MATEMATYKA FINANSOWA

Transkrypt

1 Matematyka Finansowa, Andrzej Spakowski MATEMATYKA FINANSOWA matematyka finansów i ubezpieczeń. Trajektoria (realizacja) procesu stochastycznego Wspó lczesna, szeroko rozumiana MF opisuje i bada losowy charakter rynków finansowych i ubezpieczeniowych. Co obejmuje MF? Jak jest jej struktura?

2 Matematyka Finansowa, Struktura MF Analiza matemat. MATEMATYKA FINANSOWA Rach. prawdop. Procesy stochast. Analiza matemat. Algebra liniowa Topologia Anal. funkcj.,..., Statystyka mat. Rach.prawd. Anal.matemat.. rachunek procentowy Symulacje komputerowe Monte Carlo Teoria ryzyka Matematyka ubezpieczeñ portfele inwestycyjne Matematyka finansowa stochastyczna Szeregi czasowe Ubezpiecz. na ycie Ubezpiecz. maj¹tkowe Rynki finansowe In ynieria finansowa

3 Matematyka Finansowa, Jaka matematyka dla finansów i ubezpieczeń? Niezbe dne narze dzia: zmienne losowe oraz procesy stochastyczne. Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X t, t T. inaczej: funkcja, której wartościami sa zmienne losowe, X(t) = X t (ω) cena akcji w chwili t 0, ω Ω. Trajektoria (realizacja) procesu stochastycznego Trajektoria procesu stochastycznego.

4 Matematyka Finansowa, Dlaczego i kiedy powsta la MF? letni światowy krach systemów finansowych opartych na wymienialności pienia dza na z loto Konferencja w Bretton Woods (USA) - parytety 1973 Koniec parytetów - zmienne kursy walutowe. Ryzyko finansowe staje sie mocno losowe. Losowy charakter cen na gie ldach. Potrzeba redukcji ryzyka wywo luje popyt na nowe produkty finansowe (instrumenty finansowe) oraz nowe narze dzia matematyczne (ca lka stochastyczna, stochastyczne r.r.): b a X(t,ω) db(t,ω), ds(t) = µs(t)dt + σs(t)db(t).

5 Matematyka Finansowa, Dlaczego i kiedy powsta la MU? Świat starożytny, średniowiecze: idea wspólnego ponoszenia ryzyka, karawany kupieckie, wyprawy morskie, renty dożywotnie (klasztory) Genua, pierwsze ubezpieczenia morskie Londyn, pierwsze (Insurance Office) Halley: Breslau Mortality Tables, pocza tek matematyki aktuarialnej (rachunek prawdop.) San Francisco earthquake, rozwój mat.teorii ryzyka Światowy kryzys systemów finansowych, wzrost zapotrzebowania na rozmaite ubezpieczenia: biznesowe, maja tkowe, komunikacyjne, zdrowotne, etc., nowe metody matematyczne.

6 Matematyka Finansowa, Rozwój narze dzi matematycznych (1) XVII gry hazardowe, statystyki urodzeń i zgonów, pocza tki rachunku prawdopodobieństwa, Fermat, Pascal, Bernoulli. 1733, 1809 Abraham de Moivre, Carl Gauss odkrywaja i stosuja rozk lad normalny N(µ,σ 2 ) o ge stości f(x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 /(2σ 2 ) krzywa Gaussa. 1999

7 Matematyka Finansowa, Rozwój narze dzi matematycznych (2) 1827 Robert Brown opisuje b la dzenie losowe cza steczek w p lynie (ruchy Browna).

8 Matematyka Finansowa, Rozwój narze dzi matematycznych (3) 1900 Louis Bachelier: ruchy Browna modeluja ceny akcji na gie ldzie paryskiej, S(t) = S(0) + σb(t), B(t) N(S(0),σ 2 t) Norbert Wiener: ścis ly opis ruchu Browna, ca lka stochastyczna b f(t) db(t,ω). a Louis Bachelier Norbert Wiener

9 Matematyka Finansowa, Rozwój narze dzi matematycznych (4) 1944 Kiyosi Itô: wspó lczesna ca lka stochastyczna. b a X(t, ω) db(t, ω) k(n) =lim n i=1 X n (t in,ω)(b(t in,ω) B(t (i 1)n,ω)).

10 Matematyka Finansowa, Rozwój narze dzi matematycznych (5) Rynki finansowe opisuja stochastyczne r.r. ds(t) = µs(t)dt + σs(t)db(t), ściślej, stochastyczne równania ca lkowe: S(t + h) S(t) = t+h t µs(t)dt + t+h t σs(t) db(t). Fischer Black i Myron Scholes podaja (1973) efektywne rozwia zanie s.r.r. i wzór na cene opcji europejskiej.

11 Matematyka Finansowa, Wzór za 1 mln $. Sprawiedliwa cene opcji określa wzór: gdzie c = S(0) N(d) e rt K N(d σ T), d = 1 σ T N(d) = d (ln S(0)erT K + σ2 T 2 ), 1 2π e x2 /2 dx = P(X < d). r stopa procentowa, T okres rozliczenia, K cena rozliczenia, σ wspó lczynnik zmienności cen akcji, N dystrybuanta rozk ladu normalnego N(0,1).

12 Matematyka Finansowa, Lata Robert Merton i inni: rozwój metod MF Nagroda Nobla za stochastyczne metody wyceny, - Robert Merton i Myron Sholes (1 mln $) Myron Scholes Fischer Black Robert Merton (Fischer Black, 1995).

13 Matematyka Finansowa, Wspó lczesna MF i MU tworzy narzedzia matematyczne dla rzeczywistych rynków finansowych i rynków ubezpieczeniowych: narze dzia elementarne jak i bardzo zaawansowane Różne dzia ly matematyki: rachunek prawdopodobieństwa, procesy stochastyczne, analiza matematyczna, równania różniczkowe, algebra liniowa, programowanie matematyczne, topologia, analiza funkcjonalna, itd. Inżynieria finansowa, konstruowanie i wycena instrumentów (produktów) finansowych i ubezpieczeniowych.

14 Matematyka Finansowa, Europejska opcja kupna (1). to prawo (ale nie obowia zek) do zakupu akcji po ustalonej cenie w ustalonym terminie. Przyk lad symulacji dla opcji europejskiej. Cena pakietu akcji = z l Cena rozliczenia opcji = 990 z l Cena opcji 10-dniowej = 20 z l Kto zdecyduje sie na zakup takiej opcji?

15 Matematyka Finansowa, Europejska opcja kupna (2). Problem. Jaka jest sprawiedliwa cena opcji europejskiej? Rozwia zanie teoretyczne: sprawiedliwa cene jest wartość oczekiwana zysku. Rozwia zanie dok ladne: wzór Blacka-Scholesa (1973). Rozwia zania przybliżone: proste algorytmy (drzewko dwumianowe), specjalne kalkulatory finansowe, symulacje komputerowe Monte Carlo.

16 Matematyka Finansowa, Symulacja Monte Carlo. Klasyczna metoda Monte Carlo oparta jest na twierdzeniu rachunku prawdopodobieństwa (Prawo Wielkich Liczb): X 1 + X X n E(X) z prawdop.1. n Przyk lad. Wyznaczyć sprawiedliwa cene 10-dniowej opcji (azjatyckiej) na pakiet akcji: cena pocza tkowa z l, cena rozliczenia = średnia arytmetyczna cen z 10 dni. Przyk lad symulacji Monte Carlo:

17 Matematyka Finansowa, Modele ubezpieczeń na życie (1). T x zmienna losowa, czas dalszego życia x-latka. Sk ladke ubezpieczenia określa wzór: E(b(T x )v T x ) = b(t) t p x µ [x]+t dt. 0 gdzie: b(t) wartość ubezpieczenia wyp lacana w chwili t, b(t) = 1 ubezpieczenie dożywotnie, b(t) = I(t n) ubezpieczenie terminowe na n lat, v = 1/(1 + i) = e δ czynnik dyskontuja cy, tp x = P(T x > t), µ [x]+t nate żenie śmiertelności. Ryzyko sk ladki określa wariancja: Var(b(T x )v T x ).

18 Matematyka Finansowa, Modele ubezpieczeń na życie (2). Czy sk ladka E(b(T x )v T x ) gwarantuje wyp lacalność? Tak, ale tylko z prawdop. 1/2. Bardzo duże ryzyko niewyp lacalności. Jak zagwarantować wyp lacalność z prawdop. 0,95? Problem sprowadza sie do postaci: min{h > 0 : P( n k=1 Z k h) 0,95}, gdzie: h kwota gwarantuja ca wyp laty Z 1,...,Z n. Dok ladne wyznaczenie minimum jest bardzo trudne. Stosuje sie metody przybliżone: Centralne Tw. Graniczne.

19 Matematyka Finansowa, Literatura polska A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa J.Jakubowski, R.Sztencel, Wste p do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, L. Stettner, Matematyka finansowa, WNT, Warszawa B. B laszczyszyn, T. Rolski, Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie, WNT, Warszawa.