METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH"

Ryszard Sikora
5 lat temu
Przeglądów:

1 METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH ĆWICZENIE NR 4 RACHUNEK TABLICOWY NA MACIERZACH W PROGRAMIE KOMPUTEROWYM MATLAB Dr inż. Sergiusz Sienkowski

2 ĆWICZENIE NR 4 Rachunek tablicowy na macierzach w programie komputerowym Matlab 4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia est opanowanie umieętności wykonywania obliczeń tablicowych na macierzach w programie komputerowym Matlab Obliczenia tablicowe na macierzach W niektórych zastosowaniach rachunek macierzowy nie est wystarczaący do wykonania określonych obliczeń na macierzach. Wykonue się wówczas obliczenia nazywane tablicowymi. Do podstawowych obliczeń tablicowych na macierzach zaliczamy dodawanie i odemowanie, mnożenie i dzielenie. Do obliczeń tablicowych zaliczamy również podnoszenie do potęgi, odwracanie i transpozycę macierzy Tablicowe dodawanie i odemowanie macierzy Niech T będzie macierzą nm o elementach t i,, 1in, 1m, oraz będzie dowolną liczbą rzeczywistą (skalarem). Tablicowe dodawanie lub odemowanie macierzy T i skalara tożsame est dodawaniu lub odemowaniu macierzy i skalara. Wynikiem tablicowego dodawania lub odemowania macierzy T i skalara est macierz W=T o rozmiarze nm i elementach w i,, 1in, 1m, przy czym w t. i, i, Tablicowe dodawanie lub odemowanie macierzy T i skalara est przemienne, t. W=T=T.

3 Ćwiczenie 4. Rachunek tablicowy na macierzach Niech V będzie macierzą pr o elementach v i,, 1ip, 1r, taką, że n=p i m=r. Wynikiem tablicowego dodawania lub odemowania macierzy T i V est macierz W=TV o rozmiarze nm i elementach w i,, 1in, 1m, przy czym w t v. i, i, i, Tablicowe dodawanie macierzy T i V est przemienne (odemowanie tylko co do wartości bezwzględne), t. W=T+V=V+T (W= T-V = V-T ). Jeżeli edna z macierzy lub obie macierze będą ednoelementowe, to ich tablicowe dodawanie lub odemowanie odbywa się ak w przypadku dodawania macierzy i skalara lub dodawania dwóch skalarów. Przykład. Wynikiem tablicowego dodawania do macierzy skalara = est macierz 1 2 T, W T Wynikiem tablicowego dodawania macierzy T i macierzy 5 6 V, 7 8 est macierz W T+V Tablicowe mnożenie macierzy Niech T będzie macierzą nm o elementach t i,, 1in, 1m. Wynikiem tablicowego mnożenia macierzy T przez skalar est macierz W=T o rozmiarze nm i elementach w i,, 1in, 1m, przy czym

4 66 Metody komputerowe w obliczeniach inżynierskich w t. i, i, Tablicowe mnożenie macierzy T przez skalar est przemienne, t. W=T=T. Niech V będzie macierzą pr o elementach v i,, 1ip, 1r, taką, że n=p i m=r. Tablicowe mnożenie macierzy nie est tożsame mnożeniu macierzy. Wynikiem tablicowego mnożenia macierzy T i V est macierz W=TV o rozmiarze nm i elementach w i,, 1in, 1m, gdzie w t v. i, i, i, Tablicowe mnożenie macierzy T i V est możliwe tylko wówczas, gdy T i V maą tyle samo kolumn i tyle samo wierszy. Tablicowe mnożenie macierzy est przemienne, t. W=TV=VA. Jeżeli edna z macierzy lub obie macierze będą ednoelementowe, to ich tablicowe mnożenie odbywa się ak w przypadku mnożenia macierzy przez skalar lub mnożenia dwóch skalarów. Przykład. Wynikiem tablicowego mnożenia macierzy przez skalar = est macierz 1 2 T, W T. 3 4 Wynikiem tablicowego mnożenia macierzy T i V, est macierz W TV

5 Ćwiczenie 4. Rachunek tablicowy na macierzach Tablicowe dzielenie macierzy Niech T będzie macierzą nm o elementach t i,, 1in, 1m. Wynikiem tablicowego dzielenia macierzy T przez skalar est macierz W=T/ o rozmiarze nm i elementach w i,, 1in, 1m, przy czym t w. i, i, Wykonanie tablicowego dzielenia skalara przez macierz T nie est możliwe, chyba, że t i, będzie macierzą ednoelementową. Niech V będzie macierzą pr o elementach v i,, 1ip, 1r, taką, że n=p i m=r. Tablicowe dzielenie macierzy nie est tożsame dzieleniu macierzy. Wynikiem tablicowego prawostronnego dzielenia macierzy T i V est macierz W=T/V o rozmiarze nm i elementach w i,, 1in, 1m, takich, że t i, w i,. vi, Tablicowym ilorazem lewostronnym macierzy T i V est macierz W=T\V o rozmiarze nm i elementach w i,, 1in, 1m, takich, że v i, w i,. ti, Z powyższego wynika, że W=T/VT\V, ale W=T/V=V\T i W=T\V=V/T. Ponadto tablicowe dzielenie macierzy T przez V i odwrotnie, est możliwe tylko wówczas, gdy T i V maą tyle samo kolumn i tyle samo wierszy. Przykład. Wynikiem tablicowego dzielenia macierzy przez skalar = est macierz 1 2 T, 3 4

6 68 Metody komputerowe w obliczeniach inżynierskich 1 2 T W. 3 4 Wynikiem tablicowego prawostronnego dzielenia macierzy 1 2 T, 3 4 przez macierz 5 6 V, 7 8 est macierz W T / V W wyniku tablicowego lewostronnego dzielenia macierzy T przez macierz V otrzymuemy macierz 5 3 W T \ V Tablicowe potęgowanie macierzy Niech T będzie macierzą nm o elementach t i,, 1in, 1m. Powiemy, że macierz T została podniesiona tablicowo do potęgi k0, eżeli 0 T I, k1 k T T T, gdzie I to macierz ednostkowa nm. Elementy macierzy (A) k przymuą wówczas postać

7 Ćwiczenie 4. Rachunek tablicowy na macierzach i, i, k t t. Tablicowe potęgowanie macierzy T est w istocie e wielokrotnym tablicowym wymnożeniem. Tablicowe potęgowanie macierzy nie est tożsame potęgowaniu macierzy. Przykład. Wynikiem tablicowego podniesienia do potęgi piąte macierzy est macierz T, W T Tablicowe odwracanie macierzy Niech T będzie macierzą nm o elementach t i,, 1in, 1m. Tablicowe odwracanie macierzy nie est tożsame odwracaniu macierzy. W wyniku tablicowego odwrócenia macierzy T otrzymuemy następuą macierz t1,1 t1,2 t 1, m tn,1 tn,2 tn, m 1 T t2,1 t2,2 t2, m. Przykład. Wynikiem tablicowego odwrócenia macierzy est macierz 1 2 T, 3 4

8 70 Metody komputerowe w obliczeniach inżynierskich T Tablicowa transpozyca macierzy Niech T będzie macierzą nm o elementach t i,, 1in, 1m. Tablicowa transpozyca macierzy T polega na zamianie miescami wierszy i kolumn w macierzy. W wyniku te operaci otrzymuemy macierz transponowaną (T) T, które elementy T i,, i t t. Jeżeli macierz T zawiera tylko elementy rzeczywiste, to tablicowa transpozyca macierzy dae te same wyniki, co w przypadku transpozyci macierzowe. Jeżeli T zawiera elementy zespolone to tablicowa transpozyca macierzy zamienia wiersze i kolumny macierzy, natomiast transpozyca macierzy skutkue otrzymaniem macierzy, która zawiera elementy sprzężone z odpowiednimi elementami macierzy zespolone. Przykład. Wynikiem tablicowe transpozyci macierzy est macierz T 4 5 6, T T

9 Ćwiczenie 4. Rachunek tablicowy na macierzach Programowa obsługa obliczeń tablicowych na macierzach Wprowadzanie do Matlaba macierzy, na których wykonywane będą obliczenia tablicowe, odwoływanie się do elementów takich macierzy, czy też stosowanie funkci wbudowanych, odbywa się na te same zasadzie, co w przypadku innych macierzy. Różnice między obliczeniami tablicowymi i macierzowymi wynikaą ze sposobów wykonywania operaci arytmetycznych na elementach macierzy. Do wykonywania obliczeń tablicowych na macierzach wykorzystue się operatory. W programie Matlab stosue się operatory z poniższe tabeli. Operator Zadanie + Dodawanie macierzy - Odemowanie macierzy.* Tablicowe mnożenie macierzy./ Tablicowe dzielenie prawostronne macierzy.\ Tablicowe dzielenie lewostronne macierzy.^ Tablicowe potęgowanie macierzy.' Tablicowa transpozyca macierzy 1 Przykład. Zastosowanie operatorów tablicowych na macierzach T i V oraz operatorów macierzowych na macierzach 1 Operator transpozyci " ' " położony est na klawiaturze zwykle w pobliżu klawisza PShift lub Enter.

72 Metody komputerowe w obliczeniach inżynierskich 1 2 5 6 A i B.

10 72 Metody komputerowe w obliczeniach inżynierskich A i B Rachunek macierzowy Rachunek tablicowy Dodawanie Odemowanie Mnożenie

11 Ćwiczenie 4. Rachunek tablicowy na macierzach Dzielenie prawostronne Dzielenie lewostronne Potęgowanie Transpozyca

12 74 Metody komputerowe w obliczeniach inżynierskich 4.4. Program ćwiczenia 1. Niech dane będą następuące macierze 1 x 5 0 A i B, 0 2 x 1 x oraz 1 x 5 0 T i V, 0 2 x 1 x gdzie x to numer podgrupy. a) Zastosować arytmetykę macierzową i obliczyć w sposób analityczny A+B, A-2B, AB, (A) T, (B) T, A -1, B -1, A/B, A\B. Podczas obliczeń wykorzystać informace z instrukci do ćwiczenia 3 z punktu 3.2. b) Wykonać w Matlabie obliczenia z punktu a). Porównać wyniki obliczeń z otrzymanymi w punkcie a). c) Zastosować arytmetykę tablicową i obliczyć w sposób analityczny T+V, T-2V, TV, (T) T, (V) T, T -1, V -1, T/V, T\V. Podczas obliczeń wykorzystać informace z punktu 4.2. Porównać wyniki obliczeń z otrzymanymi w punkcie a). d) Wykonać w Matlabie obliczenia z punktu c). Do obliczeń zastosować operatory tablicowe z punktu 4.3. Porównać wyniki obliczeń z otrzymanymi w punkcie b). 2. Utworzyć za pomocą Matlaba a) wektor wierszowy T zawieraący elementy o wartościach z przedziału [-10, 10] z krokiem 0.01x, b) wektor wierszowy Y zawieraący elementy o wartościach uzyskanych na podstawie wzoru y(t)=t 2, gdzie t przymue wartości wektora T,

13 Ćwiczenie 4. Rachunek tablicowy na macierzach c) wektor wierszowy Z zawieraący elementy o wartościach uzyskanych na podstawie wzoru z(t)=sin(2t 2 /(x+10)) cos(2t 2 /(x+10)), gdzie t przymue wartości wektora T. 3. Utworzyć za pomocą Matlaba wektor kolumnowy W zawieraący n liczb pseudolosowych z rozkładu równomiernego na przedziale [-x, x]. Stosuąc arytmetykę tablicową wyznaczyć na podstawie elementów wektora a) wartość średnią (ws), b) wartość średniokwadratową (wskw), c) wariancę (war) z zastosowaniem wzoru war=wskw-(ws) 2, d) wariancę ( 2 ) z zastosowaniem funkci wbudowane w Matlaba i uzupełnić poniższą tabelę n=10 n=10 2 n=10 3 n=10 4 n=10 5 war 2 Wielkości ws i wskw obliczyć z zastosowaniem funkci sum lub mean z Matlaba. Wariancę 2 obliczyć z zastosowaniem funkci var z Matlaba. Wyaśnić powód zmnieszania się różnicy między war i 2. Literatura [1] Luzar M., Metody komputerowe w obliczeniach inżynierskich, Wykład dla Studentów Automatyki i Robotyki, WIEA, UZ, [2] Czaka M., MATLAB. Ćwiczenia, Helion 2005 [3] Mrozek B., Mrozek Z., MATLAB i Simulink. Poradnik użytkownika, Helion 2004

Podobne dokumenty

METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH

METODY KOMPUTEROWE W OBLICZENIACH INŻYNIERSKICH ĆWICZENIE NR 9 WYRAŻENIA LOGICZNE, INSTRUKCJE WARUNKOWE I INSTRUKCJE ITERACYJNE W PROGRAMIE KOMPUTEROWYM MATLAB Dr inż. Sergiusz Sienkowski ĆWICZENIE NR