Dygresja: moment pędu a obroty

Transkrypt

1 3. Atom 3

2 Dygresja: moment pędu a obroty weźmy np. atom wodoru c 1 jp 1 i + c 0 jp 0 i + c 1 jp 1 i Y1 0 (µ; ') = 1 r 3 ¼ cos µ Y 1 1(µ; ') = 1 r 3 ¼ sin µ e i' Obrót: oś, kąt ~ c 0 m = hp m 0jR(~ )jp m ic m 4

3 D-Macierze Wignera Obrót: oś, kąt ~ D j m 0 ;m = hjm0 jr(~ )jjmi R = exp( i~ ~ J) reprezentacje grupy obrotów dla ustalonego j nieprzywiedlna sposób abstrakcyjnej klasyfikacji stanów własnych w problemach o symetrii obrotowej 5

4 Proste atomy Zamknięte powłoki wewnętrzne, o ustalonym stanie kwantowym Elektron(y) walencyjne poruszają się w potencjale ekranowanego jądra E 3s 3p 3d s p 1s H l Li Ginter, Wstęp do f. atomu, 6 cząsteczki i c.s.

5 Elektryczny moment dipolowy ^~d = e~r X e~r = hnje~rjmi jnihmj {z } {z } n;m ~d n;m ^¾ n;m izolowane atomy nie mają trwałego statycznego momentu dipolowego ~d n;n = 0 7

6 Przykład: atom wodoru bez spinu weźmy np. atom wodoru jãi = c 1 jp 1 i + c 0 jp 0 i + c 1 jp 1 i + c g j1si jã(t)i = Y 0 1 (µ; ') = 1 Y 1 1(µ; ') = 1 r 3 ¼ r 3 ¼ cos µ sin µ e i' 8

7 Struktura subtelna: spin elektronu Elektron ma wewnętrzny moment magnetyczny B - spin Ruch orbitalny elektronu (l) oddziałuje ze spinem W lekkich atomach energia tego oddziaływania jest mała w porównaniu z odległościami miedzy poziomami H int / ^l ^s 9

8 W przybliżeniu Russela-Saundersa L moment orbitalny S spin Wzajemne ustawienie charakteryzuje J całkowity moment pędu H F S / ^l ^s = 1 [J(J + 1) L(L + 1) S(S + 1)] Landau, Lifszyc, M.kw.nrel., 7 10

9 Przykład 11

10 Obliczenie H FS = A^~ L ^~S jl z ; S z i Baza stanów: jj; J z i 1

11 Operatory spinu hm + 1jL + jmi = p L m p L + m + 1 ^~L ^~ S = fs x ; S y ; S z g = fl x ; L y ; L z g = 13

12 Przykładowy rozkład J J z Moment dipolowy? 14

13 H B = ¹ B ~ (g S ~ S + g L ~L) ~B Efekt Zeemana ~ H FS = A^~ L ^~S ~1 E/A ub/a 15

14 Efekt Zeemana i przejścia E/A P 3/ P 1/ ub/a d=? S 1/ 16

15 Zadanie W granicy małego pola ub<<a i dużego pola ub>>a określić: stany momeny dipolowe między stanami opisać kierunek momentów dipolowych 17

16 Atomy wieloelektronowe Singlet j "#i j #"i Tryplety j ""i j "#i + j #"i j ##i He 18

17 [Xe] 4f 14 6s C. W. Hoyt et al. PRL 95, (005). 19

18 Struktura nadsubtelna: spin jądra Jądro (też) ma spin i Ruch elektronów (J) oddziałuje ze spinem Energia tego odziaływania jest bardzo mała. Przeważa oddziaływanie dipoli magnetycznych H HF S / ^~ I ^~J Landau, Lifszyc, M.kw.nrel., 11 0

19 Wynik J całkowity moment pędu elektronów I jądra Wzajemne ustawienie charakteryzuje F całkowity moment pędu H HF S / ^~J ^~I = 1 [F (F + 1) J(J + 1) I(I + 1)] 1

20 Przykład Rb-87

21 Reguły wyboru f = 0, ±1, j = 0, ±1, l = ±1, m f = 0, ± Rb-87 3

22 Przykład Rb-85 Steck, Rb D-Line data Rb-87 4

23 Zadanie 1. Używajac tabeli wsp. Clebsha-Gordona zapisać stan 5 P 3/ F=0 (Rb-87) w bazie funkcji o określonym L=1, L z, S=1/, S z, I=3/, I z 5

24 Efekt Zeemana dipolowy moment magnetyczny H B = ¹ B ~ (g S ~ S + g L ~L + g I ~I) ~B ~ ~1 ~0 H HFS / ^~ J ^~I 6

25 Efekt Zeemana H IJ H B H B H IJ 7

26 3B. Atom dwupoziomowy i światło klasyczne Hamiltonian dipolowy i RWA, optyczne równania Blocha, oscylacje Rabiego. 8

27 Jeden atom (wodoru) Nam starczy: = µ ^p m + V (~r) X = E n jnihnj n {z } ^H 0 Ãi 9

28 Zewnętrzne pole Energia układu ładunków w zewnętrznym polu: W = qá(0) ~ d ~ E(0) 1 6 X ij Q j e~r el 30

29 przybliżenie Środek atomu = ^H 0 Ã + ( e ~E(0) ~r)ã(~r) poprawka w bazie stanów własnych H 0 : X e~r = hnj e~rjmi jnihmj {z } {z } n;m ~d n;m ^¾ n;m dokładne wyprowadzenie: np. L. I. Shiff, 31

30 Elektryczny moment dipolowy ^~d = e~r ~d n;m = hnj e~rjmi X e~r = hnj e~rjmi jnihmj {z } {z } n;m ~d n;m izolowane atomy nie mają trwałego statycznego momentu dipolowego ~d n;n = 0 ^¾ n;m 3

31 Obraz = ^HjÃi ^H = ^H 0 + ^V jãi = e i ^H 0 t=~ j ~ Ãi ~ = ^V I j ~ Ãi ^V I = e i ^H 0 t=~ ^V e i ^H 0 t=~ 33

32 Obraz oddziaływania - jãi = e i ^H 0 t=~ {z } ^U 0 = ^HjÃi j ~ Ãi ^H = ^H 0 + ^V ~ = ^U y 0 ^V ^U 0 {z } ^V I j ~ Ãi hãj ^OjÃi = h ~ Ãj ^U y 0 ^O ^U 0 {z } ^O I j ~ Ãi 34

33 Obraz oddziaływania - jãi = e i ^H 0 t=~ {z } ^U 0 ~ = ^V I j ~ Ãi = ^HjÃi j ~ Ãi jãi = X n = X m ^H = ^H 0 + ^V c n e ie nt=~ jni {z } j~ni hnj ^V I jmic m (t) {z }? 35

34 Obraz oddziaływania dipol-pole hnj ^V I jmi = e i(e n E m )t=~ hnj ^V jmi ~ E ~ d n;m ~E = ~ E 0 e i!t = + c.c. 36

35 Oddziaływanie dipol-pole jãi = X n c n e ie nt=~ jni {z } j~ni = X m ~ E ~ d n;m e i(e n E m )t=~ c m (t) ~E = ~ E0 e i!t = + c.c. optyka: zmiany c n trwają setki okresów pola E dwa poziomy w rezonansie 37

36 Rotating Wave Approximation 1 ^H = ~! 10 j1ih1j E ~ ³ ~d10 j1ih0j + d ~ 01 j0ih1j ~E = 1 ~ E 0 e i!t + 1 ~ E 0 e i!t = ~ E ~ d 10 e i! 10t=~ c 0 (t) 1 ~ E 0 e i!t = ~ E ~ d 01 e i! 10t=~ c 1 (t) 1 ~ E 0 e i!t 38

37 Rotating Wave Approximation ^H = ~! 10 j1ih1j E ~ ³ ~d10 j1ih0j + d ~ 01 j0ih1j ~E = 1 ~ E 0 e i!t + 1 ~ E 0 e i!t ^H RWA = ~! 10 j1ih1j ~ e i!t j1ih0j + e i!t j0ih1j = ~ d 10 ~ E 0 ~ 39

38 Obraz oddziaływania ^H = ~! 10 j1ih1j ~ = H 0 + V e i!t j1ih0j + e i!t j0ih1j gdzie tu H 0 a gdzie V? jãi = e i ^H 0 t=~ {z } j Ãi Ãi i~ ^U 0 = ^U y 0 ^V ^U 0 {z } ^V I j ~ Ãi jak uczynić hamiltonian odddziaływania stałym? 40

39 Obraz oddziaływania ^H = ~! 10 j1ih1j ~ = H 0 + V e i!t j1ih0j + e i!t j0ih1j! =! 10 + ^U 0 = e i!tj1ih1j pole atom odstrojenie ^V I = ~ j1ih1j ~ ( j1ih0j + j0ih1j) niezależny od czasu jaka to ewolucja? 41

40 Ewolucja: Obrót? ^V I ~ = µ 0 = = e i ^V I t=~ j =0 = Ã i j j cos j jt i j j sin j jt j jt sin cos j jt! = ~ d ~ E 0 ~ 4

41 Jak to sobie wyobrazić? ^V I ~ = µ 0 = = 43

42 Sfera stanów - Sfera Blocha można opisywać jãi = c 0 j0i + c 1 j1i j1i j0i j1i p j0i+j1i p jãi = cos(µ=)j0i j0i ij1i p + e iá sin(µ=)j1i jaka jest ewolucja swobodna tzn. pod nieobecność pola E? j0i 44

43 Wirująca sfera stanów można opisywać jãi = c 0 j0i + c 1 j~1i j~1i = e i!t j1i jãi = cos(µ=)j0i + e iá sin(µ=)j~1i j0i 45

44 Macierz gęstości ^½ = X n p n jã n ihã n j j1i ^½ = 1 + P i x i^¾ i j0i j1i p j0i+j1i p Sfera: stany czyste Wnętrze kuli: stany mieszane j0i 46

45 Ze stanu do sfery i z powrotem współrzędne na sferze x i = hãj¾ i jãi = T r(½¾ i ) j1i j0i j1i p j0i+j1i p jãihãj = 1 + P i x i^¾ i j0i ij1i p j0i 47

46 Obroty sfery jã 0 i = e iht=~ jãi j1i ½ 0 = : : : ½ : : : j0i j1i p j0i+j1i p jãihãj = 1 + P i x i^¾ i j0i ij1i p j0i 48

47 Ewolucja na sferze Bardzo wygodna analiza w obrazie Heisenberga (stan stały, zmienne operatory) d^¾ i (t) dt = i[ ^H=~; ^¾ i (t)] x i (t) = hãj¾ i (t)jãi ^H = ~R ~¾ d~x(t) dt = : : : ~x(t) ~ R 49

48 Hamiltonian motorem jã 0 i = e iht=~ jãi j1i ½ 0 = : : : ½ : : : j0i j1i p j0i+j1i p jãihãj = 1 + P i x i^¾ i j0i ij1i p stany własne różnica faz obłożenie ρ to obrót j0i 50

49 Wirujące pole R(t) = [ cos(!t); sin(!t);! 0 ] j1i d~x dt = : : : ~x ~ R j0i j1i p j0i+j1i p j0i ij1i p przejdźmy do układu gdzie R=const ~x = M z (!t)~~x j0i 51

50 Wirująca sfera ~R(t) = [ ; 0;! 0!] j~1i d~~x dt = : : : ~~x ~ ~R j0i j~1i p j0i ij1i p j0i+j~1i p a co to znaczy dla stanów i hamiltonianu? j0i 5

51 Obraz oddziaływania ^H = ~! 10 j1ih1j ~ = H 0 + V e i!t j1ih0j + e i!t j0ih1j! =! 10 + ^U 0 = e i!tj1ih1j pole atom odstrojenie ^V I = ~ j1ih1j ~ ( j1ih0j + j0ih1j) niezależny od czasu jaka to ewolucja? 53

52 Zadanie Wypisać Hamiltonian dipolowy ( Rotating Wave Approximation ") w obrazie oddziaływania dobranym tak, aby znikała a) energia swobodnego atomu b) zależność zaburzenia od czasu. W obu przypadkach obliczyć wektor R (vide slajdy Wirujące Pole, "Wirująca Sfera") 54

53 Układ wirujący e i!t j1i j0i e i!t j1i p j0i+e i!t j1i p j0i Czy sfera bez pola wiruje czy spoczywa? 55

54 Co zadaje kierunek wektora? e i!t j1i j0i e i!t j1i p j0i+e i!t j1i p j0i Jaka jest fizyczna róznica między stanami na równiku? ^V I = ~ j1ih1j ~ ( j1ih0j + j0ih1j) 56

55 Równania Blocha w układzie wirującym wraz z polem E-M d~x r dt = ~x r < 3 4 = 5 e i!t j1i! 0! j0i e i!t j1i p j0i+e i!t j1i p j0i 57

56 Oscylacje Rabiego R = j j + e i!t j1i j0i e i!t j1i p j0i+e i!t j1i p j0i 58

57 Impulsy π, π/ itp. j~1i j~1i? j0i T = ¼ j0i T = ¼= 59

58 π/, π/ j~1i czas miedzy impulsami małe odstrojenie j0i 60

59 Przykład Noblowski generator piecyk j0i h0j h1j detekcja ENS, Haroche et al. 61

60 Obroty: układ Noblowski j~1i p 1 amplituda pola klasycznego j0i µ = T = ~ E ~ d 10 ~ T 6

61 Przykład Noblowski generator piecyk j0i π/ 1 π/ 3 h0j h1j detekcja ENS, Haroche et al. 63

62 Prążki Ramseya: układ Noblowski p 1 Odstrojenie 1 j0i 3 Á = T F 64

63 Pomiar optymalny Pewien proces produkuje stany atomu leżące na łuku koła wielkiego. Jak najprecyzyjniej zmierzyć kąt δ wzdłuż koła? ± =? j0i Jaki jest łuk stanów przy impulsie nominalnie π ale o nieznanym odstrojeniu? δ = Δ 65

64 Tomografia stanu Atom w stanie j0i oświetlono impulsem pola E-M. Impuls jest zbliżony do ¼=. Jak określić odstępstwo stanu od ideału? Zakładamy że dysponujemy możliością przykładania idealnych impulsów µ.? h1j½j1i = p 1 j0i Ile prób potrzeba by zmierzyć p 1 z dokładnością 1%? 66

65 Emisja: atom jako antena rozważmy dowolny stan atomu pod nieobecność pola jã(t)i = j0i + e i!t j1i jakie jest średnie położenie elektonu wzg. jądra a co za tym idzie moment dipolowy? h e~ri = ~ d 10 e i!t + c.c. ~ d10 = h1j e~rj0i Antenna.nb 67

66 Emisja: atom jako antena dla stanów mieszanych: h e~ri = Trf^½ e~rg = Tr n ^½( dj1ih0j ~ + d ~ o j0ih1j) = h¾ x i< ~ d h¾ y i= ~ d ~d = h1j e~rj0i w obrazie Heisenberga (wirująca sfera): = h~¾ x i< ~ de i!t h~¾ y i= ~ de i!t 68

67 Jak emisja wpływa na pole? pole przychodzące E zmiana stanu atomu wymuszony moment dipolowy polaryzacja P pole wypromieniowane wzmacnia/osłabia opóźnia/przyspiesza 69

68 Zależności fazowe P 70

69 Polaryzacja atomowa ~z =! c P 0 ² 0 Polaryzacja P = nh e~ri he~ri = <fh~¾ x i~¾ y i ~ de i!t g Część dyspersyjna Część absorpcyjna 71

70 Oscylacje Rabiego a emisja 3 j~1i d~x r dt = ~x r h~¾ z i = cos( t) h~¾ y i = sin( t) he~ri = h~¾ y i= ~ de i!t = ~ d sin( t) sin(!t) ~E = ~ E 0 cos( t) j0i 7

71 Stany ubrane ^V I ~ = µ 0 = = ² =~ = r 4 + j j j i ' j0i j ~1i j+i ' j~1i + j0i j0i j~1i 73

72 Stany ubrane ^V I ~ = µ 0 = = ² =~ = r 4 + j j j i ' j0i j ~1i j+i ' j~1i + j0i j+i j i j+i j0i j i j~1i 74

73 Podążanie adiabatyczne j0i 75

74 Quantum non-demolition /PhysRevLett

75 Duże odstrojenie ^V I ~ = À µ 0 = = _~c 1 = i ~c 1 + i c 0 _~c 0 = i c 1 ' 1 c 1 (t) ' Z t 0 dt 0 i e i (t t0 ) = (1 ei t ) stałe efekt "włączeniowy" c 0 (t) ' c 0 (0)e ij j t= przesunięcie Starka 77