ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)

Transkrypt

1 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: = Zad.2 Wartość wyrażenia ( ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia: Zad.4 Zapisz w postaci 2 p, gdzie p C, wyrażenie: : (2 5 ) 5 (0, 5) Zad.5 Porównaj podane liczby: a = , b = Zad.6 Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań nierówności 7 3x + 2 < 5. Zad.7 Porównaj podane liczby: a = 27 0,(3), b = Zad log 10 2 log Zabudowania zajmują 20% terenu należącego do pewnej firmy. Łączna powierzchnia tych zabudowań wynosi 400 m 2. Jaki procent terenu niezabudowanego stanowi teren zabudowany? Zad.9 Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 1449 zł. Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika. Zad.10 Oblicz: log log log log 4 (3 + log 3 (1 + log 2 4). Zad.11 Spośród liczb: 2 log 18 2 log 3, log 40 2 log 2, 2 log log 2, 2 log 6 log 1 znajdź najmniejszą liczbę całkowitą. Zad.12 Wskaż liczby wymierne: ; 7; 16; π; 1, ; 3, (12); 3 125; ( 2) 0 ; ; 4, ; ; Zad.13 Suma czterech kolejnych liczb naturalnych, które po podzieleniu przez 3 dają resztę równą 1 wynosi 94. Znajdź te liczby.

2 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 2 WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Zad.1 Rozwiąż nierówność: x 2 1 < (x 1)2 + (x + 2) 2. 2 Zad.2 Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych przy dzieleniu przez 12 daje resztę równą 8. Zad.3 Wiedząc, że liczba całkowita a nie dzieli się przez 3, znajdź resztę z dzielenia kwadratu liczy a przez 3. Zad.4 Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a 2 + b 2 = 7, to a 4 + b 4 = 31. Zad.5 Zapisz wyrażenie (x 2 + x 1 ) (1 + x) 1 w najprostszej postaci. Zad.6 Ania potrzebuje 12 dni na zrobienie plakatu. Jeżeli będzie pracowała razem z Martą, to plakat powstanie w ciągu 8 dni. Oblicz, ile dni potrzebuje Marta na zrobienie plakatu. Zad.7 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x x. Zad.8 Długość prostokąta jest trzykrotnie większa od jego szerokości. Jeżeli szerokość zmniejszymy o 4, to stosunek szerokości do długości będzie równy 2 : 7. Oblicz odwód tego prostokąta. Zad.9 Wykaż, że jeżeli a i b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego oraz c jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta, to a + b c 2. Zad.10 Wykaż, że jeżeli xy > 0, to (x + y) ( 1 x + 1 ) 4. y Zad.11 Rozwiąż nierówność liniową x < x Zad.12 Rozwiąż równanie 25 9 x = Sprawdź, czy liczba ta należy do przedziału określonego przez nierówność 2x 3 < 7.

3 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 3 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Zad.1 Czy liczba 2 3 jest rozwiązaniem równania: 7x2 x(4 + x) = (2x 5)(3x 10) 2(x + 14)? Zad.2 Sprawdź, która spośród liczb: 2, 3, 4, 10 nie jest rozwiązaniem nierówności: 1 6 (x + 3) + 1 (x + 1) 1, 5. 8 Zad.3 Sprawdź, czy liczba 2 jest rozwiązaniem równania: log 3 (x + 3) = log 3 (x 3). Zad.4 Rozwiąż równanie: 2 x 2 7x = 4 x Zad.5 Znajdź wszystkie liczby całkowite ujemne spełniające nierówność: 3(x + 3) 2 + 4(x 2)(x + 2) < 7(x + 2) Zad.6 Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniające nierówność: (x 5) 2 2x 2 + (x 3)(x + 3) 98. Zad.7 Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności: (x 2 5x + 6)(x 2 + 4) 0 oraz 4 x 2 0. Zad.8 Wyznacz takie liczby a i b, aby zachodziła równość: a x b x 4 = 3x 5 (x + 3)(x 4) dla x 3 i x 4. Zad.9 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Zad.10 W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m 2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m 2 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Zad.11 Pierwsza część trasy, którą pokonał autobus pokryta była gołoledzią. Po ustąpieniu gołoledzi prędkość autobusu wzrosła o 30%. Gdyby cała trasa była pokryta gołoledzią autobus potrzebowałby na pokonanie drugiej jej części o pół godziny więcej niż przy dobrych warunkach. W jakim czasie autobus pokonał drugą część trasy po ustąpieniu gołoledzi?

4 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 4 FUNKCJA KWADRATOWA Zad.1 Rozwiąż równania: (a) 4 x 6 = x + x 2 x 6, (b) (x + 3)(x2 4) x 2 + 2x = 0 (c) 2x 3 = 18x. Zad.2 Obwód prostokąta jest równy 20, a jeden z boków ma długość x. Zapisz wzór funkcji opisującej pole prostokąta w zależności od x i podaj jej dziedzinę. Zad.3 Liczby x 1 i x 2 (x 1 < x 2 ) są pierwiastkami równania x x 24 = 0. Oblicz 2x 1 + x 2. Zad.4 Znajdź te wartości a, dla których równanie (2 0, 5x)(2x a) = 0 ma dwa rozwiązania takie, że większe z nich jest mniejsze od 5. Zad.5 Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 2(x + 3)(x 4). Zad.6 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział ( ; 2. Zbiór rozwiązań nierówności f(x) 0 jest przedziałem 3; 6. Naszkicuj wykres i wyznacz wzór tej funkcji. x 5 dla x < 1, Zad.7 Znajdź sumę miejsc zerowych funkcji f(x) = x 2 4 dla 1 x < 3, x 7 dla x 3. { x + 2 dla x 1; 1), Zad.8 Zapisz zbiór wartości funkcji f(x) = (x 1) 2 oraz sprawdź, czy dla x 1; 3) liczba a = (0, 25) 0,5 należy do jej dziedziny. Zad.9 Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x 2 4x + 3. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) i f(x + 1) oraz rozwiąż równanie f(x + 1) = 3. Zad.10 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = (x 4)(x + 2) + 2x. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale 3; 1. Zad.11 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = 2x 2 + 4x 30. Znajdź miejsca zerowe tej funkcji, naszkicuj jej wykres oraz zapisz w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ jej monotoniczność oraz znajdź punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych. Zad.12 Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku (2; 1) przechodząca przez punkt o współrzędnych (1; 1). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci ogólnej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.

5 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 5 FUNKCJE Zad.1 Funkcja f określona na zbiorze liczb naturalnych przyporządkowuje każdej liczbie n resztę z dzielenia przez 5. Określ zbiór wartości funkcji f, podaj zbiór wszystkich miejsc zerowych tej funkcji oraz naszkicuj jej wykres dla n 10. Zad.2 Dana jest funkcja f(x) = x 2 dla x { 3, 2, 1, 0, 2, 4}. Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli, narysuj jej wykres i podaj zbiór wartości funkcji f. Zad.3 Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = 3x + 2, g(x) = f( x), h(x) = f(x + 1) + 3. x Zad.4 W tabeli f(x) 2 + podane są wartości funkcji liniowej f dla kilku argumentów. Wyznacz wzór oraz miejsce zerowe funkcji f oraz podaj te argumenty, dla których wartości funkcji są większe od 3 3. Zad.5 Dane są funkcje liniowe f(x) = (m 2)x+5 i g(x) = m x 1. Znajdź wartości parametru m, 3 dla których wykresy tych funkcji są: (a) równoległe, (b) prostopadłe. Zad.6 Wyznacz wzór funkcji liniowej f wiedząc, że zbiorem rozwiązań nierówności f(x) 8 jest przedział ( ; 1, a zbiorem rozwiązań nierówności f(x) 2 jest przedział 4; + ). Zad.7 Funkcje liniowe f i g określone wzorami f(x) = (m + 3)x 1 i g(x) = 4x + (m 1) mają to samo miejsce zerowe. Znajdź współczynnik kierunkowy funkcji f. Zad.8 Dana jest funkcja liniowa f(x) = 3x 1. Rozwiąż nierówność: f(x + 3) f(1 x). Zad.9 Dana jest funkcja liniowa f(x) = (3m 2)x + 2m 1. Dla jakich wartości parametru m funkcja f jest funkcją malejącą? Zad.10 Znajdź wartość m, aby miejscem zerowym funkcji f(x) = (5m 1)x + 20m była liczba 1. Zad.11 Dana jest funkcja f(x) = 4 16 x. (a) Narysuj wykres funkcji f oraz oblicz dla jakiego argumentu funkcja f przyjmuje wartość 2 4. (b) Wykres funkcji g(x) = f(x+2) przesunięto o 4 jednostki do dołu, otrzymując wykres funkcji h. Naszkicuj jej wykres i podaj wzór funkcji h(x). Zad.12 Do wykresu funkcji f(x) = a x należy punkt (3; 27). Oblicz a i naszkicuj wykres funkcji f. Naszkicuj wykresy funkcji g(x) = f(x+3), h(x) = f(x)+3, k(x) = f(x) 3, m(x) = f( x) 3.

6 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 6 CIĄGI LICZBOWE Zad.1 Zbadaj, które wyrazy ciągu (a n ) danego wzorem a n = 3n+3 n+3 są mniejsze od 5 2. Zad.2 Sprawdź, które wyrazy ciągu (a n ) danego wzorem a n = 2n+15 n są liczbami naturalnymi. Zad.3 Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg ( 2+1, 1 2+1, 2 3) jest ciągiem arytmetycznym. Zad.4 Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a n ) o ilorazie równym 2 i a 1 = 5 należy zsumować, aby otrzymać Zad.5 Oblicz wartości x, dla których liczby x 2, x, 2 x 2, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny stały. Zad.6 Wiedząc, że suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego (a n ) jest równa 4, zaś iloczyn drugiego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równy 16, wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu (a n ). Podaj wzór ogólny tego ciągu. Zad.7 Wiedząc, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego (a n ) wynosi 2, oblicz sumę pięciu jego początkowych wyrazów. Zad.8 Liczby x 2, 3x, 5 są, w podanej kolejności, pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu arytmetycznego (a n ). Oblicz S 200. Zad.9 S 4 = 18. Zad.10 Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego (a n ), w którym S 3 = 15 oraz Ciąg (1, x, y 1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x, y, 12) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny. Zad.11 Trzywyrazowy ciąg geometryczny jest rosnący. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy ( 8), a iloraz pierwszego wyrazu przez trzeci wyraz wynosi 2 1. Wyznacz ten ciąg. 4 Zad.12 Cyfry pewnej liczby trzycyfrowej x tworzą w kolejności: cyfra setek, cyfra dziesiątek, cyfra jedności trzycyfrowy ciąg geometryczny. Jeżeli od liczby x odejmiemy liczbę trzycyfrową zapisaną za pomocą tych samych cyfr, ale w odrotnej kolejności, to otrzymamy 594. Znajdź liczbę x.

7 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 7 TRYGONOMETRIA Zad.1 Oblicz wartość wyrażenia a + b, jeżeli a = cos 4 α sin 4 α, b = 1 8 sin 2 α cos 2 α, α = 60. Zad.2 Sprawdź, czy istnieje taka liczba rzeczywista m, że sin α = m 1 i cos α = m + 1. Zad.3 Znajdź liczbę, dla której ciąg (tg 45, a sin 60, 3 tg 60 ) jest ciągiem geometrycznym, a ciąg (tg 45, a, 3 tg 60 ) jest ciągiem arytmetycznym. Zad.4 Dla kąta α = 15 oblicz wartość wyrażenia cos 2α + sin 3α 1 + tg 2 3α. Zad.5 Oblicz miary kątów ostrych α i β (α β) wiedząc, że sin(α + β) = 3 2 oraz tg(α β) = 1. Zad.6 W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa 2 3. Oblicz iloczyn 3 sinusów tych kątów. Zad.7 Kąty α i β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego. Oblicz wartość wyrażenia Zad.8 sin α cos 2 α tg β (1 cos 2 β) sin β. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest o 6 cm dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Tangens jednego z kątów ostrych tego trójkąta wynosi 2. Oblicz długość wysokości 5 opuszczonej na przeciwprostokatną. Zad.9 W trójkącie równoramiennym dana jest długość podstawy a = 5 cm i miara kąta przy podstawie α = 30. Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta, miary kątów oraz pole trójkąta. Zad.10 Krótsza przekątna trapezu prostokątnego ma długość 4 i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy ta przekątna z dłuższą podstawą wiedząc, że wysokość trapezu ma długość 3. Zad.11 Oblicz miary kątów ostrych α i β trójkąta prostokątnego, wiedząc, że tg β = 2 cos α. Zad.12 Wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok AB ma długość równą 4 i tworzy z bokiem BC kąt o mierze 45 oraz z bokiem AC kąt o mierze 30. Oblicz obwód tego trójkąta.

8 Lista nr 8 PLANIMETRIA Zad.1 Obliczdługośćpromieniakoławpisanegowrombopolu36cm 2 ikącieostrym30. Zad.2 Znajdźwymiaryprostokątaopolu40,podobnegodoprostokątaobokach3i5. Zad.3 Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 9 cm i 17 cm oraz ramieniu długości 10 cm. Zad.4 Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE. C E A D B Zad.5 Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że CE = 1 2 AC (zobaczrysunek).uzasadnij,żepolerównoległobokuabcdjestczteryrazy większe od pola trójkąta DCE. D C E A B Zad.6 Wokręgupoprowadzonocięciwęodługości6dmodległąo3dmodśrodkaokręgu.Oblicz długości łuków okręgu, na które cięciwa ta dzieli okrąg. Zad.7DanyjesttrójkątABCobokach AB =2 13, BC =10, AC =12.Wykaż,żewysokość poprowadzonazwierzchołkabdzielibokacwstosunku1:2. Zad.8 Na trójkącie równobocznym opisano okrąg i w ten sam trójkąt wpisano okrąg. Pole powstałego pierścienia kołowego wynosi 3π. Oblicz pole tego trójkąta. Zad.9 Wykaż, że jeżeli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie jest prostopadła do ramienia, to trójkąt ten jest równoboczny.

9 Lista nr 9 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ Zad.1 Prostaorównaniu2x y 1=0przecinaprostąorównaniux+y+1=0wpunkcieP. Znajdź współrzędne punktu R symetrycznego do punktu P względem osi OX. Zad.2 WyznacznaosiOXtakipunktK,abyjegoodległośćodpunktu(7;1)wynosiła 5. Zad.3 Wiadomo,żeA=(0;3), B=( 1;0), C=(0;0).Znajdźrównanieprostej,wktórej zawiera się wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C. Zad.4 PunktyA=( 1;5),B=(3;3)sąkolejnymiwierzchołkamikwadratu.Wyznaczdługość promienia okręgu opisanego na tym kwadracie oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten kwadrat. Zad.5 Oblicz długość środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C, jeżeli wiadomo, żea=( 4; 2),B=(2;6),aśrodekbokuBCmawspółrzędne(4;1). Zad.6 Prosteorównaniachy 4=0i4x y+12=0orazosieukładuwspółrzędnychograniczają trapez. Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu. Zad.7 PunktP=( 2;3)jestpunktemstycznościprostejliokręguośrodkuS=(1; 2).Napisz równanie prostej l. Zad.8 ProstaltworzyzosiąOXkątomierze45 iprzechodziprzezpunktm=( 2;2).Prosta k,prostopadładoprostejl,przecinaośoxwpunkcieoodciętejx 0 = 3.Wyznaczrównania prostychlik. Zad.9 DanyjestwierzchołekA=( 2;1)kwadratuABCDirównanieprostejy=2x,wktórej zawarta jest przekątna BD. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. Zad.10 DanesądwawierzchołkitrójkątaABC:A=( 2;0),B=(1;1).Wyznaczwspółrzędne trzeciego wierzchołka leżącego na dodatnej półosi OY, jeśli pole trójkąta ABC jest równe 6,5. Zad.11 WtrójkącieABC,wktórym AC = BC danyjestwierzchołeka=( 3;2)orazpunkt E =(1; 0) będący środkiem boku AB. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta orazjegopolewiedząc,żepunktcnależydoprostejorównaniuy= x+7. Zad.12 Jeden z boków trójkąta równobocznego zawarty jest w osi OX, a jeden z wierzchołków to punkt(0; 0). Napisz równania prostych zawierających boki trójkąta oraz znajdź współrzędne wierzchołków, jeżeli wiesz, że długość boku jest równa 6.

10 Lista nr 10 ZADANIA TYPU: WYKAŻ, UZASADNIJ, UDOWODNIJ... Zad.1 Liczbaxprzydzieleniuprzez7dajeresztę2.Wykaż,żekwadratliczbyxpomniejszonyo4 jest podzielny przez 7. Zad.2 Wykaż,żeliczba jestpodzielnaprzez17. Zad.3 Wiadomo,żea>0i 1 a +a=2.wykaż,żea2 + 1 a 2 = 1 a +a. Zad.4 Uzasadnij,żerównaniex 2 +(b 2)x 2b=0dladowolnejliczbyrzeczywistejbma przynajmniej jedno rozwiązanie. Zad.5 Danyjestciąg(a n )owyrazieogólnyma n = Wykaż,żenieistniejewtymciąguwyrazrówny0. { 2 n 4 dla n nieparzystego n 3 dla n parzystego. Zad.6 Wykaż, że liczba x jest liczbą naturalną parzystą, gdy x= Zad.7 Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny. Zad.8 W prostokącie przekątna długości d dzieli kąt prostokąta na dwie równe części. Wykaż, że pole kwadratu zbudowanego na tej przekątnej jest dwa razy większe od pola prostokąta. Zad.9 DanyjesttrapezABCD,wktórymAB CDorazpunktE,któryleżynaramieniuBC. Udowodnij,że <)AED = <)BAE + <)CDE. Zad.10 WtrójkącieABCpunktyDiEdzieląbokBCnatrzyrówneczęści.Wykaż,żepole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC. Zad.11 Wykaż, że jeżeli suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich równa się sumie trzeciego i czwartego wyrazu, to ciąg jest stały. Zad.12 Pięć liczb tworzy ciąg arytmetyczny, a liczba pierwsza, trzecia i piąta tworzą ciąg geometryczny. Wykaż, że wszystkie liczby tworzące ciąg arytmetyczny muszą być równe.

11 Lista nr 11 STEREOMETRIA Zad.1 Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 5. Oblicz pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną równoległą do płaszczyzny jego podstawy i przechodzącą przez środek krawędzi bocznej tego graniastosłupa. Zad.2 Przekątnaprostopadłościanujestnachylonadopłaszczyznypodstawypodkątem45, a podstawą jest kwadrat o boku 3. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu. Zad.3 Tworzącastożkaodługości8 3cmjestnachylonadopodstawypodkątem30.Oblicz pole powierzchni bocznej stożka. Zad.4 Kwadrat, którego przekątna ma długość 6 dm, obraca się dookoła jednego boku. Oblicz objętość otrzymanej bryły. Zad.5 Wyznacz objętość i pole powierzchni sześcianu, którego przekątna ma długość 9 cm. Zad.6 Oblicz pole powierzchni i objętość kuli, jeżeli jej przekrój osiowy ma pole równe 16π. Zad.7 Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości równej3,wiedząc,żejegościanabocznajestnachylonadopłaszczyznypodstawypodkątem60. Zad.8 Dany jest walec i kula o promieniu równym promieniowi podstawy walca. Objętości obu brył są jednakowe. Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 42π. Wyznacz długość promienia podstawy i wysokość walca. Zad.9 Długości krawędzi graniastosłupa trójkątnego są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 2. Najdłuższa krawędź, będąca wysokością graniastosłupa jest równa 12. Oblicz objętość i pole jego powierzchni. Zad.10 Trapezprostokątnyopodstawach6i9orazkącieostrym45 obracasięwokółkrótszej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły. Zad.11 Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowegosześciokątnegowiedząc,żepolejegopodstawyjestrówne6 3,apolepowierzchnibocznej ostrosłupa wynosi 12.

12 Listanr12 Zad.1 Rzucamy jeden raz monetą. Jeśli wyrzucimy orła, to losujemy jedną kulę z urny zawierającej 3kulebiałei5zielonych,ajeślireszkę tolosujemydwiekuleztejurny.obliczprawdopodobieństwo, że wylosujemy(a) dwie kule białe,(b) przynajmniej jedną kulę zieloną. Zad.2 Ciąg(9, 18, x) jest geometryczny, a ciąg(x, 30, y) jest arytmetyczny. Oblicz medianę liczb: 10,x,y,12,12,18,30. Zad.3 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca, jeżeli jego siatka zawiera prostokąt obokachdługości2i4. Zad.4 Do wykresu funkcji kwadratowej należą punkty( 1; 0),(0; 6). Wykres ten jest symetryczny względem prostej x = 1. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Zad.5 Liczbaxprzydzieleniuprzez7dajeresztę2.Wykaż,żekwadratliczbyxpomniejszonyo4 jest podzielny przez 7. Zad.6 Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością ostrosłupa,apozostałekrawędziebocznemajądługości: AW =6, BW = 9, CW = 7.Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zad.7Danesąfunkcjef(x)=x 2 2x+7ig(x)=2x 2 12x+16.Znajdźteargumenty,dlaktórych wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g. Wyznasz równanie prostej przechodzącej przez wierzchołki parabol będących wykresami funkcji f i g. Zad.8 Ile jest wszystkich liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie mogą wystąpić tylko cyfryzzbioru{0,1,2,3,4,5,6}? Zad.9 Oblicz sinα+cosα sinα cosα,jeżelitgα=2. Zad.10 Maszyna wycina z krążków kwadraty w ten sposób, że wykorzystuje materiał maksymalnie. Gdyby promień danego krążka zwiększono o 1 cm, to pole wyciętego kwadratu zwiększyłoby się czterokrotnie. Oblicz pole danego krążka. Zad.11 Wykaż, że [ (6 11 ) ( )1] jestliczbącałkowitą.

13 Listanr13 Zad.1 Oblicz miarę kąta między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych sześcianu wychodzącymi z jednego wierzchołka. Zad.2 Rzucamy jeden raz monetą i jeden raz kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy reszkę i co najwyżej cztery oczka. Zad.3 Liczby(4,x,y)tworząciągarytmetyczny.Jeślidrugąliczbęzwiększymyo1,atrzeciąo3, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz liczby x i y. Zad.4 Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o krawędzi podstawy 6 cm, jest równa 9 3cm 3.Obliczmiarękątanachyleniaścianybocznejostrosłupadopłaszczyznyjegopodstawy. Zad.5 Udowodnij,żeliczba jestpodzielnaprzez57. Zad.6 PunktyA=(2; 2),B=(4;4),C=(0;2)sąwierzchołkamitrapezuprostokątnegoABCD o kątach prostych przy wierzchołkach A i D. Oblicz współrzędne wierzchołka D i obwód trapezu ABCD. Zad.7 Z talii 52 kart losujemy trzy razy po jednej karcie(a) zwracając,(b) zatrzymując wybraną kartę. Oblicz w każdym z przypadków prawdopodobieństwo wylosownania (1) trzech kierów, (2) asa za pierwszym razem. Zad.8 Wiadomo,że( 5)i( 1)sąmiejscamizerowymifunkcjikwadratowejf(x),apunkt(0,5) należy do jej wykresu. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej. Podaj zbiór rozwiązań nierówności f(x 7)<f( 5). Zad.9 Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trókątnego ma długość 4, a jego wysokość ma długość 6. Oblicz pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przekątne dwóch ścian bocznych. Zad.10 Wkątomierze60 wpisanodwaokręgitak,żekażdyznichjeststycznydoramion kąta i okręgi te są styczne zewnętrznie. Promień większego okręgu ma długość R. Oblicz długość promienia mniejszego okręgu.

14 Listanr14 Zad.1Wykaż,żewyrażenie(4n+1) 2 (4m 1) 2 jestpodzielneprzez8,dlanaturalnychliczbmin. Zad.2 Współczynnikitrójmianukwadratowegof(x)=ax 2 +bx+ctworząciągarytmetyczny osumie( 15).Wyznacza,bic,wiedząc,żejednymzmiejsczerowychtejfunkcjijest4. Zad.3 Wykaż,żedlakażdegoa>0prawdziwajestnierówność: a 2 +2 a a+4 2. Zad.4 DanyjesttrójkątprostokątnyABCobokachdługości6,8,10ikącieprostymprzywierzchołku C. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C, a punkt E jest środkiem boku AB. Oblicz długość odcinka DE. Zad.5 Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa 48. Cosinus kąta, jaki tworzy krawędź bocznaipłaszczyznapodstawy,jestrówny 2 4.Obliczobjętośćtegoostrosłupa. Zad.6 W sześcian wpisano kulę. Udowodnij, że stosunek ojętości kuli do objętości sześcianu jest równy π 6. Zad.7 OdcinekABokońcachA=(0;0)iB=(4;2)jestpodstawątrójkątarównoramiennego ABC. Wierzchołek C tego trójkąta leży na osi OY. Wyznacz współrzędne wierzchołka C i oblicz pole trójkąta ABC. Zad.8 Obliczdlajakichargumentówfunkcjaf(x)=(x 2)(3 2x)przyjmujewartościwiększe od( 6). Zad.9 Rożekmakształtodwróconegostożkaopromieniupodstawy2dmiwysokości3dm.Na jakąwysokośćnależynalaćwodydorożka,abywypełniałaona 1 8 jegoobjętości? Zad.10 Zezbiorucyfr1,2,3,4,5,6,7wylosowanokolejnobezzwracaniadwiecyfryiutworzono z nich liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: (a)a conajmniejjednacyfratejliczbyjestwiększaod3; (b)b utworzonaliczbajestpodzielnaprzez3ijednocześnieniejestpodzielnaprzez4.

15 Listanr15 Zad.1 Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równa 2. Zad.2 Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych większych od 19. a 1 = 1 Zad.3 Ciąg(a n )określonyjestwzorem a 2 = 2 a n+2 = 2 n 1 +a n +a n+1 dlan N\{0}. Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu. Zad.4 Zbadajnapodstawiedefinicji,czyciągokreślonywzorema n = 2 3n+1 4 n dlan=1,2,...jest ciągiem geometrycznym. Zad.5 Tabela przedstawia liczbę godzin ponadwymiarowych przepracowanych przez grupę robotników. liczbagodzinponadwymiarowych liczbarobotników (a) Oblicz, jaki procent grupy stanowią robotnicy, którzy przepracowali mniej godzin ponadwymiarowych niż wynosi średnia grupy. (b) Z grupy wybrano w sposób losowy jednego robotnika. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że przepracował on co najmniej 4 godziny ponadwymiarowe. Zad.6 Zapiszwnajprostszejpostaciwyrażenie (x 5) 2 4x 8 : x 5 4 2x orazustal,dlajakiejwartościxwartośćdanegowyrażeniajestrówna( )1 2 [(1 1 3 ) ]. Zad.7 Dany jest stożek, w którym długość promienia podstawy wynosi 4 dm, a wysokość ma długość 18 π dmorazostrosłupprawidłowyczworokątny,wktórymkrawędźpodstawymadługość 4 3dm.Wiedząc,żeobjętościtychbryłsąrówne,wyznaczkątnachyleniaścianybocznejostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Zad.8 WtrójkącieABC,wktórym AC = BC danyjestwierzchołeka=( 3;2)orazpunkt E =(1; 0) będący środkiem boku AB. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta orazjegopolewiedząc,żepunktcnależydoprostejorównaniuy= x+7. Zad.9 Kątαjestkątemnachyleniaprostejx 3y+1=0doosiOX.Obliczsinα+cos 2 α. Zad.10 Cięciwaokręgujestodległaodśrodkaokręguo8cmijesto2cmdłuższaodpromienia okręgu. Jaką długość ma promień tego okręgu?

16 Listanr16 Zad.1 Dziesiątywyrazciągugeometrycznegowynosi ,ailoraz 2 3.Wyznacztrzypierwsze wyrazy tego ciągu. Zad.2 Wykaż, że jeżeli boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to długości boków tego trójkąta są liczbami wymiernymi. Zad.3Narysujwykresfunkcjiy= 2x 2 +x+1iwyznaczjejnajwiększąwartośćwprzedziale 0;2. Zad.4 W trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości a i b wpisano kwadrat w ten sposób, że jego dwa sąsiednie boki zawierają się w przyprostokątnych trójkąta i jeden z wierzchołków kwadratu leży na przeciwprostokątnej. Oblicz długość boku kwadratu. Zad.5 Mamy ogrodzić prostokątną działkę, której jeden bok jest o 10 m dłuższy od drugiego. Jak długamusibyćsiatka,jeżelipolepowierzchnidziałkiwynosi1200m 2? Zad.6 Danajestfunkcjaf(x)=x 2 +a.liczbęawybieramylosowozezbioru{ 2,0,1,3,4}. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby, że funkcja (a) będzie miała jedno miejsce zerowe, (b) będzie miała dwa różne wymierne miejsca zerowe, (c) przyjmie wartości nieujemne dla wszystkich argumentów. Zad.7 Przekrój osiowy stożka jest równoramiennym trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątna ma długość a. Oblicz objętość stożka. Zad.8 Obliczmiarykątówtrapezu,wktórympodstawymajądługości32+8 3i24,jednoramię madługość16,awysokość8 3. Zad.9 Trójkątprostokątnyoprzeciwprostokątnejdługości6ikącieostrymomierze60 obracamy dookoła przeciwprostokątnej. Oblicz pole otrzymanej figury. Zad.10 Średnia arytmetyczna dwóch liczb wynosi 20. Jeżeli jedną z nich zwiększymy dwukrotnie, a drugą zmniejszymy o 50%, to średnia arytmetyczna zwiększy się o 2. Wyznacz te liczby. Zad.11 Co jest bardziej prawdopodobne: w rzucie dwiema kostkami wyrzucenia sumy oczek nie mniejszej niż 11, czy w rzucie czterema monetami wyrzucenia co najmniej 3 orłów?

17 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 17 Zad.1 Wyznacz wartości parametru m, dla których pierwiastki równania (x 2 9)(x m) = 0 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Zad.2 Do wykresu funkcji kwadratowej y = f(x) należą punkty A = ( 1; 1) oraz O = (0; 0) będący wierzchołkiem paraboli. Wykres ten przesunięto w taki sposób, że otrzymano wykres funkcji g, której miejscami zerowymi są liczby 3 i 7. (a) Narysuj wykres funkcji y = g(x) i oblicz współrzędne wierzchołka tej paraboli. (b) Rozwiąż nierówność g(x) 10x 25. Zad.3 Punkty P = ( 2; 2), Q = (1; 2), R = ( 2; 4) są środkami boków AB, BC, AC trójkąta ABC. Oblicz współrzędne wierzchołków tego trójkąta oraz jego obwód. Zad.4 Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 26, a ich iloczyn wynosi 216. Wyznacz ten ciąg. Zad.5 Sprawdź, czy miejsce zerowe funkcji g(x) = 2 3x 2 jest mniejsze od 1. Wiedząc, że do 2 wykresu funkcji f należy punkt A = (1; 2) i wykres ten jest prostopadły do wykresu funkcji g, wyznacz wzór funkcji f. Zad.6 Oblicz, ile czerwonych kul należy dołożyć do urny, w której są trzy kule zółte i dwie czerwone, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej było nie mniejsze od 1 2. Zad.7 Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o boku 6. Przekątna podstawy i dwie przeciwległe krawędzie boczne tworzą trójkąt równoboczny o wysokości 5 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Zad.8 Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} losujemy jedna liczbę x, a następnie ze zbioru {2, 3, 4, 5, 6, 7} drugą liczbę y, tworząc parę (x, y). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że punkt o współrzędnych (x, y) należy do prostej o równaniu y = 2x 1. Zad.9 Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby ( 6) oraz 1. Oblicz wartość wyrażenia Zad.10 3 f(94) f( 24). Suma stu kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2, jest równa Wyznacz najmniejszą i największą z tych liczb.

18 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 18 Zad.1 Dana jest funkcja o wzorze f(x) = (m 2 3m)x + 6. Wyznacz tak liczbę m, aby (a) funkcja była malejąca; (b) wykres funkcji był prostopadły do wykresu funkcji y = 1 4 x. Zad.2 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze równej 45. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa, wiedząc, że jego objętość jest równa 2 3. Zad.3 Wyznacz współrzędne wierzchołka C trójkąta ABC, jeśli A = (1; 1), B = (4; 2) oraz wysokość opuszczona na bok AB ma długość 2 2 i zawiera się w prostej o równaniu y = x + 2. Zad.4 Ze zbioru liczb { 9, 7, 5, 3, 1, 0, 2, 4, 6, 8} losujemy dwie różne liczby a i b, a następnie zapisujemy ich iloczyn ab. Oblicz i porównaj prawdopodobieństwa zdarzeń A i B, jeśli A oznacza zdarzenie, że iloczyn ab jest liczbą nieujemną, a B oznacza, że iloczyn ab jest liczbą niedodatnią. Zad.5 Uzasadnij, że jeżeli a > 0 oraz a + 1 a = 7, to a + 1 a jest liczbą całkowitą. Zad.6 Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 48. Cosinus kąta, jaki tworzy krawędź boczna i płaszczyzna podstawy, jest równy 2. Oblicz objętość 4 tego ostrosłupa. Zad.7 Nieskończony ciąg liczbowy (a n ) określony jest wzorem a n = 2 1, n = 1, 2, 3,... n (a) Oblicz, ile wyrazów ciągu (a n ) jest mniejszych od 1, 975. (b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a 2, a 7, x) jest arytmetyczny. Oblicz x. Zad.8 Ze zbioru wszystkich liczb czterocyfrowych, których suma cyfr jest mniejsza od 4, losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba będzie podzielna przez 3? Zad.9 Na egzamin student miał przygotować 10 zagadnień. Zdążył opanować 8 tematów, a na egzaminie otrzymał trzy zagadnienia do przedstawienia. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród tych tematów, które student dostał, są 2 przez niego przygotowane. Zad.10 Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a odległość ich środków wynosi 5. Gdyby te okręgi były styczne zewnętrznie, to odległość ta wynosiłaby 19. Wyznacz długości ich promieni oraz pole obszaru między tymi okręgami. Zad.11 Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest półkolem. Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka.

19 Listanr19 Zad.1Znajdźx,dlaktóregoliczby2,2 x+1,2 x+1 +6wpodanejkolejnościtworząciągarytmetyczny. Zad.2 WrównoległobokuABCDopolurównym1iobwodzie6 2 2,wysokośćopuszczonana bok AB jest o 2 krótsza od tego boku. Oblicz miarę kąta ostrego równoległoboku. Zad.3 Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu długości 9. Kątmiędzyprzekątnąnajwiększejścianybocznejiwysokościągraniastosłupajestrówny60.Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość graniastosłupa. Zad.4 W urnie znajdują się kule białe, zielone i czerwone. Kul zielonych jest dwa razy więcej niż kulbiałych,akulczerwonychjesttrzyrazywięcejniżbiałych.wyjętodwarazypojednejkulibez zwracania. Oblicz liczbę kul białych w urnie, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonychjestrówne Zad.5 Trzy różne liczby tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są jednocześnie pierwszym, trzecim i ósmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby, jeśli wiadomo, że ich suma wynosi 39. Zad.6 Z testu z matematyki 40% wszystkich uczniów otrzymało ocenę dostateczną, 30% ocenę dobrą, a osiem osób bardzo dobrą. Pozostali uczniowie otrzymali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen z testu była równa 3,6. Ilu uczniów dostało ocenę dopuszczającą? Zad.7 SumanpoczątkowychwyrazówciąguarytmetycznegowyrażasięwzoremS n =n(n 2). Podaj wzór ogólny tego ciągu. Zad.8 Pokójnapoddaszumapodłogęwkształciekwadratuoboku4miskośnysufit.Wnajniższympunkciesufitznajdujesięnawysokości1,5m,awnajwyższympunkcienawysokości3m. Oblicz, ile metrów sześciennych powietrza jest w tym pokoju. Zad.9 Uzasadnij, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych dowolnego prostokąta są wierzchołkami kwadratu. Zad.10 DanyjestrównoległobokABCD,wktórymbokABjestdwarazydłuższyodbokuBC. WpołowieodcinkaABzaznaczonopunktK.Wykaż,żekątCKDjestprosty Zad.11 Obliczwartośćsinα cosα,wiedząc,żekątαjestkątemostrymoraz 9 sin 2 α + 9 cos 2 α =16.

20 Listanr20 Zad.1 Podstawa trójkąta równoramiennego ABC jest średnicą AB okregu, którego środkiem jest punkts.punktydiesapunktamiprzecięciaramionacibctrójkątazokręgiem.miarakąta DSEjestrówna140.ZnajdźmiarękątaACB. Zad.2 Wykaż,żejeślikinsąliczbaminaturalnymioraz1 k n,tok(n k+1) n. Zad.3 Danesądwapojemniki.Wpierwszymznichznajdujesię9kul:4białe,3czarnei2zielone. Wdrugimpojemnikujest6kul:2białe,3czarnei1zielona.Zkażdegopojemnikalosujemypo jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru. Zad.4 Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe 378π. Oblicz objętość walca. Zad.5 Rozwiążrównanie:3 15 x 9 8 =( 3) x. Zad.6 Wrównoległobokuoobwodzierównym144,wysokościh 1 ih 2 spełniająwarunek h 1 h 2 = 3 5. Oblicz długości boków tego równoległoboku. Zad.7Ciąggeometryczny(a n )określonyjestwzorema n =10 n,gdzien 1.Ilekolejnychwyrazów tegociągu,począwszyodpierwszego,należyprzezsiebiepomnożyć,abyotrzymaćliczbę10 820? Zad.8 WkwadracieABCDopolu4poprowadzonoodcinekAE,gdzieEjestśrodkiemboku BC.OdcinekAEprzecinaprzekątnąBDkwadratuwpunkcieP.WyznaczodległośćpunktuPod boku DC. Zad.9 Przekątnetrzechścianprostopadłościanumajądługości5, 34, 41.Obliczobjętośćipole powierzchni tego prostopadłościanu. Zad.10 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej dwa razy większej od krawędzi podstawy. (a) Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. (b)wyznaczdługośćkrawędziostrosłupatak,abypolejegopowierzchnibocznejwynosiło Zad.11 Prostay=3x+5przecinaośOYwpunkcieA,prosta2x 9y 30=0przecinaośOX w punkcie B, a obie proste przecinają się w punkcie C. Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny. Zad.12 Zbiór liczb{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} porządkujemy w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie liczbą nieparzystą.