TRÓJWYMIAROWY MODEL ZJAWISK TERMICZNYCH DETERMINOWANYCH ŹRÓDŁEM RUCHOMYM

Transkrypt

1 7/4 Archives of Foundry, Year 00, Volume, 4 Archiwum Odlewnictwa, Rok 00, Rocznik, Nr 4 PAN Katowice PL ISSN TRÓJWYMIAROWY MODEL ZJAWISK TERMICZNYCH DETERMINOWANYCH ŹRÓDŁEM RUCHOMYM A. BOKOTA 1, A. KULAWIK Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukci Maszyn, Politechnika Częstochowska, 4-01 Częstochowa, ul. Dąbrowskiego 73 STRESZCZENIE Opracowano model numeryczny pól temperatury w procesie obróbki termiczne punktowym źródłem ciepła. Równanie przewodnictwa z członem konwekcynym rozwiązano metodą elementów skończonych w sformułowaniu Petrova-Galerkina (zadanie 3D). Rozróżniono dwa sposoby obciążenia termicznego źródłem o rozkładzie Gaussowskim: ako powierzchniowe zewnętrzne oraz przypowierzchniowe źródło wewnętrzne. Uwzględniono możliwość topienia i krzepnięcia materiału. Wykonano symulace numeryczne pól temperatury w procesie nagrzewania elementu ruchomym powierzchniowym oraz przypowierzchniowym źródłem ciepła. Key words: thermal loads, source of point, numerical simulation 1. WSTĘP Informace o zawiskach cieplnych w procesie obróbki termiczne (hartowanie) maą istotne znaczenie, gdyż akość te obróbki est ściśle związana z polem i gradientami temperatury. W wielu przypadkach nagrzewanie przeprowadza się ruchomym punktowym źródłem ciepła. Utrudnia to modelowanie numeryczne zawisk termicznych, gdyż równanie przewodnictwa zawiera człon konwekcyny. Rozwiązanie takiego równania metodą elementów skończonych w sformułowaniu Bubnowa Galerkina est możliwe przy odpowiednie dyskretyzaci rozważanego obszaru. Przy braku spełnienia warunków odnośnie dyskretyzaci nie uzyskue się rozwiązania. Maąc powyższe na uwadze opracowano trówymiarowy model numeryczny do szacowania pól temperatury oparty na rozwiązywaniu równania przewodnictwa z członem 1 dr hab. inż. prof. P.Cz. bokota@imipkm.pcz.czest.pl mgr inż. kulawik@imipkm.pcz.czest.pl

2 75 konwekcynym metodą elementów skończonych w sformułowaniu Petrova-Galerkina [1-5,9,10]. W przedziale pomiędzy temperaturami solidusu i likwidusu zastosowano ednoobszarowy model krzepnięcia, a efektywną poemność cieplną szacue się poprzez podstawienie Lemmona [6]. Punktowe źródło ciepła można modelować na dwa sposoby. Pierwszy z nich to wykorzystanie warunku Neumanna, czyli przyęcie źródła ciepła ako powierzchniowego strumienia o odpowiednim rozkładzie (hartowanie). Drugim sposobem est modelowanie obciążenia termicznego źródłem obętościowym zadanym w warstwach przypowierzchniowych elementu nagrzewanego (spawanie). W pracy przeprowadzono symulace pól temperatury w procesie nagrzewania elementu prostopadłościennego ruchomym powierzchniowym i przypowierzchniowym źródłem ciepła o rozkładzie Gaussowskim. Uwzględniono zawisko topienia i krzepnięcia materiału w obszarze działania źródła.. MODEL MATEMATYCZNY I NUMERYCZNY Równanie różniczkowe opisuące nieustalony przepływ ciepła w obszarze przyęto w postaci (współrzędne Eulera): Θ λ (.1) t ( Θ) Cef Cef Θ V = qv gdzie: Θ = Θ ( x, t) temperatura, λ( Θ ) C właściwą poemnością cieplną, V( x,t) ef obętościowe źródło ciepła, x λ = est współczynnikiem przewodzenia ciepła, V = wektor prędkości, współrzędne przestrzenne. ( x t) qv = qv, Równanie (.1) uzupełnia się warunkami brzegowymi: Dirichleta ( Θ = Θ ), Neumanna ( q ) q = bądź Newtona-Robina ( = ( Θ Θ )) q [7,10]. Zadanie rozwiązano metodą elementów skończonych w sformułowaniu Petrova- W x, t = W ( w x ϖ t ) ako funkce wagowe, a temperatura i Φ x, t Φ( φ x, ω t ), tzn.: Galerkina. Przyęto ( ) ( ) ( ) prędkość w elementach są aproksymowane funkcami ( ) ( ) ( ) = Θ φ Θ( x, t) = Θ () t φ ( x ), = Θ, V ( xβ, t) = V () t φ ( xβ ) (.) x x W elemencie z interpolacą tróliniową funkce aproksymacyne otrzymue się z φ x = φ x φ x φ [4,6,10]. We przemnożenia funkci liniowych, tzn.: ( ) x ( 1) y ( ) z ( x3 ) współrzędnych znormalizowanych { ξ, η, ζ },, η, ζ [ 1,1 ] do kolenego węzła, maą postać: ξ funkce te, z przypisaniem

3 76 φ ( ξ, η, ζ ) = φ ( ξ) φ ( η) φ ( ζ ) = 0.15(1 + ξ ξ)(1 + η η)(1 ζ ζ ) + (.3) gdzie ξ, η, ζ wynoszą odpowiednio 1 lub 1. Dla takich elementów funkce wagowe są kombinacą funkci interpolacynych i przesuwaących punkty całkowania (upwind function): i ( )( φ ( η) + w ( η) )( φ ( ζ ) w ( ζ )) ( ξ η, ζ ) φ ( ξ ) + w ( ξ ) w = + (.4), i i i i i i ( ) ( ) ( ) gdzie wi ξ, wi η, wi ζ są członami modyfikuącymi [1,6,10] Wykorzystuąc metodę reszt ważonych do równania (.1) otrzymano słabą formę równania (.1): λ Θ wd + V q wd ΓQ C ef q wdγ Θ wd + t Γ N C ef ( Θ Θ ) Θ Vwd = wdγ (.5) Przy czym całkę po brzegu Γ zastąpiono sumą całek po Γ Q i Γ NR. Po podstawieniu (.) do (.5), przyęciu odpowiednich oznaczeń całek oraz dokonaniu całkowania po czasie równania (.5) otrzymano układ równań liniowych: NR ( s+ 1) NR ( γ ( Ki + Bi ) + M i ) Θ = ( M i ( 1 γ )( Ki + Bi ) NR ( s+ 1) Q ( s+ 1) V ( s+ 1) + γ ( Bi Θ Bi q + Qiq ) + NR ( s) Q ( s) V ( s) + ( 1 γ )( B Θ B q + Q q ) i i i Θ ( s) + (.6) gdzie: γ est parametrem zależnym od schematu całkowania po czasie, indeksy s i s+1 oznaczaą czas t i t + t odpowiednio. Efektywną poemność cieplną w procesie topienia lub krzepnięcia materiału wyznacza się wykorzystuąc podstawienie Lemmona [6] C ef ( ) ( ) dh grad H = (.7) dθ grad Θ gdzie H = H ( Θ ) est znaną funkcą entalpii w przedziale rozważanych temperatur.

4 77 3. PRZYKŁAD NUMERYCZNY Przeprowadzono symulacę procesu nagrzewania punktowym źródłem ciepła elementu stalowego w kształcie prostopadłościanu o wymiarach m. Źródło ciepła modelowano rozkładem Gaussowskim [8]: q Q x + y ( x, y) = exp πa a (3.8) gdzie: x, y, Q est mocą źródła, a est promieniem, dla którego rozkład źródła wynosi 1/e wartości szczytowe. Założono, że stałe termofizyczne λ, ρ, c zależne są od temperatury i dotyczą stali niskowęglowe, a prędkość przesuwania źródła była stała V x = 0.0 m/s Temperatura [K] Temperatura [K] Rys Rozkład temperatury na powierzchni górne w płaszczyźnie działania źródła 1.5 kw, 1) topienie i krzepnięcie Fig Distribution of temperature on the upper surface in the source influence place of 1.5 kw, 1) melting and solidification Rys. 3.. Rozkład temperatury na powierzchni górne w płaszczyźnie działania działania źródła 6 kw, 1) topienie i krzepnięcie Fig. 3.. Distribution of temperature on the upper surface in the source influence place of 6 kw, 1) melting and solidification Obliczenia przeprowadzono przymuąc krok czasu t=0.01 s. Założono, że wartość szczytowa źródła wyniosła Q=1500 [W] dla powierzchniowego oraz 6000 [W] dla przypowierzchniowego źródła działaącego do głębokości m., promień wynosił a = m. Siatkę elementów skończonych w otoczeniu działania źródła zagęszczono w celu dokładniesze aproksymaci rozkładu Gaussowskiego. Wyniki

5 78 obliczeń po ustaleniu się procesu nagrzewania (t=14 s), przedstawiono na kolenych rysunkach Z [m] Rys Izolinie temperatury w przekrou poprzecznym pod źródłem 1.5 kw Fig Temperature isoline at the cross section under the source of 1.5 kw Z [m] Rys Izolinie temperatury w przekrou poprzecznym pod źródłem 6 kw Fig Temperature isoline at the cross section under the source of 6 kw Rys Izolinie temperatury w przekrou wzdłużnym działania źródła 1.5 kw Fig Temperature isoline along section source layer of 1.5 kw Rys Izolinie temperatury w przekrou wzdłużnym działania źródła 6 kw Fig Temperature isoline along section source layer of 6 kw

6 79 LITERATURA [1] BokotaA., IskierkaS.: Finite Elements in Analysis and Design, Vol 17,(1994) 89. [] Cardle J.A., A Modifiacation of the Petrov-Galerkin method for the transient convection-diffusion equation, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 38, (1995). [3] Donea J., Recent advances in computational methods for steady and transient transport problems, Nuclear Engineering and Design, vol. 80, (1984). [4] Heinrich J.C., Hayakorn P.S., Zienkiewicz O.C., Mitchell A.R., An Upwind fini te element scheme for twodimensional convective transport equation, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol.11, (1977). [5] Kulawik A., Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych z członami konwekcynymi, Praca dyplomowa, Częstochowa 000. [6] Lemmon E.C., Multidimensional integral phase change approximations for finite element conduction codes, Nimerical Methods in Heat Transfer, ed. R.W. Lewis, K. Morgan, O.C. Zienkiewicz, John Wiley & Sons Ltd 1981, [7] Machrzak E., Mochnacki B., Metody numeryczne, podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy, Gliwice [8] Mochnacki B., Nowak A., Pocica A., Numerical model of superficial layer heat treatment using the TIG method, Polska metalurgia w latach , t., Komitet Metalurgii PAN, WN AKAPIT Kraków 00, [9] Marchouk G., Agochkov V., Introduction aux methodes des elements finis, Mir Moscou [10] Wait R., Mitchell A.R., Finite Element Analysis and Applications, John Wiley & Sons, Chichester, Praca finansowa przez KBN SUMMARY THE 3D MODEL OF THERMAL PHENOMENA DETERMINED BY A MOVING HEAT SOURCE In this paper a tree-dimensional numerical model of temperature fields in heat treatment process with punctual heat source are presented. The solution of heat conductivity equation with the convection term using the finite elements method are described. Petrov-Galerki scheme was adapted. Two ways of thermal loading of punctual heat source with Gaussian distribution as superficial external and at superficial internal are considered. Solidification and melting of the material in the heat source radius are included. Example of numerical simulations of temperature fields in heat process using moving superficial and at superficial punctual heat source are realised. Recenzowała Prof. Ewa Machrzak