Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grup I. 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1. Andriy Panasyuk"

Transkrypt

1 Teoria grup I Andriy Panasyuk 1 Wprowadzenie do wykładu, cz. 1 Grupa: Zbiór G wyposażony w działanie μ : G G G (skrótowo oznaczamy μ(a, b) =: a b lub poprostu ab) spełniające następujące aksjomaty: 1. działanie jest łączne, czyli (ab)c = a(bc) a, b, c G; 2. istnieje element e G, zwany neutralnym, taki, że ea = ae = a a G; 3. dla każdego a G istnieje element odwrotny a 1, czyli taki, że aa 1 = a 1 a = e. Uwaga: Element neutralny jest jedyny: jeśli e inny neutralny, to e = e e = e. Analogicznie, dla każdego a G element odwrotny a 1 jest wyznaczony jednoznacznie. Podgrupa grupy G: Podzbiór H G o własnościach 1) μ(h, H) H oraz 2) H 1 H, czyli 1) ab H a, b H oraz 2) a 1 H a H. Uwaga: 1) i 2) implikują e H oraz fakt, że podgrupa H sama staje się grupą z działaniem μ H H. Przykład podstawowy - grupa permutacji: Permutacją zbioru X nazywamy bijekcję a : X X. Zbiór bijekcji oznaczamy S X (S od symetrii, grupę permutacji inaczej nazywamy grupą symetrii zbioru X) i wyposażamy w działanie - złożenie bijekcji, czyli μ(a, b) := a b : X X. Element neutralny - odwzorowanie identycznościowe Id X, element odwrotny do a - odwzorowanie odwrotne a 1 : X X. Inne przykłady: Wszystkie inne przykłady grup to podgrupy grupy S X (:-o, na serio: jest to treść twierdzenia Cayley a). Przykłady bardziej przyziemne: 1. G = { } grupa jednoelementowa. 2. (Z, +), (R, +), (C, +), (Z n, +), (R n, +), (C n, +); przy tym mamy ciągi podgrup: Z R C, Z n R n C n. 1

2 3. (R =0, ), (R >0, ), (C =0, ); ciąg podgrup R >0 R =0 C =0. 4. U(1) := {z C z = 1} (podgrupa C =0 ). 5. S n, grupa permutacji zbioru n-elementowego. Uwaga: są przykładami grup przemiennych lub abelowych, czyli takich, że μ(a, b) = μ(b, a) a, b G. 5. jest przykładem grupy nieprzemiennej, jeśli n > 2. Przykłady mniej przyziemne otrzymują się w ramach następującej ważnej konstrukcji. Załóżmy, że zbiór X wyposażony jest w pewną strukturę S. Wybierzmy z S X tylko bijekcje o tej własności, że one same i ich odwrotności zachowują S, i oznaczmy przez S X,S ich zbiór. Wtedy S X,S jest podgrupą w S X. Grupa S X,S jest grupą symetrii struktury S i często zawiera istotną informację o S (zob. przykład podłogi, poniżej). Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X, wtedy zachowanie struktury oznacza liniowość bijekcji, S X,S = GL(X) (od angielskiego general linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X. Przykład: S struktura przestrzeni liniowej na X wraz z formą objętości σ, S X,S = SL(X) (od angielskiego special linear) grupa odwracalnych liniowych przekształceń przestrzeni X zachowujących σ. Uwaga: SL(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: S struktura przestrzeni euklidesowej na X, czyli X jest przestrzenią liniową z zadaną metryką euklidesową ( ), S X,S = O(X) grupa ortogonalna, czyli grupa liniowych bijekcji, zachowujących metrykę. Uwaga: O(X) jest podgrupą GL(X). Przykład: SO(X) := SL(X) O(X). Przykład: Niech X = R 4 będzie wyposażone w strukturę metryki ( ) o sygnaturze (1, 3), czyli S będzie strukturą lorentzowską na X. Wtedy S X,S = O(1, 3), grupa liniowych bijekcji zachowujących ( ), jest tzw. grupą Lorentza. Przykład: S struktura przestrzeni metrycznej lub topologicznej na X, zachowanie struktury oznacza ciągłość bijekcji, S X,S grupa homeomorfizmów przestrzeni X. Przykład: S struktura rozmaitości gładkiej na X, zachowanie struktury oznacza gładkość bijekcji, S X,S grupa dyfeomorfizmów przestrzeni X. Działanie (lewe) grupy G na zbiorze X: Odwzorowanie ν : G X X (skrótowo oznaczamy też ν(g, x) =: g x) o własnościach 1. (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) g 1, g 2 G, x X; 2. e x = x x X. Przykład: Działanie grupowe μ : G G G jest przykładem lewego (oraz prawego) działania G na G. 2

3 Przykład: Grupa S X w naturalny sposób działa na X: a x := a(x), a S X, x X. Uwaga: jest to lewe działanie: (a b) x = (a b)(x) = a(b(x)) = a (b x). Przykład: Analogicznie, S X,S działa na X. Orbita elementu x X działania G na X: G x := {g x g G}. Uwaga: X jest sumą rozłączną orbit działania. Rzeczywiście, każdy element zawiera się w jakiejś orbicie (bo e x = x), ponadto, jeśli x G x oraz x G x, to G x = G x (bo x = g x = g x = x = (g ) 1 g x = g x = g (g ) 1 g x = G x G x i odwrotnie). Stabilizator G x elementu x X względem działania G na X: G x := {g G g x = x}. Uwaga 1. Stabilizator jest podgrupą: g 1 x = x, g 2 x = x = (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) = g 1 x = x oraz g x = x = x = g 1 g x = g 1 x. Uwaga 2. Stabilizatory elementów z jednej orbity są sprzężone: x = h x = G x = h 1 G x h (Ćwiczenie). Stabilizator G Y podzbioru Y X względem działania G na X: G Y := {g G g Y Y }. Przykład: Grupa D n symetrii wielokąta prawidłowego o n wierzchołkach. Niech X = R 2 ze standardową metryką euklidesową, Y n-kąt foremny o środku w zerze: Wtedy D n jest podgrupą grupy O(X) będąca stabilizatorem Y. Przykład: Grupa G symetrii podłogi, składa się z: 1) kraty Z 2Z; 2) odbić względem prostych poziomych i pionowych, przechodzących przez węzły kraty oraz przez środki płytek ; 3) obrotów o 180 względem węzłów kraty oraz punktów leżących w środkach płytek oraz ich krawędzi. 3

4 Grupa G działa na R 2. Orbita zera: Z 2Z. Ona nie pokrywa się z podłogą (bo nie zawiera fugi ), ale dobrze odzwierciedla nierównoprawność poziomego i pionowego kierunku. Czyli znając samą tylko grupę symetrii obiektu czasem (nie zawsze, zob. następny przykład) możemy w dużej mierze odtworzyć strukturę obiektu. Przykład: Grupa G symetrii kawałka podłogi jest o wiele biedniejsza, ma tylko 3 nietrywialne elementy: odbicia względem prostych pionowej i poziomej przechodzących przez środek kawałka oraz ich złożenie, czyli obrót o 180. Taka grupa bardzo słabo odzwierciedla strukturę obiektu. Powodem jest jego nijednorodność. Do opisu symetrii takich obiektów lepiej służą grupoidy, uogólnienia grup [Wei96]. 4

5 2 Wprowadzenie do wykładu, cz. II Grupy dyskretne : Z n, symetrie podłogi (nieskończone), S n, D n (skończone). Grupy ciągłe : (R n, +), (R >0, ), (R =0, ), (C =0, ), GL(X), SL(X), O(1, 3) (niezwarte), U(1), O(X), SO(X) (zwarte). Grupy topologiczne (Liego): Są to grupy (G, μ) takie, że G jest wyposażone w strukturę przestrzeni topologicznej (rozmaitości różniczkowej) o tej własności, że odwzorowanie μ : G G G oraz odwzorowanie ε : g g 1 : G G są ciągłe (gładkie). Uwaga: Jeśli G jest grupa topologiczną (Liego), w poniższych definicjach wymagamy ciąłości (gładkości) wszystkich odwzorowań. Reprezentacja grupy G w przestrzeni liniowej X: działanie ν : G X X takie, że dla każdego g G odwzorowanie ν(g, ) : X X jest liniowe. Przykład: naturalna reprezentacja grup GL(X), SL(X), O(X), SO(X), O(1, 3), D n w przestrzeni X. Homomorfizm grup: Odwzorowanie f : G 1 G 2 pomiędzy dwiema grupami o własnościach: f(e 1 ) = e 2, f(a 1 b) = f(a) 2 f(b) a, b G 1. Izomorfizm grup: Homomorfizm f : G 1 G 2 będący bijekcją. Uwaga: Odwrotne odwzorowanie f 1 : G 2 G 1 automatycznie jest homomorfizmem: f 1 (c d) = f 1 (f(f 1 (c)) f(f 1 (d))) = f 1 (f(f 1 (c) f 1 (d))) = f 1 (c) f 1 (d). Grupa automorfizmów grupy G: Nawiasem mówiąc, otrzymaliśmy jeszcze jeden przykład grupy S X,S : S jest strukturą grupy na zbiorze X = G, a S X,S grupą izomorfizmów z G w G, które nazywamy automorfizmami G. Oznaczamy Aut(G) := S G,S. Przykład: Dla dowolnej G odwzorowanie Id G : G G jest przykładem izomorfizmu, a odwzorowanie f : G { } homomorfizmu. Przykład: exp( ) : (R, +) (R =0, ) homomorfizm, exp( ) : (R, +) (R >0, ) izomorfizm. Przykład: exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) homomorfizm. Przykład: f : U(1) SO(R 2 ) izomorfizm, tutaj SO(R 2 ) grupa obrotów płaszczyzny, f odwzorowuje liczbę e iφ w obrót o kąt φ. Równoważność działań: Działania ν 1 : G 1 X 1 X 1 i ν 2 : G 2 X 2 X 2 nazywają się równoważnymi, jeśli istnieje izomorfizm grup f : G 1 G 2 oraz bijekcja h : X 1 X 2 takie, że następujący diagram jest przemienny: G 1 X 1 ν 1 X 1 f h ν 2 G 2 X 2 X 2 czyli h(ν 1 (g, x)) = ν 2 (f(g), h(x)) g G 1, x X 1. Ważne pytania matematyczne: 5 h

6 1. Sklasyfikować grupy z dokładnością do izomorfizmu; 2. Sklasyfikować działania (w tym reprezentacje) z dokładnością do równoważności. Sklasyfikować w ideale oznacza: 1) sporządzić listę cegiełek, czyli prostych 1 obiektów (grup w przypadku 1., czy w przypadku 2. działań ustalonej grupy), których strukturę znamy; 2) określić procedurę budowania z cegiełek bardziej skomplikowanych obiektów; 3) podać kryteria, kiedy wybrany obiekt jest izomorficzny (równoważny) z jednym z obiektów zbudowanych z cegiełek. W rzeczywistości, takie listy cegiełek istnieją, ale istnieją też obiekty nie poddające się klasyfikacji. Naszym najbliższym celem będzie zdefiniowanie cegiełek w przypadku grup. Jądro homomorfizmu f : G 1 G 2 : ker f := f 1 (e 2 ). Podgrupa normalna: Podgrupę H G nazywamy normalną, jeśli ghg 1 H dla wszystkich g G. Związek pomiędzy grupami normalnymi a jądrami homomorfizmów: Twierdzenie Podzbiór H G grupy G jest podgrupą normalną wtedy i tylko wtedy gdy jest jądrem pewnego homomorfizmu f : G G 2. Dowód: ( =) Niech f : G G 2 będzie homomorfizmem, a H := ker f. Wtedy a, b H = f(a) = e 2, f(b) = e 2 = f(ab) = f(a)f(b) = e 2 e 2 = e 2 = ab H; a H = f(a 1 ) = (f(a)) 1 = e 1 2 = e 2 = a 1 H; f(ghg 1 ) = f(g)f(h)f(g 1 ) = f(g)e 2 (f(g)) 1 = e 2 = ghg 1 H. Dowód implikacji (= ) pokrywa się z następującą konstrukcją. Grupa ilorazowa G/H i homomorfizm naturalny G G/H: Niech G będzie grupą z działaniem μ : G G G a H G będzie dowolną podgrupą. Wtedy ograniczenie μ G H daje prawe działanie grupy H na zbiorze G. Orbita elementu g G pod względem tego działania ma postać gh = {gh h H} i nazywa się prawą warstwą g ze względu na H. Zbiór takich warstw oznaczamy G/H. Zbiór G jest sumą rozłączną warstw (jako że dowolny zbiór z działaniem grupy jest sumą rozłączną orbit). Ponadto, wszystkie warstwy mają jednakową moc, równą mocy H: odwzorowanie H h gh gh jest bijekcją. Lemat Niech H G będzie podgrupą normalną. Wtedy: 1. każda prawa warstwa gh pokrywa się z lewą warstwą Hg := {hg h H}; 2. wzór gh g H = (g g )H zadaje poprawnie określone działanie μ : G/H G/H G/H spełniające aksjomaty działania grupowego; 1 Słowo prostych piszemy w cudzysłowie, ponieważ cegiełki mogą mieć dosyć skomplikowaną strukturę. Na przykład tzw. grupa Potwór (ang. Monster), będąca grupą prostą w sensie definicji, którą poznamy za moment, liczy = elementów, zob. 6

7 3. odwzorowanie π : G G/H, π(g) := gh jest homomorfizmem grup. Dowód: 1. ghg 1 H ghg 1 = H gh = Hg 2. Poprawność: niech g 1 gh, g 1 g H, wtedy istnieją h H, h H takie, że g 1 = gh, g 1 = g h. Mamy g 1 H g 1H = (g 1 g 1)H = ghg h H = ghg H = ghhg = ghg = gg H. Łączność: (gh g H) g H = (gg )H g H = (gg )g H = g(g g )H = gh (g g )H = gh (g H g H). Element neutralny: ehgh = egh = gh = geh = gheh. Element odwrotny: g 1 HgH = g 1 gh = eh = gg 1 H = ghg 1 H. 3. π(gg ) = gg H = ghg H = π(g)π(g ), π(e) = eh. Uwaga I: Homomorfizm π jest epimorfizmem (czyli jest surjektywny). Uwaga II: Żeby jakiś epimorfizm f : G 1 G 2 był izomofrizmem, wystarczy i dosyć, żeby jego jądro było trywialne (tj. ker f = {e 1 }) (Ćwiczenie). Obraz homomorfizmu: Lemat Obraz H 2 := im f homomorfizmu f : G 1 G 2 jest pogrupą w G 2 izomorficzną z G 1 /H 1, gdzie H 1 := ker f. Dowód: Jeśli a, b H 2, to istnieją a 1, b 1 G 1 takie, że f(a 1 ) = a, f(b 1 ) = b. Wtedy f(a 1 b 1 ) = f(a 1 )f(b 1 ) = ab, czyli H 2 H 2 H 2. Z kolei, f(a 1 1 ) = (f(a 1 )) 1 = a 1 implikuje (H 2 ) 1 = H 2. f Szukany izomorfizm określimy wzorem G 1 /H 1 gh 1 f(g) H2. Odwzorowanie f jest określone poprawnie: jeśli g gh inny przedstawiciel warstwy, to g g 1 = h dla pewnego h H, i f(g )(f(g)) 1 = f(h) = e 2 skąd f(g ) = f(g). Podobnie sprawdzamy, że jest homomorfizmem oraz że ma trywialne jądro. Przykład: Każda podgrupa H grupy abelowej G jest normalna. W szczególności, jeśli weźmiemy G = Z, H = nz, otrzymujemy grupę cykliczną Z n := Z/nZ. Przykład: Obrazem homomorfizmu exp(2πi ) : (R, +) (C =0, ) jest podgrupa U(1) (C =0, ), a jego jądrem podgrupa (Z, +). Mamy więc izomorfizm R/Z = U(1). Przykład: Niech sign : S n (R =0, ) homomorfizm odwzorowujący permutację τ w ±1 w zależności od znaku τ. Jądrem jest tutaj grupa alternująca A n permutacji parzystych, a obrazem grupa 2-elmentowa {±1} izomorficzna z Z 2. Mamy izomorfizm S n /A n = Z2. Przykład: Niech G będzie dowolną grupą. Określmy odwzorowanie φ : G Aut(G) wzorem g A g, A g (h) := ghg 1 (poprawność: A g (hh ) = ghh g 1 = ghg 1 gh g 1 = A g (h)a g (h ), A g (e) = e, A 1 g = A g 1). Ponadto, samo φ jest homomorfizmem: A gg = A g A g, A e = Id G. Jego obraz Int(G) Aut(G) nazywamy grupą automorfizmów wewnętrznych. Okazuje się, że Int(G) podgrupa normalna w Aut(G): jeśli f : G G dowolny automorfizm, to f A g f 1 (h) = f(g[f 1 (h)]g 1 ) = f(g)f[f 1 (h)]f(g 1 ) = A f(g) (h), czyli f Int(G) f 1 Int(G). Grupę ilorazową Out(G) := Aut(G)/Int(G) nazywamy grupą automorfizmów zewnętrznych grupy G. Grupy proste: Są to grupy G nie posiadające nietrywialnych (czyli rożniących się od G i {e}) podgrup normalnych. 7

8 Uwaga: W przypadku grup topologicznych lub Liego w definicji grup prostych dopuszczamy istnienie nietrywialnych normalnych podgrup dyskretnych 2. Np. prosta grupa Liego SL(R 2 ) ma nietrywialną dyskretną podgrupę normalną {±I}. To właśnie grupy proste są cegiełkami, dającymi się sklasyfikować. 2 Dyskretność podgrupy H G oznacza dyskretność H jako przestrzeni topologicznej, czyli istnienie dla każdego punktu h H otoczenia nie przecinającego się z otoczeniami innych punktów z H. 8

9 3 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. I Literatura dodatkowa: [Kir72, Kir76] Poniżej określimy sposoby sklejania cegiełek, czyli budowania z kilku grup jednej, bardziej skomplikowanej grupy. Iloczyn prosty grup G 1,..., G n : Jest to zbiór G 1 G n wyposażony w działanie (g 1,..., g n ) (h 1,..., h n ) := (g 1 h 1,..., g n h n ) z elementem neutralnym (e 1,..., e n ) oraz (g 1,..., g n ) 1 := (g1 1,..., gn 1 ). (Poniżej będziemy nieco nietradycyjnie oznaczać elementy iloczynu kartezjańskiego nawiasami kwadratowymi [ ].) Przykład: Grupa GL + (2, R) := {A Mat(2, R) det A > 0} jest izomorficzna z R >0 SL(2, R), gdzie SL(2, R) := {A Mat(2, R) det A = 1}. Rzeczywiście, izomorfizm zadajemy wzorem F : R >0 SL(2, R) GL + (2, R), F ([x, X]) := xx a jego odwrotność to Z [ det Z, Z/ det Z]. Iloczyn półprosty G 2 G 1 grup G 2 i G 1 : Załóżmy, że mamy działanie grupy G 2 na grupie G 1, respektujące strukturę grupy na G 1. Innymi słowy, zadany jest homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) (w takiej sytuacji można też powiedzieć, że jest zadana reprezentacja grupy G 2 w grupie G 1 ). Określamy działanie na zbiorze G 2 G 1 : [g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ] := [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] (tutaj oznaczyliśmy f g2 h 1 := f(g 2 )h 1 ). Łączność: ([g 2, g 1 ] [h 2, h 1 ]) [j 2, j 1 ] = [g 2 h 2, g 1 f g2 h 1 ] [j 2, j 1 ] = [(g 2 h 2 ) j 2, (g 1 f g2 h 1 ) f g2 h 2 j 1 ] = [g 2 h 2 j 2, (g 1 f g2 h 1 ) (f g2 f h2 j 1 )] = [g 2 h 2 j 2, g 1 (f g2 h 1 f g2 (f h2 j 1 ))] = [g 2 (h 2 j 2 ), g 1 (f g2 (h 1 f h2 j 1 ))] = [g 2, g 1 ] [h 2 j 2, h 1 f h2 j 1 ] = [g 2, g 1 ] ([h 2, h 1 ] [j 2, j 1 ]) Element neutralny: [e 2, e 1 ] Element odwrotny: [g 2, g 1 ] 1 := [g2 1, f g 1 g ] Inne oznaczenie dla G 2 G 1 to G 2 f G 1. Przykład: Grupa O(R 2 ) liniowych odwracalnych przekształceń ortogonalnych płaszczyzny euklidesowej jest izomorficzna z iloczynem Z 2 SO(R 2 ) grupy Z 2 = {±1} z grupą obrotów[ SO(R] 2 ). a b Rzeczywiście, O(R 2 ) jest izomorficzna z grupą O(2, R) = {A Mat(2, R) AA T = I} = { c d a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0} a SO(R 2 ) z SO(2, R) = {A O(2, R) det A = 1}). Określmy homomorfizm [ f : {±1} ] Aut(SO(2, R)) wzorem 1 Id, 1 L, gdzie L : O φ cos φ sin φ O φ, tutaj O φ := ) jest macierzą obrotu o kąt φ. Zauważmy, że L rzeczywiście jest sin φ cos φ elementem Aut(SO(2, R)): odwzorowanie L : SO(2, R) [ SO(2, R) ] jest ograniczeniem do SO(2, R) 0 1 automorfizmu wewnętrznego A g grupy O(2, R), gdzie g = (Ćwiczenie: sprawdzić ten fakt). 1 0 Ponadto, ponieważ g 2 = I, odwzorowanie f jest homomorfizmem. Zostało zbudować izomorfizm F : Z 2 f SO(2, R) O(2, R). Połóżmy σ(1) := 0, σ( 1) := 1 oraz F ([x, X]) := Xg σ(x) (mamy f(x) = A g σ(x)). Wtedy F ([x, X] [y, Y ]) = F ([xy, XA g σ(x)(y )]) = Xg σ(x) Y g σ(x) g σ(xy) = Xg σ(x) Y g σ(x2y) = Xg σ(x) Y g σ(y) = F ([x, X]) F ([y, Y ]). Homomorfizm odwrotny: F 1 (Z) := [det Z, Zg σ(det Z) ]. (Ćwiczenie: sprawdzić, że F F 1 (Z) = Z oraz F 1 F ([x, X]) = [x, X].) Przykład: Grupa GL(2, R) := {A Mat(n, R) det A = 0}, jest izomorficzna z R SL(2, R), gdzie SL(2, R) : {A Mat(2, R) det A = 1}, a R to inne oznaczenie dla grupy (R =0, ). Rzeczywiście, określmy odwzorowanie τ : R {0, 1}, τ(x) := σ(sign(x)), oraz homomorfizm f : R 9

10 Aut(SL(2, R)), f(x) := A g τ(x). Izomorfizm F : R f SL(n, R) GL(n, R) określamy wzorem F ([x, X]) := xxg τ(x). Ćwiczenie: zbudować izomorfizm odwrotny, sprawdzić szczegóły. Przykład: Grupa SE(2, R) := SO(2, R) f R 2 ruchów płaszczyzny euklidesowej. Tutaj f : SO(2, R) Aut(R 2 ) standardowe działanie grupy obrotów płaszczyzny na płaszczyźnie. Uwaga 1: Jeśli f jest homomorfizmem trywialnym, to G 2 f G 1 = G2 G 1. Pytanie 1: Czy bywają nietrywialne f, dla których też G 2 f G 1 = G2 G 1? Bardziej ogólnie: jeśli f, f : G 2 Aut(G 1 ) dwa homomorfizmy, kiedy istnieje izomorfizm G 2 f1 G 1 = G2 f2 G 1 Uwaga 2: odwzorowanie π : [g 2, g 1 ] g 2 : G G 2 jest epimorfizmem grup: π([g 2, ][h 2, ]) = π([g 2 h 2, ]) = g 2 h 2 = π([g 2, ])π([h 2, ]). Stąd mamy wnioski: a) {e} G 1 = ker π podgrupa normalna w G = G 2 f G 1 ; b) G/G 1 = G2 (izomorfizm grup). Pytanie 2: Czy każda grupa G posiadająca podgrupę normalną G 1 jest izomorficzna z G 2 f G 1, gdzie f pewien homomorfizm z grupy ilorazowej G 2 = G/G 1 w grupę Aut(G 1 )? W celu znalezienia odpowiedzi na to pytanie wprowadźmy kilka nowych pojęć. Ciąg dokładny homomorfizmów grup: Jest to ciąg f k 1 G k f k Gk+1 grup i ich homomorfizmów taki, że im f k 1 = ker f k dla każdego k. ι Krótki ciąg dokładny: Jest to ciąg dokładny postaci { } G 1 G π G 2 { }. W szczególności mamy: ker ι = {e}, czyli ι jest włożeniem (monomorfizmem); im π = G 2, czyli π jest epimorfizmem; im ι = ker π, czyli podgrupa im ι = G 1 jest podgrupą normalną, a grupa G 2 jest izomorficzna z grupą ilorazową G/G 1. Rozszerzenie grupy G 2 za pomocą grupy G 1 : Jest to krótki ciąg dokładny postaci { } G 1 Przykład: G = G 2 f G 1, ι (g 1 ) := [e, g 1 ], π ([g 2, g 1 ]) := g 2. ι G π G 2 { }. (1) ι Równoważność rozszerzeń: Rozszerzenia { } G 1 G π ι G 2 { } oraz { } G 1 G π G 2 { } są równoważne, jeśli istnieje izomorfizm Q : G G dla którego następujący diagram jest przemienny: G ι π Q { } ι G 1 G π G 2 { } Pytanie 2 teraz można przeformułować w nieco węższym kontekscie. Pytanie 2 : czy każde rozszerzenie { } G 1 G π ι π ι G 2 { } jest równoważne z { } G 1 G1 f G 2 G2 { } dla pewnego f? Pytanie 1, natomiast, teraz sformułujemy w następujący sposób. Pytanie 1 : dla jakich f, f ι π ι π rozszerzenia { } G 1 G1 f G 2 G2 { } oraz { } G 1 G1 f G 2 G2 { } są równoważne? Spróbujemy dać na odpowiedź na te pytania w terminach tzw. kohomologii grupy G 2 w szczególnym przypadku abelowej grupy G 1. Założenie o grupie G 1 : Od tego momentu zakładamy, że G 1 jest abelowa. Operację w G 1 będziemy oznaczali plusem, element neutralny zerem, a element odwrotny minusem (tzw. notacja addytywna). 10

11 Kohomologie grupy G 2 o wartościach w (abelowej) grupie G 1 : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) ustalony homomorfizm. Dowolną funkcję c : G n 2 G 1 nazywamy n-kołańcuchem na G 2 o wartościach G 1. Zbiór n-kołańcuchów oznaczmy przez C n (G 2, G 1 ) (tworzy on grupę abelową ze względu na dodawanie funkcji). Z definicji C 0 (G 2, G 1 ) = G 1. Określmy odwzorowania d i : C i (G 2, G 1 ) C i+1 (G 2, G 1 ) d 0 c(g) := f g c c, c G 1, g G 2 ; d 1 c(g, h) := f g c(h) c(gh) + c(g), g, h G 2, c C 1 (G 2, G 1 ); d 2 c(g, h, j) := f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h), g, h, j G 2, c C 2 (G 2, G 1 ). Łatwo się sprawdza (Ćwiczenie:), że 1) d i jest homomorfizmem grup; 2) d i+1 d i = 0. Z 2) mamy wniosek: im d i ker d i+1. Mówimy, że Z i (G 2, G 1 ) := ker d i jest i-tą grupą kocykli, B i (G 2, G 1 ) := im d i jest i-tą grupą kobrzegów, a H i (G 2, G 1 ) := ker d i / im d i 1 jest i-tą grupą kohomologii grupy G 2 ( o wartościach w G 1, lub, bardziej dokładnie, w reprezentacji f ). 11

12 4 Iloczyny proste i półproste oraz rozszerzenia grup, cz. II Próba odpowiedzi na pytanie 2 : Rozważmy rozszerzenie (1). Najpierw zauważmy, że w tej sytuacji mamy jednoznacznie określone działanie G 2 na G 1, czyli homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ). Istotnie, każdy element g G określa automorfizm wewnętrzny A g, który zachowuje podgrupę G 1 ponieważ ona jest normalna. Czyli mamy homomorfizm F : G Aut(G 1 ), g A g G1. Elementy z G 1 leżą w jądrze tego homomorfizmu, bo G 1 jest abelowa, czyli F przepuszcza się przez G/G 1. Innymi słowy istnieje jedyny f : G 2 Aut(G 1 ) taki, że następujący diagram jest przemienny: G F π G/G 1 f Aut(G1 ) Następnie, wybierzmy cięcie odwzorowania π (czyli takie odwzorowanie s : G 2 G, że πs = Id G2 ) o własności s(e 2 ) = 0. Wybór takiego cięcia jest równoważny wyborowi jednego przedstawiciela s(g 2 ) w każdej warstwie π 1 (g 2 ), g 2 G 2, co, z kolei, jest równoważne utożsamieniu zbiorów G i G 2 G 1 a odwzorowań ι, π z włożeniem ι : g 1 [e, g 1 ] : G 1 G 2 G 1 oraz z rzutem π na pierwszą składową odpowiednio. (Istotnie, jeśli g 2 G 2, h π 1 (g 2 ) = G 1 s(g 2 ), to istnieje jedyne g 1 := h(s(g 2 )) 1 G 1 takie, że h = g 1 s(g 2 ). Punkt h utożsamiamy z parą [g 2, g 1 ].). Dalej zakładamy, że G = G 2 G 1 (jako zbiór) i pytamy jakie mnożenia (działania grupowe) w G 2 G 1 są dopuszczalne, czyli takie, że odwzorowania ι, π są homomorfizmami grup. Lemat Dopuszczalne mnożenia są postaci [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )], (2) gdzie c(e, e) = 0 oraz c Z 2 (G 2, G 1 ), czyli jest kocyklem. Ponadto, jeśli c, c są dwoma kocyklami odpowiadającymi równoważnym rozszerzeniom, to c c B 2 (G 2, G 1 ), czyli istnieje q C 1 (G 2, G 1 ) o własności c c = dq. Przy tym q(e) = 0. Uwaga: 12

13 Dowód: Sposób utożsamienia G z G 2 G 1 implikuje wzór [e, h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + h 1 ], g i, h i G i. Istotnie, element h 1 π 1 (e 2 ) utożsamia się z [e, h 1 (s(e 2 )) 1 ] = [e, h 1 ], element g π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, g 1 ] (tutaj g 1 := g(s(g 2 )) 1 ), skąd element h 1 g π 1 (e 2 g 2 ) = π 1 (g 2 ) utożsamia się z [g 2, h 1 g(s(g 2 )) 1 ] = [g 2, h 1 g 1 ] = [g 2, h 1 + g 1 ]. Z kolei, sposób zadania homomorfizmu f daje [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 = [e, f g2 h 1 ]. Fakt, że π jest homomorfizmem oznacza w szczególności, że [g 2, 0][h 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] dla pewnego c C 2 (G 2, G 1 ). Używając tych wzorów dostajemy oraz [g 2, g 1 ][e, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][g 2, g 1 ] 1 [g 2, g 1 ] = [e, f g2 h 1 ][g 2, g 1 ] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ] [g 2, g 1 ][h 2, h 1 ] = [g 2, g 1 ][e, h 1 ][h 2, 0] = [g 2, g 1 + f g2 h 1 ][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2, 0][h 2, 0] = [e, g 1 + f g2 h 1 ][g 2 h 2, c(g 2, h 2 )] = [g 2 h 2, g 1 + f g2 h 1 + c(g 2, h 2 )]. Ponieważ ι ma być homomorfizmem, mamy ι (g 1 )ι (h 1 ) = [e, g 1 ][e, h 1 ] = [e, g 1 +f e h 1 +c(e, e)] = [e, g 1 + h 1 ] = ι (g 1 + h 1 ). Stąd c(e, e) = 0. Teraz sprawdźmy warunek kocyklu: ([g 2, 0][h 2, 0])[j 2, 0] = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 )][j 2, 0] = [g 2 h 2 j 2, c(g 2, h 2 ) + c(g 2 h 2, j 2 )] [g 2, 0]([h 2, 0][j 2, 0]) = [g 2, 0][h 2 j 2, c(h 2, j 2 )] = [g 2 h 2 j 2, f g2 c(h 2, j 2 ) + c(g 2, h 2 j 2 )]. Równoważność Q : G 2 G 1 G 2 G 1 rozszerzeń odpowiadających kocyklom c i c oznacza istnienie odwzorowania q : G 2 G 1 takiego, że 1) Q([g 2, g 1 ]) = [g 2, g 1 + q(g 2 )] 2) Q jest homomorfizmem. Warunek 2) implikuje następujące równości: Q([g 2, 0][h 2, 0]) = Q([g 2 h 2, c(g 2, h 2 )]) = [g 2 h 2, c(g 2, h 2 ) + q(g 2 h 2 )] = Q([g 2, 0])Q([h 2, 0]) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) + f g2 q(h 2 ) + c (g 2, h 2 )]. Stąd c(g 2, h 2 ) c (g 2, h 2 ) = f g2 q(h 2 ) q(g 2 h 2 ) + q(g 2 ). Mamy też 0 = c(e, e) c (e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e). Uwaga: Jeśli kocykl c jest kobrzegiem, czyli c = dq dla pewnego q C 1 (G 2, G 1 ), to odwzorowanie s : g 2 [g 2, q(g 2 )] : G 2 G 2 G 1 jest homomorfizmem. Istotnie, wyrażenie s (g 2 h 2 ) = [g 2 h 2, q(g 2 h 2 )] jest równe s (g 2 )s (h 2 ) = [g 2, q(g 2 )][h 2, q(h 2 )] = [g 2 h 2, q(g 2 ) f g2 q(h 2 )+c(g 2, h 2 )] wskutek definicji dq. Rozpoznawanie iloczynów półprostych wśród wszystkich rozszerzeń: Rozszerzenie (1) jest równoważne z { } G 1 G 1 f G 2 G 2 { } jeśli i tylko jeśli odwzorowanie π posiada cięcie 13

14 s : G 2 G będące homomorfizmem grup. Istotnie, poprzez wybór cięcia s : G 2 G (nie będącego w ogólności homomorfizmem) utożsamiamy G z G 2 G 1 a samo s z odwzorowaniem g 2 [g 2, 0]. Równowazność z iloczynem półprostym G 1 f G 2 oznacza trywialność kocyklu c (czyli istnienie q takiego, że c = dq) i homomorficzność nowego cięcia s : g 2 [g 2, q(g 2 )]. Uwaga: Element q C 1 (G 2, G 1 ) taki, że dq = c jest określony z dokładnością do dodawania elementów kobrzegowych da (tutaj a G 1, da(g 2 ) = f g2 a a). Cięcie s : G 2 G, s (g 2 ) := [g 2, q(g 2 ) da(g 2 )], jest otrzymane z ciecia s zastosowaniem automorfizmu wewnętrznego A a : G G, czyli s = A a s. Istotnie, [e, a][g 2, q(g 2 )][e, a] 1 = [g 2, a q(g 2 )][e, a] = [g 2, a q(g 2 ) f g2 a]. Przykład rozszerzenia nie bedącego iloczynem półprostym: Rozważmy tzw. grupę Heisenberga składającą się z macierzy postaci 1 a b 0 1 c Jasne, że jako zbiór ona może być utożsamiona z R 3. Mnożenie natomiast jest zadawane następującym wzorem: [x, y, z][x, y, z ] = [x + x, y + y + xz, z + z ]. Jest to rozszerzenie grupy abelowej G 2 = (R 2, +) za pomocą grupy abelowej G 1 = (R, +) z kocyklem c([x, z], [x, z ]) := xz (i trywialnym działaniem f). Kocykl ten nie może być kobrzegiem: kobrzeg dq(g, h) = q(h) q(gh)+q(g) na grupie abelowej jest funkcją symetryczną argumentów g, h. Kocykl c, natomiast, funkcją symetryczną nie jest. W szczególności z tego wynika też, że grupa kohomologii H 2 (C 2, C 1 ) jest nietrywialna. Uwaga: Powyższy lemat pokazuje, że grupa kohomologii H 2 (G 2, G 1 ) jest w bijekcji z klasami równoważności rozszerzeń grupy G 2 za pomocą grupy G 1. Ćwiczenie: Pokazać, że klasy autorównoważności rozszerzenia (1) modulo autorównoważności pochodzące z automorfizmów wewnętrznych A a, gdzie a G 1, są w bijekcji z grupą H 1 (G 2, G 1 ). Odpowiedź na pytanie 1 : Ponieważ homomorfizm f : G 2 Aut(G 1 ) jest jednoznacznie wyznaczony przez rozszerzenie (1), rozszerzenia { } G 1 ι G1 f G 2 π G2 { } oraz { } G 1 ι G 1 f G 2 π G2 { } są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy f = f. Zadania na ćwiczenia. Inne spojrzenie na działanie grupy na zbiorze: Niech ν : G X X będzie lewym działaniem grupy G na zbiorze X. Pokazać, że: 1) przy ustalonym g G odwzorowanie x ν(g, x) : X X jest bijekcją, czyli ν(g, ) S X ; 2) odwzorowanie g ν(g, ) : G S X jest homomorfizmem grup. Odwrotnie, każdy homomorfizm f : G S X zadaje działanie ν : G X X według wzoru ν(g, x) := f g x (tutaj f g := f(g)). Działanie z kocyklem : Niech f : G 2 Aut(G 1 ) będzie homomorfizmem, a q Z 1 (G 2, G 1 ) pewnym kocyklem. Pokazać, że odwzorowanie f : G 2 S G1, f g2 g 1 := f g2 g 1 + q(g 2 ), jest homomorfizmem, czyli zadaje działanie G 2 na G 1 za pomocą przekształceń afinicznych. Przykład 1: Niech G 2 := (R n, +), G 1 := (R m, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) homomorfizm trywialny. Pokazać, że każdy operator liniowy q : R n R m jest kocyklem. Znaleźć orbitę i stabilizator każdego punktu x R m ze względu na działąnie z kocyklem f. Przykład 2: Niech G 2 := SO(2, R), G 1 := (R 2, +) i niech f : G 2 Aut(G 1 ) działanie naturalne. Rozważmy kocykl q = da będący kobrzegiem (tutaj a G 1, q(g 2 ) := f g2 a a, g 2 G 2 ). Opisać 14

15 działanie z kocyklem f. Odpowiedź: działanie f polega na obrotach płaszczyzny wokół elementu a. 15

16 5 Elementy teorii grup krystalograficznych Literatura dodatkowa:[szc] 3 Dygresja o topologii Przestrzeń topologiczna: Zbiór X wraz z rodziną podzbiorów {U α } α A własnościach: nazywanych otwartymi o 1. zbiory oraz X są otwarte; 2. zbiór α B jest otwarty dla dowolnego podzbioru B A 3. przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Rodzinę {U α } α A nazywamy topologią na X. Przykład 1: Rodzina zbiorów otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej. Przykład 2: Topologia dyskretna składa się ze wszystkich podzbiorów zbioru X. Przykład 3: Niech X przestrzeń topologiczna, Y X pewien podzbiór. Topologia indukowana na Y składa się ze wszystkich przecięć zbiorów otwartych w X z podzbiorem Y. Odwzorowanie ciągłe φ : X Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi: jest to odwzorowanie takie, że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego (w Y ) jest otwarty (w X). Podzbiór zwarty K X: Jest to podzbiór o tej własności, że z dowolnego pokrycia α B U α K zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone. Topologia ilorazowa: Niech X będzie przestrzenią przestrzeń topologiczną, a R X X relacją równoważności. Zbiór X/R = X/ klas równoważności posiada naturalną topologię zwaną ilorazową. Jest to najmocniejsza (czyli najbogatsza ) topologia na X/R, w której rzut naturalny π : X X/R jest ciągły. Zbiór U X/R jest w niej otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy π 1 (U) jest otwarty w X. Przykład: Niech X = R 2 i niech (a, b) (c, d) def a = c. Wtedy X/ naturalnie utożsamia się z R, a topologia ilorazowa pokrywa się ze standardową topologią na R. def Uwaga: Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to relacja a b g G a = gb jest relacją równoważności (Ćwiczenie: sprawdzić). Zbiór X/ (oznaczany przez X/G) jest zbiorem orbit działania G na X. Przykład: Niech X = R 2 i niech grupa SO(2, R) działa w sposób naturalny na X. Wtedy przestrzeń orbit X/G z topologią ilorazową jest promieniem {x R x 0}. Jeśli C n SO(2, R) jest grupą cykliczną generowaną przez obrót o kąt 2π/n, to X/C n jest stożkiem. Grupa euklidesowa: Niech R n będzie wyposażone w standardowy iloczyn skalarny ( ). Odwzorowanie φ : R n R n o własności (φ(x) φ(y)) = (x y) x, y R n nazywamy izometrią. Ćwiczenie: sprawdzić, że izometrie tworzą grupę względem złożenia odwzorowań. Lemat Każda izometria φ : R n R n jest superpozycją t a A przekształcenia ortogonalnego A O(R n ) i translacji t a : R n R n, x x + a, a R n. 3 Zob. także 16

17 Dowód: ćwiczenie. Grupę izometrii nazywamy grupą euklidesową i oznaczamy E(R n ). Lemat Grupa E(R n ) jest izomorficzna z iloczynem półprostym O(n, R) R n =: E(n, R). Dowód: Niech [A] będzie macierzą odwzorowania A w dowolnej bazie ortonormalnej, a [a] kolumną współrzędnych elementu a. Określmy odwzorowanie t a A ([A], [a]) : E(R n ) O(n, R) R n. Dla x R n mamy (t b B) (t a A)x = (t b B)(Ax + a) = BAx + Ba + b, wiec złożenie izometrii indukuje następujące działanie grupowe na O(n, R) R n : ([B], [b])([a], [a]) := ([B][A], [B][a] + [b]). Poniżej pod grupą euklidesową będziemy rozumieć grupę E(n, R). Kozwarta grupa Γ E(n, R): Jest to podgrupa grupy euklidesowej taka, że przestrzeń orbit R n /Γ jest zwarta. Przykład: Podgrupa Γ = {t a a Z n R n } = Z n translacji całkowitoliczbowych jest kozwarta. Przestrzeń orbit R n /Z n jest torusem n-wymiarowym. Obszar fundamentalny: Niech Γ E(R n ) będzie dowolną podgrupą. Podzbiór F R n nazywamy obszarem fundamentalnym działania Γ na R n, jeśli gf = R n g Γ oraz g int(f ) g int(f ) = dla g = g. Tutaj int(f ) jest zbiorem punktów wewnętrznych zbioru F, czyli takich punktów p F, które posiadają otoczenie otwarte (czyli zbiór otwarty U p) zawarte w F. Przykład: Kwadrat domknięty o boku 1 jest obszarem fundamentalnym dla działania grupy Γ = Z n. Obszarem fundamentalnym dla działania skończonej grupy obrotów C n jest domknięty wycinek nieograniczony o kącie 2π/n. Krystalograficzna grupa Γ wymiaru n: Jest to dyskretna 4 i kozwarta podgrupa grupy euklidesowej E(n, R). Przykład: Γ = Z n. Twierdzenie (Bieberbacha) 1. Jeżeli Γ E(n, R) jest grupą krystalograficzną, to jej zbiór translacji Γ t := Γ (I R n ) jest normalną podgrupą abelową skończonego indeksu (ostatnie oznacza, że grupa ilorazowa Γ/Γ t jest skończona). Ponadto, Γ t jest maksymalna podgrupą abelową w Γ (czyli nie zawiera się w żadnej większej podgrupie abelowej) i jest izomorficzna z Z n. 2. Dla każdego n istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru n. 3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru n są izomofriczne wtedy i tylko wtedy, gdy są sprzeżone w grupie A(n, R) afinicznych przeksztalceń R n. 4 Zob. definicję podgrupy dyskretnej w przypisie na końcu Wykładu 2. Równoważna definicja: podzbiorem dyskretnym w przestrzeni topologicznej X nazywamy taki podzbiór Y X, że topologia indukowana na Y jest dyskretną. 17

18 (Bez dowodu.) Z punktu 1 wynika, że grupy krystalograficzne posiadają zwarte obszary fundamentalne. To stanowi podstawę ich zastosowań w krystalografii: ciało stałe jest kryształem (w odróżnieniu od kwazikryształów i ciał amorficznych), jeśli jego struktura atomowa jest okresowym powtórzeniem ograniczonego kawałka tej struktury. Przykład: Grupa Z 1 := {t (n,0) n Z} E(2, R) nie ma zwartego obszaru fundamentalnego. Twierdzenie (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupą krystalograficzną wymiaru n wtedy i tylko wtedy, gdy ma normalną podgrupę abelową skończonego indeksu izomorficzną z Z n, będącą maksymalną podgrupą abelową. Dowód: Jedna z implikacji jest punktem 1 twierdzenia Bieberbacha. Żeby udowodnić drugą rozważmy następujący diagram przemienny: { } Z n Γ G { } { } ι 1 R n Γ ι 2 G { } ι 4 { } R n A(n, R) GL(n, R) { }, którego składniki określimy poniżej. W pierwszym wierszu G := Γ/Z n, czyli mamy rozszerzenie odpowiadające włożeniu podrgupy normalnej Z n w grupę Γ i rzutowi na odpowiednią grupę ilorazową. Grupę Γ określmy jako iloczyn półprosty G R n, a odwzorowanie ι 1, jako włożenie standardowe. Przypomnijmy sobie, że pierwszy wiersz jednoznacznie określa homomorfizm grup f : G Aut(Z n ) (wybieramy cięcie s : G Γ i określamy f(g) jako A s(g) Z n). Zauważmy, że Aut(Z n ) = GL(n, Z) (ostanie wyrażenie oznacza grupę takich macierzy odwracalnych X, że X i X 1 mają współczynniki całkowite 5 ) i oznaczmy przez f złożenie f : G GL(n, Z) GL(n, R) = Aut(R n ), gdzie jest włożeniem naturalnym. Żeby określić odwzorowanie ι 2 najpierw zróbmy utożsamienie zbiorów φ s : Γ G Z n (za pomocą cięcia s). Przypomnijmy również, że rozszerzenie z pierwszego wiersza zadaje kocykl c Z 2 (G, Z n ) (odpowiadający homomorfizmowi f) określony z dokładnością do dodawania kobrzegów. Ponieważ każdy kocykl na G o wartościach w Z n może być uważany za kocykl na G o wartościach w R n (ostatni oznaczmy przez c), na iloczynie kartezjańskim G R n mamy strukturę grupy, zadaną wzorem (2) (zob. lemat o dopuszczalnych mnożeniach z poprzedniego wykładu) z homomorfizmem f i kocyklem c. Natępnie skorzystamy z faktu, że H 2 (G, R n ) = 0, który przyjmiemy bez dowodu. Fakt ten mówi, że każdy 2-kocykl na G o wartościach w R n jest kobrzegiem. W szczególności istnieje q C 1 (G, R n ) 5 izomorfizm grupy Aut(Z n ) z grupą GL(n, Z) buduje się w sposób następujący. Niech e 1,..., e n Z n R n będą elementami bazy standardowej. Wtedy każdy φ Aut(Z n ) reprezentuje się w sposób jednoznaczny macierzą o wyrazach całkowitych, której kolumny są współczynnikami rozkładu φ(e j ) po tej że bazie. Macierz odwrotna będzie miała wyrazy całkowite, ponieważ odwzorowanie φ 1 rozumiane jako odwzorowanie R n R n zachowuje kratę Z n R n, w szczególności φ 1 (e j ) muszą mieć współczynniki całkowite rozkładu po bazie standardowej. Zauważmy, że każdy inny wybór bazy Ae 1,..., Ae n, gdzie A GL(n, Z), zadaje inny izomorfizm Aut(Z n ) = GL(n, Z). ι 3 18

19 taki, że dq = c. Z ogólnej teorii wiemy, że q określa pewną bijekcję G R n G R n, zadającą izomorfizm wyżej określonej grupy G R n z iloczynem półprostym Γ := G f R n. Oznaczmy tę bijekcję przez ι 2, a ι 2 określmy jako złożenie G = G Z n G R n ι 2 Γ. Teraz połóżmy ι 3 := f i zauważmy, że maksymalność podgrupy abelowej Z n implikuje monomorficzność odwzorowania f. Istotnie, jeśli g G jest nietrywialnym elementem należącym do jądra f, to A s(g) zostawia każdy element z Z n na miejscu, czyli s(g) komutuje z Z n. Wtedy podgrupa generowana przez Z n i s(g) jest abelowa. Z drugiej strony s(g) Z n (bo s(g) leży w nietrywialnej warstwie), co przeczy maksymalności Z n. Wreszcie określimy odwzorowanie ι 4. Grupa A(n, R) afinicznych przekształceń przestrzeni R n jest iloczynem półprostym GL(n, R) R n (dowód jest analogiczny jak w przypadku grupy euklidesowej). Odwzorowanie ι 4 jest naturalnym włożeniem jednego iloczynu półprostego (G ι3 R n ) w drugi (GL(n, R) R n ). Ponieważ wszystkie odwzorowania ι j są monomorfizmami, mamy włożenie grupy Γ w grupę A(n, R). Zostało pokazać, że tak naprawdę G leży w O(n, R) GL(n, R). To wynika z następującego lematu, który udowodnimy w teorii reprezentacji. Lemat Każda skończona grupa macierzy n n o wyrazach rzeczywistych jest sprzężona do grupy macierzy ortogonalnych. Z lematu tego wynika, że Γ jest izomorficzna z podgrupą w E(n, R). Dyskretność tej podgrupy wynika z tego, że jako zbiór jest ona iloczynem prostym zbioru skończonego G oraz podzbioru dyskretnego Z n R n. Kozwartość, z kolei, wynika z tego, że Γ t = Z n (tę implikację przyjmujemy bez dowodu). Algorytm Zassenhausa klasyfikacji grup krystalograficznych: Powyższy dowód sugeruje pewną metodę klasyfikacji grup krystalograficznych. Składa się ona z następujących kroków: 1. Opisać wszystkie skończone podgrupy G grupy GL(n, Z) (z dokładnością do izomorfizmu). 2. Opisać wszystkie włożenia ι : G GL(n, Z) = Aut(Z n ), czyli działania wierne (z dokładnością do równoważności). 3. Obliczyć H 2 (G, Z n ) dla wszystkich grup z p. 1 i dla wszystkich działań z p Określić które z grup otrzymanych za pomocą odpowiednich kocykli są izomorficzne (rozszerzenia odpowiadające różnym elementom H 2 (G, Z n ) są nierównoważne, ale odpowiednie grupy mogą być izomorficzne). Ilustracja algorytmu Zassenhausa dla grup tapetowych Grupami tapetowymi nazywamy grupy krystalograficzne wymiaru n = 2. Następujący lemat opisuje wynik 1-go i 2-go kroku algorytmu. Lemat (Ograniczenie krystalograficzne). Niech G GL(2, Z) będzie podgrupą skończoną. Wtedy G jest izomorficzna z jedną z następujących grup {I}, C 2, C 3, C 4, C 6, D 2, D 3, D 4, D 6. Przy tym grupa C 2 ma 3 nierównoważne włożenia, a grupy D 2 i D 3 ma ich 2. 19

20 Lemat ten przyjmujemy bez dowodu, ale spróbujmy zrobić następujące Ćwiczenie: znaleźć (chociażby jedno) włożenie grup C 3, C 6 w GL(2, Z). Trzy nierównoważne włożenia grupy C 2 = {e, v} w GL(2, Z) zadają się wzorami v M i, i = 1, 2, 3, gdzie M 1 := [ ], M 2 := [ ], M 3 := [ ] odpowiednio. Zadanie na ćwiczenia: Obliczyć grupę H 2 (C 2, Z 2 ) dla trzech powyższych działań C 2 na Z 2 i zbudować odpowiednie grupy tapetowe. Rozwiązanie: Rozważmy warunek kocyklu c Z 2 (G, G 1 ): f g c(h, j) c(gh, j) + c(g, hj) c(g, h) = 0, g, h, j G. Podstawiając g, e, e lub e, e, j zamiast g, h, j otrzymujemy odpowiednio f g c(e, e) = c(g, e), c(e, j) = c(e, e). W szczególności z tych wzorów wynika, że do tego, żeby określić 2-kocykl c na grupie dwuelementowej G = C 2 = {e, v} wystarczy określić c(e, e) oraz c(v, v). Zobaczmy, jakie ograniczenia na elementy c(e, e), c(v, v) grupy G 1 nakłada warunek kocyklu. Łatwo sprawdzić, że jedyne niezależne ograniczenie otrzymujemy, gdy podstawiamy v, v, v zamiast g, h, j: f v c(v, v) c(e, v) + c(v, e) c(v, v) = 0 (tutaj skorzystaliśmy z tego, że v 2 = e), lub, z uwzględnieniem powyższych wzorów: f v c(v, v) c(e, e) + f v c(e, e) c(v, v) = 0. (3) Podobnie, każdy 1-kołańcuch q C 1 (C 2, G 1 ) określony jest przez zadanie q(e) oraz q(v), a z definicji różniczki d mamy Z. dq(e, e) = q(e) q(e) + q(e) = q(e), dq(g, g) = f g q(g) q(e) + q(g). Niech G := C 2, G 1 := Z 2, c(e, e) := (a, b), c(v, v) := (r, s), q(e) := (m, n), q(v) := (k, l), a, b, r, s, m, n, k, l Przypadek 1: f : C 2 GL(2, Z), f v := M 1. Wtedy warunek kocyklu (3) implikuje wiąz ( r, s) (a, b) + ( a, b) (r, s) = 0, skąd r = a, s = b. Zbadajmy, czy kocykl c może być kobrzegiem dq: (a, b) = c(e, e) = dq(e, e) = q(e) = (m, n), (r, s) = c(v, v) = dq(v, v) = ( k, l) (m, n) + (k, l) = ( m, n). Czyli, jeśli określimy q(e) := (a, b), a q(v) dowolnie, będziemy mieli c = dq. Innymi słowy H 2 (C 2, Z 2 ) = 0 w tym przypadku. Odpowiednia grupa tapetowa naprzykład może być generowana przez elementy t (0,0) M 1, t (1,0), t (0,1) i być grupą symetrii poniższej tapety 20

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

O centralizatorach skończonych podgrup

O centralizatorach skończonych podgrup O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G; 1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Maria Donten Nr albumu: 209516 Rozmaitości Kummera Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie MATEMATYKI OGÓLNEJ Praca wykonana

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Chemii I Zadania

Matematyczne Metody Chemii I Zadania Matematyczne Metody Chemii I Zadania Mariusz Radoń, Marcin Makowski, Grzegorz Mazur Zestaw Zadanie. Pokazać, że wyznacznik dowolnej macierzy unitarnej jest liczbą o module. Zadanie. Pokazać, że elementy

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład VI Elementy teorii grup Wstęp do teorii grup Teoria grup (TG) = matematyka symetrii liczne zastosowania w fizyce i chemii Odpowiada na ważne pytanie: jakie

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa nad pierścieniami

Algebra liniowa nad pierścieniami Algebra liniowa nad pierścieniami Wykład monograficzny Kazimierz Szymiczek Przedmowa Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. Irving Kaplansky Niniejszy skrypt jest zapisem wykładu monograficznego

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Stopień Brouwera

ROZDZIAŁ 1. Stopień Brouwera ROZDZIAŁ 1 Stopień Brouwera 1. Definicja i własności stopnia W tym podrozdziale przypominamy w zarysie definicję stopnia Brouwera (stopnia topologicznego) oraz podstawowe jego własności. Czytelnik, dla

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Wydział Matematyki i Fizyki Kierunek: Matematyka Sekcja teoretyczna PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY NA PŁASZCZYŹNIE Zbigniew Galias opiekun: doc. Jerzy

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo