1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów."

Transkrypt

1 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna nazwa zbioru). Teoria mnogości powstała w drugiej połowie XIX wieku, głównie dzięki pracom Georga Cantora; na początku XX wieku została przedstawiona w postaci aksjomatycznej (E. Zermelo, A. Fraenkel, W. Sierpiński i in.). Na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkie podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczby (całkowite, wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymi i naturalnym uporządkowaniem, relacje, funkcje itp.; dzięki temu każda teoria matematyczna może być potraktowana jako fragment teorii mnogości.

2 Terminy pierwotne teorii mnogości Zbiór (mnogość) pojęcie pierwotne, jest jednoznacznie określany przez swoje elementy (indywidua). Stwierdzenie - należy do oznaczane jest symbolem Î ; wyrażenie x jest elementem zbioru A zapisujemy w skrócie xîa. Oznaczenia A, B, C, - zbiory; a, b, c, x, y, z, - elementy zbioru; Stałe logiczne : - spójniki ~ Ø nieprawda, że (negacja) Þ Ù Ú Û º jeśli to (implikacja) oraz (koniunkcja) lub (alternatywa) wtedy i tylko wtedy; - kwantyfikatory ogólny: " dla dowolnego egzystencjalny: $ istnieje takie, że - identyczność = jest identyczne ( jest równe ) Wyrażenie, że ~ (xîa) nieprawda, że x należy do A, zapisujemy xïa, symbol Ï oznacza nie należy. Wyrażenie, że ~ (x=y) nieprawda, że x jest równe y zapisujemy x¹y, symbol ¹ oznacza jest różne.

3 Dwa sposoby określania zbioru 1. Przez wyliczenie wszystkich elementów zbioru, elementy te zapisujemy w nawiasie klamrowym: A={x,y, z} A={1,2,,10} zbiory skończone lub A={1,3,5, } zbiór nieskończony. 2. Przez podanie własności jaką posiadają wyłącznie elementy zbioru, inaczej przez wyróżnienie: A={x x jest liczbą nieparzystą}. Zbiory liczbowe N={0,1,2, } zbiór liczb naturalnych; N + ={1,2,3, } zbiór liczb naturalnych dodatnich; Z={0,1,-1,2,-2, } zbiór liczb całkowitych; Q={ q p p,qîz Ù q¹0} zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych; C zbiór liczb zespolonych.

4 Zasada ekstensjonalności Dwa zbiory A i B są równe (uważamy je za identyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy zawierają te same elementy, tzn. A=B Û "x (xîa Û xîb). Zasada dystrybutywności Żaden zbiór nie jest identyczny z żadnym ze swych elementów, tzn. ~ ( $A $x (xîa Ù x=a) ), oznacza to, że {a}¹a. Zbiór pusty Celowe i użyteczne jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, który oznaczamy przez symbol Zbiór pusty jest to zbiór, który nie posiada żadnego elementu. Symbolicznie: Æ. $A "x (xïa). Z zasady ekstensjonalności wynika, że istnieje tylko jeden taki zbiór. Z zasady dystrybutywności wynika, że {Æ} Æ, czyli zbiór {Æ} nie jest zbiorem pustym.

5 Podzbiór Jeśli A i B są zbiorami oraz każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B i oznaczamy AÌB. Mówimy wtedy, że A zawiera się w B. Symbolicznie: AÌB Û "x (xîa Þ xîb). Zawieranie się zbiorów nazywane jest również inkluzją. Własności inkluzji: 1. "A AÌA (każdy zbiór jest swoim podzbiorem), 2. "A ÆÌA (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru), 3. AÌB Ù BÌC Þ AÌC (przechodniość), 4. AÌB Ù BÌA Û A=B. Jeżeli AÌB Ù A¹B Ù A¹Æ, to A nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B. Zbiór pusty Æ i zbiór A są podzbiorami niewłaściwymi zbioru A.

6 Zbiór potęgowy Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym zbioru A i oznaczamy przez P(A), tzn. Elementarne wnioski: P(A)={M MÌA}. 1. Dla każdego zbioru A zachodzi ÆÎP(A), tzn. zbiór pusty jest elementem każdego zbioru potęgowego. 2. Jeżeli zbiór A ma n elementów, to zbiór P(A) ma 2 n elementów. Dopełnienie zbioru Rozpatrując podzbiory wyłącznie ustalonego zbioru U (zwanego uniwersum), np. podzbiór AÌU, możemy określić dopełnienie zbioru A oznaczane przez A jako zbiór tych elementów zbioru U, które nie należą do A. A = {x xîu Ù xïa}. Diagramy Venna Do zobrazowania zbiorów i operacji na nich wykorzystuje się diagramy Venna. Zbiory w tym ujęciu reprezentowane są przez figury płaskie. Dla zbiorów A i B są to najczęściej koła, natomiast uniwersum U rysowane jest jako prostokąt, obejmujący koła przedstawiające zbiory A oraz B. U A B

7 Operacje (działania) na zbiorach Za pomocą operacji teoriomnogościowych z danych zbiorów można utworzyć na wiele różnych sposobów nowe zbiory. Niech A i B będą zbiorami, określmy działania na tych zbiorach: 1. Suma zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ú xîb}. 2. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ù xîb}. Działania te można uogólnić na rodzinę zbiorów D, czyli zbiór którego elementami są zbiory: 3. Suma rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x $AÎD x ÎA}. 4. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x "AÎD x ÎA}.

8 Zbiory rozłączne Dwa dowolne zbiory A i B nie mające ani jednego elementu wspólnego nazywamy rozłącznymi. Oznacza to, że zbiory A i B są rozłączne gdy zachodzi równość: A B=Æ. 5. Różnica zbiorów A i B (symbolicznie A\B) określana jest następująco: A\B={x xîa Ù xïb}. Dopełnienie zbioru Dopełnienie zbioru A można zapisać również w postaci: A =U\A. 6. Różnica symetryczna zbiorów A i B (symbolicznie A B lub A B lub A B) określana jest następująco: A B={x (xîa Ù xïb) Ú (xîb Ù xïa)}.

9 Podstawowe prawa rachunku zbiorów Prawa łączności (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Prawa przemienności A B = B A A B = B A Prawa rozdzielności (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Prawa de Morgana (A B) = A B (A B) = A B Prawa absorpcji A (A B) = A A (A B) = A Prawa idempotentności A A = A A A = A Inne własności A A = U A A = Æ A U = U A U = A A Æ = A A Æ = Æ U = Æ Æ = U A B = (A B)\(A B) A\B = A\(A B) A (B\C) = (A B)\C (A B)\C = B (A\C) {A}=A {A}=A P(A)=A P(A)=Æ

10 Iloczyn (produkt) kartezjański Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A 1, A 2,, A n nazywamy zbiór oznaczany A 1 A 2 A n postaci: A 1 A 2 A n ={(a 1, a 2,, a n ) a 1 Î A 1 Ù a 2 Î A 2 Ù Ù a n Î A n }. Mówimy także, że iloczyn kartezjański n zbiorów jest zbiorem wszystkich n-tek uporządkowanych, czyli ciągów (a 1, a 2,, a n ), gdzie a i ÎA i dla i=1,2, n. Przykład Jeżeli A 1 = {1,2,3}, A 2 = {2,4}, A 3 = {x,y}, to A 1 A 2 A 3 ={(1,2,x),(1,2,y),(1,4,x),(1,4,y),(2,2,x),(2,2,y),(2,4,x),(2,4,y), (3,2,x),(3,2,y),(3,4,x),(3,4,y)}. Jeżeli A 1 =A 2 = =A n =A, to A 1 A 2 A n nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A i oznaczamy A n. Przykładem takiego zbioru jest R R R=R 3 ={(x 1,x 2,x 3 ) x 1 ÎRÙx 2 ÎRÙx 3 ÎR}, zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Szczególnym przypadkiem iloczynu kartezjańskiego jest iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A B = {(a,b) aîa Ù bîb}. Elementy (a,b) zbioru A B nazywamy parami uporządkowanymi. Charakteryzują się one następującą równoważnością: (a,b) = (c,d) Û a=c Ù b=d.

11 Własności iloczynu kartezjańskiego Jeżeli A¹B¹C, to: 1. A B¹B A 2. A (B C)=(A B) C Jeżeli A¹ÆÙB¹ÆÙC¹ÆÙD¹Æ, to: 3. (AÌBÙCÌD) Û (A C)Ì(B D) 4. (A=BÙC=D)Û (A C)Ì(B D) Dla dowolnych A, B, C, D i U zachodzi: 5. (A B) (C D)=(A C) (B D) 6. (A B) (C D)Ì(A C) (B D) 7. (A B) C=(A C) (B C) 8. A (B C)=(A B) (A C) 9. (A B) C=(A C) (B C) 10.A (B C)=(A B) (A C) 11.(A\B) C=(A C)\(B C) 12.A (B\C)=(A B)\(A C) 13.(A B) (C D)=(A C) (B C) (A D) (B D) 14.A B=(A D) (C B), gdzie AÌCÙBÌD 15.U 2 \(A B)=[(U\A) U] [U (U\B)]

12 Aksjomaty teorii mnogości Pojęcia pierwotne zbiór, element zbioru. Aksjomaty Zermelo Frenkla (ZF): I. Aksjomat ekstensjonalności Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy. II. Aksjomat zbioru pustego III. Aksjomat sumy Istnieje zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór składający się ze wszystkich tych elementów, które są elementami przynajmniej jednego ze zbiorów tej rodziny. IV. Aksjomat zbioru potęgowego Dla każdego zbioru istnieje zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów danego zbioru. V. Aksjomat nieskończoności VI. Aksjomat zastępowania Istnieje zbiór nieskończony. Jeżeli każdy element zbioru zastąpimy dowolnym obiektem, to otrzymamy znów pewien zbiór.

13 Relacje Relacją n-argumentową na zbiorach A 1, A 2,, A n nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, tzn. ÌA 1 A 2 A n. Jeżeli ÌA n to relację nazywamy n-argumentową relacją w zbiorze A. Relacje opisują zależności między elementami jednego lub wielu różnych zbiorów. Przykład Niech A 1 ={1,2,3,4}, A 2 ={2,4,6,8}, A 3 ={2,3,4} ={(a 1, a 2, a 3 ) a 1 ÎA 1 Ùa 2 ÎA 2 Ùa 3 ÎA 3 Ùa 1 =a 2 =a 3 }, czyli ={(2,2,2), (4,4,4)}. i-tą dziedziną relacji ÌA 1 A 2 A n nazywamy zbiór postaci: D i ( )={xîa i $a 1,, $a i-1, $a i+1,, $a n (a 1,,a i-1,x,a i+1,,a n )Î }. Zamiast pisać (a 1, a 2,, a n )Î piszemy także (a 1, a 2,,a n ). Ponieważ relacje są szczególnego rodzaju zbiorami określa się dla nich wszystkie operacje teoriomnogościowe.

14 Relacje binarne (dwuargumentowe) Relacją binarną (dwuargumentową) między elementami zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór zbioru A B. Jeżeli A=B to relację ÌA 2 nazywamy relacją binarną określoną na A. Zamiast pisać, że (a,b)î stosujemy zapis (a,b) lub częściej a b. Dziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D( )={aîa $bîb a b }, natomiast przeciwdziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D -1 ( )={bîb $aîa a b }. Zbiór D( ) D -1 ( ) nazywamy polem relacji. Dopełnieniem relacji binarnej pomiędzy elementami zbiorów A B nazywamy zbiór postaci: =(A B)\. Relacją odwrotną oznaczaną -1 do relacji binarnej nazywamy zbiór: -1 ={(a,b) b a}. Niech 1 ÌA B oraz 2 ÌB C będą relacjami binarnymi. Złożeniem (superpozycją, iloczynem) 1 2 relacji 1 i 2 nazywamy zbiór określony następująco: 1 2 ={(a,c) $b (bîb Ù a 1 b Ù b 2 c}. Przez I A oznaczamy następującą relację binarną: I A ={(a,b)îa 2 a=b}={(a,a) aîa}.

15 Dla relacji binarnych 1, 2, 3 określonych na zbiorze A zachodzi: 1. ( 1 2 ) = ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 3 =( 1 3 ) ( 2 3 ) 4. ( 1 2 ) 3 Ì( 1 3 ) ( 2 3 ) 5. ( 1 2 ) = 2 1 Relację binarną ÌA 2 można przedstawić za pomocą: 1. Diagramu strzałkowego Elementy zbioru A oznaczamy na płaszczyźnie punktami a,b, i następnie przeprowadzamy od a do b linie zakończoną strzałką wtedy i tylko wtedy gdy a b. 2. Macierzy relacji M Elementy zbioru A wpisujemy do pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy. Na przecięciu wiersza wyznaczonego przez aîa i kolumny bîa w przypadku gdy a b wpisujemy 1, w przeciwnym wypadku wpisujemy 0.

16 Przykład Niech A={1,2,3,4} relację określmy jako zbiór: ={(a,b) aîa Ù bîa Ù a dzieli b}, wtedy ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}, a na diagramie strzałkowym przedstawiamy to następująco: Natomiast macierz M relacji przedstawia się następująco: M Określmy teraz dziedzinę, przeciwdziedzinę, pole, dopełnienie, relację odwrotną dla danej relacji. Dziedzina: D( )={1,2,3,4}=A, Przeciwdziedzina D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Pole relacji D( ) D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Dopełnienie ={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}, Relacja odwrotna -1 ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)}.

17 Niech ÌA 2 wtedy relacja jest 1. zwrotna (refleksywna) w A, jeżeli "aîa zachodzi a a 2. przeciwzwrotna (irrefleksywną) w A, jeżeli "aîa zachodzi Ø(a a) 3. symetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ b a 4. przeciwsymetryczna (asymetryczna) w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ Ø(b a) 5. słabo antysymetryczna (wpół antysymetryczna, na wpół przeciwsymetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a bùb aþa=b 6. przechodnia (tranzytywna) w A, jeżeli "(aîaùbîaùcîa) zachodzi a bùb cþa c 7. liniowa w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb a 8. spójna w A,, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb aúa=b Jeżeli ÌA 2 i A 1 ÌA, to relację A 1 2 nazywamy obcięciem relacji do A 1 i oznaczamy przez A 1. Relacja ÌA 2 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) jeżeli relacja A 1 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) na A 1 będącym polem.

18 Relacje równoważności i klasy abstrakcji Relację binarną na zbiorze A ( ÌA 2 ) nazywamy relacją równoważności, jeżeli jest zwrotna symetryczna i przechodnia. Z każdą relacją równoważności w zbiorze A związany jest rozkład tego zbioru na niepuste parami rozłączne podzbiory, tzw. klasy równoważności. Zbiór postaci: [a] := {b bîa Ù a b} Nazywamy klasą równoważności elementu a względem relacji. Własności klas abstrakcji: 1. [a] ¹Æ 2. a b Û [a] = [b] 3. Ø(a b) Û [a] [b] =Æ Wszystkie klasy abstrakcji są elementami pewnego nowego zbioru nazywanego zbiorem ilorazowym, który jest oznaczany przez A/ i ma postać: A/ ={[a] aîa}. Podzbiór ZÌP(A) zbioru potęgowego P(A) nazywamy rozkładem zbioru A, jeżeli ÆÏZ Ù (X,YÎZ Ù X¹Y Þ X Y=Æ) Ù X =A. XÎZ

19 Twierdzenie o rozkładzie (faktoryzacji) Każda relacja równoważności w zbiorze A indukuje pewien rozkład Z zbioru A, mianowicie Z=A/ i na odwrót, każdemu rozkładowi Z zbioru A odpowiada pewna relacja równoważności w A, co symbolicznie można zapisać: a b Û $XÎZ (aîx Ù bîx). Relację równoważności w zbiorze A można rozpatrywać jako uogólnienie relacji identyczności (równości) w tym zbiorze. Abstrahujemy wtedy od nieistotnych własności elementów zbioru A, jednocześnie elementy nie różniące się pod względem pewniej cechy przypisujemy do jednej i tej samej klasy abstrakcji. Przykład Niech dana będzie relacja ÌN + 2 taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (2 dzieli a+b). Sprawdzić czy jest to relacja równoważności i jeżeli jest to określić klasy abstrakcji oraz rozkład zbioru N +.

20 Relacje porządkujące Relację binarną w zbiorze A, która jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia nazywamy relacją porządkującą (porządkiem, porządkiem częściowym, półporządkiem). Jeżeli ponadto jest liniowa to jest całkowitym porządkiem (liniowym porządkiem) lub łańcuchem. Zbiór A określany jest wówczas jako uporządkowany przez relację lub liniowo uporządkowany przez. W zbiorze liniowo uporządkowanym każde dwa elementy są porównywalne. Jeżeli a b i jest relacją porządkującą to stosujemy zapis a b lub a b. Zbiory N, Z, Q, R są liniowo uporządkowane przez standardową relację jest mniejsze lub równe co zapisujemy. Zbiór potęgowy P(A) z relacją zawierania Ì jest zbiorem częściowo uporządkowanym.

21 Niech dany będzie zbiór A uporządkowany przez relację, wyróżniamy następujące elementy: element aîa nazywamy maksymalnym w A jeśli "xîa (a xþx=a), element aîa nazywamy minimalnym w A jeśli "xîa (x aþx=a), element aîa nazywamy największym w A jeśli "xîa (x a), element aîa nazywamy najmniejszym w A jeśli "xîa (a x). Ponadto jeżeli XÌA, to ograniczeniem górnym zbioru X nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (x a), natomiast ograniczeniem dolnym nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (a x). Lemat Kuratowskiego Zorna: Jeżeli zbiór A jest uporządkowany przez relację oraz dla każdego łańcucha istnieje w A górne ograniczenie, wtedy w A istnieje co najmniej jeden element maksymalny, co więcej dla każdego xîa istnieje element maksymalny a taki, że x a.

22 Przykład 2 Niech dana będzie relacja ÌN + taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (a dzieli b). Sprawdzić czy jest to relacja porządkująca.

23 Funkcje i odwzorowania Relację ÌX Y nazywamy funkcją, jeżeli "xîx "yîy "zîy ( x yùx z Þ y=z ). Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji, natomiast elementy zbioru Y wartościami funkcji. Dla oznaczenia funkcji używamy liter f, g, h i zamiast (x,y)îf zapisujemy f (x)=y. Dziedziną (zbiorem argumentów) funkcji nazywamy zbiór D f ={xîx $yîy (f(x)=y)}, przeciwdziedziną (zbiorem wartości funkcji) nazywamy zbiór W f ={yîy $xîx (f(x)=y)}. Odwzorowaniem (przekształceniem) zbioru X w zbiór Y nazywamy taką funkcję f, że D f =X i W f ÌY i oznaczamy przez f: X Y. Zbiór wszystkich odwzorowań z X w Y oznaczamy Y X. Odwzorowanie f nazywamy z X na Y (surjekcją, epimorfizmem) jeżeli i oznaczamy f : X na Y. "yîy $xîx (f(x)=y) inaczej gdy W f =Y Odwzorowanie f nazywamy różnowartościowym (injekcją, monomorfizmem) jeżeli "x 1 ÎX "x 2 ÎX "yîy ( (x 1,y)Îf Ù(x 2,y)Îf Þ x 1 =x 2 ) i oznaczamy f : X 1 1 Y.

24 Odwzorowanie f nazywamy wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) jeżeli jest różnowartościowe i na (surjekcją i injekcją). Dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego f : X Y określa się odwzorowanie odwrotne f -1 : Y X, takie, że "xîx "yîy (f(x)=y Þ f -1 (y)=x). Dla danych odwzorowań f : X Y g : Y Z definiuje się przekształcenie g f : X Z zwane złożeniem (superpozycją) według wzoru: (x,z)î g f Û $yîy (f(x)=yùg(y)=z). Złożenie odwzorowań nie jest przemienne g f ¹ f g natomiast jest łączne h (f g)= (h f) g.

25 Moc zbiorów Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy mocą zbioru lub liczbą kardynalną zbioru A i oznaczamy przez card A lub przez A. Również każdemu zbiorowi nieskończonemu przypisuje się jego liczbę kardynalną. Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeżeli istnieje jakakolwiek bijekcja między tymi zbiorami, co oznaczamy przez A~B. Każdemu zbiorowi A przyporządkowuje się jego liczbę kardynalną card A lub A, w taki sposób, że zbiory równoliczne mają tę samą liczbę kardynalną. Ponieważ żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym, więc nie istnieje największa liczba kardynalna. Najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną jest liczba kardynalna zbioru liczb naturalnych N, oznaczana przez symbol 0 (alef 0). Zbiór nieskończony nazywamy przeliczalnym jeżeli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, oznacza to, że jego elementy można ustawić w ciąg a 1, a 2, ponumerowany kolejnymi liczbami naturalnymi. Zbiór nieskończony nazywamy nieprzeliczalnym jeżeli nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika z tego, że każdy zbiór nieskończony nie będący zbiorem przeliczalnym jest nieprzeliczalny. Zbiory Z, Q są przeliczalne, natomiast zbiory R i C są nieprzeliczalne. Zbiory R i C są równoliczne i mają tę samą moc, ich liczbę kardynalną oznacza się przez c (continuum).

26 Działania na liczbach kardynalnych Sumą liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 +n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z sumą zbiorów o mocy n 1 i n 2. Iloczynem liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z iloczynem kartezjańskim zbiorów o mocy n 1 i n 2. Potęgą liczby kardynalnej n 2 liczby kardynalnej n 1 nazywamy liczbę n kardynalną m= n 2 1, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny A B, gdzie A i B mają moce odpowiednio n 1 i n 2. Własności liczb kardynalnych: 1. n+ 0 = = 0 0 = c= 0 c=c 4. c+c=c c=c =c

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV.

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV. Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV Marek Jarnicki (Wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści Część I. Analiza Matematyczna

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Jan Kraszewski Wrocław 2009 1 Spis treści 2 Przedmowa W zbiorach zadań ze wstępu do matematyki zadania zazwyczaj są tak pogrupowane, by dotyczyły pojęć z poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Materiały do wykładu dla I roku informatyki P. Urzyczyn urzy@mimuw.edu.pl 28 września 2015, godzina 12: 05 1 Język logiki matematycznej Zadaniem matematyki jest badanie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki dr inż. Maciej Piotrowicz Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ piotrowi@dmcs.p.lodz.pl http://fiona.dmcs.pl/~piotrowi -> Wstęp do... Układy

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 1. Analiza matematyczna 1. Zdefiniuj pojęcia kresów podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. 2. Omów pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

O ALGORYTMACH BADANIA WŁASNOŚCI RELACJI

O ALGORYTMACH BADANIA WŁASNOŚCI RELACJI ZESZYTY NAUKOWE 23-37 Zenon GNIAZDOWSKI 1 O ALGORYTMACH BADANIA WŁASNOŚCI RELACJI Streszczenie W artykule omówione relacje dwuargumentowe, oraz algorytmy służące do badania ich własności, a także przedstawiono

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji. Algebra Boole a Algebrą Boole a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +;, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: X+Y B;

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Historia teorii mnogości Teoria mnogości to inaczej nauka o zbiorach i ich własnościach; Zapoczątkowana przez greckich matematyków i filozofów w

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych

Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA EWA PAWŁUSZEWICZ

MATEMATYKA dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA EWA PAWŁUSZEWICZ MATEMATYKA dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA EWA PAWŁUSZEWICZ Wrzesień 1998 2 Spis treści Wstęp 7 1 Podstawy 9 1.1 Elementy logiki............................

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych. z matematyki dla uczniów klasy I LO poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych. z matematyki dla uczniów klasy I LO poziom podstawowy Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych Nauczyciel: mgr Karolina Bębenek z matematyki dla uczniów klasy I LO poziom podstawowy 1. Wprowadzenie do matematyki.

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie I gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo