Laboratorium i projekt

Transkrypt

1 Odpowiedzialny za przedmiot: dr hab. inż. Przemysław Orłowski, prof. ZUT, Konsultacje pokój 409, tel Laboratorium i projekt S1 AiR semestr 6 Wymiar godzinowy: 15W 15L 15P (rok akademicki 2015/16) Plan laboratorium i projektu Ćwiczenie 1. Sformułowanie i wizualizacja zadania optymalizacji... 2 Ćwiczenie 2. Tekstowe zadania optymalizacji na przykładzie programowania liniowego Ćwiczenie 3. Identyfikacja parametrów modelu Ćwiczenie 4. Strojenie regulatora z wykorzystaniem metod optymalizacji Ćwiczenie 5. Simpleks Neldera-Meada Ćwiczenie 6. Metody gradientowe Ćwiczenie 7. Algorytm rojowy Projekt 1. Dobór nastaw regulatora dla obiektu z opóźnieniem Projekt 2. Regulacja prędkości silnika prądu stałego Egzamin Sprawozdania z ćwiczeń i projekty przesyłamy w postaci elektronicznej w formacie docx, doc, lub pdf (komendy, skrypty, opisy, wyniki i wykresy muszą być w jednym pliku). Istnieje możliwość zwolnienia z egzaminu pod określonymi warunkami. Nazwa pliku musi zawierać nazwisko nr albumu, akronim przedmiotu (IMO) oraz nr ćwiczenia (np. Lab1), np. IMOlab1 Nazwisko NrAlbumu W pierwszej linii sprawozdania proszę zapisać: IMO Lab01 Wto 8-10 Nazwisko Imię NrAlbumu AR31 moja_poczta@gmail.com

2 Sformułowanie i wizualizacja zadania optymalizacji Celem ćwiczenia jest opanowanie umiejętności sformułowania zadania optymalizacji w postaci standardowej, zapisania go w programie Matlab, oraz graficznego zilustrowania funkcji celu i ograniczeń dla dwuwymiarowych zadań optymalizacji. 1. Funkcja celu De Jonga dla 4 zmiennych 4x3 + 2x4 1+5x1 5 +2x3 +3x4 >=2x2 x4 + x3 = 3 2sinx1 +3x2 >= 3cosx3 + x4 + 1 x cosx1 = sinx1 2. Funkcja celu dla 2 zmiennych Funkcja Rosenbrocka - dolina bananowa Funkcja celu dla 2 zmiennych f(x1, x2) = ln(1 + (1 x1) (x2 x1 2 )) 2 2x x1 x1 +4x2 4>=0 2x1 = 2 + x2 2>=5(x1 2) 2 x1 + 2x2 2 x1 + 2x2 2 x x f(x1, x2) = 20 + x1 2 + x2 2 10(cos2πx1 + cos2πx2) x1 1 x1 1 x2 1 3b. Inne ograniczenia ta sama funkcja x2 1 x 1 2 = cos x 2 4 >= x1 + 4x2 2x1 1+ x2 x x1 2 x2 1

3 Sprawozdanie z LAB nr 1 na ocenę bdb powinno zawierać co najmniej: 1. Trzy funkcje celu (jedna z zajęć i dwie dowolnie wybrane z konspektu) 2. 3 zestawy ograniczeń: 2 zestawy dla funkcji 2 zmiennych i 1 zestaw dla 4 zmiennych Razem (1+2) min. 5 zadań 3. Rozwiązania graficzne dla funkcji 2 zmiennych ograniczenia + poziomice funkcji celu+ rozwiązanie z Matlaba, np.:

4 liniowego. Tekstowe zadania optymalizacji na przykładzie programowania Celem ćwiczenia jest opanowanie umiejętności przekształcenia tekstowego zadania optymalizacji do postaci standardowej, zapisanie i rozwiązanie go w programie Matlab, oraz graficzne zilustrowania funkcji celu i ograniczeń. Na ćwiczeniach laboratoryjnych rozwiązujemy kilka przykładowych zadań, reszta dla dociekliwych. Przydatna komenda linprog. Sprawozdanie na ocenę BDB powinno zawierać: 1. Sformułowanie zadania i rozwiązanie co najmniej 9 zadań z podanego pliku pdf, przy czym suma numerów porządkowych wykonanych zadań musi wynosić co najmniej 80 (wg. numeracji zadań). Wartość sumy należy jawnie obliczyć i podać na początku sprawozdania. 2. Dla wszystkich wybranych zadań należy zilustrować graficznie ograniczenia i wynik, np.: ZADANIA: 1. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków z których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I jedn., środek II jedn. Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów podano poniżej. Środki produkcji Jedn. nakłady środka W1 Jedn. nakłady środka W2 I 6 6 II 10 5 Zdolność produkcyjna nie pozwala produkować więcej niż 4000 szt. wyrobów W2 natomiast nie ma ograniczeń w stosunku do wyrobów W1. Cena sprzedaży obu wyrobów jest taka sama. Zaznacz w układzie współrzędnych obszar rozwiązań dopuszczalnych, gradient funkcji celu, warstwice funkcji celu. Ustał rozmiar produkcji maksymalizujący zysk ze sprzedaży wyrobów W1 i W2. 2. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków z których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I jedn., środek II jedn. Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów podano poniżej. Środki produkcji Jedn. nakłady środka W1 Jedn. nakłady środka W2

5 I II Zdolność produkcyjna nie pozwala produkować więcej niż 3000 szt. produktu W1 oraz 4000 szt. wyrobów W2. Stosunek produkcji wyrobów W1 do W2 musi wynosić 3:2. Cena sprzedaży (w zł) wyrobów wynosi W1 30, W2 40. Zaznacz w układzie współrzędnych obszar rozwiązań dopuszczalnych, gradient funkcji celu, warstwice funkcji celu. Ustał rozmiar produkcji maksymalizujący zysk ze sprzedaży wyrobów W1 i W2. 3. Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów używa się trzech obrabiarek oznaczonych symbolami O, P, i F. Czas pracy (w godz.) tych maszyn jest ograniczony i wynosi: O 33000, P 13000, F Zużycie czasu pracy maszyn na produkcje jednostki wyrobów podano poniżej. Maszyny Czas pracy na jedn. W1 Czas pracy na jedn. W2 O 3 1 P 1 1 F 5 8 Zysk ze sprzedaży (w zł) wyrobów wynosi W1 1, W2 3. Wyrobu W2 nie daje się sprzedać więcej niż 7000 szt. Zaznacz w układzie współrzędnych obszar rozwiązań dopuszczalnych, gradient funkcji celu, warstwice funkcji celu. Ustał rozmiar produkcji maksymalizujący zysk ze sprzedaży wyrobów W1 i W2. Czy optymalna struktura produkcji ulegnie zmianie jeśli zysk ze sprzedaży wyrobu I wzrośnie do 4 zł? 4. Dobierz skład mieszanki paszowej składającej się z dwóch produktów P1 i P2. Mieszanka musi dostarczyć składników odżywczych S1, S2 i S3 w ilości nie mniejszej niż określone w tabeli minimum. Cena produktu P1 wynosi 6 zł, P2 9 zł. Zminimalizuj koszt zakupu produktów P1 i P2 potrzebnych do wytworzenia mieszanki paszowej Składniki Zawartość składnika w1kg mieszanki P1 Zawartość składnika w1kg mieszanki P2 Łączna minimalna ilość składnika w mieszance S S S Dwa gatunki węgla A i B zawierają zanieczyszczenia fosforem i popiołem. Niezbędne jest dobranie co najmniej 90 ton opału zawierającego nie więcej niż 0,03% fosforu i nie więcej niż 4% popiołu. Procent zanieczyszczeń i ceny zakupu podano w tabeli. Jak zmieszać oba gatunki węgla, aby uzyskać najtańsze paliwo spełniające stawiane wymagania? Węgiel % zawartość zanieczyszczeń fosforu % zawartość zanieczyszczeń popiołu Cena zakupu 1 t węgla A 0, B 0, Czy skład paliwa należy zmienić jeśli cena węgla B wzrośnie do 200 zł za tonę?

6 6. Do produkcji dwóch wyrobów P1 i P2 zakład może kupić za tę samą cenę jedną z dwóch technologii: A lub B. Zużycie w kg. trzech limitowanych surowców S1, S2, S3 na jedną sztukę wyrobu podano w tabeli. Limity wykorzystania surowców w tonach są następujące: S1 12, S2 9, S3 6. Cena sprzedaży wyrobu P1 wynosi 100 zł, a produktu P2 300 zł. Którą technologię należy wybrać, aby zmaksymalizować przychód z łącznej sprzedaży wyrobów P1 i P2? Zużycie surowca na 1 szt. wyrobu w kg. Technologia A Technologia B S1 S2 S3 S1 S2 S3 P P Przedsiębiorstwo Kop z nami wykonuje wykop pod budynek. Na stanie przedsiębiorstwa są samochody 8 i 10 tonowe. Koparka wykonująca wykop może załadować maksymalnie 25 jednostek w ciągu zmiany bez względu na pojemność samochodu. Na jeden kurs samochód 8 tonowy zużywa 6 litrów paliwa, 10 tonowy 8 litrów. Żaden z samochodów nie jest w stanie wykonać więcej niż 20 kursów w ciągu zmiany. Dzienny limit paliwa wynosi 196 litrów. Ile cykli przewozowych należy zaplanować dla każdego z dwóch typów samochodów, aby objętość wywiezionego gruntu była największa? Czy zlikwidowanie limitu zużywanego paliwa zmieni rozwiązanie? 8. Zakład dysponuje jednym urządzeniem do produkcji mieszanek betonowych A i B. Mieszanki rozwożone są tym samym typem wywrotki. Urządzenie produkujące mieszanki w ciągu jednej godziny jest wstanie wyprodukować 14 wywrotek mieszanki A lub 7 wywrotek mieszanki B. Ze względu na różne odległości do odbiorców samochody są w stanie przewieść mieszankę A siedem razy na godzinę lub 12 razy na godzinę mieszankę B. Urządzenie do załadunku jest w stanie obsłużyć nie więcej niż 8 samochodów na godzinę bez względu na rodzaj mieszanki. Zysk ze sprzedaży mieszanki A wynosi 50 zł za wywrotkę a 100 zł za mieszankę B. Ile wywrotek mieszanki A i B powinien produkować zakład, aby zmaksymalizować dochód ze sprzedaży betonów? Do ilu należałoby zwiększyć moc urządzenia załadunkowego, aby nie stanowiło ograniczenia wzrostu sprzedaży produkowanych mieszanek betonowych? 9. Przedsiębiorstwo budowlane produkuje dwa elementy: A i B ze sprzedaży których uzyskuje zysk odpowiednio 300 i 450 zł. Do produkcji zużywa się dwa materiały (stal i blachę), których miesięczne dostawy są w ograniczonej ilości. W procesie produkcji używa się trzech maszyn o limitowanej miesięcznej przepustowości wyrażonej w maszynogodzinach. Dane o wielkości zapasów, przepustowości maszyn i norm użycia materiałów i maszyn przy produkcji jednego elementu podane są w tabeli. Rodzaj zasobu Wielkość zapasów Norma zużycia na jedn. wyr. A Norma zużycia na jedn. wyr. B Stal [kg] Blacha [m 2 ] Wózek widłowy [mg] Giętarka [mg] Nożyce [mg] Zysk [zł] Wyznacz plan produkcji maksymalizujący zysk ze sprzedaży elementów A i B. Czy zwiększenie miesięcznych dostaw stali i blachy przyczyni się do osiągnięcia większego zysku?

7 Co stanowi wąskie gardło produkcji? Jeśli zysk ze sprzedaży elementu B spadnie do 350 zł czy należy zmienić plan produkcji? 10. Stolarnia otrzymała zamówienie na 1000 stojaków. Do zbudowania każdego stojaka wymagane jest użycie jednej belki 3m oraz trzech belek 2,5m. Na składzie są dłużyce o długości 5,7m. Jak i ile najmniej trzeba pociąć dłużyc, aby zrealizować zamówienie i łączna suma odpadów (odcinków krótszych od 1m) była najmniejsza? Czy sposób cięcia należy zmienić, jeśli za odpad uznamy odcinki krótsze od 0,5m? 11. Zakład wytwarza dwa rodzaje przecierów: SMAK i ŁASUCH. Produkty są pakowane w identyczne opakowania, których łącznie dziennie można zużyć maksymalnie 8000 szt. Sprzedaż każdego opakowania przecieru SMAK przynosi 0.40 zł zysku a ŁASUCHA ze względu na promocję stratę 10 gr na opakowaniu. Aby ŁASUCH zaistniał na rynku musi być produkowany co najmniej w ilości 1000 opakowań dziennie. Jednak ze względów ekonomicznych ustalono, że jego produkcja nie może przekroczyć 250% przecieru SMAK i dodatkowo 1000 opakowań. Ze względów technologicznych produkcja przecieru SMAK może być co najwyżej trzy razy taka jak przecieru ŁASUCH. Ustal wielkość dziennej produkcji obu przecierów maksymalizujący zysk ze sprzedaży. 12. Uprawa określonego gatunku zboża daje maksymalne plony, gdy gleba zostanie nawieziona trzema mikroelementami: A, B i C. Substancje te wchodzą w skład nawozów mineralnych azotowego i fosforowego, których maksymalna łączna dawka na 1 ha nie może przekroczyć 30 kg. Tablica podaje zawartość mikroelementów w 1kg każdego z nawozów i minimalną wymaganą dawkę poszczególnych mikroelementów na 1 ha uprawy. Mikroelementy Zawartość mikroelementów w g w1kg nawozu azotowy fosforowy Minimalna dawka mikroelementu w g na 1ha A B C Cena 3.5 zł 3 zł Wiadomo, że zawartość mikroelementu A w dawce nawozowej nie może przekroczyć sumy zawartości mikroelementów B i C w tej dawce. - Określ strukturę i wielkość nawożenia, aby koszt zakupu był minimalny. - Sprawdź, czy zastosowanie 20 kg nawozy azotowego i 8 kg fosforowego jest decyzją dopuszczalną- Mając do wyboru dwie decyzje o zakupie odpowiednio nawozów azotowego i fosforowego w ilościach (12,7) i (11, 6) należy wybrać. 13. Zakład produkuje środki ochrony roślin A, B, C. Do produkcji tych preparatów używane są między innymi trzy rodzaje koncentratów : K1, K2 I K3 wg norm podanych w tablicy. Wiadomo, że zakład może maksymalnie wykorzystać 60 kg koncentratu K1 oraz 80 kg K3. Produkt Zawartość koncentratu w g w 1 litrze produktu Cena 1 litra w zł K1 K2 K3 A B C

8 - Wyznacz minimalną ilość koncentratu K2 niezbędną do tego, aby decyzja o wyprodukowaniu 500 l preparatu A, 700 l preparatu B i 350 l preparatu C była decyzja dopuszczalną. - Wyznacz plan produkcyjny maksymalizujący sprzedaż wiedząc, że zapas koncentratu K2 wynosi 100 kg z czego 30% musi być bezwzględnie zużyte ze względu na datę ważności 14. Piekarnia może przygotować dziennie 200 kg ciasta do wypieku bułek (10 dkg), bagietek (25 dkg) i chlebów (65 dkg). Produkty sprzedawane są w cenie: bułki 50 gr, bagietki 1.20 zł, chleb 3.30 zł. Koszt energii elektrycznej do wypieku wynosi na 1 szt: bułki 3 gr, bagietki 6 gr, chleb 20 gr. Koszt pozostałych surowców i robocizny wynosi 2.80 zł na 1 kg ciasta. Pojedynczy wsad do pieca musi zawierać: 70 bułek lub 30 bagietek lub 10 chlebów. Wypiek trwa 20 minut bez względu na rodzaj pieczywa. Jest jeden piec i może on pracować maksymalnie 10 godzin dziennie. a. ustal plan wypieku maksymalizujący zysk zakładając, że koszt zużycia energii dziennie nie może przekroczyć 62 zł. - ustal plan wypieku, aby przy dziennym zysku 386 zł zminimalizować koszty zużycia energii - ustal plan wypieku, aby przy dziennej sprzedaży przynajmniej 900 zł zminimalizować zużycie ciasta 15. Zakład produkujący ramy okienne otrzymał zamówienie na wykonanie okien. Należy przygotować przynajmniej 60 drzwi balkonowych o wymiarach 2.30 x 1.20 m oraz co najmniej 45 okien o wymiarach 1.20 x 1.20 m. Odpowiednie kawałki ram wycina się z belek o długości 5 m. Ile najmniej belek należy pociąć i w jaki sposób, aby zrealizować zamówienie? Za odpad uważamy odcinek krótszy niż 0.5 m. 16. Zakład wytwarza elementy przewodów wodociągowych: kolanka, przeguby i złącza. W tym celu tnie standardowo plastikowe rury o długości 50 cm na kawałki odpowiednio: 22 cm kolanka, 16 cm przeguby i 12 cm złącza. Kolanka są sprzedawane wyłącznie w kompletach z dwoma złączami w cenie 20 zł za komplet, same złącza trafiają do sprzedaży w cenie 5 zł a przeguby 7 zł za sztukę. Wiadomo również, że należy produkować przynajmniej dwa razy więcej przegubów niż kolanek. Staramy się pociąć możliwie najmniejszą liczbę rur. a. Ustal plan produkcji minimalizujący odpad powstały po rozkroju rur (tzn. odcinki krótsze niż najkrótszy produkowany element), tak aby uzyskać ze sprzedaży przynajmniej 2400 zł. b. Ustal optymalny plan produkcji, który maksymalizuje jej wartość sprzedaną, jeśli wiadomo, że zakład ma do dyspozycji 400 rur do pocięcia. 17. Zakład wytwarza jednorodny produkt w trzech oddziałach terenowych A, B i C. Ilość wytwarzanego towary wynosi odpowiednio: w A 6000 szt, w B 1000 szt i w C szt. Wytwarzany produkt rozprowadzany jest do czterech sklepów w miejscowościach P, Q, R, S. Zapotrzebowanie zgłoszone przez te sklepy jest następujące: P 7000 szt, Q 5000 szt, R 3000 szt, S 2000 szt. Koszt przewozu w przeliczeniu na jedną sztukę towaru w zł wynosi: Od Do P Q R S A B C Wyznacz ilości produktów, które należy przewieść z każdego oddziału do każdego sklepu tak, aby zminimalizować koszty transportu. 18. Gmina organizuje transport i pokrywa koszty utylizacji odpadów z czterech miejscowości: A, B, C i D. Z każdej miejscowości dziennie należy wywieść odpowiednio 45 ton, 80 ton, 65 ton i 110 ton odpadów. Istnieją trzy zakłady utylizacji: Z1, Z2, Z3. Odległości pomiędzy miejscowościami a zakładami utylizacji śmieci podano w tabeli. Koszt przewozu 1 tony śmieci jest zryczałtowany i wynosi

9 13 zł/km. Koszt utylizacji 1 tony odpadów jest zróżnicowany i wynosi odpowiednio dla zakładów: Z1-10zł, Z2 15 zł, Z3 12 zł. Dwa zakłady posiadają ograniczoną dzienną moc przerobową, która wynosi odpowiednio w tonach: Z1 75, Z Ilość przerabianych odpadów w zakładzie Z3 nie jest ograniczona. Jak należy rozwozić odpady, aby koszt transportu i utylizacji łącznie był najmniejszy. Od Do Z1 Z2 Z3 A B C D Siedem miast L, M, N, O, P, R i S połączonych jest siecią dróg (odległości pomiędzy miastami podano w tabeli). Pomiędzy tymi miastami istnieje wymiana towarów przewożonych 50 tonowymi samochodami. Do każdego z tych miast dowozi się pewne towary oraz z każdego z nich wywozi się inne. Dzienne przywozy p i oraz wywozy w i do i z poszczególnych miast (w tonach) oraz odległości pomiędzy tymi miastami podano w tabeli. Zminimalizuj puste przebiegi samochodów przewożących towar pomiędzy tymi miastami. odległości L M N O P R S Wywóz w i L M N O P R S Przywóz p i Rozwiąż graficznie stosując zadanie dualne: 16y 1 18y 2 8y 3 + 4y 4 > min gdy y 1 3y 2 + y 3 2y y 1 2y 2 4y 3 + y 4 10 y 1..y Istnieje możliwość produkcji trzech wyrobów: W1, W2 I W3. Ewentualny zysk z produkcji tych wyrobów wynosi za sztukę odpowiednio: W1 10 zł, W2 24 zł, W3 12 zł. Dwa surowce S1 i S2 używane do produkcji tych wyrobów są w ograniczonej ilości: S kg, S kg. Normy użycia tych surowców podane są w tabeli. Które z tych wyrobów oraz w jakiej ilości powinny być produkowane. Zadanie rozwiąż metodą graficzną, konstruując zadanie dualne. Surowce Zużycie surowców (w kg/ szt robu) wy W1 W2 W3 S S

10 22. Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby: A, B, C i D. Ograniczeniem produkcji są dwa surowce S1 i S2. Dane o zużyciu i zapasach surowców podano w tabeli. Ceny wyrobów wynoszą odpowiednio A- 10 zł, B 14 zł, C 8 zł, D 11 zł. Które z tych wyrobów oraz w jakiej ilości powinny być produkowane. Zadanie rozwiąż metodą graficzną, konstruując zadanie dualne. Surowce zapas Zużycie surowców (w kg/ szt wyrobu) A B C D S S Inwestor posiada zł i chce nabyć akcje trzech spółek A, B i C. Może je kupić odpowiednio za: A 10 zł, B 15 zł, C 5 zł. Zakupiony portfel nie może przekroczyć jednostek akcji łącznie. Spodziewany zysk inwestora wynosi w stosunku rocznym 8% dla spółki A, 10% dla B i 7% dla C. Ustal metodą graficzną zakup maksymalizujący zysk roczny. 24. Firma wytwórcza posiada w chłodni zapas dwóch mrożonek: S1 i S2 w ilościach odpowiednio 1.2 t oraz 0.8 t. Mrożonki te są podstawą produkcji dwóch koncentratów A i B. Do wyprodukowania 1 litra koncentratu A zużywa się 3 kg mrożonki S1 i 1 kg mrożonki S2. Do wyprodukowania 1 litra koncentratu B zużywa się po 2 kg mrożonki S1 i S2. Jak należy zaplanować wielkość produkcji koncentratów, aby firma mogła osiągnąć maksymalny przychód z ich sprzedaży wiedząc, że cena koncentratu B jest o 50% większa od koncentratu A? Jakimi zapasami mrożonek będzie dysponowała firma po zrealizowaniu optymalnej strategii? Rozwiąż metodą graficzną. 25. Zakład produkuje ramy okienne o wymiarach 1.6 x 1.6 m oraz balkonowe o wymiarach 2.1 X 1.6 m. Należy wyprodukować co najmniej 150 okien zwykłych oraz 100 okien balkonowych. Belki z których będą produkowane okna mają długość 5.0 m. Ile najmniej należy pociąć belek i w jaki sposób, aby odcinków krótszych od 1.6 m było jak najmniej? Czy rozwiązanie zmieni się, gdy za odpad przyjmiemy odcinek krótszy od 1.0 m? 26. Zakład produkuje na dwóch urządzeniach U1 i U2 kubki i miski. Ustal zakres produkcji minimalizujący koszty produkcji wiedząc, że maksymalny czas pracy urządzenia U1 Nie może przekroczyć 16 godzin dziennie a liczba wyprodukowanych misek musi być co najmniej 1000 szt. Czas produkcji i koszty jednostkowe podano w tabeli. Czas prod. w min. Jednostkowy koszt prod. w zł. Wyrób Kubek Miska Kubek Miska Maszyna U U Przedsiębiorca zamierza zorganizować cztery warsztaty naprawcze samochodów. Rozważa obsługę pięciu marek a przy tym chce, aby każdy warsztat obsługiwał tylko jedną markę. Wskaż, które marki samochodów powinny być obsługiwane w każdym z warsztatów aby łączny czas obsługi był najmniejszy. Czasy napraw poszczególnych marek w poszczególnych warsztatach podano w tabeli.

11 Warsztat FORD VW TOYOTA FIAT OPEL Pewna firma zatrudnia trzy maszynistki do korespondencji w trzech językach: angielskim, niemieckim i włoskim. W tablicy podano liczbę uderzeń na minutę każdej maszynistki w każdym jeżyku. Wyjątek stanowi maszynistka nr 2 która nie zna języka niemieckiego. Przydziel poszczególne maszynistki do poszczególnych języków. Maszynistki Języki Ang. Niem. Włoski X Zakład produkuje piłki ręczne, nożne i lekarskie. Normy zużycia trzech materiałów oraz czasu na poszczególne wyroby podano w tabeli. Ustalić miesięczny plan produkcji ( 4 tygodnie po 42 godz.) tego zakładu, minimalizując zużycie skóry, jeśli wiadomo, że wartość produkcji nie powinna być mniejsza od zł a miesięczny zapas gumy wynosi 400 m 2 a nici 13 tys mb. - zapisz model PL tego problemu decyzyjnego, - podaj postać standardową tego modelu oraz interpretację wprowadzonych zmiennych dodatkowych Cena w zł Normy zużycia Czas wyk w min Piłka nożna Piłka ręczna Piłka lekarska Alpinista posiada plecak o maksymalnej wadze ładunku 25 kg. Wykaz przedmiotów do zapakowania obejmuje: 8 przedmiotów typu A po 2 kg, 10 przedmiotów typu B po 2.5 kg, 18 przedmiotów typu C po 2 kg oraz 30 przedmiotów typu D po 0.5 kg. Przedmioty A posiadają rangę ze wsp. 1, przedmioty B rangę 0.7, C rangę 0.5 i D rangę Określ sposób zapakowania plecaka, aby wartość mierzona rangą zapakowanych przedmiotów była jak najwyższa zakładając, że alpinista wykona tylko jeden kurs, - Określ sposób zapakowania plecaka, aby wartość mierzona rangą zapakowanych przedmiotów była jak najwyższa zakładając, że alpinista po wykonaniu kursu pierwszego wykona drugi, pakując plecak przedmiotami które pozostały po pierwszym kursie, - Określ sposób zapakowania plecaka, aby wartość mierzona rangą zapakowanych przedmiotów była jak najwyższa zakładając, że alpinista wykona dwa kursy. 31. Do obsługi całodobowego sklepu potrzebny jest personel w liczbie dostosowanej do pory doby:

12 Godz Liczba prac Stawka za godzinę pracy wynosi 10 zł za pracę do 8 godzin i 15 zł za pracę powyżej ośmiu godz. - Załóż, że czas pracy każdego pracownika w ciągu doby wynosi 8 godz. Ustal minimalną liczbę pracowników potrzebnych do obsługi sklepu. - Jak się zmieni rozwiązanie, jeśli założymy, że czas pracy wszystkich pracowników wynosi 12 godz. Na dobę?, - Czy rozwiązanie się zmieni, gdy w poprzednich przypadkach za kryterium przyjmiemy minimalna łączną płacę całego personelu?, - Jak zmieni się rozwiązanie, gdy założymy, że pracownikom rozpoczynającym pracę o godz. 0 i 4 płacimy dodatek za dojazd do pracy w wysokości 30 zł. (przyjmując za kryterium minimalna łączną płacę całego personelu), a czas pracy na dobę wynosi 8 godzin? - Ustal wymagane zatrudnienie, zakładając, że pracownicy mogą pracować 8 lub 12 godz. przyjmując za kryterium minimalna łączną płacę całego personelu (uwzględnij dopłaty za dojazdy jak wyżej), - Porównaj łączną płacę całego personelu we wszystkich rozważanych przypadkach. 32. Rafineria produkuje dwa gatunki benzyny: zwykłą (Z) i bezołowiową (W). Miesza w tym celu trzy składniki: S1, S2 S3. Cena 1 tony benzyny Z wynosi 3.35 a W Ceny poszczególnych składników, ich zapasy oraz wymogi technologiczne co do składu podano w tabeli. Wymagana jest produkcja co najmniej ton benzyny Z i 8000 ton benzyny W a stosunek wyprodukowanej benzyny Z do W powinien wynosić jak 9 do 10. Zbuduj model matematyczny pozwalający określić plan produkcji benzyn maksymalizujący zysk. Składnik Cena Zasób Ben. Z Benz. W S Co najwyżej 30% Co najmniej 25% S Co najmniej 40% Co najwyżej 40% S Co najwyżej 20% Co najmniej 30% 33. Firma dysponuje pięcioma liniami produkcyjnymi, na których może wytwarzać cztery rodzaje proszków: A, B, C, D. Czas pracy w godz. niezbędny do wyprodukowania 1 kg każdego proszku na każdej maszynie podaje tabela (czas 0 oznacza brak możliwości produkcji). W ciągu tygodnia każda linia może pracować do 60 godz. Należy wyprodukować po 3000 kg tygodniowo proszków A i C, 3200 kg proszku B oraz 2700 kg proszku D. Aby zrealizować zamówienie firma rozważa możliwość dokupienia pewnej ilości proszków (ceny zakupu w tabeli). Zbuduj model matematyczny pozwalający określić plan produkcji proszków, aby koszt realizacji zamówień był najmniejszy. Proszki Cena zakupu Koszt produkcji Linie produkcyj ne A 2.1 1, B 2,4 2, C 2, D

13 34. Dysponujemy zespołem trzech obrabiarek. Na każdej z nich można wytwarzać jeden z czterech elementów (tylko na 3 obrabiarce nie można wykonywać trzeciego elementu). W tabeli dane są koszty wytworzenia jednego elementu, wydajność w szt/godz na każdej obrabiarce oraz maksymalny czas wykorzystania każdej z maszyn i zapotrzebowanie na każdy z wytwarzanych elementów. Ustal plan produkcji który zminimalizuje łączny koszt wytworzenia wszystkich elementów wiedząc że, minimalna liczba elementów E1 do E4 wynosi odpowiednio: 1000, 800, 500, 400 a łączna liczba wszystkich elementów musi być większa od Jak się zmieni rozwiązanie, jeżeli przyjąć dodatkowo, że łączny czas wykorzystania 1 i 3 obrabiarki nie może przekroczyć 150 godzin. Obrabiarki / czas prod ELE MENTY w godz E1 E2 E3 E4 O1 50 Koszt w zł. Wydajność szt/godz. O2 120 Koszt w zł. Wydajność szt/godz. O3 110 Koszt w zł. Wydajność szt/godz Planowana jest produkcja pewnego wyroby w czterech kolejnych kwartałach roku. Zapotrzebowanie na wyrób w kolejnych kwartałach wynosi: 100, 50, 80, 70 szt. Koszt zwiększenia poziomu produkcji o jedną sztukę wynosi 1500 zł a zmniejszenia o jedna sztukę 500 zł. Koszt magazynowania jednostki wyrobu przez jeden kwartał wynosi 1000 zł. Wiadomo ponad to, że poziom zapas na początku i końcu roku wynosi zero a poziom produkcji w ostatnim kwartale poprzedniego roku wynosił 60 sztuk. Ustal plan produkcji, aby łączny koszt produkcji i magazynowania był jak najmniejszy. 36. Trzy zakłady poprzez emisję zanieczyszczeń wywołują straty w środowisku przyrodniczym. Emisja szkodliwych substancji przeliczona na jednostkę produkcji wynosi dla tych zakładów odpowiednio: [w tonach/szt prod.] S1 =3; S2 =14; S3 =8. Dobowa ilość wytwarzanych jednostek produkcji wynosi [w szt]: P1 =35; P2 =15; P3 =10. Koszt redukcji zanieczyszczeń danego zakładu, w przeliczeniu na jednostkę danego typu szkód wynosi: [w zł/tonę zanieczyszczeń] J1 =6; J2 =9; J3 =15. Należy możliwie jak najefektywniej z punktu widzenia ochrony środowiska, zagospodarować środki z Funduszu Środowiska (F=2000), przy założeniu, że w przypadku podjęcia działań redukcji zanieczyszczeń, zarząd miasta zlokalizowanego w pobliżu drugiego zakładu gotów jest dofinansować takie działania w pobliżu zakładu nr 2 w kwocie M równej 1500 zł.

14 Identyfikacja parametrów modelu Celem ćwiczenia jest nabycie umiejętności identyfikacji parametrów prostego modelu dynamicznego obiektu na podstawie danych: sygnału wejściowego i wyjściowego. W celu dokonania identyfikacji należy: 1. Zdefiniować funkcję błędu przybliżenia wskaźnik kosztu 2. Określić dopuszczalne zakresy parametrów modelu 3. Zapisać zadanie minimalizacji wskaźnika kosztu z p. 1 z ograniczeniami z p. 2 w postaci standardowej 4. Wyznaczyć rozwiązanie zadania minimalizacji w programie Matlab. Sprawozdanie na ocenę bdb powinno zawierać: 1. Uzyskane wartości parametrów układu i odpowiadające im wartości błędu. 2. Pokazać przebiegi wejściowe i wyjściowe obiektu i zidentyfikowanego modelu (w tym skok i sygnał liniowo narastający) 3. Wykresy 3D funkcji celu dla układu z 2 identyfikowanymi parametrami. 4. Średnią wartość błędu przybliżenia dla kolejnych iteracji algorytmu. dla co najmniej różnych 3 modeli układu.

15 Strojenie regulatora z wykorzystaniem metod optymalizacji Celem ćwiczenia jest nabycie umiejętności dostrojenia parametrów prostego układu regulacji automatycznej w sprzężeniu zwrotnym dla danego modelu liniowego. W celu dokonania identyfikacji należy: 1. Zdefiniować funkcję opisującą kryterium regulacji czas ustalania 2. Określić dopuszczalne zakresy parametrów regulatora 3. Zapisać zadanie minimalizacji czasu ustalania (1) z ograniczeniami (2) w postaci standardowej 4. Wyznaczyć rozwiązanie zadania minimalizacji w programie Matlab. Sprawozdanie na ocenę bdb powinno zawierać co najmniej: 1. Rozwiązanie zadania optymalizacji dla 4 regulatorów: P, PI, PD, PID w tym podanie nastaw reg. i wart. tu 2. Odpowiedzi skokowe rozwiązań optymalnych poszczególnych regulatorów naniesione dla porównania na jednym wykresie 3. Wykresy 3D funkcji celu dla regulatorów PI i PD z zaznaczonym graficznie rozwiązaniem z pkt. 1 oraz 2D dla regulatora P

16 Simpleks Neldera-Meada Celem ćwiczenia jest prześledzenie mechanizmu prowadzenia numerycznie poszukiwań minimum funkcji wielu zmiennych przy pomocy algorytmu simpleksu Neldera-Meada. Sprawozdanie z LAB3 powinno na ocenę bardzo dobrą zawierać: Rozwiązanie i wizualizację ścieżki poszukiwań za pomocą algorytmu Neldera-Meada dla co najmniej 2 różnych funkcji celu. Wizualizacja ma obejmować wykreślenie kolejnych punktów wyszukiwanych przez algorytm na wykresach 2D i 3D. Dla dowolnego z przykładów należy zilustrować pokazać operacje wykonywane na simpleksie, pokazując simplex przed operacją oraz po danej operacji, lub ciąg simplexów ze wskazaniem operacji. Co najmniej 2 operacje każdego typu tj. ekspansja, odbicie, zawężenie wewnętrzne i zewnętrzne oraz redukcja. Uwaga redukcje (shrink) nie występują dla wszystkich funkcji. Są one widoczne m.in. dla zlogarytmowanej funkcji Rosenbrocka. Łącznie wizualizacja ma obejmować minimum 15 simplexów. Linki:

17 Przykład jak zaobserwować i przedstawić redukcję: function y=ban_po(x) global xy y=log(100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2); xy=[xy,[x(:)-1;y]]; %zapisujemy w historii wywołań wektor różnicy od punktu minimum xy=[];fminsearch(@ban_po,0.98*[1,1],opt) %wybieramy punkt startowy [ ] otrzymujemy: contract inside contract inside reflect contract inside shrink shrink shrink Wybieramy potrzebne punkty i kreślimy według wektora różnicy, gdzie: 1) wierzchołki simpleksu początkowego kwadraty, 2) wierzchołki simpleksu po redukcji plusy (dwa wierzchołki zmieniły swoje położenie) 3) punkty pomocnicze (nieudane odbicie i zawężenie) trójkąty 8 x x x 1-1 x 10-15

18 Metody gradientowe Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobem poszukiwania minimum funkcji przy pomocy metod gradientowych oraz porównanie z metodą simpleksu Neldera-Meada. Uwaga: proszę powtórzyć wyznaczanie gradientu, macierzy Hessa i macierzy odwrotnej Sprawozdanie na ocenę BDB powinno zawierać: A. Przykłady z tablicy (2x funkcja 1 zmiennej i 2x funkcja 2 zmiennych) B. Dodatkowy przykład z funkcją ciągłą, nieróżniczkowalną 2 zmiennych wartość bezwzględna C. Funkcję Rosenbrocka W każdym przypadku: 1. Wyznaczenie minimum przy pomocy 6 metod (Newton, BFGS, DFP, Steepdesc, Simplex, Levenberg-Marquardt) i wizualizacja graficzna funkcji ze ścieżką poszukiwania. 2. Tabela wyników z podaniem ilości faktycznych ewaluacji funkcji celu, znalezionego rozwiązania i wartości funkcji w minimum. Dla przykładów A dodatkowo rozwiązanie z tablicy i sprawdzenie w Matlabie.

19 Algorytm rojowy Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobem poszukiwania minimum funkcji przy pomocy niedeterministycznego algorytmu rojowego (Particle Swarm Optimisation). 1. Funkcja de Jonga z=(x1-5) 2 +(x2-10) 2, ograniczenia x1 [-5;4], x2 [-0.3;15] 2. Funkcja Rastrigina z=x1 2 + x2 2 -cos(18x1) -cos(18x2), ograniczenia x1 [0.1;0.9], x2 [0.1;0.9] II. Zasada działania algorytmu rojowego: Opis położenia: xi(k+1)= xi(k)+vi(k) Położenie osobnika w osi i w kolejnej iteracji algorytmu równe jest sumie położenia obecnego i obecnej prędkości osobnika w osi i Opis prędkości: vi(k+1)=0.9*vi(k)+(^pi(k)-xi(k))*r1*c1+(pixi(k))*r2*c2, gdzie: ^pi(k) położenie lidera roju (najlepszego osobnika w danej iteracji) r1, r2 zmienna losowa (rand()) pi najlepsze (dotychczasowe) położenie danego osobnika c1 - współczynnik atrakcyjności lidera roju c2 - współczynnik atrakcyjności pozostałych osobników roju Zmiany dokonane w skryptach funkcji pso() oraz psoplotswarm(): 1. pso(): Dodanie zmiennej globalnej umożliwiło wymianę wartość pomiędzy funkcją psoplotswarm() wykorzystywaną przez funkcję pso(), a skryptem głównym. 2. psoplotswarm():

20 Dodanie powyższego kodu pozwoliło na zapis poszczególnych położeń i prędkości osobników, a także na wyłonienie lidera każdej iteracji. Sprawozdanie powinno na ocenę BDB zawierać: 1. tabelaryczne zestawienie osobników, ich prędkości i wartości funkcji celu w kilku kolejnych iteracjach z (dla mniej licznej populacji tabela musi się mieścić w obrębie 1 strony) wraz ze wskazaniem sposobu działania algorytmu (dymki lub opis) 2. ilustracja graficzna ścieżka poszukiwań osobników na tle poziomic funkcji celu 3. ilustracja graficzna ruchu roju dla normalnej populacji (>=40 osobników) przedstawiona w postaci kilku bądź kilkunastu klatek, np. co 10 iterację 4. punkt 3 należy powtórzyć zmieniając parametry algorytmu tj. SocialAttraction (duży/normalny/mały) i CongestionAttraction (duży/normalny/mały) ilość przykładów (minimum 6), wartości parametrów i funkcje do przykładów proszę dobrać tak, aby było widać efekty zmian parametrów i który na co wpływa. Punkty 1-3 należy powtórzyć dla co najmniej 2 funkcji celu np. DE JONGA (z minimum nie w zerze np. w [10,10] i RASTRIGINA).

21

22 Projekt 1. Dobór nastaw regulatora dla obiektu z opóźnieniem Celem projektu jest zdefiniowanie modelu optymalizacyjnego dla układu sterowania w pętli sprzężenia zwrotnego dla dynamicznego obiektu liniowego z opóźnieniem i wyznaczenie optymalnych nastaw regulatora minimalizujących wybrane kryterium jakości. Obiekt: Projekt na ocenę BDB powinien zawierać: Adaptację podanej funkcji do schematu w Simulinku dla: O1. Obiektu G(s) = s+5 2s 3 +5s 2 +3s+1 O2. Obiektu G(s) połączonego kaskadowo z saturacją (+/-10) i opóźnieniem 1.5s Reszta ćwiczenia wykonana niezależnie dla O1 i O2. Przeprowadzenie optymalizacji: 1. Z ograniczeniami jak w pliku (HARD) c(x) 0, przy zerowej funkcji celu 2. Z ograniczeniami jak w pliku (HARD) c(x) 0, z dodatkową zmienną optymalizayjną czasem ustalania w funkcji celu Algorytmy do wykorzystania (w nawiasach odsyłacze do zadań powyżej): A. fmincon: optimset( Algorithm, interior-point ) B. fmincon: optimset( Algorithm, sqp ) C. fmincon: optimset( Algorithm, active-set ) D. pso E. ga Dla każdego przypadku należy podać wynik liczbowy oraz wykres odpowiedzi skokowej układu z zaznaczonymi ograniczeniami.

23 Ograniczenia nie mogą być absurdalne z punktu widzenia automatyki. Tabelaryczne zestawienie wyników jest obowiązkowe i musi obejmować zmienne projektowe, funkcję celu i ograniczenia. MAKSYMALNA DŁUGOŚĆ PROJEKTU 15 STRON, proszę grupować po kilka wykresów (hold on) na jednym rysunku

24 Projekt 2. Regulacja prędkości silnika prądu stałego OPIS ZAŁOŻEŃ: Dany jest silnik prądu stałego o budowie i schemacie pokazanych na rys. 1 i 2. Rysunek 1: Budowa silnika prądu stałego Rysunek 2: Schemat zastępczy Model matematyczny silnika: { Uwagi: J dω s L w di w dt = U z i w R w c 2 ω s dt = c 1i w Bω s M obc B s f s (ω s ) 1. Człon zawierający tarcie suche B s = f s (ω s ) należy zamodelować przy pomocy bloku lookup-table 2. Przyjąć że napięcie zasilające silnik jest ograniczone U z U m, U m 3. Przyjąć że układy pomiarowy i sterujący są dyskretne Tp=0.01 s (uwzględnić bloki quantizer + zero order hold) 4. Przyjąć, że pomiar wprowadza opóźnienie Tp 5. Przyjąć, że wyznaczenie sterowania w regulatorze zajmuje Tp

25 Stałe: parametry silnika J=8.4768e-5 L=8.0177e-9 R= B=5.9601e-5 c1= c2=0 Bs= Um=10 Na potrzeby optymalizacji proszę założyć scenariusz zmian wartości zadanej zawierający zmiany skokowe i liniowe wartości zadanej, oraz momentu obciążenia (zakłócenia) Proszę zaproponować układ sterowania śledzeniem wartości zadanej prędkości silnika w strukturach: F1: feedback oraz F2: feedback-feedforward. Zmienne projektowe x: Nastawy regulatora F1/ regulatorów F2 Odpowiedzi modelu: Funkcja celu f należy zaproponować Ograniczenia: g należy zaproponować Ograniczenia: h nieobowiązkowe

26 Dalsza część projektu wykonana niezależnie dla F1 i F2. Przeprowadzenie optymalizacji: 1. Z ograniczeniami HARD c(x) 0, przy zerowej funkcji celu 2. Z ograniczeniami zaostrzonymi tak aby były niemożliwe do spełnienia HARD, przy zerowej funkcji celu 3. Z zamianą ograniczeń HARD na SOFT przez wprowadzenie zmiennych pomocniczych np. c(x) x 4 0 przy funkcji celu uwzględniające zmienne dodatkowe np. f=x4 4. Z zamianą ograniczeń z pkt. 2 na sumę we wskaźniku kosztu Algorytmy do wykorzystania (w nawiasach odsyłacze do zadań powyżej): A. fmincon (1-3): optimset( Algorithm, interior-point ) B. fmincon (1-3): optimset( Algorithm, sqp ) C. fmincon (1-3): optimset( Algorithm, active-set ) D. pso (1-4) E. ga (1-4) F. fminsearch (4) G. fminunc (4) Dla każdego przypadku należy podać wynik liczbowy oraz wykres odpowiedzi skokowej układu z zaznaczonymi ograniczeniami. UWAGA w zad. 3 i 4 ograniczenia należy przyjąć z zad. 2 (nie z zad. 1). Ograniczenia w projekcie w punktach 2,3,4 mają być identyczne - przez zaostrzenie ograniczeń z punktu 1 należy rozumieć: - skrócenie czasu narastania do dowolnie małej dodatniej wartości, - zawężenie odchylenia od wartości zadanej w stanie ustalonym do dowolnie małej dodatniej wartości, - zmniejszenie przeregulowania do dowolnie małej dodatniej wartości. Ograniczenia nie mogą być absurdalne z punktu widzenia automatyki.

27 Tabelaryczne zestawienie wyników jest obowiązkowe i musi obejmować zmienne projektowe, funkcję celu i ograniczenia. Ewentualne problemy z rozwiązaniem wynikają zazwyczaj z: nieprawidłowej konfiguracji bloku lookup table - prawidłowa funkcja patrz rysunek poniżej, zbyt długiego horyzontu czasowego symulacji, ew. niewłaściwego solvera - proszę spróbować z innymi np. ode15s. Zalecane długości poszczególnych sekcji projektu: Str tytułowa+ wprowadz. + model 3 str FB wstęp, kod -4 str 1abcd - 1 str (tabelaryczne zestawienie wyników+4 wykresy w 1 oknie nałożone na siebie + ograniczenia (bez subplota) 2abcd - 1str j.w. 3abcd - 1 str 4def -1 str Podobnie dla FB-FF FB-FF wstęp, kod -4 str 1abcde - 1 str (tabelaryczne zestawienie wyników+4 wykresy w 1 oknie nałożone na siebie + ograniczenia (bez subplota) 2abcde - 1str j.w. 3abcde - 1 str 4defg -1 str Wnioski/obserwacje 1str. Czyli razem około 20 str/całość Proszę o przesyłanie sprawozdań z projektów w postaci: PROJEKT - OPRACOWANIE (docx/odt/pdf) oraz komplet plików do źródłowych Matlaba w ZIP.

28