Metalogika. Jerzy Pogonowski. Logiki abstrakcyjne

Transkrypt

1 Metalogika Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Logiki abstrakcyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 1 / 60

2 Wst p Paradygmat semantyczny Mo»na rozwa»a systemy logiczne jako pary zªo»one z j zyka oraz (aksjomatycznie okre±lonej) relacji speªniania. Klasyczne przykªady logik abstrakcyjnych rozwa»anych w tym uj ciu to m.in.: logiki z uogólnionymi kwantykatorami; logiki innitarne. W tym wykªadzie podamy denicj logik abstrakcyjnych i nieco przykªadów. Wykªady nast pne b d dotyczyªy: Twierdze«Lindströma zastosowa«uogólnionych kwantykatorów. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 2 / 60

3 Staªe logiczne Czym s staªe logiczne? Do staªych logicznych logiki klasycznej zaliczamy: funktory prawdziwo±ciowe; kwantykatory; (czasami) predykat identyczno±ci. Naturalne jest jednak rozwa»anie systemów logicznych, w których wyst puj inne jeszcze symbole traktowane jako staªe logiczne. Nale»y wtedy ustali denotacje tych symboli. Dodanie nowych staªych logicznych (do j zyka logiki klasycznej) mo»e zwi kszy moc wyra»ania otrzymanej logiki. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 3 / 60

4 Logiki abstrakcyjne Denicje Przez logik abstrakcyjn rozumiemy ka»d par uporz dkowan L = (L, = L ), speªniaj c nast puj ce warunki: L przyporz dkowuje ka»dej sygnaturze σ zbiór L(σ), zwany zbiorem σ-zda«logiki L. [Uwaga: w niektórych przypadkach trzeba rozwa»a klasy zamiast zbiorów.] Je±li σ τ, to L(σ) L(τ). Je±li A = L ϕ, to dla pewnej σ mamy: A Str σ oraz ϕ L(σ). Warunek izomorzmu. Je±li A = L ϕ oraz A = B, to B = L ϕ. Warunek reduktu. Je±li τ σ, ϕ L(σ) oraz A Str σ, to A = L ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy A τ = L ϕ Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 4 / 60

5 Logiki abstrakcyjne Denicje Przypominamy,»e A τ jest τ-reduktem struktury A, czyli struktur powstaj c z A poprzez uwzgl dnienie tylko interpretacji wszystkich symboli z τ (a wi c, gdy A Str σ oraz τ σ, to w A τ uwzgl dniamy tylko interpretacje symboli z τ, pomijaj c interpretacje symboli z σ τ). Dla dowolnej logiki abstrakcyjnej L oraz ϕ L(σ) niech: Mod σ L (ϕ) = {A : A Str σ oraz A = L ϕ} (je±li σ b dzie jasna z kontekstu, b dziemy pisa Mod L (ϕ)). Niech L ωω oznacza logik pierwszego rz du. W tym przypadku funkcja L przyporz dkowuje ka»dej sygnaturze σ zbiór wszystkich zda«pierwszego rz du w których wyst puj symbole z σ. Dla logiki L ωω b dziemy u»ywali relacji =, bez indeksu, pokrywaj cej si z relacj speªniania znan z wykªadu logiki pierwszego rz du. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 5 / 60

6 Moc wyra»ania logiki Moc wyra»ania logiki U»ywali±my dot d w sposób nieformalny wyra»enia: logika L 1 ma mniejsz moc wyra»ania ni» logika L 2. Mo»na mu nada precyzyjny sens (w terminach semantycznych): Piszemy L 1 L 2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej sygnatury σ oraz ka»dego ϕ L 1 (σ) istnieje ψ L 2 (σ) takie,»e: Mod σ L 1 (ϕ) = Mod σ L 2 (ψ). Mówimy wtedy,»e L 1 ma moc wyra»ania nie wi ksz ni» L 2. Gdy zachodzi L 1 L 2, ale nie zachodzi L 2 L 1, to piszemy L 1 < L 2 i mówimy,»e L 2 ma moc wyra»ania wi ksz ni» L 1. Gdy zachodzi L 1 L 2 oraz zachodzi L 2 L 1, to piszemy L 1 L 2 i mówimy,»e L 1 i L 1 maj tak sam moc wyra»ania. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 6 / 60

7 Moc wyra»ania logiki Logiki abstrakcyjne W tym wykªadzie ograniczamy si do przykªadów. W wykªadzie nast pnym podane zostan niektóre podstawowe wªasno±ci logik abstrakcyjnych (wykorzystywane m.in. w Twierdzeniach Lindströma). Interesuj ce s nie caªkiem ogólne logiki abstrakcyjne, lecz raczej te, o których skªadni mo»emy co± przes dzi. W szczególno±ci, zwykle rozwa»a si logiki o dobrych wªasno±ciach Boolowskich (rozwa»ane ni»ej przykªady maj te wªasno±ci). Ograniczymy si do wybranych wªasno±ci semantycznych. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 7 / 60

8 Przykªady: uogólnione kwantykatory Troch historii Troch historii Andrzej Mostowski rozwa»aª w 1957 roku tzw. kwantykatory numeryczne Q α, gdzie α jest liczb porz dkow. Znaczenie formuªy Q α xϕ(x) okre±la si nast puj co: M = Q α xϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {a dom(m) : M = ϕ(x)[a]} ma moc nie mniejsz od ℵ α. W szczególno±ci, Q 0 jest kwantykatorem, za pomoc którego wyrazi mo»na poj cia: niesko«czenie wiele oraz sko«czenie wiele, poniewa» formuªa Q 0 xϕ(x) jest speªniona w strukturze M wtedy i tylko wtedy, gdy w dom(m) istnieje co najmniej ℵ 0 obiektów, speªniaj cych formuª ϕ(x). Jak pami tamy z elementarnego kursu logiki, poj tych nie mo»na wyrazi w klasycznej logice pierwszego rz du. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 8 / 60

9 Przykªady: uogólnione kwantykatory Troch historii Troch historii Mostowski formuªuje pewne warunki, które musz by speªnione, aby tak wprowadzone poj cie miaªo porz dn (i zamierzon ) semantyk. Do warunków takich nale»y to,»e je±li M = Q α xϕ(x) oraz struktury M i N s izomorczne, to zachodzi równie» N = Q α xϕ(x). Odpowiada to intuicjom zwi zanym z kwantykatorem (numerycznym): ma on charakteryzowa jedynie liczb obiektów, nie przes dzaj c niczego o ich jako±ci. Kwantykatory numeryczne Mostowskiego rozumie mo»na w sposób relacyjny: kwantykatorem (jednoargumentowym) jest rodzina Q par zbiorów (U, X ), gdzie X U oraz je±li (U, X ) Q i X = Y, U X = V Y, to (V, Y ) Q. Symbol X oznacza, przypomnijmy, moc zbioru X. Dla przykªadu: Q 0 = {(U, X ) : X ℵ 0 }. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 9 / 60

10 Przykªady: uogólnione kwantykatory Troch historii Troch historii Mostowski udowodniª,»e L ωω (Q 0 ) nie jest (efektywnie) aksjomatyzowalna. Niech θ b dzie zdaniem: x Q 0 y (y < x) j zyka L ωω (Q 0 ) i niech Π b dzie aksjomatyk arytmetyki Peana (w j zyku L ωω ), a N 0 modelem standardowym tej arytmetyki. Wtedy dla ka»dego zdania φ j zyka L ωω mamy: N 0 = φ wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego M, je±li M = Π, to M = (θ φ). Poniewa», jak wiadomo, nie ma efektywnej procedury arytmetycznej dla rozstrzygania lewej strony tej równowa»no±ci, wi c nie istnieje peªna metoda dowodowa dla L ωω (Q 0 ). Postawiony przez Mostowskiego problem, czy L ωω (Q 1 ) jest aksjomatyzowalna zostaª rozwi zany przez Keislera. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 10 / 60

11 Przykªady: uogólnione kwantykatory Troch historii Troch historii Mostowski podaª tak»e teorio-modelow charakterystyk kwantykatorów pierwszego rz du dowolne rozszerzenie logiki pierwszego rz du otrzymane przez dodanie jednoargumentowego kwantykatora, które speªnia warunek: ka»de zdanie, które ma model niesko«czony, ma te» model ka»dej mocy niesko«czonej jest równowa»ne z logik pierwszego rz du. Uogólnienie uj cia Mostowskiego podano w pracach Lindströma (1966, 1969), gdzie rozwa»a si nie tylko kwantykatory jednoargumentowe, lecz równie» wieloargumentowe: (Lokalnym) kwantykatorem uogólnionym na M typu k 1,..., k n nazywamy dowoln n-arn relacj pomi dzy podzbiorami M k 1,..., M kn. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 11 / 60

12 Przykªady: uogólnione kwantykatory Troch historii Troch historii Relacyjne uj cie Lindströma pozwala na badanie bardzo szerokiej klasy kwantykatorów. W 1959 roku Leon Henkin rozwa»aª kwantykatory rozgaª zione. Dalszych uogólnie«dokonaª w latach siedemdziesi tych XX wieku Jon Barwise. Rozwa»aª m.in. rozgaª zione preksy, w których wyst powaªy uogólnione kwantykatory (w sensie Lindströma). Uogólnione kwantykatory znalazªy zastosowania w opisie semantyki j zyków etnicznych. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 12 / 60

13 Przykªady: uogólnione kwantykatory Skªadnia Skªadnia Przez L Q oznacza b dziemy j zyk KRP z kwantykatorem Q. Interpretacje L Q wyznaczone b d przez semantyczn charakterystyk Q. Dla j zyka L Q z ustalon interpretacj semantyczn Q b dziemy te» u»ywa terminu logika L Q. Niech ℵ α b dzie α-t moc niesko«czon (gdzie α jest liczb porz dkow ). Zamiast ℵ 0 piszemy czasem ω. Je±li κ, λ s niesko«czonymi liczbami kardynalnymi, to przez L κλ rozumiemy j zyk w którym dopuszczalne s koniunkcje i alternatywy dªugo±ci mniejszej ni» κ oraz preksy kwantykatorowe dªugo±ci mniejszej ni» λ. Tak wi c, L ωω to j zyk KRP, klasycznej logiki pierwszego rz du. Przez L λ rozumiemy j zyk, w którym dopuszczalne s koniunkcje i alternatywy dowolnej dªugo±ci oraz preksy kwantykatorowe dªugo±ci mniejszej ni» λ. Poni»ej podajemy, bez zamiaru systematyczno±ci wykªadu, wybrane fakty dotycz ce semantyki niektórych uogólnionych kwantykatorów. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 13 / 60

14 Przykªady: uogólnione kwantykatory Skªadnia Skªadnia j zyków z uogólnionymi kwantykatorami Dodanie symbolu uogólnionego kwantykatora do j zyka KRP zmusza do odpowiedniej denicji zbioru formuª: Formuªy atomowe s formuªami. Kombinacje Boolowskie formuª s formuªami. Formuªa poprzedzona kwantykatorem ogólnym x lub szczegóªowym x jest formuª. Je±li α jest formuª, a Q symbolem uogólnionego kwantykatora, to Qx α jest formuª. Nie ma innych formuª ni» te, które mo»na otrzyma za pomoc powy»szych warunków. W przypadku kwantykatorów doª czanych do par (lub wi kszej liczby) formuª dokonujemy oczywistej modykacji tej denicji. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 14 / 60

15 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator istnieje niesko«czenie wiele Kwantykator istnieje niesko«czenie wiele Wyra»enie Q 0 x α(x) czytamy: istnieje niesko«czenie wiele x takich,»e α(x). Semantyka Q 0 wyznaczona jest przez warunek: A = Q 0 x α(x) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {a dom(a) : A = α[a]} jest niesko«czony. Oto niektóre wªasno±ci L Q 0 : Standardowy model arytmetyki PA mo»na scharakteryzowa w L Q 0 z dokªadno±ci do izomorzmu. Wystarczy do aksjomatów dyskretnego liniowego porz dku < doda aksjomat: x Q 0 y y < x. W L Q 0 nie zachodzi górne twierdzenie Löwenheima-Skolema. nie jest aksjomatyzowalna. L Q 0 Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 15 / 60

16 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator istnieje niesko«czenie wiele Kwantykator istnieje niesko«czenie wiele W L Q 0 W L Q 0 nie zachodzi twierdzenie o zwarto±ci. zachodzi dolne twierdzenie Löwenheima-Skolema. Peªno± (systemu dowodowego z niesko«czonymi dowodami) dla L Q 0 mo»na otrzyma przez dodanie reguªy innitarnej: 1 x α(x), 2 x α(x),.... Q 0 x α(x) Dowolna przeliczalna ℵ 0 -kategoryczna teoria w L Q 0 bez modeli sko«czonych jest zupeªna. Teoria g stych liniowych porz dków jest zupeªna w L Q 0. L Q 0 jest fragmentem L ω 1 ω, co wida z równowa»no±ci: Q 0 x α(x) n x α(x). n<ω Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 16 / 60

17 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator istnieje nieprzeliczalnie wiele Kwantykator istnieje nieprzeliczalnie wiele Wyra»enie Q 1 x α(x) czytamy: istnieje nieprzeliczalnie wiele x takich,»e α(x). Semantyka Q 1 wyznaczona jest przez warunek: A = Q 1 x α(x) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {a dom(a) : A = α[a]} jest nieprzeliczalny. Ograniczamy si do interpretacji nieprzeliczalnych. Tak jak w L Q 0 deniowalne jest poj cie sko«czono±ci, tak w L Q1 deniowalne jest poj cie przeliczalno±ci. Oto niektóre wªasno±ci L Q 1 : Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 17 / 60

18 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator istnieje nieprzeliczalnie wiele Kwantykator istnieje nieprzeliczalnie wiele Teoria g stych liniowych porz dków nie jest zupeªna w L Q 1. Górne twierdzenie Löwenheima-Skolema nie zachodzi w L Q 1. Dolne twierdzenie LS zachodzi w nast puj cej wersji: je±li teoria w L Q 1 (mocy co najwy»ej ℵ 1 ) ma model, to ma model mocy ℵ 1. Ka»da ℵ 1 -kategoryczna teoria w L Q 1 (mocy co najwy»ej ℵ 1) jest zupeªna. Teoria ciaª algebraicznie domkni tych charakterystyki zero jest zupeªna w L Q 1. L Q 1 jest (!) aksjomatyzowalna. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 18 / 60

19 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Changa Kwantykator Changa Wyra»enie Q c x α(x) czytamy: istnieje tyle x takich,»e α(x) ile jest obiektów w caªym uniwersum. Semantyka Q c wyznaczona jest przez warunek: A = Q c x α(x) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {a dom(a) : A = α[a]} ma tak sam moc, jak zbiór dom(a). Oto niektóre wªasno±ci L Qc : W modelach mocy ℵ 1 kwantykator Q c ma tak sam interpretacj, jak kwantykator Q 1. Teoria g stych porz dków liniowych nie jest zupeªna w L Qc. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 19 / 60

20 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Changa Kwantykator Changa Teoria ciaª algebraicznie domkni tych charakterystyki zero jest zupeªna w L Qc. [Teoria ta dopuszcza eliminacj kwantykatorów i Q c.] Je±li przeliczalna teoria w L Qc ma model, którego moc jest liczb kardynaln nast pnikow, to ma model mocy ℵ 1. Je±li przeliczalna teoria w L Qc ma model mocy ℵ 0, to ma modele ka»dej mocy niesko«czonej. Niech Val 1 b dzie zbiorem wszystkich zda«l Qc prawdziwych w modelach mocy ℵ 1 i niech Val ω b dzie zbiorem wszystkich zda«l Qc prawdziwych w modelach mocy ℵ ω. Wtedy (przy zaªo»eniu uogólnionej hipotezy kontinuum): Val 1 oraz Val ω s rekurencyjnie przeliczalne. Val 1 Val ω jest zbiorem wszystkich L Qc -tautologii. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 20 / 60

21 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Henkina Kwantykator Henkina Wyra»enie Q H (x, y, u, v)α(x, y, u, v) jest skrótem dla formuªy z nast puj cym cz ±ciowo uporz dkowanym preksem kwantykatorowym: x y u v α(x, y, u, v) Semantyka dla tego kwantykatora wyznaczona jest przez warunek: A = Q H xyuv α(x, y, u, v) wtedy i tylko wtedy, gdy istniej funkcje f oraz g (okre±lone na dom(a) i o warto±ciach w dom(a)) takie,»e A = α(x, f (x), u, g(u)). Oto niektóre wªasno±ci L QH : Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 21 / 60

22 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Henkina Kwantykator Henkina Kwantykatory Q 0 oraz Q c s deniowalne w L QH. L QH W L QH nie jest aksjomatyzowalna. nie zachodzi twierdzenie o zwarto±ci. W L QH nie zachodzi ani dolne, ani górne twierdzenie Löwenheima-Skolema. Widzimy wi c,»e równie» L QH ma znaczn moc wyra»ania. Rozwa»a si wiele innych kwantykatorów rozgaª zionych (tak»e preksy zawieraj ce kwantykatory uogólnione). Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 22 / 60

23 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykatory: Härtiga i Reschera Kwantykatory: Härtiga i Reschera Semantyka dla kwantykatora Härtiga Q I wyznaczona jest przez warunek: A = Q I xy α(x)β(y) wtedy i tylko wtedy, gdy moce zbiorów {a dom(a) : A = α(x) [a]} {a dom(a) : A = β(y) [a]} s równe (jest tyle samo obiektów o wªasno±ci α co tych o wªasno±ci β). Semantyka dla kwantykatora Reschera Q R wyznaczona jest przez warunek: A = Q R xy α(x)β(y) wtedy i tylko wtedy, gdy moc zbioru {a dom(a) : A = α(x) [a]} jest niewi ksza od mocy zbioru {a dom(a) : A = β(y) [a]}. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 23 / 60

24 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Wyra»enie Q m x α(x) czytamy: obiekty x takie,»e α(x) tworz wi kszo± w uniwersum. Aby poda rozs dn semantyk dla Q m trzeba oczywi±cie nada precyzyjne znaczenie terminowi wi kszo±. Nie interesuje nas przy tym lokalne rozumienie tego terminu (typu: wi kszo± A jest B). Teraz chodzi o wi kszo±ci w caªym uniwersum. S ró»ne mo»liwo±ci ustalenia semantyki dla takiego kwantykatora. Podamy jedn z nich, proponowan przez Szrejdera i Vilenkina. Niech X b dzie zbiorem niepustym i niech B(X ) b dzie algebr Boole'a jego (niekoniecznie wszystkich) podzbiorów tak,»e X B(X ). Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 24 / 60

25 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Rodzin M(X ) elementów B(X ) nazywamy systemem wi kszo±ci, je±li: (1) M(X ) (2) je±li A M(X ) i A B, to B M(X ) (3) je±li A M(X ), to dopeªnienie A (w sensie algebry B(X )) nie nale»y do M(X ). Je±li M(X ) jest systemem wi kszo±ci w X, to ukªad (X, M(X )) nazywamy przestrzeni z wi kszo±ci. Je±li A M(X ), to A nazywamy wi kszo±ci w X. Je±li M(X ) jest systemem wi kszo±ci w X, to oczywi±cie: / M(X ), X M(X ) je±li A M(X ) i B M(X ), to A B. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 25 / 60

26 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Przestrzenie z wi kszo±ci mog by otrzymane np. wtedy, gdy na X jest zadana unormowana sko«czenie addytywna miara µ, dla której B(X ) jest rodzin zbiorów mierzalnych, a systemem wi kszo±ci jest podrodzina rodziny B(X ), której elementy maj miar nie mniejsz od jakiego± ustalonego progu τ 1. Jednak istniej te» przestrzenie z wi kszo±ci, 2 które nie mog by przez tak miar okre±lone. Pomijamy tu bardziej szczegóªowy opis przestrzeni z wi kszo±ci. Dodajmy jedynie,»e stanowi one prost i do± adekwatn aparatur poj ciow dla opisu np. systemów podejmowania decyzji (przez grupy ekspertów). Przestrzenie z wi kszo±ci dostarczaj semantyki dla kwantykatora wi kszo±ci Q m : A = Q m x α(x) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {a dom(a) : A = α[a]} jest wi kszo±ci w dom(a), dla pewnego systemu wi kszo±ci M(dom(A)). Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 26 / 60

27 Przykªady: uogólnione kwantykatory Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Kwantykator Szrejdera-Vilenkina Kwantykator Q m mo»e by opisany aksjomatycznie: x α(x) Q m x α(x) Q m x α(x) Q m x α(x) x (α(x) β(x)) (Q m x α(x) Q m x β(x)). Mo»na pokaza,»e ta aksjomatyka jest trafna i peªna wzgl dem podanej wy»ej semantyki dla Q m. Pierwsz prac dotycz c tego kwantykatora jest (o ile nam wiadomo): Vilenkin, N.Ya., Shreider, Yu.A Majority spaces and majority quantier. Semiotics and Informatics. The Eight Volume. VINITI, Moscow. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 27 / 60

28 Przykªady: logiki innitarne Logiki innitarne Logiki innitarne Gdy mówimy o logice,»e jest innitarna, to mo»emy mie na my±li np. to,»e: rozwa»any j zyk dopuszcza formuªy niesko«czenie dªugie; dopuszcza si niesko«czenie dªugie dowody; stosuje si nienitarne reguªy wnioskowania (np. ω-reguª ). Oczywi±cie, logiki takie maj znaczn moc wyra»ania, np.: W L ω1 ω scharakteryzowa mo»na model standardowy arytmetyki Peana. W L ω1 ω scharakteryzowa mo»na klas wszystkich zbiorów sko«czonych. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 28 / 60

29 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii Wedle G. H. Moore'a (Moore 1995, 109) pierwsze u»ycia formuª niesko«czonych w logice znajdujemy u George'a Boole'a w Mathematical Analysis of Logic (1847), gdzie dowolne funkcje boolowskie rozwijane s w formalne szeregi MacLaurina. Tak»e w Laws of Thought Boole stosuje takie konstrukcje. W 1885 roku formuª niesko«czonych u»ywa Peirce, wprowadzaj c swoj symbolik dla kwantykatorów: Here... we may use for some, suggesting a sum, and for all, suggesting a means that x is true of some of the individuals denoted by i product. Thus i x i x i means that x is true of all or i x i = x i + x j + x k + etc. In the same way, i these individuals, or i x i = x i x j x k etc.... i x i and i x i are only similar to a sum and product; they are not strictly of that nature, because the individuals of the universe may be innumerable. Peirce 1885: ; cytat za Moore 1995: 110. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 29 / 60

30 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii Schröder w swoim monumentalnym dziele Vorlesungen über die Algebra der Logik z 1885 roku równie» czyni u»ytek z niesko«czenie dªugich formuª. Niepublikowane za»ycia notatki Schrödera zostaªy pó¹niej opracowane przez E. Müllera i wydane w 1910 roku jako Abriss der Algebra der Logik tam równie» znajdujemy stwierdzenia o równowa»no±ci formuª z kwantykatorami z niesko«czonymi koniunkcjami i alternatywami. W tradycji algebraicznej (nawi zuj cej do Peirce'a i Schrödera) pisz Leopold Löwenheim (1915) oraz Thoralf Skolem (1919, 1920, 1922). W swoim sªynnym artykule z 1915 roku (zawieraj cym pierwsze wyniki metalogiczne) Löwenheim u»ywa nie tylko niesko«czonych koniunkcji i alternatyw, lecz równie» niesko«czonych preksów kwantykatorowych. Nadto, mo»na twierdzi,»e posªugiwaª si innitarn reguª wnioskowania, uznaj c,»e gdy niesko«czona liczba zda«jest prawdziwa, to prawdziwa jest równie» formuªa niesko«czona, b d ca ich koniunkcj. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 30 / 60

31 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii Protosystem, w którym pracowaª Löwenheim wykorzystywaª wi c ±rodki typowe dla innitarnej logiki drugiego rz du. W uogólnieniach i rektykacjach wyników Löwenheima podanych przez Skolema, ten ostatni czyniª istotny u»ytek z logiki innitarnej. Ostatecznie, aparat poj ciowy, którego u»ywaª (w 1919 i 1920) traktujemy dzi± jako systemy oznaczane przez L ω1 ω oraz L ω1 ω 1 mianowicie Skolem dopuszczaª równie» rozwa»anie formuª (w swoich postaciach normalnych) z niesko«czonymi preksami kwantykatorowymi (pocz tek takiego preksu stanowiªo sko«czenie wiele kwantykatorów generalnych, po których mogªo nast powa przeliczalnie wiele kwantykatorów egzystencjalnych). Denitywne zerwanie Skolema z logik innitarn to jego artykuª z 1922 roku, zawieraj cy m.in. krytyczne uwagi o aksjomatycznym systemie teorii mnogo±ci Zermela oraz (po raz pierwszy!) sformuªowanie aksjomatyki dla teorii mnogo±ci wyª cznie w j zyku pierwszego rz du. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 31 / 60

32 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii G. H. Moore do prehistorii logiki innitarnej (w nurcie algebraicznym) zalicza te» pewne prace Hilberta i Lewisa. Hilbert pocz tkowo (1905) korzystaª z wyra»e«innitarnych, nast pnie, do pó¹nych lat dwudziestych XX wieku eliminowaª tego rodzaju wyra»enia, jednak w 1931 wprowadziª innitarn reguª wnioskowania. Lewis, reprezentuj c formuªy skwantykowane jako równowa»ne niesko«czonym koniunkcjom i alternatywom miaª nadto ±wiadomo±,»e jego niesko«czone wyra»enia mog zawiera nieprzeliczalnie wiele symboli (Lewis 1918). Równie» w drugiej z»ywotnych w pierwszej poªowie XX wieku tradycji, tj. tradycji wi zanej z Principia Mathematica, znajdujemy u Russella, Wittgensteina oraz Ramseya rozwa»ania u»ywaj ce formuª niesko«czonych. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 32 / 60

33 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii Obok krótkiej wzmianki o pogl dach Zermela (z lat , dotycz cych logiki innitarnej) G. H. Moore zwraca uwag na powstaªe okoªo roku 1940 pomysªy Carnapa, Nowikowa, Boczwara dotycz ce innitarnych systemów logiki. Carnap rozwa»aª m.in. innitarne reguªy wnioskowania. Na marginesie zauwa»my,»e wzmiank o innitarnej regule wnioskowania (dzi± nazywanej ω-reguª ) znajdujemy te» w 1928 roku w podr czniku Kazimierza Ajdukiewicza Gªówne zasady metodologji nauk i logiki formalnej. O propozycjach Carnapa wzmiankuje Abraham Robinson w swoich badaniach z pocz tku lat pi dziesi tych XX wieku (Robinson 1951). Nowikow rozwa»aª, caªkiem niezale»nie od logików zachodnich, systemy z przeliczalnymi koniunkcjami oraz alternatywami w 1939 roku. Wªasno±ciami metalogicznymi tych rachunków zajmowaª si Boczwar. Prace Nowikowa i Boczwara nie zyskaªy akceptacji logików w latach czterdziestych (m.in. za spraw negatywnych o nich opinii Churcha), zostaªy natomiast zrehabilitowane w latach osiemdziesi tych XX wieku przez Barwise'a, który metodami semantycznymi wykazaª ich poprawno±. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 33 / 60

34 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii W pracach dotycz cych deniowalnych typów porz dkowych Kuratowski u»ywaª kwantykatorów postaci istnieje liczba naturalna n taka,»e ϕ n (x) (gdzie ϕ jest formuª j zyka predykatów pierwszego rz du), stwierdzaj c,»e wyra»enie takie jest semantycznie równowa»ne niesko«czonej (przeliczalnej) alternatywie (Kuratowski 1937). Tarski zmodykowaª wtedy nieco to podej±cie Kuratowskiego, eliminuj c niesko«czone alternatywy poprzez wprowadzenie stosownego predykatu od dwóch zmiennych: P(x, n) równowa»nego formule ϕ n (x). Projekty logiki innitarnej rozwa»aª Helmer (1938). Braª pod uwag formuªy niesko«czenie dªugie (dobrze uporz dkowane ci gi symboli typu porz dkowego mniejszego ni» ω 2 ), niesko«czenie dªugie wyra»enia numeryczne (kodowania liczb rzeczywistych); stosowaª zasad indukcji i reguª odpowiadaj ca aksjomatowi ci gªo±ci Dedekinda; formuªowaª te» analogon twierdzenia Gödla o niezupeªno±ci, przy czym rozwa»aª podwójn niezupeªno± systemu: dedukcyjn i denicyjn. Na wstrzymanie bada«logik innitarnych (ok. roku 1940) decyduj cy wpªyw miaªy, jak si powszechnie uwa»a, pogl dy Gödla, propaguj cego standard (nitarnej) logiki pierwszego rz du. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 34 / 60

35 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii O systematycznym rozwijaniu logik innitarnych mówi mo»na od poªowy lat pi dziesi tych XX wieku (do tego czasu nie byªo chyba ±wiadomo±ci tradycji takich bada«). Stanowisko metodologiczne Tarskiego, je±li chodzi o wykorzystywanie logik innitarnych ulegaªo zmianom. W latach trzydziestych XX wieku, gdy formuªowaª (klasyczne, akceptowane do dzi±) matematyczne podstawy semantyki, odrzucaª mo»liwo± wykorzystywania niesko«czonych formuª. Dwadzie±cia lat pó¹niej, mi dzy innymi wªa±nie z jego inicjatywy, rozpocz ªy si intensywne badania logik innitarnych. W 1957 roku Tarski cytuje prac Jordan 1949, za± w 1958 roku prac Krasner 1938, jako poprzedzaj ce jego wªasne badania logik innitarnych z lat pi dziesi tych (Moore 1995:109). Poszukiwano systemów logicznych mocniejszych od logiki pierwszego rz du (której mo»liwo±ci wyra»ania pewnych wa»nych, b d cych w powszechnym u»yciu poj matematycznych s ograniczone), ale jednocze±nie takich, które miaªyby po» dane wªasno±ci metalogiczne. Warto mo»e zauwa»y,»e badania logik innitarnych nie ograniczaªy si do rozwa»a«dotycz cych jedynie samych tych logik dla przykªadu, zostaªy one wykorzystane (1960) dla rozstrzygni cia dªugo nierozwi zanego problemu, czy pierwsza liczba mocno nieosi galna jest mierzalna. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 35 / 60

36 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii Rozpocz te w poªowie lat pi dziesi tych XX wieku intensywne badania logik innitarnych miaªy inspiracje przede wszystkim algebraiczne. W 1951 roku Robinson u»ywa niesko«czonych koniunkcji oraz alternatyw w pracach algebraicznych (np. aksjomat Archimedesa daje si przedstawi jako niesko«czona alternatywa). W latach pi dziesi tych Tarski, Chang oraz Scott uzyskali dalsze (po pracach Stone'a i Loomisa) wyniki o reprezentacji algebr Boole'a. Henkin, z inspiracji Tarskiego, zaj ª si uogólnieniem twierdze«o reprezentacji ω-wymiarowych algebr cylindrycznych i szukania odpowiadaj cych im rozszerze«logiki pierwszego rz du. Wykorzystywaª m.in. symbole relacyjne o niesko«czonej liczbie argumentów. Uzyskaª te» pewne wyniki metalogiczne dotycz ce tych logik innitarnych. Wedªug Moore'a (Moore 1995, strony 107 oraz 121), granic mi dzy prehistori a histori bada«logik innitarnych wyznaczaj prace Henkin 1955 i Robinson Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 36 / 60

37 Przykªady: logiki innitarne Troch historii Troch historii Systematyczn prezentacj systemu logiki z niesko«czenie dªugimi formuªami zajmowaªa si Carol Karp, pisz c swoj rozpraw doktorsk u Leona Henkina. Pod koniec lat pi dziesi tych Tarski i Scott badali rachunki zdaniowe z koniunkcjami i alternatywami o dªugo±ci mniejszej ni» jaka± (dowolna) niesko«czona regularna liczba kardynalna. W szczególno±ci, uzyskali wyniki dotycz ce peªno±ci takich rachunków (Scott, Tarski 1957, 1958). Tarski rozwa»aª te» w tym czasie systemy logiki w dzisiejszej symbolice oznaczane jako L ω1 ω 1. Jedne z pierwszych uj monogracznych logik innitarnych to klasyczne ju» ksi»ki: Karp 1964 (Languages with expressions of innite length) oraz Dickmann 1975 (Large innitary languages). Wielce istotna byªa te» monograa Keisler 1971 (Model theory for innitary logic). Z wa»nych prac nieco pó¹niejszych wspomnijmy monumentaln monogra pod redakcj Barwise'a i Fefermana: Model Theoretic Logics, Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 37 / 60

38 Przykªady: logiki innitarne Skªadnia logik innitarnych J zyki innitarne skªadnia W j zykach L κλ, gdzie κ i λ s niesko«czonymi liczbami kardynalnymi (λ κ) dopuszczalne s koniunkcje i alternatywy dªugo±ci mniejszej od κ oraz kwantykacje na ci gach zmiennych dªugo±ci mniejszej od λ. W j zyku L κλ mamy nast puj ce symbole: symbole j zyka pierwszego rz du L (ustalonej sygnatury); zbiór zmiennych zdaniowych Var mocy κ; symbol operacji (niesko«czonej koniunkcji). Zbiór formuª j zyka L κλ okre±lamy w dwóch etapach. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 38 / 60

39 Przykªady: logiki innitarne Skªadnia logik innitarnych J zyki innitarne skªadnia Zbiór preformuª j zyka L κλ okre±lamy indukcyjnie: ka»da formuªa L jest preformuª ; je±li ϕ i ψ s preformuªami, to ϕ ψ oraz ψ s preformuªami; je±li Φ jest zbiorem preformuª mocy mniejszej od κ, to Φ jest preformuª ; je±li ψ jest preformuª, a X Var jest zbiorem zmiennych mocy mniejszej od λ, to X ψ jest preformuª ; ka»da preformuªa jest otrzymana przez powy»sze warunki. Pozostaªe funktory prawdziwo±ciowe wprowadzamy w zwykªy sposób. Nadto: Φ oznacza { ϕ : ϕ Φ} X ψ oznacza X ψ. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 39 / 60

40 Przykªady: logiki innitarne Skªadnia logik innitarnych J zyki innitarne skªadnia i semantyka Przez formuª j zyka L κλ rozumiemy preformuª zawieraj c mniej ni» λ zmiennych wolnych. Poj cia semantyczne dla L κλ deniujemy tak jak dla L, z dodatkowymi warunkami: A speªnia Φ przy warto±ciowaniu w wtedy i tylko wtedy, gdy A speªnia ϕ przy warto±ciowaniu w, dla wszystkich ϕ Φ; A speªnia X ψ przy warto±ciowaniu w wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ci g a elementów dom(a) speªniaj cy ψ oraz bijekcja mi dzy X i a. Pozostaªe poj cia semantyczne (prawdziwo±ci, wynikania logicznego, itd.) deniujemy w standardowy sposób. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 40 / 60

41 Przykªady: logiki innitarne Moc wyra»ania logik innitarnych Moc wyra»ania logik innitarnych J zyki L κλ, gdzie λ ω 1 zachowuj si podobnie jak j zyki drugiego rz du. Przez L ω rozumiemy j zyk z koniunkcjami i alternatywami dowolnej dªugo±ci oraz sko«czonymi preksami kwantykatorowymi. Zdanie Q 0 x ψ(x) j zyka L Q 0 (istnieje niesko«czenie wiele x o wªasno±ci ψ) ma te same modele co nast puj ce zdanie z L ω1 ω: x 1... x n x (ψ(x) (x = x 1... x = x n )). n ω Poj cie dobrego porz dku nie jest deniowalne w L ω1 ω, jest natomiast deniowalne w L ω1 ω 1 przez koniunkcj zdania charakteryzuj cego porz dki liniowe i zdania: ( x n ) n ω x ( (x = x n ) (x x n )). n ω n ω Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 41 / 60

42 Przykªady: logiki innitarne Moc wyra»ania logik innitarnych Moc wyra»ania logik innitarnych Predykat prawdziwo±ci formuª j zyka o przeliczalnej liczbie symboli jest deniowalny w L ω1 ω. W L ω1 ω dowoln przeliczaln struktur z przeliczaln liczb relacji mo»na scharakteryzowa z dokªadno±ci do izomorzmu (Twierdzenie Scotta). Teoria uporz dkowanych ciaª archimedesowych jest w L ω1 ω sko«czenie aksjomatyzowalna. Wªasno±ci semantyczne modeli dla logik L κλ i L ω (np. elementarn równowa»no± ) mo»na charakteryzowa metodami algebraicznymi (twierdzenie Karp o cz ±ciowych izomorzmach). W L ω1 ω zachodzi Lemat Interpolacyjny Craiga (nie zachodzi on w»adnej innej logice innitarnej). Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 42 / 60

43 Przykªady: logiki innitarne Kilka wªasno±ci metalogicznych Logiki innitarne Dolne twierdzenie Löwenheima-Skolema ma swój odpowiednik w L ω1 ω oraz wªa±ciwie we wszystkich logikach innitarnych. Natomiast górne twierdzenie Löwenheima-Skolema-Tarskiego w swojej zwykªej formie nie zachodzi w tych logikach; dokonuje si jednak podobnych do niego ustale«, wykorzystuj c tzw. liczby Hanfa. W L ω1 ω zachodzi twierdzenie o peªno±ci, gdy na innitarn reguª wnioskowania pozwalaj c wywnioskowa koniunkcj Φ ze zbioru przesªanek Φ narzucimy warunek, aby Φ byª przeliczalny. Ani w L ω1 ω, ani w»adnej z logik L κλ, gdzie κ ℵ 1, nie zachodzi twierdzenie o zwarto±ci. Rozwa»ano jednak stosowne modykacje tego twierdzenia i wykazano, i» zachodzenie tych uogólnionych wersji twierdzenia o zwarto±ci powi zane jest z istnieniem du»ych liczb kardynalnych. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 43 / 60

44 Przykªady: logiki innitarne Kodowanie dowodów Logiki innitarne Formuªy logiki pierwszego rz du L ωω kodowa mo»na liczbami naturalnymi lub, co na jedno wychodzi, zbiorami dziedzicznie sko«czonymi, tj. elementami zbioru H(ω). Z kolei, formuªy logiki L ω1 ω kodowa mo»na elementami zbioru H(ω 1 ), tj. zbiorami dziedzicznie przeliczalnymi. Tak»e dowody w L ω1 ω kodowa mo»na elementami H(ω 1 ). Dowody w logice L ω1 ω maj dªugo± przeliczaln. Mo»na jednak poda przykªad zbioru zda«γ oraz zdania σ z tego j zyka takich,»e Γ = σ, ale nie istnieje dowód σ z Γ w L ω1 ω (zob. np. Bell 2004). Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 44 / 60

45 Przykªady: logiki innitarne Kodowanie dowodów Logiki innitarne Zbiór H(ω 1 ) jest domkni ty na tworzenie przeliczalnych podzbiorów oraz ci gów. Jednak fakt wspomniany w poprzednim akapicie wskazuje i», mówi c w uproszczeniu, H(ω 1 ) nie jest domkni ty ze wzgl du na operacj odpowiadaj c kodowaniu dowodów z dowolnych Σ 1 na H(ω 1 ) zbiorów formuª. Naturalne jest w tej sytuacji poszukiwanie takich zbiorów A zast puj cych H(ω 1 ), które byªyby domkni te na operacje odpowiadaj ce kodowaniom dowodów w A oraz rozwa»anie tylko takich formuª, które maj kody w A. Byªa to jedna z motywacji do rozpatrywania tzw. dopuszczalnych fragmentów L A logiki L ω1 ω. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 45 / 60

46 Przykªady: logiki innitarne Zbiory dopuszczalne Logiki innitarne Barwise odkryª,»e istniej przeliczalne zbiory (admissible sets) A H(ω 1 ), które speªniaj powy»sze warunki. S to wi c takie uogólnienia zbiorów dziedzicznie sko«czonych, na których (jako na zbiorach kodów formuª) mo»liwe i sensowne jest uprawianie (uogólnionej) teorii rekursji oraz teorii dowodu. Udowodniª tak»e swoje znamienite twierdzenie o zwarto±ci: je±li A jest przeliczalnym zbiorem dopuszczalnym, to ka»dy zbiór formuª j zyka L A b d cy Σ 1 na A, którego ka»dy podzbiór (b d cy jednocze±nie elementem A) ma model, sam równie» ma model. Twierdzenie Barwise'a ma mnogie zastosowania, m.in. pozwala np. udowodni,»e ka»dy przeliczalny przechodni model dla ZFC ma wªa±ciwe rozszerzenie ko«cowe. Prace Barwise'a to swego rodzaju unikacja rozwa»a«w teorii modeli, teorii rekursji oraz teorii mnogo±ci. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 46 / 60

47 Przykªady: logiki innitarne Zbiory dopuszczalne Logiki innitarne Szczególnie przydatna dla bada«zbiorów dopuszczalnych okazaªa si wersja teorii mnogo±ci KP zaproponowana przez Kripke'go i Platka w poªowie lat sze± dziesi tych XX wieku. Jest ona teori elementarn (ze staª pozalogiczn ), b d c pewnym osªabieniem teorii mnogo±ci Zermelo-Fraenkla. Nie ma w niej aksjomatu zbioru pot gowego, a szczególn rol peªni schematy aksjomatów 0 -separation oraz 0 -collection (odpowiedniki schematów aksjomatów wyró»niania i zast powania), w których wyst puj formuªy klasy 0. Zbiory przechodnie A takie,»e (A, ) jest modelem KP nazywane s zbiorami dopuszczalnymi (admissible sets). Rozwa»a si tak»e teori KPU, czyli teori KP z atomami. Kompletny wykªad teorii zbiorów dopuszczalnych znale¹ mo»na np. w klasycznej monograi Barwise Przyst pne i zwi zªe omówienie (wspóªczesnego stanu) tej teorii znajdujemy np. w Keisler, Knight Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 47 / 60

48 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Ajdukiewicz, K Gªówne zasady metodologji nauk i logiki formalnej. (Skrypt autoryzowany, zredagowany przez Moj»esza Presburgera), Wydawnictwa Koªa Matematyczno-Fizycznego Sªuchaczów Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa. Barwise, J Admissible Sets and Structures. An Approach to Denability Theory. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York. Barwise, J On branching quantiers in English. Journal of Philosophical Logic 8, Barwise, J. Cooper, R Generalized quantiers and natural language. Linguistics and Philosophy 4, Barwise, J., Feferman, S Model Theoretic Logics. Springer. Bell, J.L Innitary Logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 48 / 60

49 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura van Benthem, J Questions about quantiers. Journal of Symbolic Logic. 49, van Benthem, J Essays in logical semantics. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht. van Benthem, J Quantiers and Inference. W: Krynicki, Mostowski, Szczerba (eds.) Quantiers: logics, models and computation., 120. van Benthem, J., ter Meulen, A. (eds.) Generalized quantiers in natural language. Foris Publications, Dordrecht. Boole, G The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay Toward a Calculus of Deductive Reasoning. Cambridge. Boole, G An Investigation into Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. London. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 49 / 60

50 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Dickmann, M.A Large Innitary Languages. North Holland, Amsterdam. van Eijck, J Generalized quantiers and traditional logic. W: van Benthem, J., ter Meulen, A. (eds.) Generalized quantiers in natural language., 119. Gärdenfors, P. (ed.) Generalized quantiers: Linguistic and logical approaches. Reidel, Dordrecht. Gödel, K S. Feferman et al. (eds.) Kurt Gödel: Collected Works, Volume I 1986, Volume II 1990, Volume III 1995, Volume IV 2003, Volume V, Oxford University Press, New York. Grattan-Guiness, I The search for mathematical roots Logics, set theories and the foundations of mathematics from Cantor through Russell to Gödel. Princeton University Press, Princeton and Oxford. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 50 / 60

51 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura van Heijenoort, J. (ed.) From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, Cambridge, Mass. Helmer, O Languages with expressions of innite length. Erkenntnis 8, Henkin, L The Representation Theorem for Cylindrical Algebras. Mathematical Interpretation of Formal Systems. North Holland, Henkin, L Some remarks on innitely long formulas. Innitistic Methods, Pergamon Press, Qxford, Jordan, P Zur Axiomatik der Verknüpfungsbereiche. Abhand. Math. Sem. Hamburg Univ. 16, Karp, C Languages with Expressions of Innite Length. North Holland, Amsterdam. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 51 / 60

52 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Keenan, E.L., Stavi, J A semantic characterization of natural language determiners. Linguistics and Philosophy 9, Keisler, H.J., Knight, J.L Barwise: innitary logic and admissible sets. The Bulletin of Symbolic Logic Volume 10, Number 1, 436. Krasner, M Une généralisation de la notion de corps. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 5, Krynicki, M., Mostowski, M., Szczerba, L.W. (eds.) Quantiers: logics, models and computation. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht Boston London. Kuratowski, K Les types d'ordre dénissables et les ensembles boreliens. Fundamenta Mathematicae 29, Lewis, C.S A Survey of Symbolic Logic. University of California, Berkeley. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 52 / 60

53 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Lindström, P First order predicate logic with generalized quantiers. Theoria, 32, Lindström, P On Extensions of Elementary Logic. Theoria, 35, 111. Löwenheim, L Über Möglichkeiten im Relativkalkül. Mathematische Annalen, 68, Przetªumaczone i przedrukowane w: van Heijenoort Malcew, A.A Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik. Mat. Sbornik n.s. 1, Malcew, A.A Ob odnom ob² em metodie polu enia lokalnych tieorem grupp. Ivanovskij Gosudarstviennyj Pedagogi eskij Institut, U ennyje zapiski, Fiziko-matiemati eskije nauki 1, no. 1, 39. Malcew, A.A O priedstavlienijach modielej. Doklady Akademii Nauk SSSR 108, Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 53 / 60

54 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Moore, G.H The prehistory of innitary logic: W: Maria Luisa Dalla Chiara, Kees Doets, Daniele Mundici, Johan van Benthem (eds.) Structures and norms in science. Volume two of the Tenth International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Florence, August 1995, Kluwer Academic Publishers, Mostowski, A On generalization of quantiers. Fundamenta Mathematicae 44, Mostowski, A Formal system of analysis based on an innitistic rule of proof. W: Innitistic Methods, Proceedings of the symposium on foundations of mathematics, Warsaw, 29 September Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa; Pergamon Press, New York, Oxford, London, and Paris, Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 54 / 60

55 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Mostowski, A Thirty Years of Foundational Studies: Lectures on the Development of Mathematical Logic and the Study of the Foundations of Mathematics in Acta Philosophica Fennica XVII, Soc. Philos. Fennica, Helsinki. Peirce, C.S On the algebra of logic: a contribution to the philosophy of notation. American Journal of Mathematics 7, Robinson, A On the Metamathematics of Algebra. North Holland, Amsterdam. Robinson, A Applications to Field Theory. Summaries of talks at the Summer Institute for Symbolic Logic in 1957 at Cornell University, Robinson, A Selected Papers. H.J. Keisler et alii (eds.), vol. I: Model Theory and Algebra. Yale University Press, New Haven, Conn. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 55 / 60

56 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Schröder, E Vorlesungen über die Algebra der Logik. Vol. 3, Leipzig. Schröder, E Abriss der Algebra der Logik, 2, E. Müller (Hg.), Leipzig. Scott, D., Tarski, A The sentential calculus with innitely long expressions. Summaries of talks at the Summer Institute for Symbolic Logic in 1957 at Cornell University, Scott, D., Tarski, A The sentential calculus with innitely long expressions. Colloquium Mathematicum 6, Shapiro, S Second-Order Languages and Mathematical Practice. Journal of Symbolic Logic, 50, Przedruk w: Shapiro Shapiro, S Second-Order Logic, Foundations, and Rules. Journal of Philosophy, 87, Przedruk w: Shapiro Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 56 / 60

57 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Shapiro, S. (ed.) The limits of logic: higher-order logic and the Löwenheim-Skolem theorem. Dartmouth Publishing Company, Aldershot. Shapiro, S Do Not Claim Too much: Second-order Logic and First-order Logic. Philosophia Mathematica Vol. 7, Shapiro, S The triumph of rst-order languages. W: C.A. Anderson, M. Zelëny (eds.) Logic, Meaning and Computation. Kluwer Academic Publishers, Skolem, T Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalkuls und über Produktations- und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreen. Videnskapsselskapets skrifter, I. Matematisk-naturvedenskabelig klasse, no 3. Przetªumaczone i przedrukowane w: van Heijenoort Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 57 / 60

58 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Skolem, T Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen. Videnskappselskapets skrifter, I. Matematisk-naturvedenskabelig klasse, no 4. Przetªumaczone i przedrukowane w: van Heijenoort Skolem, T Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre. Matematikerkongressen i Helsingfors den 47 Juni 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, Redogörelse, (Akademiska Bokhandeln, Helsinki, 1923). Przetªumaczone i przedrukowane w: van Heijenoort Skolem, T Selected Works in Logic. Edited by Jens Erik Fenstad. Universiteitsforlaget, Oslo - Bergen - Tromsö. Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 58 / 60

59 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Tarski, A Einige Betrachtungen über die Begrie der ω-widerspruchsfreiheit und ω-vollständigkeit. Monatshefte für Mathematik und Physik XL, Tarski, A Some notions and methods on the borderline of algebra and metamathematics. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Cambridge, Mass., vol. 1, American Mathematical Society, Providence, R.I., Tarski, A What are logical notions? History and Philosophy of Logic, 7, Taylor, R.G Zermelo's Cantorian theory of systems of innitely long propositions. The Bulletin of Symbolic Logic Volume 8, Number 4, Väänänen, J Second-order logic and foundations of mathematics. The Bulletin of Symbolic Logic, 7,2, Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 59 / 60

60 Wykorzystywana literatura Wykorzystywana literatura Väänänen, J Barwise: abstract model theory and generalized quantiers. The Bulletin of Symbolic Logic Volume 10, Number 1, Westerståhl, D Quantiers in formal and natural languages. Handbook of Philosophical Logic. Vol. IV, Zermelo, E Über den Begri der Denitheit in der Axiomatik. Fundamenta Mathematicae 14, Zermelo, E Grundlagen einer allgemeinen Theorie der mathematischen Satzsysteme (Erste Mitteilung). Fundamenta Mathematicae 25, Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Logiki abstrakcyjne 60 / 60