Minimalizacja form boolowskich UC1, 2009

Transkrypt

1 Minimalizacja form boolowskich UC, 29

2 mplikanty funkcji boolowskiej UC, 29 2

3 mplikanty funkcji boolowskiej UC, 29 3

4 Metody minimalizacji UC, 29 4

5 Siatki Karnaugh UC, 29 5

6 Siatki Karnaugh UC, 29

7 Stosowanie siatki Karnaugh (przykład ) UC, 29 7

8 Stosowanie siatki Karnaugh (przykład ) UC, 29 8

9 Stosowanie siatki Karnaugh (przykład 2) UC, 29 9

10 Stosowanie siatki Karnaugh (przykład 3) UC, 29

11 Siatki Karnaugh dla n = 5 i UC, 29

12 Metody analityczne i komputerowe w minimalizacji funkcji boolowskich Metoda Quine a McCluskey a a) generacja implikantów prostych b) selekcja implikantów (tzw. pokrycie) Metoda Espresso duża liczba różnorodnych procedur procedury heurystyczne iteracyjne poprawianie wyniku UC, 29 2

13 Metoda Quine a-mccluskey a Algorytm:. Wypisujemy wszystkie wektory zbioru F i F*, 2. Łączymy wektory w grupy według liczby jedynek występujących w danym wektorze, 3. Porównujemy każdy wektor z grupy o i-tej liczbie jedynek z każdym wektorem z grupy i+ liczbie jedynek. Jeżeli dwie kombinacje różnią się tylko na jednej pozycji to łączymy je w jeden implikant zastępując pozycje różniące symbolem *. Na przykład łączymy z i uzyskujemy -, 4. Kontynuujemy procedurę łącząc dalej uzyskane implikanty. Na przykład - można łączyć z - uzyskując --. Proces kończymy, gdy nie ma możliwości dalszych łączeń. 5. Tworzymy zbiór implikantów, które uzyskaliśmy w wyniku łączenia i tych wektorów, które nie były wykorzystane w procesie łączenia.. Dokonujemy selekcji implikantów w celu uzyskania minimalnego pokrycia funkcji korzystając z tablicy implikantów. Ćwiczenie. Korzystając z metody Q-M zminimalizować funkcję F(A,B,C,D): F={4,5,,8,9,,3}, F*={,7,5} UC, 29 3

14 Procedury systemu ESPRESSO F,D Complement Epand Essential primes rredundant-cover Reduce Last-gasp F M UC, 29 4

15 Metoda ekspansji Dla funkcji słabo określonych ( F, F<< F* ) wielu zmiennych stosowanie metody Q-M jest nieopłacalne czasowo. Przykład. Jeżeli musimy zminimalizować funkcję 2 zmiennych przy czym liczność zbioru F i F wynosi po 2 elementów to stosując metodę Q-M mamy do rozważenia 22-2 wektorów. Efektywniejsza czasowo jest metoda ekspansji. -maksymalne jak to możliwe rozszerzanie zbioru F na zbiór F* nie wchodząc w kolizję ze zbiorem F. -zastąpienie jak największej liczby elementów każdego wektora zbioru F symbolem *, tak aby nie wejść w kolizję z wektorami zbioru F. UC, 29 5

16 Pojęcia podstawowe Kostka K to krotka o składowych,, reprezentująca zbiór wektorów zero-jedynkowych. K = ( ), to zbiór wektorów: Kostka reprezentuje niepełny iloczyn: K = = 3 UC, 29

17 7 Oznaczenia W standardzie espresso wektory (w ogólności kostki), dla których funkcja f = oznacza się zbiorem F. Wektory (kostki) dla których funkcja f = oznacza się zbiorem R. f = (F, R) k 5 k 4 k 3 k 2 k f = F R = UC, 29

18 Ekspansja Ekspansja jest procesem działającym na kostkach zbiorów F i R, a jej celem jest uzyskanie dla danej k F kostki k' tak dużej, jak to tylko możliwe (tzn. zmożliwie dużą liczbą pozycji o wartości ) i nie pokrywającej żadnego wektora zbioru R. W swoich obliczeniach Ekspansja wykorzystuje tzw. macierz blokującą B. UC, 29 8

19 Macierz blokująca Macierzą blokującą (kostkę k) nazywamy macierz B(k,R) = [b ij ],w której każdy element b ij {,} jest definiowany następująco: b ij =, jeśli k j = oraz r ij = lub k j = oraz r ij = ; b ij =, w pozostałych przypadkach. Macierz blokująca dla danej kostki k F powstaje z macierzy R przez zanegowanie tych kolumn R, których pozycje są wyznaczone przez pozycje jedynek w kostce k F. UC, 29 9

20 2 Tworzenie macierzy blokującej F = = R = B Wyznaczymy macierz blokującą dla kostki k wiedząc, że F i R są opisane macierzami: Skoro k = (), to dla uzyskania B wystarczy w macierzy R "zanegować" kolumny drugą, piątą i siódmą. Zatem B(k,R): UC, 29

21 Pokrycie kolumnowe Pokryciem kolumnowym macierzy B jest zbiór kolumn L (L {,...,n}) taki, że dla każdego wiersza i istnieje kolumna j L, która w wierszu i ma jedynkę. Zbiór L jest minimalnym pokryciem kolumnowym macierzy B, jeśli nie istnieje zbiór L (tworzący pokrycie) taki, że L L. B = {,7} {3,4} {2,4} {2,3,7} L = {4,7} jest pokryciem kolumnowym. L = {2,3,} jest pokryciem kolumnowym. L = {2,3} nie, L = {2,} nie, UC, 29 L = {3,} nie. 2

22 Generacja implikantów Macierz blokująca B(k,R) pozwala wyznaczyć ekspansję kostki k oznaczaną k + (L,k) w sposób następujący: wszystkie składowe kostki k należące do L nie ulegają zmianie, natomiast składowe nie należące do L przyjmują wartość. Ekspansja kostki k jest implikantem funkcji f = (F,R). Wszczególności k + (L,k) jest implikantem prostym, gdy L jest minimalnym pokryciem kolumnowym macierzy B(k,R). UC, 29 22

23 23 Generacja implikantów -przykład Dla k 2 = () i macierzy B = zbiór L = {4,7} jest pokryciem kolumnowym B, a więc Natomiast dla L = {2,3,} (inne pokrycie kolumnowe), k + (L, k 2 ) = ( ) = k 2 = () czyli implikantem F jest k + (L, k 2 ) = ( ), UC, 29

24 mplikanty proste Obliczając kolejno implikanty proste dla każdej k F uzyskuje się: Uzyskujemy następujący zbiór implikantów prostych: = = = = = = = ( ) k ( ) k, ( ) k k 5 2,k3, k 4 UC, 29 24

25 mplikanty proste = = = = = = = ( ) k ( ) k, ( ) k k 5 2,k3, k 4 Relacja pokrycia dla kostek k 7 k 2 k 3 k 4 k 5 Tablica implikantów prostych 2 3 k 7 k 2 k 3 k 4 k UC, 29 25

26 Selekcja implikantów prostych Pokrycie kolumnowe k k 2 k 3 k 4 k 5 Minimalne pokrycie: 2, = = Minimalna formuła: UC, 29 2