Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH"

Transkrypt

1 Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH Piotr Jaworski Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki 13 lipca

2 Spis treści 1 Wiadomości wstępne Zjawisko zmienności na rynkach finansowych Fakty stylizowane (fakty empiryczne) Proces generujący dane Zmienne losowe Z t są iid Stacjonarność Ergodyczność Martyngały i przyrosty martyngałowe Regularna zmienność dystrybuant zmiennych losowych Wybór rodziny modeli Kalibrowanie modelu Metody parametryczne Metody nieparametryczne Weryfikacja modelu Testy GOF Modele jednowymiarowe Modele GARCH i SV Podstawowy model GARCH(1,1) Podstawowy model GARCH(p,q) Podstawowy model SV Ogólne własności modeli GARCH i SV Stacjonarność GARCH(1,1) Stacjonarne procesy GARCH(1,1) Stacjonarność SV Stacjonarne rozwiązania GARCH(p,q) i SV - podsumowanie Kalibrowanie modeli GARCH(p,q) Wybór modelu GARCH(p,q) w oparciu o kryterium informacyjne Weryfikacja modeli GARCH i SV Rozszerzenia GARCH i SV Modele przełącznikowe Modelowanie wielowymiarowe z wykorzystaniem kopuli Definicja kopuli Definicja probabilistyczna kopuli Definicja aksjomatyczna kopuli Twierdzenie Sklara Własności kopuli Niezmienniczość Monotoniczność Lipschitzowskość i ciągłość Ograniczenia Frécheta-Hoeffdinga Trzy podstawowe kopule Kopule Farlie-Gumbela-Morgensterna (FGM)

3 3.6 Kopule Marshalla-Olkina Kopule Frécheta Kopule gaussowskie Kopule archimedesowe Przykłady kopuli archimedesowych, n = Porządek konkordantny Funkcja zgodności Q Miary zależności: τ Kendalla i ρ Spearmana Value at Risk dla długich pozycji Asymptotyka VaR Ogonowa funkcja zależności Przykład założenia modelowe Market Contagion Kopule warunkowe Modelowanie efektu contagion Symulacja kopuli typowego rozkładu Symulacja kopuli metoda warunkowa d = Symulacja kopuli metoda warunkowa d > Symulacje kopuli archimedesowych - metoda Marshalla-Olkina Przykłady transformat Laplace a τ Wielomiany i kopule Bernsteina Wielomiany bazowe Bernsteina Subkopule Kopule Bernsteina Gęstość kopuli Bernsteina Wielomian Bernsteina funkcji ciągłej Wielomian Bernsteina kopuli Dwustopniowa estymacja wielowymiarowych rozkładów Metoda największej wiarogodności Dystrybuanta empiryczna Kopula empiryczna Empiryczna kopula Bernsteina Losowe kopule empiryczne Weryfikacja, testy dobroci dopasowania (GOF) Przekształcenie Rosenblatta Testy GOF dla kopuli Modele oparte na kopulach zmiennych w czasie Estymacja modelu skokowego Modele ciągłe z losowym parametrem - konstrukcja modelu Modele ciągłe z autoregresyjnym parametrem - konstrukcja modelu Regresja kwantylowa Regresja kwantylowa estymacja nieparametryczna

4 4 Wielowymiarowe modele GARCH i SV Modele MGARCH i MSV Przekształcenia liniowe macierzy w zapisie macierzowym Podstawowy model Vec-GARCH(1,1) Model Vec-GARCH(p,q) Własności procesów Vec-Garch(p,q) klasy L Asymptotyczne własności procesów Vec-Garch(1,1) klasy L Model BEKK(p,q,K) Stacjonarność Estymacja Model DCC(1,1) Model EDCC(1,1) Statyczny model Copula-GARCH(1,1) Dynamiczny model Copula-GARCH(1,1) Przełącznikowy model Copula-GARCH(1,1) VIRF dla modeli GARCH Zagadnienie przenoszenia zmienności - efekt zarazy (ang. contagion) Wprowadzenie Definicja szeroka Definicja wąska Definicja bardzo wąska Definicja probabilistyczna Spillover, transmission, comovement Przyczynowość w sensie Grangera Granger causality in the mean Granger second order causality Granger causality in variance Granger causality w procesach MGARCH Modele przestrzenne efektu contagion Contagion w terminach regresji pierwszego rodzaju Contagion w terminach kopuli Modele czasowe efektu contagion Contagion w terminach współczynnika korelacji Contagion w terminach kopuli Pomiar siły współzależności i przenoszenia Pomiar siły współzależności - metoda przestrzenna Pomiar siły współzależności - metoda czasowa Pomiar siły współzależności - metoda przestrzenna złożona Pomiar siły przenoszenia Xt,1 2 na Xt,2 2 metody liniowe Pomiar siły przenoszenia Xt,1 2 na Xt,2 2 metody nieliniowe Testowanie siły przenoszenia i współzależności

5 1 Wiadomości wstępne W rozdziale tym omówione zostaną następujące zagadnienia: 1. Zjawisko zmienności na rynkach finansowych, zmienność, jako miara niepewności i ryzyka, stylizowane fakty dot. finansowych szeregów czasowych. 2. Podstawy modelowania stochastycznego. (a) Proces generujący dane. Podstawowe pojęcia: niezależność, stacjonarność, ergodyczność. Ciąg przyrostów martyngałowych. Zjawisko tłustych ogonów - regularna zmienność dystrybuant zmiennych losowych. (b) Przeznaczenie modelu. Ogólny (edukacyjny) opis zjawiska ( toy model ). Prognozowanie. Badanie zdarzeń ekstremalnych (ocena ryzyka i stress testing ). (c) Wybór i kalibrowanie modelu. (d) Weryfikacja i miary dopasowania ( Goodness of fit testing ). Więcej informacji na powyższe tematy czytelnik może znaleźć w publikacjach [9, 17]. 1.1 Zjawisko zmienności na rynkach finansowych Oznaczenia: S t cena instrumentu finansowego w chwili t. X t logarytmiczna stopa zwrotu X t = ln S t ln S t 1 = ln S t S t 1 = S t S t 1 S t 1 + O ( St S t 1 S t 1 Powyższe oszacowanie zależności między logarytmiczną stopą zwrotu a prostą stopą zwrotu wynika z rozwinięcia funkcji ln w szereg Taylora: ) 2 ln(1 + R) = R 1 2 R R ( 1) n+1 1 n Rn +..., R < 1. Zauważmy, że o ile w analizie portfelowej wygodniejsze są proste stopy zwrotu, to w badaniach dotyczących finansowych szeregów czasowych powszechnie używa się logarytmicznych stóp zwrotu. Uzasadnieniem tego wyboru są m.in. następujące korzyści natury praktycznej: Przyjmowanie przez logarytmiczne stopy zwrotu wartości z całej prostej (, + ) pozwala stosować w modelowaniu rozkłady prawdopodobieństwa z nieograniczonym nośnikiem; Łatwość wyliczania zwrotów za okres dłuższy X t [k] = ln S t ln S t k = X t + X t X t k ; Symetria w przypadku modelowania kursów walutowych X t [USD : EUR] = X t [EUR : USD]; 5.

6 Zgodność z modelami z czasem ciągłym, w których występują logarytmy ceny instrumentu finansowego. Ciągi S t i X t modelujemy, jako zmienne losowe na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P ), która opisuje wszystkie możliwe decyzje ekonomiczne i finansowe oraz wydarzenia mające wpływ na ekonomię i finanse. Zdarzeniami elementarnymi (elementami Ω) są ciągi decyzji podejmowanych w kolejnych momentach czasu i wydarzeń mających miejsce w kolejnych momentach czasu. M jest rodziną zbiorów decyzji i wydarzeń. Jeżeli A należy do M, to P (A) jest prawdopodobieństwem, że zostanie podjęta któraś z decyzji ze zbioru A lub nastąpi wydarzenie należące do A. Na przykład możemy postawić pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że Grecja ogłosi niewypłacalność w przyszłym miesiącu, albo jakie jest prawdopodobieństwo, że w Japonii w przyszłym roku będzie trzęsienie ziemi. Dynamikę modelujemy za pomocą rodziny σ-ciał H T zawartych w M, które określają zasób informacji dostępny w chwili T. H T to rodzina zbiorów decyzji i wydarzeń znanych w chwili T. Zauważmy, że jeżeli wartość pewnej zmiennej losowej X będzie znana w chwili T, to jest ona H T -mierzalna. W szczególności X t i S t są H T -mierzalne dla t T. H 0 H 1... H t... H T... M. Kurs w chwili T na podstawie danych znanych w chwili t prognozujemy za pomocą warunkowej wartości oczekiwanej E(S T H t ). Parametry rozkładu X t nazywa się następująco: E(X t ) = µ t dryf; D 2 (X t ) = σt 2, σ t zmienność (volatility); k t = E(Xt µt)4 3 kurtoza; σt 4 γ(t 0, t 1 ) = Cov(X t0, X t1 ) funkcja autokowariancji; ρ(t 0, t 1 ) = γ(t 0,t 1 ) σ(x t0 )σ(x t1 funkcja autokorelacji. ) Definicja 1 Mówimy, że proces stochastyczny ma krótką pamięć gdy istnieją C > 0 i r (0, 1), takie że ρ(t 0, t 1 ) Cr t 1 t Fakty stylizowane (fakty empiryczne) Mimo swojej różnorodności szeregi czasowe zwrotów finansowych mają pewne cechy wspólne. Nazywa się je faktami stylizowanymi (ang. stylized facts). Są to: 1. Brak autokorelacji procesu X t. Za wyjątkiem danych wysokiej częstotliwości (np. tików ), przyjmuje się, że dla s t zmienne losowe X s i X t są nieskorelowane. Co oczywiście nie oznacza, że są niezależne. 6

7 2. Leptokurtoza i grube ogony. Przyjmuje się, że rozkład X t jest leptokurtyczny, tzn. kurtoza X t jest dużo większa niż kurtoza rozkładu normalnego. Ponadto nie wszystkie momenty X t są skończone. Tak jedno jak i drugie wyklucza rozkład normalny oraz implikuje stosunkowo duże prawdopodobieństwo występowania obserwacji ekstremalnych. 3. Dążenie do normalności przy agregacji. Przy zmniejszeniu częstotliwości obserwacji (czyli agregacji X t ) rozkład zwrotów upodabnia się do normalnego. 4. Asymetria spadków i wzrostów (???). W szeregach notowań akcji i indeksów giełdowych znaczne spadki są większe niż znaczne wzrosty. 5. Zgrupowania zmienności. Obserwuje się okresy podwyższonej zmienności, rozdzielone okresami obniżonej zmienności. 6. Powracanie zmienności do średniej. Uważa się, że w długim okresie czasu zmienność powinna powracać do określonego średniego poziomu. Aczkolwiek nie jest jasne jaki jest ten normalny poziom. 7. Dodatnia autokorelacja procesu X 2 t. W odróżnieniu od pozbawionego autokorelacji procesu X t, proces kwadratów X 2 t cechuje się dodatnią autokorelacją. Co wyklucza niezależność kolejnych X t od poprzednich obserwacji. 8. Długa pamięć procesu X t (???). Proces modułów X t również cechuje się dodatnią autokorelacją. Przy czym zanika ona bardzo powoli. Co do faktów 4 i 8 (oznaczonych (???)) nie wszyscy badacze są zgodni. 1.3 Proces generujący dane Niech Z = (Z t ) t=0 będzie K-wymiarowym procesem stochastycznym (ciągiem zmiennych losowych) określonym na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P ). Obserwujemy pierwszych n realizacji tego procesu. W rozważaniach teoretycznych przyjmuje się, że n może być dowolnie duże Zmienne losowe Z t są iid W przypadku, gdy zmienne losowe Z t są niezależne i o tym samym rozkładzie (ang. iid independent and identically distributed), możemy stosować Centralne Twierdzenie Graniczne i klasyczne metody statystyki. 7

8 Przykład 1 Losowanie ze zwracaniem. Chcemy zbadać rozkład cechy X. W tym celu, z populacji generalnej będziemy losować ze zwracaniem. Otrzymujemy proces X k, k = 1,..., gdzie X k to wartość cechy X w k tym losowaniu. Przykład 2 Model stochastyczny kursu walutowego Niech Y t oznacza kurs 1 USD w EUR w dniu t. Przyjmujemy Y t = Y t 1 e εt, E(ε t ) = 0. Po zlogarytmowaniu otrzymujemy model błądzenia przypadkowego ln Y t = ln Y t 1 + ε t. W pierwszym przybliżeniu przyjmujemy, że ε t są iid o rozkładzie normalnym N(0, σ 2 ) Stacjonarność Definicja 2 Proces stochastyczny Z jest (silnie) stacjonarny gdy dla dowolnych p, q, r N łączne rozkłady {Z p, Z p+1,..., Z p+q } i {Z r,..., Z r+q } są identyczne. Wniosek 1 Jeśli proces stochastyczny Z jest stacjonarny i Z t należą do L 2, to dla wszystkich p, q, r N E(Z p ) = E(Z r ), Cov(Z p, Z p+q ) = Cov(Z r, Z r+q ) Ergodyczność Definicja 3 Stacjonarny proces stochastyczny Z ma własność mieszania gdy dla dowolnych ograniczonych funkcji borelowskich f i g oraz indeksów p, l, m N lim E(f(Z p,..., Z p+m )g(z n,..., Z n+l )) = n = E(f(Z p,..., Z p+m ))E(g(Z p,..., Z p+l )). Definicja 4 Stacjonarny proces stochastyczny Z jest ergodyczny gdy A B(R K ) P ( t Z t A) {0, 1}. Twierdzenie 1 Twierdzenie ergodyczne. Jeśli proces stochastyczny Z jest stacjonarny i Z t należą do L 1, to zachodzą implikacje gdzie a. Z ma własność mieszania, b. Z jest ergodyczny, c. średnie zbiegają do wartości oczekiwanej Z n = 1 n a = b = c, n 1 Z t t=0 8 as E(Z 0 ).

9 Uwaga 1 Jeśli proces stochastyczny Z jest stacjonarny i ma własność mieszania, a f jest funkcją borelowską to proces Z = (f(z t,..., Z t+q )) t=0 też jest stacjonarny i ma własność mieszania. Zatem jeśli Z t należą do L 2 to n 1 1 n n 1 1 n t=0 Zt 2 t=0 Z t Z t+p as E(Z 2 0), as E(Z 0 Z p ). Wniosek 2 Dla procesów stacjonarnych i ergodycznych średnie próbkowe są zgodnymi estymatorami Martyngały i przyrosty martyngałowe Definicja 5 K-wymiarowy proces stochastyczny Z = (Z t ) t=0 nazywamy martyngałem gdy 1. Z t L 1 dla t = 0, 1,..., 2. E(Z t Z t 1,..., Z 0 ) = Z t 1 dla t = 1, 2,.... Definicja 6 K-wymiarowy proces stochastyczny g = (g t ) t=0 nazywamy ciągiem przyrostów martyngałowych gdy 1. E(g t ) = 0, dla t = 0, 1,..., 2. E(g t g t 1,..., g 0 ) = 0 dla t = 1, 2,.... Uwaga 2 Jeśli proces Z = (Z t ) t=0 jest martyngałem, to proces g = (g t ) t=0, gdzie g 0 = Z 0 E(Z 0 ), g t = Z t Z t 1, t > 0, jest ciągiem przyrostów martyngałowych. Uwaga 3 Jeśli proces g = (g t ) t=0 jest ciągiem przyrostów martyngałowych, a µ dowolną stałą, to proces Z = (Z t ) t=0, gdzie jest martyngałem. Z 0 = µ + g 0, Z t = Z t 1 + g t, t > 0, Lemat 1 Jeśli proces g = (g t ) t=0 jest ciągiem przyrostów martyngałowych i g t należą do L 2 to są one nieskorelowane Cov(g t, g s ) = 0, dla t s. Twierdzenie 2 Centralne Twierdzenie Graniczne (Bilingsley 1968). Jeśli stacjonarny i ergodyczny proces g = (g t ) t=0 jest ciągiem przyrostów martyngałowych i g t należą do L 2, to gdzie Σ = E(g 0 g T 0 ). ngn = n n n 1 g t t=0 d N(0, Σ), Uwaga 4 Powyższe twierdzenie jest uogólnieniem CTG Linderberga-Levy ego, w którym pominięta została niezależność składników. 9

10 1.4 Regularna zmienność dystrybuant zmiennych losowych. Do modelowania tłustych ogonów wykorzystuje się rozkłady o dystrybuantach regularnie zmieniających się w ±. Definicja 7 Zmienną losową X nazywamy regularnie zmienną w + z wykładnikiem ρ jeżeli 1 F X (xt) lim t 1 F X (t) = lim P(X > xt) t P(X > t) = x ρ dla każdego x > 0. Definicja 8 Zmienną losową X nazywamy regularnie zmienną w z wykładnikiem ρ jeżeli F X (xt) lim t F X (t) = lim P(X xt) t P(X t) = x ρ dla każdego x > 0. Przykład 3 Zmienna losowa o rozkładzie Pareto z indeksem ogonowym ρ > 0 i parametrem skali x 0 > 0 { 0 for x x 0, F X (x) = 1 ( ) ρ x 0 x for x > x 0, jest regularnie zmienna w + z wykładnikiem ρ. Przykład 4 Zmienna losowa o rozkładzie t-studenta z ν stopniami swobody jest regularnie zmienna zarówno w, jaki i w + z tym samym wykładnikiem ν. Przykład 5 Zmienna losowa o rozkładzie loggamma ma gęstość { 0 for x < 1, f X (x) = c(ln x) β 1 x 1 ρ for x > 1, gdzie ρ, β > 0. Jest ona regularnie zmienna w + z wykładnikiem ρ. Przykład 6 Zmienna losowa o rozkładzie lognormalnym jest regularnie zmienna w + z wykładnikiem +. Poniżej sformułujemy dwa fakty, które uzasadniają zastosowanie pojęcia regularnej zmienności w modelowaniu ogonów zmiennych losowych. Po pierwsze, wykładnik regularnej zmienności określa, które momenty zmiennej losowej są skończone. Twierdzenie 3 Niech X będzie nieujemną zmienną losową regularnie zmienną w nieskończoności z wykładnikiem ρ > 0, Wówczas wartość oczekiwana E(X k ) jest skończona dla k < ρ i nieskończona dla k > ρ. Po drugie, ogony zmiennych losowych regularnie zmiennych w nieskończoności ze skończonym wykładnikiem można przybliżać uogólnionym rozkładem Pareto ([22]). Twierdzenie 4 Niech X będzie zmienną losową regularnie zmienną w + z wykładnikiem ρ > 0, Wówczas istnieje funkcja σ(u) taka, że ( lim sup u + P (X > u + x X > u) 1 + ρx ) ρ x 0 σ(u) = 0. 10

11 1.5 Wybór rodziny modeli Wybór rodziny modeli zależy w dużym stopniu od przeznaczenia modelu, którym może być n.p.: 1. Ogólny (np. edukacyjny) opis zjawiska. a. Toy model. 2. Prognozowanie. 3. Badanie zdarzeń ekstremalnych. a. Ocena ryzyka. b. Stress testing. Oprócz przeznaczenia przy wyborze modelu należy uwzględnić następujące czynniki: 1. Czy wnioski z modelu są zgodne ze stylizowanymi faktami? 2. W jakim stopniu spełnione są założenia modelu? 3. Jak dużą liczbą danych dysponujemy? 4. Jak pracochłonny jest model? 1.6 Kalibrowanie modelu Kalibrowaniem modelu nazywamy wyznaczanie jego parametrów strukturalnych na podstawie posiadanych danych empirycznych Metody parametryczne Na podstawie wcześniejszej analizy wybieramy parametryczną rodzinę modeli {Z(θ) : θ Θ R M }. Następnie estymujemy θ, tak aby Z(ˆθ) jak najlepiej pasował do danych empirycznych. Najczęściej stosuje się jedną z poniższych metod: 1. Metoda momentów. Wybieramy pewien skończony zbiór charakterystyk liczbowych rozkładów z rodziny Z(θ) γ 1,... γ M (przykładowo mogą to być momenty centralne albo korelacje). Estymujemy je na podstawie obserwacji empirycznych, a następnie szukamy rozwiązania układu równań ˆγ i = γ i (Z(θ)), i = 1,..., M. γ i dobieramy w taki sposób aby powyższy układ równań miał zawsze dokładnie jedno rozwiązanie ˆθ. 2. Metoda najmniejszych kwadratów. Żądamy minimalizacji funkcji M SE(θ), która mierzy odchylenie zadanej zależności funkcyjnej od punktów doświadczalnych z t, t = 1,..., n MSE(θ) = 1 n f(θ, z t ) 2. n t=1 11

12 3. Metoda największej wiarogodności. Żądamy maksymalizacji funkcji wiarogodności L(θ), gdzie f(x, θ) gęstość rozkładu Z(θ). n L(θ) = f(z t, θ), t=1 Wybór metody estymacji zależy od postaci analitycznej wybranej rodziny modeli i liczby obserwacji. Przy stosunkowo małej próbce zaleca się metodę momentów. Przy odpowiednio dużej, metoda największej wiarogodności daje lepsze dopasowanie. Czasami łączy się obie metody. Estymator metody momentów traktuje się jako punkt startowy do przybliżonego wyznaczania estymatora największej wiarogodności Metody nieparametryczne Niech z t, t = 1,..., n, realizacja procesu Z t. Definicja 9 Rozkładem empirycznym zmiennych losowych Z t nazywamy rozkład dyskretnej zmiennej losowej Ẑ P(Ẑ = z t) = 1 n. Twierdzenie 5 Gdy proces Z t jest stacjonarny i ergodyczny to przy n rozkład Ẑ zbiega do rozkładu Z 1. Definicja 10 Wygładzonym rozkładem empirycznym m-wymiarowych zmiennych losowych Z t nazywamy rozkład zmiennej losowej Ẑh o gęstości ĝ(z) ĝ(z) = 1 nh n ( z zt K t=1 h ), z R m gdzie h > 0 zadana liczba (parametr wygładzający), a K nieujemna funkcja na R m (zwana jądrem wygładzającym), taka, że R m K(z) = Weryfikacja modelu Po wyznaczeniu parametrów strukturalnych modelu (tzn. po wykalibrowaniu) należy przeprowadzić weryfikację modelu. Rozróżniamy weryfikację merytoryczną i statystyczną. 1. Weryfikacja merytoryczna to ocena ekspercka tego czy model prawidłowo opisuje badane zjawisko i czy wnioski z modelu są zgodne ze stylizowanymi faktami. 2. Weryfikacja statystyczna to zestaw testów statystycznych, takich jak: testy istotności parametrów strukturalnych, i testy dobroci dopasowania (ang. GOF goodness of fit). 12

13 1.8 Testy GOF Spośród licznej rodziny testów dobroci dopasowania omówimy testy oparte na pomiarze błędu dopasowania wyestymowanej dystrybuanty do dystrybuanty empirycznej. Ponieważ dla odpowiednio dużych próbek dystrybuanta empiryczna mało różni się od prawdziwej dystrybuanty, otrzymujemy w ten sposób dodatkowo informację o dokładności naszego modelu. Na podstawie realizacji procesu Z t z t, t = 1,..., n, testujemy na poziomie istotności α H 0 : Z należy do rodziny modeli {Z(θ) : θ Θ} względem H 1 : Z nie należy do rodziny modeli {Z(θ) : θ Θ}. Typowa reguła decyzyjna: 1. Estymujemy Z(ˆθ). 2. Wyznaczamy odległość (czasem półodległość) między rozkładem Z(ˆθ), a rozkładem empirycznym Ẑ T = d(z(ˆθ), Ẑ). 3. Wyznaczamy wartość krytyczną T kryt. 4. Jeżeli T T kryt to odrzucamy H 0 na rzecz H 1, jeżeli T < T kryt to nie ma podstaw do odrzucenia H 0. Jako odległość d można wziąć na przykład: ( n sup FZ(ˆθ) (z) FẐ(z) ) statystyka Kołmogorowa, n (F Z(ˆθ) (z) FẐ(z)) 2 df Z(ˆθ) (z) statystyka Cramera-von Misesa, (F Z(ˆθ) (z) FẐ(z)) 2 n F Z(ˆθ) (z)(1 F Z(ˆθ) (z)) df Z(ˆθ) (z) statystyka Andersona-Darlinga, gdzie F oznacza dystrybuantę. Statystykę Kołmogorowa stosujemy gdy istotne jest dopasowanie rozkładów dla typowych wartości zmiennych losowych (0 << F << 1) a statystykę Andersona-Darlinga gdy chcemy kontrolować ogony rozkładu F 0 i F 1. Statystyka Cramera-von Misesa pełni rolę pośrednią. Istotnym problemem jest wyznaczanie wartości krytycznej T kryt (α). Stosuje się dwie metody: A. Dzielimy próbkę na część uczącą (t J 1 ) i testującą (t J 2 ). Na podstawie J 1 estymujemy θ i wyznaczamy T kryt. Natomiast dystrybuantę empiryczną wyznaczamy z J 2. 13

14 B. Na podstawie całej próbki estymujemy θ. Próbkujemy z rozkładu Z(ˆθ) i powtarzamy punkty 1 i 2 reguły decyzyjnej dla próbki z symulacji. Iterujemy próbkowanie i wyznaczamy rozkład próbkowy statystyki T. Dla rozkładów ciągłych, dla dużych n i odpowiednio dużej liczby iteracji α-kwantyl tego rozkładu jest dobrym przybliżeniem T kryt (α). Metoda A ma prostą interpretację statystyczną i jest prostsza numerycznie (tzn. obliczenia wymagają mniejszego nakładu pracy) ale za to estymacja jest mniej dokładna. Można ją stosować w tzw. backtestingu : kalibrujemy model na podstawie kilku ostatnich miesięcy (albo tygodni) i przez kolejny miesiąc (odpowiednio tydzień) analizujemy poprawność wniosków. 14

15 2 Modele jednowymiarowe W rozdziale tym omówione zostaną następujące zagadnienia: 1. GARCH i Stochastic Volatility (SV), jako przykłady podstawowych modeli jednowymiarowych. 2. Rozszerzenia GARCH i SV, różnice względem podstawowych modeli i przyczyny ich wprowadzenia. 3. Modele przełącznikowe typu Markowa. Więcej informacji na powyższe tematy czytelnik może znaleźć w publikacjach [9, 27, 17, 13]. 2.1 Modele GARCH i SV Dla t Z X t = h t ε t, h t > 0, gdzie standaryzowane innowacje ε t są iid, E(ε t ) = 0 i D 2 (ε t ) = 1. W modelach GARCH (czyli uogólnionych modelach autoregresyjnej heteroskedastyczności warunkowej) nieobserwowalny proces h t jest wyznaczony przez wcześniejsze wartości X s i h s h t σ(x s, h s, s < t). W modelach SV (zmienności stochastycznej) powyższy warunek nie zachodzi h t σ(x s, h s, s < t). Oprócz procesu dwustronnych (od do + ) rozważane są również procesy z warunkiem początkowym. Wówczas ograniczmy się do t > t Podstawowy model GARCH(1,1) Najprostszy model z rodziny GARCH, GARCH(1,1), jest opisany następująco: Rozważamy dwa ciągi zmiennych losowych X t i h t. Wartość X t poznajemy w momencie t, a h t jest zmienną pomocniczą. Są one związane wzorami X t = h t ε t, h 2 t = a + bh 2 t 1 + cx 2 t 1, t Z, gdzie a, b, c, a > 0, b, c 0, są parametrami modelu, a ε t są niezależnymi od historii zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. W modelu podstawowym przyjmuje się, że mają one rozkład normalny N(0, 1). h t można interpretować, jako zmienne odchylenie standardowe zmiennych losowych X t. 15

16 2.3 Podstawowy model GARCH(p,q) X t = h t ε t, t Z, h 2 t = a + b 1 h 2 t b p h 2 t p + c 1 X 2 t c q X 2 t q, gdzie a, b i, c i, a > 0, b i, c i 0, są parametrami modelu, a ε t są niezależnymi od historii zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. W modelu podstawowym przyjmuje się, że mają one rozkład normalny N(0, 1). 2.4 Podstawowy model SV W podstawowym modelu SV logarytm procesu h t jest opisany jako proces liniowy AR(1). X t = h t ε t, t Z, ln h t = a + b ln h t 1 + cη t, gdzie a, b, c, b < 1, c > 0, są parametrami modelu, a ε t i η s, t, s Z są niezależnymi od siebie i od historii zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. W modelu podstawowym przyjmuje się, że mają one rozkład normalny N(0, 1). 2.5 Ogólne własności modeli GARCH i SV Załóżmy, że X t należą do L 2. Wówczas E(X t ) = E(h t )E(ε t ) = 0. Cov(X t, X t+k ) = E(X t X t+k ) = E(h t h t+k ε t+k )E(ε t+k ) = 0, dla k > 0. E(X t X t 1 ) = E(h t X t 1 )E(ε t ) = 0. Podsumowując, procesy typu GARCH i SV są nie tylko nie skorelowane ale są również przyrostami martyngałowymi. 2.6 Stacjonarność GARCH(1,1) Nie dla wszystkich modeli GARCH istnieją rozwiązania stacjonarne. Potrzebne są dodatkowe warunki na parametry. Przykładowo dla modelu GARCH(1,1) zachodzi: Twierdzenie 6 Następujące warunki są równoważne: 1. Model GARCH(1,1) z parametrami a, b, c ma dokładnie jedno rozwiązanie stacjonarne (X t, h t ). 2. Parametry a, b, c są nieujemne i spełnione jest oszacowanie E(ln(bε 2 t + c)) < 0. 16

17 2.7 Stacjonarne procesy GARCH(1,1) Momenty rozwiązania stacjonarnego można stosunkowo łatwo wyznaczyć. Twierdzenie 7 Niech (X t, h t ) będzie stacjonarnym procesem GARCH(1,1) z parametrami a, b, c. Przy założeniu E(ε t ) = 0, E(ε 2 t ) = 1, E(ε 3 t ) = 0, E(ε 4 t ) = 3, otrzymujemy: A. Gdy b + c < 1 to 1. E(h 2 a t ) = 1 b c ; 2. E(X t ) = 0; 3. D 2 (X t ) = E(Xt 2 a ) = 1 b c ; 4. cov(x t, X t+k ) = 0 k = 1, 2,.... B. Gdy ponadto (b + c) 2 + 2c 2 < 1 to 5. E(h 4 a 2 (1 + b + c) t ) = (1 b c)(1 (b + c) 2 2c 2 ) ; 6. D 2 (h 2 2a 2 c 2 t ) = (1 b c) 2 (1 (b + c) 2 2c 2 ) ; 7. cov(h 2 t, h 2 t+k) = (b + c) k D 2 (h 2 t ) k = 1, 2,... ; 8. E(Xt 4 ) = 3E(h 4 t ); 9. D 2 (Xt 2 2a 2 (1 b 2 bc) ) = (1 b c) 2 (1 (b + c) 2 2c 2 ) ; 10. cov(xt 2, Xt+1) 2 = c(1 b2 bc) 1 b 2 2bc D2 (Xt 2 ); 11. cov(xt 2, Xt+k) 2 = (b + c) k 1 cov(xt 2, Xt+1) 2 k = 2, 3,.... Zauważmy, że momenty badanego procesu można stosunkowo łatwo wyestymować na podstawie danych empirycznych. Otrzymujemy w ten sposób proste narzędzie do estymacji parametrów strukturalnych (metoda momentów podrozdział 1.6.1) i do wstępnej oceny na ile stacjonarny proces GARCH(1,1) poprawnie opisuje badane zjawisko. 2.8 Stacjonarność SV Dla wszystkich podstawowych modeli SV istnieją rozwiązania stacjonarne (X t, h t ). Gdy η t są N(0, 1) to ln h t jest gaussowskim rozwiązaniem modelu AR(1). E(ln h t ) = a 1 b, D2 (ln h t ) = c2 1 b 2. Cov(ln h t, ln h t+k ) = b k D 2 (ln h t ), dla k > 0. 17

18 Gdy ln h t są stacjonarne to również X t = h t ε t są stacjonarne. E(X t ) = 0, D 2 (X t ) = E(X 2 t ) = E(h 2 t ) = exp ( 2c 2 1 b + 2a ). 2 1 b ( 4c D 2 (Xt 2 2 ) = exp 1 b + 4a ) ( ( ) ) exp 3 4c b 1 b 2 ( 4c Cov(Xt 2, Xt+k) 2 2 = exp 1 b + 4a ) ( ( 4b k c 2 ) ) exp 1, dla k > b 1 b Stacjonarne rozwiązania GARCH(p,q) i SV - podsumowanie W przypadku gaussowskich innowacji stacjonarne procesy GARCH(p,q) i SV mają następujące własności: 1. Kwadraty stacjonarnych rozwiązań GARCH(p,q) i SV to procesy z krótką pamięcią. 2. Stacjonarne rozwiązania SV, w odróżnieniu od stacjonarnych rozwiązań GARCH(p,q), mają wszystkie momenty Kalibrowanie modeli GARCH(p,q) Przy kalibrowaniu modeli GARCH(p,q) najczęściej korzystamy z metody największej wiarogodności. 1. Estymujemy proces h t dla nieznanych wartości parametrów a, b i, c i, ĥ 2 t = a + b 1 ĥ 2 t b p ĥ 2 t p + c 1 x 2 t c q x 2 t q, 2. Wyznaczamy logarytm warunkowej funkcji wiarogodności warunkowanej przez h t = ĥt, n l(a, b, c) = ln f(x t, ĥt), t=1 gdzie f(, ĥt) gęstość rozkładu N(0, ĥt). 3. Szukamy wartości a, b i i c i dla których funkcja l przyjmuje maksimum Wybór modelu GARCH(p,q) w oparciu o kryterium informacyjne Przy ustalonej wielkości próbki n, zwiększając liczbę parametrów modelu zawsze poprawiamy dopasowanie modelu do danych empirycznych. Gdy ilość parametrów strukturalnych zbliży się do wielkości próbki dopasowanie będzie wręcz idealne. Niestety skonstruowany w ten sposób model ma niewielką wartość prognostyczną. Nastąpiło przeuczenie modelu overfitting. Aby ograniczyć liczbę parametrów stosuje się kryteria informacyjne. 18

19 Zauważmy, że liczba parametrów strukturalnych modelu GARCH(p,q) z gaussowskimi innowacjami wynosi 1 + p + q. 1. Dla parametrów p i q (z ustalonego zbioru parametrów) wyznaczamy maksimum funkcji wiarogodności L p,q. 2. Stosujemy kryterium informacyjne Akaike. lub kryterium Schwarza AIC = 2 n (ln(max(l p,q)) (1 + p + q)) min. BIC = 2 n (ln(max(l p,q)) (1 + p + q) ln n ) min. 2 Różnica między kryteriami AIC i BIC polega na innym ważeniu jakości dopasowania i prostoty modelu. W literaturze sugeruje się, że dla małej próbki kryterium AIC ma tendencję do wybierania modelu o zbyt dużej liczbie parametrów Weryfikacja modeli GARCH i SV Przy weryfikacji modeli GARCH i SV należy zwrócić uwagę na trzy podstawowe elementy: 1. Czy spełnione są założenia modelu: Testujemy czy innowacje są iid o rozkładzie N(0, 1). 2. Czy model jest dobrze dopasowany do badanego zjawiska: Testujemy czy empiryczne i modelowe drugie momenty procesu i autokowariancja procesu kwadratów są zgodne. 3. Czy wnioski z modelu są poprawne: Testujemy jakość prognoz. Na przykład stosując test Kupieca ([19]) sprawdzamy dokładność estymacji Value at Risk czyli poprawność prognozy kwantyla rozkładu X t. Jeśli wszystkie testy wypadną pomyślnie, to możemy powiedzieć, że badany model jest statystycznie poprawny Rozszerzenia GARCH i SV 1. Zmieniamy rozkład innowacji z N(0, 1) na inny rozkład zestandaryzowany np. zestandaryzowany rozkład t-studenta. W ten sposób pogrubiamy ogony. 2. Zmieniamy formułę opisującą ewolucję h t. Np. h 2 t = a + bh 2 t 1 + cx 2 t 1 + di Xt 1 <0X 2 t 1 GJG GARCH(1, 1), h 2 t = a + bh 2 t 1 + c( X t 1 dx t 1 ) δ, δ > 0, d ( 1, 1), AP GARCH(1, 1). W ten sposób uwzględniamy asymetryczny wpływ spadków na zmienność. 19

20 2.14 Modele przełącznikowe X t Y t N(µ(Y t ), h(y t )), gdzie Y t jest łańcuchem Markowa o skończonej liczbie stanów np. o dwóch stanach bessa i hossa. Ewolucja takiego procesu jest opisana przez macierz przejścia o wyrazach p i,j = P(Y t = s j Y t 1 = s i ). Naturalne rozszerzenie modelu przełącznikowego polega na przyjęciu, że prawdopodobieństwa p i,j są zmienne w czasie i zależą od czynników zewnętrznych (np. makroekonomicznych). 20

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Definicje zależności. Kopuły w matematyce finansowej. Aleksandra Kantowska

Definicje zależności. Kopuły w matematyce finansowej. Aleksandra Kantowska Definicje zależności. Kopuły w matematyce finansowej. Aleksandra Kantowska 18.06.2014 Spis treści Wstęp 2 1 Funkcja kopuła 4 1.1 Podstawowe pojęcia................................... 4 1.2 Pochodne kopuł......................................

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Estymacja w regresji nieparametrycznej

Estymacja w regresji nieparametrycznej Estymacja w regresji nieparametrycznej Jakub Kolecki Politechnika Gdańska 28 listopada 2011 1 Wstęp Co to jest regresja? Przykład regresji 2 Regresja nieparametryczna Założenia modelu Estymacja i jej charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 0/5 () Nazwa Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka () Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot ()

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej 1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych)

Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych) Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych) dr inż. Agnieszka Gadomska-Gajadhur E-mail: agadomska@ch.pw.edu.pl Lab. Pawilon, nr tel. 34 54 63 Plan wykładu Dlaczego planujemy eksperymenty?

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie

Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznego nt. Wybrane metody statystyczne w analizach makroekonomicznych dr

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Procesy stochastyczne

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Autor prezentuje spójny obraz najczęściej stosowanych metod statystycznych, dodatkowo omawiając takie

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza

Bardziej szczegółowo

KILKA UWAG DO ANALZY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA INFORMACJI RYNKOWYCH **

KILKA UWAG DO ANALZY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA INFORMACJI RYNKOWYCH ** GEODEZJA TOM 6 ZESZYT 2 2000 332.852:519.2 Józef Czaja *, Edward Preweda * KILKA UWAG DO ANALZY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA INFORMACJI RYNKOWYCH ** 1. Studium pojęć W ostatnim okresie środowisko rzeczoznawców

Bardziej szczegółowo

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to 3.1 Wprowadzenie do estymacji Ile mamy czerwonych krwinek w krwi? Ile karpi żyje w odrze? Ile ton trzody chlewnej będzie wyprodukowane w przyszłym roku? Ile białych samochodów jeździ ulicami Warszawy?

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM Potęgi, pierwiastki i logarytmy 23 h DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH:

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych etc

Testowanie hipotez statystycznych etc Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo