Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH"

Transkrypt

1 Wybrane zagadnienia modelowania zmienności na rynkach finansowych z wykorzystaniem kopuli i procesów GARCH Piotr Jaworski Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki 13 lipca

2 Spis treści 1 Wiadomości wstępne Zjawisko zmienności na rynkach finansowych Fakty stylizowane (fakty empiryczne) Proces generujący dane Zmienne losowe Z t są iid Stacjonarność Ergodyczność Martyngały i przyrosty martyngałowe Regularna zmienność dystrybuant zmiennych losowych Wybór rodziny modeli Kalibrowanie modelu Metody parametryczne Metody nieparametryczne Weryfikacja modelu Testy GOF Modele jednowymiarowe Modele GARCH i SV Podstawowy model GARCH(1,1) Podstawowy model GARCH(p,q) Podstawowy model SV Ogólne własności modeli GARCH i SV Stacjonarność GARCH(1,1) Stacjonarne procesy GARCH(1,1) Stacjonarność SV Stacjonarne rozwiązania GARCH(p,q) i SV - podsumowanie Kalibrowanie modeli GARCH(p,q) Wybór modelu GARCH(p,q) w oparciu o kryterium informacyjne Weryfikacja modeli GARCH i SV Rozszerzenia GARCH i SV Modele przełącznikowe Modelowanie wielowymiarowe z wykorzystaniem kopuli Definicja kopuli Definicja probabilistyczna kopuli Definicja aksjomatyczna kopuli Twierdzenie Sklara Własności kopuli Niezmienniczość Monotoniczność Lipschitzowskość i ciągłość Ograniczenia Frécheta-Hoeffdinga Trzy podstawowe kopule Kopule Farlie-Gumbela-Morgensterna (FGM)

3 3.6 Kopule Marshalla-Olkina Kopule Frécheta Kopule gaussowskie Kopule archimedesowe Przykłady kopuli archimedesowych, n = Porządek konkordantny Funkcja zgodności Q Miary zależności: τ Kendalla i ρ Spearmana Value at Risk dla długich pozycji Asymptotyka VaR Ogonowa funkcja zależności Przykład założenia modelowe Market Contagion Kopule warunkowe Modelowanie efektu contagion Symulacja kopuli typowego rozkładu Symulacja kopuli metoda warunkowa d = Symulacja kopuli metoda warunkowa d > Symulacje kopuli archimedesowych - metoda Marshalla-Olkina Przykłady transformat Laplace a τ Wielomiany i kopule Bernsteina Wielomiany bazowe Bernsteina Subkopule Kopule Bernsteina Gęstość kopuli Bernsteina Wielomian Bernsteina funkcji ciągłej Wielomian Bernsteina kopuli Dwustopniowa estymacja wielowymiarowych rozkładów Metoda największej wiarogodności Dystrybuanta empiryczna Kopula empiryczna Empiryczna kopula Bernsteina Losowe kopule empiryczne Weryfikacja, testy dobroci dopasowania (GOF) Przekształcenie Rosenblatta Testy GOF dla kopuli Modele oparte na kopulach zmiennych w czasie Estymacja modelu skokowego Modele ciągłe z losowym parametrem - konstrukcja modelu Modele ciągłe z autoregresyjnym parametrem - konstrukcja modelu Regresja kwantylowa Regresja kwantylowa estymacja nieparametryczna

4 4 Wielowymiarowe modele GARCH i SV Modele MGARCH i MSV Przekształcenia liniowe macierzy w zapisie macierzowym Podstawowy model Vec-GARCH(1,1) Model Vec-GARCH(p,q) Własności procesów Vec-Garch(p,q) klasy L Asymptotyczne własności procesów Vec-Garch(1,1) klasy L Model BEKK(p,q,K) Stacjonarność Estymacja Model DCC(1,1) Model EDCC(1,1) Statyczny model Copula-GARCH(1,1) Dynamiczny model Copula-GARCH(1,1) Przełącznikowy model Copula-GARCH(1,1) VIRF dla modeli GARCH Zagadnienie przenoszenia zmienności - efekt zarazy (ang. contagion) Wprowadzenie Definicja szeroka Definicja wąska Definicja bardzo wąska Definicja probabilistyczna Spillover, transmission, comovement Przyczynowość w sensie Grangera Granger causality in the mean Granger second order causality Granger causality in variance Granger causality w procesach MGARCH Modele przestrzenne efektu contagion Contagion w terminach regresji pierwszego rodzaju Contagion w terminach kopuli Modele czasowe efektu contagion Contagion w terminach współczynnika korelacji Contagion w terminach kopuli Pomiar siły współzależności i przenoszenia Pomiar siły współzależności - metoda przestrzenna Pomiar siły współzależności - metoda czasowa Pomiar siły współzależności - metoda przestrzenna złożona Pomiar siły przenoszenia Xt,1 2 na Xt,2 2 metody liniowe Pomiar siły przenoszenia Xt,1 2 na Xt,2 2 metody nieliniowe Testowanie siły przenoszenia i współzależności

5 1 Wiadomości wstępne W rozdziale tym omówione zostaną następujące zagadnienia: 1. Zjawisko zmienności na rynkach finansowych, zmienność, jako miara niepewności i ryzyka, stylizowane fakty dot. finansowych szeregów czasowych. 2. Podstawy modelowania stochastycznego. (a) Proces generujący dane. Podstawowe pojęcia: niezależność, stacjonarność, ergodyczność. Ciąg przyrostów martyngałowych. Zjawisko tłustych ogonów - regularna zmienność dystrybuant zmiennych losowych. (b) Przeznaczenie modelu. Ogólny (edukacyjny) opis zjawiska ( toy model ). Prognozowanie. Badanie zdarzeń ekstremalnych (ocena ryzyka i stress testing ). (c) Wybór i kalibrowanie modelu. (d) Weryfikacja i miary dopasowania ( Goodness of fit testing ). Więcej informacji na powyższe tematy czytelnik może znaleźć w publikacjach [9, 17]. 1.1 Zjawisko zmienności na rynkach finansowych Oznaczenia: S t cena instrumentu finansowego w chwili t. X t logarytmiczna stopa zwrotu X t = ln S t ln S t 1 = ln S t S t 1 = S t S t 1 S t 1 + O ( St S t 1 S t 1 Powyższe oszacowanie zależności między logarytmiczną stopą zwrotu a prostą stopą zwrotu wynika z rozwinięcia funkcji ln w szereg Taylora: ) 2 ln(1 + R) = R 1 2 R R ( 1) n+1 1 n Rn +..., R < 1. Zauważmy, że o ile w analizie portfelowej wygodniejsze są proste stopy zwrotu, to w badaniach dotyczących finansowych szeregów czasowych powszechnie używa się logarytmicznych stóp zwrotu. Uzasadnieniem tego wyboru są m.in. następujące korzyści natury praktycznej: Przyjmowanie przez logarytmiczne stopy zwrotu wartości z całej prostej (, + ) pozwala stosować w modelowaniu rozkłady prawdopodobieństwa z nieograniczonym nośnikiem; Łatwość wyliczania zwrotów za okres dłuższy X t [k] = ln S t ln S t k = X t + X t X t k ; Symetria w przypadku modelowania kursów walutowych X t [USD : EUR] = X t [EUR : USD]; 5.

6 Zgodność z modelami z czasem ciągłym, w których występują logarytmy ceny instrumentu finansowego. Ciągi S t i X t modelujemy, jako zmienne losowe na pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P ), która opisuje wszystkie możliwe decyzje ekonomiczne i finansowe oraz wydarzenia mające wpływ na ekonomię i finanse. Zdarzeniami elementarnymi (elementami Ω) są ciągi decyzji podejmowanych w kolejnych momentach czasu i wydarzeń mających miejsce w kolejnych momentach czasu. M jest rodziną zbiorów decyzji i wydarzeń. Jeżeli A należy do M, to P (A) jest prawdopodobieństwem, że zostanie podjęta któraś z decyzji ze zbioru A lub nastąpi wydarzenie należące do A. Na przykład możemy postawić pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że Grecja ogłosi niewypłacalność w przyszłym miesiącu, albo jakie jest prawdopodobieństwo, że w Japonii w przyszłym roku będzie trzęsienie ziemi. Dynamikę modelujemy za pomocą rodziny σ-ciał H T zawartych w M, które określają zasób informacji dostępny w chwili T. H T to rodzina zbiorów decyzji i wydarzeń znanych w chwili T. Zauważmy, że jeżeli wartość pewnej zmiennej losowej X będzie znana w chwili T, to jest ona H T -mierzalna. W szczególności X t i S t są H T -mierzalne dla t T. H 0 H 1... H t... H T... M. Kurs w chwili T na podstawie danych znanych w chwili t prognozujemy za pomocą warunkowej wartości oczekiwanej E(S T H t ). Parametry rozkładu X t nazywa się następująco: E(X t ) = µ t dryf; D 2 (X t ) = σt 2, σ t zmienność (volatility); k t = E(Xt µt)4 3 kurtoza; σt 4 γ(t 0, t 1 ) = Cov(X t0, X t1 ) funkcja autokowariancji; ρ(t 0, t 1 ) = γ(t 0,t 1 ) σ(x t0 )σ(x t1 funkcja autokorelacji. ) Definicja 1 Mówimy, że proces stochastyczny ma krótką pamięć gdy istnieją C > 0 i r (0, 1), takie że ρ(t 0, t 1 ) Cr t 1 t Fakty stylizowane (fakty empiryczne) Mimo swojej różnorodności szeregi czasowe zwrotów finansowych mają pewne cechy wspólne. Nazywa się je faktami stylizowanymi (ang. stylized facts). Są to: 1. Brak autokorelacji procesu X t. Za wyjątkiem danych wysokiej częstotliwości (np. tików ), przyjmuje się, że dla s t zmienne losowe X s i X t są nieskorelowane. Co oczywiście nie oznacza, że są niezależne. 6

7 2. Leptokurtoza i grube ogony. Przyjmuje się, że rozkład X t jest leptokurtyczny, tzn. kurtoza X t jest dużo większa niż kurtoza rozkładu normalnego. Ponadto nie wszystkie momenty X t są skończone. Tak jedno jak i drugie wyklucza rozkład normalny oraz implikuje stosunkowo duże prawdopodobieństwo występowania obserwacji ekstremalnych. 3. Dążenie do normalności przy agregacji. Przy zmniejszeniu częstotliwości obserwacji (czyli agregacji X t ) rozkład zwrotów upodabnia się do normalnego. 4. Asymetria spadków i wzrostów (???). W szeregach notowań akcji i indeksów giełdowych znaczne spadki są większe niż znaczne wzrosty. 5. Zgrupowania zmienności. Obserwuje się okresy podwyższonej zmienności, rozdzielone okresami obniżonej zmienności. 6. Powracanie zmienności do średniej. Uważa się, że w długim okresie czasu zmienność powinna powracać do określonego średniego poziomu. Aczkolwiek nie jest jasne jaki jest ten normalny poziom. 7. Dodatnia autokorelacja procesu X 2 t. W odróżnieniu od pozbawionego autokorelacji procesu X t, proces kwadratów X 2 t cechuje się dodatnią autokorelacją. Co wyklucza niezależność kolejnych X t od poprzednich obserwacji. 8. Długa pamięć procesu X t (???). Proces modułów X t również cechuje się dodatnią autokorelacją. Przy czym zanika ona bardzo powoli. Co do faktów 4 i 8 (oznaczonych (???)) nie wszyscy badacze są zgodni. 1.3 Proces generujący dane Niech Z = (Z t ) t=0 będzie K-wymiarowym procesem stochastycznym (ciągiem zmiennych losowych) określonym na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P ). Obserwujemy pierwszych n realizacji tego procesu. W rozważaniach teoretycznych przyjmuje się, że n może być dowolnie duże Zmienne losowe Z t są iid W przypadku, gdy zmienne losowe Z t są niezależne i o tym samym rozkładzie (ang. iid independent and identically distributed), możemy stosować Centralne Twierdzenie Graniczne i klasyczne metody statystyki. 7

8 Przykład 1 Losowanie ze zwracaniem. Chcemy zbadać rozkład cechy X. W tym celu, z populacji generalnej będziemy losować ze zwracaniem. Otrzymujemy proces X k, k = 1,..., gdzie X k to wartość cechy X w k tym losowaniu. Przykład 2 Model stochastyczny kursu walutowego Niech Y t oznacza kurs 1 USD w EUR w dniu t. Przyjmujemy Y t = Y t 1 e εt, E(ε t ) = 0. Po zlogarytmowaniu otrzymujemy model błądzenia przypadkowego ln Y t = ln Y t 1 + ε t. W pierwszym przybliżeniu przyjmujemy, że ε t są iid o rozkładzie normalnym N(0, σ 2 ) Stacjonarność Definicja 2 Proces stochastyczny Z jest (silnie) stacjonarny gdy dla dowolnych p, q, r N łączne rozkłady {Z p, Z p+1,..., Z p+q } i {Z r,..., Z r+q } są identyczne. Wniosek 1 Jeśli proces stochastyczny Z jest stacjonarny i Z t należą do L 2, to dla wszystkich p, q, r N E(Z p ) = E(Z r ), Cov(Z p, Z p+q ) = Cov(Z r, Z r+q ) Ergodyczność Definicja 3 Stacjonarny proces stochastyczny Z ma własność mieszania gdy dla dowolnych ograniczonych funkcji borelowskich f i g oraz indeksów p, l, m N lim E(f(Z p,..., Z p+m )g(z n,..., Z n+l )) = n = E(f(Z p,..., Z p+m ))E(g(Z p,..., Z p+l )). Definicja 4 Stacjonarny proces stochastyczny Z jest ergodyczny gdy A B(R K ) P ( t Z t A) {0, 1}. Twierdzenie 1 Twierdzenie ergodyczne. Jeśli proces stochastyczny Z jest stacjonarny i Z t należą do L 1, to zachodzą implikacje gdzie a. Z ma własność mieszania, b. Z jest ergodyczny, c. średnie zbiegają do wartości oczekiwanej Z n = 1 n a = b = c, n 1 Z t t=0 8 as E(Z 0 ).

9 Uwaga 1 Jeśli proces stochastyczny Z jest stacjonarny i ma własność mieszania, a f jest funkcją borelowską to proces Z = (f(z t,..., Z t+q )) t=0 też jest stacjonarny i ma własność mieszania. Zatem jeśli Z t należą do L 2 to n 1 1 n n 1 1 n t=0 Zt 2 t=0 Z t Z t+p as E(Z 2 0), as E(Z 0 Z p ). Wniosek 2 Dla procesów stacjonarnych i ergodycznych średnie próbkowe są zgodnymi estymatorami Martyngały i przyrosty martyngałowe Definicja 5 K-wymiarowy proces stochastyczny Z = (Z t ) t=0 nazywamy martyngałem gdy 1. Z t L 1 dla t = 0, 1,..., 2. E(Z t Z t 1,..., Z 0 ) = Z t 1 dla t = 1, 2,.... Definicja 6 K-wymiarowy proces stochastyczny g = (g t ) t=0 nazywamy ciągiem przyrostów martyngałowych gdy 1. E(g t ) = 0, dla t = 0, 1,..., 2. E(g t g t 1,..., g 0 ) = 0 dla t = 1, 2,.... Uwaga 2 Jeśli proces Z = (Z t ) t=0 jest martyngałem, to proces g = (g t ) t=0, gdzie g 0 = Z 0 E(Z 0 ), g t = Z t Z t 1, t > 0, jest ciągiem przyrostów martyngałowych. Uwaga 3 Jeśli proces g = (g t ) t=0 jest ciągiem przyrostów martyngałowych, a µ dowolną stałą, to proces Z = (Z t ) t=0, gdzie jest martyngałem. Z 0 = µ + g 0, Z t = Z t 1 + g t, t > 0, Lemat 1 Jeśli proces g = (g t ) t=0 jest ciągiem przyrostów martyngałowych i g t należą do L 2 to są one nieskorelowane Cov(g t, g s ) = 0, dla t s. Twierdzenie 2 Centralne Twierdzenie Graniczne (Bilingsley 1968). Jeśli stacjonarny i ergodyczny proces g = (g t ) t=0 jest ciągiem przyrostów martyngałowych i g t należą do L 2, to gdzie Σ = E(g 0 g T 0 ). ngn = n n n 1 g t t=0 d N(0, Σ), Uwaga 4 Powyższe twierdzenie jest uogólnieniem CTG Linderberga-Levy ego, w którym pominięta została niezależność składników. 9

10 1.4 Regularna zmienność dystrybuant zmiennych losowych. Do modelowania tłustych ogonów wykorzystuje się rozkłady o dystrybuantach regularnie zmieniających się w ±. Definicja 7 Zmienną losową X nazywamy regularnie zmienną w + z wykładnikiem ρ jeżeli 1 F X (xt) lim t 1 F X (t) = lim P(X > xt) t P(X > t) = x ρ dla każdego x > 0. Definicja 8 Zmienną losową X nazywamy regularnie zmienną w z wykładnikiem ρ jeżeli F X (xt) lim t F X (t) = lim P(X xt) t P(X t) = x ρ dla każdego x > 0. Przykład 3 Zmienna losowa o rozkładzie Pareto z indeksem ogonowym ρ > 0 i parametrem skali x 0 > 0 { 0 for x x 0, F X (x) = 1 ( ) ρ x 0 x for x > x 0, jest regularnie zmienna w + z wykładnikiem ρ. Przykład 4 Zmienna losowa o rozkładzie t-studenta z ν stopniami swobody jest regularnie zmienna zarówno w, jaki i w + z tym samym wykładnikiem ν. Przykład 5 Zmienna losowa o rozkładzie loggamma ma gęstość { 0 for x < 1, f X (x) = c(ln x) β 1 x 1 ρ for x > 1, gdzie ρ, β > 0. Jest ona regularnie zmienna w + z wykładnikiem ρ. Przykład 6 Zmienna losowa o rozkładzie lognormalnym jest regularnie zmienna w + z wykładnikiem +. Poniżej sformułujemy dwa fakty, które uzasadniają zastosowanie pojęcia regularnej zmienności w modelowaniu ogonów zmiennych losowych. Po pierwsze, wykładnik regularnej zmienności określa, które momenty zmiennej losowej są skończone. Twierdzenie 3 Niech X będzie nieujemną zmienną losową regularnie zmienną w nieskończoności z wykładnikiem ρ > 0, Wówczas wartość oczekiwana E(X k ) jest skończona dla k < ρ i nieskończona dla k > ρ. Po drugie, ogony zmiennych losowych regularnie zmiennych w nieskończoności ze skończonym wykładnikiem można przybliżać uogólnionym rozkładem Pareto ([22]). Twierdzenie 4 Niech X będzie zmienną losową regularnie zmienną w + z wykładnikiem ρ > 0, Wówczas istnieje funkcja σ(u) taka, że ( lim sup u + P (X > u + x X > u) 1 + ρx ) ρ x 0 σ(u) = 0. 10

11 1.5 Wybór rodziny modeli Wybór rodziny modeli zależy w dużym stopniu od przeznaczenia modelu, którym może być n.p.: 1. Ogólny (np. edukacyjny) opis zjawiska. a. Toy model. 2. Prognozowanie. 3. Badanie zdarzeń ekstremalnych. a. Ocena ryzyka. b. Stress testing. Oprócz przeznaczenia przy wyborze modelu należy uwzględnić następujące czynniki: 1. Czy wnioski z modelu są zgodne ze stylizowanymi faktami? 2. W jakim stopniu spełnione są założenia modelu? 3. Jak dużą liczbą danych dysponujemy? 4. Jak pracochłonny jest model? 1.6 Kalibrowanie modelu Kalibrowaniem modelu nazywamy wyznaczanie jego parametrów strukturalnych na podstawie posiadanych danych empirycznych Metody parametryczne Na podstawie wcześniejszej analizy wybieramy parametryczną rodzinę modeli {Z(θ) : θ Θ R M }. Następnie estymujemy θ, tak aby Z(ˆθ) jak najlepiej pasował do danych empirycznych. Najczęściej stosuje się jedną z poniższych metod: 1. Metoda momentów. Wybieramy pewien skończony zbiór charakterystyk liczbowych rozkładów z rodziny Z(θ) γ 1,... γ M (przykładowo mogą to być momenty centralne albo korelacje). Estymujemy je na podstawie obserwacji empirycznych, a następnie szukamy rozwiązania układu równań ˆγ i = γ i (Z(θ)), i = 1,..., M. γ i dobieramy w taki sposób aby powyższy układ równań miał zawsze dokładnie jedno rozwiązanie ˆθ. 2. Metoda najmniejszych kwadratów. Żądamy minimalizacji funkcji M SE(θ), która mierzy odchylenie zadanej zależności funkcyjnej od punktów doświadczalnych z t, t = 1,..., n MSE(θ) = 1 n f(θ, z t ) 2. n t=1 11

12 3. Metoda największej wiarogodności. Żądamy maksymalizacji funkcji wiarogodności L(θ), gdzie f(x, θ) gęstość rozkładu Z(θ). n L(θ) = f(z t, θ), t=1 Wybór metody estymacji zależy od postaci analitycznej wybranej rodziny modeli i liczby obserwacji. Przy stosunkowo małej próbce zaleca się metodę momentów. Przy odpowiednio dużej, metoda największej wiarogodności daje lepsze dopasowanie. Czasami łączy się obie metody. Estymator metody momentów traktuje się jako punkt startowy do przybliżonego wyznaczania estymatora największej wiarogodności Metody nieparametryczne Niech z t, t = 1,..., n, realizacja procesu Z t. Definicja 9 Rozkładem empirycznym zmiennych losowych Z t nazywamy rozkład dyskretnej zmiennej losowej Ẑ P(Ẑ = z t) = 1 n. Twierdzenie 5 Gdy proces Z t jest stacjonarny i ergodyczny to przy n rozkład Ẑ zbiega do rozkładu Z 1. Definicja 10 Wygładzonym rozkładem empirycznym m-wymiarowych zmiennych losowych Z t nazywamy rozkład zmiennej losowej Ẑh o gęstości ĝ(z) ĝ(z) = 1 nh n ( z zt K t=1 h ), z R m gdzie h > 0 zadana liczba (parametr wygładzający), a K nieujemna funkcja na R m (zwana jądrem wygładzającym), taka, że R m K(z) = Weryfikacja modelu Po wyznaczeniu parametrów strukturalnych modelu (tzn. po wykalibrowaniu) należy przeprowadzić weryfikację modelu. Rozróżniamy weryfikację merytoryczną i statystyczną. 1. Weryfikacja merytoryczna to ocena ekspercka tego czy model prawidłowo opisuje badane zjawisko i czy wnioski z modelu są zgodne ze stylizowanymi faktami. 2. Weryfikacja statystyczna to zestaw testów statystycznych, takich jak: testy istotności parametrów strukturalnych, i testy dobroci dopasowania (ang. GOF goodness of fit). 12

13 1.8 Testy GOF Spośród licznej rodziny testów dobroci dopasowania omówimy testy oparte na pomiarze błędu dopasowania wyestymowanej dystrybuanty do dystrybuanty empirycznej. Ponieważ dla odpowiednio dużych próbek dystrybuanta empiryczna mało różni się od prawdziwej dystrybuanty, otrzymujemy w ten sposób dodatkowo informację o dokładności naszego modelu. Na podstawie realizacji procesu Z t z t, t = 1,..., n, testujemy na poziomie istotności α H 0 : Z należy do rodziny modeli {Z(θ) : θ Θ} względem H 1 : Z nie należy do rodziny modeli {Z(θ) : θ Θ}. Typowa reguła decyzyjna: 1. Estymujemy Z(ˆθ). 2. Wyznaczamy odległość (czasem półodległość) między rozkładem Z(ˆθ), a rozkładem empirycznym Ẑ T = d(z(ˆθ), Ẑ). 3. Wyznaczamy wartość krytyczną T kryt. 4. Jeżeli T T kryt to odrzucamy H 0 na rzecz H 1, jeżeli T < T kryt to nie ma podstaw do odrzucenia H 0. Jako odległość d można wziąć na przykład: ( n sup FZ(ˆθ) (z) FẐ(z) ) statystyka Kołmogorowa, n (F Z(ˆθ) (z) FẐ(z)) 2 df Z(ˆθ) (z) statystyka Cramera-von Misesa, (F Z(ˆθ) (z) FẐ(z)) 2 n F Z(ˆθ) (z)(1 F Z(ˆθ) (z)) df Z(ˆθ) (z) statystyka Andersona-Darlinga, gdzie F oznacza dystrybuantę. Statystykę Kołmogorowa stosujemy gdy istotne jest dopasowanie rozkładów dla typowych wartości zmiennych losowych (0 << F << 1) a statystykę Andersona-Darlinga gdy chcemy kontrolować ogony rozkładu F 0 i F 1. Statystyka Cramera-von Misesa pełni rolę pośrednią. Istotnym problemem jest wyznaczanie wartości krytycznej T kryt (α). Stosuje się dwie metody: A. Dzielimy próbkę na część uczącą (t J 1 ) i testującą (t J 2 ). Na podstawie J 1 estymujemy θ i wyznaczamy T kryt. Natomiast dystrybuantę empiryczną wyznaczamy z J 2. 13

14 B. Na podstawie całej próbki estymujemy θ. Próbkujemy z rozkładu Z(ˆθ) i powtarzamy punkty 1 i 2 reguły decyzyjnej dla próbki z symulacji. Iterujemy próbkowanie i wyznaczamy rozkład próbkowy statystyki T. Dla rozkładów ciągłych, dla dużych n i odpowiednio dużej liczby iteracji α-kwantyl tego rozkładu jest dobrym przybliżeniem T kryt (α). Metoda A ma prostą interpretację statystyczną i jest prostsza numerycznie (tzn. obliczenia wymagają mniejszego nakładu pracy) ale za to estymacja jest mniej dokładna. Można ją stosować w tzw. backtestingu : kalibrujemy model na podstawie kilku ostatnich miesięcy (albo tygodni) i przez kolejny miesiąc (odpowiednio tydzień) analizujemy poprawność wniosków. 14

15 2 Modele jednowymiarowe W rozdziale tym omówione zostaną następujące zagadnienia: 1. GARCH i Stochastic Volatility (SV), jako przykłady podstawowych modeli jednowymiarowych. 2. Rozszerzenia GARCH i SV, różnice względem podstawowych modeli i przyczyny ich wprowadzenia. 3. Modele przełącznikowe typu Markowa. Więcej informacji na powyższe tematy czytelnik może znaleźć w publikacjach [9, 27, 17, 13]. 2.1 Modele GARCH i SV Dla t Z X t = h t ε t, h t > 0, gdzie standaryzowane innowacje ε t są iid, E(ε t ) = 0 i D 2 (ε t ) = 1. W modelach GARCH (czyli uogólnionych modelach autoregresyjnej heteroskedastyczności warunkowej) nieobserwowalny proces h t jest wyznaczony przez wcześniejsze wartości X s i h s h t σ(x s, h s, s < t). W modelach SV (zmienności stochastycznej) powyższy warunek nie zachodzi h t σ(x s, h s, s < t). Oprócz procesu dwustronnych (od do + ) rozważane są również procesy z warunkiem początkowym. Wówczas ograniczmy się do t > t Podstawowy model GARCH(1,1) Najprostszy model z rodziny GARCH, GARCH(1,1), jest opisany następująco: Rozważamy dwa ciągi zmiennych losowych X t i h t. Wartość X t poznajemy w momencie t, a h t jest zmienną pomocniczą. Są one związane wzorami X t = h t ε t, h 2 t = a + bh 2 t 1 + cx 2 t 1, t Z, gdzie a, b, c, a > 0, b, c 0, są parametrami modelu, a ε t są niezależnymi od historii zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. W modelu podstawowym przyjmuje się, że mają one rozkład normalny N(0, 1). h t można interpretować, jako zmienne odchylenie standardowe zmiennych losowych X t. 15

16 2.3 Podstawowy model GARCH(p,q) X t = h t ε t, t Z, h 2 t = a + b 1 h 2 t b p h 2 t p + c 1 X 2 t c q X 2 t q, gdzie a, b i, c i, a > 0, b i, c i 0, są parametrami modelu, a ε t są niezależnymi od historii zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. W modelu podstawowym przyjmuje się, że mają one rozkład normalny N(0, 1). 2.4 Podstawowy model SV W podstawowym modelu SV logarytm procesu h t jest opisany jako proces liniowy AR(1). X t = h t ε t, t Z, ln h t = a + b ln h t 1 + cη t, gdzie a, b, c, b < 1, c > 0, są parametrami modelu, a ε t i η s, t, s Z są niezależnymi od siebie i od historii zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 1. W modelu podstawowym przyjmuje się, że mają one rozkład normalny N(0, 1). 2.5 Ogólne własności modeli GARCH i SV Załóżmy, że X t należą do L 2. Wówczas E(X t ) = E(h t )E(ε t ) = 0. Cov(X t, X t+k ) = E(X t X t+k ) = E(h t h t+k ε t+k )E(ε t+k ) = 0, dla k > 0. E(X t X t 1 ) = E(h t X t 1 )E(ε t ) = 0. Podsumowując, procesy typu GARCH i SV są nie tylko nie skorelowane ale są również przyrostami martyngałowymi. 2.6 Stacjonarność GARCH(1,1) Nie dla wszystkich modeli GARCH istnieją rozwiązania stacjonarne. Potrzebne są dodatkowe warunki na parametry. Przykładowo dla modelu GARCH(1,1) zachodzi: Twierdzenie 6 Następujące warunki są równoważne: 1. Model GARCH(1,1) z parametrami a, b, c ma dokładnie jedno rozwiązanie stacjonarne (X t, h t ). 2. Parametry a, b, c są nieujemne i spełnione jest oszacowanie E(ln(bε 2 t + c)) < 0. 16

17 2.7 Stacjonarne procesy GARCH(1,1) Momenty rozwiązania stacjonarnego można stosunkowo łatwo wyznaczyć. Twierdzenie 7 Niech (X t, h t ) będzie stacjonarnym procesem GARCH(1,1) z parametrami a, b, c. Przy założeniu E(ε t ) = 0, E(ε 2 t ) = 1, E(ε 3 t ) = 0, E(ε 4 t ) = 3, otrzymujemy: A. Gdy b + c < 1 to 1. E(h 2 a t ) = 1 b c ; 2. E(X t ) = 0; 3. D 2 (X t ) = E(Xt 2 a ) = 1 b c ; 4. cov(x t, X t+k ) = 0 k = 1, 2,.... B. Gdy ponadto (b + c) 2 + 2c 2 < 1 to 5. E(h 4 a 2 (1 + b + c) t ) = (1 b c)(1 (b + c) 2 2c 2 ) ; 6. D 2 (h 2 2a 2 c 2 t ) = (1 b c) 2 (1 (b + c) 2 2c 2 ) ; 7. cov(h 2 t, h 2 t+k) = (b + c) k D 2 (h 2 t ) k = 1, 2,... ; 8. E(Xt 4 ) = 3E(h 4 t ); 9. D 2 (Xt 2 2a 2 (1 b 2 bc) ) = (1 b c) 2 (1 (b + c) 2 2c 2 ) ; 10. cov(xt 2, Xt+1) 2 = c(1 b2 bc) 1 b 2 2bc D2 (Xt 2 ); 11. cov(xt 2, Xt+k) 2 = (b + c) k 1 cov(xt 2, Xt+1) 2 k = 2, 3,.... Zauważmy, że momenty badanego procesu można stosunkowo łatwo wyestymować na podstawie danych empirycznych. Otrzymujemy w ten sposób proste narzędzie do estymacji parametrów strukturalnych (metoda momentów podrozdział 1.6.1) i do wstępnej oceny na ile stacjonarny proces GARCH(1,1) poprawnie opisuje badane zjawisko. 2.8 Stacjonarność SV Dla wszystkich podstawowych modeli SV istnieją rozwiązania stacjonarne (X t, h t ). Gdy η t są N(0, 1) to ln h t jest gaussowskim rozwiązaniem modelu AR(1). E(ln h t ) = a 1 b, D2 (ln h t ) = c2 1 b 2. Cov(ln h t, ln h t+k ) = b k D 2 (ln h t ), dla k > 0. 17

18 Gdy ln h t są stacjonarne to również X t = h t ε t są stacjonarne. E(X t ) = 0, D 2 (X t ) = E(X 2 t ) = E(h 2 t ) = exp ( 2c 2 1 b + 2a ). 2 1 b ( 4c D 2 (Xt 2 2 ) = exp 1 b + 4a ) ( ( ) ) exp 3 4c b 1 b 2 ( 4c Cov(Xt 2, Xt+k) 2 2 = exp 1 b + 4a ) ( ( 4b k c 2 ) ) exp 1, dla k > b 1 b Stacjonarne rozwiązania GARCH(p,q) i SV - podsumowanie W przypadku gaussowskich innowacji stacjonarne procesy GARCH(p,q) i SV mają następujące własności: 1. Kwadraty stacjonarnych rozwiązań GARCH(p,q) i SV to procesy z krótką pamięcią. 2. Stacjonarne rozwiązania SV, w odróżnieniu od stacjonarnych rozwiązań GARCH(p,q), mają wszystkie momenty Kalibrowanie modeli GARCH(p,q) Przy kalibrowaniu modeli GARCH(p,q) najczęściej korzystamy z metody największej wiarogodności. 1. Estymujemy proces h t dla nieznanych wartości parametrów a, b i, c i, ĥ 2 t = a + b 1 ĥ 2 t b p ĥ 2 t p + c 1 x 2 t c q x 2 t q, 2. Wyznaczamy logarytm warunkowej funkcji wiarogodności warunkowanej przez h t = ĥt, n l(a, b, c) = ln f(x t, ĥt), t=1 gdzie f(, ĥt) gęstość rozkładu N(0, ĥt). 3. Szukamy wartości a, b i i c i dla których funkcja l przyjmuje maksimum Wybór modelu GARCH(p,q) w oparciu o kryterium informacyjne Przy ustalonej wielkości próbki n, zwiększając liczbę parametrów modelu zawsze poprawiamy dopasowanie modelu do danych empirycznych. Gdy ilość parametrów strukturalnych zbliży się do wielkości próbki dopasowanie będzie wręcz idealne. Niestety skonstruowany w ten sposób model ma niewielką wartość prognostyczną. Nastąpiło przeuczenie modelu overfitting. Aby ograniczyć liczbę parametrów stosuje się kryteria informacyjne. 18

19 Zauważmy, że liczba parametrów strukturalnych modelu GARCH(p,q) z gaussowskimi innowacjami wynosi 1 + p + q. 1. Dla parametrów p i q (z ustalonego zbioru parametrów) wyznaczamy maksimum funkcji wiarogodności L p,q. 2. Stosujemy kryterium informacyjne Akaike. lub kryterium Schwarza AIC = 2 n (ln(max(l p,q)) (1 + p + q)) min. BIC = 2 n (ln(max(l p,q)) (1 + p + q) ln n ) min. 2 Różnica między kryteriami AIC i BIC polega na innym ważeniu jakości dopasowania i prostoty modelu. W literaturze sugeruje się, że dla małej próbki kryterium AIC ma tendencję do wybierania modelu o zbyt dużej liczbie parametrów Weryfikacja modeli GARCH i SV Przy weryfikacji modeli GARCH i SV należy zwrócić uwagę na trzy podstawowe elementy: 1. Czy spełnione są założenia modelu: Testujemy czy innowacje są iid o rozkładzie N(0, 1). 2. Czy model jest dobrze dopasowany do badanego zjawiska: Testujemy czy empiryczne i modelowe drugie momenty procesu i autokowariancja procesu kwadratów są zgodne. 3. Czy wnioski z modelu są poprawne: Testujemy jakość prognoz. Na przykład stosując test Kupieca ([19]) sprawdzamy dokładność estymacji Value at Risk czyli poprawność prognozy kwantyla rozkładu X t. Jeśli wszystkie testy wypadną pomyślnie, to możemy powiedzieć, że badany model jest statystycznie poprawny Rozszerzenia GARCH i SV 1. Zmieniamy rozkład innowacji z N(0, 1) na inny rozkład zestandaryzowany np. zestandaryzowany rozkład t-studenta. W ten sposób pogrubiamy ogony. 2. Zmieniamy formułę opisującą ewolucję h t. Np. h 2 t = a + bh 2 t 1 + cx 2 t 1 + di Xt 1 <0X 2 t 1 GJG GARCH(1, 1), h 2 t = a + bh 2 t 1 + c( X t 1 dx t 1 ) δ, δ > 0, d ( 1, 1), AP GARCH(1, 1). W ten sposób uwzględniamy asymetryczny wpływ spadków na zmienność. 19

20 2.14 Modele przełącznikowe X t Y t N(µ(Y t ), h(y t )), gdzie Y t jest łańcuchem Markowa o skończonej liczbie stanów np. o dwóch stanach bessa i hossa. Ewolucja takiego procesu jest opisana przez macierz przejścia o wyrazach p i,j = P(Y t = s j Y t 1 = s i ). Naturalne rozszerzenie modelu przełącznikowego polega na przyjęciu, że prawdopodobieństwa p i,j są zmienne w czasie i zależą od czynników zewnętrznych (np. makroekonomicznych). 20

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Definicje zależności. Kopuły w matematyce finansowej. Aleksandra Kantowska

Definicje zależności. Kopuły w matematyce finansowej. Aleksandra Kantowska Definicje zależności. Kopuły w matematyce finansowej. Aleksandra Kantowska 18.06.2014 Spis treści Wstęp 2 1 Funkcja kopuła 4 1.1 Podstawowe pojęcia................................... 4 1.2 Pochodne kopuł......................................

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA 25.02.2011 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych)

Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych) Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych) dr inż. Agnieszka Gadomska-Gajadhur E-mail: agadomska@ch.pw.edu.pl Lab. Pawilon, nr tel. 34 54 63 Plan wykładu Dlaczego planujemy eksperymenty?

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Procesy stochastyczne

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Autor prezentuje spójny obraz najczęściej stosowanych metod statystycznych, dodatkowo omawiając takie

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to 3.1 Wprowadzenie do estymacji Ile mamy czerwonych krwinek w krwi? Ile karpi żyje w odrze? Ile ton trzody chlewnej będzie wyprodukowane w przyszłym roku? Ile białych samochodów jeździ ulicami Warszawy?

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami Załącznik nr 1 do raportu końcowego z wykonania pracy badawczej pt. Handel zagraniczny w województwach (NTS2) realizowanej przez Centrum Badań i Edukacji Statystycznej z siedzibą w Jachrance na podstawie

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Autor: Dominik Winnicki Spis treści Opis problemu... 2 Wstęp teoretyczny... 2 Liczby Haltona... 4 Liczby Sobol a... 4 Ocena uzyskanych ciągów Haltona i Sobol

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota Pekasiewicz Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś

Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś 11 czerwca 2015 Spis treści 1 Wstęp 2 2 Opis wybranych rynków 3 2.1 WIG20...............................................

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, 25.06.2009 Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, 25.06.2009 Biomatematyka Biomatematyka 80...... Zadanie 1. (8 punktów) Rozpatrzmy prawo Hardy ego Weinberga dla loci związanej z chromosomem X o dwóch allelach A 1 i A 2. Załóżmy, że początkowa częstość allelu A 2 u kobiet jest

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Quick Launch Manual:

Quick Launch Manual: egresja Odds atio Quick Launch Manual: regresja logistyczna i odds ratio Uniwesytet Warszawski, Matematyka 28.10.2009 Plan prezentacji egresja Odds atio 1 2 egresja egresja logistyczna 3 Odds atio 4 5

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA EKONOMETRIA PRZESTRZENNA Wstęp podstawy ekonometrii Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, 2012 1 EKONOMETRIA wybrane definicje (Osińska) Ekonometria dziedzina ekonomii wykorzystująca modele i sposoby wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K.

Motto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K. Motto Cz to nie zabawne, że ci sami ludzie, którz śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogod oraz ekonomistów? (K. Throop III) 1 Specfika szeregów czasowch Modele szeregów czasowch są alternatwą

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Szkolenie Analiza przeżycia

Szkolenie Analiza przeżycia Analiza przeżycia program i cennik Łukasz Deryło Analizy statystyczne, szkolenia www.statystyka.c0.pl Analiza przeżycia - program i cennik Analiza przeżycia Co obejmuje? Analiza przeżycia (Survival analysis)

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo