Przedsmak nieskończoności

Transkrypt

1 Przedsmak nieskończoności Co to znaczy "nieskończoność"? Tak często używamy tego słowa, że już nic dla nas nie znaczy. Albo wydaje nam się, że to po prostu "taka niewyobrażalnie wielka liczba". A może chcesz poznać prawdziwą niewyobrażalnie wielką liczbę? Spróbujmy, a na koniec wrócimy do naszej nieskończoności. Poznajemy bohaterkę Jest sobie taka liczba, zwana na cześć swojego wynalazcy liczbą Grahama. Ma ona zastosowanie w pewnej konkretnej teorii matematycznej oraz w praktyce, ale o tym kiedy indziej. Oznacza się ją po prostu literą G: G = liczba Grahama Jest ogromna. Niewyobrażalnie ogromna. Fizycy się śmieją, że zanim byś się nauczył lub nauczyła na pamięć nawet części tej liczby, twoja głowa by implodowała i zamieniła się w czarną dziurę. Bo czarna dziura wielkości twojej głowy zawiera mniej informacji, niż ta liczba (a nic nie zawiera więcej informacji, w przeliczeniu na jednostkę objętości, niż czarna dziura). "Ha, ha, no dobrze, ogromna. Ale jak ogromna? Do czego można ją porównać?" Problem w tym, że nie ma za bardzo do czego. Ale spróbujmy jakoś ją sobie "wyobrazić". Olbrzymie, ale wyobrażalne Może liczba możliwych kombinacji ułożenia kafelków w kostce Rubika to duża liczba? No, całkiem spora: (ponad 43 tryliony). Ale nie wydaje się szczególnie gigantyczna. Mimo jej ogromu najlepsi układają kostkę Rubika w kilka sekund (nawet mi się udało zejść poniżej minuty, więc to nie może być trudne). To może słynny googol jest ogromną liczbą? Czyli jedynka i sto zer. Czy to dużo? Spróbujmy to sobie wyobrazić. Na początek wypełnijmy piaskiem całe pomieszczenie, w którym się znajdujesz. Ile to by było ziarenek piasku? Otóż, jeśli jesteś w przeciętnym pokoju przeciętnego mieszkania, to będzie tylko ~ (~50 bilionów) ziarenek piasku. Być może wydaje ci się, że liczba atomów w obserwowalnym Wszechświecie jest ogromna. Otóż niezbyt. Ta liczba to jedynie: Czyli jedynka z osiemdziesięcioma zerami. Nadal nieco nam brakuje. Nie ograniczajmy się do twojego pokoju, wypełnijmy piaskiem cały znany nam Wszechświat. Ile to będzie ziarenek piasku?

2 10 90 Dobrze, powiedzmy, że googol jest już w naszym zasięgu. Możemy pójść od razu o wiele dalej i dojść do liczby o nazwie googolplex, czyli 10 do potęgi googol: Zaczyna się robić ciekawie. Googolplexa można łatwo zapisać tak jak powyżej, ale gdybyśmy chcieli zapisać tę liczbę "normalnie" jako jedynkę i ciąg zer, to zabrakłoby atomów w znanym nam Wszechświecie, żeby to zrobić. Mało tego. Pójdźmy na całość i załóżmy, że umieszczamy pojedynczą cyfrę nie na atomie, ale w tzw. objętości Plancka: 4, m 3 To jest niewyobrażalnie mała objętość, nie dająca się zmierzyć żadnym istniejącym urządzeniem. Objętość protonu (samego protonu, nie mówiąc o atomie!) jest przy tym wręcz kolosalna: ~1, m 3 Ile więc cyfr możemy zapisać w ten sposób? Liczba dostępnych miejsc (czyli liczba objętości Plancka w znanym nam Wszechświecie) to w przybliżeniu: 8,29 x Czyli znów liczba całkiem "zwyczajna" i możliwa do wyobrażenia. I niestety za mała. Ilość cyfr w googolplexie jest o wiele większa. Czyli googolplex, jeśli chcielibyśmy ją zapisać jako jedynkę i ciąg zer, nie może się nijak zmieścić w znanym nam Wszechświecie. Jedyne sensowne porównanie, jakie znalazłem, brzmi tak: Gdybyśmy wypełnili szczelnie cały znany Wszechświat drobinami pyłu o rozmiarach 1,5 mikrometra (jednej tysięcznej milimetra), a następnie je ponumerowali, to dopiero liczba możliwych wersji tej numeracji(!) byłaby mniej więcej równa liczbie googolplex. Ciekawostka dla zaawansowanych: googolplex to liczba większa, niż liczba wszelkich możliwych kombinacji istnienia czy nieistnienia oraz stanów wszystkich znanych nam cząstek elementarnych mogących się zmieścić w przestrzeni, którą zajmuje twoje ciało. Ta liczba to jedynie : W praktyce oznacza to ciekawą rzecz: gdyby Wszechświat miał średnicę metrów, to istniałoby ogromne prawdopodobieństwo, że istniałby w tym Wszechświecie więcej niż jeden egzemplarz twojej osoby! Googolplex to rzeczywiście spora liczba, ale bez problemu można ją zapisać i zrozumieć, nawet jeśli cały znany Wszechświat wydaje się na to przyciasny. Tymczasem liczba Grahama nawet nie podniosła powieki i śpi spokojnie, niczym nie zagrożona. Wszystkie powyższe liczby, włącznie z megaolbrzymim i przekraczającym możliwości naszego Wszechświata googolplexem, są przy niej nie tyle śmiesznie małe, co po prostu bez znaczenia w ogóle. Nawet nie zaczęliśmy się zbliżać do czegoś porównywalnego z liczbą Grahama, a już "zużyliśmy" cały Wszechświat! Powiedzmy, że w przypadku googolplexa w pewnym sensie zbliżyliśmy się jedynie do miejsca, w którym zaczyna się droga prowadząca do liczby Grahama. Jednak jeśli chcemy dowiedzieć się

3 czegokolwiek konkretnego o naszej bohaterce, musimy spróbować innego podejścia. Krok po kroczku Zacznijmy od czegoś prostego. Jednym ze sposobów na uzyskanie dużej liczby jest dodawanie do siebie kolejnych liczb: 3+3+3=9 Znamy zapis, który pozwala nam skrócić całość do: 3 3=9 Zaszalejmy: 3 3 3=27 Albo prościej: 3 3 =27 Znowu zaszalejmy: 3 33 =3 27 = (ponad 7,6 biliona) Zobacz: dodaliśmy tylko jedno "pięterko" potęgowania, a nagle przeskoczyliśmy z 27 do ponad 7 bilionów(!). Jesteśmy na dobrej drodze, jednak liczba Grahama jest tak wielka, że zwyczajne dodawanie pięterek kolejnych potęg nie wystarczy. Trzeba sięgnąć po coś mocniejszego. Czas na strzałki, czyli notację strzałkową. Nie będę tutaj wyjaśniał, jak ona dokładnie działa, zamiast tego podam konkretne przykłady, które doprowadzą nas do celu. Zawrót głowy Jedna strzałka po prostu zastępuje potęgowanie: 3 3=3 3 =27 Wprowadzając podwójną strzałkę definiujemy ilość pięterek potęgowania. Zróbmy trzy pięterka z trójkami: 3 3 = 3 33 = 3 27 = Zwiększmy z 3 do 4 pięterek: 3 4 = = 3 To już jest spora liczba, ale nadal wyobrażalna (a w każdym razie łatwo zapisywalna). Co się jednak stanie, gdy dodamy trzecią strzałkę? 3 3 =??? Ta liczba to "trzy do potęgi trzy do potęgi trzy do potęgi trzy" i tak razy. Czyli ponad siedem bilionów pięterek! A już przy czterech pięterkach otrzymaliśmy bardzo ogromną liczbę. Liczba 3 3 jest już poza zasięgiem naszej wyobraźni. Zostawia daleko w tyle wszystko, co potrafimy sobie wyobrazić, wszystkie wcześniej wymieniane wielkie liczby, łącznie z googolplexem. Choćby podniesione do kwadratu. Ale to i tak nie jest nawet

4 mały ułamek liczby Grahama Lecz jesteśmy na dobrej drodze. Czas zrobić krok naprzód. Najpierw trzeba dodać jeszcze jedną strzałkę: 3 3 = g 1 Skoro poprzednia liczba jest totalnie nie do wyobrażenia, to tę możemy śmiało nazwać idiotycznie wielką. I to jest wreszcie malutki kroczek na drodze do liczby Grahama. Idźmy dalej: g 2 = 3 g 1 3 Ta liczba to dwie trójki, które pomiędzy sobą mają tyle strzałek, ile wynosi poprzednia liczba. Jeśli tamtą nazwaliśmy idiotycznie wielką, to ta jest zapewne kretyńsko-idiotycznie wielka. Idźmy dalej: g 3 = 3 g 2 3 (debilnie wielka liczba) g 4 = 3 g 3 3 (debilnie-kretyńsko-idiotycznie wielka liczba) i tak dalej, aż dojdziemy do: g 64 = 3 g 63 3 = G I to jest dopiero liczba Grahama. Przypomnijmy, że poza wszelką możliwą skalę wyobrażenia wyszliśmy już przy liczbie 3 3, zanim w ogóle doszliśmy do pierwszego kroku, czyli liczby 3 3 = g 1. Nikt nie wie (i pewnie nigdy się nie dowie), jaka jest pierwsza cyfra liczby Grahama. Możemy jedynie obliczać ostatnie cyfry. 500 ostatnich cyfr liczby Grahama wygląda tak: Możemy ciągnąć te obliczenia i poznawać kolejne cyfry, ale nie wystarczy całego czasu Wszechświata i całej przestrzeni Wszechświata, żeby poznać lub zapisać w sposób tradycyjny choćby mały ułamek tej liczby. A jednak potrafimy ją zapisać używając specjalnej notacji, no i potrafimy ją wykorzystać w praktyce. Być może to jest bardziej niesamowite od samej wielkości liczby Grahama. Odpocznijmy Uf. Jeśli nie zakręciło ci się w głowie, to znaczy, że prawdopodobnie nic nie rozumiesz. A jeśli rozumiesz wszystko, to twoja głowa prawdopodobnie niebawem implduje i zamieni się w czarną dziurę. A to tylko zwykła liczba.

5 Niewyobrażalnie wielka, ale jednak zwykła liczba. Dalej za nią stoi nieskończenie wiele liczb. Przecież jeśli potrafimy zapisać liczbę Grahama: g 64 = 3 g 63 3 = G ( 3 3 = g 1 ) to z łatwością możemy przeskoczyć do liczby, która zostawia liczbę Grahama daleko w tyle. Wystarczy zmienić "64" w tym wzorze na liczbę Grahama na przykład. Sama liczba Grahama stanie się wtedy pomijalnie mała. A każda nowa liczba nadal będzie pomijalnie mała przy nieskończoności. Bo nieskończoność to nie jest po prostu jakaś niewyobrażalnie wielka liczba. Nieskończoność to nie jest w ogóle żadna liczba, tylko pewna idea. Ale o tym kiedy indziej. Michał Terajewicz, Przypisy: