RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH. Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH. Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe"

Transkrypt

1 POLITECHNIKA ŁÓDZKA ZBYSZKO KAZIMIERSKI RUCH WIROWY PŁYNÓW W PRZYRODZIE ORAZ W MASZYNACH I URZDZENIACH Zdjcia satelitarne, eksperymenty i symulacje komputerowe Łód 7

2 P O D RCZNIKI AKADEMICKIE Recenzenci: prof. dr hab. in. Zbigniew Kosma prof. dr hab. in. Stanisław Drobniak KOMITET REDAKCYJNY WYDAWNICTWA POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ Przewodniczcy: prof. dr hab. Piotr Wodziski Pełnomocnik Wydziału: prof. dr hab. in. Tomasz Kapitaniak Copyright by Politechnika Łódzka 7 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ 9-94 Łód, ul. Wólczaska 3 tel./fax (-4) ISBN Wydanie I. Nakład 35 egz. Ark. druk 5,5. Papier offset. 8 g. 7 x 1 Druk ukoczono w czerwcu 7 r. Wykonano w Drukarni Offsetowej Quick-Druk s.c Łód, ul. Łkowa 11 Nr 1168

3 Spis treci Przedmowa Wstp Model wiru, jego weryfikacja i metody wirowe Teoretyczny model pojedynczego wiru Metody wirowe Ruch wirowy powietrza w atmosferze Efekt Coriolisa Cyklony tropikalne Tornada i trby powietrzne Kryterium podobiestwa ruchu wirowego Rozwizania zagadnie mechaniki płynów w tym ruchu wirowego za pomoc komputerów Przegld stosowanych metod sprowadzania równa mechaniki płynów do postaci algebraicznej Rónice skoczone schematy równa i ich stabilno Metody elementarnej objtoci kontrolnej Algorytmy komputerowych symulacji ruchu gazów i cieczy Modele turbulencji i metody rozwizania ruchu turbulentnego Numeryczna realizacja metod wirowych Ruch wirowy w maszynach przepływowych Przepływy przez turbiny Przepływy przez sprarki Przepływy przez pompy Przepływy wirowe w urzdzeniach do formowania przdzy Wiry w komorach wtryskiwaczy cieczy Przepływy przez rur wirow Ranka i cyklony odpylajce Ruch wirowy płynów, a zasady zachowania masy, pdu i energii Zakoczenie...8 Literatura

4 Przedmowa Czytelnikom tej ksiki wyjaniam, e ma ona w znacznej czci charakter popularno-naukowy. Matematyka i mechanika płynów s w niej wykorzystane w najprostszej formie, która powinna by znana studentom politechnik, ale i bez tej znajomoci ksika powinna by zrozumiała dla czytelników, którzy szukaj w niej treci fizycznych. Wzory pomagaj w rozumieniu tych treci, ale nie s bezwzgldnie konieczne. W roku 5, kiedy powstawała ksika, w niektórych krajach połoonych bliej równika ni Polska, szalały tropikalne cyklony, niszczce wszystko na swej drodze. W Polsce stosunkowo rzadko, ale take zdarzaj si tzw. trby powietrzne i te s przyczyn wielu zniszcze. Nie mona zatem, piszc o ruchu wirowym płynów, nie napisa równie o tych zjawiskach, które do ruchu wirowego nale. Std w tytule znalazło si okrelenie w przyrodzie, bo chodzi midzy innymi o zjawiska, które budz due zainteresowanie czytelników. Wród czytelników jest wielu takich, którzy obserwowali wirowe zagłbienia na powierzchni płyncej wody za podporami mostowymi, które nie s przyczyn szkód ale s ciekawym zjawiskiem i te nale do ruchu wirowego. Wiele osób obserwowało take wirowy spływ wody z otwartego zbiornika (np. z wanny) i stwierdziło, e jest to ruch niestateczny. O nim take bdzie mowa w tej ksice. Ruch wirowy w duej skali jest tematem tej ksiki. Ten rodzaj ruchu nazywa si take ruchem zawirowanym. Powstaje pytanie, czy ruch płynów jest stateczny? Okazuje si, e płyny w czasie ruchu bardzo szybko trac stateczno. Z reguły mamy do czynienia z ruchem turbulentnym, który powstaje i rozwija si po utracie statecznoci poruszajcego si płynu, zwany jest po prostu turbulencj przepływów. Bdzie tu głównie rozpatrywany tzw. ruch zawirowany, w którym turbulencja istnieje, i odgrywa wan rol. Zastrzeenie to jest czynione dlatego, e turbulencja ma take struktur wirow, cho w mniejszej skali. Bdzie to uwzgldnione w programach komputerowych, jakie s uyte do analizy ruchu wirowego płynów. Rozwaania bd prowadzone dla zmiennych pierwotnych, tzn. takich jakie wystpuj w nie przekształconych równaniach podstawowych, czyli dla prdkoci, cinienia itd. Wiele zjawisk ruchu wirowego zostało rozwizanych za pomoc istniejcych programów komputerowych, dlatego jeden z rozdziałów został tym zagadnieniom powicony. Ujcie to naley zaliczy take do popularnonaukowych. Ksika zawiera take treci odnoszce si do ruchu wirowego płynów w niektórych maszynach i urzdzeniach. Chodzi o maszyny przepływowe i o ruch wirowy, który ma w nich miejsce. Istniej programy komputerowe własne i tzw. komercyjne, które słu do badania przepływu w tych maszynach wraz z rónymi modelami turbulencji. Programy te odpowiadaj na wiele pyta zwizanych z rozkładami prdkoci i cinie. Wymaga to jednak postawienia warunków brzegowych nie tylko 4

5 na ciankach, które s oczywiste, ale take na wlocie i wylocie z kanału maszyny, które oczywiste nie s. O ile odległoci od osi maszyny s znaczne (co to oznacza, to jest w ksice wyjanione) to mona załoy rozkłady prdkoci obwodowej, które s zblione do rozkładów potencjalnych, tzn. takich, w których elementy płynu nie wiruj wokół własnych osi obrotu. Gdy natomiast kanały wlotowe lub wylotowe obejmuj o maszyny, to tego w stosunku do składowej obwodowej prdkoci zrobi nie wolno. Oprócz zagadnie zwizanych z maszynami s tu omówione niektóre urzdzenia wykorzystywane w technice, w których mamy do czynienia z ruchem wirowym płynów. S to urzdzenia wykorzystywane we włókiennictwie do formowania przdz. S take omówione tzw. rury Ranka, w których skutki ruchu wirowego s wyrane, bo nastpuje w nich rozdział powietrza na zimne i gorce. Efekt Ranka moe by wykorzystany w rónych zastosowaniach technicznych. Omówione s równie wiry w komorach wtryskiwaczy cieczy jeli to s wtryskiwacze wirowe i strumieniowo-wirowe. Dla urzdze technicznych stosowano program komputerowy własny i programy CFX zakładajc, e przepływ jest ustalony. Model turbulencji uyty w programie komputerowym był nie bez znaczenia. Uyto przy tym zmiennych pierwotnych. Oprócz nich mona te stosowa tzw. metody wirowe, w których przekształca si równania podstawowe i uywa funkcji wirowoci oraz funkcji prdu. O metodach tych, które s do złoone jest w ksice wspomniane. Przedostatni rozdział ksiki jest powicony temu, e ruch wirowy w tzw. rdzeniu wiru (w rodku) znamienny tym, e wystpuje w nim prawie liniowy rozkład składowej obwodowej prdkoci, jest zwizany z zasad wydatkowania jak najmniejszej energii. Ta zasada jest tam przedstawiona. Bd w tym rozdziale przedstawione take inne zasady mechaniki płynów, które s pomocne w wyznaczeniu istotnych wymiarów wiru. Dzikuj za merytoryczn i techniczn pomoc w opracowaniu ksiki członkom Zakładu Mechaniki Płynów Instytutu Maszyn Przepływowych Politechniki Łódzkiej. 5

6 1. WSTP Płyny to substancje, które maj zdolno do zmiany swych kształtów pod działaniem dowolnie małych sił zewntrznych, byleby działały one dostatecznie długo. Płyny wic róni si od ciał stałych tym, e one nie posiadaj sztywnoci postaciowej, po prostu płyn - std ich nazwa. Wynika to z ich struktury molekularnej i małych sił wewntrznej spójnoci, które w cieczach i gazach wprawdzie wystpuj, lecz s małe w porównaniu z siłami, które wystpuj w ciałach stałych. Płyny dzielimy na ciecze i gazy. Ciecze to s te płyny, które zmieniaj nieznacznie sw objto pod wpływem działania sił zewntrznych. Mówimy, e ciecze s praktycznie nieciliwe. Kady, kto bawił si lekarsk strzykawk napełnion wod mógł to stwierdzi osobicie. Ciecze wypełniaj cz zbiorników, równ objtoci wprowadzonej cieczy, tworz powierzchnie swobodne oraz krople pod wpływem sił napicia powierzchniowego. Gazy s to te płyny, które zmieniaj znacznie swe objtoci pod wpływem sił zewntrznych. S to płyny ciliwe. Kady, a jest takich wielu, kto bawił si lekarsk strzykawk wypełnion powietrzem, mógł to zauway. Gazy wypełniaj cał objto pomieszcze, w których si znajduj. Wypełniaj, poniewa siły spójnoci midzy czsteczkami gazu s znikome, znacznie mniejsze ni ma to miejsce w cieczach. Rys Ziemia i granica atmosfery oraz ksiyc 6

7 W przypadku atmosfery ziemskiej jej gsto maleje wraz z wysokoci nad poziom morza. Dzieje si tak dlatego, e konkuruj ze sob dwa wpływy. Energia kinetyczna czsteczek powietrza (któr maj dziki ogrzaniu przez słoce) oraz grawitacja ziemska. Gruboci atmosfery cile nie mona okreli. Wiadomo, e atmosfera jest do cienk warstw, jeli j porówna z promieniem ziemi, który wynosi 637 km. Około 5% atmosfery zawarte jest w warstwie o gruboci 5,6 km, a 75% atmosfery znajduje si poniej 11 km, a 99% poniej 3 km nad poziom morza. Tak wic samoloty bojowe (odrzutowe) lataj zwykle poniej km. Zadania szpiegowskie ju dawno przejły bezzałogowe satelity, których jest wiele i które informuj swoich mocodawców o wszystkim co mog zobaczy, a mog wiele, gdy wyposaone s w doskonałe przyrzdy optyczne. Na rys. 1.1 i 1. jest pokazana grubo atmosfery w stosunku do ziemi. Gsto atmosfery zaley od temperatury i cinienia. Na poziomie morza wynosi ona w normalnych warunkach ρ = 1, kg/m 3, ale na wysokoci 1 km nad ziemi wynosi ρ =,41 kg/m 3. Cinienie atmosfery na poziomie morza jest p = 1, Pa, a na wysokoci 1 km jest p =, Pa. Rozkłady te nie s liniowe. Zarówno ciecze, jak i gazy s lepkie, cho ta lepko jest niewielka. Lepko powoduje naprenia styczne wewntrz płynów i na styku midzy ciank a płynem. Warto lepkoci płynów mona znale w ksikach dotyczcych mechaniki płynów. Stateczny ruch płynów rzeczywistych, lepkich - zwany laminarnym (warstwowym) istnieje, cho ogranicza si do małych prdkoci lub bardzo małych wymiarów liniowych. Płyny podczas ruchu bardzo szybko trac stateczno. Zwykle mamy do czynienia z ruchem płynów, który istnieje po utracie statecznoci - zwanym turbulentnym (burzliwym). Na ten rodzaj ruchu maj wpływ niestatecznoci, które go wywołuj i inne czynniki, o których bdzie jeszcze mowa w tej ksice. Liczb podobiestwa tego ruchu jest liczba Reynoldsa. Została ona okrelona dla rury o przekroju kołowym i jest równa: Re = υ d /ν, gdzie: υ - jest redni prdkoci transportu płynu, d - jest rednic rury, a ν - jest lepkoci kinematyczn płynu. Utrata statecznoci i powstanie ruchu turbulentnego nastpuje przy pewnej liczbie Reynoldsa. Dla rury o przekroju kołowym jest to zwykle Re 3. Poniej tej liczby przepływ jest laminarny. Dalej przy wzrocie prdkoci płynu lub wymiarów liniowych istnieje przepływ turbulentny, który jest przepływem złoonym. Jest on bardzo wany, bo straty energii, które w nim wystpuj s duo wiksze, ni w ruchu laminarnym. Ogólnie liczba Reynoldsa jest to Re = υ l / ν, gdzie υ, l - s wybranymi wielkociami prdkoci i wymiaru liniowego. Ruch turbulentny od dziesitków lat stanowi nierozwizany problem nauki i techniki. Istniej wprawdzie coraz doskonalsze modele turbulencji, ale nie mamy modelu uniwersalnego, który obejmowałby wszystkie przypadki ruchu turbulentnego płynów. Mówimy przy tym o zmiennych pierwotnych, pochodzcych z nie przekształconych równa podstawowych, tzn. o prdkociach, cinieniach itp. Z tymi zmiennymi bd zwizane modele ruchu turbulentnego, o ile 7

8 stosujemy do równa podstawowych sposób uredniania w czasie, nazywany urednianiem Reynoldsa, tzn. RANS. Moe to wszystko budzi sprzeciw czytelników, którzy twierdz, e samoloty lataj, okrty (w tym podwodne) pływaj i nikomu nie przeszkadza to, e nie ma ogólnego rozwizania ruchu turbulentnego. Rys. 1.. Widok atmosfery ziemskiej z balonu meteorologicznego Tak, samoloty lataj, okrty pływaj (a ich katastrofy nie s zwizane z brakiem uniwersalnego modelu turbulencji), gdy mamy due bazy danych eksperymentalnych, dziki którym to latanie i pływanie jest moliwe. Nasze istniejce modele turbulencji s oparte włanie o te dane. Najnowszym sposobem rozwizywania przepływu turbulentnego płynu jest tzw. DNS, wymaga on jednak bardzo wydajnych komputerów i jest stosowany obecnie (rok 6) tylko do sprawdzenia rozwiza w prostej geometrii. Modelowanie ruchu turbulentnego jest koniecznoci w przypadku, gdy chcemy uzyska wiarygodn informacj o stratach energetycznych. Okazuje si jednak, e istniejce modele turbulencji odpowiadaj w miar poprawnie na zadane pytania o ile bazy danych eksperymentalnych s bliskie lub zgadzaj si z rozpatrywanym przypadkiem. Wiemy, e przepływ turbulentny zaley nie tylko od danych materiałowych, ale w znacznym stopniu, a czasem w decydujcej mierze od pulsacji prdkoci i od warunków brzegowych, które w rzeczywistoci nigdy nie s stacjonarne. Wiemy równie, e przepływ turbulentny rozwija si wraz ze wzrostem Re, ale ten wzrost jest ograniczony. Opór przepływu w dalszym cigu wzrostu Re nie zaley ju od tej liczby, ale zaley od warunków brzegowych [16]. Ruchy wirowe, które s przedmiotem tej ksiki maj istotn cech, e s do trwałe. S to take powszechnie wystpujce rodzaje ruchów płynów. Jest znamienne, e zwikszenie prdkoci ktowej w wirujcym płynie jest powizane ze znan w mechanice zasad zachowania momentu pdu, w rónych skalach. Kady z nas widział w TV ływiark lub ływiarza, którzy wykonuj piruet, czyli zwikszaj sw prdko ktow. Robi to cigajc rce 8

9 i nogi jak najbliej osi wirowania i w ten sposób zmniejszaj swój moment bezwładnoci, zwikszaj prdko ktow, zachowujc moment pdu (prawie stały). W mechanice płynów ma to swój odpowiednik w postaci tzw. drugiego twierdzenia Helmholtza. cisłe wyprowadzenie tego twierdzenia mona znale w [13] i [6]. Tutaj zostanie ono przedstawione w sposób popularny. Mamy do czynienia z ruchem wirowym płynu, tzn. takim, w którym elementy płynu wykonuj ruchy obrotowe o prdkoci ktowej ω. Lini wirow nazywamy lini pola wektorowego wirowania elementów płynu. Zbiór linii wirowych przechodzcych przez zamknit lini, nie bdc lini wirow nazywamy rurk wirow. Przykład fragmentu rurki wirowej pokazano na rys.1.3. Oznaczymy przekroje tej rurki przez A, A 1, A, których ladem na powierzchni bocznej rurki s linie: S, S 1, S, jednokrotnie obejmujce rurk wirow. Powierzchnie boczne oznaczymy odpowiednio przez: A b1, A b (rys. 1.3). Moduły wektorów n równe s jeden, a kropka we wzorze (1.1) oznacza iloczyn skalarny. Ze znanego twierdzenia Stokesa otrzymamy: ω 1 n1da1 = ω nda (1.1) A1 A Rezultat ten wynika z faktu, e strumienie wirowoci przez powierzchnie boczne, które s powierzchniami wirowymi równe s zeru. Gdy obliczamy redni warto rzutu wirowoci ωn w danym przekroju A: mona napisa: A ( n )da ω n = ω, A ω A A const (1.) n 1 1 = ωn = Równania (1.1) i (1.) wyraaj sformułowanie drugiego twierdzenia Helmholtza. Najprociej to pokazuje jednak równanie (1.). Rys Schemat rurki wirowej 9

10 Mówi ono, e iloczyn redniej wartoci rzutu prdkoci ktowej elementu płynu na kierunek prostopadły do przekroju rurki razy pole tego przekroju jest stały. Wynika z tego wany wniosek. Taki, e wtedy gdy rurka wirowa jest zmniejszana (tzn. jej przekrój maleje), prdko ktowa elementu płynu zawartego wewntrz tej rurki ronie. Zatem rozciganie wirów prowadzi do wzrostu prdkoci ktowej elementów płynu znajdujcych si w rurkach wirowych. Okazuje si, e charakterystyczna dla turbulentnego ruchu płynów jest jego struktura wirowa. Rozciganie wirów za stanowi o tym, e posiadaj one wysokie czstoci obrotów i małe wymiary. Wiry turbulentne s znacznie mniejsze ni wiry charakterystyczne dla cyklonów tropikalnych lub tornad. S te mniejsze od wymiarów liniowych kanałów maszyn przepływowych i wtryskiwaczy. W tej ksice bdziemy rozpatrywa ruchy w duej skali, w których turbulencja istnieje i odgrywa w nich wan rol. Wpływ turbulencji bdzie uwzgldniany w programach komputerowych, jakie s stosowane do przepływów w duej skali, przy tym stosowane bd urednienia typu RANS. Do badania statecznoci rozwiza równa rzdzcych ruchem płynów, w tym take ruchów wirowych, przez lata stosowano liniow teori statecznoci. Do równa ruchu wprowadzono małe zaburzenia i obserwowano zachowanie si tych zaburze z upływem czasu. W stanie krytycznym amplituda pewnej harmonicznej ronie wykładniczo z czasem, wzbudzaj si inne formy zakłóce, a przepływ traci stateczno. Tak powstały równania np. Orra-Sommerfelda [6]. Wraz z rozwojem matematycznej teorii chaosu deterministycznego zmienił si punkt widzenia na problemy statecznoci, a szczególnie stosowania teorii liniowych. Okazało si bowiem, e na podstawie teorii liniowej mona mniej lub bardziej dokładnie przewidzie, gdzie lub kiedy pojawia si niestabilno, lecz nie wiadomo, co stanie si w rezultacie jej powstania. Innymi słowy nie odpowiada ona na fundamentalne pytanie: co bdzie potem? Turbulencja to jest włanie to zjawisko, które dzieje si po utracie statecznoci. Rozwój teorii chaosu deterministycznego obudził wielkie nadzieje i oczekiwania w zakresie teoretycznego rozwizania przepływów turbulentnych. Pojawiło si bardzo wiele prac w zakresie teoretycznego badania stabilnoci elementarnych przepływów laminarnych. Wydawało si pocztkowo, e badanie pojawienia si niestacjonarnoci w płynie po utracie stanu statecznego i badanie historii narastania tej niestacjonarnoci przy uyciu metod chaosu deterministycznego pozwol na teoretyczne rozwizanie problemu turbulencji. Stosowano pocztkowo teori bifurkacji Hopfa-Landau a. Teoria ta przetrwała do 197 roku, kiedy dwaj matematycy Ruelle i Takens wykazali, e dla układów dyssypatywnych, a takie s opisywane przez równania rzdzce ruchem płynów, teoria bifurkacji ma bardzo ograniczony zakres. Wnioski były takie: pierwsze zmiany stanu ruchu, czyli przejcia od stanu stacjonarnego do pojedynczych oscylacji, s moliwe do opisania przez teori Hopfa-Landau a, natomiast ju druga zmiana stanu nie jest trwała, nawet małe zaburzenia mog j niszczy. Trzecia pojawiajca si czsto ju nie synchronizuje si w ogóle. W wyniku kombinacji tych pojawiajcych si nowych stanów powstaje tzw. dziwny atraktor. Tak wic stosowana przez wiele lat teoria Hopfa-Landau a okazała si strukturalnie niestabilna. 1

11 Wiadomo ju, e za niektóre zjawiska przepływu turbulentnego, szczególnie w pocztkowym stadium jego rozwoju odpowiada chaotyczna dynamika atraktora. W pełni rozwinita turbulencja moe jednak wymaga atraktorów o olbrzymiej liczbie wymiarów, tysicy lub wicej i staje si niemoliwa do praktycznej realizacji. Obecnie wydaje si, e wytłumaczenie zjawisk turbulencji za pomoc teorii chaosu deterministycznego jest mało prawdopodobne [31]. Chyba, e nastpi w tym zakresie zdecydowany zwrot w stosunku do obecnego stanu wiedzy (rok 7).. MODEL WIRU JEGO WERYFIKACJA I METODY WIROWE Do rozwizania problemów przepływów rzeczywistych (lepkich) mona rozmaicie podej. W tej ksice zostanie zaprezentowana metoda, która dla ruchu trójwymiarowego, ciliwego opiera si o stosowanie zmiennych pierwotnych, pochodzcych wprost z równa podstawowych mechaniki płynów. S to prdkoci, cinienia itp. Innym podejciem jest tzw. metoda wirowa. W metodzie tej s stosowane zmienne zalene, które pochodz z przekształconych równa podstawowych, takie jak wirowo ω i funkcja prdu ψ. Metodami rozwizania równa w obydwu tych podejciach s metody numeryczne. Poniewa ta ksika dotyczy metod, w których stosowane s zmienne pierwotne, to metodom wirowym powicona jest ostatnia cz tego rozdziału, aby czytelnikom uzmysłowi, e cho w nazwie ksiki jest uyte słowo wirowy, to w metodach nazywanych wirowymi chodzi o inne podejcie do problemu. Na pocztek rozwaymy pojedynczy wir, który si pojawia czsto, w rónych okolicznociach. Teoretyczne modele tego wiru s dwuwymiarowe, zbudowane dla cieczy nielepkiej, o stałej temperaturze. Równaniem stanu tej cieczy (w której nie zmienia si gsto) jest ρ = const, i trzeba załoy warto gstoci (np. dla wody to jest ρ =1 3 kg/m 3 lub dla powietrza ρ =1, kg/m 3 )..1. Teoretyczny model pojedynczego wiru W [1] i [] i wczesnych wydaniach [13] rónie si ten wir nazywa. Nazywa si wirem Rankina lub wirem kołowym, a w przypadku analizowania wirowych zagłbie na powierzchni wody kombinowanym wirem Rankina. W tej ksice nie chodzi o nazwy tylko o sedno problemu. Zawsze zakłada si dwuwymiarowy rozkład prdkoci dla modelu tego wiru. Najlepiej jest uy biegunowego układu współrzdnych, w którym: 11

12 υ z = ; dla υ r = ; r r = ω r dla r < r < + υ θ = ω υ θ r r υ θ zakładamy w postaci (.1) gdzie: υ θ jest składow obwodow, υ r i υ z odpowiednio - promieniow i osiow składow prdkoci, ω jest stał (tak sam dla obu zakresów). Na rys..1 podany jest szkic wiru i rozkład jego składowej obwodowej prdkoci. Rozkład ten traktujemy jako pewien model teoretyczny przepływu, dla którego musz by spełnione powszechnie znane zasady zachowania masy, pdu i energii. a) b) y υθ r υθmax r θ x r r Rys..1. a) szkic układu współrzdnych; b) rozkład składowej obwodowej prdkoci dla wybranego r Rys..1b podaje, e dla r r rozkład prdkoci jest podobny do tego jaki istnieje w naczyniu, które wiruje wraz z ciecz lub w ciele stałym, ale wynika z obserwacji eksperymentalnych ruchu wirowego płynu. Dla r > r jest to oczywicie rozkład dla którego υ r jest wielkoci θ stał. Pomimo tego, e elementy płynu maj prdko liniow to nie wiruj one wokół własnych osi obrotu. Wir ten jest nazywany wirem potencjalnym. Dla r ; υ θ musiałoby osign nieskoczon warto, jeliby rozpatrywa rozkład potencjalny, a to jest niemoliwe, dlatego nie realizuje si w rzeczywistoci. W zakresie r r wystpiłyby wtedy due gradienty prdkoci, co przy niezerowej lepkoci turbulentnej, jaka tam ma miejsce, prowadzi do wielkich napre stycznych. W rzeczywistoci wynika z tego zwizanie płynu zawartego w przedziale r r i rozkład prdkoci danej za pomoc pierwszej czci wzoru (.1). Jest on nazywany take rdzeniem wiru. Co to jest lepko turbulentna i dlaczego w rodku wiru jej warto jest dua, bdzie w tej ksice wyjanione. 1

13 Wyznaczenie promienia r nie jest spraw prost. Jest ono moliwe pod warunkiem, e dysponujemy modelem tego przepływu. Rozkład prdkoci pokazany na rys..1b spełnia równanie cigłoci i energii. Bdzie to wyjanione w rozdziale 1. tej ksiki. Jedynym załoeniem poza rozkładami prdkoci, jakie przy tym wykonano, to jest załoenie, e dla r cinienie powinno by cinieniem barometrycznym p a. Rozkład cinienia obliczymy z równania zachowania pdu: = (.) dp dr ρ υ θ r Gdy podstawimy do (.) drugi ze wzorów (.1), to otrzymamy 4 ω r p ( r ) = ρ + C r i wyznaczamy stał całkowania C z warunków: gdy r to pierwszy wyraz dy do zera, a cinienie p = pa, czyli C = pa, tzn. dla r > r : p = p a 4 ω r ρ (.3) r Gdy podstawimy do (.) pierwszy ze wzorów (.1) i obliczymy stał całkowania z warunku, e dla r = r cinienie jest takie samo dla przepływu potencjalnego i niepotencjalnego, czyli to uzyskamy i std otrzymamy dla r r : p( r ) p ρω r /, = a C = pa ρω r r p = pa ρω r ( 1 ) (.4) r Najnisze cinienie panuje w centrum wiru, czyli dla r = i ze wzoru (.4) wynika, e jest ono równe: p ( r ) = pa ρ r ω = (.5) Dla rozkładów cinie (.3) i (.4) spełnione jest równanie zachowania pdu. 13

14 .1.1. Model wiru, a wyliczenie kształtu wirowych zagłbie na powierzchni płyncej wody Uprzedzajc nieco eksperyment dla tych czytelników, którzy s zainteresowani wirowymi zagłbieniami na powierzchni płyncej wody tworzcymi si za rónego rodzaju przeszkodami np. za podporami mostowymi, wyjaniam, e mona je opisa stosujc poprzednio omówiony model teoretyczny. Wiry te popularnie nazywaj si lejkami na wodzie. Podpory mostowe s zwykle ciałami, które zaliczamy do le oprofilowanych aerodynamicznie. Za nimi pojawiaj si wiry na wodzie, które zrywaj si po jednej i potem po drugiej stronie podpory i przesuwaj si w dół prdu. Wiry jakie tam wystpuj nazywa si take kombinowanymi wirami Rankina. Zakładamy, e te wiry nie oddziaływaj wzajemnie midzy sob. Wiry oddziaływujce s modelowane przez tzw. ciek Karmana, [1], []. Woda jest dostatecznie cika (około 85 razy cisza od powietrza), aby do rozwaa wprowadzi czynnik zwizany z sił grawitacji, czyli potencjałem g z, a na powierzchni wody załoy barometryczne cinienie p a. Prawd mówic to zadanie jest trójwymiarowe, ale tu zakłada si rozkład prdkoci υ r, υz << υθ. Składowa υ θ jest okrelona przez wzory (.1). Na rys.. objaniony jest układ współrzdnych jaki jest przyjty dla przeprowadzonych oblicze. Układ jest zwizany z przesuwajcymi si wirami. r z r Rys... Układ współrzdnych i kształt lejków na wodzie r > r, Wobec tak przyjtego układu współrzdnych piszemy dla gdy przepływ jest potencjalny, równanie Bernouliego, które ma posta: p r + ω ρ 4 r z g z = const. (.6) 14

15 Równanie Bernouliego (.6) mona wyprowadzi zakładajc, e gsto ρ jest stała. Gdy r > r trzeba załoy, e przepływ jest potencjalny i podstawi drugi wariant rozkładu prdkoci (.1). Przyj trzeba take, e istotny jest ciar wody i uwzgldni to w rozwaaniach wprowadzajc potencjał grawitacyjny g z. Const oznacza w równaniu Bernouliego energi całkowit, przypadajc na 1 kg płyncego czynnika, któr trzeba wyznaczy i która powinna by stała. Dla z = ; r + cinienie jest stałe p a i std const = pa / ρ, czyli dla r > r (tj. dla przepływu potencjalnego); cinienie jest równe: p p a ω r + g z ρ ρ r 4 =. (.7) Głboko lejka dla r > r obliczymy, gdy na całej jego powierzchni jest stałe cinienie barometryczne p = p a ; z 4 ω r =. (.8) gr Dla r r wystpuj dwa skalarne równania zachowania pdu, bo wprowadzono sił cienia, z których obliczamy cinienie, tak jak to robiono dla wirówki, gdy ciecz pozostaje w stanie równowagi wzgldnej bez polizgu wzgldem cianek naczynia [16]. Uyto dwóch pochodnych czstkowych: p = ρ rω r p z ; = ρ g. Po całkowaniu pierwszego równania dla cinienia otrzymamy: r p = ρ ω + f ( z ) Róniczkujc to równanie wzgldem z dowiemy si, e (.9) pochodna f ' ( z ) jest to p, czyli z p = z f ' ( z ) f ( z ) = ρ g z + C a to z kolei oznacza, e cinienie dla r r jest równe: 15

16 r p = ρ ω + ρ g z + C Stała całkowania C jest wyliczona z warunku, e dla r = r cinienie p(r ) musi by takie samo jak dla przepływu potencjalnego. ω r Wynika z tego, e p(r ) = pa + ρ g z ρ. Tu z to jest z dla r = r (patrz rys..) i std obliczymy stał całkowania: Ostatecznie: ω r C = p( r ) ρ g ρ z. r p = pa + ρ g z ρω r ( 1 ) (.1) r Na powierzchni lejka panuje cinienie barometryczne dla r r jego głboko wynosi: p = pa i wyliczymy, e r r z = ω ( 1 ) (.11) g r r = r wzory (.8) i (.11) daj ten sam wynik. Mona sprawdzi, e dla Najwiksza głboko lejka wystpuje w rodku wiru dla r = i jest równa: r ω z ( r= ) = (.1) g Problemem jest obliczenie r, ale to wymaga przyjcia modelu przepływu rzeczywistego..1.. Wirowy spływ wody z otwartego zbiornika Taki spływ wody ze zbiornika wystpuje bardzo czsto. Moe to by np. wanna, w której jest otwór spływowy. Gdy wody jest duo, wirowy spływ ma charakter taki jak to opisano wzorami od (.6) do (.1). Mona zatem wyliczy głboko lejka na wodzie w miejscu jego wirowego spływu. Najwiksza głboko lejka istnieje w rodku wiru (czyli rodku spływu). Wane jest, e decydujc rol odgrywaj w wirze siły odrodkowe. Mona si o tym przekona machajc rk, po to aby zmieni kierunek wirowania wody. Wtedy, o ile wanna jest symetryczna (ale z reguły jest niesymetryczna), woda zmieni kierunek 16

17 prdkoci obwodowej. Siła odrodkowa, która jest proporcjonalna do kwadratu prdkoci obwodowej bdzie znów działała tak samo. Wody w zbiorniku bdzie coraz mniej, a do momentu kiedy pojawi si tzw. rdze powietrzny. Prawd mówic przepływ jest trójwymiarowy, ale w tym ujciu zagadnienia zakłada si dla prostoty, e rozkład prdkoci υ r, υ z << υθ, który jest okrelony przez wzory (.1). Aby uproci zadanie i pozosta tylko w rejonie spływu potencjalnego robimy załoenie, e promie rdzenia powietrznego r r jest równy promieniowi r, czyli r r. Piszemy wic równanie Bernouliego: p υθ + g z = ρ pa ρ (.13) gdy dla r ; υ θ ; z ; p pa. Uwzgldniajc to, e przepływ jest potencjalny υ θ obliczymy ze wzoru (.1) i piszemy ponownie: p ρ 4 r p + g z = a ω r r ρ (.14) Poniewa w rdzeniu powietrznym wiru o promieniu r r panuje cinienie wyznaczamy kształt powierzchni swobodnej wody dla co jest pokazane na rys..3. z r rr : p a, 4 ω rr = (.15) gr rr pa r z Rys..3. Woda spływajca wirowo z otwartego zbiornika, gdy jest jej mało 17

18 .1.3. Model teoretyczny, a wiry rzeczywiste w technice Czy przedstawiony model teoretyczny ruchu wirowego ma co wspólnego z rzeczywistym przepływem? To jest pytanie, na które trzeba przede wszystkim odpowiedzie. Okazuje si, e ma wiele wspólnego. Na przykładzie cyklonów tropikalnych i tornad, bdzie to wyjanione w dalszej kolejnoci, a teraz uwaga zostanie skupiona na urzdzeniach technicznych. W tym celu zostan wykorzystane badania eksperymentalne. Przedstawiony bdzie szereg rezultatów, z których wynika, e załoony rozkład teoretyczny prdkoci jest zbliony do rzeczywistego: [9], [7], [35]. Przede wszystkim na osi wiru nie moe wystpowa rozkład potencjalny, bo dla r = ; υ, a zgodnie z równaniem Bernouliego cinienie dla r =, dyłoby do. Nie moe to mie miejsca. Wszystkie wymienione poniej badania wykazuj, e składowa obwodowa prdkoci dla r = jest take zerem, tj. υ =. Tak zwana lepko turbulentna jest natomiast w rodku wiru θ dua. Wynika to z oblicze przeprowadzonych według programów komputerowych i modelu turbulencji k ε. W 1. rozdziale zostanie udowodnione, e rozkład składowej obwodowej prdkoci jest trwały. Jest tak, poniewa rozkład ten wie si z minimalizacj energii jaka jest potrzebna do utrzymania wiru. y r θ x φ R z Cz cylindryczna współrzdne cylindryczne z, r, θ Cz dyfuzorowa współrzdne kuliste R, φ, θ Rys..4. Schemat dyfuzora uytego do osignicia rozkładu prdkoci obwodowej, pokazanej na rys..5. x, y,z - kartezjaski układ współrzdnych, przy tym płaszczyzna x,, y - jest prostopadła do rys..4, φ - kt midzy promieniem R, a osi z ; θ - kt midzy osi x i promieniem r ; r - rzut promienia R na płaszczyzn x,, y 18

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII

MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII TEST PRZED MATUR 007 MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z FIZYKI I ASTRONOMII ZAKRES ROZSZERZONY Numer zadania......3. Punktowane elementy rozwizania (odpowiedzi) za podanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

OBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ

OBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ ! OBIEKTY ELEKTROWNI WODNEJ RÓWNANIE BERNOULLIEGO Równanie Bernoulliego opisuje ruch płynu i ma trzy składowe: - składow prdkoci - (energia kinetyczna ruchu), - składow połoenia (wysokoci) - (energia potencjalna),

Bardziej szczegółowo

Statyczna próba skrcania

Statyczna próba skrcania Laboratorium z Wytrzymałoci Materiałów Statyczna próba skrcania Instrukcja uzupełniajca Opracował: Łukasz Blacha Politechnika Opolska Katedra Mechaniki i PKM Opole, 2011 2 Wprowadzenie Do celów wiczenia

Bardziej szczegółowo

Izolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe

Izolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe Izolacja Anteny szerokopasmowe i wskopasmowe W literaturze technicznej mona znale róne opinie, na temat okrelenia, kiedy antena moe zosta nazwana szerokopasmow. Niektórzy producenci nazywaj anten szerokopasmow

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.

Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Wstp Przy podejciu do planowania adresacji IP moemy spotka si z 2 głównymi przypadkami: planowanie za pomoc adresów sieci prywatnej przypadek, w którym jeeli

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

Podstawowe obiekty AutoCAD-a

Podstawowe obiekty AutoCAD-a LINIA Podstawowe obiekty AutoCAD-a Zad1: Narysowa lini o pocztku w punkcie o współrzdnych (100, 50) i kocu w punkcie (200, 150) 1. Wybierz polecenie rysowania linii, np. poprzez kilknicie ikony. W wierszu

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y Nr zadania Nr czynnoci Przykadowy zestaw zada nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Etapy rozwizania zadania. Podanie dziedziny funkcji f: 6, 8.. Podanie wszystkich

Bardziej szczegółowo

Sposoby przekazywania parametrów w metodach.

Sposoby przekazywania parametrów w metodach. Temat: Definiowanie i wywoływanie metod. Zmienne lokalne w metodach. Sposoby przekazywania parametrów w metodach. Pojcia klasy i obiektu wprowadzenie. 1. Definiowanie i wywoływanie metod W dotychczas omawianych

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wojciech Drzewiecki SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ

Wojciech Drzewiecki SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ Wojciech Drzewiecki SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ Systemem Informacji Geograficznej (Systemem Informacji Przestrzennej, GIS, SIP) nazywamy skomputeryzowany system pozyskiwania, przechowywania, przetwarzania,

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Amortyzacja rodków trwałych

Amortyzacja rodków trwałych Amortyzacja rodków trwałych Wydawnictwo Podatkowe GOFIN http://www.gofin.pl/podp.php/190/665/ Dodatek do Zeszytów Metodycznych Rachunkowoci z dnia 2003-07-20 Nr 7 Nr kolejny 110 Warto pocztkow rodków trwałych

Bardziej szczegółowo

Rys1 Rys 2 1. metoda analityczna. Rys 3 Oznaczamy prdy i spadki napi jak na powyszym rysunku. Moemy zapisa: (dla wzłów A i B)

Rys1 Rys 2 1. metoda analityczna. Rys 3 Oznaczamy prdy i spadki napi jak na powyszym rysunku. Moemy zapisa: (dla wzłów A i B) Zadanie Obliczy warto prdu I oraz napicie U na rezystancji nieliniowej R(I), której charakterystyka napiciowo-prdowa jest wyraona wzorem a) U=0.5I. Dane: E=0V R =Ω R =Ω Rys Rys. metoda analityczna Rys

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych

J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych J. Szantyr Wykład 2 - Podstawy teorii wirnikowych maszyn przepływowych a) Wentylator lub pompa osiowa b) Wentylator lub pompa diagonalna c) Sprężarka lub pompa odśrodkowa d) Turbina wodna promieniowo-

Bardziej szczegółowo

CYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO

CYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO CYKL POWIETRZNY W BILANSIE PROMIENIOWANIA SŁONECZNEGO W cyklu powietrznym jest jeden z najniszych udziałów energii promieniowania słonecznego. Jest to zaledwie około 0,3% (około 4 W/m 2 ) strumienia energii

Bardziej szczegółowo

Dwurównaniowe domknięcie turbulentnego strumienia ciepła

Dwurównaniowe domknięcie turbulentnego strumienia ciepła Instytut Maszyn Przepływowych PAN Ośrodek Termomechaniki Płynów Zakład Przepływów z Reakcjami Chemicznymi Dwurównaniowe domknięcie turbulentnego strumienia ciepła Implementacja modelu: k 2 v' f ' 2 Michał

Bardziej szczegółowo

Dynamika Uk adów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja uk adów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda.

Dynamika Uk adów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja uk adów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda. Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja ukadów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda. Wtedy była to synchronizacja stanów periodycznych. Wiecej na ten

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO...

Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO... Spis treści PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO....................... XI 1. WPROWADZENIE DO GEODEZJI WYŻSZEJ..................... 1 Z historii geodezji........................................ 1 1.1. Kształt

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

BUDOWA LUNETY CELOWNICZEJ

BUDOWA LUNETY CELOWNICZEJ BUDOWA LUNETY CELOWNICZEJ Luneta celownicza składa si z nastpujcych sekcji (liczc od obiektywu): - soczewek obiektywu - układu regulacji paralaxy (dotyczy lunet sportowych) - mechanizmu regulacji krzya

Bardziej szczegółowo

O tym jak wyliczy koszt przepływu palety przez magazyn

O tym jak wyliczy koszt przepływu palety przez magazyn Optymalizacja zaangaowania kapitałowego 22.12.2004 r. w decyzjach typu make or buy. Magazyn własny czy obcy cz. 1. O tym jak wyliczy koszt przepływu palety przez magazyn Wprowadzenie Wan miar działania

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

Cash flow projektu zakładajcego posiadanie własnego magazynu oraz posiłkowanie si magazynem obcym w przypadku sezonowych zwyek

Cash flow projektu zakładajcego posiadanie własnego magazynu oraz posiłkowanie si magazynem obcym w przypadku sezonowych zwyek Optymalizacja zaangaowania kapitałowego 4.01.2005 r. w decyzjach typu make or buy. Magazyn czy obcy cz. 2. Cash flow projektu zakładajcego posiadanie własnego magazynu oraz posiłkowanie si magazynem obcym

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub

Bardziej szczegółowo

Polska gola! czyli. Fizyk komputerowy gra w piłkę. Sławomir Kulesza

Polska gola! czyli. Fizyk komputerowy gra w piłkę. Sławomir Kulesza Polska gola! czyli Fizyk komputerowy gra w piłkę Sławomir Kulesza Plan prezentacji Fizyka ruchu ciała a w ośrodkuo Rzucamy jak Artur Siódmiak Kopiemy jak Roberto Carlos Serwujemy jak Stephane Antiga Plan

Bardziej szczegółowo

Fizyka w sporcie Aerodynamika

Fizyka w sporcie Aerodynamika Sławomir Kulesza kulesza@matman.uwm.edu.pl Symulacje komputerowe (07) Fizyka w sporcie Aerodynamika Wykład dla studentów Informatyki Ostatnia zmiana: 26 marca 2015 (ver. 5.1) Po co nauka w sporcie? Przesuwanie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW BUDOWY URZĄDZEŃ DLA PROCESÓW MECHANICZNYCH

LABORATORIUM PODSTAW BUDOWY URZĄDZEŃ DLA PROCESÓW MECHANICZNYCH LABORATORIUM PODSTAW BUDOWY URZĄDZEŃ DLA PROCESÓW MECHANICZNYCH Temat: Badanie cyklonu ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BMiP 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

PRACA. MOC. ENERGIA. 1/20

PRACA. MOC. ENERGIA. 1/20 PRACA. MOC. ENERGIA. 1/20 Czym jest energia? Większość zjawisk w przyrodzie związana jest z przemianami energii. Energia może zostać przekazana od jednego ciała do drugiego lub ulec przemianie z jednej

Bardziej szczegółowo

WPŁYW POWŁOKI POWIERZCHNI WEWNĘTRZNEJ RUR PRZEWODOWYCH NA EKSPLOATACJĘ RUROCIĄGU. Przygotował: Dr inż. Marian Mikoś

WPŁYW POWŁOKI POWIERZCHNI WEWNĘTRZNEJ RUR PRZEWODOWYCH NA EKSPLOATACJĘ RUROCIĄGU. Przygotował: Dr inż. Marian Mikoś WPŁYW POWŁOKI POWIERZCHNI WEWNĘTRZNEJ RUR PRZEWODOWYCH NA EKSPLOATACJĘ RUROCIĄGU Przygotował: Dr inż. Marian Mikoś Kocierz, 3-5 wrzesień 008 Wstęp Przedmiotem opracowania jest wykazanie, w jakim stopniu

Bardziej szczegółowo

Układ krążenia krwi. Bogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka. 2014-11-18 Biofizyka 1

Układ krążenia krwi. Bogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka. 2014-11-18 Biofizyka 1 Wykład 7 Układ krążenia krwi Bogdan Walkowiak Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka 2014-11-18 Biofizyka 1 Układ krążenia krwi Source: INTERNET 2014-11-18 Biofizyka 2 Co

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI ««*» ( # * *»»

SPIS TREŚCI ««*» ( # * *»» ««*» ( # * *»» CZĘŚĆ I. POJĘCIA PODSTAWOWE 1. Co to jest fizyka? 11 2. Wielkości fizyczne 11 3. Prawa fizyki 17 4. Teorie fizyki 19 5. Układ jednostek SI 20 6. Stałe fizyczne 20 CZĘŚĆ II. MECHANIKA 7.

Bardziej szczegółowo

Prdnica prdu zmiennego.

Prdnica prdu zmiennego. POLITECHNIK LSK YDZIŁ INYNIERII RODOISK I ENERGETYKI INSTYTT MSZYN I RZDZE ENERGETYCZNYCH LBORTORIM ELEKTRYCZNE Prdnica prdu zmiennego. (E 16) www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape Opracował: Dr in. łodzimierz

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk POZNA MATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI STYCZE 010 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1 9). Ewentualny brak

Bardziej szczegółowo

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem

Bardziej szczegółowo

Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych

Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych Politechnika lska w Gliwicach Instytut Maszyn i Urzdze Energetycznych Zakład Podstaw Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Energetycznych wiczenie laboratoryjne z wytrzymałoci materiałów Temat wiczenia: Wyznaczanie

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub

Bardziej szczegółowo

A. Zaborski, Elastooptyka podstawy fizyczne ELASTOOPTYKA

A. Zaborski, Elastooptyka podstawy fizyczne ELASTOOPTYKA ELASTOOPTYKA Elastooptyka stanowi grup metod optycznych słucych do dowiadczalnego wyznaczania stanu naprenia i odkształcenia. W niniejszym rozdziale omówiona zostanie jedynie podstawowa metoda, wykorzystujca

Bardziej szczegółowo

Moc mieszadła cyrkulacyjnego W warniku cukrowniczym * Streszczenie:

Moc mieszadła cyrkulacyjnego W warniku cukrowniczym * Streszczenie: František RIEGER**, Edward RZYSKI*** **Czeski Uniwersytet Techniczny w Pradze, Instytut Inynierii Procesowej, Praha, Republika Czeska ***Politechnika Łódzka, Katedra Aparatury Procesowej, Łód Moc mieszadła

Bardziej szczegółowo

Symulacja cieek klinicznych w rodowisku PowerDesigner i SIMUL8

Symulacja cieek klinicznych w rodowisku PowerDesigner i SIMUL8 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol. 1, No. 2/2010 Marta LIGNOWSKA Wojskowa Akademia Techniczna, ul. Kaliskiego 2, 00-908 Warszawa E-mail: marta.lignowska@wat.edu.pl Symulacja cieek klinicznych w rodowisku

Bardziej szczegółowo

Dodatek 1. Czopy kocowe walcowe wałów wg PN-M-85000:1998. D1.1. Wzory obliczeniowe dopuszczalnych momentów obrotowych

Dodatek 1. Czopy kocowe walcowe wałów wg PN-M-85000:1998. D1.1. Wzory obliczeniowe dopuszczalnych momentów obrotowych Praca domowa nr 3. Dodatek Strona 1 z 23 Dodatek 1. Czopy kocowe walcowe wałów wg PN-M-85000:1998 Norm PN-M-85000 objto wymiary czopów kocowych walcowych wałów (długich i krótkich) oraz czopów stokowych

Bardziej szczegółowo

Laboratorium elektryczne. Falowniki i przekształtniki - I (E 14)

Laboratorium elektryczne. Falowniki i przekształtniki - I (E 14) POLITECHNIKA LSKA WYDZIAŁINYNIERII RODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZDZE ENERGETYCZNYCH Laboratorium elektryczne Falowniki i przekształtniki - I (E 14) Opracował: mgr in. Janusz MDRYCH Zatwierdził:

Bardziej szczegółowo

ZMIANY W KRZYWIZNACH KRGOSŁUPA MCZYZN I KOBIET W POZYCJI SIEDZCEJ W ZALENOCI OD TYPU POSTAWY CIAŁA WSTP

ZMIANY W KRZYWIZNACH KRGOSŁUPA MCZYZN I KOBIET W POZYCJI SIEDZCEJ W ZALENOCI OD TYPU POSTAWY CIAŁA WSTP Elbieta CHLEBICKA Agnieszka GUZIK Wincenty LIWA Politechnika Wrocławska ZMIANY W KRZYWIZNACH KRGOSŁUPA MCZYZN I KOBIET W POZYCJI SIEDZCEJ W ZALENOCI OD TYPU POSTAWY CIAŁA WSTP siedzca, która jest przyjmowana

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Klonowanie MAC adresu oraz TTL

Klonowanie MAC adresu oraz TTL 1. Co to jest MAC adres? Klonowanie MAC adresu oraz TTL Adres MAC (Media Access Control) to unikalny adres (numer seryjny) kadego urzdzenia sieciowego (jak np. karta sieciowa). Kady MAC adres ma długo

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ III: Stany nieustalone Temat 8 : Stan ustalony i nieustalony w obwodach elektrycznych.

ROZDZIAŁ III: Stany nieustalone Temat 8 : Stan ustalony i nieustalony w obwodach elektrycznych. OZDZIAŁ III: Stany niestalone Temat 8 : Stan stalony i niestalony w obwodach elektrycznych. Dotychczas rozpatrywane obwody elektryczne prd stałego i zmiennego rozpatrywane były w tzw. stanie stalonym.

Bardziej szczegółowo

Poprawa efektywnoci metody wstecznej propagacji bdu. Jacek Bartman

Poprawa efektywnoci metody wstecznej propagacji bdu. Jacek Bartman Poprawa efektywnoci metody wstecznej propagac bdu Algorytm wstecznej propagac bdu. Wygeneruj losowo wektory wag. 2. Podaj wybrany wzorzec na wejcie sieci. 3. Wyznacz odpowiedzi wszystkich neuronów wyjciowych

Bardziej szczegółowo

ELEMENT SYSTEMU BIBI.NET. Instrukcja Obsługi

ELEMENT SYSTEMU BIBI.NET. Instrukcja Obsługi ELEMENT SYSTEMU BIBI.NET Instrukcja Obsługi Copyright 2005 by All rights reserved Wszelkie prawa zastrzeone!"# $%%%&%'(%)* +(+%'(%)* Wszystkie nazwy i znaki towarowe uyte w niniejszej publikacji s własnoci

Bardziej szczegółowo

Jan A. Szantyr jas@pg.gda.pl tel. 58-347-2507

Jan A. Szantyr jas@pg.gda.pl tel. 58-347-2507 Katedra Energetyki i Aparatury Przemysłowej Zakład Mechaniki Płynów, Turbin Wodnych i Pomp J. Szantyr Wykład 1 Łagodne wprowadzenie do Mechaniki Płynów Jan A. Szantyr jas@pg.gda.pl tel. 58-347-2507 Mechanika

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

Płyny newtonowskie (1.1.1) RYS. 1.1

Płyny newtonowskie (1.1.1) RYS. 1.1 Miniskrypt: Płyny newtonowskie Analizujemy cienką warstwę płynu zawartą pomiędzy dwoma równoległymi płaszczyznami, które są odległe o siebie o Y (rys. 1.1). W warunkach ustalonych następuje ścinanie w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi programu MechKonstruktor

Instrukcja obsługi programu MechKonstruktor Instrukcja obsługi programu MechKonstruktor Opracował: Sławomir Bednarczyk Wrocław 2002 1 1. Opis programu komputerowego Program MechKonstruktor słuy do komputerowego wspomagania oblicze projektowych typowych

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

PROWIZJE Menad er Schematy rozliczeniowe

PROWIZJE Menad er Schematy rozliczeniowe W nowej wersji systemu pojawił si specjalny moduł dla menaderów przychodni. Na razie jest to rozwizanie pilotaowe i udostpniono w nim jedn funkcj, która zostanie przybliona w niniejszym biuletynie. Docelowo

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT MASZYN PRZEPŁYWOWYCH im. Roberta Szewalskiego POLSKIEJ AKADEMII NAUK

INSTYTUT MASZYN PRZEPŁYWOWYCH im. Roberta Szewalskiego POLSKIEJ AKADEMII NAUK INSTYTUT MASZYN PRZEPŁYWOWYCH im. Roberta Szewalskiego POLSKIEJ AKADEMII NAUK Piotr DOERFFER, Prof. dr hab. inż., ZAKŁAD PRZEPŁYWÓW TRANSONICZNYCH I METOD NUMERYCZNYCH ul. Fiszera 14 80-952 Gdańsk tel.:

Bardziej szczegółowo

Ćw. M 12 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa i za pomocą wiskozymetru Ostwalda.

Ćw. M 12 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa i za pomocą wiskozymetru Ostwalda. Ćw. M 12 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa i za pomocą wiskozymetru Ostwalda. Zagadnienia: Oddziaływania międzycząsteczkowe. Ciecze idealne i rzeczywiste. Zjawisko lepkości. Równanie

Bardziej szczegółowo

DLA KOGO UMOWY ENTERPRISE?

DLA KOGO UMOWY ENTERPRISE? Kady z Uytkowników posiadajcy co najmniej pakiet B moe zamówi funkcj Umowy Enterprise. Koszt tej modyfikacji to 800 zł netto bez wzgldu na liczb stanowisk. I jak ju wielokrotnie ogłaszalimy, koszt wikszoci

Bardziej szczegółowo

BEVELMASTERTM TM 203C - PRZENONA OBRABIARKA DO RUR W EKRANACH BEVELMASTER TM 204B - PRZENONA OBRABIARKA DO RUR I KOŁNIERZY

BEVELMASTERTM TM 203C - PRZENONA OBRABIARKA DO RUR W EKRANACH BEVELMASTER TM 204B - PRZENONA OBRABIARKA DO RUR I KOŁNIERZY BEVELMASTERTM TM 203C - PRZENONA OBRABIARKA DO RUR W EKRANACH Obrabiarka typu Bevelmaster TM 203C słuy do obróbki czoła rur w zakresie rednic zewntrznych Ø19,10-76,20mm. Maszyna posiada zewntrzny system

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzain aturalny aj 009 FIZYKA I ASTRONOMIA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Wyznaczenie wartoci prdkoci i przyspieszenia ciaa wykorzystujc równanie ruchu. Warto prdkoci pocztkowej,

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż.

LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ. Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. LABORATORIUM TERMODYNAMIKI I TECHNIKI CIEPLNEJ Badanie charakterystyki wentylatorów połączenie równoległe i szeregowe. dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi programu CalcuLuX 4.0

Instrukcja obsługi programu CalcuLuX 4.0 Instrukcja obsługi programu CalcuLuX 4.0 Katarzyna Jach Marcin Kuliski Politechnika Wrocławska Program CalcuLuX jest narzdziem wspomagajcym proces projektowania owietlenia, opracowanym przez Philips Lighting.

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Projekt z przedmiotu Metoda Elementów Skończonych

Projekt z przedmiotu Metoda Elementów Skończonych Projekt z przedmiotu Metoda Elementów Skończonych Prowadzący: dr hab. inż., prof. nadzw. Tomasz Stręk Autorzy: Marcel Pilarski Krzysztof Rosiński IME, MiBM, WBMiZ semestr VII, rok akademicki 2013/2014

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI POWIETRZA

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI POWIETRZA Uniwersytet Wrocławski, Instytut Fizyki Doświadczalnej, I Pracownia Ćwiczenie nr 37 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI POWIETRZA I.WSTĘP Tarcie wewnętrzne Zjawisko tarcia wewnętrznego (lepkości) można

Bardziej szczegółowo

Metoda Elementów Skończonych. Projekt: COMSOL Multiphysics 3.4.

Metoda Elementów Skończonych. Projekt: COMSOL Multiphysics 3.4. Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych Projekt: COMSOL Multiphysics 3.4. Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk Wykonali: Widerowski Karol Wysocki Jacek Wydział: Budowa Maszyn i Zarządzania Kierunek:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem (Wpisuje zdajcy przed rozpoczciem pracy) KOD ZDAJCEGO MMA-PGP-0 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut ARKUSZ I MAJ ROK 00 Instrukcja dla zdajcego.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi programu DIALux 2.6

Instrukcja obsługi programu DIALux 2.6 Instrukcja obsługi programu DIALux 2.6 Marcin Kuliski Politechnika Wrocławska Program DIALux słuy do projektowania sztucznego owietlenia pomieszcze zamknitych, terenów otwartych oraz dróg. Jego najnowsze,

Bardziej szczegółowo

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)

Bardziej szczegółowo

M E R I D I A N. Sobota, 11 lutego 2006

M E R I D I A N. Sobota, 11 lutego 2006 M E R I D I A N Sobota, 11 lutego 2006 Czas pracy: 75 minut Maksymalna liczba punktów do uzyskania: 123 W czasie testu nie wolno uywa kalkulatorów ani innych pomocy naukowych. 1. Na ostatniej stronie testu

Bardziej szczegółowo

Pozostałe zadania UWAGA: Za kade poprawne i pełne rozwizanie przyznajemy maksymaln liczb punktów nalenych za zadanie. 1 p.

Pozostałe zadania UWAGA: Za kade poprawne i pełne rozwizanie przyznajemy maksymaln liczb punktów nalenych za zadanie. 1 p. SCHEMAT PUNKTOWANIA GM - A1 LUTY 2004 Zadania WW 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B C D B C C B A D B B D A C B C A A B A C A D D D Pozostałe zadania UWAGA: Za kade poprawne

Bardziej szczegółowo

Poniszy rysunek przedstawia obraz ukoczonej powierzchni wykorzystywanej w wiczeniu.

Poniszy rysunek przedstawia obraz ukoczonej powierzchni wykorzystywanej w wiczeniu. Ten rozdział pokae jak tworzy powierzchnie prostoliniowe i trasowane oraz dostarczy niezbdnych informacji o rónych typach powierzchni, które moemy stosowa przy tworzeniu geometrii. Rozdział pokazuje równie

Bardziej szczegółowo

Program do konwersji obrazu na cig zero-jedynkowy

Program do konwersji obrazu na cig zero-jedynkowy Łukasz Wany Program do konwersji obrazu na cig zero-jedynkowy Wstp Budujc sie neuronow do kompresji znaków, na samym pocztku zmierzylimy si z problemem przygotowywania danych do nauki sieci. Przyjlimy,

Bardziej szczegółowo

Konwekcja - opisanie zagadnienia.

Konwekcja - opisanie zagadnienia. Konwekcja - opisanie zagadnienia. Magdalena Włodarz Konwekcja - to proces przenoszenia ciepła wynikający z makroskopowego ruchu materii w dowolnej substancji, np. rozgrzanego powietrza, wody, piasku itp.

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Plan wykładu. Proces modelowania i implementacji bazy danych. Elementy ERD. Wykład 2: Diagramy zwizków encji (ERD)

Bazy danych. Plan wykładu. Proces modelowania i implementacji bazy danych. Elementy ERD. Wykład 2: Diagramy zwizków encji (ERD) Plan wykładu Bazy danych Wykład 2: Diagramy zwizków encji (ERD) Diagramy zwizków encji elementy ERD licznoci zwizków podklasy klucze zbiory słabych encji Małgorzata Krtowska Katedra Oprogramowania e-mail:

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: Stała siła działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o. Praca jaką wykona przy tym siła W przypadku

Bardziej szczegółowo

Temat: Programowanie zdarzeniowe. Zdarzenia: delegacje, wykorzystywanie zdarze. Elementy Windows Application (WPF Windows Presentation Foundation).

Temat: Programowanie zdarzeniowe. Zdarzenia: delegacje, wykorzystywanie zdarze. Elementy Windows Application (WPF Windows Presentation Foundation). Temat: Programowanie zdarzeniowe. Zdarzenia: delegacje, wykorzystywanie zdarze. Elementy Windows Application (WPF Windows Presentation Foundation). 1. Programowanie zdarzeniowe Programowanie zdarzeniowe

Bardziej szczegółowo

Rynek motoryzacyjny 2011 Europa vs Polska

Rynek motoryzacyjny 2011 Europa vs Polska Rynek motoryzacyjny 2011 Europa vs Polska Rynek cz!"ci motoryzacyjnych nierozerwalnie #$czy si! z parkiem samochodowym, dlatego te% podczas oceny wyników sprzeda%y samochodowych cz!"ci zamiennych nie mo%na

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

AQUAGOR POMPA CIEPŁA WODA/WODA

AQUAGOR POMPA CIEPŁA WODA/WODA AQUAGOR POMPA CIEPŁA WODA/WODA Pompy ciepła woda/woda to jeden z najbardziej wydajnych systemów energii cieplnej. Temperatura wód gruntowych to bardzo solidne i stałe ródło energii, bo ich temperatura

Bardziej szczegółowo

M.11.01.04 ZASYPANIE WYKOPÓW WRAZ Z ZAGSZCZENIEM

M.11.01.04 ZASYPANIE WYKOPÓW WRAZ Z ZAGSZCZENIEM ZASYPANIE WYKOPÓW WRAZ Z ZAGSZCZENIEM 1. WSTP 1.1. Przedmiot ST Przedmiotem niniejszej ST s wymagania szczegółowe dotyczce wykonania i odbioru Robót zwizanych z zasypywaniem wykopów z zagszczeniem dla

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka.

Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka. Cel ćwiczenia: WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIECZY ZA POMOCĄ WAGI HYDROSTATYCZNEJ Wyznaczenie gęstości cieczy za poocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), koplet odważników, obciążnik,

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA TECHNICZNO - ROLNICZA WYDZIAŁ MECHANICZNY OSPRZT ELEKTRYCZNY POJAZDÓW MECHANICZNYCH

AKADEMIA TECHNICZNO - ROLNICZA WYDZIAŁ MECHANICZNY OSPRZT ELEKTRYCZNY POJAZDÓW MECHANICZNYCH AKADEMIA TECHNICZNO - ROLNICZA WYDZIAŁ MECHANICZNY Bogdan ółtowski Henryk Tylicki OSPRZT ELEKTRYCZNY POJAZDÓW MECHANICZNYCH Bydgoszcz 1999 SPIS TRECI WSTP 1. DIAGNOZOWANIE OSPRZTU ELEKTRYCZNEGO POJAZDÓW

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne

Bardziej szczegółowo

METODA ELEMENTÓW SKOŃOCZNYCH Projekt

METODA ELEMENTÓW SKOŃOCZNYCH Projekt METODA ELEMENTÓW SKOŃOCZNYCH Projekt Wykonali: Maciej Sobkowiak Tomasz Pilarski Profil: Technologia przetwarzania materiałów Semestr 7, rok IV Prowadzący: Dr hab. Tomasz STRĘK 1. Analiza przepływu ciepła.

Bardziej szczegółowo