) 0 1 automorfizmu wewnętrznego A g grupy O(2, R), gdzie g = (Ćwiczenie: sprawdzić ten fakt). 1 0 Ponadto, ponieważ g 2 = I, odwzorowanie f jest homomorfizmem. Zostało zbudować izomorfizm F : Z 2 f SO(2, R) O(2, R). Połóżmy σ(1) := 0, σ( 1) := 1 oraz F ([x, X]) := Xg σ(x) (mamy f(x) = A g σ(x)). Wtedy F ([x, X] [y, Y ]) = F ([xy, XA g σ(x)(y )]) = Xg σ(x) Y g σ(x) g σ(xy) = Xg σ(x) Y g σ(x2y) = Xg σ(x) Y g σ(y) = F ([x, X]) F ([y, Y ]). Homomorfizm odwrotny: F 1 (Z) := [det Z, Zg σ(det Z) ]. (Ćwiczenie: sprawdzić, że F F 1 (Z) = Z oraz F 1 F ([x, X]) = [x, X].) Przykład: Grupa GL(2, R) := {A Mat(n, R) det A = 0}, jest izomorficzna z R SL(2, R), gdzie SL(2, R) : {A Mat(2, R) det A = 1}, a R to inne oznaczenie dla grupy (R =0, ). Rzeczywiście, określmy odwzorowanie τ : R {0, 1}, τ(x) := σ(sign(x)), oraz homomorfizm f : R 9

10 Aut(SL(2, R)), f(x) := A g τ(x). Izomorfizm F : R f SL(n, R) GL(n, R) określamy wzorem F ([x, X]) := xxg τ(x). Ćwiczenie: zbudować izomorfizm odwrotny, sprawdzić szczegóły. Przykład: Grupa SE(2, R) := SO(2, R) f R 2 ruchów płaszczyzny euklidesowej. Tutaj f : SO(2, R) Aut(R 2 ) standardowe działanie grupy obrotów płaszczyzny na płaszczyźnie. Uwaga 1: Jeśli f jest homomorfizmem trywialnym, to G 2 f G 1 = G2 G 1. Pytanie 1: Czy bywają nietrywialne f, dla których też G 2 f G 1 = G2 G 1? Bardziej ogólnie: jeśli f, f : G 2 Aut(G 1 ) dwa homomorfizmy, kiedy istnieje izomorfizm G 2 f1 G 1 = G2 f2 G 1 Uwaga 2: odwzorowanie π : [g 2, g 1 ] g 2 : G G 2 jest epimorfizmem grup: π([g 2, ][h 2, ]) = π([g 2 h 2, ]) = g 2 h 2 = π([g 2, ])π([h 2, ]). Stąd mamy wnioski: a) {e} G 1 = ker π podgrupa normalna w G = G 2 f G 1 ; b) G/G 1 = G2 (izomorfizm grup). Pytanie 2: Czy każda grupa G posiadająca podgrupę normalną G 1 jest izomorficzna z G 2 f G 1, gdzie f pewien homomorfizm z grupy ilorazowej G 2 = G/G 1 w grupę Aut(G 1 )? W celu znalezienia odpowiedzi na to pytanie wprowadźmy kilka nowych pojęć. Ciąg dokładny homomorfizmów grup: Jest to ciąg f k 1 G k f k Gk+1 grup i ich homomorfizmów taki, że im f k 1 = ker f k dla każdego k. ι Krótki ciąg dokładny: Jest to ciąg dokładny postaci { } G 1 G π G 2 { }. W szczególności mamy: ker ι = {e}, czyli ι jest włożeniem (monomorfizmem); im π = G 2, czyli π jest epimorfizmem; im ι = ker π, czyli podgrupa im ι = G 1 jest podgrupą normalną, a grupa G 2 jest izomorficzna z grupą ilorazową G/G 1. Rozszerzenie grupy G 2 za pomocą grupy G 1 : Jest to krótki ciąg dokładny postaci { } G 1 Przykład: G = G 2 f G 1, ι (g 1 ) := [e, g 1 ], π ([g 2, g 1 ]) := g 2. ι G π G 2 { }. (1) ι Równoważność rozszerzeń: Rozszerzenia { } G 1 G π ι G 2 { } oraz { } G 1 G π G 2 { } są równoważne, jeśli istnieje izomorfizm Q : G G dla którego następujący diagram jest przemienny: G ι π Q { } ι G 1 G π G 2 { } Pytanie 2 teraz można przeformułować w nieco węższym kontekscie. Pytanie 2 : czy każde rozszerzenie { } G 1 G π ι π ι G 2 { } jest równoważne z { } G 1 G1 f G 2 G2 { } dla pewnego f? Pytanie 1, natomiast, teraz sformułujemy w następujący sposób. Pytanie 1 : dla jakich f, f ι π ι π rozszerzenia { } G 1 G1 f G 2 G2 { } oraz { } G 1 G1 f G 2 G2 { } są równoważne? Spróbujemy dać na odpowiedź na te pytania w terminach tzw. kohomologii grupy G 2 w szczególnym przypadku abelowej grupy G 1. Założenie o grupie G 1 : Od tego momentu zakładamy, że G 1 jest abelowa. Operację w G 1 będziemy oznaczali plusem, element neutralny zerem, a element odwrotny minusem (tzw. notacja addytywna). 10

11 Kohomologie grupy G 2 o wartościach w (abelowej) grupie G 1 : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) ustalony homomorfizm. Dowolną funkcję c : G n 2 G 1 nazywamy n-kołańcuchem na G 2 o wartościach G 1. Zbiór n-kołańcuchów oznaczmy przez C n (G 2, G 1 ) (tworzy on grupę abelową ze względu na dodawanie funkcji). Z definicji C 0 (G 2, G 1 ) = G 1. Określmy odwzorowania d i : C i (G 2, G 1 ) C i+1 (G 2, G 1 ) d 0 c(g) := f g c c, c G 1, g G 2 ; d 1 c(g, h) := f g c(h) c(gh) + c(g), g, h G 2, c C 1 (G 2, G 1 ); d 2 c(g, h, j) := f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h), g, h, j G 2, c C 2 (G 2, G 1 ). Łatwo się sprawdza (Ćwiczenie:), że 1) d i jest homomorfizmem grup; 2) d i+1 d i = 0. Z 2) mamy wniosek: im d i ker d i+1. Mówimy, że Z i (G 2, G 1 ) := ker d i jest i-tą grupą kocykli, B i (G 2, G 1 ) := im d i jest i-tą grupą kobrzegów, a H i (G 2, G 1 ) := ker d i / im d i 1 jest i-tą grupą kohomologii grupy G 2 ( o wartościach w G 1, lub, bardziej dokładnie, w reprezentacji f ). 11

12 4 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. II Próba odpowiedzi na pytanie 2 : Rozważmy rozszerzenie (1). Najpierw zauważmy, że w tej sytuacji mamy jednoznacznie określone działanie G 2 na G 1, czyli homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ). Istotnie, każdy element g G określa automorfizm wewnętrzny A g, który zachowuje podgrupę G 1 ponieważ ona jest normalna. Czyli mamy homomorfizm F : G Aut(G 1 ), g A g G1. Elementy z G 1 leżą w jądrze tego homomorfizmu, bo G 1 jest abelowa, czyli F przepuszcza się przez G/G 1. Innymi słowy istnieje jedyny f : G 2 Aut(G 1 ) taki, że następujący diagram jest przemienny: G F π G/G 1 f Aut(G1 ) Następnie, wybierzmy cięcie odwzorowania π (czyli takie odwzorowanie s : G 2 G, że πs = Id G2 ) o własności s(e 2 ) = 0. Wybór takiego cięcia jest równoważny wyborowi jednego przedstawiciela s(g 2 ) w każdej warstwie π 1 (g 2 ), g 2 G 2, co, z kolei, jest równoważne utożsamieniu zbiorów G i G 2 G 1 a odwzorowań ι, π z włożeniem ι : g 1 [e, g 1 ] : G 1 G 2 G 1 oraz z rzutem π na pierwszą składową odpowiednio. (Istotnie, jeśli g 2 G 2, h π 1 (g 2 ) = G 1 s(g 2 ), to istnieje jedyne g 1 := h(s(g 2 )) 1 G 1 takie, że h = g 1 s(g 2 ). Punkt h utożsamiamy z parą [g 2, g 1 ].). Dalej zakładamy, że G = G 2 G 1 (jako zbiór) i pytamy jakie mnożenia (działania grupowe) w G 2 G 1 są dopuszczalne, czyli takie, że odwzorowania ι, π są homomorfizmami grup. Lemat Dopuszczalne mnożenia są postaci [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )], (2) gdzie c(e, e) = 0 oraz c Z 2 (G 2, G 1 ), czyli jest kocyklem. Ponadto, jeśli c, c są dwoma kocyklami odpowiadającymi równoważnym rozszerzeniom, to c c B 2 (G 2, G 1 ), czyli istnieje q C 1 (G 2, G 1 ) o własności c c = dq. Przy tym q(e) = 0. Uwaga: 12

13 Dowód: Sposób utożsamienia G z G 2 G 1 implikuje wzór [e, h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + h 1 ], g i, h i G i. Istotnie, element h 1 π 1 (e 2 ) utożsamia się z [e, h 1 (s(e 2 )) 1 ] = [e, h 1 ], element g π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, g 1 ] (tutaj g 1 := g(s(g 2 )) 1 ), skąd element h 1 g π 1 (e 2 g 2 ) = π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, h 1 g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, h 1 g 1 ] = [g 2, h 1 + g 1 ]. Z kolei, sposób zadania homomorfizmu f daje [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 = [e, f g2 h 1 ]. Fakt, że π jest homomorfizmem oznacza w szczególności, że [g 2, 0][h 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] dla pewnego c C 2 (G 2, G 1 ). Używając tych wzorów dostajemy oraz [g 2, g 1 ][e, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 [g 2, g 1 ] = [e, f g2 h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ] [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][h 2, 0] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2, 0][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )]. Ponieważ ι ma być homomorfizmem, mamy ι (g 1 )ι (h 1 ) = [e, g 1 ][e, h 1 ] = [e, g 1 +f e h 1 +c(e, e)] = [e, g 1 + h 1 ] = ι (g 1 + h 1 ). Stąd c(e, e) = 0. Teraz sprawdźmy warunek kocyklu: ([g 2, 0][h 2, 0])[j 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )][j 2, 0] = [g 2 h 2 j 2, c(g 2, h 2 ) + c(g 2 h 2, j 2 )] [g 2, 0]([h 2, 0][j 2, 0]) = [g 2, 0][h 2 j 2, c(h 2, j 2 )] = [g 2 h 2 j 2, f g2 c(h 2, j 2 ) + c(g 2, h 2 j 2 )]. Równoważność Q : G 2 G 1 G 2 G 1 rozszerzeń odpowiadających kocyklom c i c oznacza istnienie odwzorowania q : G 2 G 1 takiego, że 1) Q([g 2, g 1 ]) = [g 2, g 1 + q(g 2 )] 2) Q jest homomorfizmem. Warunek 2) implikuje następujące równości: Q([g 2, 0][h 2, 0]) = Q([g 2 h 2, c(g 2, h 2 )]) = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 ) + q(g 2 h 2 )] = Q([g 2, 0])Q([h 2, 0]) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) + f g2 q(h 2 ) + c (g 2, h 2 )]. Stąd c(g 2, h 2 ) c (g 2, h 2 ) = f g2 q(h 2 ) q(g 2 h 2 ) + q(g 2 ). Mamy też 0 = c(e, e) c (e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e). Uwaga: Jeśli kocykl c jest kobrzegiem, czyli c = dq dla pewnego q C 1 (G 2, G 1 ), to odwzorowanie s : g 2 [g 2, q(g 2 )] : G 2 G 2 G 1 jest homomorfizmem. Istotnie, wyrażenie s (g 2 h 2 ) = [g 2 h 2, q(g 2 h 2 )] jest równe s (g 2 )s (h 2 ) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) f g2 q(h 2 )+c(g 2, h 2 )] wskutek definicji dq. Rozpoznawanie iloczynów półprostych wśród wszystkich rozszerzeń: Rozszerzenie (1) jest równoważne z { } G 1 G 1 f G 2 G 2 { } jeśli i tylko jeśli odwzorowanie π posiada cięcie 13

14 s : G 2 G będące homomorfizmem grup. Istotnie, poprzez wybór cięcia s : G 2 G (nie będącego w ogólności homomorfizmem) utożsamiamy G z G 2 G 1 a samo s z odwzorowaniem g 2 [g 2, 0]. Równowazność z iloczynem półprostym G 1 f G 2 oznacza trywialność kocyklu c (czyli istnienie q takiego, że c = dq) i homomorficzność nowego cięcia s : g 2 [g 2, q(g 2 )]. Uwaga: Element q C 1 (G 2, G 1 ) taki, że dq = c jest określony z dokładnością do dodawania elementów kobrzegowych da (tutaj a G 1, da(g 2 ) = f g2 a a). Cięcie s : G 2 G, s (g 2 ) := [g 2, q(g 2 ) da(g 2 )], jest otrzymane z ciecia s zastosowaniem automorfizmu wewnętrznego A a : G G, czyli s = A a s. Istotnie, [e, a][g 2, q(g 2 )][e, a] 1 = [g 2, a q(g 2 )][e, a] = [g 2, a q(g 2 ) f g2 a]. Przykład rozszerzenia nie bedącego iloczynem półprostym: Rozważmy tzw. grupę Heisenberga składającą się z macierzy postaci 1 a b 0 1 c Jasne, że jako zbiór ona może być utożsamiona z R 3. Mnożenie natomiast jest zadawane następującym wzorem: [x, y, z][x, y, z ] = [x + x, y + y + xz, z + z ]. Jest to rozszerzenie grupy abelowej G 2 = (R 2, +) za pomocą grupy abelowej G 1 = (R, +) z kocyklem c([x, z], [x, z ]) := xz (i trywialnym działaniem f). Kocykl ten nie może być kobrzegiem: kobrzeg dq(g, h) = q(h) q(gh)+q(g) na grupie abelowej jest funkcją symetryczną argumentów g, h. Kocykl c, natomiast, funkcją symetryczną nie jest. W szczególności z tego wynika też, że grupa kohomologii H 2 (C 2, C 1 ) jest nietrywialna. Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że grupa kohomologii H 2 (G 2, G 1 ) jest w bijekcji z klasami równoważności rozszerzeń grupy G 2 za pomocą grupy G 1. Ćwiczenie: Pokazać, że klasy autorównoważności rozszerzenia (1) modulo autorównoważności pochodzące z automorfizmów wewnętrznych A a, gdzie a G 1, są w bijekcji z grupą H 1 (G 2, G 1 ). Odpowiedź na pytanie 1 : Ponieważ homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) jest jednoznacznie wyznaczony przez rozszerzenie (1), rozszerzenia { } G 1 ι G1 f G 2 π G2 { } oraz { } G 1 ι G 1 f G 2 π G2 { } są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy f = f. Zadania na ćwiczenia. Inne spojrzenie na działanie grupy na zbiorze: Niech ν : G X X będzie lewym działaniem grupy G na zbiorze X. Pokazać, że: 1) przy ustalonym g G odwzorowanie x ν(g, x) : X X jest bijekcją, czyli ν(g, ) S X ; 2) odwzorowanie g ν(g, ) : G S X jest homomorfizmem grup. Odwrotnie, każdy homomorfizm f : G S X zadaje działanie ν : G X X według wzoru ν(g, x) := f g x (tutaj f g := f(g)). Działanie z kocyklem : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) będzie homomorfizmem, a q Z 1 (G 2, G 1 ) pewnym kocyklem. Pokazać, że odwzorowanie f : G 2 S G1, f g2 g 1 := f g2 g 1 + q(g 2 ), jest homomorfizmem, czyli zadaje działanie G 2 na G 1 za pomocą przekształceń afinicznych. Przykład 1: Niech G 2 := (R n, +), G 1 := (R m, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) homomorfizm trywialny. Pokazać, że każdy operator liniowy q : R n R m jest kocyklem. Znaleźć orbitę i stabilizator każdego punktu x R m ze względu na działąnie z kocyklem f. Przykład 2: Niech G 2 := SO(2, R), G 1 := (R 2, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) działanie naturalne. Rozważmy kocykl q = da będący kobrzegiem (tutaj a G 1, q(g 2 ) := f g2 a a, g 2 G 2 ). Opisać 14

15 działanie z kocyklem f. Odpowiedź: działanie f polega na obrotach płaszczyzny wokół elementu a. 15

16 5 Elementy teorii grup krystalograficznych Literatura dodatkowa:[szc] 3 Dygresja o topologii Przestrzeń topologiczna: Zbiór X wraz z rodziną podzbiorów {U α } α A własnościach: nazywanych otwartymi o 1. zbiory oraz X są otwarte; 2. zbiór α B jest otwarty dla dowolnego podzbioru B A 3. przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Rodzinę {U α } α A nazywamy topologią na X. Przykład 1: Rodzina zbiorów otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej. Przykład 2: Topologia dyskretna składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru X. Przykład 3: Niech X przestrzeń topologiczna, Y X pewien podzbiór. Topologia indukowana na Y składa się ze wszystkich przecięć zbiorów otwartych w X z podzbiorem Y. Odwzorowanie ciągłe φ : X Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi: jest to odwzorowanie takie, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego (w Y ) jest otwarty (w X). Podzbiór zwarty K X: Jest to podzbiór o tej własności, że z dowolnego pokrycia α B U α K zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone. Topologia ilorazowa: Niech X będzie przestrzenią przestrzeń topologiczną, a R X X relacją równoważności. Zbiór X/R = X/ klas równoważności posiada naturalną topologię zwaną ilorazową. Jest to najmocniejsza (czyli najbogatsza ) topologia na X/R, w której rzut naturalny π : X X/R jest ciągły. Zbiór U X/R jest w niej otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy π 1 (U) jest otwarty w X. Przykład: Niech X = R 2 i niech (a, b) (c, d) def a = c. Wtedy X/ naturalnie utożsamia się z R, a topologia ilorazowa pokrywa się ze standardową topologią na R. def Uwaga: Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to relacja a b g G a = gb jest relacją równoważności (Ćwiczenie: sprawdzić). Zbiór X/ (oznaczany przez X/G) jest zbiorem orbit działania G na X. Przykład: Niech X = R 2 i niech grupa SO(2, R) działa w sposób naturalny na X. Wtedy przestrzeń orbit X/G z topologią ilorazową jest promieniem {x R x 0}. Jeśli C n SO(2, R) jest grupą cykliczną generowaną przez obrót o kąt 2π/n, to X/C n jest stożkiem. Grupa euklidesowa: Niech R n będzie wyposażone w standardowy iloczyn skalarny ( ). Odwzorowanie φ : R n R n o własności (φ(x) φ(y)) = (x y) x, y R n nazywamy izometrią. Ćwiczenie: sprawdzić, że izometrie tworzą grupę względem złożenia odwzorowań. Lemat Każda izometria φ : R n R n jest superpozycją t a A przekształcenia ortogonalnego A O(R n ) i translacji t a : R n R n, x x + a, a R n. 3 Zob. także 16

17 Dowód: ćwiczenie. Grupę izometrii nazywamy grupą euklidesową i oznaczamy E(R n ). Lemat Grupa E(R n ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym O(n, R) R n =: E(n, R). Dowód: Niech [A] będzie macierzą odwzorowania A w dowolnej bazie ortonormalnej, a [a] kolumną współrzędnych elementu a. Określmy odwzorowanie t a A ([A], [a]) : E(R n ) O(n, R) R n. Dla x R n mamy (t b B) (t a A)x = (t b B)(Ax + a) = BAx + Ba + b, wiec złożenie izometrii indukuje następujące działanie grupowe na O(n, R) R n : ([B], [b])([a], [a]) := ([B][A], [B][a] + [b]). Poniżej pod grupą euklidesową będziemy rozumieć grupę E(n, R). Kozwarta grupa Γ E(n, R): Jest to podgrupa grupy euklidesowej taka, że przestrzeń orbit R n /Γ jest zwarta. Przykład: Podgrupa Γ = {t a a Z n R n } = Z n translacji całkowitoliczbowych jest kozwarta. Przestrzeń orbit R n /Z n jest torusem n-wymiarowym. Obszar fundamentalny: Niech Γ E(R n ) będzie dowolną podgrupą. Podzbiór F R n nazywamy obszarem fundamentalnym działania Γ na R n, jeśli gf = R n g Γ oraz g int(f ) g int(f ) = dla g = g. Tutaj int(f ) jest zbiorem punktów wewnętrznych zbioru F, czyli takich punktów p F, które posiadają otoczenie otwarte (czyli zbiór otwarty U p) zawarte w F. Przykład: Kwadrat domknięty o boku 1 jest obszarem fundamentalnym dla działania grupy Γ = Z n. Obszarem fundamentalnym dla działania skończonej grupy obrotów C n jest domknięty wycinek nieograniczony o kącie 2π/n. Krystalograficzna grupa Γ wymiaru n: Jest to dyskretna 4 i kozwarta podgrupa grupy euklidesowej E(n, R). Przykład: Γ = Z n. Twierdzenie (Bieberbacha) 1. Jeżeli Γ E(n, R) jest grupą krystalograficzną, to jej zbiór translacji Γ t := Γ (I R n ) jest normalną podgrupą abelową skończonego indeksu (ostatnie oznacza, że grupa ilorazowa Γ/Γ t jest skończona). Ponadto, Γ t jest maksymalna podgrupą abelową w Γ (czyli nie zawiera się w żadnej większej podgrupie abelowej) i jest izomorficzna z Z n. 2. Dla każdego n istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru n. 3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru n są izomofriczne wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzeżone w grupie A(n, R) afinicznych przeksztalceń R n. 4 Zob. definicję podgrupy dyskretnej w przypisie na końcu Wykładu 2. Równoważna definicja: podzbiorem dyskretnym w przestrzeni topologicznej X nazywamy taki podzbiór Y X, że topologia indukowana na Y jest dyskretną. 17

18 (Bez dowodu.) Z punktu 1 wynika, że grupy krystalograficzne posiadają zwarte obszary fundamentalne. To stanowi podstawę ich zastosowań w krystalografii: ciało stałe jest kryształem (w odróżnieniu od kwazikryształów i ciał amorficznych), jeśli jego struktura atomowa jest okresowym powtórzeniem ograniczonego kawałka tej struktury. Przykład: Grupa Z 1 := {t (n,0) n Z} E(2, R) nie ma zwartego obszaru fundamentalnego. Twierdzenie (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupą krystalograficzną wymiaru n wtedy i tylko wtedy, gdy ma normalną podgrupę abelową skończonego indeksu izomorficzną z Z n, będącą maksymalną podgrupą abelową. Dowód: Jedna z implikacji jest punktem 1 twierdzenia Bieberbacha. Żeby udowodnić drugą rozważmy następujący diagram przemienny: { } Z n Γ G { } { } ι 1 R n Γ ι 2 G { } ι 4 { } R n A(n, R) GL(n, R) { }, którego składniki określimy poniżej. W pierwszym wierszu G := Γ/Z n, czyli mamy rozszerzenie odpowiadające włożeniu podrgupy normalnej Z n w grupę Γ i rzutowi na odpowiednią grupę ilorazową. Grupę Γ określmy jako iloczyn półprosty G R n, a odwzorowanie ι 1, jako włożenie standardowe. Przypomnijmy sobie, że pierwszy wiersz jednoznacznie określa homomorfizm grup f : G Aut(Z n ) (wybieramy cięcie s : G Γ i określamy f(g) jako A s(g) Z n). Zauważmy, że Aut(Z n ) = GL(n, Z) (ostanie wyrażenie oznacza grupę takich macierzy odwracalnych X, że X i X 1 mają współczynniki całkowite 5 ) i oznaczmy przez f złożenie f : G GL(n, Z) GL(n, R) = Aut(R n ), gdzie jest włożeniem naturalnym. Żeby określić odwzorowanie ι 2 najpierw zróbmy utożsamienie zbiorów φ s : Γ G Z n (za pomocą cięcia s). Przypomnijmy również, że rozszerzenie z pierwszego wiersza zadaje kocykl c Z 2 (G, Z n ) (odpowiadający homomorfizmowi f) określony z dokładnością do dodawania kobrzegów. Ponieważ każdy kocykl na G o wartościach w Z n może być uważany za kocykl na G o wartościach w R n (ostatni oznaczmy przez c), na iloczynie kartezjańskim G R n mamy strukturę grupy, zadaną wzorem (2) (zob. lemat o dopuszczalnych mnożeniach z poprzedniego wykładu) z homomorfizmem f i kocyklem c. Natępnie skorzystamy z faktu, że H 2 (G, R n ) = 0, który przyjmiemy bez dowodu. Fakt ten mówi, że każdy 2-kocykl na G o wartościach w R n jest kobrzegiem. W szczególności istnieje q C 1 (G, R n ) 5 izomorfizm grupy Aut(Z n ) z grupą GL(n, Z) buduje się w sposób następujący. Niech e 1,..., e n Z n R n będą elementami bazy standardowej. Wtedy każdy φ Aut(Z n ) reprezentuje się w sposób jednoznaczny macierzą o wyrazach całkowitych, której kolumny są współczynnikami rozkładu φ(e j ) po tej że bazie. Macierz odwrotna będzie miała wyrazy całkowite, ponieważ odwzorowanie φ 1 rozumiane jako odwzorowanie R n R n zachowuje kratę Z n R n, w szczególności φ 1 (e j ) muszą mieć współczynniki całkowite rozkładu po bazie standardowej. Zauważmy, że każdy inny wybór bazy Ae 1,..., Ae n, gdzie A GL(n, Z), zadaje inny izomorfizm Aut(Z n ) = GL(n, Z). ι 3 18

19 taki, że dq = c. Z ogólnej teorii wiemy, że q określa pewną bijekcję G R n G R n, zadającą izomorfizm wyżej określonej grupy G R n z iloczynem półprostym Γ := G f R n. Oznaczmy tę bijekcję przez ι 2, a ι 2 określmy jako złożenie G = G Z n G R n ι 2 Γ. Teraz połóżmy ι 3 := f i zauważmy, że maksymalność podgrupy abelowej Z n implikuje monomorficzność odwzorowania f. Istotnie, jeśli g G jest nietrywialnym elementem należącym do jądra f, to A s(g) zostawia każdy element z Z n na miejscu, czyli s(g) komutuje z Z n. Wtedy podgrupa generowana przez Z n i s(g) jest abelowa. Z drugiej strony s(g) Z n (bo s(g) leży w nietrywialnej warstwie), co przeczy maksymalności Z n. Wreszcie określimy odwzorowanie ι 4. Grupa A(n, R) afinicznych przekształceń przestrzeni R n jest iloczynem półprostym GL(n, R) R n (dowód jest analogiczny jak w przypadku grupy euklidesowej). Odwzorowanie ι 4 jest naturalnym włożeniem jednego iloczynu półprostego (G ι3 R n ) w drugi (GL(n, R) R n ). Ponieważ wszystkie odwzorowania ι j są monomorfizmami, mamy włożenie grupy Γ w grupę A(n, R). Zostało pokazać, że tak naprawdę G leży w O(n, R) GL(n, R). To wynika z następującego lematu, który udowodnimy w teorii reprezentacji. Lemat Każda skończona grupa macierzy n n o wyrazach rzeczywistych jest sprzężona do grupy macierzy ortogonalnych. Z lematu tego wynika, że Γ jest izomorficzna z podgrupą w E(n, R). Dyskretność tej podgrupy wynika z tego, że jako zbiór jest ona iloczynem prostym zbioru skończonego G oraz podzbioru dyskretnego Z n R n. Kozwartość, z kolei, wynika z tego, że Γ t = Z n (tę implikację przyjmujemy bez dowodu). Algorytm Zassenhausa klasyfikacji grup krystalograficznych: Powyższy dowód sugeruje pewną metodę klasyfikacji grup krystalograficznych. Składa się ona z następujących kroków: 1. Opisać wszystkie skończone podgrupy G grupy GL(n, Z) (z dokładnością do izomorfizmu). 2. Opisać wszystkie włożenia ι : G GL(n, Z) = Aut(Z n ), czyli działania wierne (z dokładnością do równoważności). 3. Obliczyć H 2 (G, Z n ) dla wszystkich grup z p. 1 i dla wszystkich działań z p Określić które z grup otrzymanych za pomocą odpowiednich kocykli są izomorficzne (rozszerzenia odpowiadające różnym elementom H 2 (G, Z n ) są nierównoważne, ale odpowiednie grupy mogą być izomorficzne). Ilustracja algorytmu Zassenhausa dla grup tapetowych Grupami tapetowymi nazywamy grupy krystalograficzne wymiaru n = 2. Następujący lemat opisuje wynik 1-go i 2-go kroku algorytmu. Lemat (Ograniczenie krystalograficzne). Niech G GL(2, Z) będzie podgrupą skończoną. Wtedy G jest izomorficzna z jedną z następujących grup {I}, C 2, C 3, C 4, C 6, D 2, D 3, D 4, D 6. Przy tym grupa C 2 ma 3 nierównoważne włożenia, a grupy D 2 i D 3 ma ich 2. 19

20 Lemat ten przyjmujemy bez dowodu, ale spróbujmy zrobić następujące Ćwiczenie: znaleźć (chociażby jedno) włożenie grup C 3, C 6 w GL(2, Z). Trzy nierównoważne włożenia grupy C 2 = {e, v} w GL(2, Z) zadają się wzorami v M i, i = 1, 2, 3, gdzie M 1 := [ ], M 2 := [ ], M 3 := [ ] odpowiednio. Zadanie na ćwiczenia: Obliczyć grupę H 2 (C 2, Z 2 ) dla trzech powyższych działań C 2 na Z 2 i zbudować odpowiednie grupy tapetowe. Rozwiązanie: Rozważmy warunek kocyklu c Z 2 (G, G 1 ): f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h) = 0, g, h, j G. Podstawiając g, e, e lub e, e, j zamiast g, h, j otrzymujemy odpowiednio f g c(e, e) = c(g, e), c(e, j) = c(e, e). W szczególności z tych wzorów wynika, że do tego, żeby określić 2-kocykl c na grupie dwuelementowej G = C 2 = {e, v} wystarczy określić c(e, e) oraz c(v, v). Zobaczmy, jakie ograniczenia na elementy c(e, e), c(v, v) grupy G 1 nakłada warunek kocyklu. Łatwo sprawdzić, że jedyne niezależne ograniczenie otrzymujemy, gdy podstawiamy v, v, v zamiast g, h, j: f v c(v, v) c(e, v) + c(v, e) c(v, v) = 0 (tutaj skorzystaliśmy z tego, że v 2 = e), lub, z uwzględnieniem powyższych wzorów: f v c(v, v) c(e, e) + f v c(e, e) c(v, v) = 0. (3) Podobnie, każdy 1-kołańcuch q C 1 (C 2, G 1 ) określony jest przez zadanie q(e) oraz q(v), a z definicji różniczki d mamy Z. dq(e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e), dq(g, g) = f g q(g) q(e) + q(g). Niech G := C 2, G 1 := Z 2, c(e, e) := (a, b), c(v, v) := (r, s), q(e) := (m, n), q(v) := (k, l), a, b, r, s, m, n, k, l Przypadek 1: f : C 2 GL(2, Z), f v := M 1. Wtedy warunek kocyklu (3) implikuje wiąz ( r, s) (a, b) + ( a, b) (r, s) = 0, skąd r = a, s = b. Zbadajmy, czy kocykl c może być kobrzegiem dq: (a, b) = c(e, e) = dq(e, e) = q(e) = (m, n), (r, s) = c(v, v) = dq(v, v) = ( k, l) (m, n) + (k, l) = ( m, n). Czyli, jeśli określimy q(e) := (a, b), a q(v) dowolnie, będziemy mieli c = dq. Innymi słowy H 2 (C 2, Z 2 ) = 0 w tym przypadku. Odpowiednia grupa tapetowa naprzykład może być generowana przez elementy t (0,0) M 1, t (1,0), t (0,1) i być grupą symetrii poniższej tapety 20

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Zadania o transferze

Zadania o transferze Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

O centralizatorach skończonych podgrup

O centralizatorach skończonych podgrup O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G; 1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].

Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z]. 1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Maria Donten Nr albumu: 209516 Rozmaitości Kummera Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie MATEMATYKI OGÓLNEJ Praca wykonana

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Chemii I Zadania

Matematyczne Metody Chemii I Zadania Matematyczne Metody Chemii I Zadania Mariusz Radoń, Marcin Makowski, Grzegorz Mazur Zestaw Zadanie. Pokazać, że wyznacznik dowolnej macierzy unitarnej jest liczbą o module. Zadanie. Pokazać, że elementy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek

1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo