Logika [dla Psychologii UW]
|
|
|
- Marian Tomczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski Uniwersytet Warszawski 19 grudnia 2011 Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
2 Plan wykªadu 1 [KRP] - podstawowe wiadomo±ci Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
3 [nazywany te» klasycznym rachunkiem funkcyjnym lub rachunkiem kwantykatorów) jest teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) bardziej pogª bion analiz zda«oraz zwi zków inferencyjnych mi dzy zdaniami. Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
4 [nazywany te» klasycznym rachunkiem funkcyjnym lub rachunkiem kwantykatorów) jest teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) bardziej pogª bion analiz zda«oraz zwi zków inferencyjnych mi dzy zdaniami. - historia Powstaª pod koniec XIX wieku - jego autorem byª wybitny niemiecki logik - Gottlob Frege ( ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
5 Badanie zwi zków inferencyjnych: KRZ nie wystarcza Freud mieszkaª w Wiedniu. Wiede«jest miastem. Zatem: Freud mieszkaª w mie±cie. W KRZ zapiszemy to wnioskowanie jako: p q Zatem: r Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
6 Badanie zwi zków inferencyjnych: KRZ nie wystarcza Freud mieszkaª w Wiedniu. Wiede«jest miastem. Zatem: Freud mieszkaª w mie±cie. W KRZ zapiszemy to wnioskowanie jako: p q Zatem: r KRZ nie pozwala nam stwierdzi,»e mamy tu do czynienia z poprawnym dedukcyjnie wnioskowaniem. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
7 KRP jako obcy j zyk Mo»emy my±le o klasycznym rachunku predykatów jak o pewnym j zyku, na który przekªadalne s - z maksymalnym stopniem szczegóªowo±ci - obszerne fragmenty j zyka naturalnego. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
8 Alfabet KRP Obejmuje: Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
9 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
10 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
11 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
12 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
13 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
14 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Opcjonalnie za± (mo»emy je wyeliminowa ): Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
15 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Opcjonalnie za± (mo»emy je wyeliminowa ): (6) STAŠE INDYWIDUOWE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
16 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Opcjonalnie za± (mo»emy je wyeliminowa ): (6) STAŠE INDYWIDUOWE (7) SYMBOLE FUNKCYJNE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
17 Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Opcjonalnie za± (mo»emy je wyeliminowa ): (6) STAŠE INDYWIDUOWE (7) SYMBOLE FUNKCYJNE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
18 Alfabet KRP - ZMIENNE INDYWIDUOWE Tworz zbiór X = {x 1, x 2, x 3... x n, y, z,...} Markuj one miejsca na argumenty predykatu w danym wyra»eniu. Zast puj c je staªymi indywiduowymi lub wi» c kwantyaktorami mo»emy otrzyma zdanie. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
19 PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
20 PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
21 PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy (...) kocha (...) - predykat dwuargumentowy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
22 PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy (...) kocha (...) - predykat dwuargumentowy (...) kocha (...) maj c romans z (...) - predykat trójargumentowy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
23 PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy (...) kocha (...) - predykat dwuargumentowy (...) kocha (...) maj c romans z (...) - predykat trójargumentowy (...) kocha (...) maj c romans z (...) mieszkaj c z (...) - predykat czteroargumentowy itd. Predykaty o liczbie argumentów wi kszej ni» 1 nazywamy PREDYKATAMI RELACYJNYMI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
24 PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
25 PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Int( (...) kocha (...) ) = { Jan, Jan } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
26 PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Int( (...) kocha (...) ) = { Jan, Jan } Int( (...) kocha (...) maj c romans z (...) ) = { Jan, Jan, Monika } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
27 PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Int( (...) kocha (...) ) = { Jan, Jan } Int( (...) kocha (...) maj c romans z (...) ) = { Jan, Jan, Monika } Int( (...) kocha (...) maj c romans z (...) mieszkaj c z (...) ) = { Jan, Jan, Monika, Magdalena } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
28 KWANTYFIKATORY S to wyra»enia, które pozwalaj mówi nam o pewnych, wszystkich przedmiotach maj cych jakie± wªasno±ci (lub powi zanych jakimi± relacjami). W naszym j zyku rozwa»a b dziemy dwa kwantykatory: KWANTYFIKATOR OGÓLNY (UNIWERSALNY): Oznaczany te» niekiedy symbolami:,, (...) odczytanie: ka»dy itp. KWANTYFIKATOR SZCZEGÓŠOWY (EGZYSTENCJALNY): Oznaczany te» niekiedy symbolami:,, (E...) odczytanie: pewien, jaki±, istnieje itp. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
29 KWANTYFIKATORY cd. Korzystaj c z powy»szych symboli mo»emy zapisa w KRP pierwsze proste zdania j zyka naturalnego: Kto± ±piewa. (...) ±piewa x ±piewa P(x) x P(x) Ka»dy ±piewa. (...) ±piewa x ±piewa P(x) x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
30 STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
31 STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Staªe indywiduowe: Freud - a, Wiede«- b Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
32 STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Staªe indywiduowe: Freud - a, Wiede«- b a mieszkaª w b Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
33 STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Staªe indywiduowe: Freud - a, Wiede«- b a mieszkaª w b M(a, b) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
34 STAŠE INDYWIDUOWE - INTERPRETACJA Interpretacja staªych indywiduowych s przedmioty z danego U. STAŠE INDYWIDUOWE - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami staªych j, b, m 1, m 2 moga by : Int(j) = Jan Int(b) = Barbara Int(m 1 ) = Magdalena Int(m 2 ) = Monika PRZYJMIEMY, E KA DY PRZEDMIOT Z UNIWERSUM MA NAZW Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
35 SYMBOLE FUNKCYJNE S to wyra»enia, które reprezentuj funkcje (operacje): zastosowane do jakiego± indywiduum (lub indywiduów) daj wynik w postaci jakiego± innego indywiduum. Tworz zbiór F = {f 1, f 2, f 3... f n, g, h,...} PRZYKŠAD matka x-a, m(x) (przyporz dkowuje ka»demu x-owi jego matk ) stolica x-a, s(x) (przyporz dkowuje ka»demu x-owi jego stolic ) itp. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
36 SYMBOLE FUNKCYJNE - INTERPRETACJA Odpowiadaj im funkcje (zazwyczaj cz ±ciowe), które przedmiotom (lub n-tk przedmiotów) z U przyporz dkowuj przedmioty z U. W wypadku, gdy symbol funkcyjny poª czymy z argumentem (staª ) otrzymamy zªo»one wyra»enie nazwowe, którego interpretacj jest przedmiot z U. SYMBOLE FUNKCYJNE - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Ewe, Kaina, Polsk i Warszaw to interpretacjami zªo»onych wyra»e«nazwowych m(k), s(p) s : matka(kain) = m(k) = Ewa = e stolica(polska) = s(p) = Warszawa = w Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
37 KWANTYFIKATORY - INTERPRETACJA Przyjmiemy,»e intepretacje kwantykatorów s podane w (koniecznych i wystarczaj cych) warunkach prawdziwo±ci zda«, w których wyst puj wyra»enia kwantykatorowe. WARUNKI PRAWDZIWO CI ZDA Z KWANTYFIAKTORAMI Zdanie xf (x) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy prawdziwe jest ka»de zdanie o postaci F (a), gdzie a jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
38 KWANTYFIKATORY - INTERPRETACJA Przyjmiemy,»e intepretacje kwantykatorów s podane w (koniecznych i wystarczaj cych) warunkach prawdziwo±ci zda«, w których wyst puj wyra»enia kwantykatorowe. WARUNKI PRAWDZIWO CI ZDA Z KWANTYFIAKTORAMI Zdanie xf (x) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy prawdziwe jest ka»de zdanie o postaci F (a), gdzie a jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Zdanie xf (x) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno zdanie o postaci F (a), gdzie a jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
39 WARUNKI PRAWDZIWO CI POZOSTAŠYCH ZDA Zdanie F (a) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy Int(a) Int(F ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
40 WARUNKI PRAWDZIWO CI POZOSTAŠYCH ZDA Zdanie F (a) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy Int(a) Int(F ). Zdanie R(a, b) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy Int(a), Int(b) Int(R). etc. Zdania zªo»one zbudowane przy pomocy spójników logicznych (negacji, koniunkcji etc.) s prawdziwe w zgodzie z ich interpretacjami w rachunku zda«. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
41 ZAPISYWANIE ZDA I WNIOSKOWA W KRP Freud mieszkaª w Wiedniu. Symbole wystepuj ce w zdaniu: a, M 1, b Wiede«jest miastem. Symbole wystepuj ce w zdaniu: M 2, b Zatem: Freud mieszkaª w mie±cie. Symbole wystepuj ce w zdaniu: a, M 1, M 2, W KRP zapiszemy to wnioskowanie jako: M 1 (a, b) M 2 (b) Zatem: x[m 2 (x) M 1 (a, x)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
42 WARUNKI PRAWDZIWO CI M 1 (a, b) jest prawdziwe (w U, przy interpretacji Int) wtedy i tylko wtedy, gdy: Int(a), Int(b) Int(M 1 ) M 2 (b) jest prawdziwe (w U, przy interpretacji Int) wtedy i tylko wtedy, gdy: Int(b) Int(M 2 ) Zatem: x[m 2 (x) M 1 (a, x)] jest prawdziwe (w U, przy interpretacji Int) wtedy i tylko wtedy, gdy: prawdziwe jest przynajmniej jedno zdanie o postaci M 2 (c) M 1 (a, c), gdzie c jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Czyli, gdy: Int(c) Int(M 2 ) oraz Int(a), Int(c) Int(M 1 ) dla przynajmniej jednej nazwy c przedmiotu z uniwersum U. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
43 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
44 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. x(x jest czªowiekiem x jest ±miertelny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
45 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. x(x jest czªowiekiem x jest ±miertelny) PREDYKATY: C - jest czªowiekiem, S - jest ±miertelny Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
46 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. x(x jest czªowiekiem x jest ±miertelny) PREDYKATY: C - jest czªowiekiem, S - jest ±miertelny x(c(x) S(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
47 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
48 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. x(x jest tygrysem x jest albinosem) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
49 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. x(x jest tygrysem x jest albinosem) PREDYKATY: T - jest tygrysem, A - jest albinosem Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
50 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. x(x jest tygrysem x jest albinosem) PREDYKATY: T - jest tygrysem, A - jest albinosem x(t (x) A(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
51 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
52 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
53 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
54 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) PREDYKATY: P - jest politykiem, W - jest wiarygodny Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
55 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) PREDYKATY: P - jest politykiem, W - jest wiarygodny Zapis 1: x(p(x) W (x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
56 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) PREDYKATY: P - jest politykiem, W - jest wiarygodny Zapis 1: x(p(x) W (x)) Zapis 2: x(p(x) W (x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
57 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
58 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
59 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
60 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) PREDYKATY: L - jest logikiem, I - jest naprawd interesuj cy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
61 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) PREDYKATY: L - jest logikiem, I - jest naprawd interesuj cy Zapis 1: x(i (x) L(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
62 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) PREDYKATY: L - jest logikiem, I - jest naprawd interesuj cy Zapis 1: x(i (x) L(x)) Zapis 2: x(i (x) L(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
63 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
64 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
65 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
66 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy x[l(x) y (A(y) P(y, w) U(x, y))] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
67 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
68 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y y= Monica Bellucci)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
69 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y y= Monica Bellucci)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy, mb - Monica Bellucci Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
70 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y y= Monica Bellucci)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy, mb - Monica Bellucci x[l(x) y (A(y) P(y, w) U(x, y) y = mb)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
71 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7 Pewna wªoska aktorka jest uwielbiana przez ka»dego logika Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
72 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7 Pewna wªoska aktorka jest uwielbiana przez ka»dego logika Zapis 1: x[x jest aktork x pochodzi z Wªoch y (y jest logikiem y uwielbia x)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
73 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7 Pewna wªoska aktorka jest uwielbiana przez ka»dego logika Zapis 1: x[x jest aktork x pochodzi z Wªoch y (y jest logikiem y uwielbia x)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
74 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7, cd. PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
75 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7, cd. PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Zapis 1: x[a(x) P(x, w) y (L(y) U(y, x))] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
76 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7, cd. PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Zapis 1: x[a(x) P(x, w) y (L(y) U(y, x))] Zapis 2: x y[a(x) P(x, w) (L(y) U(y, x))] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
77 KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
78 KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Istnieje co najmniej n takich,»e (...) oznaczmy jako >n Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
79 KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Istnieje co najmniej n takich,»e (...) oznaczmy jako >n Istnieje co najwy»ej n takich,»e (...) oznaczmy jako <n Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
80 KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Istnieje co najmniej n takich,»e (...) oznaczmy jako >n Istnieje co najwy»ej n takich,»e (...) oznaczmy jako <n Istnieje dokªadnie n takich,»e (...) oznaczmy jako =n Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
81 KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Istnieje co najmniej n takich,»e (...) oznaczmy jako >n Istnieje co najwy»ej n takich,»e (...) oznaczmy jako <n Istnieje dokªadnie n takich,»e (...) oznaczmy jako =n Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
82 KWANTYFIKATORY LICZBOWE - CO NAJMNIEJ >n x P(x) = df x 1 x 2... x n [P(x 1 ) P(x 2 )... P(x n ) x 1 x 2... x n 1 x n ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
83 KWANTYFIKATORY LICZBOWE - CO NAJMNIEJ >n x P(x) = df x 1 x 2... x n [P(x 1 ) P(x 2 )... P(x n ) x 1 x 2... x n 1 x n ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
84 KWANTYFIKATORY LICZBOWE - CO NAJWY EJ <n x P(x) = df >n+1 x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
85 KWANTYFIKATORY LICZBOWE - CO NAJWY EJ <n x P(x) = df >n+1 x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
86 KWANTYFIKATORY LICZBOWE - DOKŠADNIE =n x P(x) = df >n x P(x) <n x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
87 KWANTYFIKATORY LICZBOWE - DOKŠADNIE =n x P(x) = df >n x P(x) <n x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
88 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 8 Ka»dy student psychologii uwielbia co najmniej dwóch wykªadowców. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
89 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 8 Ka»dy student psychologii uwielbia co najmniej dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z (y jest wykªadowc z jest wykªadowc y z x uwielbia y x uwielbia z)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
90 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 8 Ka»dy student psychologii uwielbia co najmniej dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z (y jest wykªadowc z jest wykªadowc y z x uwielbia y x uwielbia z)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
91 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 9 Ka»dy student psychologii uwielbia co najwy»ej dwóch wykªadowców. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
92 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 9 Ka»dy student psychologii uwielbia co najwy»ej dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z t(y jest wykªadowc z jest wykªadowc t jest wykªadowc y z y t z t x uwielbia y x uwielbia z x uwielbia t)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
93 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 9 Ka»dy student psychologii uwielbia co najwy»ej dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z t(y jest wykªadowc z jest wykªadowc t jest wykªadowc y z y t z t x uwielbia y x uwielbia z x uwielbia t)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
94 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 10 Ka»dy student psychologii uwielbia dokªadnie dwóch wykªadowców. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
95 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 10 Ka»dy student psychologii uwielbia dokªadnie dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z (y jest wykªadowc z jest wykªadowc y z x uwielbia y x uwielbia z)] x[x jest studentem psychologii y z t(y jest wykªadowc z jest wykªadowc t jest wykªadowc y z y t z t x uwielbia y x uwielbia z x uwielbia t)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
96 PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 10 Ka»dy student psychologii uwielbia dokªadnie dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z (y jest wykªadowc z jest wykªadowc y z x uwielbia y x uwielbia z)] x[x jest studentem psychologii y z t(y jest wykªadowc z jest wykªadowc t jest wykªadowc y z y t z t x uwielbia y x uwielbia z x uwielbia t)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
97 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
98 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
99 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
100 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Zapisy takie s odpowiednio skrótami formuª: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
101 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Zapisy takie s odpowiednio skrótami formuª: x[x A (...)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
102 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Zapisy takie s odpowiednio skrótami formuª: x[x A (...)] x[x A (...)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
103 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Zapisy takie s odpowiednio skrótami formuª: x[x A (...)] x[x A (...)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
104 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Mamy zatem na przykªad (niech C - zbiór wszystkich ludzi): Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
105 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Mamy zatem na przykªad (niech C - zbiór wszystkich ludzi): x C (x jest ±miertelny) = df x[x C x jest ±miertelny] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
106 KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Mamy zatem na przykªad (niech C - zbiór wszystkich ludzi): x C (x jest ±miertelny) = df x C (x jest ±miertelny) = df x[x C x jest ±miertelny] x[x C x jest ±miertelny] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
107 FORMA LOGICZNA ZDANIA Schemat danego zdania w rachunku predykatów (lub jakim± rachunku, który zawiera jako swoj cz ± rachunek predykatów). ZINTERPRETOWANA FORMA LOGICZNA ZDANIA Forma logiczna zdania, w której zamiast liter predykatowych wyst puj predykaty wzi te z j zyka potocznego (np. jest aktork zamiast A). SPORY O FORM LOGICZN Wspóªcze±nie bardzo intensywnie dyskutuje si zagadnienie formy logicznej wielu konstrukcji wzi tych z j zyka potocznego. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
108 SPORY O FORM LOGICZN : ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE Problem: zapisa w rachunku predykatów zdania, w rodzaju: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
109 SPORY O FORM LOGICZN : ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE Problem: zapisa w rachunku predykatów zdania, w rodzaju: Magdalena nami tnie pali pod domem. Katarzyna jedzie szybko na rowerze. Matylda pilnie sªucha wykªadu. ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DONALDA DAVIDSONA ( ) Zakªadamy,»e w uniwersum przedmiotów, o których mówimy (tzw. uniwersum dyskursu) znaduj si [poza osobami, zwierz tami i rzeczami] tak»e konkretne ZDARZENIA [w rodzaju tego wybuchu Wezuwiusza, tej konkretnej jazdy na rowerze, tego aktu palenia Magdaleny itp.]. Wprowad¹my dla ich oznaczenia specjalny typ zmiennych v 1...v n. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
110 ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
111 ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Magdalena nami tnie pali pod domem. v x(v jest paleniem Magdaleny x jest domem v odbywa si pod x v jest nami tne) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
112 ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Magdalena nami tnie pali pod domem. v x(v jest paleniem Magdaleny x jest domem v odbywa si pod x v jest nami tne) Katarzyna jedzie szybko na rowerze. v x(v jest jazd Katarzyny x jest rowerem v odbywa si na x v jest szybkie) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
113 ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Magdalena nami tnie pali pod domem. v x(v jest paleniem Magdaleny x jest domem v odbywa si pod x v jest nami tne) Katarzyna jedzie szybko na rowerze. v x(v jest jazd Katarzyny x jest rowerem v odbywa si na x v jest szybkie) Matylda pilnie sªucha wykªadu. v x(v aktem sªuchania Matyldy x jest wykªadem v dotyczy x v jest pilne) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
114 Tautologi KRP nazwywamy formuª, która jest prawdziwa przy ka»dej mo»liwej interpretacji symboli pozalogicznych [predykatów, staªych, symboli funkcyjnych] wyst puj cych w formule. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
115 Tautologi KRP nazwywamy formuª, która jest prawdziwa przy ka»dej mo»liwej interpretacji symboli pozalogicznych [predykatów, staªych, symboli funkcyjnych] wyst puj cych w formule. Sprawdzanie tautologiczno±ci formuª KRP jest niekiedy trudne. Od roku 1936, dzi ki pracom Alonzo Churcha ( ) wiemy,»e rachunek ten jest nierozstrzygalny (nie ma mechanicznej procedury [w rodzaju metody tabelkowej] sprawdzania tautologiczno±ci formuª KRP) Te same uwagi dotycz poj cia wynikania logicznego (niemo»liwo±ci zachodzenia sytuacji, w której przesªanki s prawd, a wniosek faªszem). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
116 Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Wszystkie formuªy KRP, które podpadaj pod tautlogiczne schematy KRZ s tautologiamii. PRZYKŠADY p p xp(x) xp(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
117 Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Wszystkie formuªy KRP, które podpadaj pod tautlogiczne schematy KRZ s tautologiamii. PRZYKŠADY p p xp(x) xp(x) p ( r p) xp(x) ( xp(x) xp(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
118 Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Je±li uznamy znak identyczno±ci za symbol logiczny (w innym wypadku nie b dzie on wyst powaª w ogóle w alfabecie KRP), wówczas tautologiamii s wszsytkie aksjomaty identyczno±ci. PRZYKŠADY x(x = x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
119 Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Je±li uznamy znak identyczno±ci za symbol logiczny (w innym wypadku nie b dzie on wyst powaª w ogóle w alfabecie KRP), wówczas tautologiamii s wszsytkie aksjomaty identyczno±ci. PRZYKŠADY x(x = x) x y(x = y y = x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
120 Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Je±li uznamy znak identyczno±ci za symbol logiczny (w innym wypadku nie b dzie on wyst powaª w ogóle w alfabecie KRP), wówczas tautologiamii s wszsytkie aksjomaty identyczno±ci. PRZYKŠADY x(x = x) x y(x = y y = x) x y z[(x = y y = z) x = z] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
121 Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Je±li uznamy znak identyczno±ci za symbol logiczny (w innym wypadku nie b dzie on wyst powaª w ogóle w alfabecie KRP), wówczas tautologiamii s wszsytkie aksjomaty identyczno±ci. PRZYKŠADY x(x = x) x y(x = y y = x) x y z[(x = y y = z) x = z] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
122 Metody graczne Ponadto, badaj c tautologiczno± lub wynikanie, stosowa mo»na ró»norakie metody graczne (rozrysowuj c zdania na schematach, które reprezentuj relacje mi dzy zakresami predykatów wyst puj cych w formule). Metody graczne Najbardziej znan metod tego typu jest tzw. metoda diagramów Venna (John Venn ( )). Stosowana byªa ona jako metoda badania wnioskowa«w klasycznej sylogistyce. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
123 Sylogistyka System wnioskowa«opracowany przez Arystotelesa (do czasu odkrycia rachunku predykatów uchodziªa za synonim ogólnej teorii wnioskowania). Rozwa»amy w jej ramach 4 podstawowe typy zda«(samogªoski s brane kolejno z ªaci«skich zwrotów armo i nego): Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
124 Sylogistyka System wnioskowa«opracowany przez Arystotelesa (do czasu odkrycia rachunku predykatów uchodziªa za synonim ogólnej teorii wnioskowania). Rozwa»amy w jej ramach 4 podstawowe typy zda«(samogªoski s brane kolejno z ªaci«skich zwrotów armo i nego): Ka»de S jest P(SaP) x(s(x) P(x)), Pewne S jest P(SiP) x(s(x) P(x)), adne S nie jest P (Ka»de S jest nie-p) (SeP) x(s(x) P(x)), Pewne S nie jest P (Pewne S jest nie-p) (SoP) x(s(x) P(x)). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
125 Sylogistyka spolszczenie ;-) Ka»de A jest B(KAB), Pewne A jest B(PAB), adne A nie jest B (Ka»de A jest nie-b) ( AB), Pewne A nie jest B (Pewne A jest nie-b) (PAnB). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
126 Diagramy Venna - jak czyta plusy? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
127 Diagramy Venna - jak czyta minusy? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
128 Diagramy Venna - KAB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
129 Diagramy Venna - PAB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
130 Diagramy Venna - AB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
131 Diagramy Venna - PAnB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
132 Diagramy Venna - TAB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
133 Diagramy Venna - Metoda post powania 1. Zaznacz na diagramie Venna sytuacj, w której przesªanki s prawdziwe. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
134 Diagramy Venna - Metoda post powania 1. Zaznacz na diagramie Venna sytuacj, w której przesªanki s prawdziwe. 2. Zaznacz na innym diagramie Venna sytuacj, w której wniosek jest prawdziwy. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
135 Diagramy Venna - Metoda post powania 1. Zaznacz na diagramie Venna sytuacj, w której przesªanki s prawdziwe. 2. Zaznacz na innym diagramie Venna sytuacj, w której wniosek jest prawdziwy. 3. Porównaj diagramy i zastanów si, czy informacja zawarta we wniosku jest ju» zawarta w przesªankach (je±li jest - wynikanie zachodzi). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
136 PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest wra»liwy. PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy wra»liwiec jest melancholikiem. adeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
137 PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest wra»liwy. PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy wra»liwiec jest melancholikiem. PRZYKŠAD 1: WNIOSEK Ka»dy psycholog jest melancholikiem. PRZYKŠAD 1: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
138 PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy sa neurotykami. PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy maj kota. adeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
139 PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy sa neurotykami. PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy maj kota. PRZYKŠAD 2: WNIOSEK Niektórzy neurotycy maj kota. PRZYKŠAD 2: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
140 PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest czªowiekiem. PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI aden»óªwik nie jest czªowiekiem. adeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
141 PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest czªowiekiem. PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI aden»óªwik nie jest czªowiekiem. PRZYKŠAD 3: WNIOSEK aden psycholog nie jest»óªwikiem. PRZYKŠAD 3: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
142 PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI Tylko psycholo»ki s bystre i pi kne. PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI adna czoªgistka nie jest psycholo»k. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
143 PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI Tylko psycholo»ki s bystre i pi kne. PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI adna czoªgistka nie jest psycholo»k. PRZYKŠAD 4: WNIOSEK adna czoªgistka nie jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 4: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
144 PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Ka»da psycholo»ka jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Pewna psycholo»ka jest czoªgistk. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
145 PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Ka»da psycholo»ka jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Pewna psycholo»ka jest czoªgistk. PRZYKŠAD 5: WNIOSEK Pewna czoªgistka jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 5: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
146 PRZYKŠAD 6: PRZESŠANKI aden logik nie jest kuropatw. PRZYKŠAD 6: PRZESŠANKI Pewien logik jest potworem. adeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia / 88
Logika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/52/30278579.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 24 pa¹dziernika 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
JÓZEF W. BREMER WPROWADZENIE DO LOGIKI
JÓZEF W. BREMER WPROWADZENIE DO LOGIKI Wydawnictwo WAM Kraków 2006 Spis tre ci Przedmowa Jana Wole skiego 9 Wst p 11 1 Logika i jej rozumienie 17 1.1 Teksty wprowadzaj ce...................... 17 1.1.1
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami
Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/96/129147558.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 28 listopada 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Klasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne.
Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne. PRAWA RACHUNKU ZBIORÓW LP PRAWO NAZWA 1 A B = B A A
Arytmetyka pierwszego rz du
Arytmetyka pierwszego rz du B dziemy bada arytmetyk liczb naturalnych z z perspektywy logiki pierwszego rz du. Sªowo arytmetyka u»ywane jest w odniesieniu do ró»nych teorii dotycz cych liczb naturalnych.
Semantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/60/44600090.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 12 pa¹dziernika 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 12 pa¹dziernika
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne Daniel Nowak Piotr Fulma«ski instagram.com/vorkof piotr@fulmanski.pl 18 kwietnia 2018 Table of contents 1 O czym b dziemy mówi 2 Dawno, dawno temu... 3 System
Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Logika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
Język KRP zadania z rozwiązaniami
Język KRP zadania z rozwiązaniami Michał Lipnicki 1 Napisz schematy poniższych zdań w języku KRP. (1) Stefan pije. (2) Stefan pije z Romanem. (3) Stefan pije i zakąsza. (4) Stefan pije lub Roman zakąsza.
RACHUNEK PREDYKATÓW 7
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI METAMATEMATYCZNE KRP Oczywiście systemy dedukcyjne dla KRP budowane są w taki sposób, żeby wszystkie ich twierdzenia były tautologiami; można więc pokazać, że dla KRP zachodzi: A A
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Drobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
1. Wprowadzenie do C/C++
Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Algebra Boole'a i logika cyfrowa
Algebra Boole'a i logika cyfrowa 7.X. 2009 1 Aksjomatyczna denicja algebry Boole'a Do opisywanie ukªadów cyfrowych b dziemy u»ywali formalizmu nazywanego algebr Boole'a. Formalnie algebra Boole'a to struktura
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
1. Wprowadzenie do C/C++
Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z wyznaczania reduktów zbioru Liczba osób realizuj cych projekt: 1-2 osoby 1. Wczytanie danych w formatach arf,
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Zasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Wykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe
wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe 1 Wprowadzenie 1.1 rodowisko programistyczne NetBeans https://netbeans.org/ 1.2 Dokumentacja j zyka Java https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele Czy moŝna odkryć wszystkie prawa arytmetyki, tzn. wszystkie zdania prawdziwe dotyczące
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Ekonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. II Elementy sylogistyki
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. II Elementy sylogistyki Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Co dzisiejsza historia mieć będzie wspólnego z Arystotelesem? 2 Plan gry:
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)
Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW
16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW 16.1. Cele zrozumienie, w jakim sensie logika kwantyfikatorów jest poszerzeniem logiki zdań umiejętność symbolizacji prostych zdań indywiduowych i skwantyfikowanych
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone: