1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów."

Transkrypt

1 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna nazwa zbioru). Teoria mnogości powstała w drugiej połowie XIX wieku, głównie dzięki pracom Georga Cantora; na początku XX wieku została przedstawiona w postaci aksjomatycznej (E. Zermelo, A. Fraenkel, W. Sierpiński i in.). Na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkie podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczby (całkowite, wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymi i naturalnym uporządkowaniem, relacje, funkcje itp.; dzięki temu każda teoria matematyczna może być potraktowana jako fragment teorii mnogości.

2 Terminy pierwotne teorii mnogości Zbiór (mnogość) pojęcie pierwotne, jest jednoznacznie określany przez swoje elementy (indywidua). Stwierdzenie - należy do oznaczane jest symbolem Î ; wyrażenie x jest elementem zbioru A zapisujemy w skrócie xîa. Oznaczenia A, B, C, - zbiory; a, b, c, x, y, z, - elementy zbioru; Stałe logiczne : - spójniki ~ Ø nieprawda, że (negacja) Þ Ù Ú Û º jeśli to (implikacja) oraz (koniunkcja) lub (alternatywa) wtedy i tylko wtedy; - kwantyfikatory ogólny: " dla dowolnego egzystencjalny: $ istnieje takie, że - identyczność = jest identyczne ( jest równe ) Wyrażenie, że ~ (xîa) nieprawda, że x należy do A, zapisujemy xïa, symbol Ï oznacza nie należy. Wyrażenie, że ~ (x=y) nieprawda, że x jest równe y zapisujemy x¹y, symbol ¹ oznacza jest różne.

3 Dwa sposoby określania zbioru 1. Przez wyliczenie wszystkich elementów zbioru, elementy te zapisujemy w nawiasie klamrowym: A={x,y, z} A={1,2,,10} zbiory skończone lub A={1,3,5, } zbiór nieskończony. 2. Przez podanie własności jaką posiadają wyłącznie elementy zbioru, inaczej przez wyróżnienie: A={x x jest liczbą nieparzystą}. Zbiory liczbowe N={0,1,2, } zbiór liczb naturalnych; N + ={1,2,3, } zbiór liczb naturalnych dodatnich; Z={0,1,-1,2,-2, } zbiór liczb całkowitych; Q={ q p p,qîz Ù q¹0} zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych; C zbiór liczb zespolonych.

4 Zasada ekstensjonalności Dwa zbiory A i B są równe (uważamy je za identyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy zawierają te same elementy, tzn. A=B Û "x (xîa Û xîb). Zasada dystrybutywności Żaden zbiór nie jest identyczny z żadnym ze swych elementów, tzn. ~ ( $A $x (xîa Ù x=a) ), oznacza to, że {a}¹a. Zbiór pusty Celowe i użyteczne jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, który oznaczamy przez symbol Zbiór pusty jest to zbiór, który nie posiada żadnego elementu. Symbolicznie: Æ. $A "x (xïa). Z zasady ekstensjonalności wynika, że istnieje tylko jeden taki zbiór. Z zasady dystrybutywności wynika, że {Æ} Æ, czyli zbiór {Æ} nie jest zbiorem pustym.

5 Podzbiór Jeśli A i B są zbiorami oraz każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B i oznaczamy AÌB. Mówimy wtedy, że A zawiera się w B. Symbolicznie: AÌB Û "x (xîa Þ xîb). Zawieranie się zbiorów nazywane jest również inkluzją. Własności inkluzji: 1. "A AÌA (każdy zbiór jest swoim podzbiorem), 2. "A ÆÌA (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru), 3. AÌB Ù BÌC Þ AÌC (przechodniość), 4. AÌB Ù BÌA Û A=B. Jeżeli AÌB Ù A¹B Ù A¹Æ, to A nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B. Zbiór pusty Æ i zbiór A są podzbiorami niewłaściwymi zbioru A.

6 Zbiór potęgowy Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym zbioru A i oznaczamy przez P(A), tzn. Elementarne wnioski: P(A)={M MÌA}. 1. Dla każdego zbioru A zachodzi ÆÎP(A), tzn. zbiór pusty jest elementem każdego zbioru potęgowego. 2. Jeżeli zbiór A ma n elementów, to zbiór P(A) ma 2 n elementów. Dopełnienie zbioru Rozpatrując podzbiory wyłącznie ustalonego zbioru U (zwanego uniwersum), np. podzbiór AÌU, możemy określić dopełnienie zbioru A oznaczane przez A jako zbiór tych elementów zbioru U, które nie należą do A. A = {x xîu Ù xïa}. Diagramy Venna Do zobrazowania zbiorów i operacji na nich wykorzystuje się diagramy Venna. Zbiory w tym ujęciu reprezentowane są przez figury płaskie. Dla zbiorów A i B są to najczęściej koła, natomiast uniwersum U rysowane jest jako prostokąt, obejmujący koła przedstawiające zbiory A oraz B. U A B

7 Operacje (działania) na zbiorach Za pomocą operacji teoriomnogościowych z danych zbiorów można utworzyć na wiele różnych sposobów nowe zbiory. Niech A i B będą zbiorami, określmy działania na tych zbiorach: 1. Suma zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ú xîb}. 2. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ù xîb}. Działania te można uogólnić na rodzinę zbiorów D, czyli zbiór którego elementami są zbiory: 3. Suma rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x $AÎD x ÎA}. 4. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x "AÎD x ÎA}.

8 Zbiory rozłączne Dwa dowolne zbiory A i B nie mające ani jednego elementu wspólnego nazywamy rozłącznymi. Oznacza to, że zbiory A i B są rozłączne gdy zachodzi równość: A B=Æ. 5. Różnica zbiorów A i B (symbolicznie A\B) określana jest następująco: A\B={x xîa Ù xïb}. Dopełnienie zbioru Dopełnienie zbioru A można zapisać również w postaci: A =U\A. 6. Różnica symetryczna zbiorów A i B (symbolicznie A B lub A B lub A B) określana jest następująco: A B={x (xîa Ù xïb) Ú (xîb Ù xïa)}.

9 Podstawowe prawa rachunku zbiorów Prawa łączności (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Prawa przemienności A B = B A A B = B A Prawa rozdzielności (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Prawa de Morgana (A B) = A B (A B) = A B Prawa absorpcji A (A B) = A A (A B) = A Prawa idempotentności A A = A A A = A Inne własności A A = U A A = Æ A U = U A U = A A Æ = A A Æ = Æ U = Æ Æ = U A B = (A B)\(A B) A\B = A\(A B) A (B\C) = (A B)\C (A B)\C = B (A\C) {A}=A {A}=A P(A)=A P(A)=Æ

10 Iloczyn (produkt) kartezjański Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A 1, A 2,, A n nazywamy zbiór oznaczany A 1 A 2 A n postaci: A 1 A 2 A n ={(a 1, a 2,, a n ) a 1 Î A 1 Ù a 2 Î A 2 Ù Ù a n Î A n }. Mówimy także, że iloczyn kartezjański n zbiorów jest zbiorem wszystkich n-tek uporządkowanych, czyli ciągów (a 1, a 2,, a n ), gdzie a i ÎA i dla i=1,2, n. Przykład Jeżeli A 1 = {1,2,3}, A 2 = {2,4}, A 3 = {x,y}, to A 1 A 2 A 3 ={(1,2,x),(1,2,y),(1,4,x),(1,4,y),(2,2,x),(2,2,y),(2,4,x),(2,4,y), (3,2,x),(3,2,y),(3,4,x),(3,4,y)}. Jeżeli A 1 =A 2 = =A n =A, to A 1 A 2 A n nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A i oznaczamy A n. Przykładem takiego zbioru jest R R R=R 3 ={(x 1,x 2,x 3 ) x 1 ÎRÙx 2 ÎRÙx 3 ÎR}, zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Szczególnym przypadkiem iloczynu kartezjańskiego jest iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A B = {(a,b) aîa Ù bîb}. Elementy (a,b) zbioru A B nazywamy parami uporządkowanymi. Charakteryzują się one następującą równoważnością: (a,b) = (c,d) Û a=c Ù b=d.

11 Własności iloczynu kartezjańskiego Jeżeli A¹B¹C, to: 1. A B¹B A 2. A (B C)=(A B) C Jeżeli A¹ÆÙB¹ÆÙC¹ÆÙD¹Æ, to: 3. (AÌBÙCÌD) Û (A C)Ì(B D) 4. (A=BÙC=D)Û (A C)Ì(B D) Dla dowolnych A, B, C, D i U zachodzi: 5. (A B) (C D)=(A C) (B D) 6. (A B) (C D)Ì(A C) (B D) 7. (A B) C=(A C) (B C) 8. A (B C)=(A B) (A C) 9. (A B) C=(A C) (B C) 10.A (B C)=(A B) (A C) 11.(A\B) C=(A C)\(B C) 12.A (B\C)=(A B)\(A C) 13.(A B) (C D)=(A C) (B C) (A D) (B D) 14.A B=(A D) (C B), gdzie AÌCÙBÌD 15.U 2 \(A B)=[(U\A) U] [U (U\B)]

12 Aksjomaty teorii mnogości Pojęcia pierwotne zbiór, element zbioru. Aksjomaty Zermelo Frenkla (ZF): I. Aksjomat ekstensjonalności Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy. II. Aksjomat zbioru pustego III. Aksjomat sumy Istnieje zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór składający się ze wszystkich tych elementów, które są elementami przynajmniej jednego ze zbiorów tej rodziny. IV. Aksjomat zbioru potęgowego Dla każdego zbioru istnieje zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów danego zbioru. V. Aksjomat nieskończoności VI. Aksjomat zastępowania Istnieje zbiór nieskończony. Jeżeli każdy element zbioru zastąpimy dowolnym obiektem, to otrzymamy znów pewien zbiór.

13 Relacje Relacją n-argumentową na zbiorach A 1, A 2,, A n nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, tzn. ÌA 1 A 2 A n. Jeżeli ÌA n to relację nazywamy n-argumentową relacją w zbiorze A. Relacje opisują zależności między elementami jednego lub wielu różnych zbiorów. Przykład Niech A 1 ={1,2,3,4}, A 2 ={2,4,6,8}, A 3 ={2,3,4} ={(a 1, a 2, a 3 ) a 1 ÎA 1 Ùa 2 ÎA 2 Ùa 3 ÎA 3 Ùa 1 =a 2 =a 3 }, czyli ={(2,2,2), (4,4,4)}. i-tą dziedziną relacji ÌA 1 A 2 A n nazywamy zbiór postaci: D i ( )={xîa i $a 1,, $a i-1, $a i+1,, $a n (a 1,,a i-1,x,a i+1,,a n )Î }. Zamiast pisać (a 1, a 2,, a n )Î piszemy także (a 1, a 2,,a n ). Ponieważ relacje są szczególnego rodzaju zbiorami określa się dla nich wszystkie operacje teoriomnogościowe.

14 Relacje binarne (dwuargumentowe) Relacją binarną (dwuargumentową) między elementami zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór zbioru A B. Jeżeli A=B to relację ÌA 2 nazywamy relacją binarną określoną na A. Zamiast pisać, że (a,b)î stosujemy zapis (a,b) lub częściej a b. Dziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D( )={aîa $bîb a b }, natomiast przeciwdziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D -1 ( )={bîb $aîa a b }. Zbiór D( ) D -1 ( ) nazywamy polem relacji. Dopełnieniem relacji binarnej pomiędzy elementami zbiorów A B nazywamy zbiór postaci: =(A B)\. Relacją odwrotną oznaczaną -1 do relacji binarnej nazywamy zbiór: -1 ={(a,b) b a}. Niech 1 ÌA B oraz 2 ÌB C będą relacjami binarnymi. Złożeniem (superpozycją, iloczynem) 1 2 relacji 1 i 2 nazywamy zbiór określony następująco: 1 2 ={(a,c) $b (bîb Ù a 1 b Ù b 2 c}. Przez I A oznaczamy następującą relację binarną: I A ={(a,b)îa 2 a=b}={(a,a) aîa}.

15 Dla relacji binarnych 1, 2, 3 określonych na zbiorze A zachodzi: 1. ( 1 2 ) = ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 3 =( 1 3 ) ( 2 3 ) 4. ( 1 2 ) 3 Ì( 1 3 ) ( 2 3 ) 5. ( 1 2 ) = 2 1 Relację binarną ÌA 2 można przedstawić za pomocą: 1. Diagramu strzałkowego Elementy zbioru A oznaczamy na płaszczyźnie punktami a,b, i następnie przeprowadzamy od a do b linie zakończoną strzałką wtedy i tylko wtedy gdy a b. 2. Macierzy relacji M Elementy zbioru A wpisujemy do pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy. Na przecięciu wiersza wyznaczonego przez aîa i kolumny bîa w przypadku gdy a b wpisujemy 1, w przeciwnym wypadku wpisujemy 0.

16 Przykład Niech A={1,2,3,4} relację określmy jako zbiór: ={(a,b) aîa Ù bîa Ù a dzieli b}, wtedy ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}, a na diagramie strzałkowym przedstawiamy to następująco: Natomiast macierz M relacji przedstawia się następująco: M Określmy teraz dziedzinę, przeciwdziedzinę, pole, dopełnienie, relację odwrotną dla danej relacji. Dziedzina: D( )={1,2,3,4}=A, Przeciwdziedzina D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Pole relacji D( ) D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Dopełnienie ={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}, Relacja odwrotna -1 ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)}.

17 Niech ÌA 2 wtedy relacja jest 1. zwrotna (refleksywna) w A, jeżeli "aîa zachodzi a a 2. przeciwzwrotna (irrefleksywną) w A, jeżeli "aîa zachodzi Ø(a a) 3. symetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ b a 4. przeciwsymetryczna (asymetryczna) w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ Ø(b a) 5. słabo antysymetryczna (wpół antysymetryczna, na wpół przeciwsymetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a bùb aþa=b 6. przechodnia (tranzytywna) w A, jeżeli "(aîaùbîaùcîa) zachodzi a bùb cþa c 7. liniowa w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb a 8. spójna w A,, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb aúa=b Jeżeli ÌA 2 i A 1 ÌA, to relację A 1 2 nazywamy obcięciem relacji do A 1 i oznaczamy przez A 1. Relacja ÌA 2 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) jeżeli relacja A 1 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) na A 1 będącym polem.

18 Relacje równoważności i klasy abstrakcji Relację binarną na zbiorze A ( ÌA 2 ) nazywamy relacją równoważności, jeżeli jest zwrotna symetryczna i przechodnia. Z każdą relacją równoważności w zbiorze A związany jest rozkład tego zbioru na niepuste parami rozłączne podzbiory, tzw. klasy równoważności. Zbiór postaci: [a] := {b bîa Ù a b} Nazywamy klasą równoważności elementu a względem relacji. Własności klas abstrakcji: 1. [a] ¹Æ 2. a b Û [a] = [b] 3. Ø(a b) Û [a] [b] =Æ Wszystkie klasy abstrakcji są elementami pewnego nowego zbioru nazywanego zbiorem ilorazowym, który jest oznaczany przez A/ i ma postać: A/ ={[a] aîa}. Podzbiór ZÌP(A) zbioru potęgowego P(A) nazywamy rozkładem zbioru A, jeżeli ÆÏZ Ù (X,YÎZ Ù X¹Y Þ X Y=Æ) Ù X =A. XÎZ

19 Twierdzenie o rozkładzie (faktoryzacji) Każda relacja równoważności w zbiorze A indukuje pewien rozkład Z zbioru A, mianowicie Z=A/ i na odwrót, każdemu rozkładowi Z zbioru A odpowiada pewna relacja równoważności w A, co symbolicznie można zapisać: a b Û $XÎZ (aîx Ù bîx). Relację równoważności w zbiorze A można rozpatrywać jako uogólnienie relacji identyczności (równości) w tym zbiorze. Abstrahujemy wtedy od nieistotnych własności elementów zbioru A, jednocześnie elementy nie różniące się pod względem pewniej cechy przypisujemy do jednej i tej samej klasy abstrakcji. Przykład Niech dana będzie relacja ÌN + 2 taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (2 dzieli a+b). Sprawdzić czy jest to relacja równoważności i jeżeli jest to określić klasy abstrakcji oraz rozkład zbioru N +.

20 Relacje porządkujące Relację binarną w zbiorze A, która jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia nazywamy relacją porządkującą (porządkiem, porządkiem częściowym, półporządkiem). Jeżeli ponadto jest liniowa to jest całkowitym porządkiem (liniowym porządkiem) lub łańcuchem. Zbiór A określany jest wówczas jako uporządkowany przez relację lub liniowo uporządkowany przez. W zbiorze liniowo uporządkowanym każde dwa elementy są porównywalne. Jeżeli a b i jest relacją porządkującą to stosujemy zapis a b lub a b. Zbiory N, Z, Q, R są liniowo uporządkowane przez standardową relację jest mniejsze lub równe co zapisujemy. Zbiór potęgowy P(A) z relacją zawierania Ì jest zbiorem częściowo uporządkowanym.

21 Niech dany będzie zbiór A uporządkowany przez relację, wyróżniamy następujące elementy: element aîa nazywamy maksymalnym w A jeśli "xîa (a xþx=a), element aîa nazywamy minimalnym w A jeśli "xîa (x aþx=a), element aîa nazywamy największym w A jeśli "xîa (x a), element aîa nazywamy najmniejszym w A jeśli "xîa (a x). Ponadto jeżeli XÌA, to ograniczeniem górnym zbioru X nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (x a), natomiast ograniczeniem dolnym nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (a x). Lemat Kuratowskiego Zorna: Jeżeli zbiór A jest uporządkowany przez relację oraz dla każdego łańcucha istnieje w A górne ograniczenie, wtedy w A istnieje co najmniej jeden element maksymalny, co więcej dla każdego xîa istnieje element maksymalny a taki, że x a.

22 Przykład 2 Niech dana będzie relacja ÌN + taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (a dzieli b). Sprawdzić czy jest to relacja porządkująca.

23 Funkcje i odwzorowania Relację ÌX Y nazywamy funkcją, jeżeli "xîx "yîy "zîy ( x yùx z Þ y=z ). Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji, natomiast elementy zbioru Y wartościami funkcji. Dla oznaczenia funkcji używamy liter f, g, h i zamiast (x,y)îf zapisujemy f (x)=y. Dziedziną (zbiorem argumentów) funkcji nazywamy zbiór D f ={xîx $yîy (f(x)=y)}, przeciwdziedziną (zbiorem wartości funkcji) nazywamy zbiór W f ={yîy $xîx (f(x)=y)}. Odwzorowaniem (przekształceniem) zbioru X w zbiór Y nazywamy taką funkcję f, że D f =X i W f ÌY i oznaczamy przez f: X Y. Zbiór wszystkich odwzorowań z X w Y oznaczamy Y X. Odwzorowanie f nazywamy z X na Y (surjekcją, epimorfizmem) jeżeli i oznaczamy f : X na Y. "yîy $xîx (f(x)=y) inaczej gdy W f =Y Odwzorowanie f nazywamy różnowartościowym (injekcją, monomorfizmem) jeżeli "x 1 ÎX "x 2 ÎX "yîy ( (x 1,y)Îf Ù(x 2,y)Îf Þ x 1 =x 2 ) i oznaczamy f : X 1 1 Y.

24 Odwzorowanie f nazywamy wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) jeżeli jest różnowartościowe i na (surjekcją i injekcją). Dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego f : X Y określa się odwzorowanie odwrotne f -1 : Y X, takie, że "xîx "yîy (f(x)=y Þ f -1 (y)=x). Dla danych odwzorowań f : X Y g : Y Z definiuje się przekształcenie g f : X Z zwane złożeniem (superpozycją) według wzoru: (x,z)î g f Û $yîy (f(x)=yùg(y)=z). Złożenie odwzorowań nie jest przemienne g f ¹ f g natomiast jest łączne h (f g)= (h f) g.

25 Moc zbiorów Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy mocą zbioru lub liczbą kardynalną zbioru A i oznaczamy przez card A lub przez A. Również każdemu zbiorowi nieskończonemu przypisuje się jego liczbę kardynalną. Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeżeli istnieje jakakolwiek bijekcja między tymi zbiorami, co oznaczamy przez A~B. Każdemu zbiorowi A przyporządkowuje się jego liczbę kardynalną card A lub A, w taki sposób, że zbiory równoliczne mają tę samą liczbę kardynalną. Ponieważ żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym, więc nie istnieje największa liczba kardynalna. Najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną jest liczba kardynalna zbioru liczb naturalnych N, oznaczana przez symbol 0 (alef 0). Zbiór nieskończony nazywamy przeliczalnym jeżeli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, oznacza to, że jego elementy można ustawić w ciąg a 1, a 2, ponumerowany kolejnymi liczbami naturalnymi. Zbiór nieskończony nazywamy nieprzeliczalnym jeżeli nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika z tego, że każdy zbiór nieskończony nie będący zbiorem przeliczalnym jest nieprzeliczalny. Zbiory Z, Q są przeliczalne, natomiast zbiory R i C są nieprzeliczalne. Zbiory R i C są równoliczne i mają tę samą moc, ich liczbę kardynalną oznacza się przez c (continuum).

26 Działania na liczbach kardynalnych Sumą liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 +n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z sumą zbiorów o mocy n 1 i n 2. Iloczynem liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z iloczynem kartezjańskim zbiorów o mocy n 1 i n 2. Potęgą liczby kardynalnej n 2 liczby kardynalnej n 1 nazywamy liczbę n kardynalną m= n 2 1, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny A B, gdzie A i B mają moce odpowiednio n 1 i n 2. Własności liczb kardynalnych: 1. n+ 0 = = 0 0 = c= 0 c=c 4. c+c=c c=c =c

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 2 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach w sensie dystrybutywnym; rachunek zbiorów jest fragmentem teorii mnogości. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

RELACJE I ODWZOROWANIA

RELACJE I ODWZOROWANIA RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (1)

Wstęp do Matematyki (1) Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1/14 Netografia i bibliografia 1. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków wazniak.mimuw.edu.pl http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=matematyka_dyskretna_1

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1 FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7 KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (2)

Wstęp do Matematyki (2) Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1

Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1 Marcin Styborski Katedra Analizy Nieliniowej pok. 610E (gmach B) marcins@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/marcins () 28 września 2010 1 / 10 Literatura podstawowa R. Rudnicki,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (3)

Wstęp do Matematyki (3) Wstęp do Matematyki (3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Ważne typy relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (3) Ważne typy relacji 1 / 54 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011

WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011 dr Przemysław Szczepaniak ZDANIA WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011 1. Udowodnij prawa rachunku zdań poznane na wykładzie. 2. Sprawdź, które z poniższych zdań są

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu Tomasz

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Technologie i systemy oparte na logice rozmytej

Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc.

Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. 3. Porządki liniowe. Porządki gęste, ciągłe i dobre. dradamkolany,mailto:ynalok64@wp.pl,http://kolany.pl,gg:1797933,tel.(+48)602804128...

Bardziej szczegółowo

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Matematyczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna Własności relacji 1 / 46 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310

dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310 dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310 LITERATURA Praca zbiorowa pod. red. B. Wikieł Matematyka, Podstawy z elementami matematyki wyższej W.Krysicki, L.Włodarski

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to: 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

Informatyka, I stopień

Informatyka, I stopień Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Informatyka, I stopień Sylabus modułu: Podstawy logiki i teorii mnogości (LTM200.2) wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/14 Relacje Relacja E = {(x, x): x S} jest relacją równości w zbiorze S. Piszemy xex lub x=x lub (x, x) E. Złożeniem relacji A w

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Zbiory mocy alef zero

Zbiory mocy alef zero Uniwersytet Rzeszowski Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Monika Łokaj Zbiory mocy alef zero Praca licencjacka wykonana w Instytucie Matematyki pod kierunkiem dra Michała Lorensa Praca została przyjęta

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 Relacje równoważności

Rozdział 7 Relacje równoważności Rozdział 7 Relacje równoważności Pojęcie relacji. Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór A oraz własność W, którą mogą mieć niektóre elementy zbioru A. Własność W wyznacza pewien podzbiór W A zbioru A, złożony

Bardziej szczegółowo

O liczbach niewymiernych

O liczbach niewymiernych O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Symbol, alfabet, łańcuch

Symbol, alfabet, łańcuch Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo