RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH. Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH. Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe"

Transkrypt

1 POLITECHNIKA ŁÓDZKA ZBYSZKO KAZIMIERSKI RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe Łód 7

2 P O D RCZNIKI AKADEMICKIE Recenzenci: prof. dr hab. in. Zbigniew Kosma prof. dr hab. in. Stanisław Drobniak KOMITET REDAKCYJNY WYDAWNICTWA POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ Przewodniczcy: prof. dr hab. Piotr Wodziski Pełnomocnik Wydziału: prof. dr hab. in. Tomasz Kapitaniak Copyright by Politechnika Łódzka 7 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ 9-94 Łód, ul. Wólczaska 3 tel./fax (-4) ISBN Wydanie I. Nakład 35 egz. Ark. druk 5,5. Papier offset. 8 g. 7 x 1 Druk ukoczono w czerwcu 7 r. Wykonano w Drukarni Offsetowej Quick-Druk s.c Łód, ul. Łkowa 11 Nr 1168

3 Spis treci Przedmowa Wstp Model wiru, jego weryfikacja i metody wirowe Teoretyczny model pojedynczego wiru Metody wirowe Ruch wirowy powietrza w atmosferze Efekt Coriolisa Cyklony tropikalne Tornada i trby powietrzne Kryterium podobiestwa ruchu wirowego Rozwizania zagadnie mechaniki płynów w tym ruchu wirowego za pomoc komputerów Przegld stosowanych metod sprowadzania równa mechaniki płynów do postaci algebraicznej Rónice skoczone schematy równa i ich stabilno Metody elementarnej objtoci kontrolnej Algorytmy komputerowych symulacji ruchu gazów i cieczy Modele turbulencji i metody rozwizania ruchu turbulentnego Numeryczna realizacja metod wirowych Ruch wirowy w maszynach przepływowych Przepływy przez turbiny Przepływy przez sprarki Przepływy przez pompy Przepływy wirowe w urzdzeniach do formowania przdzy Wiry w komorach wtryskiwaczy cieczy Przepływy przez rur wirow Ranka i cyklony odpylajce Ruch wirowy płynów, a zasady zachowania masy, pdu i energii Zakoczenie...8 Literatura

4 Przedmowa Czytelnikom tej ksiki wyjaniam, e ma ona w znacznej czci charakter popularno-naukowy. Matematyka i mechanika płynów s w niej wykorzystane w najprostszej formie, która powinna by znana studentom politechnik, ale i bez tej znajomoci ksika powinna by zrozumiała dla czytelników, którzy szukaj w niej treci fizycznych. Wzory pomagaj w rozumieniu tych treci, ale nie s bezwzgldnie konieczne. W roku 5, kiedy powstawała ksika, w niektórych krajach połoonych bliej równika ni Polska, szalały tropikalne cyklony, niszczce wszystko na swej drodze. W Polsce stosunkowo rzadko, ale take zdarzaj si tzw. trby powietrzne i te s przyczyn wielu zniszcze. Nie mona zatem, piszc o ruchu wirowym płynów, nie napisa równie o tych zjawiskach, które do ruchu wirowego nale. Std w tytule znalazło si okrelenie w przyrodzie, bo chodzi midzy innymi o zjawiska, które budz due zainteresowanie czytelników. Wród czytelników jest wielu takich, którzy obserwowali wirowe zagłbienia na powierzchni płyncej wody za podporami mostowymi, które nie s przyczyn szkód ale s ciekawym zjawiskiem i te nale do ruchu wirowego. Wiele osób obserwowało take wirowy spływ wody z otwartego zbiornika (np. z wanny) i stwierdziło, e jest to ruch niestateczny. O nim take bdzie mowa w tej ksice. Ruch wirowy w duej skali jest tematem tej ksiki. Ten rodzaj ruchu nazywa si take ruchem zawirowanym. Powstaje pytanie, czy ruch płynów jest stateczny? Okazuje si, e płyny w czasie ruchu bardzo szybko trac stateczno. Z reguły mamy do czynienia z ruchem turbulentnym, który powstaje i rozwija si po utracie statecznoci poruszajcego si płynu, zwany jest po prostu turbulencj przepływów. Bdzie tu głównie rozpatrywany tzw. ruch zawirowany, w którym turbulencja istnieje, i odgrywa wan rol. Zastrzeenie to jest czynione dlatego, e turbulencja ma take struktur wirow, cho w mniejszej skali. Bdzie to uwzgldnione w programach komputerowych, jakie s uyte do analizy ruchu wirowego płynów. Rozwaania bd prowadzone dla zmiennych pierwotnych, tzn. takich jakie wystpuj w nie przekształconych równaniach podstawowych, czyli dla prdkoci, cinienia itd. Wiele zjawisk ruchu wirowego zostało rozwizanych za pomoc istniejcych programów komputerowych, dlatego jeden z rozdziałów został tym zagadnieniom powicony. Ujcie to naley zaliczy take do popularnonaukowych. Ksika zawiera take treci odnoszce si do ruchu wirowego płynów w niektórych maszynach i urzdzeniach. Chodzi o maszyny przepływowe i o ruch wirowy, który ma w nich miejsce. Istniej programy komputerowe własne i tzw. komercyjne, które słu do badania przepływu w tych maszynach wraz z rónymi modelami turbulencji. Programy te odpowiadaj na wiele pyta zwizanych z rozkładami prdkoci i cinie. Wymaga to jednak postawienia warunków brzegowych nie tylko 4

5 na ciankach, które s oczywiste, ale take na wlocie i wylocie z kanału maszyny, które oczywiste nie s. O ile odległoci od osi maszyny s znaczne (co to oznacza, to jest w ksice wyjanione) to mona załoy rozkłady prdkoci obwodowej, które s zblione do rozkładów potencjalnych, tzn. takich, w których elementy płynu nie wiruj wokół własnych osi obrotu. Gdy natomiast kanały wlotowe lub wylotowe obejmuj o maszyny, to tego w stosunku do składowej obwodowej prdkoci zrobi nie wolno. Oprócz zagadnie zwizanych z maszynami s tu omówione niektóre urzdzenia wykorzystywane w technice, w których mamy do czynienia z ruchem wirowym płynów. S to urzdzenia wykorzystywane we włókiennictwie do formowania przdz. S take omówione tzw. rury Ranka, w których skutki ruchu wirowego s wyrane, bo nastpuje w nich rozdział powietrza na zimne i gorce. Efekt Ranka moe by wykorzystany w rónych zastosowaniach technicznych. Omówione s równie wiry w komorach wtryskiwaczy cieczy jeli to s wtryskiwacze wirowe i strumieniowo-wirowe. Dla urzdze technicznych stosowano program komputerowy własny i programy CFX zakładajc, e przepływ jest ustalony. Model turbulencji uyty w programie komputerowym był nie bez znaczenia. Uyto przy tym zmiennych pierwotnych. Oprócz nich mona te stosowa tzw. metody wirowe, w których przekształca si równania podstawowe i uywa funkcji wirowoci oraz funkcji prdu. O metodach tych, które s do złoone jest w ksice wspomniane. Przedostatni rozdział ksiki jest powicony temu, e ruch wirowy w tzw. rdzeniu wiru (w rodku) znamienny tym, e wystpuje w nim prawie liniowy rozkład składowej obwodowej prdkoci, jest zwizany z zasad wydatkowania jak najmniejszej energii. Ta zasada jest tam przedstawiona. Bd w tym rozdziale przedstawione take inne zasady mechaniki płynów, które s pomocne w wyznaczeniu istotnych wymiarów wiru. Dzikuj za merytoryczn i techniczn pomoc w opracowaniu ksiki członkom Zakładu Mechaniki Płynów Instytutu Maszyn Przepływowych Politechniki Łódzkiej. 5

6 1. WSTP Płyny to substancje, które maj zdolno do zmiany swych kształtów pod działaniem dowolnie małych sił zewntrznych, byleby działały one dostatecznie długo. Płyny wic róni si od ciał stałych tym, e one nie posiadaj sztywnoci postaciowej, po prostu płyn - std ich nazwa. Wynika to z ich struktury molekularnej i małych sił wewntrznej spójnoci, które w cieczach i gazach wprawdzie wystpuj, lecz s małe w porównaniu z siłami, które wystpuj w ciałach stałych. Płyny dzielimy na ciecze i gazy. Ciecze to s te płyny, które zmieniaj nieznacznie sw objto pod wpływem działania sił zewntrznych. Mówimy, e ciecze s praktycznie nieciliwe. Kady, kto bawił si lekarsk strzykawk napełnion wod mógł to stwierdzi osobicie. Ciecze wypełniaj cz zbiorników, równ objtoci wprowadzonej cieczy, tworz powierzchnie swobodne oraz krople pod wpływem sił napicia powierzchniowego. Gazy s to te płyny, które zmieniaj znacznie swe objtoci pod wpływem sił zewntrznych. S to płyny ciliwe. Kady, a jest takich wielu, kto bawił si lekarsk strzykawk wypełnion powietrzem, mógł to zauway. Gazy wypełniaj cał objto pomieszcze, w których si znajduj. Wypełniaj, poniewa siły spójnoci midzy czsteczkami gazu s znikome, znacznie mniejsze ni ma to miejsce w cieczach. Rys Ziemia i granica atmosfery oraz ksiyc 6

7 W przypadku atmosfery ziemskiej jej gsto maleje wraz z wysokoci nad poziom morza. Dzieje si tak dlatego, e konkuruj ze sob dwa wpływy. Energia kinetyczna czsteczek powietrza (któr maj dziki ogrzaniu przez słoce) oraz grawitacja ziemska. Gruboci atmosfery cile nie mona okreli. Wiadomo, e atmosfera jest do cienk warstw, jeli j porówna z promieniem ziemi, który wynosi 637 km. Około 5% atmosfery zawarte jest w warstwie o gruboci 5,6 km, a 75% atmosfery znajduje si poniej 11 km, a 99% poniej 3 km nad poziom morza. Tak wic samoloty bojowe (odrzutowe) lataj zwykle poniej km. Zadania szpiegowskie ju dawno przejły bezzałogowe satelity, których jest wiele i które informuj swoich mocodawców o wszystkim co mog zobaczy, a mog wiele, gdy wyposaone s w doskonałe przyrzdy optyczne. Na rys. 1.1 i 1. jest pokazana grubo atmosfery w stosunku do ziemi. Gsto atmosfery zaley od temperatury i cinienia. Na poziomie morza wynosi ona w normalnych warunkach ρ = 1, kg/m 3, ale na wysokoci 1 km nad ziemi wynosi ρ =,41 kg/m 3. Cinienie atmosfery na poziomie morza jest p = 1, Pa, a na wysokoci 1 km jest p =, Pa. Rozkłady te nie s liniowe. Zarówno ciecze, jak i gazy s lepkie, cho ta lepko jest niewielka. Lepko powoduje naprenia styczne wewntrz płynów i na styku midzy ciank a płynem. Warto lepkoci płynów mona znale w ksikach dotyczcych mechaniki płynów. Stateczny ruch płynów rzeczywistych, lepkich - zwany laminarnym (warstwowym) istnieje, cho ogranicza si do małych prdkoci lub bardzo małych wymiarów liniowych. Płyny podczas ruchu bardzo szybko trac stateczno. Zwykle mamy do czynienia z ruchem płynów, który istnieje po utracie statecznoci - zwanym turbulentnym (burzliwym). Na ten rodzaj ruchu maj wpływ niestatecznoci, które go wywołuj i inne czynniki, o których bdzie jeszcze mowa w tej ksice. Liczb podobiestwa tego ruchu jest liczba Reynoldsa. Została ona okrelona dla rury o przekroju kołowym i jest równa: Re = υ d /ν, gdzie: υ - jest redni prdkoci transportu płynu, d - jest rednic rury, a ν - jest lepkoci kinematyczn płynu. Utrata statecznoci i powstanie ruchu turbulentnego nastpuje przy pewnej liczbie Reynoldsa. Dla rury o przekroju kołowym jest to zwykle Re 3. Poniej tej liczby przepływ jest laminarny. Dalej przy wzrocie prdkoci płynu lub wymiarów liniowych istnieje przepływ turbulentny, który jest przepływem złoonym. Jest on bardzo wany, bo straty energii, które w nim wystpuj s duo wiksze, ni w ruchu laminarnym. Ogólnie liczba Reynoldsa jest to Re = υ l / ν, gdzie υ, l - s wybranymi wielkociami prdkoci i wymiaru liniowego. Ruch turbulentny od dziesitków lat stanowi nierozwizany problem nauki i techniki. Istniej wprawdzie coraz doskonalsze modele turbulencji, ale nie mamy modelu uniwersalnego, który obejmowałby wszystkie przypadki ruchu turbulentnego płynów. Mówimy przy tym o zmiennych pierwotnych, pochodzcych z nie przekształconych równa podstawowych, tzn. o prdkociach, cinieniach itp. Z tymi zmiennymi bd zwizane modele ruchu turbulentnego, o ile 7

8 stosujemy do równa podstawowych sposób uredniania w czasie, nazywany urednianiem Reynoldsa, tzn. RANS. Moe to wszystko budzi sprzeciw czytelników, którzy twierdz, e samoloty lataj, okrty (w tym podwodne) pływaj i nikomu nie przeszkadza to, e nie ma ogólnego rozwizania ruchu turbulentnego. Rys. 1.. Widok atmosfery ziemskiej z balonu meteorologicznego Tak, samoloty lataj, okrty pływaj (a ich katastrofy nie s zwizane z brakiem uniwersalnego modelu turbulencji), gdy mamy due bazy danych eksperymentalnych, dziki którym to latanie i pływanie jest moliwe. Nasze istniejce modele turbulencji s oparte włanie o te dane. Najnowszym sposobem rozwizywania przepływu turbulentnego płynu jest tzw. DNS, wymaga on jednak bardzo wydajnych komputerów i jest stosowany obecnie (rok 6) tylko do sprawdzenia rozwiza w prostej geometrii. Modelowanie ruchu turbulentnego jest koniecznoci w przypadku, gdy chcemy uzyska wiarygodn informacj o stratach energetycznych. Okazuje si jednak, e istniejce modele turbulencji odpowiadaj w miar poprawnie na zadane pytania o ile bazy danych eksperymentalnych s bliskie lub zgadzaj si z rozpatrywanym przypadkiem. Wiemy, e przepływ turbulentny zaley nie tylko od danych materiałowych, ale w znacznym stopniu, a czasem w decydujcej mierze od pulsacji prdkoci i od warunków brzegowych, które w rzeczywistoci nigdy nie s stacjonarne. Wiemy równie, e przepływ turbulentny rozwija si wraz ze wzrostem Re, ale ten wzrost jest ograniczony. Opór przepływu w dalszym cigu wzrostu Re nie zaley ju od tej liczby, ale zaley od warunków brzegowych [16]. Ruchy wirowe, które s przedmiotem tej ksiki maj istotn cech, e s do trwałe. S to take powszechnie wystpujce rodzaje ruchów płynów. Jest znamienne, e zwikszenie prdkoci ktowej w wirujcym płynie jest powizane ze znan w mechanice zasad zachowania momentu pdu, w rónych skalach. Kady z nas widział w TV ływiark lub ływiarza, którzy wykonuj piruet, czyli zwikszaj sw prdko ktow. Robi to cigajc rce 8

9 i nogi jak najbliej osi wirowania i w ten sposób zmniejszaj swój moment bezwładnoci, zwikszaj prdko ktow, zachowujc moment pdu (prawie stały). W mechanice płynów ma to swój odpowiednik w postaci tzw. drugiego twierdzenia Helmholtza. cisłe wyprowadzenie tego twierdzenia mona znale w [13] i [6]. Tutaj zostanie ono przedstawione w sposób popularny. Mamy do czynienia z ruchem wirowym płynu, tzn. takim, w którym elementy płynu wykonuj ruchy obrotowe o prdkoci ktowej ω. Lini wirow nazywamy lini pola wektorowego wirowania elementów płynu. Zbiór linii wirowych przechodzcych przez zamknit lini, nie bdc lini wirow nazywamy rurk wirow. Przykład fragmentu rurki wirowej pokazano na rys.1.3. Oznaczymy przekroje tej rurki przez A, A 1, A, których ladem na powierzchni bocznej rurki s linie: S, S 1, S, jednokrotnie obejmujce rurk wirow. Powierzchnie boczne oznaczymy odpowiednio przez: A b1, A b (rys. 1.3). Moduły wektorów n równe s jeden, a kropka we wzorze (1.1) oznacza iloczyn skalarny. Ze znanego twierdzenia Stokesa otrzymamy: ω 1 n1da1 = ω nda (1.1) A1 A Rezultat ten wynika z faktu, e strumienie wirowoci przez powierzchnie boczne, które s powierzchniami wirowymi równe s zeru. Gdy obliczamy redni warto rzutu wirowoci ωn w danym przekroju A: mona napisa: A ( n )da ω n = ω, A ω A A const (1.) n 1 1 = ωn = Równania (1.1) i (1.) wyraaj sformułowanie drugiego twierdzenia Helmholtza. Najprociej to pokazuje jednak równanie (1.). Rys Schemat rurki wirowej 9

10 Mówi ono, e iloczyn redniej wartoci rzutu prdkoci ktowej elementu płynu na kierunek prostopadły do przekroju rurki razy pole tego przekroju jest stały. Wynika z tego wany wniosek. Taki, e wtedy gdy rurka wirowa jest zmniejszana (tzn. jej przekrój maleje), prdko ktowa elementu płynu zawartego wewntrz tej rurki ronie. Zatem rozciganie wirów prowadzi do wzrostu prdkoci ktowej elementów płynu znajdujcych si w rurkach wirowych. Okazuje si, e charakterystyczna dla turbulentnego ruchu płynów jest jego struktura wirowa. Rozciganie wirów za stanowi o tym, e posiadaj one wysokie czstoci obrotów i małe wymiary. Wiry turbulentne s znacznie mniejsze ni wiry charakterystyczne dla cyklonów tropikalnych lub tornad. S te mniejsze od wymiarów liniowych kanałów maszyn przepływowych i wtryskiwaczy. W tej ksice bdziemy rozpatrywa ruchy w duej skali, w których turbulencja istnieje i odgrywa w nich wan rol. Wpływ turbulencji bdzie uwzgldniany w programach komputerowych, jakie s stosowane do przepływów w duej skali, przy tym stosowane bd urednienia typu RANS. Do badania statecznoci rozwiza równa rzdzcych ruchem płynów, w tym take ruchów wirowych, przez lata stosowano liniow teori statecznoci. Do równa ruchu wprowadzono małe zaburzenia i obserwowano zachowanie si tych zaburze z upływem czasu. W stanie krytycznym amplituda pewnej harmonicznej ronie wykładniczo z czasem, wzbudzaj si inne formy zakłóce, a przepływ traci stateczno. Tak powstały równania np. Orra-Sommerfelda [6]. Wraz z rozwojem matematycznej teorii chaosu deterministycznego zmienił si punkt widzenia na problemy statecznoci, a szczególnie stosowania teorii liniowych. Okazało si bowiem, e na podstawie teorii liniowej mona mniej lub bardziej dokładnie przewidzie, gdzie lub kiedy pojawia si niestabilno, lecz nie wiadomo, co stanie si w rezultacie jej powstania. Innymi słowy nie odpowiada ona na fundamentalne pytanie: co bdzie potem? Turbulencja to jest włanie to zjawisko, które dzieje si po utracie statecznoci. Rozwój teorii chaosu deterministycznego obudził wielkie nadzieje i oczekiwania w zakresie teoretycznego rozwizania przepływów turbulentnych. Pojawiło si bardzo wiele prac w zakresie teoretycznego badania stabilnoci elementarnych przepływów laminarnych. Wydawało si pocztkowo, e badanie pojawienia si niestacjonarnoci w płynie po utracie stanu statecznego i badanie historii narastania tej niestacjonarnoci przy uyciu metod chaosu deterministycznego pozwol na teoretyczne rozwizanie problemu turbulencji. Stosowano pocztkowo teori bifurkacji Hopfa-Landau a. Teoria ta przetrwała do 197 roku, kiedy dwaj matematycy Ruelle i Takens wykazali, e dla układów dyssypatywnych, a takie s opisywane przez równania rzdzce ruchem płynów, teoria bifurkacji ma bardzo ograniczony zakres. Wnioski były takie: pierwsze zmiany stanu ruchu, czyli przejcia od stanu stacjonarnego do pojedynczych oscylacji, s moliwe do opisania przez teori Hopfa-Landau a, natomiast ju druga zmiana stanu nie jest trwała, nawet małe zaburzenia mog j niszczy. Trzecia pojawiajca si czsto ju nie synchronizuje si w ogóle. W wyniku kombinacji tych pojawiajcych si nowych stanów powstaje tzw. dziwny atraktor. Tak wic stosowana przez wiele lat teoria Hopfa-Landau a okazała si strukturalnie niestabilna. 1

11 Wiadomo ju, e za niektóre zjawiska przepływu turbulentnego, szczególnie w pocztkowym stadium jego rozwoju odpowiada chaotyczna dynamika atraktora. W pełni rozwinita turbulencja moe jednak wymaga atraktorów o olbrzymiej liczbie wymiarów, tysicy lub wicej i staje si niemoliwa do praktycznej realizacji. Obecnie wydaje si, e wytłumaczenie zjawisk turbulencji za pomoc teorii chaosu deterministycznego jest mało prawdopodobne [31]. Chyba, e nastpi w tym zakresie zdecydowany zwrot w stosunku do obecnego stanu wiedzy (rok 7).. MODEL WIRU JEGO WERYFIKACJA I METODY WIROWE Do rozwizania problemów przepływów rzeczywistych (lepkich) mona rozmaicie podej. W tej ksice zostanie zaprezentowana metoda, która dla ruchu trójwymiarowego, ciliwego opiera si o stosowanie zmiennych pierwotnych, pochodzcych wprost z równa podstawowych mechaniki płynów. S to prdkoci, cinienia itp. Innym podejciem jest tzw. metoda wirowa. W metodzie tej s stosowane zmienne zalene, które pochodz z przekształconych równa podstawowych, takie jak wirowo ω i funkcja prdu ψ. Metodami rozwizania równa w obydwu tych podejciach s metody numeryczne. Poniewa ta ksika dotyczy metod, w których stosowane s zmienne pierwotne, to metodom wirowym powicona jest ostatnia cz tego rozdziału, aby czytelnikom uzmysłowi, e cho w nazwie ksiki jest uyte słowo wirowy, to w metodach nazywanych wirowymi chodzi o inne podejcie do problemu. Na pocztek rozwaymy pojedynczy wir, który si pojawia czsto, w rónych okolicznociach. Teoretyczne modele tego wiru s dwuwymiarowe, zbudowane dla cieczy nielepkiej, o stałej temperaturze. Równaniem stanu tej cieczy (w której nie zmienia si gsto) jest ρ = const, i trzeba załoy warto gstoci (np. dla wody to jest ρ =1 3 kg/m 3 lub dla powietrza ρ =1, kg/m 3 )..1. Teoretyczny model pojedynczego wiru W [1] i [] i wczesnych wydaniach [13] rónie si ten wir nazywa. Nazywa si wirem Rankina lub wirem kołowym, a w przypadku analizowania wirowych zagłbie na powierzchni wody kombinowanym wirem Rankina. W tej ksice nie chodzi o nazwy tylko o sedno problemu. Zawsze zakłada si dwuwymiarowy rozkład prdkoci dla modelu tego wiru. Najlepiej jest uy biegunowego układu współrzdnych, w którym: 11

12 υ z = ; dla υ r = ; r r = ω r dla r < r < + υ θ = ω υ θ r r υ θ zakładamy w postaci (.1) gdzie: υ θ jest składow obwodow, υ r i υ z odpowiednio - promieniow i osiow składow prdkoci, ω jest stał (tak sam dla obu zakresów). Na rys..1 podany jest szkic wiru i rozkład jego składowej obwodowej prdkoci. Rozkład ten traktujemy jako pewien model teoretyczny przepływu, dla którego musz by spełnione powszechnie znane zasady zachowania masy, pdu i energii. a) b) y υθ r υθmax r θ x r r Rys..1. a) szkic układu współrzdnych; b) rozkład składowej obwodowej prdkoci dla wybranego r Rys..1b podaje, e dla r r rozkład prdkoci jest podobny do tego jaki istnieje w naczyniu, które wiruje wraz z ciecz lub w ciele stałym, ale wynika z obserwacji eksperymentalnych ruchu wirowego płynu. Dla r > r jest to oczywicie rozkład dla którego υ r jest wielkoci θ stał. Pomimo tego, e elementy płynu maj prdko liniow to nie wiruj one wokół własnych osi obrotu. Wir ten jest nazywany wirem potencjalnym. Dla r ; υ θ musiałoby osign nieskoczon warto, jeliby rozpatrywa rozkład potencjalny, a to jest niemoliwe, dlatego nie realizuje si w rzeczywistoci. W zakresie r r wystpiłyby wtedy due gradienty prdkoci, co przy niezerowej lepkoci turbulentnej, jaka tam ma miejsce, prowadzi do wielkich napre stycznych. W rzeczywistoci wynika z tego zwizanie płynu zawartego w przedziale r r i rozkład prdkoci danej za pomoc pierwszej czci wzoru (.1). Jest on nazywany take rdzeniem wiru. Co to jest lepko turbulentna i dlaczego w rodku wiru jej warto jest dua, bdzie w tej ksice wyjanione. 1

13 Wyznaczenie promienia r nie jest spraw prost. Jest ono moliwe pod warunkiem, e dysponujemy modelem tego przepływu. Rozkład prdkoci pokazany na rys..1b spełnia równanie cigłoci i energii. Bdzie to wyjanione w rozdziale 1. tej ksiki. Jedynym załoeniem poza rozkładami prdkoci, jakie przy tym wykonano, to jest załoenie, e dla r cinienie powinno by cinieniem barometrycznym p a. Rozkład cinienia obliczymy z równania zachowania pdu: = (.) dp dr ρ υ θ r Gdy podstawimy do (.) drugi ze wzorów (.1), to otrzymamy 4 ω r p ( r ) = ρ + C r i wyznaczamy stał całkowania C z warunków: gdy r to pierwszy wyraz dy do zera, a cinienie p = pa, czyli C = pa, tzn. dla r > r : p = p a 4 ω r ρ (.3) r Gdy podstawimy do (.) pierwszy ze wzorów (.1) i obliczymy stał całkowania z warunku, e dla r = r cinienie jest takie samo dla przepływu potencjalnego i niepotencjalnego, czyli to uzyskamy i std otrzymamy dla r r : p( r ) p ρω r /, = a C = pa ρω r r p = pa ρω r ( 1 ) (.4) r Najnisze cinienie panuje w centrum wiru, czyli dla r = i ze wzoru (.4) wynika, e jest ono równe: p ( r ) = pa ρ r ω = (.5) Dla rozkładów cinie (.3) i (.4) spełnione jest równanie zachowania pdu. 13

14 .1.1. Model wiru, a wyliczenie kształtu wirowych zagłbie na powierzchni płyncej wody Uprzedzajc nieco eksperyment dla tych czytelników, którzy s zainteresowani wirowymi zagłbieniami na powierzchni płyncej wody tworzcymi si za rónego rodzaju przeszkodami np. za podporami mostowymi, wyjaniam, e mona je opisa stosujc poprzednio omówiony model teoretyczny. Wiry te popularnie nazywaj si lejkami na wodzie. Podpory mostowe s zwykle ciałami, które zaliczamy do le oprofilowanych aerodynamicznie. Za nimi pojawiaj si wiry na wodzie, które zrywaj si po jednej i potem po drugiej stronie podpory i przesuwaj si w dół prdu. Wiry jakie tam wystpuj nazywa si take kombinowanymi wirami Rankina. Zakładamy, e te wiry nie oddziaływaj wzajemnie midzy sob. Wiry oddziaływujce s modelowane przez tzw. ciek Karmana, [1], []. Woda jest dostatecznie cika (około 85 razy cisza od powietrza), aby do rozwaa wprowadzi czynnik zwizany z sił grawitacji, czyli potencjałem g z, a na powierzchni wody załoy barometryczne cinienie p a. Prawd mówic to zadanie jest trójwymiarowe, ale tu zakłada si rozkład prdkoci υ r, υz << υθ. Składowa υ θ jest okrelona przez wzory (.1). Na rys.. objaniony jest układ współrzdnych jaki jest przyjty dla przeprowadzonych oblicze. Układ jest zwizany z przesuwajcymi si wirami. r z r Rys... Układ współrzdnych i kształt lejków na wodzie r > r, Wobec tak przyjtego układu współrzdnych piszemy dla gdy przepływ jest potencjalny, równanie Bernouliego, które ma posta: p r + ω ρ 4 r z g z = const. (.6) 14

15 Równanie Bernouliego (.6) mona wyprowadzi zakładajc, e gsto ρ jest stała. Gdy r > r trzeba załoy, e przepływ jest potencjalny i podstawi drugi wariant rozkładu prdkoci (.1). Przyj trzeba take, e istotny jest ciar wody i uwzgldni to w rozwaaniach wprowadzajc potencjał grawitacyjny g z. Const oznacza w równaniu Bernouliego energi całkowit, przypadajc na 1 kg płyncego czynnika, któr trzeba wyznaczy i która powinna by stała. Dla z = ; r + cinienie jest stałe p a i std const = pa / ρ, czyli dla r > r (tj. dla przepływu potencjalnego); cinienie jest równe: p p a ω r + g z ρ ρ r 4 =. (.7) Głboko lejka dla r > r obliczymy, gdy na całej jego powierzchni jest stałe cinienie barometryczne p = p a ; z 4 ω r =. (.8) gr Dla r r wystpuj dwa skalarne równania zachowania pdu, bo wprowadzono sił cienia, z których obliczamy cinienie, tak jak to robiono dla wirówki, gdy ciecz pozostaje w stanie równowagi wzgldnej bez polizgu wzgldem cianek naczynia [16]. Uyto dwóch pochodnych czstkowych: p = ρ rω r p z ; = ρ g. Po całkowaniu pierwszego równania dla cinienia otrzymamy: r p = ρ ω + f ( z ) Róniczkujc to równanie wzgldem z dowiemy si, e (.9) pochodna f ' ( z ) jest to p, czyli z p = z f ' ( z ) f ( z ) = ρ g z + C a to z kolei oznacza, e cinienie dla r r jest równe: 15

16 r p = ρ ω + ρ g z + C Stała całkowania C jest wyliczona z warunku, e dla r = r cinienie p(r ) musi by takie samo jak dla przepływu potencjalnego. ω r Wynika z tego, e p(r ) = pa + ρ g z ρ. Tu z to jest z dla r = r (patrz rys..) i std obliczymy stał całkowania: Ostatecznie: ω r C = p( r ) ρ g ρ z. r p = pa + ρ g z ρω r ( 1 ) (.1) r Na powierzchni lejka panuje cinienie barometryczne dla r r jego głboko wynosi: p = pa i wyliczymy, e r r z = ω ( 1 ) (.11) g r r = r wzory (.8) i (.11) daj ten sam wynik. Mona sprawdzi, e dla Najwiksza głboko lejka wystpuje w rodku wiru dla r = i jest równa: r ω z ( r= ) = (.1) g Problemem jest obliczenie r, ale to wymaga przyjcia modelu przepływu rzeczywistego..1.. Wirowy spływ wody z otwartego zbiornika Taki spływ wody ze zbiornika wystpuje bardzo czsto. Moe to by np. wanna, w której jest otwór spływowy. Gdy wody jest duo, wirowy spływ ma charakter taki jak to opisano wzorami od (.6) do (.1). Mona zatem wyliczy głboko lejka na wodzie w miejscu jego wirowego spływu. Najwiksza głboko lejka istnieje w rodku wiru (czyli rodku spływu). Wane jest, e decydujc rol odgrywaj w wirze siły odrodkowe. Mona si o tym przekona machajc rk, po to aby zmieni kierunek wirowania wody. Wtedy, o ile wanna jest symetryczna (ale z reguły jest niesymetryczna), woda zmieni kierunek 16

17 prdkoci obwodowej. Siła odrodkowa, która jest proporcjonalna do kwadratu prdkoci obwodowej bdzie znów działała tak samo. Wody w zbiorniku bdzie coraz mniej, a do momentu kiedy pojawi si tzw. rdze powietrzny. Prawd mówic przepływ jest trójwymiarowy, ale w tym ujciu zagadnienia zakłada si dla prostoty, e rozkład prdkoci υ r, υ z << υθ, który jest okrelony przez wzory (.1). Aby uproci zadanie i pozosta tylko w rejonie spływu potencjalnego robimy załoenie, e promie rdzenia powietrznego r r jest równy promieniowi r, czyli r r. Piszemy wic równanie Bernouliego: p υθ + g z = ρ pa ρ (.13) gdy dla r ; υ θ ; z ; p pa. Uwzgldniajc to, e przepływ jest potencjalny υ θ obliczymy ze wzoru (.1) i piszemy ponownie: p ρ 4 r p + g z = a ω r r ρ (.14) Poniewa w rdzeniu powietrznym wiru o promieniu r r panuje cinienie wyznaczamy kształt powierzchni swobodnej wody dla co jest pokazane na rys..3. z r rr : p a, 4 ω rr = (.15) gr rr pa r z Rys..3. Woda spływajca wirowo z otwartego zbiornika, gdy jest jej mało 17

18 .1.3. Model teoretyczny, a wiry rzeczywiste w technice Czy przedstawiony model teoretyczny ruchu wirowego ma co wspólnego z rzeczywistym przepływem? To jest pytanie, na które trzeba przede wszystkim odpowiedzie. Okazuje si, e ma wiele wspólnego. Na przykładzie cyklonów tropikalnych i tornad, bdzie to wyjanione w dalszej kolejnoci, a teraz uwaga zostanie skupiona na urzdzeniach technicznych. W tym celu zostan wykorzystane badania eksperymentalne. Przedstawiony bdzie szereg rezultatów, z których wynika, e załoony rozkład teoretyczny prdkoci jest zbliony do rzeczywistego: [9], [7], [35]. Przede wszystkim na osi wiru nie moe wystpowa rozkład potencjalny, bo dla r = ; υ, a zgodnie z równaniem Bernouliego cinienie dla r =, dyłoby do. Nie moe to mie miejsca. Wszystkie wymienione poniej badania wykazuj, e składowa obwodowa prdkoci dla r = jest take zerem, tj. υ =. Tak zwana lepko turbulentna jest natomiast w rodku wiru θ dua. Wynika to z oblicze przeprowadzonych według programów komputerowych i modelu turbulencji k ε. W 1. rozdziale zostanie udowodnione, e rozkład składowej obwodowej prdkoci jest trwały. Jest tak, poniewa rozkład ten wie si z minimalizacj energii jaka jest potrzebna do utrzymania wiru. y r θ x φ R z Cz cylindryczna współrzdne cylindryczne z, r, θ Cz dyfuzorowa współrzdne kuliste R, φ, θ Rys..4. Schemat dyfuzora uytego do osignicia rozkładu prdkoci obwodowej, pokazanej na rys..5. x, y,z - kartezjaski układ współrzdnych, przy tym płaszczyzna x,, y - jest prostopadła do rys..4, φ - kt midzy promieniem R, a osi z ; θ - kt midzy osi x i promieniem r ; r - rzut promienia R na płaszczyzn x,, y 18

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 1 Temat: Wyznaczanie współczynnika

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII

MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII TEST PRZED MATUR 007 MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII ZAKRES ROZSZERZONY Numer zadania......3. Punktowane elementy rozwizania (odpowiedzi) za podanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Jan A. Szantyr tel

Jan A. Szantyr tel Katedra Energetyki i Aparatury Przemysłowej Zakład Mechaniki Płynów, Turbin Wodnych i Pomp J. Szantyr Wykład 1 Rozrywkowe wprowadzenie do Mechaniki Płynów Jan A. Szantyr jas@pg.gda.pl tel. 58-347-2507

Bardziej szczegółowo

SPIS OZNACZE 1. STATYKA

SPIS OZNACZE 1. STATYKA SPIS TRECI OD AUTORÓW... 7 WSTP... 9 SPIS OZNACZE... 11 1. STATYKA... 13 1.1. Zasady statyki... 16 1.1.1. Stopnie swobody, wizy, reakcje wizów... 18 1.2. Zbieny układ sił... 25 1.2.1. Redukcja zbienego

Bardziej szczegółowo

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni.

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni. Ciśnienie i gęstość płynów Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha Powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy zarówno ciecze

Bardziej szczegółowo

OBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ

OBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ ! OBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ RÓWNANIE BERNOULLIEGO Równanie Bernoulliego opisuje ruch płynu i ma trzy składowe: - składow prdkoci - (energia kinetyczna ruchu), - składow połoenia (wysokoci) - (energia potencjalna),

Bardziej szczegółowo

Statyczna próba skrcania

Statyczna próba skrcania Laboratorium z Wytrzymałoci Materiałów Statyczna próba skrcania Instrukcja uzupełniajca Opracował: Łukasz Blacha Politechnika Opolska Katedra Mechaniki i PKM Opole, 2011 2 Wprowadzenie Do celów wiczenia

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Izolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe

Izolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe Izolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe W literaturze technicznej mona znale róne opinie, na temat okrelenia, kiedy antena moe zosta nazwana szerokopasmow. Niektórzy producenci nazywaj anten szerokopasmow

Bardziej szczegółowo

Aerodynamika i mechanika lotu

Aerodynamika i mechanika lotu Prędkość określana względem najbliższej ścianki nazywana jest prędkością względną (płynu) w. Jeśli najbliższa ścianka porusza się względem ciał bardziej oddalonych, to prędkość tego ruchu nazywana jest

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA ĆWICZENIE 8 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa

Bardziej szczegółowo

Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.

Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Wstp Przy podejciu do planowania adresacji IP moemy spotka si z 2 głównymi przypadkami: planowanie za pomoc adresów sieci prywatnej przypadek, w którym jeeli

Bardziej szczegółowo

Podstawowe obiekty AutoCAD-a

Podstawowe obiekty AutoCAD-a LINIA Podstawowe obiekty AutoCAD-a Zad1: Narysowa lini o pocztku w punkcie o współrzdnych (100, 50) i kocu w punkcie (200, 150) 1. Wybierz polecenie rysowania linii, np. poprzez kilknicie ikony. W wierszu

Bardziej szczegółowo

Sposoby przekazywania parametrów w metodach.

Sposoby przekazywania parametrów w metodach. Temat: Definiowanie i wywoływanie metod. Zmienne lokalne w metodach. Sposoby przekazywania parametrów w metodach. Pojcia klasy i obiektu wprowadzenie. 1. Definiowanie i wywoływanie metod W dotychczas omawianych

Bardziej szczegółowo

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna

Bardziej szczegółowo

STATYKA I DYNAMIKA PŁYNÓW (CIECZE I GAZY)

STATYKA I DYNAMIKA PŁYNÓW (CIECZE I GAZY) STTYK I DYNMIK PŁYNÓW (CIECZE I GZY) Ciecz idealna: brak sprężystości postaci (czyli brak naprężeń ścinających) Ciecz rzeczywista małe naprężenia ścinające - lepkość F s F n Nawet najmniejsza siła F s

Bardziej szczegółowo

Elementy pneumatyczne

Elementy pneumatyczne POLITECHNIKA LSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INYNIERII RODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZDZE ENERGETYCZNYCH Elementy pneumatyczne Laboratorium automatyki (A 3) Opracował: dr in. Jacek Łyczko Sprawdził:

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Podczas wykonywania analizy w programie COMSOL, wykorzystywane jest poniższe równanie: 1.2. Dane wejściowe.

Podczas wykonywania analizy w programie COMSOL, wykorzystywane jest poniższe równanie: 1.2. Dane wejściowe. Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Grupa M3 Metoda Elementów Skończonych Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonali: Marcin Rybiński Grzegorz

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr -Wykład 2 Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów

J. Szantyr -Wykład 2 Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów J. Szantyr -ykład Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów Stany skupienia materii: ciała stałe płyny, czyli ciecze i gazy -Ciała stałe przenoszą obciążenia zewnętrzne w taki sposób, że ulegają deformacji

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Fizyki. Hydromechanika

Wykłady z Fizyki. Hydromechanika Wykłady z Fizyki 03 Zbigniew Osiak Hydromechanika OZ ACZE IA B notka biograficzna C ciekawostka D propozycja wykonania doświadczenia H informacja dotycząca historii fizyki I adres strony internetowej K

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 3. Dynamika punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 3. Dynamika punktu materialnego.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład IZYKA I 3. Dynamika punktu materialnego Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut izyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Dynamika to dział mechaniki,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1

J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y Nr zadania Nr czynnoci Przykadowy zestaw zada nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Etapy rozwizania zadania. Podanie dziedziny funkcji f: 6, 8.. Podanie wszystkich

Bardziej szczegółowo

Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle

Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle 231 Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 7, nr 3-4, (2005), s. 231-236 Instytut Mechaniki Górotworu PAN Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle JERZY CYGAN Instytut Mechaniki Górotworu PAN,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE Z FIZYKI KLASA I Budowa materii Wymagania na stopień dopuszczający obejmują treści niezbędne dla dalszego kształcenia oraz użyteczne w pozaszkolnej działalności ucznia. Uczeń: rozróżnia

Bardziej szczegółowo

SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWI ZA ZADA W ARKUSZU II

SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWI ZA ZADA W ARKUSZU II Nr zadania.1.. Przemiany gazu.. SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWIZA ZADA W ARKUSZU II PUNKTOWANE ELEMENTY ODPOWIEDZI Za czynno Podanie nazwy przemiany (AB przemiana izochoryczna) Podanie nazwy

Bardziej szczegółowo

Przyczyny zmiany struktury kryształów kolumnowych w odlewach wykonywanych pod wpływem wymuszonej konwekcji

Przyczyny zmiany struktury kryształów kolumnowych w odlewach wykonywanych pod wpływem wymuszonej konwekcji AMME 2002 11th Przyczyny zmiany struktury kryształów kolumnowych w odlewach wykonywanych pod wpływem wymuszonej konwekcji J. Gawroski, J. Szajnar Katedra Odlewnictwa, Politechnika lska ul. Towarowa 7,

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Projektowanie i analiza zadaniowa interfejsu na przykładzie okna dialogowego.

Projektowanie i analiza zadaniowa interfejsu na przykładzie okna dialogowego. Projektowanie i analiza zadaniowa interfejsu na przykładzie okna dialogowego. Jerzy Grobelny Politechnika Wrocławska Projektowanie zadaniowe jest jednym z podstawowych podej do racjonalnego kształtowania

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Obwody sprzone magnetycznie.

Obwody sprzone magnetycznie. POITECHNIKA SKA WYDZIAŁ INYNIERII RODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZDZE ENERGETYCZNYCH ABORATORIUM EEKTRYCZNE Obwody sprzone magnetycznie. (E 5) www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape Opracował: Dr in.

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 5

Podstawy fizyki wykład 5 Podstawy fizyki wykład 5 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Grawitacja Pole grawitacyjne Prawo powszechnego ciążenia Pole sił zachowawczych Prawa Keplera Prędkości kosmiczne Czarne

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

Amortyzacja rodków trwałych

Amortyzacja rodków trwałych Amortyzacja rodków trwałych Wydawnictwo Podatkowe GOFIN http://www.gofin.pl/podp.php/190/665/ Dodatek do Zeszytów Metodycznych Rachunkowoci z dnia 2003-07-20 Nr 7 Nr kolejny 110 Warto pocztkow rodków trwałych

Bardziej szczegółowo

Wojciech Drzewiecki SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ

Wojciech Drzewiecki SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ Wojciech Drzewiecki SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ Systemem Informacji Geograficznej (Systemem Informacji Przestrzennej, GIS, SIP) nazywamy skomputeryzowany system pozyskiwania, przechowywania, przetwarzania,

Bardziej szczegółowo

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych.

5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. 5. Fale mechaniczne 5.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal mechanicznych. Ruch falowy jest zjawiskiem bardzo rozpowszechnionym w przyrodzie. Spotkałeś się z pewnością w życiu codziennym z takimi pojęciami

Bardziej szczegółowo

CYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO

CYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO CYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO W cyklu powietrznym jest jeden z najniszych udziałów energii promieniowania słonecznego. Jest to zaledwie około 0,3% (około 4 W/m 2 ) strumienia energii

Bardziej szczegółowo

Dynamika Uk adów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja uk adów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda.

Dynamika Uk adów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja uk adów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda. Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja ukadów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda. Wtedy była to synchronizacja stanów periodycznych. Wiecej na ten

Bardziej szczegółowo

Rys1 Rys 2 1. metoda analityczna. Rys 3 Oznaczamy prdy i spadki napi jak na powyszym rysunku. Moemy zapisa: (dla wzłów A i B)

Rys1 Rys 2 1. metoda analityczna. Rys 3 Oznaczamy prdy i spadki napi jak na powyszym rysunku. Moemy zapisa: (dla wzłów A i B) Zadanie Obliczy warto prdu I oraz napicie U na rezystancji nieliniowej R(I), której charakterystyka napiciowo-prdowa jest wyraona wzorem a) U=0.5I. Dane: E=0V R =Ω R =Ω Rys Rys. metoda analityczna Rys

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych a) Wentylator lub pompa osiowa b) Wentylator lub pompa diagonalna c) Sprężarka lub pompa odśrodkowa d) Turbina wodna promieniowo-

Bardziej szczegółowo

PRACA. MOC. ENERGIA. 1/20

PRACA. MOC. ENERGIA. 1/20 PRACA. MOC. ENERGIA. 1/20 Czym jest energia? Większość zjawisk w przyrodzie związana jest z przemianami energii. Energia może zostać przekazana od jednego ciała do drugiego lub ulec przemianie z jednej

Bardziej szczegółowo

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III CZEŚĆ PIERWSZA I. POTĘGI Zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładniku naturalnym. Oblicza wartości

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń. Przedmowa 15. Wprowadzenie Ruch falowy w ośrodku płynnym Pola akustyczne źródeł rzeczywistych

Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń. Przedmowa 15. Wprowadzenie Ruch falowy w ośrodku płynnym Pola akustyczne źródeł rzeczywistych Spis treści Wykaz ważniejszych oznaczeń u Przedmowa 15 Wprowadzenie 17 1. Ruch falowy w ośrodku płynnym 23 1.1. Dźwięk jako drgania ośrodka sprężystego 1.2. Fale i liczba falowa 1.3. Przestrzeń liczb falowych

Bardziej szczegółowo

Cash flow projektu zakładajcego posiadanie własnego magazynu oraz posiłkowanie si magazynem obcym w przypadku sezonowych zwyek

Cash flow projektu zakładajcego posiadanie własnego magazynu oraz posiłkowanie si magazynem obcym w przypadku sezonowych zwyek Optymalizacja zaangaowania kapitałowego 4.01.2005 r. w decyzjach typu make or buy. Magazyn czy obcy cz. 2. Cash flow projektu zakładajcego posiadanie własnego magazynu oraz posiłkowanie si magazynem obcym

Bardziej szczegółowo

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów ANALIZA PRZEKAZYWANIA CIEPŁA I FORMOWANIA SIĘ PROFILU TEMPERATURY DLA NIEŚCIŚLIWEGO, LEPKIEGO PRZEPŁYWU LAMINARNEGO W PRZEWODZIE ZAMKNIĘTYM Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie obserwacja procesu formowania

Bardziej szczegółowo

Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych

Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych wiczenie laboratoryjne z wytrzymałoci materiałów Temat wiczenia: Wyznaczanie

Bardziej szczegółowo

Prędkości cieczy w rurce są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów rurki.

Prędkości cieczy w rurce są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów rurki. Spis treści 1 Podstawowe definicje 11 Równanie ciągłości 12 Równanie Bernoulliego 13 Lepkość 131 Definicje 2 Roztwory wodne makrocząsteczek biologicznych 3 Rodzaje przepływów 4 Wyznaczania lepkości i oznaczanie

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

O tym jak wyliczy koszt przepływu palety przez magazyn

O tym jak wyliczy koszt przepływu palety przez magazyn Optymalizacja zaangaowania kapitałowego 22.12.2004 r. w decyzjach typu make or buy. Magazyn własny czy obcy cz. 1. O tym jak wyliczy koszt przepływu palety przez magazyn Wprowadzenie Wan miar działania

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

MODEL DWUWYMIAROWY PRZEPŁYWU PRZEZ STOPIEŃ MODELOWEJ TURBINY WODNEJ ORAZ JEGO EKSPERYMENTALNA WERYFIKACJA

MODEL DWUWYMIAROWY PRZEPŁYWU PRZEZ STOPIEŃ MODELOWEJ TURBINY WODNEJ ORAZ JEGO EKSPERYMENTALNA WERYFIKACJA Międzynarodowa konferencja naukowo-techniczna Hydrauliczne maszyny wirnikowe w energetyce wodnej i innych działach gospodarki Kliczków, 7-9 grudnia 005 MODEL DWUWYMIAROWY PRZEPŁYWU PRZEZ STOPIEŃ MODELOWEJ

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Dwurównaniowe domknięcie turbulentnego strumienia ciepła

Dwurównaniowe domknięcie turbulentnego strumienia ciepła Instytut Maszyn Przepływowych PAN Ośrodek Termomechaniki Płynów Zakład Przepływów z Reakcjami Chemicznymi Dwurównaniowe domknięcie turbulentnego strumienia ciepła Implementacja modelu: k 2 v' f ' 2 Michał

Bardziej szczegółowo

Instrukcja stanowiskowa

Instrukcja stanowiskowa POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Budownictwa, Mechaniki i Petrochemii Instytut Inżynierii Mechanicznej w Płocku Zakład Aparatury Przemysłowej LABORATORIUM WYMIANY CIEPŁA I MASY Instrukcja stanowiskowa Temat:

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

Równania kinetyczne prostych reakcji.

Równania kinetyczne prostych reakcji. Szybko reakcji chemicznej definiowana jest jako ubytek stenia substratu lub przyrost stenia produktu w jednostce czasu. W definicjach szybkoci innych zjawisk wana jest wielko okrelajca kinetyk w danej

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 12. Mechanika płynów. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 12. Mechanika płynów.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 12. Mechanika płynów Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html MECHANIKA PŁYNÓW Płyn pod tą nazwą rozumiemy

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład nr 18 Podstawy teorii płatów nośnych Płaty nośne są ważnymi elementami wielu wytworów współczesnej techniki.

J. Szantyr Wykład nr 18 Podstawy teorii płatów nośnych Płaty nośne są ważnymi elementami wielu wytworów współczesnej techniki. J. Szantyr Wykład nr 18 Podstawy teorii płatów nośnych Płaty nośne są ważnymi elementami wielu wytworów współczesnej techniki. < Helikoptery Samoloty Lotnie Żagle > < Kile i stery Wodoloty Śruby okrętowe

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Ćwiczenie 8 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa,

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Feynmana wykłady z fizyki. [T.] 1.1, Mechanika, szczególna teoria względności / R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands. wyd. 7.

Feynmana wykłady z fizyki. [T.] 1.1, Mechanika, szczególna teoria względności / R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands. wyd. 7. Feynmana wykłady z fizyki. [T.] 1.1, Mechanika, szczególna teoria względności / R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands. wyd. 7. Warszawa, 2014 Spis treści Spis rzeczy części 2 tomu I O Richardzie P. Feynmanie

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI ««*» ( # * *»»

SPIS TREŚCI ««*» ( # * *»» ««*» ( # * *»» CZĘŚĆ I. POJĘCIA PODSTAWOWE 1. Co to jest fizyka? 11 2. Wielkości fizyczne 11 3. Prawa fizyki 17 4. Teorie fizyki 19 5. Układ jednostek SI 20 6. Stałe fizyczne 20 CZĘŚĆ II. MECHANIKA 7.

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

Statyka płynów - zadania

Statyka płynów - zadania Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły

Bardziej szczegółowo

Fizyka Podręcznik: Świat fizyki, cz.1 pod red. Barbary Sagnowskiej. 4. Jak opisujemy ruch? Lp Temat lekcji Wymagania konieczne i podstawowe Uczeń:

Fizyka Podręcznik: Świat fizyki, cz.1 pod red. Barbary Sagnowskiej. 4. Jak opisujemy ruch? Lp Temat lekcji Wymagania konieczne i podstawowe Uczeń: Fizyka Podręcznik: Świat fizyki, cz.1 pod red. Barbary Sagnowskiej 4. Jak opisujemy ruch? Lp Temat lekcji Wymagania konieczne i podstawowe Wymagania rozszerzone i dopełniające 1 Układ odniesienia opisuje

Bardziej szczegółowo

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem

Bardziej szczegółowo

Układ krążenia krwi. Bogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka. 2014-11-18 Biofizyka 1

Układ krążenia krwi. Bogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka. 2014-11-18 Biofizyka 1 Wykład 7 Układ krążenia krwi Bogdan Walkowiak Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka 2014-11-18 Biofizyka 1 Układ krążenia krwi Source: INTERNET 2014-11-18 Biofizyka 2 Co

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 10. WYMAGANIA WSTĘPNE: 1. Ma podstawową wiedzę i umiejętności z zakresu matematyki, fizyki, mechaniki i termodynamiki.

KARTA PRZEDMIOTU. 10. WYMAGANIA WSTĘPNE: 1. Ma podstawową wiedzę i umiejętności z zakresu matematyki, fizyki, mechaniki i termodynamiki. KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Mechanika płynów 2. KIERUNEK: Mechanika i budowa maszyn 3. POZIOM STUDIÓW: pierwszego stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: rok II / semestr 3 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub

Bardziej szczegółowo

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O).

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O). Bryła sztywna (2) Bąk Równowaga Rozważmy bąk podparty wirujący do okoła pionowej osi. Z zasady zachowania mementu pędu wynika, że jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie

Bardziej szczegółowo

14 POLE GRAWITACYJNE. Włodzimierz Wolczyński. Wzór Newtona. G- stała grawitacji 6, Natężenie pola grawitacyjnego.

14 POLE GRAWITACYJNE. Włodzimierz Wolczyński. Wzór Newtona. G- stała grawitacji 6, Natężenie pola grawitacyjnego. Włodzimierz Wolczyński 14 POLE GRAWITACYJNE Wzór Newtona M r m G- stała grawitacji Natężenie pola grawitacyjnego 6,67 10 jednostka [ N/kg] Przyspieszenie grawitacyjne jednostka [m/s 2 ] Praca w polu grawitacyjnym

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy

Bardziej szczegółowo

Fizyka w sporcie Aerodynamika

Fizyka w sporcie Aerodynamika Sławomir Kulesza kulesza@matman.uwm.edu.pl Symulacje komputerowe (07) Fizyka w sporcie Aerodynamika Wykład dla studentów Informatyki Ostatnia zmiana: 26 marca 2015 (ver. 5.1) Po co nauka w sporcie? Przesuwanie

Bardziej szczegółowo

Polska gola! czyli. Fizyk komputerowy gra w piłkę. Sławomir Kulesza

Polska gola! czyli. Fizyk komputerowy gra w piłkę. Sławomir Kulesza Polska gola! czyli Fizyk komputerowy gra w piłkę Sławomir Kulesza Plan prezentacji Fizyka ruchu ciała a w ośrodkuo Rzucamy jak Artur Siódmiak Kopiemy jak Roberto Carlos Serwujemy jak Stephane Antiga Plan

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

BUDOWA LUNETY CELOWNICZEJ

BUDOWA LUNETY CELOWNICZEJ BUDOWA LUNETY CELOWNICZEJ Luneta celownicza składa si z nastpujcych sekcji (liczc od obiektywu): - soczewek obiektywu - układu regulacji paralaxy (dotyczy lunet sportowych) - mechanizmu regulacji krzya

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy rozkład materiału z fizyki dla klasy II gimnazjum zgodny z nową podstawą programową.

Szczegółowy rozkład materiału z fizyki dla klasy II gimnazjum zgodny z nową podstawą programową. Szczegółowy rozkład materiału z fizyki dla klasy gimnazjum zgodny z nową podstawą programową. Lekcja organizacyjna. Omówienie programu nauczania i przypomnienie wymagań przedmiotowych Tytuł rozdziału w

Bardziej szczegółowo