Wykład 21: Studnie i bariery

Transkrypt

1 Wykład 1: Studnie i bariery Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@agh.edu.pl

2 Równanie Schrödingera - przypomnienie Równanie Schrödingera niezależne od czasu energia potencjalna V(x) jest stała w czasie lub dla cząsteczki swobodnej d m ( x) + V ( x) ( x) E ( x) dx me me i x i x ( x) Ae + Be Biorąc rozwiązanie + : ψ x A cos to również ψ x Ae i me ħ x + isin me ħ x skoro me ħ x ψ x A coskx + isinkx Wydział Informatyki, Elektroniki i lub inaczej skoro ( x ) A(cos kx + isin kx) me p k

3 Nieskończona studnia potencjału Nieskończenie duży potencjał na krawędziach studni nie pozwala elektronom opuścić obszaru 0<x<L; w tym obszarze elektron jest swobodny. (x)0 na zewnątrz studni, gęstość prawdopodobieństwa znalezienia V(x) V(x)0 elektronu wynosi zero x0 xl Potencjał wynosi zero wewnątrz i zmierza do nieskończoności na zewnątrz studni Wydział Informatyki, Elektroniki i x Warunki brzegowe: ( 0) ( L) 0 W obszarze wewnątrz studni, tj. dla 0<x<L, niezależne od czasu równanie Schrödingera ma postać: ( x) E ( x) Fizyka II dla Elektroniki, lato 01 3 d m dx 3

4 Proponowane rozwiązanie wygodniejsze w przypadku ruchu ograniczonego: ( x ) Asin( kx) + B cos( kx) Stosując warunek brzegowy: dla x0, 0 A0 + B cos(0) 0 B 0 pozostaje ( x ) Asin( kx) po podstawieniu do równania będzie to rozwiązaniem gdy: E k m Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

5 Stosując warunki brzegowe: dla xl, 0 dyskretne poziomy energetyczne Stąd: sin( kl) 0 kl n k n L dla n 1,, Energia elektronu przyjmuje tylko wartości dyskretne Energia jest skwantowana Najniższa wartość energii E 1 (stan podstawowy dla n1), energia drgań zerowych E 1 ml Wydział Informatyki, Elektroniki i 5

6 Energy Energia drgań zerowych jest to najniższa energia całkowita jaką może mieć cząstka ograniczona w swoim ruchu do obszaru: 0<x<L Cząstka ta nie może mieć energii równej zero, E 0. Jest to wynikiem obowiązywania zasady nieoznaczoności Heisenberga: x L Dla zgodnie z zasadą Heisenberga otrzymujemy p x L Cząstka związana w studni nieskończonej nie może mieć E 0 bo oznaczałoby to p 0 a zatem p 0 Tymczasem, najmniejsza wartość pędu dla n1 wynosi 40 studnia nieskończona p 1 me 1 m ml L k Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

7 Nieskończona studnia potencjału c.d. Rozwiązania równania Schrödingera n n( x) Asin( x) L odpowiadają falom stojącym z różną liczbą n węzłów wewnątrz studni Amplituda A jest obliczana z normalizacji funkcji falowej A L Funkcje własne n (x) dla nieskończonej studni Dozwolone mody drgań dla klasycznej struny z węzłami na końcach Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

8 Zastosowanie równania Schrödingera dla bariery potencjału Cząsteczka o masie m i energii E porusza się w kierunku dodatnim osi X, napotykając w x 0 potencjał schodkowy o wysokości V 0 jak na rysunku. Przyjąć E < V 0. Z równań klasycznych wynika że: energia cząsteczki E E p k + E p E + dla x < 0 I E V(x)0 V(x) V(x)V 0 V ( x) m p p E + V ( x) V ( x) V0 0 m m cząsteczka nie może wejść w obszar x > 0!! II x Wydział Informatyki, Elektroniki i 8

9 równanie Schrödingera dla obszaru I: x 0 d ( x) m dx E ( x) jak dla cząsteczki swobodnej Rozwiązaniem ogólnym jest funkcja własna fala bieżąca: I ik x ik 1 1 ( x) Ae + Be fala bieżąca w kierunku + osi X x fala odbita w kierunku - osi X Funkcja falowa odpowiadająca funkcji własnej: gdzie k 1 obliczamy podstawiając rozwiązanie do równania dla obszaru I: k 1 me ( x, t) Ae ik 1 x e Et i + Be ik x 1 e Et i Ae i k 1 Et x + Be i k 1 Et x Wydział Informatyki, Elektroniki i 9

10 równanie Schrödingera dla obszaru II: d ( x) x > 0 + V0 ( x) E ( x) m dx Rozwiązaniem jest podobna funkcja własna fala bieżąca: II ( ikx ikx x) Ce + De gdzie k m( E V0 ) ale: gdy x + rozbieżne więc C 0 II ( kx x) De Funkcja własna i jej pierwsza pochodna dla całego obszaru osi X musi być wszędzie skończona, ciągła i jednoznaczna, zatem: Wydział Informatyki, Elektroniki i 10

11 dla x 0 zszycie tzn. I ( 0) II (0) A + B D oraz d I (0) dx d II (0) dx A B i k k 1 D A D ik 1 + k 1 B D ik 1 k 1 ( x) D De 1 + k x ik k 1 e ik 1 x D + 1 dla x 0 ik k 1 e ik x 1 dla x 0 * D * De k x 0!! D można obliczyć z warunku normalizacji Wydział Informatyki, Elektroniki i 11

12 Wydział Informatyki, Elektroniki i 1

13 Padająca na barierę cząsteczka ma energię E > V 0 klasycznie przejdzie bez problemu, z pędem kwantowo p II m E V 0 może się odbić. I E V(x)0 V(x) V(x)V 0 II x Dla obszaru I: I d ( x) m dx ik E ( x) x ik 1 1 ( x) Ae + Be x Dla obszaru II: brak odbicia d ( x) m dx ( E II Vo ) ( x) ikx Ce k ( x ) p II Wydział Informatyki, Elektroniki i 13

14 dla x 0 zszycie tzn. I ( 0) II (0) A + B C oraz d I (0) dx d II (0) dx k1 ( A B) k C ( x) Ae ik 1 1 x + k1 A k + k k A k e 1 1 ik + x k k e ik x 1 dla x dla 0 x Wydział Informatyki, Elektroniki i 14

15 Skończona bariera potencjału Energia potencjalna elektronu ma postać: 0 dla x<-a (region I) V(x) V 0 dla a<x<a (region II) 0 dla x>+a (region III) Kiedy cząstka mająca określony pęd i energię zbliża się do bariery potencjału może zostać rozproszona. Wynik, który otrzymujemy w fizyce klasycznej (transmisja lub odbicie) zależy od relacji pomiędzy energią cząstki i wysokością bariery. W mechanice kwantowej wynik jest inny i nieoczekiwany. szerokość bariery a wysokość bariery V Wydział Informatyki, Elektroniki i 15 Fizyka II dla Elektroniki, lato 01 15

16 Klasycznie: Jeżeli E>V 0, wtedy cząstka przechodzi przez barierę Jeżeli E<V 0, wtedy cząstka odbija się od bariery ( ) p me p' m E V p me pęd zmienia się kiedy cząstka jest ponad barierą i wraca do wartości początkowej dla xa Wydział Informatyki, Elektroniki i 16 16

17 W mechanice kwantowej : Jeżeli E>V 0, to cząstka przechodzi ponad barierą lub odbija się od niej Jeżeli E<V 0, wtedy istnieje niezerowe prawdopodobieństwo, że cząstka przejdzie przez barierę; jest to tunelowanie Długość fali de Broglie;a, λ p me jest rzeczywista i taka sama dla x>a i x<-a Dla a<x<a, λ j est urojona -a a m ( E V ) 0 Klasycznie mamy falę zanikającą (evanescent wave), ekspotencjalny zanik wraz z x, dlatego amplituda fali dla x>a jest zmniejszona Wydział Informatyki, Elektroniki i 17 17

18 Funkcje falowe w zagadnieniu skończonej bariery potencjału Funkcje falowe można otrzymać jako rozwiązania równania Schrödingera niezależnego od czasu d m dx ( x) + V ( x) ( x) E ( x) I II III Wydział Informatyki, Elektroniki i 18 18

19 W obszarach I i III, kiedy V(x)0 : d ( x) dx m + E ( x) 0 W obszarze II równanie Schrödingera : I II III d ( x) dx m ( V E) ( x) 0 0 W obszarach tych rozwiązania są w formie fal płaskich poruszających w prawo lub w lewo Wydział Informatyki, Elektroniki i 19

20 Obszar I ikx ikx ( x) e + R e k me fala padająca fala odbita Obszar II ( x) Ae iqx + B e iqx q m ( E V ) 0 współczynniki A i B można określić formułując odpowiednie warunki fizyczne Obszar III ( x ) Te ikx tylko fala przechodząca I II III Wydział Informatyki, Elektroniki i 0 Fizyka II dla Elektroniki, lato 01 0

21 Warunki ciągłości R T Skoro gęstość prawdopodobieństwa musi być funkcją ciągłą a rzeczywisty potencjał nigdy nie jest nieskończony, funkcja falowa i jej pierwsza pochodna muszą być ciągłe w każdym punkcie Po zastosowaniu warunków ciągłości w x-a i xa (na zadanie domowe) otrzymujemy: i( q k )sin(qa) sin( ika) kqcos(qa) i( k + q )sin(qa) qk exp( ika) kqcos(qa) i( k + q )sin(qa) Zawsze: T + R 1 oraz R 1 R jest miarą odbicia T jest miarą transmisji Wydział Informatyki, Elektroniki i 1 Fizyka II dla Elektroniki, lato 01 1

22 Własności rozwiązania dla E>V 0 me Przyjęto: m k q ( E V ) 1. Jeżeli E>V 0, q jest rzeczywiste i V 0 0, q k stąd R 0 R i( q k )sin(qa) sin( ika) kqcos(qa) i( k + q )sin(qa) W zakresie energii, w którym klasycznie cząstka nie będzie odbijana od bariery, w mechanice kwantowej będzie istniało skończone prawdopodobieństwo, że cząstka zostanie odbita.. Kiedy E>>V 0, wtedy q k, i 0 V oraz T 1 E R Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato 01

23 Tunelowanie przez barierę potencjału Rozwiązania dla E<V 0 Klasycznie, cząstka będzie odbijała się od bariery. W mechanice kwantowej cząstka może tunelować przez barierę, zwłaszcza gdy bariera jest cienka. W takim przypadku: q m V ( E ) 0 q jest urojone i współczynnik transmisji T wykazuje zanik ekspotencjalny 16k ( 4a T e ) k + ( ) m ( V0 E) a jest szerokością bariery Wydział Informatyki, Elektroniki i 3 Fizyka II dla Elektroniki, lato

24 Współczynnik transmisji określa prawdopodobieństwo, z którym cząstka przechodzi przez barierę, czyli prawdopodobieństwo tunelowania. Przykład: T Jeżeli T0.00, to oznacza, że z 1000 cząstek (elektronów) zbliżających się do bariery, średnio 0 będzie tunelowało przez nią a 980 ulegnie odbiciu. m 0 ( ) T exp 4a ( V E) Z powodu zależności ekspotencjalnej, współczynnik transmisji jest bardzo czuły na niewielkie zmiany: szerokości bariery a, różnicy energii V 0 -E. Współczynnik ten zależy również od masy cząstki Wydział Informatyki, Elektroniki i 4 Fizyka II dla Elektroniki, lato 01 4

25 Przykłady tunelowania: rozpad alfa, synteza jądrowa, skanningowy mikroskop tunelowy (scanning tunneling microscope STM) Tunelowanie przez bariery ma wiele zastosowań (zwłaszcza w elektronice), np. dioda tunelowa, w której prąd elektronowy jest kontrolowany przez wysokość bariery. Najwcześniejsze zastosowania tunelowania (lata 0-te XX w.) pojawiły się w fizyce jądrowej: rozpad alfa (George Gamow, Ronald Gurney, Edward U. Condon) i synteza jądrowa. W 1958 roku japoński fizyk pracujący w Stanach Zjednoczonych, Leo Esaki, zaobserwował je w silnie domieszkowanym złączu półprzewodnikowym typu p-n. Efekt ten wykorzystany został w działaniu diody tunelowej, pozwalającej w tym czasie konstruować oscylatory i wiele innych szeroko stosowanych układów elektronicznych Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

26 W 1960r amerykański fizyk norweskiego pochodzenia, Ivar Giaever, zademonstrował tunelowanie elektronów między dwoma paskami metalicznymi rozdzielonymi cienką przekładką izolatora. Jako barierę tunelową wykorzystał w tym eksperymencie warstewkę tlenku aluminium o grubości około nm. Doświadczenie to potwierdziło teorie nadprzewodnictwa W 1965 roku ten sam eksperymentator zaobserwował efekt Josephsona polegający na tunelowaniu par elektronów między dwoma nadprzewodzącymi elektrodami W 1973 nagrodę Nobla w fizyce otrzymali Leo Esaki (za tunelowanie w półprzewodnikach), Ivar Giaever (za tunelowanie w nadprzewodnikach) i Brian Josephson (złącze Josephsona, szybkie urządzenie przełączające działające w oparciu o kwantowe tunelowanie) Wydział Informatyki, Elektroniki i 6

27 W połowie stycznia 1979 Gerd Binnig i Heinrich Rohrer przedstawili pierwszy patent odsłaniający tajemnicę skaningowego mikroskopu tunelowego. W 198 roku opublikowano pierwsze wyniki pomiarów pokazujących ułożenie atomów na powierzchni CaIrSn4, Au i Si(111). W 1986 nagrodę Nobla otrzymali Gerd Binning i Heinrich Rohrer za skanningowy mikroskop tunelowy STM Wydział Informatyki, Elektroniki i 7

28 Rozpad alfa Niestabilne jądro atomowe ulega przemianie w inne jądro z emisją 4 cząstki (jądro helu He ) A-ciężar atomowy A Z A 4 Z Z+ Z 4 He Przykład: Ra Rn + 4, 87MeV Bariera kulombowska dla cząstek alfa w jądrach o dużych liczbach masowych wynosi ok. 30 MeV. Z punktu widzenia klasycznego bariera ta nie może być więc pokonana przez cząstkę o energii kilku MeV Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

29 Wysokość bariery potencjału kulombowskiego dla cząstki naładowanej w jądrze zależy od ładunku jądra Z, promienia studni potencjału R n oraz ładunku cząstki. Prawdopodobieństwo emisji cząstki alfa w wyniku zajścia efektu tunelowego zależne jest także od energii przemiany Q α - im większa jest energia emitowanej cząstki alfa tym mniejsza jest szerokość bariery potencjału i tym bardziej prawdopodobny jest rozpad. Q α określona jest przez różnicę mas jądra macierzystego i produktów rozpadu. Sumaryczna energia wiązania produktów rozpadu musi być większa niż energia wiązania jądra macierzystego Wydział Informatyki, Elektroniki i 9

30 Sukcesem zastosowania teorii tunelowania do wyjaśnienia rozpadu alfa było wyznaczenie po raz pierwszy promienia R jądra R 1.5A 1/ 3 fm Ten wynik pozwolił na wyjaśnienie dlaczego objętość jądra: V 4 R 3 jest wprost proporcjonalna do jego masy atomowej A, 4 ( 1/ 3) 3 V 1,5 A V ~ A 3 tak, że gęstość jądra jest praktycznie stała. Ten rezultat pokazał również jak małe jest jądro atomowe Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

31 Synteza jądrowa Synteza jądrowa ma ważne zastosowania w produkcji czystej energii jądrowej. Reakcja pokazuje syntezę dwóch jąder deuteru, w wyniku której tworzy się jądro trytu i neutron oraz wydziela się duża ilość energii. H+ H 3 H + n J deuteron triton neutron energy released Odpychanie kulombowskie pomiędzy deuteronami nie pozwala na zajście takiej reakcji. Jest to możliwe jedynie dzięki tunelowaniu przez barierę potencjału. Jednakże, konieczna jest wysoka temperatura rzędu 10 4 K aby utrzymać odpowiednią szybkość reakcji Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

32 Scanning tunneling microscope STM Trzy kwarcowe beleczki są sterują ruchem przewodzącego ostrza (tip) po powierzchni. Zasada działania Wydział Informatyki, Elektroniki i Podaje się na ostrze słaby potencjał dodatni. Gdy odległość pomiędzy ostrzem i metaliczną powierzchnią jest mała, ma miejsce tunelowanie. Ilość elektronów, które przepływają pomiędzy powierzchnią a ostrzem w jednostce czasu (prąd elektryczny) jest bardzo silnie zależna od odległości ostrze-powierzchnia. Kwarcowe beleczki tworzą uchwyt piezoelektryczny o właściwościach sprężystych zależnych od przyłożonego pola elektrycznego. Prąd tunelowy jest mierzony i utrzymywany na takim poziomie aby odległość pomiędzy ostrzem i powierzchnią była stała. Tworzy się obraz powierzchni. Fizyka II dla Elektroniki, lato

33 Praktyczna realizacja idei mikroskopu tunelowego Ostrze i próbkę zbliżamy na odległość około 1 nm. Następnie przykładamy różnicę potencjałów U rzędu 1-3 V Przemieszczając teraz ostrze ponad badaną powierzchnią, system rejestruje zmiany prądu tunelowego w funkcji odległości ostrze-próbka Wydział Informatyki, Elektroniki i 33

34 Tryb stałej wysokości W trybie stałej wysokości ostrze przemieszcza się w płaszczyźnie poziomej, na stałej wysokości. Prąd tunelowy zmienia się wraz z topografia badanej próbki i lokalnych własności elektronowych. Prąd tunelowy zmierzony w każdym punkcie nad powierzchnia próbki tworzy zbiór danych na podstawie których powstaje topograficzny obraz badanego materiału Wydział Informatyki, Elektroniki i 34

35 Tryb stałego prądu W trybie stałego prądu wykorzystuje się tu ujemne sprzężenie zwrotne zapewniające stała wartość prądu tunelowego. Uzyskuje się to poprzez dopasowanie położenia skanera nad każdym punktem pomiarowym, np. kiedy system wykryje wzrost prądu tunelowego to zmienia napięcie doprowadzane do piezoelektrycznego skanera tak by zwiększyć jego odległość i przywrócić ustaloną wartość prądu. W tym przypadku to pionowe przemieszczenia skanera dostarczają danych do tworzenia obrazu Wydział Informatyki, Elektroniki i 35

36 Rozdzielczość obrazu zależy od rozmiarów ostrza. Poprzez podwyższanie temperatury lub zastosowanie silnego pola elektrycznego można wyciągać atomy wolframu warstwa po warstwie tak aby pozostał pojedynczy atom rozmiarów rzędu 0.1 nm. Najmniejszy człowiek świata. Postać zbudowana z cząsteczek tlenku węgla osadzonych na powierzchni platyny Innym ważnym zastosowaniem STM jest nanotechnologia. Ostrze może podnosić pojedyncze atomy z powierzchni metalicznej i tworzyć nowe struktury w nano-skali (np. powstawanie sztucznych molekuł) Wydział Informatyki, Elektroniki i Fizyka II dla Elektroniki, lato

37 Przykłady obrazów STM Obraz powierzchni krzemu o wymiarach 50x50 nm Wydział Informatyki, Elektroniki i 37

38 Obraz (36nm x 19 nm) nici DNA poddanych liofilizacji i pokrytych przewodzącą warstwą Pt-Ir-C. Nanokwiaty (9nm x 9nm) z siarczanu kobaltu na monokrysztale złota (111) Wydział Informatyki, Elektroniki i 38

39 Zjawisko tunelowania w nanoelektronice Moore s 1 st Law Zdolność obliczeniowa procesora wzrasta 4-krotnie w ciągu 3,4 roku Moore s nd Law Koszty produkcji procesorów wzrastają -krotnie w ciągu 3 lat Potrzeba mniejszych tranzystorów!!!!!!! Szybsze przełączanie oznacza większą szybkość procesora ale oznacza to konieczność umieszczenia większej liczby układów na tej samej powierzchni Wydział Informatyki, Elektroniki i 39

40 Układy nisko-wymiarowe -D Dwu-wymiarowe Jedno-wymiarowe Zero-wymiarowe -D system 1-D system 0-D system 1-D 0-D Ściana kwantowa Kropka kwantowa sztuczny atom izolator Drut kwantowy przewodnik Wydział Informatyki, Elektroniki i 40

41 -D r(e) [ev -1 nm - ] elektrony swobodne 3-D -D 1-D m r ( E ) ( E ) D F j F j j E [ev] r(e) 1-D r(e) 0-D 0-D E E Wydział Informatyki, Elektroniki i 41

42 Kropki kwantowe i atomy podobieństwa i różnice Kropki kwantowe z InAs / InGaAsP emitujące 1,5m Obszar wzrostu ściany kwantowej i drutu kwantowego Wydział Informatyki, Elektroniki i 4

43 Otrzymywanie np. metoda litografii Quantum wall Etching Overgrowth Wydział Informatyki, Elektroniki i 43

44 Przykłady samozorganizowanych kropek kwantowych: na podłożu krystalicznym B powstaje warstwa zwilżająca nanoszonego materiału A w stanie krystalicznym materiały A i B posiadają różne stałe sieciowe (tzw. niedopasowanie stałych sieciowych jest rzędu kilku/kilkunastu procent) naprężenia wynikające z niedopasowania stałych sieciowych prowadzą do desegregacji kolejnych nanoszonych warstw Samozorganizowane kropki kwantowe CdTe na podłożu ZnTe Powstawanie wysp GaAs na podłożu GaP Wydział Informatyki, Elektroniki i 44

45 Elektrony nadmiarowe uwięzione w kropce mają dyskretne poziomy energetyczne. Warunkami tunelowania pojedynczego elektronu przez nanoukład można sterować za pomocą potencjału chemicznego - dla układu N elektronów w dowolnej strukturze potencjał chemiczny jest energią potrzebną do zwiększenia liczby elektronów o jeden, czyli µ N+1 E N+1 E N, E N energia stanu podstawowego układu N elektronów Tunelowanie pojedynczego elektronu z elektrody α do kropki kwantowej jest energetycznie dozwolone, jeżeli µ α µ N+1. Nierówność ta określa warunek ładowania kropki kwantowej pojedynczym elektronem. Jeżeli znak nierówności jest przeciwny, to elektron może tunelować z obszaru kropki kwantowej do elektrody α Wydział Informatyki, Elektroniki i 45

46 W przypadku tunelowania pojedynczego elektronu z jednej elektrody (źródła, emitera) do drugiej elektrody (drenu, kolektora) przez kropkę kwantową µ s µ N+1 µ d, µ s (µ d ) potencjał elektrochemiczny źródła (lub drenu) Potencjały elektrochemiczne źródła i drenu zależą od napięć przyłożonych do elektrod źródła (V s ) i drenu (V d ) Nanodruty półprzewodnikowe są quasi-jednowymiarowymi nanostrukturami o kształcie bardzo wąskiego walca lub prostopadłościanu o średnicy podstawy od 0 nm do 100 nm i wysokości od 100 nm do 000 nm Wydział Informatyki, Elektroniki i 46

47 Tunelowanie rezonansowe w kropkach kwantowych Efekt tunelowy d d d źródło RQD dren bramka izolator bramka d d 1. stan wzbudzony stan podstawowy dla N+1 elektronów ev e E f źródło QD dren stan podstawowy dla N elektronów źródło QD dren Wydział Informatyki, Elektroniki i 47

48 d d źródło RQD dren bramka Quantum Dot Transistor Seabaugh 1998 Rozmiar tranzystora jest limitowany technologią epitaksjalną Wydział Informatyki, Elektroniki i 48