Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów.
|
|
|
- Błażej Andrzejewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. Adam Kolany Instytut Techniczny Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
2 Alfabet Morse a Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
3 Alfabet Morse a Litera Wyraz Kod Litera Wyraz Kod A A-ZOT N NO-GA B BO-TA-NI-KA O O-PO-CZNO C CO-RAZ-MOC-NIEJ P PE-LO-PO-NEZ D DO-LI-NA Q GO-SPO-DAR-STWO E ELK R RE-FOR-MA F FI-LAN-TRO-PIA S SA-HA-RA G GO-SPO-DA T TOM H HA-LA-BAR-DA U UR-SY-NÓW I I-GLA V VIN-CENT-VAN-GOGH J JE-DNO-KON-NO W WI-NO-ROŚL K KO-LA-NO X XO-XY-MIL-KO L LE-O-NI-DAS Y YORK-HULL-OX-FORD M MO-TOR Z ZLO-TO-LI-STNA Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
4 Kod Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
5 Kod W zbiór wiadomości, Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
6 Kod W zbiór wiadomości, X dowolny alfabetem Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
7 Kod W zbiór wiadomości, X dowolny alfabetem (na ogół #W > #X ). Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
8 Kod W zbiór wiadomości, X dowolny alfabetem (na ogół #W > #X ). Kodem nazywamy odwzorowanie κ : W X Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
9 Przykład W - słowa języka polskiego, X = { 0,..., 9 }, Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
10 Przykład W - słowa języka polskiego, X = { 0,..., 9 }, κ(ω) = suma numerów UTF8 liter wchodzących w skład ω Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
11 Przykład W - słowa języka polskiego, X = { 0,..., 9 }, κ(ω) = suma numerów UTF8 liter wchodzących w skład ω κ(źrebię) = 1149, κ(ynalok64@wp.pl) = 1321 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
12 Kody blokowe κ jest kodem blokowym, jeśli jest homomorfizmem. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
13 Kody blokowe κ jest kodem blokowym, jeśli jest homomorfizmem. Tzn. κ(w 1... w n) = κ(w 1)... κ(w n), w 1,..., w n W Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
14 Kody blokowe κ jest kodem blokowym, jeśli jest homomorfizmem. Tzn. κ(w 1... w n) = κ(w 1)... κ(w n), w 1,..., w n W κ(w) słowo kodowe, w W. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
15 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
16 Kod nieosobliwy: Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
17 Kod nieosobliwy: κ(w) κ(w ), w w, w, w W. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
18 Przykład W i X jak poprzednio, κ(l) = kod UTF8 znaku l κ(ynalok64@wp.pl) = Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
19 Kod jednoznacznie dekodowalny: κ(w 1... w n) = κ(v 1... v n) = w 1 = v 1,... w n = v n. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
20 Przykład Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
21 Przykład a 10 b 001 c 1 d 1011 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
22 Przykład a 10 b 001 c 1 d 1011 acc = d Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
23 Kod jednoznacznie dekodowalny bez opóźnienia: κ(w 1... w n) = κ(v 1... v m) = n = m & w 1 = v 1,... w n = v n. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
24 Przykład Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
25 Przykład Kody Shannona Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
26 Przykład Kody Shannona, Shannona-Fano Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
27 Przykład Kody Shannona, Shannona-Fano i Huffmana. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
28 Wykrywanie i korygowanie błędów Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
29 zakłócenia sygnał wejściowy kanał komunikacyjny sygnał wyjściowy Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
30 Kody korekcyjne Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
31 Kody korekcyjne Blokowe Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
32 Kody korekcyjne Blokowe Splotowe Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
33 Kody blokowe Korekcyjne kody blokowe wymagają rozbicia ciągu informacyjnego na bloki k-elementowe i wykonania operacji kodowania na każdym bloku niezależnie od pozostałych. Podczas kodowania do bloku informacji dołączana jest tzw. sekwencja kontrolna umożliwiająca wykrycie lub korekcję błędów. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
34 Kody splotowe Kody splotowe nie wymagają podziału informacji na bloki, a kodowanie odbywa się na bieżąco, w takt napływającej informacji. Elementy kodu uzależnione są od bieżącego elementu informacji oraz pewnej liczby elementów poprzednich. Koder kodu splotowego przyjmuje ciąg informacyjny i przetwarza go na ciąg kodowy o większej liczbie znaków. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
35 Kody blokowe Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
36 Kody blokowe Kody liniowe Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
37 Kody blokowe Kody liniowe Kody cykliczne Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
38 Kody blokowe Kod blokowy: dowolny podzbiór K przestrzeni F n p, gdzie p P, n N. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
39 Odległość Hamminga Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
40 Odległość Hamminga Odległością Hamminga ciągów α i β jest liczba: Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
41 Odległość Hamminga Odległością Hamminga ciągów α i β jest liczba: h(α, β) = # { j : α j β j } Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
42 Rozstęp Hamminga Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
43 Rozstęp Hamminga Rozstęp Hamminga kodu K: Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
44 Rozstęp Hamminga Rozstęp Hamminga kodu K: d(k) = min { h(u, v) : u, v K, u v } Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
45 Zdolność detekcyjna kodu Uwaga: Kod blokowy o rozstępie Hamminga d wykrywa: n w = d 1 błędów. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
46 Tzn. u K & h(u, v) d 1 v K Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
47 Tzn. u K & h(u, v) d 1 v K Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
48 Zdolność korekcyjna kodu Uwaga: Kod blokowy o rozstępie Hamminga d koryguje: d 1 n k = 2 błędów. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
49 Tzn. u, w K & h(u, v), h(w, v) d 1 2 w = u Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
50 Tzn. u, w K & h(u, v), h(w, v) d 1 2 w = u Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
51 Stwierdzenie Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
52 Stwierdzenie Aby kod korygował n w błędów, jego rozstęp Hamminga d musi spełniać nierówność: d 2t + 1 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
53 Stwierdzenie Aby kod korygował n w błędów, jego rozstęp Hamminga d musi spełniać nierówność: d 2t + 1 Aby kod korygował n w, a wykrywał n k błędów (n k n w ), jego rozstęp Hamminga d musi spełniać nierówność: d n w + n k + 1 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
54 Kody liniowe Kod liniowy: dowolna podprzestrzeń K przestrzeni F n p. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
55 Kody liniowe Kod liniowy K F n p jest (n, k)-kodem jeśli jego wymiar wynosi k. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
56 Kody liniowe Kod liniowy K F n p jest (n, k)-kodem systematycznym, jeśli { (x1,..., x k ) : xk+1,...,x n (x 1,..., x k, x k+1,..., x n) K } = F k p Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
57 Twierdzenie Każdy kod liniowy jest równoważny z kodem systematycznym. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
58 Twierdzenie W (n, k)-kodzie liniowym rozstęp Hamminga d spełnia nierówność: d n k + 1 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
59 Kodowanie Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
60 Kodowanie G = [ g1... g k ] - macierz bazowa (n, k)-kodu K Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
61 Kodowanie G = [ g1... g k ] - macierz bazowa (n, k)-kodu K (macierz generująca) Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
62 Kodowanie G = [ g1... g k ] - macierz bazowa (n, k)-kodu K (macierz generująca) v = v 1,..., v k F k p Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
63 Kodowanie G = [ g1... g k ] - macierz bazowa (n, k)-kodu K (macierz generująca) v = v 1,..., v k F k p Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
64 Kodowanie G = [ g1... g k ] - macierz bazowa (n, k)-kodu K (macierz generująca) v = v 1,..., v k F k p v G = v 1g v k g k F n p Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
65 Dekodowanie Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
66 Dekodowanie Macierz parzystości H kodu: w K H w T = 0. 0 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
67 Dekodowanie Macierz parzystości H kodu: w K H w T = H G T = Θ 0. 0 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
68 Dekodowanie Macierz parzystości H kodu: w K H w T = H G T = Θ 0. 0 ( wiersze G i H są wzajemnie prostopadłe ) Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
69 Dekodowanie Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
70 Dekodowanie Jeśli G = [I A], to macierzą parzystości jest H = [ A T I ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
71 Dekodowanie Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
72 Dekodowanie Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
73 Dekodowanie Dane w F n p Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
74 Dekodowanie Dane w F n p Liczymy syndrom s = Hw T. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
75 Dekodowanie Dane w F n p Liczymy syndrom s = Hw T. Znajdujemy reprezentanta e warstwy o syndromie s Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
76 Dekodowanie Dane w F n p Liczymy syndrom s = Hw T. Znajdujemy reprezentanta e warstwy o syndromie s (przygotowane zawczasu); Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
77 Dekodowanie Dane w F n p Liczymy syndrom s = Hw T. Znajdujemy reprezentanta e warstwy o syndromie s (przygotowane zawczasu); Zakładamy, że wysłanym słowem jest v = w e. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
78 Przykład G = [ ], Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
79 Przykład G = [ ], H = [ ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
80 Przykład reprezentant syndrom Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
81 Przykład reprezentant syndrom (reprezentanty o najmniejszej wadze Hamminga) Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
82 Przykład reprezentant syndrom (reprezentanty o najmniejszej wadze Hamminga) w = 1, 1, 1, 1, 1, 1 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
83 Przykład reprezentant syndrom (reprezentanty o najmniejszej wadze Hamminga) w = 1, 1, 1, 1, 1, 1 s(w) = 111 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
84 Przykład reprezentant syndrom (reprezentanty o najmniejszej wadze Hamminga) w = 1, 1, 1, 1, 1, 1 s(w) = 111 e = Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
85 Przykład reprezentant syndrom (reprezentanty o najmniejszej wadze Hamminga) w = 1, 1, 1, 1, 1, 1 s(w) = 111 e = w = 1, 0, 1, 1, 0, 1 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
86 Kody Hamminga Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
87 Kody Hamminga Kod Hamminga KH m Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
88 Kody Hamminga Kod Hamminga KH m binarny kod liniowy Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
89 Kody Hamminga Kod Hamminga KH m binarny kod liniowy z macierzą parzystości H = Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
90 Kody Hamminga Kod Hamminga KH m binarny kod liniowy z macierzą parzystości H = (1, 2,..., 2 m 1 dwójkowo) Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
91 Kody Hamminga Kod Hamminga KH m binarny kod liniowy z macierzą parzystości H = (1, 2,..., 2 m 1 dwójkowo) syndrom = numer błędnego bitu! Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
92 Przykład Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
93 Przykład m = 3 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
94 Przykład m = 3 H = [ ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
95 Przykład m = 3 H = [ ] G - baza przestrzeni rozwiązań równania HX = [ ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
96 Przykład, c.d. H x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 = [ ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
97 Przykład, c.d. H x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 = [ ] [ ] x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = [ ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
98 Przykład, c.d x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = x 2 + x x 6 + x 7 = 0 x x x x 7 = 0 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
99 Przykład, c.d. x 5 + x 6 + x 7 = x x 6 + x 7 = x 2 + x 3 x x 7 = x 1 + x 3 Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
100 Przykład, c.d. x 5 + x 6 + x 7 = x x 6 + x 7 = x 2 + x 3 x x 7 = x 1 + x 3 [ ] [ x5 x 6 x 7 ] = [ x4 x 2 + x 3 x 1 + x 3 ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
101 Przykład, c.d. [ x5 x 6 x 7 ] = [ ] 1 [ x4 x 2 + x 3 x 1 + x 3 ] = [ ] [ x4 x 2 + x 3 x 1 + x 3 ] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
102 Przykład, c.d. [ x5 x 6 x 7 ] = [ x2 + x 3 + x 4 x 1 + x 3 + x 4 x 1 + x 2 + x 4 ] X = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 = x x x x Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
103 Przykład, c.d. G = Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
104 Przykład, c.d. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
105 Przykład, c.d. Kodujemy: 0, 1, 0, 1 [0, 1, 0, 1] = [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
106 Przykład, c.d. Kodujemy: 0, 1, 0, 1 [0, 1, 0, 1] Odebrany jest 0, 1, 0, 1, 0, 0, = [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
107 Przykład, c.d. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
108 Przykład, c.d. Wyznaczamy syndrom: Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
109 Przykład, c.d. Wyznaczamy syndrom: [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0] [ ]T = = [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0] = [1, 1, 0] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
110 Przykład, c.d. Wyznaczamy syndrom: [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0] Wadliwy jest 6. bit! [ ]T = = [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0] = [1, 1, 0] Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
111 Kod Hamminga kilka własności Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
112 Kod Hamminga kilka własności Minimalna odległość Hamminga dla KH m wynosi 3. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
113 Kod Hamminga kilka własności Minimalna odległość Hamminga dla KH m wynosi 3. Każdy ciąg niekodowy jest w odległości 1 od jakiegoś ciągu kodowego. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
114 Kod Hamminga kilka własności Minimalna odległość Hamminga dla KH m wynosi 3. Każdy ciąg niekodowy jest w odległości 1 od jakiegoś ciągu kodowego. Przekłamanie dwu bitów jest niewykrywalna. Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
115 Inne rozwiązania Kody Reeda-Müllera Kody cykliczne (BCH)... Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
116 Dziękuję za uwagę... Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia / 1
W11 Kody nadmiarowe, zastosowania w transmisji danych
W11 Kody nadmiarowe, zastosowania w transmisji danych Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Plan wykładu 1. Kody nadmiarowe w systemach transmisji cyfrowej 2. Typy kodów,
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 7: Kody korygujące błędy Gniewomir Sarbicki Błędy transmisji i kodowanie nadmiarowe Zakładamy, że przy pewnym małym prawdopodobieństwie ɛ przy transmisji bit zmienia wartość.
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017
Algebra liniowa Zadanie 1 Czy jeśli wektory x, y i z, należące do binarnej przestrzeni wektorowej nad ciałem Galois GF (2), są liniowo niezależne, to można to samo orzec o następujących trzech wektorach:
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa
Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej
Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej Błędy w transmisji cyfrowej pojedyncze wielokrotne. całkowita niepewność względem miejsca zakłóconych bitów oraz czy w ogóle występują paczkowe (grupowe)
Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011
Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding
Laboratorium ochrony danych
Laboratorium ochrony danych Ćwiczenie nr 3 Temat ćwiczenia: Kod BCH Cel dydaktyczny: Zapoznanie się z metodami detekcji i korekcji błędów transmisyjnych za pomocą binarnych kodów cyklicznych, na przykładzie
Teoria Informacji - wykład. Kodowanie wiadomości
Teoria Informacji - wykład Kodowanie wiadomości Definicja kodu Niech S={s 1, s 2,..., s q } oznacza dany zbiór elementów. Kodem nazywamy wówczas odwzorowanie zbioru wszystkich możliwych ciągów utworzonych
Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej
Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej Błędy w transmisji cyfrowej pojedyncze wielokrotne. całkowita niepewność względem miejsca zakłóconych bitów oraz czy w ogóle występują paczkowe (grupowe)
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015 1 wczoraj Wprowadzenie matematyczne. Entropia i informacja. Kodowanie. Kod ASCII. Stopa kodu. Kody bezprefiksowe.
1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).
1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f
Kody blokowe Wykład 1, 3 III 2011
Kody blokowe Wykład 1, 3 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding Theory
Zygmunt Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Proces transmisji może w prowadzać błędy do przesyłanych wiadomości błędy pojedyncze lub grupowe Detekcja: Wymaga uznania, że niektóre wiadomości są nieważne
Elementy teorii informacji i kodowania
i kodowania Entropia, nierówność Krafta, kodowanie optymalne Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 17 kwietnia 2015 M. Jenczmyk Spotkanie KNM i kodowania 1 / 20 Niech S = {x 1,..., x q } oznacza alfabet,
xx + x = 1, to y = Jeśli x = 0, to y = 0 Przykładowy układ Funkcja przykładowego układu Metody poszukiwania testów Porównanie tabel prawdy
Testowanie układów kombinacyjnych Przykładowy układ Wykrywanie błędów: 1. Sklejenie z 0 2. Sklejenie z 1 Testem danego uszkodzenia nazywa się takie wzbudzenie funkcji (wektor wejściowy), które daje błędną
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Piotr Chołda, Andrzej Kamisiński Katedra Telekomunikacji Akademii Górniczo-Hutniczej Kod źródłowy Kodem źródłowym nazywamy funkcję różnowartościową, która elementom
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Kody Tunstalla. Kodowanie arytmetyczne
Kody Tunstalla. Kodowanie arytmetyczne Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 3 8 marca 2010 Kody Tunstalla Wszystkie słowa kodowe maja ta sama długość ale jeden kod może kodować różna liczbę liter
Systemy bezpieczne i FTC (Niezawodne Systemy Cyfrowe)
Systemy bezpieczne i FTC (Niezawodne Systemy Cyfrowe) dr inż Krzysztof Berezowski 220/C3 tel +48 71 320 27-59 krzysztofberezowski@pwrwrocpl 1 Wybrane kody dr inż Krzysztof Berezowski 220/C3 tel +48 71
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015
teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015 1 zakres materiału zakres materiału 1. Czym jest teoria informacji? 2. Wprowadzenie matematyczne. 3. Entropia i informacja.
Kodowanie i entropia
Kodowanie i entropia Marek Śmieja Teoria informacji 1 / 34 Kod S - alfabet źródłowy mocy m (np. litery, cyfry, znaki interpunkcyjne), A = {a 1,..., a n } - alfabet kodowy (symbole), Chcemy przesłać tekst
1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).
1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1. Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c +
Teoria informacji i kodowania
Teoria informacji i kodowania Politechnika Gdańska Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki Katedra Systemów i Sieci Radiokomunikacyjnych dr inż. Małgorzata Gajewska e-mail: malgorzata.gajewska@eti.pg.gda.pl
Podstawowe pojęcia. Teoria informacji
Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 1 22 luty 2010 Literatura K. Sayood, Kompresja danych - wprowadzenie, READ ME 2002 (ISBN 83-7243-094-2) Literatura K. Sayood, Kompresja danych - wprowadzenie,
Modulacja i Kodowanie. Labolatorium. Kodowanie Kanałowe Kody Hamminga
Modulacja i Kodowanie Labolatorium Kodowanie Kanałowe Kody Hamminga Kody Hamminga należą do grupy kodów korekcyjnych, ich celem jest detekcja I ewentualnie poprawianie błędów. Nazwa tego kody pochodzi
Kody splotowe. Zastosowanie
Kody splotowe Zastosowanie Niekiedy potrzeba buforowania fragmentu wiadomości przed zakodowaniem, tak jak to ma miejsce w koderze blokowym, jest przeszkodą, gdyż dane do zakodowania napływają strumieniem.
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 9,
1 Kody Tunstalla Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 9, 14.04.2005 Inne podejście: słowa kodowe mają ustaloną długość, lecz mogą kodować ciągi liter z alfabetu wejściowego o różnej
Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana
Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kodowanie i bezpieczeństwo informacji - Wykład 10 29 kwietnia 2013 Teoria informacji Jeśli P(A) jest prawdopodobieństwem wystapienia informacji A to niech i(a)
Teoria Informacji i Metody Kompresji Danych
Teoria Informacji i Metody Kompresji Danych 1 Przykładowe zadania (dodatkowe materiały wykładowe) 2 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Tranzystor JFET i MOSFET zas. działania
Tranzystor JFET i MOSFET zas. działania brak kanału v GS =v t (cutoff ) kanał otwarty brak kanału kanał otwarty kanał zamknięty w.2, p. kanał zamknięty Co było na ostatnim wykładzie? Układy cyfrowe Najczęściej
Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana
Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy
Wykład VIII. Systemy kryptograficzne Kierunek Matematyka - semestr IV. dr inż. Janusz Słupik. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej
Wykład VIII Kierunek Matematyka - semestr IV Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Egzotyczne algorytmy z kluczem publicznym Przypomnienie Algorytm
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Je n ai fait celle-ci plus longue
Kompresja danych kodowanie Huffmana. Dariusz Sobczuk
Kompresja danych kodowanie Huffmana Dariusz Sobczuk Plan wykładu Kodowanie metodą Shannona-Fano Kodowanie metodą Huffmana Elementarny kod Golomba Kod Golomba Kod Rice a kompresja danych 2 Efektywny kod
Kody blokowe Wykład 5a;
Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi
12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
Według raportu ISO z 1988 roku algorytm JPEG składa się z następujących kroków: 0.5, = V i, j. /Q i, j
Kompresja transformacyjna. Opis standardu JPEG. Algorytm JPEG powstał w wyniku prac prowadzonych przez grupę ekspertów (ang. Joint Photographic Expert Group). Prace te zakończyły się w 1991 roku, kiedy
Sieci Komputerowe Mechanizmy kontroli błędów w sieciach
Sieci Komputerowe Mechanizmy kontroli błędów w sieciach dr Zbigniew Lipiński Instytut Matematyki i Informatyki ul. Oleska 48 50-204 Opole zlipinski@math.uni.opole.pl Zagadnienia Zasady kontroli błędów
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017
Kody źródłowe jednoznacznie dekodowalne Zadanie Ile najwięcej słów kodowych może liczyć kod binarny jednoznacznie dekodowalny, którego najdłuższe słowo ma siedem liter? (Odp. 28) Zadanie 2 Zbiór sześciu
Entropia to wielkość określająca liczbę bitów informacji zawartej w danej wiadomości lub źródle. Spełnia ona trzy naturalne warunki: I(s) jest
Entropia to wielkość określająca liczbę bitów informacji zawartej w danej wiadomości lub źródle. Spełnia ona trzy naturalne warunki: I(s) jest malejącą funkcją prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia s. I(s)
#09. Systemy o złożonej strukturze
#09 Systemy o złożonej strukturze system składa się z wielu elementów, obiekty (podsystemy) wchodzące w skład systemu są ze sobą połączone i wzajemnie od siebie zależne mogą wystąpić ograniczenia w dostępności
Def. Kod jednoznacznie definiowalny Def. Kod przedrostkowy Def. Kod optymalny. Przykłady kodów. Kody optymalne
Załóżmy, że mamy źródło S, które generuje symbole ze zbioru S={x, x 2,..., x N } z prawdopodobieństwem P={p, p 2,..., p N }, symbolom tym odpowiadają kody P={c, c 2,..., c N }. fektywność danego sposobu
Temat 7. Dekodery, enkodery
Temat 7. Dekodery, enkodery 1. Pojęcia: koder, dekoder, enkoder, konwerter kodu, transkoder, enkoder priorytetowy... Koderami (lub enkoderami) nazywamy układy realizujące proces zamiany informacji kodowanej
Kodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Krzysztof Leszczyński Adam Sosnowski Michał Winiarski. Projekt UCYF
Krzysztof Leszczyński Adam Sosnowski Michał Winiarski Projekt UCYF Temat: Dekodowanie kodów 2D. 1. Opis zagadnienia Kody dwuwymiarowe nazywane często kodami 2D stanowią uporządkowany zbiór jasnych i ciemnych
Algorytmy i struktury danych. wykład 8
Plan wykładu: Kodowanie. : wyszukiwanie wzorca w tekście, odległość edycyjna. Kodowanie Kodowanie Kodowanie jest to proces przekształcania informacji wybranego typu w informację innego typu. Kod: jest
Granica kompresji Kodowanie Shannona Kodowanie Huffmana Kodowanie ciągów Kodowanie arytmetyczne. Kody. Marek Śmieja. Teoria informacji 1 / 35
Kody Marek Śmieja Teoria informacji 1 / 35 Entropia Entropia określa minimalną statystyczną długość kodowania (przyjmijmy dla prostoty że alfabet kodowy A = {0, 1}). Definicja Niech X = {x 1,..., x n }
Bramki logiczne Podstawowe składniki wszystkich układów logicznych
Układy logiczne Bramki logiczne A B A B AND NAND A B A B OR NOR A NOT A B A B XOR NXOR A NOT A B AND NAND A B OR NOR A B XOR NXOR Podstawowe składniki wszystkich układów logicznych 2 Podstawowe tożsamości
Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
Architektura systemów komputerowych
Architektura systemów komputerowych Grzegorz Mazur Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii Uniwersytet Jagielloński 12 kwietnia 2011 Grzegorz Mazur (ZMOCh UJ) Architektura systemów komputerowych 12 kwietnia
Wstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie
UKŁADY MIKROPROGRAMOWALNE
UKŁAD MIKROPROGRAMOWALNE Układy sterujące mogą pracować samodzielnie, jednakże w przypadku bardziej złożonych układów (zwanych zespołami funkcjonalnymi) układ sterujący jest tylko jednym z układów drugim
Kody splotowe (konwolucyjne)
Modulacja i Kodowanie Labolatorium Kodowanie kanałowe kody konwolucyjne Kody splotowe (konwolucyjne) Główną różnicą pomiędzy kodami blokowi a konwolucyjnymi (splotowymi) polega na konstrukcji ciągu kodowego.
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA
Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
KODOWANIE KANAŁOWE (NADMIAROWE) ERROR CONTROL CODING
KODOWANIE KANAŁOWE (NADMIAROWE) ERROR CONTROL CODING - W celu zabezpieczenia danych przed błędami do danych informacyjnych dołącza się według ściśle określonej reguły (definiującej dany kod) dodatkowe
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Kodowanie informacji
Kodowanie informacji Tomasz Wykład 4: kodowanie arytmetyczne Motywacja Podstawy i własności Liczby rzeczywiste Motywacje 1 średnia długość kodu Huffmana może odbiegać o p max + 0.086 od entropii, gdzie
Sieci komputerowe. Wykład 11: Kodowanie i szyfrowanie. Marcin Bieńkowski. Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski
Sieci komputerowe Wykład 11: Kodowanie i szyfrowanie Marcin Bieńkowski Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski Sieci komputerowe (II UWr) Wykład 11 1 / 32 Kodowanie Sieci komputerowe (II UWr) Wykład
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań
Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, Wrocław 2016/17 1 Grupy Zadanie 1 Pokaż, że jeśli grupy G i H są abelowe, to grupa G H też jest abelowa. Zadanie 2 Niech X będzie niepustym
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym możemy przedstawić jako następująca
Kodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG
Kodowanie transformacyjne Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG Zasada Zasada podstawowa: na danych wykonujemy transformacje która: Likwiduje korelacje Skupia energię w kilku komponentach
Wstęp Statyczne kody Huffmana Dynamiczne kody Huffmana Praktyka. Kodowanie Huffmana. Dawid Duda. 4 marca 2004
4 marca 2004 Podstawowe oznaczenia i definicje Wymagania wobec kodu Podstawowa idea Podsumowanie Podstawowe oznaczenia i definicje Podstawowe oznaczenia i definicje: alfabet wejściowy: A = {a 1, a 2,...,
Zapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach
Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Witold Tomaszewski (Instytut
Algorytmy kodowania entropijnego
Algorytmy kodowania entropijnego 1. Kodowanie Shannona-Fano 2. Kodowanie Huffmana 3. Jednoznaczność kodów Huffmana. Kod o minimalnej wariancji 4. Dynamiczne kodowanie Huffmana Poprzedni wykład - podsumowanie
f we DZIELNIKI I PODZIELNIKI CZĘSTOTLIWOŚCI Dzielnik częstotliwości: układ dający impuls na wyjściu co P impulsów na wejściu
DZIELNIKI I PODZIELNIKI CZĘSTOTLIWOŚCI Dzielnik częstotliwości: układ dający impuls na wyjściu co P impulsów na wejściu f wy f P Podzielnik częstotliwości: układ, który na każde p impulsów na wejściu daje
O oszczędnym dziennikarzu, czyli czym jest
O oszczędnym dziennikarzu, czyli czym jest informacja i jak ja mierzymy? Adam Doliwa doliwa@matman.uwm.edu.pl WYKŁAD DLA MŁODZIEŻY WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI UWM Olsztyn, 9 lutego 2016 r. Adam Doliwa
Algorytmy zachłanne. dr inż. Urszula Gałązka
Algorytmy zachłanne dr inż. Urszula Gałązka Algorytm zachłanny O Dokonuje wyboru, który w danej chwili wydaje się najkorzystniejszy. O Mówimy, że jest to wybór lokalnie optymalny O W rzeczywistości nie
Technologie cyfrowe semestr letni 2018/2019
Technologie cyfrowe semestr letni 2018/2019 Tomasz Kazimierczuk Organizacja zajęć Wykład 2h/tydzień Ćwiczenia 3h/tydzień Obecność obowiązkowa 2 sprawdziany praktyczne (kolokwia) w trakcie zajęć Ocena:
1 Motywacje. 2 Zastosowania kodów. 3 Podstawowe definicje i oznaczenia. Sieci komputerowe II. Uniwersytet Warszawski Podanie notatek
Sieci komputerowe II Notatki Uniwersytet Warszawski Podanie notatek 17-01-2005 Wykład nr 3: 17-01-2005 Temat: Kody korygujące błędy 1 Motywacje 1. Ograniczenia nośnika powodują, że czasami ilość błędów
Instrukcje dla zawodników
Płock, 17 marca 2018 r. Instrukcje dla zawodników Arkusze otwieramy na wyraźne polecenie komisji. Wszystkie poniższe instrukcje zostaną odczytane i wyjaśnione. 1. Arkusz składa się z 3 zadań. 2. Każde
Pracownia Komputerowa wyk ad VII
Pracownia Komputerowa wyk ad VII dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Notacja szesnastkowa - przypomnienie Szesnastkowy
Pracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Wprowadzenie do informatyki i użytkowania komputerów. Kodowanie informacji System komputerowy
1 Wprowadzenie do informatyki i użytkowania komputerów Kodowanie informacji System komputerowy Kodowanie informacji 2 Co to jest? bit, bajt, kod ASCII. Jak działa system komputerowy? Co to jest? pamięć
Wprowadzenie do telekomunikacji i teleinformatyki
Studia Podyplomowe Instalacje telekomunikacyjne i teletechniczne w budownictwie Wprowadzenie do telekomunikacji i teleinformatyki SŁAWOMIR KULA Instytut Telekomunikacji Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych
Notatki z Podstaw kodowania i kryptografii. switch486 WIZ : PWr na podstawie folii z wykładu i ćwiczeń dr inż. E. Kukli Złożone W Systemie L A TEX
Notatki z Podstaw kodowania i kryptografii switch486 WIZ : PWr na podstawie folii z wykładu i ćwiczeń dr inż. E. Kukli Złożone W Systemie L A TEX Wrocław 5.6.2008 Spis treści I Kodowanie 5 Wiadomość, a
mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. GOLOMBA I RICE'A
mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. KOMPRESJA ALGORYTMEM ARYTMETYCZNYM, GOLOMBA I RICE'A Idea algorytmu arytmetycznego Przykład kodowania arytmetycznego Renormalizacja
Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Teoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Postać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Przemysłowe Sieci Informatyczne (PSI) Wykład #3 kodowanie i wstęp do teorii informacji WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA INŻYNIERII
Przemysłowe Sieci Informatyczne (PSI) Wykład #3 kodowanie i wstęp do teorii informacji WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA INŻYNIERII SYSTEMÓW STEROWANIA Jarosław Tarnawski, dr inż. Gdańsk, marzec
1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI Egzamin I - 2.02.2011 (za każde polecenie - 6 punktów)
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI Egzamin I - 2.02.2011 (za każde polecenie - 6 punktów) 1. Dla ciągu danych: 1 1 0 1 0 narysuj przebiegi na wyjściu koderów kodów transmisyjnych: bipolarnego NRZ, unipolarnego RZ,
Entropia Kodowanie. Podstawy kompresji. Algorytmy kompresji danych. Sebastian Deorowicz
Algorytmy kompresji danych 2007 02 27 Plan wykładu 1 Modelowanie i kodowanie 2 Modelowanie i kodowanie Plan wykładu 1 Modelowanie i kodowanie 2 Modelowanie i kodowanie definicja stowarzyszona ze zbiorem