Diagramy Venna. Uwagi:
|
|
- Artur Urbański
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki wynosi 0,49. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo dotyczy zdarzeń=zbiorów A, B, C zdarzenia (tzw. losowe) P(A) prawdopodobieństwo zdarzenia E 0 P(A) 1 S przestrzeń probabilistyczna (zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu-zdarzeń elementarnych) P(S)= (?) Działania na zbiorach i własności prawdopodobieństwa A B A B A B P(A B) P(A) P(B) Diagramy Venna A A \ B A B B B \ A AB Uwagi: W praktyce prawdopodobieństwo często ustalamy jako częstość/proporcję grupy posiadającą interesującą nas własność. Przykład: Na 45-ciu studentów, 15-tu dostało 5.0 z egzaminu. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losując studenta z tej grupy trafimy na takiego, który dostał 5.0 z egzaminu? Prawdopodobieństwo klasyczne Założenie wszystkie możliwe (elementarne) wyniki eksperymentu są jednakowo prawdopodobne (tu: prawdopodobieństwo wylosowania każdego studenta jest takie samo). N liczba możliwych wyników eksperymentu (tu N=?) x liczba tych wyników, które spełniają/sprzyjają zdarzeniu E (tu E= Dostał/a 5.0 z egzaminu, x=?) P(E)=x/N (tu P(E)=?) 1
2 Interpretacja częstościowa prawdopodobieństwa Gdy liczba niezależnych powtórzeń eksperymentu dąży do nieskończoności, to względna częstość występowania zdarzenia E dąży do P(E). Jest to tzw. prawo wielkich liczb. Przykłady zdarzeń E = wyrzucenie orła w rzucie symetryczną monetą : P(E) = E = wyrzucenie 4 w rzucie symetryczną kostką : P(E) = E = otrzymam 1 lub 6 w rzucie kostką : P(E) = Przykład: Ania i Basia rzucają monetą. E = obie dostaną orła. P(E) = Uzasadnienie: A dostanie i B dostanie A dostanie i B dostanie A dostanie i B dostanie A dostanie i B dostanie Te cztery zdarzenia są jednakowo prawdopodobne (P(E)=P()=P()=P()=P()=? ) Prawdopodobieństwo, że dostaniemy dokładnie jednego orła (Ania albo Basia) = Przykład: Krzyżówka dwóch heterozygot Genotyp obu rodziców : Aa Dzieci: P(AA) = (?) Pr(Aa albo aa) = (?) P(aa) = (?) Jeżeli liczba dzieci będzie bardzo duża, to frakcja heterozygot będzie bliska (?) Przypomnienie: frakcja w próbie aproksymuje frakcję w populacji. Niezależność 0.5 Zdarzenie P-stwo Definicja: Zdarzenia A i B są niezależne, gdy 0.5 P ( A B ) P ( A) P ( B ) 0.5 Przykład: Dwa rzuty monetą. A=otrzymano orła w pierwszym rzucie B=otrzymano orła w drugim rzucie P(A i B) =
3 Prawdopodobieństwo warunkowe P(A B) prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie B. Definicja matematyczna: P ( A B ) P ( A B ) P ( A B ) P ( B ) P ( B ) P ( A B ) Przykład: Przypuśćmy, że 2% populacji zarażone jest wirusem HIV, a test do wykrywania obecności wirusa HIV ma następujące własności: Jeżeli się ma HIV, to prawdopodobieństwo jego wykrycia wynosi (prawdziwy dodatni wynik testu, czułość). Gdy się nie ma HIV, to prawdopodobieństwo właściwej diagnozy wynosi (prawdziwy ujemny wynik testu, specyficzność). Zdarzenie P-stwo Zdarzenia (oznaczenia): Test + Prawdziwy + A wybrany losowo człowiek jest chory B test wykazuje obecność wirusa P(A)= P(B A)= A - wybrany losowo człowiek jest zdrowy B -test nie wykazuje obecności wirusa P(B A )= HIV + HIV Test - Test + Test - Fałszywy - Fałszywy + Prawdziwy - Jakie jest p-stwo, że u losowo wybranej osoby test wykaże obecność wirusa? Jakie jest p-stwo, że osoba, u której test wskazał obecność wirusa, jest faktycznie zakażona? 3
4 Wzór Bayesa Wpływ rozkładu a priori: P ( A B ) P ( B A) P ( A) P ( B ) Załóżmy teraz, że w pewnej populacji: 30% ludzi ma HIV, test do wykrywania HIV ma czułość 99.7% i specyficzność 98.5% (jak przedtem). Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba z dodatnim wynikiem testu ma HIV? Zdarzenie P-stwo Test + Prawdziwy + P-stwo, że osoba z dodatnim wynikiem testu jest (faktycznie) chora wynosi: HIV + Test - Fałszywy - P ( HIV test ) P ( HIV oraz test ) P ( test ) Test + Fałszywy + HIV Test - Prawdziwy - Zmienna (tzw.) losowa: Zmienna losowa dyskretna Wartość zależna od wyniku eksperymentu. Przykład: Liczba orłów uzyskanych w jednym rzucie monetą. Zbiór wartości, które może przyjąć zmienna losowa dyskretna jest skończony lub przeliczalny. Możliwe wartości będziemy oznaczali x 1,x 2, ozkład zmiennej dyskretnej X określamy podając prawdopodobieństwa p i =P(X=x i ). Np. w rzucie symetryczną kostką liczba oczek X ma rozkład P(X=i)=, i=1,
5 Ciągła zmienna losowa Prawdopodobieństwo przyjęcia każdej ustalonej wartości wynosi zero, np. P(X= )=0 Zmienne losowe ciągłe rozważane na tym kursie będą zawsze opisane funkcją gęstości f(x). Dystrybuanta zmiennej X: Dla liczby definiujemy F X x) Własności: F X (x) jest funkcją niemalejącą, ciągłą z prawej strony, oraz lim lim x x x ( P( X x) F( x) F( x) Funkcje gęstość rozkładu prawdopodobieństwa Heurystyka: histogram z dużą liczbą klas: Jeżeli mamy liczbowe dane ciągłe, to więcej klas + dużo danych = bardziej regularny histogram Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa Gdy rozmiar próby dąży do nieskończoności a szerokość klas do zera, histogram zbiega do wykresu gęstości rozkładu zmiennej. Podobnie jak dla histogramu, pole pod wykresem gęstości (całka) jest frakcją osobników wpadających do danego przedziału (czyli prawdopodobieństwem tego, że losowo wybrany osobnik jest w danym przedziale). 5
6 Gęstość (funkcja gęstości) Gęstość, f, rozkładu prawdopodobieństwa to każda funkcja, która spełnia następujące dwa warunki: f(x) 0 dla wszystkich x. Całkowite pole pod wykresem f(x) wynosi 1: f ( x) dx 1 Przykłady rozkładów ciągłych ozkład jednostajny na odcinku [a,b] f(x)= ozkład wykładniczy z parametrem λ>0 f(x)= ozkład normalny, f(x)= ozkład zaproponowany przez salę: f(x)= ozkłady (ciągłe): podstawowa zależność Narysuj dystrybuantę dyskretnej zmiennej losowej X takiej, że P(X=0)=1/3 oraz P(X=1)=2/3. ozkłady (absolutnie) ciągłe dane są przez: P ( X ( a, b)) f ( x) dx Niech Y ma rozkład jednostajny na odcinku [0,1]. P(Y>0.3)=? P(Y<0.3)=? P(Y=0.3)=? b a Narysuj dystrybuantę rozkładu jednostajnego na odcinku [a,b]. Wartość oczekiwana i wariancja (wzory). Zmienna losowa dyskretna x :=E(X)= x i P(X= x i )=x i p i Var(X)= (x i - x ) 2 P(X= x i ) = x i2 p i - x 2 Przykład 1 (rzut monetą, X=1, gdy orzeł, X=0, gdy reszka) E(X)= Var(X)= Przykład 2 (X=wynik rzutu kostką) E(X)= Var(X)= 6
7 ozkład dwupunktowy z parametrem P(Y=1)=p, P(Y=0)=1-p. blicz: EY= VarY= 0p1 EX Var(X) Wartość oczekiwana i wariancja, cd. Zmienna losowa ciągła x f(x) dx - 2 (x - EX) f(x) dx 2 2 x f(x)dx (EX) Wartość oczekiwana jest środkiem ciężkości figury określonej przez krzywą gęstości. Przykład: rozkład jednostajny na [a,b]. Przykład: rozkład wykładniczy z paramerem λ>0: Własności wartości oczekiwanej i wariancji E(aX+b)=aEX+b Var(aX+b)=a 2 Var(X) 7
8 Dla dwóch zmiennych losowych X i Y: E(X+Y)=EX+EY E(X-Y)=EX-EY E(aX+bY+c)= Niezależność zmiennych losowych: Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to P( X A, Y B) P( X A) P( Y B) Przykład1: Wybieramy (losowo) liczbę dwucyfrową; X:=liczba dziesiątek, Y:=liczba jedności, A={1, 2}, B={3, 4, 5}. Niezależność zmiennych losowych, cd. Przykład 2: Wybieramy (losowo) liczbę z zakresu 12,...,101; X:=cyfra dziesiątek, Y:=cyfra jedności, A={1, 2}, B={3, 4, 5}. Jeżeli X i Y są niezależne, to E(XY)=E(X) E(Y) i Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Przykład 3: Liczby oczek, X, Y, w dwóch kolejnych rzutach kostką. Ćwiczenia: X i Y niezależne, to Var(X-Y)= Schemat Bernoulliego i rozkład dwumianowy Anita, Beata i Celina rzucają monetą i uzyskują łączną liczbę orłów Y. Podaj rozkład zmiennej Y Var(X+X)= A B C P-stwo Zdarzenie 3 (0) 2 (1) 1 (2) 0 (3) P-stwo 8
9 Histogram rozkładu w populacji. Populacja = wszystkie rzuty trzema monetami Pr(Y=y) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ozkład dwumianowy (n=3,p=0.5) y Schemat Bernoulliego: n niezależnych powtórzeń tego samego eksperymentu dwa możliwe wyniki w każdej próbie - ``sukces i ``porażka (np. i, albo 1 i 0) w każdej próbie p-stwo sukcesu wynosi p ozkład dwumianowy: Y = łączna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego Przykłady: liczba orłów na 5 rzutów, liczba wyzdrowień wśród 10 pacjentów poddanych pewnej kuracji ozkład dwumianowy (wzór): P( Y n y) p y n gdzie y y 0,1,..., n y (1 p) n!, y!( n y)! n y, Niektóre własności symbolu Newtona Liczba możliwych ciągów y sukcesów i n-y porażek n n = = 0 n n n = = 1 n 1 gólnie n n y n y n y 3 0 W przykładzie A, B, C mamy p=1/2; P( Y 0) 3 1 P( Y 1) 3 2 P( Y 2) Uwaga: ozkład dwumianowy jest symetryczny dla p=1/ P( Y 3) Przykład: Efekt uboczny lekarstwa 20% ludzi dostaje nudności po zażyciu pewnego lekarstwa Lekarz przepisał lekarstwo czterem nowym pacjentom Y liczba pacjentów w naszej próbie, którzy dostali nudności Podaj rozkład zmiennej Y 9
10 ozwiązanie: Dalsze pytania: P(co najmniej dwóch dostanie nudności) = P(co najwyżej jeden dostanie nudności) = Parametry rozkładu dwumianowego: EY = np Przykład: Jeden na ośmiu dorosłych mężczyzn ma podniesiony poziom cholesterolu. Losowo wybieramy 10 mężczyzn z populacji. Jakie jest p-stwo, że (dokładnie) 2 spośród nich ma podniesiony poziom cholesterolu? Var Y=np(1-p) Jakie jest p-stwo, że co najmniej jeden z nich ma podniesiony poziom cholesterolu? Ilu średnio mężczyzn na dziesięciu ma podwyższony poziom cholesterolu? ozkład normalny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we krwi 10
11 Funkcja gęstości: Y ~ N(,) - wartość oczekiwana, - odchylenie standardowe f 1 ( y) e 2 ( y ) Standardowy rozkład normalny: N(0,1) Parametry: =0,=1 Do oznaczenia zmiennej losowej o rozkładzie N(0,1) będziemy używali litery Z Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1): Φ(0)= (?) Φ(z)=P(Z < z). Tablica dystrybuanty Φ(z) (z Introduction to the Practice of Statistics, Moore, McCabe) Korzystanie z Tablic P(Z < 0.95) = P(Z <= 0.95) = P(Z > 0.75) = P(Z < - 1.5)= P(1.12 < Z < 2.24)= P(Z>1.96)= Pożyteczne wzory: Φ(-z) = P(Z > z) = P(z 1 < Z < z 2 ) = Ćwiczenie: Pr( Z > 1.96) = 11
12 Dowolny rozkład normalny: N(, ) Standaryzacja: Załóżmy, że poziom cholesterolu w pewnej populacji ma rozkład normalny o średniej = 220 i odchyleniu std. = 40. Y ma rozkład N(220, 40) Jaka część populacji ma poziom cholesterolu powyżej 240? Y ~ N(,) (Y-)/ ma rozkład normalny! znaczmy Z= (Y-)/. Mamy: EZ= Var(Z)= Zatem Z~ N(0,1)! Przykład cd. P (Y > 240)=... tj. P(Y>y), gdzie y=240. znaczamy z = (y-)/ = ( )/40 = 0.5. P(Y > 240) = P(Z > 0.5)= Jakie jest p-stwo, że u losowo wybranej osoby cholesterol będzie pomiędzy 200 a 260? blicz P(Y < 170) y1 = 200; z1 = ( )/40 = -0.5; y2 = 260; z2 = ( )/40 = 1.0; P(200 < Y < 260) = P(-0.5 < Z < 1.0) = 12
13 eguła 68% 95% 99.7% (reguła 3 ) Jeżeli zmienna X ma rozkład normalny, to P(-<X<+)= P(-2<X<+2)= P(-3<X<+3)= Kwantyle Kwantyle rozkładu N(0,1) W jakim punkcie y dystrybuanta osiąga zadaną wartość p? Przykłady: Mediana to kwantyl rzędu 50%. Trzeci kwartyl to kwantyl rzędu 75%. z 0.1 = z 0.9 = Kwantyle Y~N(μ, σ) y p = μ+σz p Znajdź trzeci kwartyl rozkładu poziomu cholesterolu. Znajdź kwantyl rzędu 0.1 dla rozkładu poziomu cholesterolu. 13
14 cena normalności Znaczna część procedur statystycznych, które poznamy w dalszej części kursu wymaga założenia, że próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym. Założenie to można sprawdzać to przez pewne proste (orientacyjne) obliczenia lub rysując wykres kwantyl-kwantyl... eguła 3 Policzmy procent obserwacji, które znajdują się w odległości 1s, 2s and 3s od y. Przykład: poziomy serum CK n = 36, y = i s = /36 = 72% obserwacji jest w przedziale y 1s 34/36 = 94% obserwacji jest w przedziale y 2s 36/36 = 100% obserwacji jest w przedziale y 3s To w przybliżeniu odpowiada wartościom dla rozkładu normalnego. K. Wykres kwantyl-kwantyl (QQ plot) Data : a Quantiles of Standard Normal 14
Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe
Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoDiagramy Venna. Uwagi:
Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoW ykład 4: Z m ienna losow a. Ciągła zmienna losowa. Zmienna losowa dyskretna. Dystrybuanta zmiennej X:
W ykład 4: Z m ienna losow a Wartość zależna od wyniku eksperymentu. Przykład: Liczba orłów uzyskanych w jednym rzucie monetą. Zmienna losowa dyskretna Zbiór wartości, które może przyjąć zmienna losowa
Bardziej szczegółowoR ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych
R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we
Bardziej szczegółowoWykład 2. Wpływ stałej (odejmujemy 20) Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd. Liniowa transformacja zmiennych, cd.
Wykład 2 Wpływ przekształceń Co się stanie ze średnią i odchyleniem standardowym gdy zmienimy jednostki? stopnie Celsiusza stopnie Fahrenheita dolary 1,000 dolarów wartość faktyczna odległość od minimum
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz
Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoZ poprzedniego wykładu
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoLista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (Fizyka i Optyka) Lista zadań Marek Klonowski Wrocław 2015/16 Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? 2. Ile jest ciągów bitowych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoSieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1
Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1 Plan laboratoriów Teoria zdarzeń dyskretnych Modelowanie zdarzeń dyskretnych Symulacja zdarzeń dyskretnych Problem rozmieszczenia stacji raportujących i nieraportujących
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Zmienna losowa i jej rozkład ZMIENNA LOSOWA Funkcja X przyporządkowująca każdemu zdarzeniu elementarnemu jedną i tylko jedną liczbę x. zmienna losowa skokowa skończona
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoWykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym
Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wrocław, 05 kwietnia 2017 Rozkład normalny Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą z populacji o rozkładzie normalnym określonym przez dystrybuantę
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa- cd.
12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowo