Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Transkrypt

1 Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna równoważność formuł Model formuły Formuła spełnialna i prawdziwa Logiczna równoważność formuł Dziedzina interpretacji Stałe, zmienne, funkcje Czy formuła rachunku zdań A = p jest spełnialna? Czy formuła rachunku predykatów B = x, y p(x, y) jest spełnialna? Należy podać intepretację (znaczenie) predykatu p oraz dziedzinę interpretacji zmiennych, czyli określić jakie wartości mogą przyjmować zmienne x, y. Niech x X oraz y Y, gdzie X jest zbiorem kotów dachowców, a Y jest zbiorem samochodów, natomiast p(x, y) oznacza relację x jest właścicielem y. Niech x X oraz y Y, gdzie X jest zbiorem osób posiadających prawo jazdy, a Y jest zbiorem samochodów, natomiast p(x, y) oznacza relację x jest właścicielem y. Dalej, niech x =Kowalski oraz y =Fiat-PO247Z. Dziedzina interpretacji jest to zbiór, do którego należą: zmienne, stałe, wartości funkcji występujące w formule rachunku predykatów.

2 Predykaty Intepretacja w rachunku predykatów Predykaty reprezentują relacje określone na dziedzinie interpretacji. Predykat n-argumentowy oznacza relację R D n. Interpretacją predykatu p(x, y, z) może być relacja R określona na zbiorze kątów ostrych, taka, że kąty x, y, z są w relacji R, gdy są kątami tego samego trójkąta. (x, y, z) R wtw. x + y + z = 180. Aby określić wartość (logiczną) formuły rachunku predykatów należy podać: dziedzinę interpretacji (zbiór wartości jakie mogą przyjmować stałe, zmienne i funkcje), funkcje odpowiadające symbolom funkcyjnym, relacje odpowiadające symbolom predykatywnym. Funkcja interpretacji Niech U będzie zbiorem formuł, dla którego: {p 1,..., p k } - zbiór wszystkich symboli predykatywnych w U, {f 1,..., f l } - zbiór wszystkich symboli funkcyjnych w U, {a 1,..., a m } - zbiór wszystkich stałych w U. p(a, f (x)) Interpretacja Interpretacją I nazywamy czwórkę: {D, {R 1,...R k }, {F 1,..., F l }, {d 1,..., d m }}, gdzie: D - niepusta dziedzina, R i - relacja przyporządkowana symbolowi predykatywnemu p i, F i - funkcja przyporządkowana symbolowi funkcyjnemu f i, d i - element dziedziny D, przyporządkowany stałej a i. Interpretacja I 1 = {N, { }, {x 2 }, {5}} D N f x 2 a 5 5 x 2 Interpretacja I 2 = {N, { }, {2x}, {0}} D N f 2x a 0 0 2x Interpretacja I 3 = {Z, { }, {x 2 }, {5}} D Z f x 2 a 5 5 x 2

3 Jeszcze raz Kowalski Wartościowanie Czy p(x, y) jest spełnialne? Niech x X oraz y Y, gdzie X jest zbiorem osób posiadających prawo jazdy, a Y jest zbiorem samochodów, natomiast p(x, y) oznacza relację x jest właścicielem y. Musimy jeszcze podać wartości x i y, dla których p(x, y) jest spełnione. Niech x =Kowalski oraz y =Fiat-PO247Z. Niech I będzie interpretacją. Wartościowaniem σ I : V D nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej zmiennej element dziedziny interpretacji I. Zapis σ I[xi d i ] będzie oznaczał, że w wartościowaniu σ I zmiennej x i została przyporzadkowana wartość d i. Zakres wartości termu Formuła p(a, f (x)) Interpretacja I 1 = {N, { }, {x 2 }, {5}} UWAGA! Wartość termu należy do dziedziny interpretacji D i nie musi być wartością logiczną. Wartościowanie σ I[x 3] 5 x Wartość termu zależy zarówno od interpretacji, jak i wartościowania.

4 Wartość termu t w interpretacji I i wartościowaniu σ I oznaczamy przez v σi (t) i definiujemy przez indukcję: v σi (x i ) = σ I (x i ) v σi (a i ) = d i v σi (f i (t 1,..., t n )) = F i (v σi (t 1 ),..., v σi (t n )) gdzie: d i - element dziedziny przyporządkowany stałej a i w interpretacji I, F i - funkcja przyporządkowana w interpretacji I symbolowi funkcyjnemu f i Wartość termu: t = f (x) + g(f (a)) Interpretacja: I = {N, {}, {2x, y 2 }, {0}} Wartościowanie: σ I (x) = 1 Wartość termu: v σi (t) = v σi (f (x) + g(f (a))) = 2σ I (x) + (2σ I (a)) 2 = (2 0) 2 = 2 Wartość atomu Wartość formuły złożonej Atom ma wartość logiczną (0 lub 1). A = p k (t 1,..., t n ) v σi (A) = 1 wtw (v σi (t 1 ),..., v σi (t n )) R k R k - relacja przyporządkowana w interpretacji I predykatowi p k A = p(a, x) Niech I = {N, { }, {}, {0}} i σ I (x) = 1 (x, y) R wtw x y (v σi (a), v σi (x)) = (0, 1) (0, 1) R (v σi (A)) = 0 Wartość logiczną formuły A przy wartościowaniu σ I oznaczamy przez v σi (A) i definiujemy przez indukcję ze względu na budowę formuły: A - dowolna formuła v σi ( A) = 1 wtw v σi (A) = 0 v σi (A 1 A 2 ) = 1 wtw v σi (A 1 ) = 1 lub v σi (A 2 ) = 1 podobnie dla pozostałych operatorów logicznych v σi ( x A) = 1 wtw v σi [x d](a) = 1 dla każdego d D v σi ( x A) = 1 wtw v σi [x d](a) = 1 dla pewnego d D

5 Wartość formuły zamkniętej A = p(x, a), B = A I = {N, { }, {}, {2}} Formuła A w interpretacji I oznacza: x N i x 2 Wartość formuły A zależy od wartościowania σ I. σ I (x) = 3 v σi (A) = 0, a zatem v σi (B) = 1 Niech A będzie formułą zamknietą. Wówczas v σi (A) nie zależy od wartościowania σ I. A = y x p(x, y) I = {Z +, { }, {}, {0}} y Z + x Z + x y v σi [y 1,x d](p(x, y)) = 1 dla każdego d Z + v σi ( y x p(x, y)) = 1 Wartość domknięcia uniwersalnego formuły Niech A = A(x 1,..., x n ) nie będzie formułą zamkniętą, a I niech będzie interpretacją. Wówczas: v σi (A ) = 1 dla wszystkich wartościowań σ I wtw, gdy v I ( x 1,..., x n A ) = 1. A = p(x, y) Domknięcie uniwersalne A: A = x y p(x, y) I = {N, { }, {}, {}} x N y N x y v σi [x 0,y 1](p(x, y)) = 0 v σi ( x y p(x, y)) = 0 Wartość domknięcia egzystencjalnego formuły Niech A = A(x 1,..., x n ) nie będzie formułą zamkniętą, a I niech będzie interpretacją. Wówczas: v σi (A ) = 1 dla pewnego wartościowania σ I wtw, gdy v I ( x 1,..., x n A ) = 1, A = p(x, y) Domknięcie egzystencjalne A: A = x y p(x, y) I = {N, { }, {}, {}} x N y N x y v σi [x 1,y 0](p(x, y)) = 1 v σi ( x y p(x, y)) = 1

6 Formuła spełniona A = x p(a, x) I 1 = A Formuła zamknięta A jest spełniona w interpretacji I, czyli interpretacja I jest modelem A, jeśli v I (A) = 1, co oznaczamy I = A. I 2 = A I 3 = A Interpretacja I 1 = {N, { }, {x 2 }, {5}} Interpretacja I 2 = {N, { }, {2x}, {0}} Interpretacja I 3 = {Z, { }, {2x}, {0}} D N f x 2 a 5 D N f 2x a 0 D Z f 2x a 0 5 x 2 0 2x 0 2x Formuła spełnialna Formuła prawdziwa Formuła zamknięta A jest spełnialna, jeśli dla pewnej interpretacji I mamy I = A. A = y x p(x, y) I = {N, { }, {}, {0}} y N x N x y v σi [y 1,x d](p(x, y)) = 1 dla każdego d N v σi ( y x p(x, y)) = 1 I = A Formuła zamknięta A jest prawdziwa, jeśli dla wszystkich interpretacji I mamy I = A, co będziemy oznaczać = A. A = x (p(x) p(x)) = A

7 Formuła niespełnialna i nieprawdziwa Logiczna równoważność formuł Formuła A jest niespełnialna, jeśli nie jest spełnialna, a jest nieprawdziwa, gdy nie jest prawdziwa. A = x (p(x) p(x)) Dla każdej interpretacji I v σi (A) = 0 zatem A jest niespełnialna. Niech A 1 i A 2 będą formułami zamkniętymi. Jeśli v I (A 1 ) = v I (A 2 ) dla wszystkich interpretacji I, to A 1 jest logicznie równoważna A 2, co oznaczamy A 1 A 2. A = x p(x, a) Istnieje interpretacja I = {N, { }, {}, {2}} w której v σi (A) = 0 zatem A jest nieprawdziwa. Warunek konieczny i dostateczny Twierdzenie A B wtw gdy = A B. Niech U = {A 1,... A n } U = A wtw gdy = (A 1... A n ) A. Wykażemy, że x (p(x) q(x)) jest równoważne ( x p(x) x q(x)) x (p(x) q(x)) x ( p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) x p(x) x q(x)

8 Pytania 1 Podać interpretację (wraz z wartościowaniem) podanej formuły rachunku predykatów. 2 Czy w podanej interpretacji formuła rachunku predykatów jest spełnialna (prawdziwa)?