Rozwijanie uzdolnień matematycznych uczniów. semestr letni, 2018/2019 wykład nr 4

Transkrypt

1 Rozwijanie uzdolnień matematycznych uczniów semestr letni, 2018/2019 wykład nr 4

2 Przekształcenia zadań Dwa wyróżnienia: D.T. (za księżyce Hipokratesa), B.S. (za ładne zadanie patrz zadanie domowe). Bardzo proszę wpisywać zadania bazowe.

3 Dwa zadania (nr 15 i nr 18) z Kangura 2017 (Student) Klucz: ostatnią cyfrą poszukiwanej liczby jest 9. Oznaczenie: ab.. c9.. 9, gdzie na końcu mamy pewną (s) liczbę 9, natomiast c 9. Dwa warunki: 7 a + b + + c + 9s, 7 a + b + + c + 1. Najmniejsza liczba spełniająca te dwa warunki to: Czy są inne? Czy jest ich nieskończenie wiele? (zadanie domowe) Sumy cyfr liczb naturalnych to świetny temat do projektu.

4 Zadanie do poprawy (ostatnia wersja) 5 2 = = = 6

5 Zadanie do poprawy (ostatnia wersja) 3 1 = = = 3

6 Zadanie do poprawy (ostatnia wersja)

7 Zadanie do poprawy (ostatnia wersja) Podsumowanie: liczba dróg wynosi = 108.

8 Jeszcze raz twierdzenie o trójkach pitagorejskich zadanie z Kangura-Student 2015 Ile jest trójkątów ABC, w których ABC = 90 0, AB = 20 i długości wszystkich boków są liczbami naturalnymi? c a c + a = 400, stąd f = c a, g = c + a są dzielnikami liczby 400, muszą być one tej samej parzystości. Otrzymujemy tabelkę rozwiązań: f g c a

9 Inne rozwiązanie Jeśli liczby x, y, z są rozwiązaniami równania Pitagorasa x 2 + y 2 = z 2, to istnieją liczby naturalne s, t takie, że x = 2st, y = s 2 t 2, z = s 2 + t 2 lub y = 2st, x = s 2 t 2, z = s 2 + t 2. Komentarz: jedna z liczb x, y musi być parzysta, dlaczego? Dla 20 = 2st otrzymujemy dwa rozwiązania, dla 20 = s 2 t 2 otrzymujemy dwa inne rozwiązania.

10 Kółka matematyczne Kółko matematyczne tematyka przygotowanie do konkursów matematycznych rozwiązywanie zadań, ale także teoria do tych zadań łamigłówki i gry matematyczne historia matematyki matematyka z technologiami (dokładne poznanie programu, np. GeoGebra, rozwiązywanie zadań za pomocą tego programu) zastosowania matematyki matematyka akademicka (uniwersytecka lub politechniczna) model mieszany

11 Kółko matematyczne plan ocena kręgu odbiorców i celów kółka plan (tematy na kolejne spotkania, zadania na kolejne spotkania) baza zadań oparta na poznanych źródłach (zbiory zadań konkursowych, strony internetowe) wybór form pracy (wspólne rozwiązywanie zadań, zadania do domu do zastanowienia się)

12 Kółko matematyczne geometria dynamiczna (DGS) Zapoznanie się z programem typu GeoGebra, Cabri. (nie wszystko na początku, poznawanie opcji, możliwości potrzebnych do konkretnych zadań) Trzy przykładowe zadania.

13 Zadanie 1 Mówimy, że wielokąt W jest wpisany w wielokąt V, jeśli W V oraz wszystkie wierzchołki W leżą na brzegu wielokąta V. Dany jest dowolny trójkąt ABC. Skonstruuj kwadrat wpisany w ten wielokąt. Rozwiązanie eksperymentalne (na kartce). Rozwiązanie eksperymentalne (GeoGebra). Nowe narzędzie (makrokonstrukcja, program geometryczny, GeoGebra).

14 Zadanie 2 Dane są trzy proste równoległe. Skonstruuj trójkąt równoboczny, którego wierzchołki leżą na tych prostych. Rozwiązanie eksperymentalne (na kartce). Rozwiązanie eksperymentalne (GeoGebra). Makrokonstrukcja (program geometryczny, GeoGebra). Rozwiązanie z dowodem.

15 Zadanie 3 Dane jest koło i punkt w jego wnętrzu. Dwie proste prostopadłe o początku w punkcie P przecinają brzeg koła w punktach A, B. Tworzymy prostokąt o bokach PA, PB. Jego wierzchołek leżący po przekątnej naprzeciw punktu P nazywamy Q. Znaleźć miejsce geometryczne punktów Q przy ustalonym P i zmieniających się półprostych. Rozwiązanie eksperymentalne (na kartce). Rozwiązanie eksperymentalne (GeoGebra). Makrokonstrukcja (program geometryczny, GeoGebra). Rozwiązanie z dowodem.

16 Zadanie domowe Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb, o których mowa w zadaniu 18. (zadanie konkursowe, rozwiązanie można przysłać w formie pliku lub napisać ręcznie i oddać w następny wtorek, ale wtedy może przepaść nagroda-premia egzaminacyjna dla zwycięzcy) Zadanie B.S.: Ile jest dodatnich liczb całkowitych takich, że taka liczba jest trzynaście razy większa od liczby, która powstaje z niej przez skreślenie cyfry jedności?

17 Praca semestralna B.S.: Olimpiada Lingwistyczna