METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Zadania do realizacji na ćwiczeniach

Transkrypt

1 Dr inż. Małgorzata Krętowska Wydział Informatyki PB METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Zadania do realizacji na ćwiczeniach Zajęcia nr 2 Teoria: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa; Prawdopodobieństwo warunkowe; Niezależność zdarzeń; Prawdopodobieństwo całkowite; Wzór Bayesa; Zad 1 Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) wybrany losowo punkt kwadratu x <1, y <1 leży wewnątrz okręgu x 2 + y 2 =1; b) że 3 przypadkowo wybrane punkty kwadratu są punktami koła. Zad 2 W windzie jest 7 pasażerów. Nikt nie wsiada. Winda zatrzymuje się na 10 piętrach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 2 lub więcej pasażerów nie wysiądzie na jednym piętrze. Zad 3 Pani X i pani Y idąc z domu do biura mają do przebycia pewien wspólny odcinek drogi AB z tym, że przebywają go w przeciwnych kierunkach, pani X od A do B, pani Y zaś z B do A. Pani X przybywa do punktu A (pani Y zaś do punktu B) w przypadkowym momencie czasu miedzy godz. 7:30 i 7:45 i idzie ze stałą prędkością. Każda z pań przechodzi odcinek AB w przeciągu 5 minut. Obliczyć prawdopodobieństwo p spotkania pań X i Y. Zad 4 Bierzemy pod uwagę małżeństwa mieszkające w pewnym miasteczku. Prawdopodobieństwo tego, że małżonek weźmie udział w wyborach lokalnych jest równe 0.21, prawdopodobieństwo głosowania małżonki Prawdopodobieństwo tego, że oboje wezmą udział w głosowaniu Jakie jest prawdopodobieństwo, że małżonek będzie głosował pod warunkiem, że jego żona weźmie udział w głosowaniu. Zad 5 Test ELISA na obecność wirusa HIF w organizmie (stosowany w USA w połowie lat 80-tych) daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0,98 i negatywny z prawdopodobieństwem 0,02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego jest 0,07. Zakłada się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem. a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej osoby z tej populacji test dał wynik pozytywny. b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik pozytywny. Zad 6 Kanałem łączności nadaje się na wyjściu tylko 3 rodzaje sygnałów: AAAA, BBBB, CCCC, odpowiednio z prawdopodobieństwem 0.4; 0.3; 0.3. Litery te (sygnały) podlegają niezależnie losowym zakłóceniom w rezultacie czego np. litera A może być odebrana jako litera B albo C. Prawdopodobieństwo poprawnego przesłania albo przekłamania podaje tablica: Sygnały odebrane Sygnały nadane A B C A B C Znaleźć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału AAAA. 2. Na wyjściu odebrano sygnał ACAA. Obliczyć prawdopodobieństwo, że został on nadany jako AAAA. Zad 7 W magazynie znajdują się 2 partie elementów produkowanych w fabrykach I i II. Z fabryki I pochodzi 40% elementów, z fabryki II- 60%. Niezawodność (w czasie T) elementów z fabryki I jest równa 0.95, z fabryki II 0.7. W sposób przypadkowy wzięto z magazynu element. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) pochodzi on z fabryki I b) że będzie pracował poprawnie przez czas T. c) że element pochodzi z fabryki I, jeśli stwierdzono, że pracował poprawnie przez czas T. Zad 8 W szkole zawodowej jest n uczniów, z których n k (k=1, 2, 3) uczy się w k-tej klasie. Okazało się, że jeden z dwóch losowo wybranych uczniów uczy się w wyższej klasie niż drugi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że starszy z nich uczy się w trzeciej klasie? Zad 9 Trzej gracze rzucają kolejno monetą. Wygrywa ten, który pierwszy wyrzuci orła. Obliczyć prawdopodobieństwo wygranej każdego z graczy. Zad 10 Kolekcjoner obrazów otrzymał z zagranicy przesyłkę pięciu starych płócien i na bazie wcześniejszych doświadczeń obawia się fałszerstwa. Według niego, prawdopodobieństwa otrzymania 0,1,2,3,4 lub 5 sfałszowanych płócien w przesyłce wynoszą odpowiednio: 0.76, 0.09, 0.02, 0.01, 0.02 oraz 0.1. Ponieważ badanie autentyczności jest kosztowne, tylko jedno losowo wybrane płótno zostało skierowane na takie badanie. Ja zmienią się podane powyżej oszacowania prawdopodobieństw, gdy badany obraz okaże się fałszerstwem?

2 Zajęcia nr 3 Teoria: Zmienna losowa dyskretna: funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, dystrybuanta. Rozkłady zmiennej dyskretnej: zerojedynkowy, Bernoulliego, geometryczny, jednostajny; Zmienna losowa ciągła: funkcja gęstości, dystrybuanta; Rozkłady zmiennej losowej ciągłej: normalny, standaryzowany normalny, wykładniczy, jednostajny Uwaga: Obowiązuje znajomość wszystkich rozkładów zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej ze szczególnym uwzględnieniem wymienionych wyżej. Zad 1 Dana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: x i p i c Wyznaczyć stałą c. 2. Sporządzić wykres funkcji rozkładu prawdopodobieństwa i jej histogram. 3. Określić dystrybuantę i jej wykres. 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X=-2? 5. Obliczyć P(-2 X <3). Zad 2 Zakładając, że zmienna losowa X ma dystrybuantę: 0 dla x 2 1/3 dla 2<x 6 F(x)= ½ dla 6<x< 8 5/6 dla 8<x 12 1 dla x>12 znaleźć: a) rozkład zmiennej X; b) P(5<X 8); c) P(X=8) Zad 3 Z dużej partii produkcji pobrano w sposób losowy 5 sztuk towaru (losowanie zwrotne). Niech X oznacza liczbę sztuk wadliwych wśród wylosowanych. Określ rozkład zmiennej losowej X, jeśli wiadomo, że wadliwość produkcji jest równa 10%. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych sztuk są co najmniej 2 sztuki wadliwe. Zad 4 Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących: a) żaden nie wygra b) Wygra co najmniej jeden c) wygra co najmniej dwóch Zad 5 Egzaminator zadaje studentowi pytanie. Prawdopodobieństwo tego, że student odpowie na każde pytanie jest równe 0.8. Egzaminator przerywa egzamin w chwili, gdy student nie umie odpowiedzieć na zadane pytanie. Podać rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej X, będącej liczbą pytań, które egzaminator zadawał studentowi. Zad 6 Wiedząc, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dana jest wzorem: 1/9 x 2 dla 0< x 3 f(x)= 0 w pozostałych przypadkach Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej F(x) i P(1<X<2). Zad 7 Masa jabłek odmiany reneta złocista ma rozkład normalnych N(150, 25). Obliczyć prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 120 do 150 gramów. Zad 8 Pociągi elektryczne przyjeżdżają na stację dokładnie co 10 minut. Pasażer przychodzi na stację w przypadkowym momencie czasu. Niech X oznacza oczekiwanie na przybycie pociągu. Określić rozkład zmiennej losowej X, znaleźć jej gęstość f(x), dystrybuantę. Obliczyć P(X<8). Zad 9 Książka składająca się z 500 stron zawiera 50 błędów. Oszacować prawdopodobieństwo, że wylosowana strona będzie zawierać co najmniej 3 błędy. Zad 10 Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem: 0 dla x 0 F(x)= (1/36) x 2 dla 0< x 6 1 dla x > 6 Dla jakich wartości x 0 [0, 6) spełnione jest równanie P(x 0 < X 4)=1/4? Zad 11 Wyznaczyć stałą A tak, aby funkcja 0 dla x 0 f(x)= Ae -3x dla x>0 była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Znaleźć dystrybuantę F(x). Obliczyć P(X>2) i zinterpretować to prawdopodobieństwo na wykresie gęstości i dystrybuanty.

3 Zajęcia nr 4 Teoria: Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej: wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe, mediana, dominanta, współczynnik asymetrii i spłaszczenia, momenty; Funkcje zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej. Zad 1 Dana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: x i p i Obliczyć: wartość przeciętną, wariancję, odchylenie standardowe, medianę, dominantę. Zad 2 Funkcja gęstości zmiennej losowej X ma postać: 1/9 x 2 dla 0< x 3 f(x)= 0 w pozostałych przypadkach Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, medianę, kwartyl górny (trzeci) Zad 3 Zad 3 Wiadomo, że zmienne losowe X i Y są niezależne oraz, że ich funkcje gęstości mają postać: x/8 dla 0 x 4 y/5 dla 0 x 10 f(x)= 0 w pozostałych przypadkach f(y)= 0 w pozostałych przypadkach Na podstawie wartości oczekiwanej i wariancji wyznaczyć E(Z) i V(Z) dla Z=3Y-2X+1. Zad 4 Naszkicować wykres gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: 1/(2x 2 ) dla x >1 f(x)= 0 w pozostałych przypadkach Wyznaczyć medianę zmiennej losowej X. Zad 5 Niezależne zmienne losowe X i Y mają jednakowe funkcje prawdopodobieństwa: x i p i Niech U=X+Y, Z=X 2. Wyznaczyć funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych U i Z. Zad 6 Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y wyrażającej objętość sześcianu, jeżeli krawędź sześcianu jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale (0, a). Zad 7 Zmienna X 1 opisana jest rozkładem normalnym N(2,3) a zmienna X 2 rozkładem N(-1,1). Obliczyć prawdopodobieństwo P(6<Y<8), gdzie Y=X 1-2X 2. Zad 8 Ile średnio powinno przypadać rodzynków na bułeczkę, aby prawdopodobieństwo, że w bułeczce znajdzie się choćby jeden rodzynek było nie mniejsze niż 0.99? Zad 9 Niech zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem θ. Znaleźć gęstość zmiennej Y = 4-5 X. Zad 10 Przyjmujemy, że czas świecenia każdej z trzech żarówek może być traktowany jako zmienna losowa rozkładzie wykładniczym z parametrem a = 1/4 [1/miesiąc]. Podać średni czas świecenia układu zbudowanego z tych żarówek w sposób: a) równoległy, b) szeregowy Zad 11 Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie f(x) i ściśle rosnącej dystrybuancie F(x). Znaleźć rozkład zmiennych losowych: a) Y = e- X, b) Y = F(X).

4 Zajęcia nr 5 Zmienna losowa dwuwymiarowa dyskretna i ciągła: funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, dystrybuanta, rozkłady brzegowe, rozkłady warunkowe; Rozkłady zmiennej losowej dwuwymiarowej; Charakterystyki zmiennej losowej dwuwymiarowej. Zad 1 W 10 elementowej partii pewnego towaru są 2 sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie sztuk wadliwych wśród wylosowanych sztuk, Y zaś przyjmuje wartość 1 jeśli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, oraz 0 jeśli nie jest wadliwa. a) Wyznaczyć rozkład 2-wymiarowej zmiennej losowej (X,Y) oraz jej dystrybuantę; b) Zbadać czy zmienne są niezależne; c) Obliczyć E(X/Y=0) i V(X/Y=0); d) Obliczyć P(X+Y=1) oraz E(X+Y) Zad 2 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma następujący rozkład: X Y obliczyć rozkład warunkowy zmiennej X względem Y. Zad 3 Zmienna losowa dwuwymiarowa ma rozkład jednostajny w prostokącie D ograniczonym prostymi: x=2, x=4, y=5, y=10. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej. Zad 4 Zmienna losowa (X,Y) ma rozkład określony gęstością 1 dla 0<= x <=1, x<=y<=2-x, f(x,y)= 0 dla pozostałych (x,y) Wyznaczyć gęstości brzegowe zmiennych X i Y. Zad 5 Gęstość rozkładu zmiennej losowej dwuwymiarowej jest dana przez: 3x(y+x)/5 dla 0<x<1,0<y<2 f(x,y)= 0 w pozostałych przypadkach Oblicz E(X), V(Y), E(XY). Zad 6 Dwuwymiarowy rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest za pomocą tablicy \ X Y Obliczyć: a) P{X=2/Y=2}, b) E(Y/X=1), c) P{X + Y 3}, d) E(X+Y) Zad 7 W produkcji pewnego zakładu braki ze względu na własności mechaniczne produkcji (X) stanowią 3%, a braki ze względu na własności elektryczne (Y) tego produktu 4.5%. Produkcja dobra stanowi 95% całej produkcji. Znaleźć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y).

5 Zajęcia nr 6 Teoria: Współczynnik kowariancji i korelacji; Regresja I i II rodzaju. Zad 1 Zmienne losowe są związane zależnością funkcyjną Y=X 2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 1, 0, 1 każdą z jednakowym prawdopodobieństwem p=1/3. Wykazać, że kowariancja (X,Y) jest równa 0. Zad 2 Dla poniższych danych: x i y i Obliczyć współczynnik korelacji; 2. Sporządzić wykresy linii I rodzaju zmiennej X względem Y i Y względem X. 3. Wyznaczyć równania prostych regresji II rodzaju zmiennej X względem Y i Y względem X. Zad 3 Niech gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) będzie: 0.5 dla (x, y) K f(x,y)= 0 dla pozostałych (x,y) przy czym obszar K jest kwadratem o wierzchołkach w punktach (-1, 0), (1,0), (0, -1), (0,1). Oblicz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. Zad 4 Prawdopodobieństwo rozkładu liczby treningów drużyny piłkarskiej w ciągu tygodnia (Y) i liczby meczy w sezonie (X) kształtuje się następująco: x i y k , ,04 0,12 0, ,12 0, ,15 0,3 a) wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych X i Y. b) znaleźć oczekiwaną wartość warunkową E(Y/X=3) i wariancje warunkowe V(Y/X=3) c) obliczyć współczynnik korelacji pomiędzy tygodniową liczba treningów a liczbą wygranych meczy Zad 5 W urnie znajduje się 21 pasków papieru. Na każdym z pasków napisano jedną z liczb naturalnych 1, 2, 3,...,20, 21, przy czym każda z tych liczb występuje tylko raz. Paski są losowane ze zwracaniem. Interesują nas dwie cechy: X parzystość (x =1 liczba parzysta, x =0 liczba nieparzysta) Y podzielność przez trzy (y =1 liczba podzielna przez trzy, y = 0 liczba niepodzielna przez trzy) Obliczyć wartość współczynnika korelacji ρ(x,y), macierz kowariancji Σ oraz równania regresji pierwszego rodzaju i drugiego rodzaju Y względem X oraz X względem Y. Zad 6 Gęstość rozkładu zmiennej losowej jest dana przez: 2 dla x>0, y>0, x+y<1 f(x,y)= 0 w pozostałych przypadkach Znaleźć korelację między zmiennymi.

6 Zajęcia nr 7 Kolokwium Zajęcia nr 8 Teoria: Twierdzenia graniczne: centralne twierdzenie graniczne Lindeberga - Levy ego, integralne twierdzenie Moivre a Laplace a; Prawa wielkich liczb: mocne prawo wielkich liczb, słabe prawo wielkich liczb Zad 1 Na 200 mężczyzn 10 a na 500 kobiet 1 nie rozróżniają kolorów (są daltonistami). Z grupy 600 mężczyzn i 1000 kobiet wybrano losowo osobę, która okazała się daltonistą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna? Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba daltonistów w powyższej grupie zawarta będzie w przedziale [30,40]? Zad 2 Zmienne losowe X i (i=1, 2, 3,...) są niezależne i mają jednakowe rozkłady: P(X i =k)=0.2 dla k=1,2,3,4, ( Obliczyć prawdopodobieństwo p = P X i > 320) i= 1 Zad 3 Prawdopodobieństwo uszkodzenia elementu w ciągu określonego czasu T jest p=0.2. Jak duża powinna być liczba n elementów aby co najmniej 50 spośród nich z prawdopodobieństwem 0.9 nie uległo uszkodzeniu w ciągu rozważanego czasu T? Zad 4 Zmienne losowe X i są niezależne i X k ma rozkład normalny N(0, k 1/2 ) dla k=1, 2... Zbadać, czy dla ciągu {X k } zachodzi prawo wielkich liczb. Zad 5 Sprawdzić, czy zachodzi PWL dla ciągu {X k } niezależnych zmiennych losowych określonych następująco: P(X k =2 k )=0.5 i P(X k =-2 k )=0.5 Zadania dodatkowe: Zad 6 Rzucamy 1000 razy kostką do gry. Znaleźć granice, w których z prawdopodobieństwem 0.99 będzie zawierać się łączna liczba oczek? Zad 7 Prawidłowe działanie urządzeń zależy od sprawności dwu podukładów. Czas bezawaryjnej pracy każdego z podukładów ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej T = 1000 h. Urządzenie pierwszego typu zawiera podukłady połączone szeregowo, drugiego typu równolegle. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 1000 urządzeń każdego z typów co najmniej 900 będzie pracowało dłużej niż 600 godzin? Zad 8 Firma produkuje lizaki o smaku truskawkowym i brzoskwiniowym. W opakowaniu znajdują się 4 lizaki o różnych smakach. Prawdopodobieństwo, że w pudełku jest k lizaków o smaku truskawkowym jest równe p k, k=0,1,2,3,4, przy czym p 0 =0.1, p 1 =0.5, p 2 =0.3, p 3 =0.06, p 4 =0.04. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 1000 opakowaniach znajdzie się więcej niż 1200 lizaków o smaku truskawkowym.

7 Zajęcia nr 9 Teoria: Rozkłady statystyk z próby: rozkład średniej arytmetycznej, rozkład różnicy średnich arytmetycznych, rozkład wariancji, rozkład wskaźnika struktury, rozkład różnicy dwóch wskaźników struktury; Metody estymacji punktowej: Metoda największej wiarogodności Zad 1 Na podstawie n-elementowej próby losowej pobranej z populacji, w której badana cecha ma rozkład Poissona wyznaczyć, metodą największej wiarogodności, estymator parametru lambda tego rozkładu. Zad 2 Na podstawie n-elementowej próby losowej pobranej z populacji, w której badana cecha ma rozkład normalny N(m, s) wyznaczyć, metodą największej wiarogodności, estymatory parametrów m i s 2 tego rozkładu. Zad 3 W wyniku obserwacji liczby błędów literowych popełnianych w 20-stronicowym tekście komputerowym pisanym w czasie egzaminu przez ogół kandydatek na sekretarki stwierdzono, że średnio biorąc, każda z nich popełnia 20 błędów. W losowo wybranej próbie 26 kandydatek odchylenie standardowe liczby błędów wynosiło 5. Zakładając, że rozkład liczby popełnianych błędów jest normalny, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że w wylosowanej próbie średnia liczba błędów popełnianych przez kandydatkę na sekretarkę w pisanym tekście będzie: a) niższa od 18; b) wyższa od 23. Zad 4 Kontrola samochodów przewożonych koleją z fabryki do miejsca przeznaczenia wykazała, że 10% transportów zawiera uszkodzone samochody. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w wylosowanych 200 transportach: a) uszkodzone samochody znajdują się przynajmniej w 16 transportach; b) wśród wylosowanych transportów od 6% do 10% będzie zawierać uszkodzone samochody Zad 5 Czas przeznaczony w ciągu tygodnia na czytanie książek i czasopism przez ogół mieszkańców Polski ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym równym 1.5 godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odchylenie standardowe czasu przeznaczonego na czytanie książek i prasy przez 20 losowo wybranych studentów nie przekroczy 2 godzin. Zad 6 Pięcioro dzieci rzucało piłkami do kosza do momentu pierwszego rzutu niecelnego. Pierwsze dziecko nie trafiło za 3 razem, drugie za 1, trzecie za 5, czwarte za 7 i piąte za 10 razem. Przyjmujemy, że prawdopodobieństwo trafienia jedną piłką do kosza jest jednakowe dla każdego dziecka i wynosi p. Na podstawie wyników zabawy oszacować parametr p. Zad 7 Wariancja każdej z 2500 niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jest równa 5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia tych zmiennych odchyli się od jej wartości oczekiwanej nie więcej niż 0.05.

8 Zajęcia nr 10 Teoria: Przedziały ufności dla: średniej, wariancji, wskaźnika struktury (procentu); Minimalna liczność próby. Zad 1 Na podstawie losowej próby 120 tabliczek czekolady otrzymano średnia wagę równą 95g oraz odchylenie standardowe 10 g. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.90 oszacować przedziałowo odchylenie standardowe w rozkładzie wagi wszystkich produkowanych tabliczek czekolady. Zad 2 W instytucie chemii przeprowadzono badania czasu trwania określonej reakcji chemicznej. W tym celu wykonano 10 niezależnych prób tego eksperymentu, otrzymując następujące wyniki (w s): 9;14;10;12;7;13;11;12;10;8. Wiedząc, że w określonych warunkach badany czas jest zmienną losową o rozkładzie normalnym: 1. oszacować przedziałowo średni czas trwania badanej reakcji, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.95, 2. ustalić, jak zmieni się precyzja oszacowania średniej, jeśli wielkość próby zwiększymy czterokrotnie. Zad 3 Celem zbadania niezawodności p (prawdopodobieństwo p poprawnej reakcji na dany sygnał) pewnego układu elektronicznego wykonano 400 doświadczeń polegających na nadawaniu danego sygnału i obserwowaniu reakcji układu. Stwierdzono, że w 330 przypadkach nastąpiła reakcja poprawna. Oszacować p i obliczyć przedział ufności na poziomie ufności Zad 4 Średnia długość stopy studentów Warszawy ma rozkład normalny. W celach antropometrycznych dokonano na wylosowanych n=400 studentach Warszawy pomiarów i otrzymano z tej próby s=1.7cm oraz oszacowano przedział ufności (26.3; 26.5) dla średniej długości stopy. Jaki poziom współczynnika ufności przyjęto przy estymacji? Zad 5 Poniższy szereg rozdzielczy przedstawia strukturę 1000 losowo wybranych mieszkań na osiedlu Ursynów w Warszawie według liczby izb. Liczba izb w mieszkaniu Liczba mieszkań Oszacowano na podstawie powyższej próby przedział liczbowy dla odsetka lokali 4-izbowych w populacji wszystkich mieszkań na Ursynowie: (37,4%; 43.4%). 1. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy konstrukcji powyższego przedziału? 2. Jak zmieni się precyzja oszacowania, jeśli przy założeniu niezmienności struktury oraz przy tym samym współczynniku ufności liczebność próby zmniejszymy do 250 mieszkań? Zad 6 Jaka powinna być minimalna liczebność próby niezbędna do oszacowania odsetka uczniów zamierzających po maturze kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 40 uczniów 40% z nich nie zamierza kontynuować nauki w szkole wyższej? Przyjąć współczynnik ufności 0.90 i maksymalny błąd szacunku równy 6%. Zad 7 Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem χ. Skonstruować przybliżony przedział ufności dla tego parametru oparty na próbie o dużej liczności n na poziomie ufności 1 - α.

9 Zajęcia nr 11 Teoria: Parametryczne testy istotności dla: średniej, wariancji, wskaźnika struktury, dwóch średnich, dwóch wariancji, dwóch wskaźników struktury. Zad 1 Z wieloletnich obserwacji liczby kontuzji, jakim ulegli zawodnicy sekcji judo Warszawskiego Klubu Sportowego Gwardia wynika, że średnia liczba kontuzji wynosi 2 z odchyleniem standardowym równym 1,3. W grupie 25 losowo wybranych zawodników tej sekcji w 1994 r. zanotowano łącznie 55 kontuzji, a odchylenie standardowe liczby kontuzji było równe 1,5: Czy na podstawie powyższych wyników można uznać, że: 1. Średnia liczba kontuzji w 1994r. nie różniła się w porównaniu ze średnią w poprzednich latach? 2. Wariancja liczby kontuzji w 1994r. była wyższa w porównaniu z wariancją w poprzednich latach? Przyjąć poziom istotności Zad 2 W teście badającym pamięć uczniów, dla 8 wylosowanych uczniów otrzymano następujące liczby zapamiętanych przez nich elementów: 16, 13, 14, 21, 19, 18, 26, 17. Natomiast po specjalnym treningu pamięci grupa ta wykazała następujące wyniki: 21, 17, 20, 26, 23, 22, 21, 18. Przyjmując poziom istotności alfa = 0.05 zweryfikować hipotezę, że trening zwiększa liczbę zapamiętanych przez uczniów elementów. Zad 3 Sondaż przeprowadzony wśród 3600 losowo wybranych pasażerów warszawskiego metra dostarczył m. in. informacji, iż 1480 osób oceniło komfort jazdy metrem pozytywnie, a 1588 osób negatywnie. W podobnym sondażu przeprowadzonym w grupie 2500 losowo wybranych pasażerów korzystających ze stołecznych autobusów 1200 osób dokonało pozytywnej oceny komfortu jazdy, a 1000 osób oceniło komfort jazdy negatywnie. 1. Czy na tej podstawie można uznać, że odsetki osób zadowolonych oraz niezadowolonych z komfortu jazdy warszawskim metrem oraz stołecznymi autobusami nie różnią się istotnie? 2. Z jakiego przedziału liczbowego powinny pochodzić wartości odpowiednich statystyk aby przy alfa=0.05 nie było podstaw do odrzucenia sformułowanych hipotez? Zad 4 W wyniku badania zmian poziomu płac pracowników firmy Intraco w Warszawie w latach otrzymano następujące dane dla 50 losowo wybranych pracowników w każdym roku: 1993: x śr =398 PLN, s=118,7 PLN, n= : x śr =654 PLN, s=213,5 PLN, n=50 1. Czy na podstawie powyższych wyników można mówić o wzroście poziomu płac ogółu pracowników Intraco w 1994 r. W porównaniu z rokiem 1993? 2. Czy można uznać iż zróżnicowanie płac w 1994r. wzrosło w porównaniu z rokiem 1993? Przyjąć poziom istotności Zad 5 W grupie 100 losowo wybranych pracowników Banku PKO S.A. 36 osób otrzymało w lutym 1995r. premię w wysokości 15-20%. W lutym 1994r. w podobnej próbie 100 pracowników premię w takiej wysokości otrzymały 24 osoby. 1. Czy można twierdzić, że odsetek ogółu pracowników Banku PKO S.A. otrzymujących premię w wysokości 15-20% był w 1994r. niższy w porównaniu z rokiem 1995? Przy weryfikacji przyjąć poziom istotności równy Do jakiego przedziału liczbowego powinna należeć wartość odpowiedniej statystyki z próby, aby nie było podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej?

10 Zajęcia nr 12 Teoria: Testy zgodności: Chi-kwadrat Pearsona, Kołmogorowa. Zad 1 Miesięczne dodatkowe dochody studentów pewnej uczelni w zbadanej grupie 120 wylosowanych studentów były następujące (w zł): Dochody Liczba studentów Na poziomie istotności alfa = 0.05 zweryfikować hipotezę, że rozkład dochodów studentów badanej uczelni jest rozkładem normalnym. (test Kolmogorowa) Zad 2 W punkcie skupu mleka zbadano n=400 próbek mleka skupowanego od różnych gospodarzy na zawartość tłuszczu w dostarczonym mleku. Otrzymano następujące wyniki (w procentach): Zawartość tłuszczu Liczba próbek Zawartość tłuszczu Liczba próbek Na poziomie istotności alfa=0.05 zweryfikować zgodność rozkładu zawartości tłuszczu w mleku z rozkładem prostokątnym w przedziale (test chi-kwadrat Pearsona, test Kolmogorowa) Zad 3 W pewnej fabryce zaobserwowano następujący rozkład absencji w tygodniu, zbadany w wylosowanej próbie 900 pracowników z absencją: Dzień tygodnia poniedziałek wtorek środa czwartek piątek sobota Liczba nieobecnych Na poziomie istotności zweryfikować hipotezę, że absencja w tej fabryce jest jednakowa w każdym dniu tygodnia. (test chikwadrat Pearsona) Zad 4 Zakłada się, że rozkład wagi noworodków (w kg) jest rozkładem normalnym o wartości średniej równej 3.5kg oraz odchyleniu standardowym 0.5kg. Na podstawie losowej próby 200 noworodków ustalono, co następuje: Numer przedziału Ogółem Liczebności teoretyczne w przedziale Obliczyć i zinterpretować liczebności teoretyczne w czwartym i piątym przedziale, wiedząc, że [x o4, x 14 ]= [3.0; 3.5]. 2. Z jakiego przedziału liczbowego pochodzi obliczona wartość statystyki chi-kwadrat, jeśli przy poziomie istotności równym 0.1 nie odrzucamy hipotezy zerowej?

11 Zajęcia nr 13 Teoria: Moc testu; Test ilorazowy Zad 1 Weryfikację hipotezy o wadliwości p pewnej partii towaru przeprowadzono w oparciu o wynik pięcioelementowej (n=5) próby prostej za pomocą następującego testu: jeżeli w próbie zaobserwujemy więcej niż jedną sztukę wadliwą to hipotezę H 0 odrzucamy w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do jej odrzucenia. Znaleźć poziom istotności testu oraz prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju, jeśli : H 0 : p = 0.2 oraz H 1 : p = 0.3 Zad 2 Do weryfikacji hipotezy H 0 :X~N(4,3) przy alternatywie H 1 :N(2,2) zastosowano test x n <c(n), gdzie x n jest średnią z próby (H 0 odrzucamy, gdy x n <c(n)). Wyznaczyć taką liczbę c(n) aby poziom istotności alfa=0.05. Jaka powinna być liczba pomiarów n, aby moc testu była nie mniejsza niż Zad 3 Zmienna X ma rozkład Poissona o parametrze λ. Chcemy zweryfikować na poziomie istotności α 0.05 hipotezę H 0 : λ=0.02 przeciwko alternatywie H 1 : 1.0. Dysponujemy próbą 5-elementową. Jaka może być maksymalna moc tego testu? Zad 4 W celu weryfikacji hipotezy H 0 : X N(1,2), H 1 : X N(-2,3) na poziomie istotności 0.05 pobrano próbkę 10-elementową. Jaka jest moc testu o obszarze krytycznym K=[-2.0; 0]. Jaki jest obszar krytyczny i moc testu najmocniejszego?