Numeryczne rowiązywanie równań różniczkowych

Transkrypt

1 Numeryczne rowiązywanie równań różniczkowych Dawid Toton 5 listopada 004 Dlaczego jest interesujące? Konspekt seminarium wygłoszonego wiele równań różniczkowych spotykanych w praktyce nie ma analitycznych rozwiązań często interesują nas same wartości funkcji spełniających równanie, czasem nawet nie na całym rozważanym obszarze chcemy badać przykładowo) układy elektroniczne właściwości mechanicznych konstrukcji zachowanie się płynów np. w celu optymalizacji kształtu pojazdów) fale w niejednorodnych ośrodkach przy skomplikowanych warunkch brzegowych np. grzanie kurczaka w mikrofalówce) Przykład równanie opisujące rozchodzenie się fal dźwiękowych w powietrzu): ρ 0 t v x, t) + p x, t) = e s x, t) 1) 1 ρ 0 c t p x, t) + div v x, t) = j s x, t) 1 Jakie równania różniczkowe? Równania zwyczajne zawierają pochodne funkcji tylko jednej zmiennej. Równania cząstkowe zawierają pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. I analityczne, i numeryczne rozwiązywanie ich jest trudniejsze. Równania cząstkowe drugiego rzędu a takie występują najczęściej) dzielą się na: x ϕ + β x y ϕ + γ y ϕ + δ x ϕ + ɛ y ϕ + ζϕ = 0 α 1

2 równania eliptyczne, β 4γα < 0 np. równanie Laplace a ψ = 0), paraboliczne, β 4γα = 0 np. równanie przepływu ciepła t T = κ T ), i hiperboliczne, β 4γα > 0 np. równanie falowe Jak rozwiązać numerycznie?.1 Przybliżamy funkcję pamiętając wartości w punktach siatki regularnej innej rozwijając funkcję w szereg potęgowy przez wielomiany ortogonalne w szereg Fouriera. Metoda różnic skończonych t ψ = c ψ). Znajdźmy najprostszy sposób rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Najpierw równanie rzędu > 1 zamieniamy na układ równań 1. rzędu. Przykładowo: d y x dy + q x) dx = r x) zamieniamy na: dz = r x) q x) z dx dy dx = z Różniczki zamieniamy na różnice i otrzymujemy: { z = r x) x q x) z x y = z x Możemy otrzymać każde równanie postaci dx dy = f x, y,...). ) 3)

3 Jakie różnice skończone? Możemy przyjąć, że: albo x i = x i+1 x i x i = x i x i 1 oznacza wsteczną różnicę). Nazwa metoda Eulera dotyczy raczej przypadku x = x = h = const. Otrzymujemy więc dwa warianty metody Eulera: y n = y n 1 + hf x n 1, y n 1 ) y n hf x n, y n ) = y n 1 Pierwszy z nich choć dużo prostszy) wymaga, by h było odpowiednio małe warunek Courant-Friedrich-Lévy jakby stożka światła )..3 Metoda Adamsa Aby błąd przy przeskakiwaniu do kolejnych punktów był mniejszy wykorzystamy rozwinięcie w szereg: d i x y = y n + 1 dy i n i! x x n) i Rozwiązujemy równanie postaci: i=1 dy = f x, y) dx Niech q n oznacza pierwszą pochodną w punkcie x n, Oznaczmy j-tą różnicę wsteczną odpowiadającą j + 1)-wszej pochodnej): Otrzymuje się wzór: y n+1 = y n + h.4 Predictor-corrector. q n = q n q n 1 j q n = j 1 q n j 1 q n 1 q n + 1 q n q n + 3 ) 8 3 q n Jeśli odwołujemy się do wielu poprzednich punktów, to metodę nazwywa się multistep. Jeśli połączymy tą ideę z użyciem równania na y n+1 w niejawnej postaci jak we wstecznej metodzie Eulera), to otrzymamy koncepcję zwaną predictor-corrector: y n+1 = y n + h a 0 q n+1 + a 1 q n + a q n ) 3

4 Krok przewidywania polega na przyjęciu a 0 = 0. Otrzymana wstępnie wartość a n+1 służy do obliczenia wartości pełnej prawej strony i dokładniejszego y n+1 korekcja ). Dla wygody ze względu na warunki brzegowe i potrzebę dopasowywania x) stosuje się równoważną metodę, polegającą na wyznaczaniu współczynników rozwinięcia w szereg w każdym punkcie. Lepszą metodę uzyskujemy, jeśli wstępnie przewidywaną wartość obliczymy nie w punkcie x n+1, ale w x n+ 1. 4

5 .5 Metoda Rungego-Kutty Wróćmy więc do prostych wzorów metody Eulera. Na drugorzędową tzn. błąd O h 3) ) metodę Rungego-Kutty second oreder Runge-Kutta method; midpoint method) można spojrzeć tak: drugi z pary kolejnych kroków y n y n 1, y n 1 y n ) z metody Eulera zastępujemy dwukrotnie większym y n y n ), wykorzystującym poprzedni do lepszego obliczenia prawej strony tzn. f x + 1, y + 1 ) ). Otrzymujemy równania: y n+ 1 = y n + 1 hf x n, y n ) ) y n+1 = y n + hf x n+ 1, y n+ 1 Często korzystnie jest użyć przybliżenia czwartego rzędu z trzema próbnymi punktami):.6 Bulirsch-Stoer k 1 = hf x n, y n ) k = hf x n + h, y n + k ) 1 k 3 = hf x n + h, y n + k ) Y n+1 = y n + k k 3 + k hf x n+1, y n + k 3 ) Wiemy, że możemy uzyskiwać coraz lepszą dokładność: zagęszczając punkty siatki komplikując sposób przedłużania rozwiązania tak, aby wyzerować błędy kolejnych rzędów Dlaczego by nie spróbować odgadnąć rozwiązania nieskończenie dalece udoskonalonego? Ektrapolacja Richardsona polega na przewidzeniu dokładnego rozwiązania na podstawie prób z kilkoma wartościami pewnego parametru. Na przykład funkcję y n+1 h) przedłużamy poza wartości znane dla pewnych h i odczytujemy wartość y n+1 0). Bardzo zachwalana metoda Bulirsch-Stoer numerycznego rozwiązywania zwyczajnych równań różniczkowych to właśnie wykorzystuje: dla dużego kroku H dla kolejnych p ustalamy h = H p rozwiązujemy równanie w przedziale długości H sprawdzamy, czy aktualny błąd już nas zadowala obliczamy y na końcu przedziału H przez ekstrapolację funkcją wymierną 4) 5

6 .7 Metoda relaksacji relaxation method) Powyżej opisane metody polegają na przedłużaniu rozwiązania. Nasuwa się pytanie jak można znaleźć rozwiązanie inaczej? W wielu przypadkach szczególnie przy rozwiązywaniu równań cząstkowych) otrzymujemy do rozwiązania układ równań liniowych. Eliminacja Gaussa prowadzi praktycznie do wyznaczania kojenych y i. Istnieją jednak iteracyjne metody rozwiązywania równań macierzowych, które charakteryzują się tym, że w każdym kroku koryguje się wszystkie wartości y i. Ogólnie rzecz biorąc polega to na: przyjęciu jakiejś początkowej wartości wektora y i wstawieniu jej do rozwiązywanego równania na podstawie obliczonej różnicy między stronami koryguje się y i ) obliczenie wartości ston i poprawianie szukanych y i powtarza się Najczęściej mamy do rozwiązania równania z wielkimi rzadkimi macierzami często występuje macierz trójdiagonalna). Aby rozwiązanie iteracyjne się powiodło macierz musi spełniać warunki np. dla metody Jacobiego wartości na przekątnej muszą być większe od bezwzględnych wartości elementów stojących przy nich). Zauważmy, że jeśli np. nasz algorytm wygląda tak: x n+1 = x n + b A x) to można ekstrapolować otrzymywane wartości: x n+1 = ωx n+1 + ω 1) x n aby otrzymać lepszą zbieżność. Jeśli taką ekstrapolację zastosujemy do metody Gaussa-Seidela, otrzymamy algorytm zwany successive overrelaxation method, SOR. 6

7 .8 Metody wariacyjne Inna grupa metod opiera się na rozwinięciu w obcięty szereg, zamiast na próbkowaniu w punktach siatki. Zdarza się, że dla danego równania można skorzystać z zasady wariacyjnej. Przykład: Wyjściowe równanie różniczkowe 0 φ + φ = a jest równaniem Eulera-Lagrange a dla funkcjonału π ) ) 1 dφ I φ) = dx 1 dx φ + aφ Mamy: F x, y, y ) = 1 y 1 y + ay Poszukujemy minimum I φ): F y d dx F = y + a y y I A i = 0 gdzie a i oznaczają wzpółczynnki rozwinięcia φ. Np. dla szeregu potęgowego φ = N i=0 a ix i, otrzymujemy po całkowaniu) układ równań liniowych..9 Metoda objętości skończonych Znajdujemy wartość zachowaną, dzielimy przestrzeń na objętości. Układamy prawo zachowania dla każdej komórki i otrzymujemy układ równań do rozwiązania. Zalety: możliwa dokladniejsza reprezentacja warunków brzegowych wszystkie kierunki traktowane razem.10 Metody Monte-Carlo Najbardziej znanym przykładem tego typu rozwiązania jest błądzenie przypadkowe symulujące przewodzenie ciepła stan stacjonarny). Laplasjan dla dwóch wymiarów, na kwadratowej siatce: φ φ i 1,j + φ i+1,j + φ i,j 1 + φ i,j+1 4φ i,j Jeśli zapiszemy prawdopodobieństwo odwiedzin punktu i, j) w funkcji prawdop. odw. sąsiednich, otrzymamy równanie Laplace a przybliżone na siatce. 7

8 3 Metoda sznurkowa Oto propozycja innej metody, która została wymyślona tak, aby zwizualizowany proces optymalizacji wyglądał czytelnie i interesująco a która raczej nie ma znaczenia praktycznego). Rozwiazywane zwyczajne rownanie rozniczkowe: d n y f dx n, dn 1 y dy,..., dxn 1 dx, y ) = 0 Oznaczmy: f Pi n, P n 1 i,..., Pi 1 ), y i fi Energia funkcja celu z czlonem sznurkowym): E i) = k fi + i=1 k x i x i 1 ) + y i y i 1 ) s ) i=1 Interesuja nad skladowe grandientu w ukladzie parametrow optymalizacji. Sila dla optymalizacji po y m : k n f P F ym = f j i P j + y m i=1 j=0 +4 x m x m 1 ) + y m y m 1 ) s ) y m y m 1 ) + +4 x m+1 x m ) + y m+1 y m ) s ) y m+1 y m ) Pierwsza przyblizona pochodna: Pi 1 = 1 yi y i 1 + y ) i+1 y i x i x i 1 x i+1 x i Policzmy jej pochodna: P 1 i y m = 1 δim δ i 1)m x i x i 1 + δ ) i+1)m δ im x i+1 x i W przypadku rownania I rzedu, n = 1, otrzymujemy: f F ym = f i y + f Pj P 1 f m 1 y m )) + x m x m 1 ) + y m y m 1 ) s ) y m y m 1 ) + x m+1 x m ) + y m+1 y m ) s ) y m+1 y m ) Mając już obliczone wszystkie siły, możemy zastosować optymalizację przez symulację ruchu punktów x i, y i ) jako cząstek w potencjale E i). Ich ruch można obserwować, aby móc wywnioskować np. jak zmodyfikować funkcję celu, aby otrzymać lepszą zbieżność. Oczywiście są inne metody samej optymalizacji, które w tym wypadku okazałyby się wydajniejsze. 8

9 Literatura [1] Romuald Wit, Numeryczne metody rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych, Skrypt UJ, 198 [] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes in C, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 199. [3] MathWorld A Wolfram Web Resource. 9