RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH. Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe
|
|
- Bogusław Jabłoński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 POLITECHNIKA ŁÓDZKA ZBYSZKO KAZIMIERSKI RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe Łód 7
2 P O D RCZNIKI AKADEMICKIE Recenzenci: prof. dr hab. in. Zbigniew Kosma prof. dr hab. in. Stanisław Drobniak KOMITET REDAKCYJNY WYDAWNICTWA POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ Przewodniczcy: prof. dr hab. Piotr Wodziski Pełnomocnik Wydziału: prof. dr hab. in. Tomasz Kapitaniak Copyright by Politechnika Łódzka 7 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ 9-94 Łód, ul. Wólczaska 3 tel./fax (-4) a-row-1@sir.p.lodz.pl ISBN Wydanie I. Nakład 35 egz. Ark. druk 5,5. Papier offset. 8 g. 7 x 1 Druk ukoczono w czerwcu 7 r. Wykonano w Drukarni Offsetowej Quick-Druk s.c Łód, ul. Łkowa 11 Nr 1168
3 Spis treci Przedmowa Wstp Model wiru, jego weryfikacja i metody wirowe Teoretyczny model pojedynczego wiru Metody wirowe Ruch wirowy powietrza w atmosferze Efekt Coriolisa Cyklony tropikalne Tornada i trby powietrzne Kryterium podobiestwa ruchu wirowego Rozwizania zagadnie mechaniki płynów w tym ruchu wirowego za pomoc komputerów Przegld stosowanych metod sprowadzania równa mechaniki płynów do postaci algebraicznej Rónice skoczone schematy równa i ich stabilno Metody elementarnej objtoci kontrolnej Algorytmy komputerowych symulacji ruchu gazów i cieczy Modele turbulencji i metody rozwizania ruchu turbulentnego Numeryczna realizacja metod wirowych Ruch wirowy w maszynach przepływowych Przepływy przez turbiny Przepływy przez sprarki Przepływy przez pompy Przepływy wirowe w urzdzeniach do formowania przdzy Wiry w komorach wtryskiwaczy cieczy Przepływy przez rur wirow Ranka i cyklony odpylajce Ruch wirowy płynów, a zasady zachowania masy, pdu i energii Zakoczenie...8 Literatura
4 Przedmowa Czytelnikom tej ksiki wyjaniam, e ma ona w znacznej czci charakter popularno-naukowy. Matematyka i mechanika płynów s w niej wykorzystane w najprostszej formie, która powinna by znana studentom politechnik, ale i bez tej znajomoci ksika powinna by zrozumiała dla czytelników, którzy szukaj w niej treci fizycznych. Wzory pomagaj w rozumieniu tych treci, ale nie s bezwzgldnie konieczne. W roku 5, kiedy powstawała ksika, w niektórych krajach połoonych bliej równika ni Polska, szalały tropikalne cyklony, niszczce wszystko na swej drodze. W Polsce stosunkowo rzadko, ale take zdarzaj si tzw. trby powietrzne i te s przyczyn wielu zniszcze. Nie mona zatem, piszc o ruchu wirowym płynów, nie napisa równie o tych zjawiskach, które do ruchu wirowego nale. Std w tytule znalazło si okrelenie w przyrodzie, bo chodzi midzy innymi o zjawiska, które budz due zainteresowanie czytelników. Wród czytelników jest wielu takich, którzy obserwowali wirowe zagłbienia na powierzchni płyncej wody za podporami mostowymi, które nie s przyczyn szkód ale s ciekawym zjawiskiem i te nale do ruchu wirowego. Wiele osób obserwowało take wirowy spływ wody z otwartego zbiornika (np. z wanny) i stwierdziło, e jest to ruch niestateczny. O nim take bdzie mowa w tej ksice. Ruch wirowy w duej skali jest tematem tej ksiki. Ten rodzaj ruchu nazywa si take ruchem zawirowanym. Powstaje pytanie, czy ruch płynów jest stateczny? Okazuje si, e płyny w czasie ruchu bardzo szybko trac stateczno. Z reguły mamy do czynienia z ruchem turbulentnym, który powstaje i rozwija si po utracie statecznoci poruszajcego si płynu, zwany jest po prostu turbulencj przepływów. Bdzie tu głównie rozpatrywany tzw. ruch zawirowany, w którym turbulencja istnieje, i odgrywa wan rol. Zastrzeenie to jest czynione dlatego, e turbulencja ma take struktur wirow, cho w mniejszej skali. Bdzie to uwzgldnione w programach komputerowych, jakie s uyte do analizy ruchu wirowego płynów. Rozwaania bd prowadzone dla zmiennych pierwotnych, tzn. takich jakie wystpuj w nie przekształconych równaniach podstawowych, czyli dla prdkoci, cinienia itd. Wiele zjawisk ruchu wirowego zostało rozwizanych za pomoc istniejcych programów komputerowych, dlatego jeden z rozdziałów został tym zagadnieniom powicony. Ujcie to naley zaliczy take do popularnonaukowych. Ksika zawiera take treci odnoszce si do ruchu wirowego płynów w niektórych maszynach i urzdzeniach. Chodzi o maszyny przepływowe i o ruch wirowy, który ma w nich miejsce. Istniej programy komputerowe własne i tzw. komercyjne, które słu do badania przepływu w tych maszynach wraz z rónymi modelami turbulencji. Programy te odpowiadaj na wiele pyta zwizanych z rozkładami prdkoci i cinie. Wymaga to jednak postawienia warunków brzegowych nie tylko 4
5 na ciankach, które s oczywiste, ale take na wlocie i wylocie z kanału maszyny, które oczywiste nie s. O ile odległoci od osi maszyny s znaczne (co to oznacza, to jest w ksice wyjanione) to mona załoy rozkłady prdkoci obwodowej, które s zblione do rozkładów potencjalnych, tzn. takich, w których elementy płynu nie wiruj wokół własnych osi obrotu. Gdy natomiast kanały wlotowe lub wylotowe obejmuj o maszyny, to tego w stosunku do składowej obwodowej prdkoci zrobi nie wolno. Oprócz zagadnie zwizanych z maszynami s tu omówione niektóre urzdzenia wykorzystywane w technice, w których mamy do czynienia z ruchem wirowym płynów. S to urzdzenia wykorzystywane we włókiennictwie do formowania przdz. S take omówione tzw. rury Ranka, w których skutki ruchu wirowego s wyrane, bo nastpuje w nich rozdział powietrza na zimne i gorce. Efekt Ranka moe by wykorzystany w rónych zastosowaniach technicznych. Omówione s równie wiry w komorach wtryskiwaczy cieczy jeli to s wtryskiwacze wirowe i strumieniowo-wirowe. Dla urzdze technicznych stosowano program komputerowy własny i programy CFX zakładajc, e przepływ jest ustalony. Model turbulencji uyty w programie komputerowym był nie bez znaczenia. Uyto przy tym zmiennych pierwotnych. Oprócz nich mona te stosowa tzw. metody wirowe, w których przekształca si równania podstawowe i uywa funkcji wirowoci oraz funkcji prdu. O metodach tych, które s do złoone jest w ksice wspomniane. Przedostatni rozdział ksiki jest powicony temu, e ruch wirowy w tzw. rdzeniu wiru (w rodku) znamienny tym, e wystpuje w nim prawie liniowy rozkład składowej obwodowej prdkoci, jest zwizany z zasad wydatkowania jak najmniejszej energii. Ta zasada jest tam przedstawiona. Bd w tym rozdziale przedstawione take inne zasady mechaniki płynów, które s pomocne w wyznaczeniu istotnych wymiarów wiru. Dzikuj za merytoryczn i techniczn pomoc w opracowaniu ksiki członkom Zakładu Mechaniki Płynów Instytutu Maszyn Przepływowych Politechniki Łódzkiej. 5
6 1. WSTP Płyny to substancje, które maj zdolno do zmiany swych kształtów pod działaniem dowolnie małych sił zewntrznych, byleby działały one dostatecznie długo. Płyny wic róni si od ciał stałych tym, e one nie posiadaj sztywnoci postaciowej, po prostu płyn - std ich nazwa. Wynika to z ich struktury molekularnej i małych sił wewntrznej spójnoci, które w cieczach i gazach wprawdzie wystpuj, lecz s małe w porównaniu z siłami, które wystpuj w ciałach stałych. Płyny dzielimy na ciecze i gazy. Ciecze to s te płyny, które zmieniaj nieznacznie sw objto pod wpływem działania sił zewntrznych. Mówimy, e ciecze s praktycznie nieciliwe. Kady, kto bawił si lekarsk strzykawk napełnion wod mógł to stwierdzi osobicie. Ciecze wypełniaj cz zbiorników, równ objtoci wprowadzonej cieczy, tworz powierzchnie swobodne oraz krople pod wpływem sił napicia powierzchniowego. Gazy s to te płyny, które zmieniaj znacznie swe objtoci pod wpływem sił zewntrznych. S to płyny ciliwe. Kady, a jest takich wielu, kto bawił si lekarsk strzykawk wypełnion powietrzem, mógł to zauway. Gazy wypełniaj cał objto pomieszcze, w których si znajduj. Wypełniaj, poniewa siły spójnoci midzy czsteczkami gazu s znikome, znacznie mniejsze ni ma to miejsce w cieczach. Rys Ziemia i granica atmosfery oraz ksiyc 6
7 W przypadku atmosfery ziemskiej jej gsto maleje wraz z wysokoci nad poziom morza. Dzieje si tak dlatego, e konkuruj ze sob dwa wpływy. Energia kinetyczna czsteczek powietrza (któr maj dziki ogrzaniu przez słoce) oraz grawitacja ziemska. Gruboci atmosfery cile nie mona okreli. Wiadomo, e atmosfera jest do cienk warstw, jeli j porówna z promieniem ziemi, który wynosi 637 km. Około 5% atmosfery zawarte jest w warstwie o gruboci 5,6 km, a 75% atmosfery znajduje si poniej 11 km, a 99% poniej 3 km nad poziom morza. Tak wic samoloty bojowe (odrzutowe) lataj zwykle poniej km. Zadania szpiegowskie ju dawno przejły bezzałogowe satelity, których jest wiele i które informuj swoich mocodawców o wszystkim co mog zobaczy, a mog wiele, gdy wyposaone s w doskonałe przyrzdy optyczne. Na rys. 1.1 i 1. jest pokazana grubo atmosfery w stosunku do ziemi. Gsto atmosfery zaley od temperatury i cinienia. Na poziomie morza wynosi ona w normalnych warunkach ρ = 1, kg/m 3, ale na wysokoci 1 km nad ziemi wynosi ρ =,41 kg/m 3. Cinienie atmosfery na poziomie morza jest p = 1, Pa, a na wysokoci 1 km jest p =, Pa. Rozkłady te nie s liniowe. Zarówno ciecze, jak i gazy s lepkie, cho ta lepko jest niewielka. Lepko powoduje naprenia styczne wewntrz płynów i na styku midzy ciank a płynem. Warto lepkoci płynów mona znale w ksikach dotyczcych mechaniki płynów. Stateczny ruch płynów rzeczywistych, lepkich - zwany laminarnym (warstwowym) istnieje, cho ogranicza si do małych prdkoci lub bardzo małych wymiarów liniowych. Płyny podczas ruchu bardzo szybko trac stateczno. Zwykle mamy do czynienia z ruchem płynów, który istnieje po utracie statecznoci - zwanym turbulentnym (burzliwym). Na ten rodzaj ruchu maj wpływ niestatecznoci, które go wywołuj i inne czynniki, o których bdzie jeszcze mowa w tej ksice. Liczb podobiestwa tego ruchu jest liczba Reynoldsa. Została ona okrelona dla rury o przekroju kołowym i jest równa: Re = υ d /ν, gdzie: υ - jest redni prdkoci transportu płynu, d - jest rednic rury, a ν - jest lepkoci kinematyczn płynu. Utrata statecznoci i powstanie ruchu turbulentnego nastpuje przy pewnej liczbie Reynoldsa. Dla rury o przekroju kołowym jest to zwykle Re 3. Poniej tej liczby przepływ jest laminarny. Dalej przy wzrocie prdkoci płynu lub wymiarów liniowych istnieje przepływ turbulentny, który jest przepływem złoonym. Jest on bardzo wany, bo straty energii, które w nim wystpuj s duo wiksze, ni w ruchu laminarnym. Ogólnie liczba Reynoldsa jest to Re = υ l / ν, gdzie υ, l - s wybranymi wielkociami prdkoci i wymiaru liniowego. Ruch turbulentny od dziesitków lat stanowi nierozwizany problem nauki i techniki. Istniej wprawdzie coraz doskonalsze modele turbulencji, ale nie mamy modelu uniwersalnego, który obejmowałby wszystkie przypadki ruchu turbulentnego płynów. Mówimy przy tym o zmiennych pierwotnych, pochodzcych z nie przekształconych równa podstawowych, tzn. o prdkociach, cinieniach itp. Z tymi zmiennymi bd zwizane modele ruchu turbulentnego, o ile 7
8 stosujemy do równa podstawowych sposób uredniania w czasie, nazywany urednianiem Reynoldsa, tzn. RANS. Moe to wszystko budzi sprzeciw czytelników, którzy twierdz, e samoloty lataj, okrty (w tym podwodne) pływaj i nikomu nie przeszkadza to, e nie ma ogólnego rozwizania ruchu turbulentnego. Rys. 1.. Widok atmosfery ziemskiej z balonu meteorologicznego Tak, samoloty lataj, okrty pływaj (a ich katastrofy nie s zwizane z brakiem uniwersalnego modelu turbulencji), gdy mamy due bazy danych eksperymentalnych, dziki którym to latanie i pływanie jest moliwe. Nasze istniejce modele turbulencji s oparte włanie o te dane. Najnowszym sposobem rozwizywania przepływu turbulentnego płynu jest tzw. DNS, wymaga on jednak bardzo wydajnych komputerów i jest stosowany obecnie (rok 6) tylko do sprawdzenia rozwiza w prostej geometrii. Modelowanie ruchu turbulentnego jest koniecznoci w przypadku, gdy chcemy uzyska wiarygodn informacj o stratach energetycznych. Okazuje si jednak, e istniejce modele turbulencji odpowiadaj w miar poprawnie na zadane pytania o ile bazy danych eksperymentalnych s bliskie lub zgadzaj si z rozpatrywanym przypadkiem. Wiemy, e przepływ turbulentny zaley nie tylko od danych materiałowych, ale w znacznym stopniu, a czasem w decydujcej mierze od pulsacji prdkoci i od warunków brzegowych, które w rzeczywistoci nigdy nie s stacjonarne. Wiemy równie, e przepływ turbulentny rozwija si wraz ze wzrostem Re, ale ten wzrost jest ograniczony. Opór przepływu w dalszym cigu wzrostu Re nie zaley ju od tej liczby, ale zaley od warunków brzegowych [16]. Ruchy wirowe, które s przedmiotem tej ksiki maj istotn cech, e s do trwałe. S to take powszechnie wystpujce rodzaje ruchów płynów. Jest znamienne, e zwikszenie prdkoci ktowej w wirujcym płynie jest powizane ze znan w mechanice zasad zachowania momentu pdu, w rónych skalach. Kady z nas widział w TV ływiark lub ływiarza, którzy wykonuj piruet, czyli zwikszaj sw prdko ktow. Robi to cigajc rce 8
9 i nogi jak najbliej osi wirowania i w ten sposób zmniejszaj swój moment bezwładnoci, zwikszaj prdko ktow, zachowujc moment pdu (prawie stały). W mechanice płynów ma to swój odpowiednik w postaci tzw. drugiego twierdzenia Helmholtza. cisłe wyprowadzenie tego twierdzenia mona znale w [13] i [6]. Tutaj zostanie ono przedstawione w sposób popularny. Mamy do czynienia z ruchem wirowym płynu, tzn. takim, w którym elementy płynu wykonuj ruchy obrotowe o prdkoci ktowej ω. Lini wirow nazywamy lini pola wektorowego wirowania elementów płynu. Zbiór linii wirowych przechodzcych przez zamknit lini, nie bdc lini wirow nazywamy rurk wirow. Przykład fragmentu rurki wirowej pokazano na rys.1.3. Oznaczymy przekroje tej rurki przez A, A 1, A, których ladem na powierzchni bocznej rurki s linie: S, S 1, S, jednokrotnie obejmujce rurk wirow. Powierzchnie boczne oznaczymy odpowiednio przez: A b1, A b (rys. 1.3). Moduły wektorów n równe s jeden, a kropka we wzorze (1.1) oznacza iloczyn skalarny. Ze znanego twierdzenia Stokesa otrzymamy: ω 1 n1da1 = ω nda (1.1) A1 A Rezultat ten wynika z faktu, e strumienie wirowoci przez powierzchnie boczne, które s powierzchniami wirowymi równe s zeru. Gdy obliczamy redni warto rzutu wirowoci ωn w danym przekroju A: mona napisa: A ( n )da ω n = ω, A ω A A const (1.) n 1 1 = ωn = Równania (1.1) i (1.) wyraaj sformułowanie drugiego twierdzenia Helmholtza. Najprociej to pokazuje jednak równanie (1.). Rys Schemat rurki wirowej 9
10 Mówi ono, e iloczyn redniej wartoci rzutu prdkoci ktowej elementu płynu na kierunek prostopadły do przekroju rurki razy pole tego przekroju jest stały. Wynika z tego wany wniosek. Taki, e wtedy gdy rurka wirowa jest zmniejszana (tzn. jej przekrój maleje), prdko ktowa elementu płynu zawartego wewntrz tej rurki ronie. Zatem rozciganie wirów prowadzi do wzrostu prdkoci ktowej elementów płynu znajdujcych si w rurkach wirowych. Okazuje si, e charakterystyczna dla turbulentnego ruchu płynów jest jego struktura wirowa. Rozciganie wirów za stanowi o tym, e posiadaj one wysokie czstoci obrotów i małe wymiary. Wiry turbulentne s znacznie mniejsze ni wiry charakterystyczne dla cyklonów tropikalnych lub tornad. S te mniejsze od wymiarów liniowych kanałów maszyn przepływowych i wtryskiwaczy. W tej ksice bdziemy rozpatrywa ruchy w duej skali, w których turbulencja istnieje i odgrywa w nich wan rol. Wpływ turbulencji bdzie uwzgldniany w programach komputerowych, jakie s stosowane do przepływów w duej skali, przy tym stosowane bd urednienia typu RANS. Do badania statecznoci rozwiza równa rzdzcych ruchem płynów, w tym take ruchów wirowych, przez lata stosowano liniow teori statecznoci. Do równa ruchu wprowadzono małe zaburzenia i obserwowano zachowanie si tych zaburze z upływem czasu. W stanie krytycznym amplituda pewnej harmonicznej ronie wykładniczo z czasem, wzbudzaj si inne formy zakłóce, a przepływ traci stateczno. Tak powstały równania np. Orra-Sommerfelda [6]. Wraz z rozwojem matematycznej teorii chaosu deterministycznego zmienił si punkt widzenia na problemy statecznoci, a szczególnie stosowania teorii liniowych. Okazało si bowiem, e na podstawie teorii liniowej mona mniej lub bardziej dokładnie przewidzie, gdzie lub kiedy pojawia si niestabilno, lecz nie wiadomo, co stanie si w rezultacie jej powstania. Innymi słowy nie odpowiada ona na fundamentalne pytanie: co bdzie potem? Turbulencja to jest włanie to zjawisko, które dzieje si po utracie statecznoci. Rozwój teorii chaosu deterministycznego obudził wielkie nadzieje i oczekiwania w zakresie teoretycznego rozwizania przepływów turbulentnych. Pojawiło si bardzo wiele prac w zakresie teoretycznego badania stabilnoci elementarnych przepływów laminarnych. Wydawało si pocztkowo, e badanie pojawienia si niestacjonarnoci w płynie po utracie stanu statecznego i badanie historii narastania tej niestacjonarnoci przy uyciu metod chaosu deterministycznego pozwol na teoretyczne rozwizanie problemu turbulencji. Stosowano pocztkowo teori bifurkacji Hopfa-Landau a. Teoria ta przetrwała do 197 roku, kiedy dwaj matematycy Ruelle i Takens wykazali, e dla układów dyssypatywnych, a takie s opisywane przez równania rzdzce ruchem płynów, teoria bifurkacji ma bardzo ograniczony zakres. Wnioski były takie: pierwsze zmiany stanu ruchu, czyli przejcia od stanu stacjonarnego do pojedynczych oscylacji, s moliwe do opisania przez teori Hopfa-Landau a, natomiast ju druga zmiana stanu nie jest trwała, nawet małe zaburzenia mog j niszczy. Trzecia pojawiajca si czsto ju nie synchronizuje si w ogóle. W wyniku kombinacji tych pojawiajcych si nowych stanów powstaje tzw. dziwny atraktor. Tak wic stosowana przez wiele lat teoria Hopfa-Landau a okazała si strukturalnie niestabilna. 1
11 Wiadomo ju, e za niektóre zjawiska przepływu turbulentnego, szczególnie w pocztkowym stadium jego rozwoju odpowiada chaotyczna dynamika atraktora. W pełni rozwinita turbulencja moe jednak wymaga atraktorów o olbrzymiej liczbie wymiarów, tysicy lub wicej i staje si niemoliwa do praktycznej realizacji. Obecnie wydaje si, e wytłumaczenie zjawisk turbulencji za pomoc teorii chaosu deterministycznego jest mało prawdopodobne [31]. Chyba, e nastpi w tym zakresie zdecydowany zwrot w stosunku do obecnego stanu wiedzy (rok 7).. MODEL WIRU JEGO WERYFIKACJA I METODY WIROWE Do rozwizania problemów przepływów rzeczywistych (lepkich) mona rozmaicie podej. W tej ksice zostanie zaprezentowana metoda, która dla ruchu trójwymiarowego, ciliwego opiera si o stosowanie zmiennych pierwotnych, pochodzcych wprost z równa podstawowych mechaniki płynów. S to prdkoci, cinienia itp. Innym podejciem jest tzw. metoda wirowa. W metodzie tej s stosowane zmienne zalene, które pochodz z przekształconych równa podstawowych, takie jak wirowo ω i funkcja prdu ψ. Metodami rozwizania równa w obydwu tych podejciach s metody numeryczne. Poniewa ta ksika dotyczy metod, w których stosowane s zmienne pierwotne, to metodom wirowym powicona jest ostatnia cz tego rozdziału, aby czytelnikom uzmysłowi, e cho w nazwie ksiki jest uyte słowo wirowy, to w metodach nazywanych wirowymi chodzi o inne podejcie do problemu. Na pocztek rozwaymy pojedynczy wir, który si pojawia czsto, w rónych okolicznociach. Teoretyczne modele tego wiru s dwuwymiarowe, zbudowane dla cieczy nielepkiej, o stałej temperaturze. Równaniem stanu tej cieczy (w której nie zmienia si gsto) jest ρ = const, i trzeba załoy warto gstoci (np. dla wody to jest ρ =1 3 kg/m 3 lub dla powietrza ρ =1, kg/m 3 )..1. Teoretyczny model pojedynczego wiru W [1] i [] i wczesnych wydaniach [13] rónie si ten wir nazywa. Nazywa si wirem Rankina lub wirem kołowym, a w przypadku analizowania wirowych zagłbie na powierzchni wody kombinowanym wirem Rankina. W tej ksice nie chodzi o nazwy tylko o sedno problemu. Zawsze zakłada si dwuwymiarowy rozkład prdkoci dla modelu tego wiru. Najlepiej jest uy biegunowego układu współrzdnych, w którym: 11
12 υ z = ; dla υ r = ; r r = ω r dla r < r < + υ θ = ω υ θ r r υ θ zakładamy w postaci (.1) gdzie: υ θ jest składow obwodow, υ r i υ z odpowiednio - promieniow i osiow składow prdkoci, ω jest stał (tak sam dla obu zakresów). Na rys..1 podany jest szkic wiru i rozkład jego składowej obwodowej prdkoci. Rozkład ten traktujemy jako pewien model teoretyczny przepływu, dla którego musz by spełnione powszechnie znane zasady zachowania masy, pdu i energii. a) b) y υθ r υθmax r θ x r r Rys..1. a) szkic układu współrzdnych; b) rozkład składowej obwodowej prdkoci dla wybranego r Rys..1b podaje, e dla r r rozkład prdkoci jest podobny do tego jaki istnieje w naczyniu, które wiruje wraz z ciecz lub w ciele stałym, ale wynika z obserwacji eksperymentalnych ruchu wirowego płynu. Dla r > r jest to oczywicie rozkład dla którego υ r jest wielkoci θ stał. Pomimo tego, e elementy płynu maj prdko liniow to nie wiruj one wokół własnych osi obrotu. Wir ten jest nazywany wirem potencjalnym. Dla r ; υ θ musiałoby osign nieskoczon warto, jeliby rozpatrywa rozkład potencjalny, a to jest niemoliwe, dlatego nie realizuje si w rzeczywistoci. W zakresie r r wystpiłyby wtedy due gradienty prdkoci, co przy niezerowej lepkoci turbulentnej, jaka tam ma miejsce, prowadzi do wielkich napre stycznych. W rzeczywistoci wynika z tego zwizanie płynu zawartego w przedziale r r i rozkład prdkoci danej za pomoc pierwszej czci wzoru (.1). Jest on nazywany take rdzeniem wiru. Co to jest lepko turbulentna i dlaczego w rodku wiru jej warto jest dua, bdzie w tej ksice wyjanione. 1
13 Wyznaczenie promienia r nie jest spraw prost. Jest ono moliwe pod warunkiem, e dysponujemy modelem tego przepływu. Rozkład prdkoci pokazany na rys..1b spełnia równanie cigłoci i energii. Bdzie to wyjanione w rozdziale 1. tej ksiki. Jedynym załoeniem poza rozkładami prdkoci, jakie przy tym wykonano, to jest załoenie, e dla r cinienie powinno by cinieniem barometrycznym p a. Rozkład cinienia obliczymy z równania zachowania pdu: = (.) dp dr ρ υ θ r Gdy podstawimy do (.) drugi ze wzorów (.1), to otrzymamy 4 ω r p ( r ) = ρ + C r i wyznaczamy stał całkowania C z warunków: gdy r to pierwszy wyraz dy do zera, a cinienie p = pa, czyli C = pa, tzn. dla r > r : p = p a 4 ω r ρ (.3) r Gdy podstawimy do (.) pierwszy ze wzorów (.1) i obliczymy stał całkowania z warunku, e dla r = r cinienie jest takie samo dla przepływu potencjalnego i niepotencjalnego, czyli to uzyskamy i std otrzymamy dla r r : p( r ) p ρω r /, = a C = pa ρω r r p = pa ρω r ( 1 ) (.4) r Najnisze cinienie panuje w centrum wiru, czyli dla r = i ze wzoru (.4) wynika, e jest ono równe: p ( r ) = pa ρ r ω = (.5) Dla rozkładów cinie (.3) i (.4) spełnione jest równanie zachowania pdu. 13
14 .1.1. Model wiru, a wyliczenie kształtu wirowych zagłbie na powierzchni płyncej wody Uprzedzajc nieco eksperyment dla tych czytelników, którzy s zainteresowani wirowymi zagłbieniami na powierzchni płyncej wody tworzcymi si za rónego rodzaju przeszkodami np. za podporami mostowymi, wyjaniam, e mona je opisa stosujc poprzednio omówiony model teoretyczny. Wiry te popularnie nazywaj si lejkami na wodzie. Podpory mostowe s zwykle ciałami, które zaliczamy do le oprofilowanych aerodynamicznie. Za nimi pojawiaj si wiry na wodzie, które zrywaj si po jednej i potem po drugiej stronie podpory i przesuwaj si w dół prdu. Wiry jakie tam wystpuj nazywa si take kombinowanymi wirami Rankina. Zakładamy, e te wiry nie oddziaływaj wzajemnie midzy sob. Wiry oddziaływujce s modelowane przez tzw. ciek Karmana, [1], []. Woda jest dostatecznie cika (około 85 razy cisza od powietrza), aby do rozwaa wprowadzi czynnik zwizany z sił grawitacji, czyli potencjałem g z, a na powierzchni wody załoy barometryczne cinienie p a. Prawd mówic to zadanie jest trójwymiarowe, ale tu zakłada si rozkład prdkoci υ r, υz << υθ. Składowa υ θ jest okrelona przez wzory (.1). Na rys.. objaniony jest układ współrzdnych jaki jest przyjty dla przeprowadzonych oblicze. Układ jest zwizany z przesuwajcymi si wirami. r z r Rys... Układ współrzdnych i kształt lejków na wodzie r > r, Wobec tak przyjtego układu współrzdnych piszemy dla gdy przepływ jest potencjalny, równanie Bernouliego, które ma posta: p r + ω ρ 4 r z g z = const. (.6) 14
15 Równanie Bernouliego (.6) mona wyprowadzi zakładajc, e gsto ρ jest stała. Gdy r > r trzeba załoy, e przepływ jest potencjalny i podstawi drugi wariant rozkładu prdkoci (.1). Przyj trzeba take, e istotny jest ciar wody i uwzgldni to w rozwaaniach wprowadzajc potencjał grawitacyjny g z. Const oznacza w równaniu Bernouliego energi całkowit, przypadajc na 1 kg płyncego czynnika, któr trzeba wyznaczy i która powinna by stała. Dla z = ; r + cinienie jest stałe p a i std const = pa / ρ, czyli dla r > r (tj. dla przepływu potencjalnego); cinienie jest równe: p p a ω r + g z ρ ρ r 4 =. (.7) Głboko lejka dla r > r obliczymy, gdy na całej jego powierzchni jest stałe cinienie barometryczne p = p a ; z 4 ω r =. (.8) gr Dla r r wystpuj dwa skalarne równania zachowania pdu, bo wprowadzono sił cienia, z których obliczamy cinienie, tak jak to robiono dla wirówki, gdy ciecz pozostaje w stanie równowagi wzgldnej bez polizgu wzgldem cianek naczynia [16]. Uyto dwóch pochodnych czstkowych: p = ρ rω r p z ; = ρ g. Po całkowaniu pierwszego równania dla cinienia otrzymamy: r p = ρ ω + f ( z ) Róniczkujc to równanie wzgldem z dowiemy si, e (.9) pochodna f ' ( z ) jest to p, czyli z p = z f ' ( z ) f ( z ) = ρ g z + C a to z kolei oznacza, e cinienie dla r r jest równe: 15
16 r p = ρ ω + ρ g z + C Stała całkowania C jest wyliczona z warunku, e dla r = r cinienie p(r ) musi by takie samo jak dla przepływu potencjalnego. ω r Wynika z tego, e p(r ) = pa + ρ g z ρ. Tu z to jest z dla r = r (patrz rys..) i std obliczymy stał całkowania: Ostatecznie: ω r C = p( r ) ρ g ρ z. r p = pa + ρ g z ρω r ( 1 ) (.1) r Na powierzchni lejka panuje cinienie barometryczne dla r r jego głboko wynosi: p = pa i wyliczymy, e r r z = ω ( 1 ) (.11) g r r = r wzory (.8) i (.11) daj ten sam wynik. Mona sprawdzi, e dla Najwiksza głboko lejka wystpuje w rodku wiru dla r = i jest równa: r ω z ( r= ) = (.1) g Problemem jest obliczenie r, ale to wymaga przyjcia modelu przepływu rzeczywistego..1.. Wirowy spływ wody z otwartego zbiornika Taki spływ wody ze zbiornika wystpuje bardzo czsto. Moe to by np. wanna, w której jest otwór spływowy. Gdy wody jest duo, wirowy spływ ma charakter taki jak to opisano wzorami od (.6) do (.1). Mona zatem wyliczy głboko lejka na wodzie w miejscu jego wirowego spływu. Najwiksza głboko lejka istnieje w rodku wiru (czyli rodku spływu). Wane jest, e decydujc rol odgrywaj w wirze siły odrodkowe. Mona si o tym przekona machajc rk, po to aby zmieni kierunek wirowania wody. Wtedy, o ile wanna jest symetryczna (ale z reguły jest niesymetryczna), woda zmieni kierunek 16
17 prdkoci obwodowej. Siła odrodkowa, która jest proporcjonalna do kwadratu prdkoci obwodowej bdzie znów działała tak samo. Wody w zbiorniku bdzie coraz mniej, a do momentu kiedy pojawi si tzw. rdze powietrzny. Prawd mówic przepływ jest trójwymiarowy, ale w tym ujciu zagadnienia zakłada si dla prostoty, e rozkład prdkoci υ r, υ z << υθ, który jest okrelony przez wzory (.1). Aby uproci zadanie i pozosta tylko w rejonie spływu potencjalnego robimy załoenie, e promie rdzenia powietrznego r r jest równy promieniowi r, czyli r r. Piszemy wic równanie Bernouliego: p υθ + g z = ρ pa ρ (.13) gdy dla r ; υ θ ; z ; p pa. Uwzgldniajc to, e przepływ jest potencjalny υ θ obliczymy ze wzoru (.1) i piszemy ponownie: p ρ 4 r p + g z = a ω r r ρ (.14) Poniewa w rdzeniu powietrznym wiru o promieniu r r panuje cinienie wyznaczamy kształt powierzchni swobodnej wody dla co jest pokazane na rys..3. z r rr : p a, 4 ω rr = (.15) gr rr pa r z Rys..3. Woda spływajca wirowo z otwartego zbiornika, gdy jest jej mało 17
18 .1.3. Model teoretyczny, a wiry rzeczywiste w technice Czy przedstawiony model teoretyczny ruchu wirowego ma co wspólnego z rzeczywistym przepływem? To jest pytanie, na które trzeba przede wszystkim odpowiedzie. Okazuje si, e ma wiele wspólnego. Na przykładzie cyklonów tropikalnych i tornad, bdzie to wyjanione w dalszej kolejnoci, a teraz uwaga zostanie skupiona na urzdzeniach technicznych. W tym celu zostan wykorzystane badania eksperymentalne. Przedstawiony bdzie szereg rezultatów, z których wynika, e załoony rozkład teoretyczny prdkoci jest zbliony do rzeczywistego: [9], [7], [35]. Przede wszystkim na osi wiru nie moe wystpowa rozkład potencjalny, bo dla r = ; υ, a zgodnie z równaniem Bernouliego cinienie dla r =, dyłoby do. Nie moe to mie miejsca. Wszystkie wymienione poniej badania wykazuj, e składowa obwodowa prdkoci dla r = jest take zerem, tj. υ =. Tak zwana lepko turbulentna jest natomiast w rodku wiru θ dua. Wynika to z oblicze przeprowadzonych według programów komputerowych i modelu turbulencji k ε. W 1. rozdziale zostanie udowodnione, e rozkład składowej obwodowej prdkoci jest trwały. Jest tak, poniewa rozkład ten wie si z minimalizacj energii jaka jest potrzebna do utrzymania wiru. y r θ x φ R z Cz cylindryczna współrzdne cylindryczne z, r, θ Cz dyfuzorowa współrzdne kuliste R, φ, θ Rys..4. Schemat dyfuzora uytego do osignicia rozkładu prdkoci obwodowej, pokazanej na rys..5. x, y,z - kartezjaski układ współrzdnych, przy tym płaszczyzna x,, y - jest prostopadła do rys..4, φ - kt midzy promieniem R, a osi z ; θ - kt midzy osi x i promieniem r ; r - rzut promienia R na płaszczyzn x,, y 18
WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE
1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA
POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 1 Temat: Wyznaczanie współczynnika
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne
J. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i turbulentnego, odkrył Osborne Reynolds (1842 1912) w swoim znanym eksperymencie
Bardziej szczegółowoSPIS OZNACZE 1. STATYKA
SPIS TRECI OD AUTORÓW... 7 WSTP... 9 SPIS OZNACZE... 11 1. STATYKA... 13 1.1. Zasady statyki... 16 1.1.1. Stopnie swobody, wizy, reakcje wizów... 18 1.2. Zbieny układ sił... 25 1.2.1. Redukcja zbienego
Bardziej szczegółowoMODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII
TEST PRZED MATUR 007 MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII ZAKRES ROZSZERZONY Numer zadania......3. Punktowane elementy rozwizania (odpowiedzi) za podanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoSPIS OZNACZE 1. STATYKA
SPIS TRECI OD AUTORÓW... 7 WSTP... 9 SPIS OZNACZE... 11 1. STATYKA... 13 1.1. Zasady statyki... 16 1.1.1. Stopnie swobody, wizy, reakcje wizów... 18 1.2. Zbieny układ sił... 25 1.2.1. Redukcja zbienego
Bardziej szczegółowoJan A. Szantyr tel
Katedra Energetyki i Aparatury Przemysłowej Zakład Mechaniki Płynów, Turbin Wodnych i Pomp J. Szantyr Wykład 1 Rozrywkowe wprowadzenie do Mechaniki Płynów Jan A. Szantyr jas@pg.gda.pl tel. 58-347-2507
Bardziej szczegółowo. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest porównanie na drodze obserwacji wizualnej przepływu laminarnego i turbulentnego, oraz wyznaczenie krytycznej licz
ZAKŁAD MECHANIKI PŁYNÓW I AERODYNAMIKI ABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW ĆWICZENIE NR DOŚWIADCZENIE REYNODSA: WYZNACZANIE KRYTYCZNEJ ICZBY REYNODSA opracował: Piotr Strzelczyk Rzeszów 997 . Cel ćwiczenia Celem
Bardziej szczegółowo18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa
Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowoCiśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni.
Ciśnienie i gęstość płynów Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha Powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy zarówno ciecze
Bardziej szczegółowoAerodynamika i mechanika lotu
Płynem nazywamy ciało łatwo ulegające odkształceniom postaciowym. Przeciwieństwem płynu jest ciało stałe, którego odkształcenie wymaga przyłożenia stosunkowo dużego naprężenia (siły). Ruch ciała łatwo
Bardziej szczegółowoOBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ
! OBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ RÓWNANIE BERNOULLIEGO Równanie Bernoulliego opisuje ruch płynu i ma trzy składowe: - składow prdkoci - (energia kinetyczna ruchu), - składow połoenia (wysokoci) - (energia potencjalna),
Bardziej szczegółowostopie szaro ci piksela ( x, y)
I. Wstp. Jednym z podstawowych zada analizy obrazu jest segmentacja. Jest to podział obrazu na obszary spełniajce pewne kryterium jednorodnoci. Jedn z najprostszych metod segmentacji obrazu jest progowanie.
Bardziej szczegółowoZasada działania maszyny przepływowej.
Zasada działania maszyny przepływowej. Przyrost ciśnienia statycznego. Rys. 1. Izotermiczny schemat wirnika maszyny przepływowej z kanałem miedzy łopatkowym. Na rys.1. pokazano schemat wirnika maszyny
Bardziej szczegółowoOPŁYW PROFILU. Ciała opływane. profile lotnicze łopatki. Rys. 1. Podział ciał opływanych pod względem aerodynamicznym
OPŁYW PROFILU Ciała opływane Nieopływowe Opływowe walec kula profile lotnicze łopatki spoilery sprężarek wentylatorów turbin Rys. 1. Podział ciał opływanych pod względem aerodynamicznym Płaski np. z blachy
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład 4 Podstawy teorii przepływów turbulentnych Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i
J. Szantyr Wykład 4 Podstawy teorii przepływów turbulentnych Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i turbulentnego, odkrył Osborne Reynolds (1842 1912) w swoim znanym
Bardziej szczegółowoStatyczna próba skrcania
Laboratorium z Wytrzymałoci Materiałów Statyczna próba skrcania Instrukcja uzupełniajca Opracował: Łukasz Blacha Politechnika Opolska Katedra Mechaniki i PKM Opole, 2011 2 Wprowadzenie Do celów wiczenia
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PŁYNÓW Płyn
MECHANIKA PŁYNÓW Płyn - Każda substancja, która może płynąć, tj. pod wpływem znikomo małych sił dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może swobodnie się przemieszczać
Bardziej szczegółowo[ ] ρ m. Wykłady z Hydrauliki - dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne
WYKŁAD 1 1. WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne Płyn - ciało o module sprężystości postaciowej równym zero; do płynów zaliczamy ciecze i gazy (brak sztywności) Ciecz - płyn o małym współczynniku ściśliwości,
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I
J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałach otwartych Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy
Bardziej szczegółowoMechanika płynów : laboratorium / Jerzy Sawicki. Bydgoszcz, Spis treści. Wykaz waŝniejszych oznaczeń 8 Przedmowa
Mechanika płynów : laboratorium / Jerzy Sawicki. Bydgoszcz, 2010 Spis treści Wykaz waŝniejszych oznaczeń 8 Przedmowa 1. POMIAR CIŚNIENIA ZA POMOCĄ MANOMETRÓW HYDROSTATYCZNYCH 11 1.1. Wprowadzenie 11 1.2.
Bardziej szczegółowoAerodynamika i mechanika lotu
Prędkość określana względem najbliższej ścianki nazywana jest prędkością względną (płynu) w. Jeśli najbliższa ścianka porusza się względem ciał bardziej oddalonych, to prędkość tego ruchu nazywana jest
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA
ĆWICZENIE 8 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoIzolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe
Izolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe W literaturze technicznej mona znale róne opinie, na temat okrelenia, kiedy antena moe zosta nazwana szerokopasmow. Niektórzy producenci nazywaj anten szerokopasmow
Bardziej szczegółowoPlanowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.
Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Wstp Przy podejciu do planowania adresacji IP moemy spotka si z 2 głównymi przypadkami: planowanie za pomoc adresów sieci prywatnej przypadek, w którym jeeli
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr -Wykład 2 Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów
J. Szantyr -ykład Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów Stany skupienia materii: ciała stałe płyny, czyli ciecze i gazy -Ciała stałe przenoszą obciążenia zewnętrzne w taki sposób, że ulegają deformacji
Bardziej szczegółowoGęstość i ciśnienie. Gęstość płynu jest równa. Gęstość jest wielkością skalarną; jej jednostką w układzie SI jest [kg/m 3 ]
Mechanika płynów Płyn każda substancja, która może płynąć, tj. dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje oraz może swobodnie się przemieszczać (przepływać), np. przepompowywana
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoSTATYKA I DYNAMIKA PŁYNÓW (CIECZE I GAZY)
STTYK I DYNMIK PŁYNÓW (CIECZE I GZY) Ciecz idealna: brak sprężystości postaci (czyli brak naprężeń ścinających) Ciecz rzeczywista małe naprężenia ścinające - lepkość F s F n Nawet najmniejsza siła F s
Bardziej szczegółowoElementy pneumatyczne
POLITECHNIKA LSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INYNIERII RODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZDZE ENERGETYCZNYCH Elementy pneumatyczne Laboratorium automatyki (A 3) Opracował: dr in. Jacek Łyczko Sprawdził:
Bardziej szczegółowoPodstawowe obiekty AutoCAD-a
LINIA Podstawowe obiekty AutoCAD-a Zad1: Narysowa lini o pocztku w punkcie o współrzdnych (100, 50) i kocu w punkcie (200, 150) 1. Wybierz polecenie rysowania linii, np. poprzez kilknicie ikony. W wierszu
Bardziej szczegółowoBazy danych. Plan wykładu. Podzapytania - wskazówki. Podzapytania po FROM. Wykład 5: Zalenoci wielowartociowe. Sprowadzanie do postaci normalnych.
Plan wykładu azy danych Wykład 5: Zalenoci wielowartociowe. Sprowadzanie do postaci normalnych. Dokoczenie SQL Zalenoci wielowartociowe zwarta posta normalna Dekompozycja do 4NF Przykład sprowadzanie do
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoSposoby przekazywania parametrów w metodach.
Temat: Definiowanie i wywoływanie metod. Zmienne lokalne w metodach. Sposoby przekazywania parametrów w metodach. Pojcia klasy i obiektu wprowadzenie. 1. Definiowanie i wywoływanie metod W dotychczas omawianych
Bardziej szczegółowoW NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoPodczas wykonywania analizy w programie COMSOL, wykorzystywane jest poniższe równanie: 1.2. Dane wejściowe.
Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Grupa M3 Metoda Elementów Skończonych Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonali: Marcin Rybiński Grzegorz
Bardziej szczegółowoPraca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa
Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna
Bardziej szczegółowoTwierdzenia ekstremalne teorii plastycznoci
Twierdzenia ekstremalne teorii plastycznoci Oprócz nonoci przekroju (sprystej i plastycznej) uywane jest take pojcie nonoci granicznej konstrukcji, czyli najwikszego obcienia przenoszonego przez konstrukcj
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Po czym można rozpoznać, że na ciało działają siły? Możliwe skutki działania sił: Po skutkach działania sił. - zmiana kierunku ruchu
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoStatyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał
Statyka Cieczy i Gazów Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał 1. Podstawowe założenia teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał: Ciała zbudowane są z cząsteczek. Pomiędzy cząsteczkami
Bardziej szczegółowoWykłady z Fizyki. Hydromechanika
Wykłady z Fizyki 03 Zbigniew Osiak Hydromechanika OZ ACZE IA B notka biograficzna C ciekawostka D propozycja wykonania doświadczenia H informacja dotycząca historii fizyki I adres strony internetowej K
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoPomiar i nastawianie luzu w osiach posuwowych obrotowych
Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Technologii Mechanicznej Maszyny i urządzenia technologiczne laboratorium Pomiar i nastawianie luzu w osiach posuwowych obrotowych Cykl II Ćwiczenie 1 1. CEL
Bardziej szczegółowoRezonans szeregowy (E 4)
POLITECHNIKA LSKA WYDZIAŁINYNIERII RODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTT MASZYN I RZDZE ENERGETYCZNYCH Rezonans szeregowy (E 4) Opracował: mgr in. Janusz MDRYCH Zatwierdził: W.O. . Cel wiczenia. Celem wiczenia
Bardziej szczegółowoVZ 20. Instrukcja montau i konserwacji Mechaniczny hak szynowy VZ 20
VZ 20 Instrukcja montau i konserwacji 808451-00 Mechaniczny hak szynowy VZ 20 Wymiary gabarytowe Rys. 1 2 Elementy składowe Rys. 2 3 Zabudowa Rys. 3 4 Legenda A zaczep B popychacz C spryna naciskowa D
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y
Nr zadania Nr czynnoci Przykadowy zestaw zada nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Etapy rozwizania zadania. Podanie dziedziny funkcji f: 6, 8.. Podanie wszystkich
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 5
Podstawy fizyki wykład 5 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Grawitacja Pole grawitacyjne Prawo powszechnego ciążenia Pole sił zachowawczych Prawa Keplera Prędkości kosmiczne Czarne
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoOddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.
Siły w przyrodzie Oddziaływania Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Występujące w przyrodzie rodzaje oddziaływań dzielimy na:
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016/ /20 (skrajne daty)
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016/17-2019/20 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Mechanika płynów Kod przedmiotu/ modułu* Wydział (nazwa jednostki
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 12 ENTROPIA I NIERÓWNOŚĆ THERMODYNAMICZNA 1/10
WYKŁAD 12 ENROPIA I NIERÓWNOŚĆ HERMODYNAMICZNA 1/10 ENROPIA PŁYNU IDEALNEGO W PRZEPŁYWIE BEZ NIECIĄGŁOŚCI Załóżmy, że przepływ płynu idealnego jest gładki, tj. wszystkie pola wielkości kinematycznych i
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8B PRZEPŁYWY CIECZY LEPKIEJ W RUROCIĄGACH
WYKŁA 8B PRZEPŁYWY CIECZY LEPKIEJ W RUROCIĄGACH PRZEPŁYW HAGENA-POISEUILLE A (LAMINARNY RUCH W PROSTOLINIOWEJ RURZE O PRZEKROJU KOŁOWYM) Prędkość w rurze wyraża się wzorem: G p w R r, Gp const 4 dp dz
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 3. Dynamika punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład IZYKA I 3. Dynamika punktu materialnego Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut izyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Dynamika to dział mechaniki,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI KLASA I Budowa materii Wymagania na stopień dopuszczający obejmują treści niezbędne dla dalszego kształcenia oraz użyteczne w pozaszkolnej działalności ucznia. Uczeń: rozróżnia
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoPROFIL PRĘDKOŚCI W RURZE PROSTOLINIOWEJ
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Ćwiczenie N 7 PROFIL PRĘDKOŚCI W RURZE PROSTOLINIOWEJ . Cel ćwiczenia Doświadczalne i teoretyczne wyznaczenie profilu prędkości w rurze prostoosiowej 2. Podstawy teoretyczne:
Bardziej szczegółowoSZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWI ZA ZADA W ARKUSZU II
Nr zadania.1.. Przemiany gazu.. SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWIZA ZADA W ARKUSZU II PUNKTOWANE ELEMENTY ODPOWIEDZI Za czynno Podanie nazwy przemiany (AB przemiana izochoryczna) Podanie nazwy
Bardziej szczegółowoBADANIA DYNAMIKI MASZYN
AKADEMIA TECHNICZO - ROLNICZA BADANIA DYNAMIKI MASZYN BYDGOSZCZ - 2002r. AKADEMIA TECHNICZNO - ROLNICZA BADANIA DYNAMIKI MASZYN...z dwojga złego nie warto wybiera... BYDGOSZCZ - 2002r. Autor: Prof. dr
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Bardziej szczegółowoI Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna
I Powiatowy Konkurs Matematyka, Fizyka i Informatyka w Technice Etap finałowy 10 kwietnia 2013 grupa elektryczno-elektroniczna (imi i nazwisko uczestnika) (nazwa szkoły) Arkusz zawiera 6 zada. Zadania
Bardziej szczegółowo1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,
Bardziej szczegółowoWstp. Warto przepływu to
177 Maksymalny przepływ Załoenia: sie przepływow (np. przepływ cieczy, prdu, danych w sieci itp.) bdziemy modelowa za pomoc grafów skierowanych łuki grafu odpowiadaj kanałom wierzchołki to miejsca połcze
Bardziej szczegółowoWyznaczanie stosunku e/m elektronu
Ćwiczenie 27 Wyznaczanie stosunku e/m elektronu 27.1. Zasada ćwiczenia Elektrony przyspieszane w polu elektrycznym wpadają w pole magnetyczne, skierowane prostopadle do kierunku ich ruchu. Wyznacza się
Bardziej szczegółowoPrzyczyny zmiany struktury kryształów kolumnowych w odlewach wykonywanych pod wpływem wymuszonej konwekcji
AMME 2002 11th Przyczyny zmiany struktury kryształów kolumnowych w odlewach wykonywanych pod wpływem wymuszonej konwekcji J. Gawroski, J. Szajnar Katedra Odlewnictwa, Politechnika lska ul. Towarowa 7,
Bardziej szczegółowoCZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI
Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III CZEŚĆ PIERWSZA I. POTĘGI Zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładniku naturalnym. Oblicza wartości
Bardziej szczegółowoPodstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący:
Dynamika Podstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący: mamy ciało (zachowujące się jak punkt materialny) o znanych właściwościach (masa, ładunek itd.),
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE MOMENTÓW PĘDU STRUMIENIA
RÓWNANIE MOMENTÓW PĘDU STRUMIENIA Przepływ osiowo-symetryczny ustalony to przepływ, w którym parametry nie zmieniają się wzdłuż okręgów o promieniu r, czyli zależą od promienia r i długości z, a nie od
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoDr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach
Dr Kazimierz Sierański kazimierz.sieranski@pwr.edu.pl www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach Forma zaliczenia kursu: egzamin końcowy Grupa kursów -warunkiem
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoNiestacjonarne Wszystkie Katedra Inżynierii Produkcji Dr Medard Makrenek. Inny / Techniczny Obowiązkowy Polski Semestr trzeci. Semestr zimowy Brak Tak
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 013/014 Mechanika Płynów i Wymiana Ciepła Fluid Mechanics and Heat Transfer A.
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Bardziej szczegółowoProjektowanie i analiza zadaniowa interfejsu na przykładzie okna dialogowego.
Projektowanie i analiza zadaniowa interfejsu na przykładzie okna dialogowego. Jerzy Grobelny Politechnika Wrocławska Projektowanie zadaniowe jest jednym z podstawowych podej do racjonalnego kształtowania
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
Ukad graficzny CKE 2013 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu. WPISUJE ZDAJCY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowoĆw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2
1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej
Bardziej szczegółowoPolitechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych
Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych wiczenie laboratoryjne z wytrzymałoci materiałów Temat wiczenia: Wyznaczanie
Bardziej szczegółowoCYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO
CYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO W cyklu powietrznym jest jeden z najniszych udziałów energii promieniowania słonecznego. Jest to zaledwie około 0,3% (około 4 W/m 2 ) strumienia energii
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE 1/14
WYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE /4 RÓWNANIE EULERA W Wykładzie nr 4 wyprowadziliśmy ogólne r-nie ruchu płynu i pokazaliśmy jego szczególny (de facto najprostszy) wariant zwany Równaniem
Bardziej szczegółowo