Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n=1 jest prawdziwy. Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n=2 jest prawdziwy.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n=1 jest prawdziwy. Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n=2 jest prawdziwy."

Wiktoria Katarzyna Mucha
4 lat temu
Przeglądów:

1 n = n(n+1) (1) Sprawd¹my wzór dla n=1: L = 1 P = 1(1+1) = = 1 Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n=1 jest prawdziwy. Sprawd¹my wzór dla n=: L = 1 + = 3 P = (+1) = 6 = 3 Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n= jest prawdziwy k = k(k+1) () a twierdzimy,»e speªniona jest teza indukcyjna: k + (k+1) = (k+1)((k+1)+1) k + (k+1) = (k+1)(k+) (3) Lewe strony nierówno±ci () i (3) ró»ni si o k+1. Zbadajmy o ile ró»ni si ich prawe strony: (k+1)(k+) - k(k+1) = k +k+k+ k k = k+ = (k+1) = k + 1 czyli prawe strony ró»ni si o tyle samo. Udowodnili±my zatem,»e z zaªo»enia indukcyjnego wynika teza indukcyjna. Czyli wzór (1) jest prawdziwy dla ka»dego n 1 i n N a n = a 1 q n 1 (1) Sprawd¹my wzór dla n=1: L = a 1 P = a 1 q 1 1 = a 1 q 0 = a 1 1 = a 1 Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n=1 jest prawdziwy. Sprawd¹my wzór dla n=: 1

2 L = a = (z denicji ci gu geometrycznego) a 1 q = a 1 q P = a 1 q 1 = a 1 q 1 = a 1 q Czyli L = P a wi c wzór (1) dla n= jest prawdziwy. a k = a 1 q k 1 () a k+1 = a 1 q (k+1) 1 = a 1 q k (3) Pomnó»my obie strony wzoru () przez q: a k q = a 1 q k 1 q z denicji ci gu geometrycznego a k+1 = a 1 q k 1 q z wzoru rekurencyjnego pot gi a k+1 = a 1 q (k 1)+1 a k+1 = a 1 q k Udowodnili±my zatem,»e z zaªo»enia indukcyjnego wynika teza indukcyjna. Czyli wzór (1) jest prawdziwy dla ka»dego n 1 i n N S n = a 1 qn 1, q 1 (1) Sprawd¹my wzór (1) dla n = 1: L = S 1 = a 1 P = a 1 q1 1 = a 1 1 = a 1 Czyli wzór (1) jest prawdziwy. Sprawd¹my wzór (1) dla n = : L = S = a 1 + a 1 q P = a 1 q 1 = a 1 ()(q+1) Czyli wzór (1) jest prawdziwy. = a 1 (q+1) = a 1 + a 1 q

3 S k = a 1 qk 1, q 1 () S k+1 = a 1 qk+1 1, q 1 (3). Mamy S k+1 = S k + a k+1 = (z wzoru na n-ty wyraz ci gu geometrycznego) S k + a 1 q k = (z zaªo»enia indukcyjnego) a 1 qk 1 + a 1 q k = a 1 ( qk 1 a 1 ( qk+1 1) ), czyli wzór (3) jest prawdziwy. + qk ) = a 1 ( qk 1+q k () ) = a 1 ( qk 1+q k+1 q k ) ) = Zatem udowowdnili±my,»e z zaªo»enia indukcyjnego wynika teza indukcyjna. Czyli wzór (1) jest prawdziwy dla ka»dego n 1 i n N n 3 = ( n) = ( n(n+1) ) Udowodnijmy najpierw wzór: n 3 = ( n) (1) Sprawd¹my wzór (1) dla n = 1: L = 1 3 = 1 P = (1) = 1, a wi c L = P. Sprawd¹my wzór (1) dla n = : L = = = 9 P = (1 + ) = 3 = 9, a wi c L = P k 3 = ( k) k 3 + (k+1) 3 = ( k + (k+1)) Lewe strony powy»szych dwóch równa«ró»ni si (k + 1) 3. Zbadajmy o ile ró»ni si ich prawe strony: ( k + (k+1)) - ( k) = {na podstawie wzoru: a - b = (a-b)(a+b)} [( k + (k + 1)) - ( k)][( k + (k + 1)) + ( k)] = 3

4 (k + 1)[( k) + (k + 1)] = {na podstawie wzoru: ( n) = n(n+1) } (k + 1)[ k(k+1) + (k + 1)] = (k + 1)[k(k + 1) + (k + 1)] = (k + 1)[(k + 1)(k + 1)] = (k + 1) 3, czyli prawe strony ró»ni si o tyle samo. Zatem udowodnili±my,»e z zaªo»enia indukcyjnego wynika teza indukcyjna. Czyli wzór (1) jest prawdziwy dla ka»dego n 1 i n N. Udowodnijmy teraz wzór: ( n) = ( n(n+1) ) () Poniewa» dla n N i n 1 mamy: n = n(n+1) {co zostaªo udowodnione w zadaniu 1.59}, wi c podnosz c obie strony do kwadratu otrzymujemy wzór (). Czyli on równie» jest prawdziwy dla n N i n 1. Tym samym udowodnili±my prawdziwo± obu wzorów danych w zadaniu (1 + a) n 1 + na + n(n 1) a dla a 0 (1) Sprawd¹my wzór (1) dla n=1: L = (1 + a) 1 = 1 + a P = a + 1 (1 1) a = 1 + a + 0 a = 1 + a czyli L = P a tym samym L P. Sprawd¹my wzór (1) dla n=: L = (1 + a) = 1 + a + a P = 1 + a + ( 1) a = 1 + a + 1 a = 1 + a + a czyli L = P a tym samym L P. Sprawd¹my wzór (1) dla n=3: L = (1 + a) 3 = a a + a 3 = 1 + 3a + 3a + a 3 P = 1 + 3a + 3 (3 1) a = 1 + 3a + 3a 4

5 czyli dla a 0 L P, bo L - P = a 3 0. (1 + a) k 1 + ka + k(k 1) a dla a 0 () (1 + a) k (k + 1)a + (k+1)(k+1 1) a = 1 + (k + 1)a + (k+1)k a dla a 0 Pomnó»my teraz obie strony nierówno±ci () przez (1 + a): (1 + a) k (1 + a) (1 + ka + k(k 1) a )(1 + a) dla a 0 (1 + a) k+1 (1 + ka + k(k 1) a )(1 + a) L = (1 + a) k a + ka + ka + k(k 1) a + k(k 1) a 3 = 1 + (k + 1)a + (k + k(k 1) )a + k(k 1) a 3 = 1 + (k + 1)a + k+k(k 1) a + k(k 1) a 3 = 1 + (k + 1)a + k +k 1 a + k(k 1) a 3 = 1 + (k + 1)a + k k+1 a + k(k 1) a 3 = 1 + (k + 1)a + k(k+1) a + k(k 1) a 3 (dla a 0) 1 + (k + 1)a + (k+1)k a a zatem teza indukcyjna jest prawdziwa. Udowodnili±my tym samym,»e z zaªo»enia indukcyjnego wynika teza indukcyjna. Czyli wzór (1) jest prawdziwy dla ka»dego n N i n cosα + cosα cosnα = 1 [ sin(n+ 1 )α sin 1 α - 1] (1) Sprawd¹my wzór (1) dla n = 1: L = cosα P = 1 [ sin(1+ 1 )α sin 1 α - 1] = 1 sin(α+ 1 α) sin 1 α sin 1 α = 1 sin(α+ 1 α) sin(α 1 α) sin 1 α = 1 cosα sin 1 α sin 1 α czyli L = P. = cosα Sprawd¹my wzór (1) dla n = : L = cosα + cosα P = 1 [ sin(+ 1 )α sin 1 α - 1] = 1 sin 5 α sin 1 α sin 1 α = 1 sin( 5 α 1 α cos( 3α 1α) + cos( 3α + 1 α) = cosα + cosα ) cos( 5 α+ 1 α ) sin 1 α = sin 1 α cos 1 α cos 3 α sin 1 α = cos 1 α cos 3 α = 5

6 czyli L = P. cosα + cosα coskα = 1 [ sin(k+ 1 )α sin 1 α - 1] () cosα + cosα coskα + cos(k + 1)α= 1 [ sin((k+1)+ 1 )α sin 1 α - 1] Lewe strony powy»szych równa«ró»ni si o: cos(k + 1)α Zbadajmy o ile ró»ni si ich prawe strony: 1 [ sin((k+1)+ 1 )α sin 1 α - 1] - 1 [ sin(k+ 1 )α sin 1 α - 1] = 1 sin(k+ 3 )α sin 1 α sin 1 α - 1 sin(k+ 1 )α sin 1 α sin 1 α = sin(k+ 3 )α sin(k+ 1 )α sin 1 α = sin( (k+ 3 )α (k+ 1 )α ) cos( (k+ 3 )α+(k+ 1 )α ) sin 1 α = sin( 1 (kα+ 3 α kα 1 α)) cos( 1 (kα+ 3 α+kα+ 1 α)) sin 1 α cos(k + 1)α czyli prawe strony ró»ni si o tyle samo. = sin 1 α cos 1 (kα+α) sin 1 α =cos( 1 (kα+α)) = Zatem udowodnili±my,»e z zaªo»enia indukcyjnego wynika teza indukcyjna. Czyli wzór (1) jest prawdziwy dla ka»dego n N i n 1. 6

Podobne dokumenty

s n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

s n = a k (2) lim s n = S, to szereg (1) nazywamy zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny. Szeregi liczbowe Definicja Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie a n = a + a 2 + a 3 + () Liczby a n, n =, 2,... nazywamy wyrazami szeregu. Natomiast sumę n s n = a k (2) nazywamy n-tą sumą częściową