MODELOWANIE NUMERYCZNE POWSTAWANIA NAPRĘŻEŃ W KRZEPNĄCYCH ODLEWACH

Transkrypt

1 9/38 Solidification of Metals and Alloys, No. 38, 1998 Krzepnięcie Metali i Stopów, nr 38, 1998 PAN Katowice PL ISSN MODELOWANIE NUMERYCZNE POWSTAWANIA NAPRĘŻEŃ W KRZEPNĄCYCH ODLEWACH SCZYGIOL Norbert Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska Częstochowa, ul. Dąbrowskiego 73, Polska STRESZCZENIE Praca dotyczy modelowania numerycznego powstawania naprężeń w krzepnących odlewach. Model numeryczny wyznaczania naprężeń obejmuje zakres termo-sprężystoplastyczny. Ponadto uwzględnia on wpływ przejścia metalu z fazy ciekłej w fazę stałą na stan naprężenia odlewu. Szczególną uwagę zwrócono na oddziaływania termomechaniczne między odlewem i formą. Model numeryczny pozwala zarówno na uwzględnienie oporów formy odlewniczej, jak i na powstawanie szczeliny skurczowej. Do obliczania naprężeń zastosowano metodę elementów skończonych. Na podstawie opracowanego modelu numerycznego wykonano przykładową symulację komputerową. 1. WPROWADZENIE Opory jakie formy odlewnicze stawiają kurczącym się odlewom podczas ich krzepnięcia i stygnięcia oraz niejednakowe gradienty temperatury są przyczyną powstawania naprężeń w odlewach. W stadium krzepnięcia o powstawaniu naprężeń decyduje stopień zakrzepnięcia (udział fazy stałej) poszczególnych fragmentów odlewów. Naprężenia pojawiają się z chwilą utworzenia się spójnego szkieletu fazy stałej. W numerycznej analizie stanów naprężeń w krzepnących odlewach zakłada się zatem, że w podobszarach odlewów, które nie są jeszcze w pełni zakrzepłe powstają już naprężenia, wymaga się jednak, aby wartość udziału fazy stałej w tych podobszarach osiągnęła pewną graniczną wartość (np. 0,8). W niniejszej pracy do analizy stanów naprężeń w odlewach zastosowano metodę elementów skończonych. Pola temperatury i rozkłady udziałów fazy stałej otrzymano za pomocą własnych programów komputerowych, których podstawy teoretyczne opisane są w pracach [1, 2]. W realizacji numerycznej opracowanego modelu, tzn. wykonanym programie komputerowym, szczególnie duży nacisk położono na efektywność przeprowadzania obliczeń.

2 62 2. MODEL WYZNACZANIA NAPRĘŻEŃ W ODLEWACH Odkształcenia powstające w krzepnących i stygnąc ych odlewach moż na zdefiniować jako sumę odkształceń sprężystych ( ε el ), plastycznych ( ε pl ), lepkich ( ε cp ), cieplnych (ε th ) i spowodowanym przejściem metalu ze stanu ciekłego w stan stały ( ε tr ) [3, 4]. Zakładając, że materiał odlewu jest izotropowy, zachodzi w nim umocnienie izotropowe oraz można dla niego stosować liniową teorię przyrostową, dalsze rozważania można ograniczyć jedynie do przyrostów części dewiatorowych odkształceń el pl cp deij = deij + deij + deij. (1) W proponowanym tutaj modelu przyjmuje się, że uplastycznienie materiału odlewu następuje, gdy spełnione jest kryterium H-M-H (Hubera-Misesa-Hencky ego), które można zapisać następująco [3, 5] pl ( ) f = 2 sijsij k eij, T = 0, (2) 1 2 gdzie f jest funkcją obciążenia, s pl uplastyczniającym dla czystego ścinania, e ij ij jest dewiatorem naprężenia, k jest naprężeniem jest skumulowanym odkształceniem plastycznym i T jest temperaturą. Indeksy dolne i, j przyjmują wartości 1,2,3 i odpowiadają kierunkom x, y, z kartezjańskiego układu współrzędnych. Przyrost odkształceń plastycznych związany jest z funkcją obciążenia poprzez tzw. stowarzyszone prawo płynięcia de pl ij f = dλ s ij, (3) w którym λ jest pewną wielkością skalarną. W modelu przyjęto, że naprężenie uplastyczniające dla czystego ścinania jest funkcją skumulowanego zastępczego odkształcenia plastycznego ( ε pl ) i temperatury [3]. Uwzględniając ponadto kryterium H-M-H można napisać, że p ( ε ) ( ) k = k k T = 0 1 Y 3, (4) gdzie Y jest granicą plastyczności dla jednoosiowego rozciągania. 3. REALIZACJA NUMERYCZNA OBLICZANIA NAPRĘŻEŃ

3 63 Do obliczania naprężeń, w oparciu o przedstawiony powyżej model, zastosowano metodę elementów skończonych. Program komputerowy napisano z zastosowaniem techniki obiektowej [6]. Do obliczania naprężeń wykorzystuje się wyznaczone wcześniej pola temperatury i kinetyki krzepnięcia. Przyjęto, że naprężenia w odlewie powstają, gdy udział fazy stałej, obliczany w węźle elementu skończonego, przekroczy pewną wartość graniczną. Oddziaływania mechaniczne między krzepnącym odlewem i formą odlewniczą zachodzą dopiero po utworzeniu się wokół formy odlewniczej warstwy krzepnącej, w której wartość udziału fazy stałej jest większa od granicznej, lub zakrzepłej. Jeżeli w węźle elementu skończonego wartość udziału fazy stałej jest niższa od granicznej, to węzłowi nadawane są zerowe przemieszcze- się tak długo, jak długo pojawiają się nowe, nachodzące na sie- nia, natomiast nie jest on eliminowany z globalnego układu równań. W każdym kroku czasowym przyjmuje się, że brzegi odlewu i formy są ze sobą nie związane. Po otrzymaniu pierwszego rozwiązania sprawdza się, czy zachodzi nachodzenie obu obszarów na siebie. Jeżeli ma ono miejsce, to odpowiednie węzły brzegowe wiąże się ze sobą (poprzez odpowiednią modyfikację macierzy sztywności). Proces iteracyjny dla jednego kroku czasowego przeprowadza bie węzły brzegowe. Do rozwiązania układu równań zastosowano metodę iteracyjną, a mianowicie metodę gradientów sprzężonych. W celu przyspieszenia zbieżności rozwiązania zastosowano niepełny rozkład macierzy współczynników ILU ( 0 ) [7]. 4. PRZYKŁAD SYMULACJI NUMERYCZNEJ Przykładową symulację komputerową wyznaczania naprężeń przeprowadzono dla odlewu ze stopu Al - 4,5 % Cu, krzepnącego w formie metalowej. Temperatura początkowa odlewu wynosiła 960 K, natomiast formy 660 K. Ze względu na symetrię obliczenia przeprowadzono dla jednej czwartej rozważanego obszaru. Wymiary tego obszaru wynosiły mm. Podzielono go na trójkątnych elementów skończonych, otrzymując węzły. Krok czasowy wynosił 005, s Naprężenia obliczano na podstawie pól temperatury i kinetyki krzepnięcia wyznaczonych zgodnie z metodyką opisaną w pracy [2]. W pracy tej podano również wartości parametrów materiałowych zastosowanych w obliczeniach krzepnięcia. Obliczenia naprężeń przeprowadzono dla zakresu termosprężystego. W obliczeniach tych zastosowano natomiast następujące wartości parametrów materiałowych: dla form y - E = 29, Pa, 5 ν = 03, i α = 26, 10 1K oraz dla odlewu - E = 10 8 Pa, ν = 037, i α = 384, 10 1 K, gdzie E jest modułem Younga, ν jest liczbą Poissona i α jest współczynnikiem liniowej rozszerzalności cieplnej. Zarówno w obliczeniach krzepnięcia, jak i obliczeniach naprężeń stosowano tę samą siatkę elementów skończonych. W obliczeniach naprężeń na bokach pokrywających się z osiami symetrii założono warunki brzegowe Dirichleta, tzn. zerowe wartości przemieszczeń odpowiednio po kierunku pionowym i poziomym. Na pozostałych brzegach nie zadano żadnych warunków brzegowych Dla każdego kroku czasowego sprawdzano oddziaływania mechaniczne na styku odlewu z formą. Na rys. 1-3 oprócz odlewu pokazano także zarys formy odlewniczej. Na rys. 1 pokazane jest pole temperatury po 200 s od rozpoczęcia schładzania. Rozkład udziału fazy stałej dla 5

4 64 tego pola temperatury pokazany jest na rys. 2. W znacznym wewnętrznym obszarze odlewu udział fazy stałej nie przekroczył jeszcze wartości 0,8. W obszarze tym nie powstały także na- Rys. 1. Pole temperatury w odlewie po 200 s od rozpoczęcia schładzania Fig. 1. Temperature field in casting 200 s after cooling begin Rys. 2. Rozkład udziału fazy stałej po 200 s od rozpoczęcia schładzania Fig. 2. Solid phase fraction distribution 200 s after cooling begin prężenia (rys. 3). Maksymalna wartość naprężeń w odlewie, po 200 s od rozpoczęcia schładzania, wynosi 29, MPa. Dla czytelności prezentacji graficznej na rys. 3 pokazany jest jedynie dolny przedział wartości naprężeń. Dla tego czasu schładzania zachodziły jeszcze oddziaływania mechaniczne między odlewem i formą. Różnica w zmianach pól temperatury w cza-

5 65 sie oraz różnica w wartościach liniowych współczynników rozszerzalności cieplnej powodują, że na pewnym etapie schładzania dochodzi do utworzenia szczeliny skurczowej. Deformacja siatki elementów skończonych z utworzoną szczeliną skurczową, po 400 s od rozpoczęcia schładzania, jest pokazana na rys.4. Rys. 3. Rozkład naprężeń zredukowanych po 200 s od rozpoczęcia schładzania (dolny prze- 3. Effective stresses distribution 200 s after cooling begin (lower interval of stress dział wartości) Fig. values) Rys. 4. Deformacja siatki elementów skończonych po 400 s od rozpoczęcia schładzania (szczelina skurczowa) Fig. 4. Deformed finite element mesh 400 s after cooling begin (air gap between mould and casting) 5. UWAGI KOŃCOWE

6 66 Przedstawiony w pracy model numeryczny powstawania naprężeń w odlewie pozwala na wyznaczanie stanów naprężenia na dowolnym etapie krzepnięcia. Obliczenia przeprowadzane są w oparciu o wyniki wykonanej uprzednio symulacji numerycznej krzepnięcia. Założono, że w podobszarach odlewu, w których udział fazy stałej przekroczył wartość 0,8 powstają już naprężenia. Model ten umożliwia także ciągłą analizę położenia brzegów odlewem względem brzegów formy. Wzajemne przemieszczanie się tych brzegów prowadzi bądź do powstania oddziaływań mechanicznych, bądź do utworzenia się szczeliny skurczowej. LITERATURA [1] Sczygiol N., Równania krzepnięcia w ujęciu metody elementów skończonych. Krzepnięcie Metali i Stopów, 1997,30, [2] Sczygiol N., Modelowanie numeryczne krzepnięcia odlewów z uwzględnieniem tworzącej się mikrostruktury ziarnowej. Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 1998 (w druku). [3] Ray S.K., Utku S., A numerical model for the thermo-elasto-plastic behaviour of a material. Int. j. numer. methods eng. 28, 1989, [4] Bellet M. i in., Thermomechanics of the Cooling Stage in Casting Processes: Three- Dimensional Finite Element Analysis and Experimental Validation. Metall. Trans. B, 27B, 1996, [5] Reismann H., Pawlik P.S., Elasticity. Theory and applications. John Wiley & Sons, New York [6] Sczygiol N., Szwarc G., Olas T., Analiza obiektowa modelowania numerycznego powstawania naprężeń w krzepnących odlewach. Krzepnięcie Metali i Stopów, (w druku) [7] Barrett R., i in., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Blocks for Iterative Methods. Praca wykonana została w ramach grantu nr 8 T11F finansowanego przez KBN w latach NUMERICAL MODELLING OF STRESS FORMATION IN SOLIDIFYING CASTINGS This work concerns the numerical modelling of stress formation in solidifying castings. The numerical model of stress determination is valid for thermoelastoplastic material behaviour. Moreover, this model regards the influence of the relative volume change due to the liquid-solid transformation on the stress state in casting. Special attention was paid to thermomechanical interaction between the casting and the mould. The numerical model enables the calculation either the thermomechanical interaction or the air gap formation. Example simulation is presented. The finite element method was used to perform the calculations.