1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów."

Transkrypt

1 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna nazwa zbioru). Teoria mnogości powstała w drugiej połowie XIX wieku, głównie dzięki pracom Georga Cantora; na początku XX wieku została przedstawiona w postaci aksjomatycznej (E. Zermelo, A. Fraenkel, W. Sierpiński i in.). Na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkie podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczby (całkowite, wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymi i naturalnym uporządkowaniem, relacje, funkcje itp.; dzięki temu każda teoria matematyczna może być potraktowana jako fragment teorii mnogości.

2 Terminy pierwotne teorii mnogości Zbiór (mnogość) pojęcie pierwotne, jest jednoznacznie określany przez swoje elementy (indywidua). Stwierdzenie - należy do oznaczane jest symbolem Î ; wyrażenie x jest elementem zbioru A zapisujemy w skrócie xîa. Oznaczenia A, B, C, - zbiory; a, b, c, x, y, z, - elementy zbioru; Stałe logiczne : - spójniki ~ Ø nieprawda, że (negacja) Þ Ù Ú Û º jeśli to (implikacja) oraz (koniunkcja) lub (alternatywa) wtedy i tylko wtedy; - kwantyfikatory ogólny: " dla dowolnego egzystencjalny: $ istnieje takie, że - identyczność = jest identyczne ( jest równe ) Wyrażenie, że ~ (xîa) nieprawda, że x należy do A, zapisujemy xïa, symbol Ï oznacza nie należy. Wyrażenie, że ~ (x=y) nieprawda, że x jest równe y zapisujemy x¹y, symbol ¹ oznacza jest różne.

3 Dwa sposoby określania zbioru 1. Przez wyliczenie wszystkich elementów zbioru, elementy te zapisujemy w nawiasie klamrowym: A={x,y, z} A={1,2,,10} zbiory skończone lub A={1,3,5, } zbiór nieskończony. 2. Przez podanie własności jaką posiadają wyłącznie elementy zbioru, inaczej przez wyróżnienie: A={x x jest liczbą nieparzystą}. Zbiory liczbowe N={0,1,2, } zbiór liczb naturalnych; N + ={1,2,3, } zbiór liczb naturalnych dodatnich; Z={0,1,-1,2,-2, } zbiór liczb całkowitych; Q={ q p p,qîz Ù q¹0} zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych; C zbiór liczb zespolonych.

4 Zasada ekstensjonalności Dwa zbiory A i B są równe (uważamy je za identyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy zawierają te same elementy, tzn. A=B Û "x (xîa Û xîb). Zasada dystrybutywności Żaden zbiór nie jest identyczny z żadnym ze swych elementów, tzn. ~ ( $A $x (xîa Ù x=a) ), oznacza to, że {a}¹a. Zbiór pusty Celowe i użyteczne jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, który oznaczamy przez symbol Zbiór pusty jest to zbiór, który nie posiada żadnego elementu. Symbolicznie: Æ. $A "x (xïa). Z zasady ekstensjonalności wynika, że istnieje tylko jeden taki zbiór. Z zasady dystrybutywności wynika, że {Æ} Æ, czyli zbiór {Æ} nie jest zbiorem pustym.

5 Podzbiór Jeśli A i B są zbiorami oraz każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B i oznaczamy AÌB. Mówimy wtedy, że A zawiera się w B. Symbolicznie: AÌB Û "x (xîa Þ xîb). Zawieranie się zbiorów nazywane jest również inkluzją. Własności inkluzji: 1. "A AÌA (każdy zbiór jest swoim podzbiorem), 2. "A ÆÌA (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru), 3. AÌB Ù BÌC Þ AÌC (przechodniość), 4. AÌB Ù BÌA Û A=B. Jeżeli AÌB Ù A¹B Ù A¹Æ, to A nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B. Zbiór pusty Æ i zbiór A są podzbiorami niewłaściwymi zbioru A.

6 Zbiór potęgowy Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywamy zbiorem potęgowym zbioru A i oznaczamy przez P(A), tzn. Elementarne wnioski: P(A)={M MÌA}. 1. Dla każdego zbioru A zachodzi ÆÎP(A), tzn. zbiór pusty jest elementem każdego zbioru potęgowego. 2. Jeżeli zbiór A ma n elementów, to zbiór P(A) ma 2 n elementów. Dopełnienie zbioru Rozpatrując podzbiory wyłącznie ustalonego zbioru U (zwanego uniwersum), np. podzbiór AÌU, możemy określić dopełnienie zbioru A oznaczane przez A jako zbiór tych elementów zbioru U, które nie należą do A. A = {x xîu Ù xïa}. Diagramy Venna Do zobrazowania zbiorów i operacji na nich wykorzystuje się diagramy Venna. Zbiory w tym ujęciu reprezentowane są przez figury płaskie. Dla zbiorów A i B są to najczęściej koła, natomiast uniwersum U rysowane jest jako prostokąt, obejmujący koła przedstawiające zbiory A oraz B. U A B

7 Operacje (działania) na zbiorach Za pomocą operacji teoriomnogościowych z danych zbiorów można utworzyć na wiele różnych sposobów nowe zbiory. Niech A i B będą zbiorami, określmy działania na tych zbiorach: 1. Suma zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ú xîb}. 2. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B (symbolicznie A B) określana jest następująco: A B={x xîa Ù xîb}. Działania te można uogólnić na rodzinę zbiorów D, czyli zbiór którego elementami są zbiory: 3. Suma rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x $AÎD x ÎA}. 4. Część wspólna (iloczyn, przekrój, przecięcie) rodziny zbiorów D (symbolicznie D) określana jest następująco: D={x "AÎD x ÎA}.

8 Zbiory rozłączne Dwa dowolne zbiory A i B nie mające ani jednego elementu wspólnego nazywamy rozłącznymi. Oznacza to, że zbiory A i B są rozłączne gdy zachodzi równość: A B=Æ. 5. Różnica zbiorów A i B (symbolicznie A\B) określana jest następująco: A\B={x xîa Ù xïb}. Dopełnienie zbioru Dopełnienie zbioru A można zapisać również w postaci: A =U\A. 6. Różnica symetryczna zbiorów A i B (symbolicznie A B lub A B lub A B) określana jest następująco: A B={x (xîa Ù xïb) Ú (xîb Ù xïa)}.

9 Podstawowe prawa rachunku zbiorów Prawa łączności (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Prawa przemienności A B = B A A B = B A Prawa rozdzielności (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Prawa de Morgana (A B) = A B (A B) = A B Prawa absorpcji A (A B) = A A (A B) = A Prawa idempotentności A A = A A A = A Inne własności A A = U A A = Æ A U = U A U = A A Æ = A A Æ = Æ U = Æ Æ = U A B = (A B)\(A B) A\B = A\(A B) A (B\C) = (A B)\C (A B)\C = B (A\C) {A}=A {A}=A P(A)=A P(A)=Æ

10 Iloczyn (produkt) kartezjański Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A 1, A 2,, A n nazywamy zbiór oznaczany A 1 A 2 A n postaci: A 1 A 2 A n ={(a 1, a 2,, a n ) a 1 Î A 1 Ù a 2 Î A 2 Ù Ù a n Î A n }. Mówimy także, że iloczyn kartezjański n zbiorów jest zbiorem wszystkich n-tek uporządkowanych, czyli ciągów (a 1, a 2,, a n ), gdzie a i ÎA i dla i=1,2, n. Przykład Jeżeli A 1 = {1,2,3}, A 2 = {2,4}, A 3 = {x,y}, to A 1 A 2 A 3 ={(1,2,x),(1,2,y),(1,4,x),(1,4,y),(2,2,x),(2,2,y),(2,4,x),(2,4,y), (3,2,x),(3,2,y),(3,4,x),(3,4,y)}. Jeżeli A 1 =A 2 = =A n =A, to A 1 A 2 A n nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A i oznaczamy A n. Przykładem takiego zbioru jest R R R=R 3 ={(x 1,x 2,x 3 ) x 1 ÎRÙx 2 ÎRÙx 3 ÎR}, zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Szczególnym przypadkiem iloczynu kartezjańskiego jest iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A B = {(a,b) aîa Ù bîb}. Elementy (a,b) zbioru A B nazywamy parami uporządkowanymi. Charakteryzują się one następującą równoważnością: (a,b) = (c,d) Û a=c Ù b=d.

11 Własności iloczynu kartezjańskiego Jeżeli A¹B¹C, to: 1. A B¹B A 2. A (B C)=(A B) C Jeżeli A¹ÆÙB¹ÆÙC¹ÆÙD¹Æ, to: 3. (AÌBÙCÌD) Û (A C)Ì(B D) 4. (A=BÙC=D)Û (A C)Ì(B D) Dla dowolnych A, B, C, D i U zachodzi: 5. (A B) (C D)=(A C) (B D) 6. (A B) (C D)Ì(A C) (B D) 7. (A B) C=(A C) (B C) 8. A (B C)=(A B) (A C) 9. (A B) C=(A C) (B C) 10.A (B C)=(A B) (A C) 11.(A\B) C=(A C)\(B C) 12.A (B\C)=(A B)\(A C) 13.(A B) (C D)=(A C) (B C) (A D) (B D) 14.A B=(A D) (C B), gdzie AÌCÙBÌD 15.U 2 \(A B)=[(U\A) U] [U (U\B)]

12 Aksjomaty teorii mnogości Pojęcia pierwotne zbiór, element zbioru. Aksjomaty Zermelo Frenkla (ZF): I. Aksjomat ekstensjonalności Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy. II. Aksjomat zbioru pustego III. Aksjomat sumy Istnieje zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór składający się ze wszystkich tych elementów, które są elementami przynajmniej jednego ze zbiorów tej rodziny. IV. Aksjomat zbioru potęgowego Dla każdego zbioru istnieje zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów danego zbioru. V. Aksjomat nieskończoności VI. Aksjomat zastępowania Istnieje zbiór nieskończony. Jeżeli każdy element zbioru zastąpimy dowolnym obiektem, to otrzymamy znów pewien zbiór.

13 Relacje Relacją n-argumentową na zbiorach A 1, A 2,, A n nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, tzn. ÌA 1 A 2 A n. Jeżeli ÌA n to relację nazywamy n-argumentową relacją w zbiorze A. Relacje opisują zależności między elementami jednego lub wielu różnych zbiorów. Przykład Niech A 1 ={1,2,3,4}, A 2 ={2,4,6,8}, A 3 ={2,3,4} ={(a 1, a 2, a 3 ) a 1 ÎA 1 Ùa 2 ÎA 2 Ùa 3 ÎA 3 Ùa 1 =a 2 =a 3 }, czyli ={(2,2,2), (4,4,4)}. i-tą dziedziną relacji ÌA 1 A 2 A n nazywamy zbiór postaci: D i ( )={xîa i $a 1,, $a i-1, $a i+1,, $a n (a 1,,a i-1,x,a i+1,,a n )Î }. Zamiast pisać (a 1, a 2,, a n )Î piszemy także (a 1, a 2,,a n ). Ponieważ relacje są szczególnego rodzaju zbiorami określa się dla nich wszystkie operacje teoriomnogościowe.

14 Relacje binarne (dwuargumentowe) Relacją binarną (dwuargumentową) między elementami zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór zbioru A B. Jeżeli A=B to relację ÌA 2 nazywamy relacją binarną określoną na A. Zamiast pisać, że (a,b)î stosujemy zapis (a,b) lub częściej a b. Dziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D( )={aîa $bîb a b }, natomiast przeciwdziedziną relacji binarnej nazywamy zbiór postaci: D -1 ( )={bîb $aîa a b }. Zbiór D( ) D -1 ( ) nazywamy polem relacji. Dopełnieniem relacji binarnej pomiędzy elementami zbiorów A B nazywamy zbiór postaci: =(A B)\. Relacją odwrotną oznaczaną -1 do relacji binarnej nazywamy zbiór: -1 ={(a,b) b a}. Niech 1 ÌA B oraz 2 ÌB C będą relacjami binarnymi. Złożeniem (superpozycją, iloczynem) 1 2 relacji 1 i 2 nazywamy zbiór określony następująco: 1 2 ={(a,c) $b (bîb Ù a 1 b Ù b 2 c}. Przez I A oznaczamy następującą relację binarną: I A ={(a,b)îa 2 a=b}={(a,a) aîa}.

15 Dla relacji binarnych 1, 2, 3 określonych na zbiorze A zachodzi: 1. ( 1 2 ) = ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 3 =( 1 3 ) ( 2 3 ) 4. ( 1 2 ) 3 Ì( 1 3 ) ( 2 3 ) 5. ( 1 2 ) = 2 1 Relację binarną ÌA 2 można przedstawić za pomocą: 1. Diagramu strzałkowego Elementy zbioru A oznaczamy na płaszczyźnie punktami a,b, i następnie przeprowadzamy od a do b linie zakończoną strzałką wtedy i tylko wtedy gdy a b. 2. Macierzy relacji M Elementy zbioru A wpisujemy do pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy. Na przecięciu wiersza wyznaczonego przez aîa i kolumny bîa w przypadku gdy a b wpisujemy 1, w przeciwnym wypadku wpisujemy 0.

16 Przykład Niech A={1,2,3,4} relację określmy jako zbiór: ={(a,b) aîa Ù bîa Ù a dzieli b}, wtedy ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}, a na diagramie strzałkowym przedstawiamy to następująco: Natomiast macierz M relacji przedstawia się następująco: M Określmy teraz dziedzinę, przeciwdziedzinę, pole, dopełnienie, relację odwrotną dla danej relacji. Dziedzina: D( )={1,2,3,4}=A, Przeciwdziedzina D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Pole relacji D( ) D -1 ( )={1,2,3,4}=A, Dopełnienie ={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}, Relacja odwrotna -1 ={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)}.

17 Niech ÌA 2 wtedy relacja jest 1. zwrotna (refleksywna) w A, jeżeli "aîa zachodzi a a 2. przeciwzwrotna (irrefleksywną) w A, jeżeli "aîa zachodzi Ø(a a) 3. symetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ b a 4. przeciwsymetryczna (asymetryczna) w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a b Þ Ø(b a) 5. słabo antysymetryczna (wpół antysymetryczna, na wpół przeciwsymetryczna w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a bùb aþa=b 6. przechodnia (tranzytywna) w A, jeżeli "(aîaùbîaùcîa) zachodzi a bùb cþa c 7. liniowa w A, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb a 8. spójna w A,, jeżeli "(aîaùbîa) zachodzi a búb aúa=b Jeżeli ÌA 2 i A 1 ÌA, to relację A 1 2 nazywamy obcięciem relacji do A 1 i oznaczamy przez A 1. Relacja ÌA 2 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) jeżeli relacja A 1 jest zwrotna (przeciwzwrotna, symetryczna i itp.) na A 1 będącym polem.

18 Relacje równoważności i klasy abstrakcji Relację binarną na zbiorze A ( ÌA 2 ) nazywamy relacją równoważności, jeżeli jest zwrotna symetryczna i przechodnia. Z każdą relacją równoważności w zbiorze A związany jest rozkład tego zbioru na niepuste parami rozłączne podzbiory, tzw. klasy równoważności. Zbiór postaci: [a] := {b bîa Ù a b} Nazywamy klasą równoważności elementu a względem relacji. Własności klas abstrakcji: 1. [a] ¹Æ 2. a b Û [a] = [b] 3. Ø(a b) Û [a] [b] =Æ Wszystkie klasy abstrakcji są elementami pewnego nowego zbioru nazywanego zbiorem ilorazowym, który jest oznaczany przez A/ i ma postać: A/ ={[a] aîa}. Podzbiór ZÌP(A) zbioru potęgowego P(A) nazywamy rozkładem zbioru A, jeżeli ÆÏZ Ù (X,YÎZ Ù X¹Y Þ X Y=Æ) Ù X =A. XÎZ

19 Twierdzenie o rozkładzie (faktoryzacji) Każda relacja równoważności w zbiorze A indukuje pewien rozkład Z zbioru A, mianowicie Z=A/ i na odwrót, każdemu rozkładowi Z zbioru A odpowiada pewna relacja równoważności w A, co symbolicznie można zapisać: a b Û $XÎZ (aîx Ù bîx). Relację równoważności w zbiorze A można rozpatrywać jako uogólnienie relacji identyczności (równości) w tym zbiorze. Abstrahujemy wtedy od nieistotnych własności elementów zbioru A, jednocześnie elementy nie różniące się pod względem pewniej cechy przypisujemy do jednej i tej samej klasy abstrakcji. Przykład Niech dana będzie relacja ÌN + 2 taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (2 dzieli a+b). Sprawdzić czy jest to relacja równoważności i jeżeli jest to określić klasy abstrakcji oraz rozkład zbioru N +.

20 Relacje porządkujące Relację binarną w zbiorze A, która jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia nazywamy relacją porządkującą (porządkiem, porządkiem częściowym, półporządkiem). Jeżeli ponadto jest liniowa to jest całkowitym porządkiem (liniowym porządkiem) lub łańcuchem. Zbiór A określany jest wówczas jako uporządkowany przez relację lub liniowo uporządkowany przez. W zbiorze liniowo uporządkowanym każde dwa elementy są porównywalne. Jeżeli a b i jest relacją porządkującą to stosujemy zapis a b lub a b. Zbiory N, Z, Q, R są liniowo uporządkowane przez standardową relację jest mniejsze lub równe co zapisujemy. Zbiór potęgowy P(A) z relacją zawierania Ì jest zbiorem częściowo uporządkowanym.

21 Niech dany będzie zbiór A uporządkowany przez relację, wyróżniamy następujące elementy: element aîa nazywamy maksymalnym w A jeśli "xîa (a xþx=a), element aîa nazywamy minimalnym w A jeśli "xîa (x aþx=a), element aîa nazywamy największym w A jeśli "xîa (x a), element aîa nazywamy najmniejszym w A jeśli "xîa (a x). Ponadto jeżeli XÌA, to ograniczeniem górnym zbioru X nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (x a), natomiast ograniczeniem dolnym nazywamy każdy taki element aîa, że "xîx (a x). Lemat Kuratowskiego Zorna: Jeżeli zbiór A jest uporządkowany przez relację oraz dla każdego łańcucha istnieje w A górne ograniczenie, wtedy w A istnieje co najmniej jeden element maksymalny, co więcej dla każdego xîa istnieje element maksymalny a taki, że x a.

22 Przykład 2 Niech dana będzie relacja ÌN + taka, że "(aîn + ÙbÎN + ) a b Û (a dzieli b). Sprawdzić czy jest to relacja porządkująca.

23 Funkcje i odwzorowania Relację ÌX Y nazywamy funkcją, jeżeli "xîx "yîy "zîy ( x yùx z Þ y=z ). Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji, natomiast elementy zbioru Y wartościami funkcji. Dla oznaczenia funkcji używamy liter f, g, h i zamiast (x,y)îf zapisujemy f (x)=y. Dziedziną (zbiorem argumentów) funkcji nazywamy zbiór D f ={xîx $yîy (f(x)=y)}, przeciwdziedziną (zbiorem wartości funkcji) nazywamy zbiór W f ={yîy $xîx (f(x)=y)}. Odwzorowaniem (przekształceniem) zbioru X w zbiór Y nazywamy taką funkcję f, że D f =X i W f ÌY i oznaczamy przez f: X Y. Zbiór wszystkich odwzorowań z X w Y oznaczamy Y X. Odwzorowanie f nazywamy z X na Y (surjekcją, epimorfizmem) jeżeli i oznaczamy f : X na Y. "yîy $xîx (f(x)=y) inaczej gdy W f =Y Odwzorowanie f nazywamy różnowartościowym (injekcją, monomorfizmem) jeżeli "x 1 ÎX "x 2 ÎX "yîy ( (x 1,y)Îf Ù(x 2,y)Îf Þ x 1 =x 2 ) i oznaczamy f : X 1 1 Y.

24 Odwzorowanie f nazywamy wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) jeżeli jest różnowartościowe i na (surjekcją i injekcją). Dla odwzorowania wzajemnie jednoznacznego f : X Y określa się odwzorowanie odwrotne f -1 : Y X, takie, że "xîx "yîy (f(x)=y Þ f -1 (y)=x). Dla danych odwzorowań f : X Y g : Y Z definiuje się przekształcenie g f : X Z zwane złożeniem (superpozycją) według wzoru: (x,z)î g f Û $yîy (f(x)=yùg(y)=z). Złożenie odwzorowań nie jest przemienne g f ¹ f g natomiast jest łączne h (f g)= (h f) g.

25 Moc zbiorów Liczbę elementów zbioru skończonego A nazywamy mocą zbioru lub liczbą kardynalną zbioru A i oznaczamy przez card A lub przez A. Również każdemu zbiorowi nieskończonemu przypisuje się jego liczbę kardynalną. Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi jeżeli istnieje jakakolwiek bijekcja między tymi zbiorami, co oznaczamy przez A~B. Każdemu zbiorowi A przyporządkowuje się jego liczbę kardynalną card A lub A, w taki sposób, że zbiory równoliczne mają tę samą liczbę kardynalną. Ponieważ żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym, więc nie istnieje największa liczba kardynalna. Najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną jest liczba kardynalna zbioru liczb naturalnych N, oznaczana przez symbol 0 (alef 0). Zbiór nieskończony nazywamy przeliczalnym jeżeli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, oznacza to, że jego elementy można ustawić w ciąg a 1, a 2, ponumerowany kolejnymi liczbami naturalnymi. Zbiór nieskończony nazywamy nieprzeliczalnym jeżeli nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika z tego, że każdy zbiór nieskończony nie będący zbiorem przeliczalnym jest nieprzeliczalny. Zbiory Z, Q są przeliczalne, natomiast zbiory R i C są nieprzeliczalne. Zbiory R i C są równoliczne i mają tę samą moc, ich liczbę kardynalną oznacza się przez c (continuum).

26 Działania na liczbach kardynalnych Sumą liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 +n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z sumą zbiorów o mocy n 1 i n 2. Iloczynem liczb kardynalnych n 1 i n 2 nazywamy liczbę m=n 1 n 2, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny z iloczynem kartezjańskim zbiorów o mocy n 1 i n 2. Potęgą liczby kardynalnej n 2 liczby kardynalnej n 1 nazywamy liczbę n kardynalną m= n 2 1, jeżeli każdy zbiór mocy m jest równoliczny A B, gdzie A i B mają moce odpowiednio n 1 i n 2. Własności liczb kardynalnych: 1. n+ 0 = = 0 0 = c= 0 c=c 4. c+c=c c=c =c

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 2 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach w sensie dystrybutywnym; rachunek zbiorów jest fragmentem teorii mnogości. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (1)

Wstęp do Matematyki (1) Wstęp do Matematyki (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (1) Wprowadzenie 1 / 41 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7

KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 7 KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 7 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny: Dr hab. prof.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory

KARTA KURSU. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Wstęp do logiki i teorii mnogości Introduction to Logic and Set Theory Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Dr hab. prof. UP Piotr Błaszczyk Zespół dydaktyczny dr Antoni

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1

Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1 Marcin Styborski Katedra Analizy Nieliniowej pok. 610E (gmach B) marcins@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/marcins () 28 września 2010 1 / 10 Literatura podstawowa R. Rudnicki,

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu Tomasz

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to: 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Zbiory mocy alef zero

Zbiory mocy alef zero Uniwersytet Rzeszowski Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Monika Łokaj Zbiory mocy alef zero Praca licencjacka wykonana w Instytucie Matematyki pod kierunkiem dra Michała Lorensa Praca została przyjęta

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 Relacje równoważności

Rozdział 7 Relacje równoważności Rozdział 7 Relacje równoważności Pojęcie relacji. Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór A oraz własność W, którą mogą mieć niektóre elementy zbioru A. Własność W wyznacza pewien podzbiór W A zbioru A, złożony

Bardziej szczegółowo

O liczbach niewymiernych

O liczbach niewymiernych O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich. Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

Teoria Liczb Rzeczywistych

Teoria Liczb Rzeczywistych Matematyka Teoria Liczb Rzeczywistych Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag Matematyka p. 1 Teoria Liczb Rzeczywistych Najnowsza

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV.

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV. Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV Marek Jarnicki (Wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści Część I. Analiza Matematyczna

Bardziej szczegółowo

Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki. Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki. Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki Harmonogram zajęć Układy przełączające: 1. Algebra logiki - Wprowadzenie 2. Funkcje logiczne - minimalizacja funkcji 3. Bramki logiczne - rysowanie układów

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki Piotr Jędrzejewicz UMK Toruń 2014

Wstęp do matematyki Piotr Jędrzejewicz UMK Toruń 2014 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel.618295833 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Jan Kraszewski Wrocław 2009 1 Spis treści 2 Przedmowa W zbiorach zadań ze wstępu do matematyki zadania zazwyczaj są tak pogrupowane, by dotyczyły pojęć z poszczególnych

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol) KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Wstęp do logiki i teorii mnogości (LTM010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Materiały do wykładu dla I roku informatyki P. Urzyczyn urzy@mimuw.edu.pl 28 września 2015, godzina 12: 05 1 Język logiki matematycznej Zadaniem matematyki jest badanie

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki dr inż. Maciej Piotrowicz Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ piotrowi@dmcs.p.lodz.pl http://fiona.dmcs.pl/~piotrowi -> Wstęp do... Układy

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

14. Grupy, pierścienie i ciała.

14. Grupy, pierścienie i ciała. 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 1. Analiza matematyczna 1. Zdefiniuj pojęcia kresów podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. 2. Omów pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA

MATEMATYKA DYSKRETNA MATEMATYKA DYSKRETNA Wykład I Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Politechnika Częstochowska Kontakt Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Częstochowa, ul. Dąbrowskiego 73, pok. 184 tel.:

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska

Wykłady ze Wstępu do Matematyki. Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska Wykłady ze Wstępu do Matematyki Jacek Cichoń WPPT, Politechnika Wrocławska MAJ 2012 Spis treści 1 Rachunek Zdań 7 1.1 Zdania i Waluacje............................ 7 1.2 Przegląd Najważniejszych Tautologii..................

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo