KARTA PRACY NAUCZYCIELA

Transkrypt

1 KARTA PRACY NAUCZYCIELA Przedmiot: Klasa: Temat: Data Uwagi: Matematyka III gimnazjum Objętość brył podobnych Nie wszystkie zadania muszą zostać wykonane. Wszystko zależy od poziomu wiadomości danej klasy. Lp. Z a d a n i a + Rozwiązania Uwagi do zadań 1 Sprawdzenie zadania domowego Przypomnienie wiadomości * Jeżeli dana jest pewna liczba k, to podobieństwem o skali k nazywamy każde takie przekształcenie płaszczyzny, w którym dla dowolnych punktów A, B płaszczyzny oraz ich obrazów A`, B` prawdziwa jest równość: A`B` = k * AB. * Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco: dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą. * W figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych: odpowiadające sobie kąty są przystające; stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa, stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa, stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa. * Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych. * Niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw to: stosunek długości odcinków, równość odcinków, miara kąta. O figurach podobnych mówimy, gdy mamy do czynienia z figurami o tych samych kształtach lecz innych wielkościach. Figury podobne to więc np. wszystkie okręgi, kule, koła, wielokąty foremne, wielościany foremne, o ile mają taką samą liczbę boków, i parabole. Nie wszystkie wiadomości zostaną podane uczniom. Jest to tylko informacja dla nauczyciela oraz ciekawych studentów. 2 Powiemy, że figury F oraz F` są podobne w skali k, jeżeli figura F` jest obrazem figury F w podobieństwie o skali k. Podobieństwo figury F i figury F` zapisuje się w następujący sposób F F`. Podobieństwo figur: jeśli mamy dwie figury podobne F i F`, gdzie F` jest obrazem figury F w jakieś skali k, gdzie k jest większe od zera, to pole powierzchni figury F` jest iloczynem kwadratu skali podobieństwa i pola figury F. Wzór Pole F` = k² x Pole F. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

2 Objętość brył podobnych W 1638 roku, na 4 lata przed śmiercią, Galileusz wydał dzieło Rozmowy i dowodzenia matematyczne podsumowujące jego dokonania z zakresu mechaniki. W pracy tej znalazły się też rozważania na temat gigantycznych budowli, zwierząt i roślin. Galileusz wyobraził sobie krowę trzy razy większą od krowy, jaką wszyscy znamy (czyli pomyślał o zwierzęciu podobnym, w sensie geometrycznym, do zwykłej krowy w skali 3). Stosunek objętość brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa, więc objętość ciała takiej krowy-olbrzyma byłaby 33, czyli 27 razy większa od objętości ciała zwykłej krowy. Oznacza to, że również masa olbrzyma byłaby 27 razy większa od masy krowy Każde dwa sześciany są podobne. Na rysunku powyżej skala podobieństwa k=3/2 (skalę podobieństwa możemy też zapisać jako 3:2). Dwie figury przestrzenne (bryły) są podobne, jeśli odległości między punktami jednej figury są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej figury. Stosunek odległości między odpowiednimi punktami figur podobnych nazywamy skalą podobieństwa. Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa a:b, to stosunek pól powierzchni tych brył jest równy a 2 :b 2, stosunek objętości a 3 :b 3 Ćwiczenie. Ile wynosi skala podobieństwa dwóch kul, jeśli stosunek objętości tych kul jest równy: a) 1/216 b) 125/27 c) 0,216 d) 0,064 Odpowiedź: a) 1:6, b) 5:3, c) 3:5, d) 2:5

3 Zadanie. Dwa graniastosłupy podobne mają objętości odpowiednio: V 1 = 729 dm 3 i V 2 = 216 dm 3. Jaka jest skala podobieństwa tych graniastosłupów? Dane: V 1 = 729 dm 3 objętość pierwszego graniastosłupa podobnego V 2 = 216 dm 3 objętość drugiego graniastosłupa podobnego Szukane: k - Skala podobieństwa objętości brył podobnych Rozwiązanie: V 1 /V 2 = 216/729 = 6 3 / 9 3 = 6/9 Odpowiedź: Skala podobieństwa graniastosłupów wynosi 6/9. Zadanie. Krzysztof nalał sok do szklanki o objętości V = 200 ml. Po czym wypił kilka łyków soku. Ile zostało jeszcze soku dla jego kolegi Grzesia, jeżeli przyjmiemy skalę podobieństwa k = 8 nalanego soku do wypitego soku. 200 ml / V = 2 3 \*V 200 ml = 8 * V \:8 V = 200 ml / 8 = 25 ml Dominikowi pozostało 25 ml soku. Zadanie. Wykonaj: a) Pole powierzchni jednego sześcianu jest czterokrotnie większe od pola powierzchni drugiego sześcianu. Jaki jest stosunek objętości tych sześcianów? b) Dane są dwie kule. Objętość pierwszej kuli jest równa 36 π cm, a druga kula ma promień dwa razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Podaj objętość drugiej kuli. Jaki jest stosunek pól powierzchni tych kul? Zadanie. Wyznacz stosunek długości promieni 2 kul wiedząc że : a)stosunek pól jest równa 1/25 b) stosunek ich objętości jest równa 1/64 Zadania te można też rozwiązać korzystając z podanych danych oraz wzorów na pole powierzchni kuli oraz na objętość kuli. Wzory: V=4/3 π r 2 [j 3 ] Pc=4 π r 2 [j 2 ]) a)p 1 /P 2 = 1/25 = k² k = 1/5, zatem stosunek długości promieni ( lub średnic) tych kul = 1/5. Korzystamy z twierdzenia: Stosunek pół figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa ( każde dwie kule są podobne). b)v 1 /V 2 = 1/64 = k³ k = (1/64) = 1/4 Zatem stosunek długości promieni ( lub średnic) tych kul jest = 1/4 Korzystamy z twierdzenia Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa. Zadanie na ocenę przygotowane dla osób przeszkadzających na lekcji.

4 Zadanie. Na rysunkach przedstawiono bryły podobne. Wyznacz x. Podaj skalę podobieństwa bryły mniejszej do większej. 10 a) 3,6 / 9 = 0,4 b) 3,6 / 6 = 0,6 x / 6 = 0,4 \*6 x / 9 = 0,6 \*6 x = 2,4 x = 5,4 V = Pp * h / 3, gdzie Pp pole podstawy V = a * b * c Duży Duży Pp = a 2 Vduży = 6 * 9 * 10 = 540 Pp= 9^2=81 Mały Vduży = 81 * 6 / 3=162 Vmały = 3,6 * 5,4 * 6 = 116,64 Mały Vmały / Duży = 116,64 / 540 = 0,6 3 Pp= 3,6 * 3,6 = 12,96 Skala podobieństwa bryły mniejszej do większej wynosi 0,6 Vmały = 12,96 * 2,4 / 3 = 10,368 Vmały/Duży =10,368 / 162 = 0,064 = 0,4 3 Skala podobieństwa bryły mniejszej do większej wynosi 0,4 Zadanie. Promienie podstaw dwóch walców oraz ich wysokości są równe odpowiednio: r 1, h 1 i r 2, h 2. Sprawdź, czy te walce są podobne a) r 1 = 12 cm, h 1 = 15 cm, r 2 = 20 cm, h 2 = 24 cm, b) r 1 = 9 cm, h 1 = 12 cm, r 2 = 12 cm, h 2 = 16 cm, 11 V = π r 2 h a) V 1 = π * 12 2 * 15 = 2160 π V 2 = = π * 20 2 * 24 = 9600 π V 1 / V 2 = 2160 π / 9600 π = 0,225 k= (pierwiastek 3 stopnia z liczby 0,225) = 6, Walce nie są podobne. b) V 1 = π * 9 2 * 12 = 972 π V 2 = = π * 12 2 * 16 = 2304 π V 1 / V 2 = 972 π / 2304 π = 0, k = (pierwiastek 3 stopnia z liczby 0,421875) = 0,75 Walce są podobne.

5 Zadanie. Przyjmując, że Ziemia i Księżyc są kulami i długość promienia Księżyca jest równa 25% długości promienia Ziemi, wyznacz stosunek ich powierzchni oraz ich objętości R Ziemi R Księżyca, gdzie R długość promienia R Księżyca =1/4 R Ziemi V Kuli =4/3 π r 3 P Kuli =4 π r 2 V Księżyca =4/3 π (1/4 R Ziemi ) 3 P Księżyca =4 π(1/4 R Ziemi ) 2 = 4 π(1/16) R 2 2 Ziemi = 1/4 π R Ziemi V Ziemi =4/3 π (R Ziemi ) 3 2 P Ziemi =4 π R Ziemi V Księżyca :V Ziemi =4/3 π (1/4 R Ziemi ) 3 / 4/3 π (R Ziemi ) 3 = 1:64 P Księżyca :P Ziemi = 1/4 π R 2 Ziemi / 4 π R 2 Ziemi = 1:16 Odpowiedź: V Księżyca :V Ziemi =1:64, P Księżyca :P Ziemi =1:16 Zadanie. Po dopompowaniu powierzchnia kulistego balonu zwiększyła się o 44%. O ile procent wzrosła objętość balonu? P Kuli =4 π r 2, V Kuli =4/3 π r 3 R=1,2r P 1 =4 π r 2 V 1 =4/3 π r 3 Po dopompowaniu powietrza: P 2 =1,44 * 4 π r 2 = 4 π R V 2 =4/3 π (1,2r) 3 =4 π*1,728 r 2 =4/3 π r 3 + 4/3 π r 3 *0,728 1,44 * 4 π r 2 = 4 π R 2 /4 π (V 2 - V 1 )/V 1 *100%=72,8% 1,44 r 2 = R 2 Odpowiedź: o 72,8% Zadanie. Dwa stożki są podobne. Pole powierzchni całkowitej większego stożka jest o 125% większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego stożka. Oblicz wysokość większego stożka, jeśli wysokość mniejszego jest równa 6 cm. Zadanie. Stożek o objętości V=27 π cm 3 przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku 2:1 (rysunek poniżej). Oblicz objętości brył powstałych w wyniku tego podziału. Zadanie na ocenę przygotowane dla osób przeszkadzających na lekcji. 15 k/r=3k/r V Mały = (1/3) 3 * V Duży =(1/27)* 27 π cm 3 = π cm 3 V Stożka =1/3 π r 2 h 3r=R V Stożek Ścięty =27 π cm 3 - π cm 3 = 26 π cm 3 V Duży =27 π cm 3 r=r/3 H=3h, h=1/3, k=1/3 Odpowiedź: V Mały = π cm 3, V Stożek Ścięty =26 π cm 3

6 Zadanie domowe Zadanie. Ostrosłupy prawidłowe O 1, O 2, O 3 i O 4 są podobne. Podaj skalę podobieństwa ostrosłupów. Uzupełnij tabelkę.: a) O 1 i O 2 b) O 1 i O 3 c) O 2 i O 3 d) O 3 i O 4 Ostrosłup Wysokość Krawędź podstawy Pole podstawy Objętość 16 O 1 8 cm 6 cm 36 cm 2 96 cm 3 O 2 12 cm 9 cm 81 cm cm 3 O 3 16 cm 12 cm 144 cm cm 3 O 4 4 cm 3 cm 9 cm 2 12 cm 3 a) k = O 1 /O 2 = 6/9 = 2/3 b) k 2 = O 1 /O 3 = 36/144 = 1/4, k=1/2 c) k = O 2 /O 3 = 12/16 = 3/4 d) k 3 = O 3 /O 4 = 768/12 = 64 k=4 Odpowiedź: a) 2:3, b) 1:2, c) 3:4, d) 4:1 Wnioski:..