Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Transkrypt

1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, /14

2 Netografia i bibliografia 1. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków wazniak.mimuw.edu.pl oraz edu.pjwstk.edu.pl

3 2. podręczniki K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1996 W.Lipski: Kombinatoryka dla programistów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 2004 oraz R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik: Matematyka Konkretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1996 J.Grygiel: Wprowadzenie do matematyki dyskretnej. EXIT, Warszawa 2007

4 Ważne informacje 1. Dyżury: czwartki 14-15, piątki , pok. 450a 2. Wykłady rozpoczynamy o Wykłady będą udostępnione na stronie Zakładu PiGK w zakładce Dydaktyka/Materiały 4. Egzamin: po uzyskaniu zaliczenia ćwiczeń pisemny, w zakresie wiedzy teoretycznej i umiejętności rozwiązywania zadań (studentów obowiązuje materiał objęty wyróżnioną pozycją netografii i dwoma wyróżnionymi pozycjami bibliografii) egzamin poprawkowy we wrześniu

5 Uwaga duże partie materiału prezentowanego w tych wykładach są fragmentami źródeł wymienionych w Netografii zawartej w wykładzie 1/14 zadania pochodzą z wszystkich cytowanych źródeł, a także z książki S.Lipschutz, M.L.Lipson: 2000 Solved Problems in Discrete Mathematics. McGraw-Hill 1992 dobór i układ treści, a także wybór zadań są oryginalne niniejsze materiały są przeznaczony wyłącznie dla uczestników zajęć z Matematyki dyskretnej na WFAiIS UJ w roku akad. 2011/12

6 Konstruowanie i analiza algorytmów wymagają logicznego myślenia, znajomości struktur nieciągłych (to znaczy zawierających zbiory dyskretne, czyli co najwyżej przeliczalne), narzędzi do uzasadniania poprawności algorytmów, umiejętności szacowania liczby operacji, obliczania prawdopodobieństwa, rozwiązywania równań rekurencyjnych. Wszystkim tym zajmuje się matematyka dyskretna łącząc i wykorzystując logikę, teorię zbiorów, kombinatorykę, kryptografię, teorię grafów, teorie liczb, funkcji, relacji, algebrę, rachunek prawdopodobieństwa Matematyka dyskretna kształtuje matematyczna dojrzałość studentów informatyki i dostarcza im podstaw teoretycznych oraz metod niezbędnych do konstruowania i analizy algorytmów.

7 Zbiory Gdy mówię o zbiorze monet w portmonetce, to najlepszą strukturą danych może okazać się torba, czyli zbiór z powtórzeniami. Gdy myślę o czasie, jaki upłynie od chwili, gdy to piszę, do końca dzisiejszego dnia, to najlepszym modelem tego odcinka czasu wydaje mi się zbiór mereologiczny. Gdy słyszę o wysokiej opłacalności pewnej inwestycji, to właściwym modelem tej oceny będzie zbiór, który nazywam zbiorem dobrze rozmytym... Według Jerzego Cantora (1883) zbiór, to każda wielość, która da się pomyśleć jako jedność, tzn. każdy ogół określonych elementów, który można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość. Tak rozumianym zbiorem jest na przykład ogół liczb pierwszych, a prawem, które wiąże w całość te liczby, jest definicja liczby pierwszej.

8 zbiór z powtórzeniami zbiór mereologiczny (kolektywny) zbiór przybliżony zbiór rozmyty i in. Por. A. Łachwa: Który zbiór wybrać?, Informatyka pod red. M. Pękali i Z. Chmielowskiego, KSW, Kraków 2006, str A. Łachwa: Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji, faktów, reguł i decyzji. EXIT 2001.

9 Dwa zbiory są równe jeśli mają te same elementy. Używamy symboli =, (czasami ),, (ten ostatni jest literą z alfabetu norweskiego). Zadanie domowe: Proszę nauczyć się alfabetu greckiego. Np. {n N: n jest liczba parzystą} = {0, 2, 4, 6, 8, } {1, 2, 3} = {2, 2, 2, 1, 3, 3} {( 1) n : n N} = { 1, 1} {{1}, {1,2}} {1, 2}

10 Ćwiczenie: udowodnij, że jeśli S jest zbiorem to S. Ćwiczenie: czy to prawda, że dla dowolnego zbioru S zbiór P(S) ma co najmniej 2 elementy? Ćwiczenie: udowodnij, że { }, { }. Ćwiczenie: czy to prawda, że [0, 1] \ (0, 1) = {0, 1}? Ćwiczenie: ile elementów ma zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych? Pytanie: co to jest hipoteza continuum? Przez Σ oznaczać będzie niepusty i skończony zbiór (w pewnym sensie odróżnialnych) liter czy symboli, zwany dalej alfabetem, Wtedy dowolny skończony ciąg liter tego alfabetu nazwiemy słowem (słowo puste oznaczać będziemy przez λ), Σ* oznaczać będzie zbiór wszystkich słów zbudowanych z tego alfabetu, a dowolny podzbiór Σ* nazwiemy językiem. Ćwiczenie: czy {0, 1, 10, 11, 100, 101, 111, 1000, 1001, } jest językiem nad alfabetem {0, 1}? Ćwiczenie: czy {a, b, c, ad} może być alfabetem? Ćwiczenie: czy {a, b, c, Ad} może być alfabetem?

11 Hipoteza continuum to postawiona przez Georga Cantora hipoteza teorii mnogości dotycząca mocy zbiorów liczb naturalnych i liczb rzeczywistych. Posługując się rozumowaniem przekątniowym Cantor wykazał, że moce powyższych zbiorów nie są równe. W jego dalszych rozważaniach pojawiło się następujące, naturalne pytanie: czy istnieje zbiór, którego moc jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych, a zarazem mniejsza od mocy zbioru liczb rzeczywistych?, jednakże odpowiedź na nie okazała się być daleko nieoczywista. Cantor wysunął hipotezę zwaną właśnie hipotezą continuum że takiego zbioru nie ma. Fakt, że nie potrafił on jej udowodnić, sprawił, że Cantor zwątpił w sensowność stworzonej przez siebie teorii mnogości. W 1940 roku ukazała się praca Kurta Gödla, w której autor dowiódł, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami ogólnie przyjętej teorii mnogości Zermelo-Fraenkela. W 1963 roku Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od wspomnianych aksjomatów, co oznacza, że nie popadając w sprzeczność można do nich dołączyć zarówno zdanie stwierdzające prawdziwość hipotezy, jak i jego zaprzeczenie.

12 W nowoczesnym sformułowaniu (pod założeniem aksjomatu wyboru) hipotezą continuum nazywa się następujące zdanie: gdzie po lewej stronie równości znajduje się pierwsza nieprzeliczalna liczba kardynalna, a po prawej liczba kardynalna continuum. Uogólniona hipoteza continuum to zdanie mówiące, że dla żadnego zbioru nieskończonego A nie istnieje zbiór B, którego moc byłaby większa od mocy zbioru A, ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego A. [Wikipedia, ] κ λ µ ν ξ ο π

13 Często wygodnie jest ustalić pewien zbiór U, zwany uniwersum, i rozpatrywać jego elementy i jego podzbiory. Wtedy zbiór A ma dopełnienie A' do uniwersum U, równe U\A. Prawa algebry zbiorów przemienność sumy zbiorów A U B = B U A przemienność iloczynu zbiorów A B = B A łączność sumy zbiorów (A U B) U C = A U (B U C) łączność iloczynu zbiorów (A B) C = A (B C) rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A (B U C) = (A B) U (A C) rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów A U (B C) = (A U B) (A U C) prawa idempotentności A U A = A, A A = A prawa identyczności A U = A, A = A A U U = U, A U = A prawo podwójnego dopełnienia (A')' = A A U A' = U, A A' = U' =, ' = U prawa de Morgana dla zbiorów (A B)' = A' U B' (A U B)' = A' B' Poprawność możemy sprawdzić metodą diagramów Venna.

14 Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów wymienionych zbiorów, które nie należą do nich jednocześnie. Operator ten oznaczamy przez. Ćwiczenie: udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Ćwiczenie: udowodnij formalnie, że A B i A C A B C Ćwiczenie: sprawdź zdania: A B = A C B=C A B = A C B=C AUB = AUC B=C. Jeżeli A 1, A 2, są zbiorami, to przez U i=1,2,... A 1 oznaczamy sumę tych zbiorów. Podobnie dla iloczynu. Indeksy mogą być wyrażone inaczej, np. i I albo 5<i<12. Produkt kartezjański zbiorów A i B oznaczamy przez A B, A A oznaczamy przez A 2 i podobnie dla większej liczby zbiorów.dla każdego zbioru skończonego A liczbę jego elementów oznaczamy przez A. A B = A B, P(A) = 2 A (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2 A )

15 Ćwiczenie: wyznacz zbiór [0, 3] \ [2, 6] Ćwiczenie: wyznacz zbiór [0, 3]' Ćwiczenie: sprawdź, czy prawdą jest, że A B A B A=B Ćwiczenie: sprawdź, czy prawdą jest, że A B = A' B' Ćwiczenie: udowodnij (A B C)' = A' U B' U C' (nie stosuj metody elementów zbiorów) Ćwiczenie: wypisz elementy P(P(A)), gdzie A={a, b} Ćwiczenie: wypisz elementy P(A B), gdzie A={a, b}, B={0,1}

16 Funkcje Funkcja o dziedzinie i przeciwdziedzinie to dowolna relacja taka, że: lub krócej gdzie kwantyfikator oznacza istnieje dokładnie jeden. Dziedzinę funkcjo oznaczamy przez Dom(f), przeciwdziedzinę (obraz) przez Im(f). Przykłady: długość słowa

17 Surjekcja to funkcja spełniająca warunek. Piszemy wtedy, czytamy X na Y. Injekcja to funkcja spełniająca warunek Injekcje często są nazywane funkcjami różnowartościowymi. Piszemy. Bijekcja to funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją. Traktując funkcję jako relację (zbiór par), możemy rozważać relację odwrotną do. Kiedy ta relacja jest funkcją? Funkcja posiada funkcję odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

18 Przykład konstrukcji funkcji odwrotnej:, Wartość bezwzględna to funkcja : R R; x =x dla x 0, -x wpp własności: xy = x y, x+y x + y Wykresem funkcji liczbowej jednoargumentowej nazywamy zbiór punktów na układzie współrzędnych, gdzie argument jest odciętą punktu, a wartość funkcji jest rzędną. Na rysunkach pokazuje się zwykle fragment wykresu (najbardziej interesujący). Funkcja charakterystyczna zbioru A w przestrzeni S to χ A : S {0, 1}; χ A (x)=1 dla x A, 0 wpp

19 Złożenie f g funkcji i funkcji to funkcja określona dla wszystkich argumentów jako. Gdy jest bijekcją, to istnieje funkcja odwrotna. Oznaczamy: id X = f f -1 Zwykle nie zachodzi. Dla funkcji zachodzi. Dla mamy: jeśli f, g są surjekcjami, to gf jest surjekcją, jeśli f, g są injekcjami to gf jest injekcją, jeśli f, g są bijekcjami to gf jest bijekcją, pierwsza i trzecia z powyższych własności nie zachodzą, jeśli dziedzina funkcji g jest większa niż przeciwdziedzina funkcji f.

20 Funkcja dwóch zmiennych to funkcja, której dziedziną jest zbiór par (zamiast pojedynczych elementów). Piszemy np.. Podobnie można zdefiniować funkcje trzech i więcej zmiennych. Przykład: słowa na końcu słowa., gdzie oznacza słowo (krotkę) powstałe z doklejenia Obcięciem funkcji f:a B do zbioru C nazywamy funkcję f C : C B; f C (x)=f(x) dla x C. Przeciwobrazy f: X Y, A X, B Y f(a) nazywamy obrazem zbioru A f (B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B względem f f (y) nazywamy przeciwobrazem elementu y względem f i jest to f ({y}) Ćwiczenie: czy f (y) to f -1 (y)?

21 Oznaczenia niektórych funkcji: o - to logarytm z liczby przy podstawie, o - to logarytm z liczby przy podstawie, o - to największa liczba całkowita nie większa od, o - to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od. Przykłady 1. Funkcji w połączeniu z funkcją logarytmu można użyć do wyliczania liczby cyfr liczby naturalnej zapisanej w układzie dziesiętnym. Jest to mianowicie. 2. Podobnie jest liczbą bitów potrzebnych do zapisania liczby naturalnej. Ćwiczenie: Jak wygląda funkcja podłogi funkcji f(x)=x?

22 Zadanie domowe: proszę poświęcić chwilę na przyglądnięcie się poniższym tabelom (str. 60, 61 podręcznika K.R. Ross i C. R. B. Wright)

23 Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π