UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH
|
|
- Halina Edyta Górecka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH Praca magisterska napisana pod kierunkiem dr hab. Lecha Jakóbczyka Wrocław 00
2 SPIS TREŚCI WSTĘP...5 ROZDZIAŁ I DYNAMIKA KLASYCZNYCH UKŁADÓW STATYSTYCZNYCH...8. Opis statystyczny układów klasycznych...8. Przestrzeń z miarą...8. Stany statystyczne funkcje gęstości Wartości średnie Entropia Boltzmanna Gibbsa Funkcje gęstości miary i wartości średniej...0. Dynamika układów statystycznych...0. Operatory Markowa...0. Gęstość stacjonarna....3 Entropia warunkowa Własności ergodyczne dynamiki Dynamika ergodyczna Dynamika mieszająca Dynamika dokładna Twierdzenie Mackeya...6 ROZDZIAŁ II DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW DYSKRETNYCH...7. Opis dynamiki stanów statystycznych...7. Przestrzeń fazowa...7. Stany statystyczne wektory Macierze stochastyczne Dynamika stanów statystycznych Entropia stanów statystycznych...8 3
3 .6 Badanie dynamiki danego stanu statystycznego...8. Dynamika stanów statystycznych zadana przez macierze podwójnie stochastyczne...9. Macierze podwójnie stochastyczne Badanie dynamiki Podsumowanie rozdziału... ROZDZIAŁ III DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW CIĄGŁYCH.... Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator stochastyczny.... Zbiór stanów statystycznych wektory.... Generator stochastyczny....3 Dynamika stanów statystycznych Ogólne rozwiązanie ewolucji stanów statystycznych Entropia stanów statystycznych Badanie dynamiki stanów statystycznych...4. Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator podwójnie stochastyczny...7. Generator podwójnie stochastyczny...7. Ewolucja stanów statystycznych...8 ZAKOŃCZENIE...3 BIBLIOGRAFIA...3 4
4 Wstęp Od wielu lat fizycy zastanawiają się jak sformułować prawa dynamiki aby ukazywały asymetrię ze względu na odwrócenie kierunku czasu. Prawa Newtona, ogólna teoria względności Einsteina, równania Hamiltona, Maxwella, Diraca, Schrödingera nie zmieniają się, gdy odwrócimy kierunek upływu czasu, zamieniając t na t. Nauka klasyczna traktowała podstawowe prawa przyrody jako deterministyczne i odwracalne, procesy zaś losowe i nieodwracalne jako wyjątki. Dziś uświadomiliśmy sobie, że nieodwracalność nie jest złudzeniem, że odgrywa podstawową rolę w przyrodzie i leży u źródeł większości procesów samoorganizacji. Ujrzeliśmy wokół siebie świat, w którym odwracalność i determinizm obowiązują jedynie w prostych, ograniczonych pewnymi warunkami przypadkach, natomiast nieodwracalność i losowość są prawem nadrzędnym. Ciągle nie znamy przyczyn procesów nieodwracalnych i nie rozumiemy problemu strzałki czasu. W swoich pracach, nieodwracalności poświęcił wiele uwagi Ilija Prigogine [], []. Próbuje on znaleźć mechanizm łamania symetrii w czasie. W kilku prostszych wypadkach udało mu się zdefiniować operator czasu wewnętrznego T, który działając na układ dokonuje jego podziału i przemieszczania części, a więc powoduje wzrost złożoności. Krótko mówiąc czas wewnętrzny mierzy wiek układu. Prigogine wierzy, że czas zdefiniowany przez tego rodzaju operatory zostanie kiedyś określony dla wszystkich układów znajdujących się z dala od stanów równowagi i odegra istotną rolę w rozumieniu powstawania nowych struktur we Wszechświecie. Pomiędzy czasem zewnętrznym czasem parametrem numerującym tylko kolejne chwile historii układu, a czasem wewnętrznym istnieją wzajemne Ilya Prigogine, Isabelle Stengers, Z chaosu ku porządkowi, str. Ibidem, str.3 5
5 związki. Czas zewnętrzny można traktować, w prostych przypadkach, jako pewnego rodzaju uśrednienie czasu wewnętrznego. Wyjaśnienie nieodwracalności w naturze jest ciągle problemem otwartym 3. Połączenie odwracalnych praw mechaniki ze statystyką Gibbsa nie prowadzi do nieodwracalności, a nieodwracalność musi być dodana jako specjalny składnik 4. Nieodwracalność często kojarzona jest z II prawem termodynamiki, ze wzrostem entropii. W tym kierunku swoje poszukiwania podjął Mackey [3], [4], [5]. W swoich pracach bada dynamiczne podstawy ewolucji stanów statystycznych do stanów o maksymalnej entropii. Poszukuje takiej dynamiki, która niezależnie od warunków początkowych prowadzi do stanu równowagi termodynamicznej. Na podstawie opracowań Mackeya powstał I rozdział pracy o dynamice klasycznych układów statystycznych. Punktem wyjścia opisu statystycznego jest przestrzeń z miarą. W tej terminologii scharakteryzowany jest układ statystyczny. Stan statystyczny został utożsamiony z gęstością miary. Dla danego stanu statystycznego została wprowadzona entropia Boltzmanna Gibbsa, i jej uogólnienie entropia warunkowa. Entropia warunkowa nigdy nie maleje, w przeciwieństwie do zwykłej entropii, która może w szczególnych warunkach maleć. Ewolucję gęstości opisują operatory Markowa. Są to liniowe operatory różniczkowe o własnościach podanych w I rozdziale. Wśród operatorów Markowa można wyróżnić dwie rodziny: operatorów odwracalnych i nieodwracalnych. Rodzina odwracalna jest jednoparametrową grupą przekształceń, a rodzina nieodwracalnych operatorów Markowa stanowi jedynie półgrupę przekształceń. Z operatorami Markowa związana jest gęstość stacjonarna, która nie zmienia swej wartości pod działaniem operatorów Markowa. Podana definicja entropii warunkowej pozwala prześledzić ewolucję dynamiki do stanów o maksymalnej entropii. 3 Michael C. Mackey, Time s Arrow: The origins of thermodynamic behavior 4 Ibidem 6
6 Okazuje się, że entropia dla układów odwracalnych jest stała, więcej z dynamiki odwracalnej nie dostaniemy wzrostu entropii. Najsłabszą własnością zachowań nieregularnych jest ergodyczność, która jest konieczna i wystarczająca aby zaistniał przynajmniej jeden stan równowagi. Ergodyczność jednak nie gwarantuje wzrostu entropii do wartości maksymalnej. Silniejszą własnością jest mieszanie, które również nie gwarantuje osiągnięcia równowagi. Jak się okaże, do tego aby stan początkowy osiągnął w trakcie ewolucji entropię maksymalną, potrzebna jest dynamika dokładna. Jednak problemem jest podanie przykładów takich dynamik. W rozdziale II i III zaproponuję konstrukcję układów dokładnych. Jest to jednak bardzo szczególna propozycja. Operatorami zadającymi dynamikę będą macierze stochastyczne i podwójnie stochastyczne a stanami statystycznymi wektory. Tylko macierze podwójnie stochastyczne zadają dynamiki gwarantujące wzrost entropii do stanów maksymalnych dla czasów dyskretnych. Dla czasów ciągłych równowagę termodynamiczną osiągają stany z dynamiką zadaną tylko przez generatory półgrupy podwójnie stochastycznej przedstawione w rozdziale III. 7
7 ROZDZIAŁ I DYNAMIKA KLASYCZNYCH UKŁADÓW STATYSTYCZNYCH. Opis statystyczny układów klasycznych. Przestrzeń z miarą W opisie statystycznym układów klasycznych punktem wyjścia jest przestrzeń z miarą. Wprowadzone zostanie kilka elementarnych definicji z teorii miary. Ogólnie przestrzenią z miarą jest trójka (X,, ), gdzie X jest pewną przestrzenią, rodziną podzbiorów mierzalnych przestrzeni X a miarą określoną na. Nie każdy podzbiór X jest mierzalny. Rodzina musi być - algebrą. Przykładem przestrzeni z miarą może być przestrzeń R d z miarą Lebesgue'a dx. Definicja.: Rodzina jest - algebrą jeżeli: () X, () A to X A, (3) A i dla i =,,... to i A i. Innymi słowy, - algebrą jest każda klasa podzbiorów przestrzeni X, która zawiera tę przestrzeń i jest zamknięta ze względu na sumę przeliczalną i różnicę. Definicja.: Funkcja o wartościach rzeczywistych określona na - algebrze jest miarą jeżeli: () (A) 0 dla A, () ()= 0, (3) jeżeli A i dla i =,,... są zbiorami rozłącznymi, to ( i A ) = ( ). i i A i 8
8 W tak zdefiniowanej przestrzeni z miarą można wprowadzić pojęcie stanu statystycznego.. Stany statystyczne funkcje gęstości Stany układu statystycznego utożsamia się z funkcjami gęstości miary (x), które spełniają następujące warunki: () L (tzn. jest funkcją całkowalną), () (x) 0, (3) = ( x) dx = X Zbiór funkcji gęstości będzie oznaczany L +, (czyli funkcja typu L, dodatnia i unormowana). W dalszych rozważaniach potrzebne będzie pojęcie funkcji mówiącej czy stan statystyczny osiągnął równowagę termodynamiczną czy też nie. Taką funkcję wprowadzili Boltzmann i Gibbs, którą nazwali entropią. Przed zdefiniowaniem entropii warto wprowadzić pojęcie wartości średnich..3 Wartości średnie Mając stan L +, można wyznaczyć wartość średnią (np. energię E) dowolnej obserwabli F (która jest w tym przypadku funkcją F na przestrzeni (X,, dx) ): F = F ( x ) ( x ) dx. X.4 Entropia Boltzmanna Gibbsa Definicja entropii Boltzmanna Gibbsa przedstawia się następująco: S () = - ( x ) log ( x ) dx. X Dla lepszego zobrazowania nowych pojęć, podane zostały przykłady funkcji gęstości i wartości średniej. 9
9 .5 Funkcje gęstości miary i wartości średniej Przykładem funkcji gęstości miary jest funkcja rozkładu zespołu kanonicznego: ( x) Z e E( x) gdzie Z X e E ( x) dx, =, k stała Boltzmanna kt a wartość średnia energii wynosi: E = Z X E ( x ) e E( x) dx.. Dynamika układów statystycznych Dynamikę układu można badać rozpatrując własności pojedynczej trajektorii. Dla układów o dużej liczbie cząstek jest to bardzo trudne zadanie. Należy wtedy znać warunki początkowe wszystkich cząstek. Można zastosować inną metodę, mianowicie badanie zachowania się gęstości.. Operatory Markowa Ponieważ stany układu statystycznego utożsamiamy z funkcjami gęstości miary L +,, dynamika takich układów jest zadana poprzez rodzinę przekształceń P t : L +, L +,, t R lub t R + transformujących funkcje gęstości w funkcje gęstości. Przekształcenie P t powinno spełniać: () jeżeli L oraz 0 to P t 0, () P t = dla 0. 0
10 Definicja.: Operator P t : L +, L +, spełniający powyższe własności nosi nazwę operatora Markowa. Operatory Markowa posiadają szereg użytecznych własności... Własności operatorów Markowa Do opisania własności wprowadzić należy następującą notację: + (x) = max(0, (x)) i - (x) = max(0, - (x)) () (P t (x)) + P t + (x), () (P t (x)) - P t - (x), (3) P t (x) P t (x), (4) P t dla wszystkich L. Operatory Markowa mogą tworzyć rodziny odwracalne i nieodwracalne... Odwracalna rodzina operatorów Markowa Definicja..: Rodzina {P t } tr operatorów Markowa jest odwracalna jeśli: () P 0 = i () P t (P t ) = P t + t dla wszystkich t, t R (lub Z). Uwaga: Odwracalna rodzina operatorów Markowa {P t } tr jest w istocie jednoparametrową grupą przekształceń L +, na L +,, ponieważ P t P t = P t + t podstawiając za t = -t otrzymamy:
11 P t P -t = P t - t = P 0 = id P t P -t = id P -t P t = id P t = (P t ) - Definicja rodziny nieodwracalnej operatorów Markowa wygląda następująco:..3 Nieodwracalna rodzina operatorów Markowa Definicja..3: Rodzina {P t } tr+ operatorów Markowa jest nieodwracalna jeśli: () P 0 = i () P t (P t ) = P t + t dla t, t R +. Uwaga: Nieodwracalna rodzina operatorów Markowa {P t } tr+ stanowi jedynie półgrupę przekształceń L +, na L +,, ponieważ nie istnieje (P t ). Ważnym pojęciem związanym z operatorami Markowa jest gęstość stacjonarna. Istnienie gęstości stacjonarnej może być związane z istnieniem stanu równowagi termodynamicznej.. Gęstość stacjonarna Definicja.: Funkcja gęstości * L +, jest gęstością stacjonarną dla ewolucji zadanej przez rodzinę operatorów Markowa {P t }, jeśli P t * = *. Innymi słowy, jeśli działając operatorem Markowa na funkcję gęstości nie zmienia się jej, to gęstość ta jest gęstością stacjonarną. Przed rozpoczęciem badania entropii gęstości wprowadzone zostanie uogólnienie entropii Boltzmanna Gibbsa, entropia warunkowa.
12 Zostanie wykazane, że entropia warunkowa nigdy nie maleje w przeciwieństwie do zwykłej entropii, która w szczególnych przypadkach może maleć..3 Entropia warunkowa Definicja.3: Jeśli i g są dwiema gęstościami, takimi że supp supp g (support oznacza nośnik funkcji g, tzn. zbiór wszystkich x, takich że g(x) 0), wtedy entropią warunkową gęstości związaną z gęstością g jest: S c (g) = - X ( x) ( x)log dx g x. ( ) Entropia warunkowa posiada dwie własności podane poniżej..3. Własności entropii warunkowej () Jeśli i g są gęstościami, to z nierówności całkowej Gibbsa - ( x ) log ( x ) dx - ( x ) log g ( x ) dx X X wynika, że S c (g) 0. Równość zachodzi tylko dla = g. () Jeśli g jest gęstością stałą g =, to S c () = S(). Tak więc entropia S c (g) jest uogólnieniem entropii S()..3. Twierdzenia dotyczące entropii warunkowej Voight [6] wykazał, że entropia warunkowa dla gęstości zmieniających się w czasie jest niemalejącą funkcją czasu t, a działając na gęstości nieodwracalnymi operatorami Markowa zgodnie ze wzorem t = P t, g t = P t g entropia może rosnąć. 3
13 Twierdzenie.3..(Voighta): Niech P będzie operatorem Markowa, wtedy S c ( t g t ) S c (g) dla, g L +,. Zauważmy, że jeżeli g jest gęstością stacjonarną g = *, wtedy S c (P t *) S c ( *). Entropia warunkowa dla odwracalnych operatorów Markowa jest stała i określona poprzez warunki początkowe. Mówiąc ściślej, dla odwracalnych operatorów Markowa zachodzi następujące twierdzenie: Twierdzenie.3..: Jeśli rodzina operatorów Markowa {P t } jest odwracalna, to entropia warunkowa jest stała dla wszystkich czasów t, i równa wartości początkowych gęstości i g, czyli: S c (P t P t g) = S c (g) dla t. Dowód: Niech P będzie operatorem odwracalnym, wtedy S c (P t + t' P t + t' g) = S c (P t' P t P t' P t g) S c (P t P t g) S c (g) dla t i t'. Weźmy t' = - t, tak więc dla wszystkich czasów t i ostatecznie S c (g) S c (P t P t g) S c (g) S c (P t P t g) = S c (g) dla wszystkich t. Z tego twierdzenia wynika, że dla każdego układu, którego ewolucja gęstości miary jest opisana przez odwracalne operatory Markowa, entropia jest stała i określona poprzez warunki początkowe. Podsumowując, entropia może rosnąć dla układów nieodwracalnych, co zostało udowodnione w twierdzeniu Voighta, a jest stała dla układów odwracalnych jak wynika z ostatniego twierdzenia. 4
14 3. Własności ergodyczne dynamiki W dalszym ciągu będziemy zakładać istnienie gęstości stacjonarnej * dla dynamiki zadanej poprzez rodzinę operatorów Markowa {P t }. Poniżej scharakteryzowane zostaną własności nieregularnych zachowań układów dynamicznych. Najsłabszą własnością dynamik jest ergodyczność, którą mogą posiadać układy odwracalne. Kolejną mocniejszą własnością jest mieszanie, charakteryzujące również układy odwracalne. Najsilniejsze własności zachowań nieregularnych posiadają układy z dynamiką dokładną. Pokazane będzie iż układy odwracalne nie mogą być dokładne. Definicje: 3. Dynamika {P t } jest ergodyczna jeśli L +, T t lim P, g dt *, T T T g dla dowolnych funkcji g L (funkcji ograniczonych) gdzie, g ( x) g( x) dx dla L i g L. X 3. Dynamika {P t } jest mieszająca jeśli L +, lim P t, g *, t g dla dowolnych funkcji g L. 5
15 3.3 Dynamika {P t } jest dokładna jeśli L t +, lim P 0. t * Uwaga: Jeśli dynamika jest dokładna to nie może być odwracalna. Warunkiem koniecznym dokładności jest nieodwracalność P t, ponieważ: lim P t t ( * ) 0 a z własności (4) operatorów Markowa wynika t P ( * ) * Gdyby P t był odwracalny to P t byłby operatorem Markowa = * t t ( P P )( *) t P ( * ) t P ( * ) = * Układy dynamiczne osiągają stan równowagi termodynamicznej jeśli ich dynamika jest dokładna. Dlatego w dalszych rozważaniach o układach nieodwracalnych pominięte zostaną dynamiki ergodyczne i mieszające, a brane pod uwagę zostaną tylko dynamikami dokładne. 3.4 Twierdzenie Mackeya Niech P t będzie operatorem Markowa w przestrzeni fazowej X t lim S ( P * ) 0 wtedy i tylko wtedy, gdy półgrupa P t jest dokładna. t c Trudno jest podać przykłady układów dokładnych. W następnych rozdziałach przedstawiona zostanie próba konstruowania układów dokładnych w szczególnych przypadkach dla czasów dyskretnych i ciągłych. 6
16 ROZDZIAŁ II DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW DYSKRETNYCH W poprzednim rozdziale przedstawiono warunki jakie powinien spełniać układ dynamiczny, aby mógł osiągnąć stan równowagi termodynamicznej. W rozdziale II podana zostanie propozycja szczególnego przypadku dynamiki stanów statystycznych z czasem dyskretnym dla macierzy stochastycznych i podwójnie stochastycznych [7]. Gęstości zostaną zastąpione wektorami, a operatory Markowa operatorami w przestrzeni skończenie wymiarowej - macierzami stochastycznymi.. Opis dynamiki stanów statystycznych z czasem dyskretnym. Przestrzeń fazowa Przestrzeń fazowa ma skończoną ilość punktów (stanów mikroskopowych). X={e,...e n} gdzie ej jest mikrostanem. Jak wspomniano wyżej stanami statystycznymi będą nie gęstości a wektory.. Stany statystyczne wektory Zbiór stanów statystycznych tworzą wektory, których suma składowych wynosi : =... d gdzie : X R n, j 0 i j =. Stany statystyczne będące wektorami są szczególnym przypadkiem gęstości, wprowadzonych w rozdziale I. Spełniają podobne warunki: n j 7
17 warunek dla gęstości ( x) X dx =, został zastąpiony sumą j =. n j Jest to szczególny przypadek warunku unormowania gdy funkcja zostaje zastąpiona skończonym ciągiem. Mając stan statystyczny, zdefiniować można operatory zadające dynamikę tego stanu macierze stochastyczne. Definiujemy je następująco:.3 Macierze stochastyczne Macierz P, dla której suma każdej kolumny wynosi i elementy są większe bądź równe zero i mniejsze lub równe. P jest macierzą stochastyczną j p ij = dla 0 pij. Dla takich macierzy dynamika stanów statystycznych podana została poniżej..4 Dynamika stanów statystycznych (n) = P n (0). Podobnie jak w rozdziale I operatory Markowa zadawały dynamikę i zmieniały gęstości w gęstości, analogicznie teraz macierze, zmieniają wektory w wektory. Zdefiniujmy entropię..5 Entropia stanów statystycznych d S((n)) = - j ( n)log j ( n). j Można teraz przystąpić do badania dynamiki stanów statystycznych. Obliczenia zostały wykonane w programie Mathematica..6 Badanie dynamiki danego stanu statystycznego 8
18 Entropia S Badania zostały przeprowadzone na kilkunastu różnych wektorach i zadających ich dynamikę różnych macierzach stochastycznych. Spośród wielu stanów statystycznych i macierzy wybieram stan i operator P. 0 Stan statystyczny = 0, macierz stochastyczna P = Zgodnie z zadaną dynamiką program wykonuje obliczenia i rysuje następujący wykres:.6. Wykres entropii stanów statystycznych P n Z wykresu widać, że stan początkowy nie osiąga stanu równowagi termodynamicznej. Dla macierzy stochastycznej P entropia początkowo rośnie a później maleje. Macierze stochastyczne nie zadają dynamiki dokładnej. Sprawdźmy jak zachowują się macierze podwójnie stochastyczne.. Dynamika stanów statystycznych zadana przez macierze podwójnie stochastyczne 9
19 . Macierze podwójnie stochastyczne P jest macierzą podwójnie stochastyczną j p ij = i i p ij = dla 0 pij, czyli gdy sumy elementów każdej kolumny i każdego wiersza są równe, przy czym elementy muszą być większe lub równe zero i mniejsze lub równe. Uwaga!: W naszych rozważaniach będą brane pod uwagę tylko macierze podwójnie stochastyczne spełniające warunek: j p ij = i i p ij = dla 0 pij czyli macierze podwójnie stochastyczne o elementach mniejszych od. Powyższy warunek został nałożony gdyż z przeprowadzonych badań nad macierzami podwójnie stochastycznymi wynika, że istnieją macierze z elementami równymi nie wykazujące dążenia do równowagi termodynamicznej. Dynamikę macierzy podwójnie stochastycznych będziemy badali podobnie jak dla macierzy stochastycznych.. Badanie dynamiki stanu statystycznego Weźmy stan statystyczny = 0 0 i macierz podwójnie stochastyczną 0 0
20 Entropia S P = Program w identyczny sposób jak dla macierzy stochastycznej kreśli wykres:.. Wykres entropii stanów statystycznych: P n Dla macierzy podwójnie stochastycznej dynamika stanów statystycznych osiąga maksimum w punktach o wartości ln(4). 3. Podsumowanie rozdziału Z przeprowadzonych badań na macierzach stochastycznych i podwójnie stochastycznych wynika, że dynamikę dokładną zadają tylko macierze podwójnie stochastyczne o elementach mniejszych od. Entropia osiąga wartości maksymalne równe logarytmowi z wymiaru macierzy podwójnie stochastycznej.
21 ROZDZIAŁ III DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH DLA CZASÓW CIĄGŁYCH W tym rozdziale przedstawię ewolucję stanów statystycznych z czasem ciągłym. Zdefiniuję generatory stochastyczne i podwójnie stochastyczne półgrupy [8], by następnie zbadać ich ewolucje.. Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator stochastyczny Stanami statystycznymi będą nadal wektory.. Zbiór stanów statystycznych - wektory =... d gdzie : X R n, j 0 i j =. n j Macierze stochastyczne zostaną zastąpione generatorami stochastycznymi.. Generator stochastyczny Macierz L nazywamy generatorem stochastycznym, jeżeli: () suma składowych kolumny równa jest 0 czyli lik 0 k, () lik 0 dla i k oraz lik 0 dla i = k. i Dynamika stanów statystycznych dla czasów ciągłych zostanie opisana równaniem różniczkowym.
22 .3 Dynamika stanów statystycznych d L dt Rozwiązanie tego równania jest następujące:.4 Ogólne rozwiązanie ewolucji stanów statystycznych (t) = e tl (0) Przepis obliczania entropii dla czasów ciągłych jest identyczny jak dla czasów dyskretnych..5 Entropia stanów statystycznych w przypadku ciągłym d S( (t)) = - j ( t)log j ( t) j.7 Badanie dynamiki stanów statystycznych Badania przeprowadzone zostały również dla kilkunastu różnych stanów statystycznych i kilkunastu generatorów. Dla pokazania ewolucji zostały wybrane trzy stany statystyczne a, b, c i generator L. Stany statystyczne: a = 3, b = , c = 0 3, 3 3
23 a generator stochastyczny jest następujący: L = Ogólne rozwiązanie dla generatora L i stanu ogólnego (0) = : (t) = e tl (0).6. Składowe stanu statystycznego (t) wynoszą odpowiednio: 7t t 7t t t (t) = e ( 5 7e 8e 35 ( e ) 35( e )), 70 7t t 7t t t (t) = e ( 5 7e 3e 35 ( e ) 35 ( e )), 70 7t 7t 3 (t) = e (5 e 7 7 ). 7 Podstawiając odpowiednio stany a, b, c otrzymuję: a(t) = t 70 45e 63e t, a(t) = t 48 45e 63e t, 4
24 a3(t) = 83e 7t, t t b(t) = (9 5e e ), t t b(t) = (6 5e e ), 35 b3(t) = e 7t, t t c(t) = (54 5e 49e ), 0 5 7t t c(t) = (96 5e 49e ), 0 7t c3(t) = (6 e )..6.3 Entropie obliczone i wykreślone przez program Mathematica S(a) t 7t 7t 5 t (( e e )log[ 7 73 ] ( 48 45e 63e ) t 48 45e 63e log[ 730 ] e ( 45 63e 70e 7t 70 45e 63e )log[ t 5t 7t t 7t ]) S(b) = 7t 7t 7t t 7t 7t 5 t ( e 7 e )log[ 7 7 ] e 35 ((5 e t 7t 7t 5t (5 e 9e )log[ (9 5e e )]), 35 6e )log[ (6 5e 35 e )] 5
25 Entropia S S(c) = 7t 7t 7t 5t 7t 5 t ( 0(6 e 0 )log[ (6 e )] ( 54 5e 49e )log[ (54 5e 0 49e )] 7t 5t 7t 5t (96 5e 49e )log[ (96 5e 49e )]). 0 Wykresy entropii:(linie: ciągła =a, przerywana długa = b, przerywana krótka = c) Czas t S(a) a) S(b) S(c).0 Poniżej zostaną przedstawione zachowania się stanów statystycznych na wykresach rzutów na odpowiednie osie. Zostaną zmienione oznaczenia: na x, na y, 3 na z..6.4 Wykresy odpowiednich składowych x, y, z dla wektorów stanów a, b, c - składowe x, y: y c a b x 6
26 - składowe x, z: z a x c b - składowe y, z: z y a c 0.84 b Jak widać na wykresie entropii stany statystyczne nie osiągają stanów o maksymalnej entropii. Entropia początkowo rośnie, by następnie maleć i osiągnąć równowagę.. Dynamika stanów statystycznych zadana przez generator podwójnie stochastyczny. Generator podwójnie stochastyczny Macierz L p nazywamy generatorem podwójnie stochastycznym, jeżeli: 7
27 () suma składowych kolumny i wiersza równa jest 0 czyli i l 0 oraz l 0 i k ik k ik, () lik 0 dla i k oraz lik 0 dla i = k.. Ewolucja stanów statystycznych a, b, c dla generatora podwójnie stochastycznego L p = Ogólne rozwiązanie dla generatora L p i stanu (0) = (t) = e tlp (0) składowe stanu statystycznego (t) wynoszą odpowiednio: (t) = 3 e 9t ( cos(3t ) sin(3t )) e 3 3 9t 9t sin(3t ) e (cos(3 t) sin(3t )), (t) = 3 e 9t ( cos(3t ) sin(3t )) e 3 9t (cos(3 t) sin(3t )) e 9t sin(3t ), 3 (t) = 9t 9t cos(3 ) (cos(3 ) sin(3 )) 9 t t e t t e e 3 ( cos(3t ) sin(3t ))
28 Entropia S.. Entropia obliczona dla stanu ogólnego (t) i wykresy entropii dla stanów a, b, c S p( (t)) = e 3 9t ( log[ e 3 9t ( e 9t ( 3 3 )cos(3t ) ( 3 )sin(3t ))]( e 9t ( 3 3 ) 9t 9t cos( 3t) ( 3x)sin(3t )) log[ e ( e ( 3 )cos(3t ) 3( )sin(3t ))] 3 9t 9t 9t ( e ( 3 )cos(3t ) 3( )sin(3t )) log[ e ( e ( 3)cos(3t ) 3 9t ( 3 3 )sin(3t ))]( e ( 3)cos(3t ) ( 3 3 )sin(3t )) Do tak obliczonej entropii podstawiam odpowiednie składowe stanów i otrzymuję wykresy entropii stanów a, b, c: a c b Czas t Widać, że dla dynamiki zadanej przez generator podwójnie stochastyczny stany osiągają wartości o maksymalnej entropii. 9
29 ..3 Wykresy rzutów stanów statystycznych odpowiednich składowych x, y, z (,, 3) dla wektorów stanów a, b, c - składowe x, y y a b c x składowe x, z z a b c x składowe y, z z b a c y 30
30 Zakończenie Świat dynamiki, klasycznej czy kwantowej, to świat odwracalny 5. Termodynamika, teoria względności i mechanika kwantowa wszystkie wywodzą się z odkryć, że coś jest niemożliwe, z odkrycia granic aspiracji fizyki klasycznej. Druga zasada termodynamiki wyraża właśnie taką pewną niemożliwość 6. Gdybyśmy zechcieli, by czas płynął wstecz musielibyśmy pokonać nieskończenie wysoką barierę entropii. Nieodwracalność i towarzyszący jej wzrost entropii nie są ogólnym następstwem praw dynamiki. Teoria procesów nieodwracalnych wymaga ustalenia dodatkowych bardziej specyficznych warunków. Musimy uznać fakt, że żyjemy w świecie pluralistycznym, w którym współistnieją procesy odwracalne i nieodwracalne. Cóż, kiedy taki pluralistyczny świat wcale nie jest łatwo zaakceptować 7. Wśród fizyków istniały i istnieją nadal różne poglądy na temat nieodwracalności. Ciągle, jednym z najżywiej badanym obecnie zagadnień jest kwestia, jak wpisać nieodwracalność w budowę materii 8. W pracy zostały na początku przedstawione poglądy kanadyjskiego fizyka Mackeya, który wysuwa hipotezę, iż nieodwracalne układy dynamiczne zadają tylko ściśle określone i ustalone dynamiki dokładne. Idąc w ślad za tym stwierdzeniem, została w prostych przypadkach przedstawiona, dla czasów ciągłych i dyskretnych, konstrukcja dynamik ujawniających swój nieodwracalny charakter. Dla czasów dyskretnych znaleziono pewną klasę macierzy podwójnie stochastycznych, zadających stanom statystycznym dynamikę, która prowadzi do wzrostu entropii. W przypadku ciągłym, stany statystyczne osiągają maksymalną entropię, tylko wtedy gdy dynamika zadana jest przez generatory podwójnie stochastyczne. 5 Ilya Prigogine, Isabelle Stengers, Z chaosu ku porządkowi, str Ibidem, str Ibidem, str Ibidem, str
31 Bibliografia [] Ilya Prigogine, Isabelle Strengers, Z chaosu ku porządkowi, Warszawa, 990 [] B. Misra and I. Prigogine, Time, probability, and dynamics, Brussels, 983 [3] Michael C. Mackey, Time s arrow: The origins of thermodynamic behavior, New York, 99 [4] Michael C. Mackey, The dynamic origin of increasing entropy Rev. Mod. Phys , October 989 [5] Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Chaos, fractals, and noise, Stochastic aspects of dynamics, New York, 985 [6] Voight, J. 98. Stochastic operators, information, and entropy, Commun. Math. Phys [7] F. R. Gandmacher, Teoria matric, Moskwa, 953 [8] R. S. Ingarden, A. Jamiołkowski, R. Mrugała, Fizyka statystyczna i termodynamika, Warszawa, 990 3
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoCo ma piekarz do matematyki?
Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009 x x (x 1, x 2 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ). x
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoTeoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne
WYKŁAD 23 1 Teoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne (Birkhoff, Ter Haar) Hipoteza semi-ergodyczna
Bardziej szczegółowoWstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron
Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoLista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.
Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoRównania Pitagorasa i Fermata
Równania Pitagorasa i Fermata Oliwia Jarzęcka, Kajetan Grzybacz, Paweł Jarosz 7 lutego 18 1 Wstęp Punktem wyjścia dla naszych rozważań jest klasyczne równanie Pitagorasa związane z trójkątem prostokątnym
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoChaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu
: miary i kryteria chaosu Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 27.08.14 : miary i kryteria chaosu Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using
http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoCo to jest model Isinga?
Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego.
Bardziej szczegółowo14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe
14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoTERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA
TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 13-14 można się umówić wysyłając e-maila 1
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 12 ENTROPIA I NIERÓWNOŚĆ THERMODYNAMICZNA 1/10
WYKŁAD 12 ENROPIA I NIERÓWNOŚĆ HERMODYNAMICZNA 1/10 ENROPIA PŁYNU IDEALNEGO W PRZEPŁYWIE BEZ NIECIĄGŁOŚCI Załóżmy, że przepływ płynu idealnego jest gładki, tj. wszystkie pola wielkości kinematycznych i
Bardziej szczegółowo