Wprowadzenie do fal grawitacyjnych

Transkrypt

1 Wprowadzenie do fal grawitacyjnych Jacek Jurkowski Instytut Fizyki 2016 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 1(126)

2 Plan wykładu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 2(126)

3 Plan wykładu 1 Wprowadzenie i trochę historii 2 Podstawowe pojęcia i formalizm Ogólnej Teorii Względności 3 Podstawy opisu falowego 4 Równanie falowe w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego 5 Moc promieniowania grawitacyjnego. Przykłady źródeł 6 Promieniowanie grawitacyjne od układu podwójnego 7 Detekcja promieniowania grawitacyjnego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 2(126)

4 Motywacja Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126)

5 Motywacja : pierwszy raz w historii zarejestrowano falę grawitacyjną r. oficjalnie to ogłoszono Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126)

6 Motywacja : pierwszy raz w historii zarejestrowano falę grawitacyjną r. oficjalnie to ogłoszono artykuł z Am. J. Phys. 75, 597 (2007) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126)

7 Literatura Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)

8 Literatura Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ. Press. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)

9 Literatura Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ. Press. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson, Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction to Theory, Experiment and Data Analysis, Wiley. Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory and Experiments, Oxford Univ. Press. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)

10 Literatura Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ. Press. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson, Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction to Theory, Experiment and Data Analysis, Wiley. Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory and Experiments, Oxford Univ. Press. B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN. M. Demiański, Astrofizyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126)

11 Cele wykładu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126)

12 Cele wykładu od teorii do detekcji fal grawitacyjnych. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126)

15 Cele wykładu jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126)

16 Cele wykładu jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126)

17 Cele wykładu jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny formalizm matematyczny fal grawitacyjnych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126)

18 Cele wykładu modelowanie prostych źródeł fal grawitacyjnych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 7(126)

19 Cele wykładu modelowanie prostych źródeł fal grawitacyjnych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 7(126)

20 Fale Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)

21 Fale 1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ( r, t) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)

22 Fale 1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ( r, t) 2 Rozwiązania równania falowego 1 2 ψ( r, t) c 2 t 2 = 2 ψ( r, t) ψ( r, t) = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)

23 Fale 1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ( r, t) 2 Rozwiązania równania falowego 1 2 ψ( r, t) c 2 t 2 = 2 ψ( r, t) ψ( r, t) = 0 fale płaskie: ψ( r, t) = A sin(k r ωt) fale kuliste: ψ( r, t) = A/r sin(r ct) ogólnie: ψ( r, t) = f (r ct) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)

24 Fale 1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ( r, t) 2 Rozwiązania równania falowego 1 2 ψ( r, t) c 2 t 2 = 2 ψ( r, t) ψ( r, t) = 0 fale płaskie: ψ( r, t) = A sin(k r ωt) fale kuliste: ψ( r, t) = A/r sin(r ct) ogólnie: ψ( r, t) = f (r ct) zasada superpozycji! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)

25 Fale 1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ( r, t) 2 Rozwiązania równania falowego 1 2 ψ( r, t) c 2 t 2 = 2 ψ( r, t) ψ( r, t) = 0 fale płaskie: ψ( r, t) = A sin(k r ωt) fale kuliste: ψ( r, t) = A/r sin(r ct) ogólnie: ψ( r, t) = f (r ct) zasada superpozycji! Fale grawitacyjne W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falowego nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126)

26 Fale grawitacyjne historia Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 9(126)

28 Fale grawitacyjne historia : A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)

29 Fale grawitacyjne historia : A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, : idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)

30 Fale grawitacyjne historia : A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, : idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, : artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)

31 Fale grawitacyjne historia : A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, : idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, : artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)

32 Fale grawitacyjne historia : A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, : idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, : artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)

33 Fale grawitacyjne historia : A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, : idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, : artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)

34 Fale grawitacyjne historia : A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, : idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, : artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) układ podwójny dwóch pulsarów PSR B Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126)

36 Fale grawitacyjne źródła Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)

37 Fale grawitacyjne źródła niezwykle słabe: względne przesunięcia , h(t) = A(t) cos Φ(t) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)

38 Fale grawitacyjne źródła niezwykle słabe: względne przesunięcia , h(t) = A(t) cos Φ(t) niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)

39 Fale grawitacyjne źródła niezwykle słabe: względne przesunięcia , h(t) = A(t) cos Φ(t) niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia obracające się, niesymetryczne masywne obiekty Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)

40 Fale grawitacyjne źródła niezwykle słabe: względne przesunięcia , h(t) = A(t) cos Φ(t) niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia obracające się, niesymetryczne masywne obiekty układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazd neutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisji fal grawitacyjnych (fale o częstotliwości Hz) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)

41 Fale grawitacyjne źródła niezwykle słabe: względne przesunięcia , h(t) = A(t) cos Φ(t) niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia obracające się, niesymetryczne masywne obiekty układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazd neutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisji fal grawitacyjnych (fale o częstotliwości Hz) zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (do khz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126)

42 Fale grawitacyjne źródła niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia obracające się, niesymetryczne masywne obiekty układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazd neutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisji fal grawitacyjnych (fale o częstotliwości Hz) zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (do khz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem 2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wyniki numerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykli ewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacji pozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur o takich samych masach, na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałów grawitacyjnych (waveform) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) niezwykle słabe: względne przesunięcia , h(t) = A(t) cos Φ(t)

43 Fale grawitacyjne detekcja Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)

44 Fale grawitacyjne detekcja detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe (Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)

45 Fale grawitacyjne detekcja detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe (Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.) interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanford w stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanie Luizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)

46 Fale grawitacyjne detekcja detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe (Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.) interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanford w stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanie Luizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy) interferometria kosmiczna: LISA Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126)

47 Zasady względności i równoważności Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)

48 Zasady względności i równoważności Zasada względności (STW) Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)

49 Zasady względności i równoważności Zasada względności (STW) Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia Słaba zasada równoważności w OTW W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnym jest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w dostatecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poruszających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)

50 Zasady względności i równoważności Zasada względności (STW) Prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia Słaba zasada równoważności w OTW W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnym jest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w dostatecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poruszających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji Silna zasada równoważności w OTW W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnym jest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w dostatecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa fizyki mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126)

51 Geometria czasoprzestrzeni Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)

52 Geometria czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) oraz (c(t + dt), x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) wynosi dl 2 = ±(c 2 dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 ) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)

53 Geometria czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) oraz (c(t + dt), x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) wynosi dl 2 = ±(c 2 dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 ) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Czasoprzestrzeń OTW czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)

54 Geometria czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) oraz (c(t + dt), x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) wynosi dl 2 = ±(c 2 dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 ) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Czasoprzestrzeń OTW czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa) Mierzenie odległości i pól metryka (pseudo-riemannowska) dl 2 = 3 α,β=0 g αβ (x)dx α dx β g αβ (x)dx α dx β Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)

55 Geometria czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) oraz (c(t + dt), x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) wynosi dl 2 = ±(c 2 dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 ) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Czasoprzestrzeń OTW czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa) Mierzenie odległości i pól metryka (pseudo-riemannowska) dl 2 = 3 α,β=0 g αβ (x)dx α dx β g αβ (x)dx α dx β Pola tensorowe przekształcenia wieloliniowe żyjące w przestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się w zadany sposób przy zmianach układu współrzędnych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)

56 Geometria czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) oraz (c(t + dt), x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) wynosi dl 2 = ±(c 2 dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 ) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Czasoprzestrzeń OTW czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa) Mierzenie odległości i pól metryka (pseudo-riemannowska) dl 2 = 3 α,β=0 g αβ (x)dx α dx β g αβ (x)dx α dx β Pola tensorowe przekształcenia wieloliniowe żyjące w przestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się w zadany sposób przy zmianach układu współrzędnych wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych) wektory kowariantne (np. gradient funkcji) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)

57 Geometria czasoprzestrzeni Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) oraz (c(t + dt), x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, x 3 + dx 3 ) wynosi dl 2 = ±(c 2 dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 ) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Czasoprzestrzeń OTW czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa) Mierzenie odległości i pól metryka (pseudo-riemannowska) dl 2 = 3 α,β=0 g αβ (x)dx α dx β g αβ (x)dx α dx β Pola tensorowe przekształcenia wieloliniowe żyjące w przestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się w zadany sposób przy zmianach układu współrzędnych wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych) wektory kowariantne (np. gradient funkcji) kontrakcja i obniżanie indeksu: v α ω α, g αβ v α = v β Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126)

58 Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna Przesuwanie obiektów koneksja afiniczna wyznaczona przez symbole Christoffela Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)

59 Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna Przesuwanie obiektów koneksja afiniczna wyznaczona przez symbole Christoffela v = v α e α = d v = dv α e α + v α d e α = (dv α + v µ Γ α νµdx ν ) e α. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)

60 Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna Przesuwanie obiektów koneksja afiniczna wyznaczona przez symbole Christoffela v = v α e α = d v = dv α e α + v α d e α = (dv α + v µ Γ α νµdx ν ) e α. Γ α βγ = 1 2 gαδ ( γ g δβ + β g γδ δ g βγ ) 1 2 gαδ (g δβ,γ + g γδ,β g βγ,δ ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)

61 Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna Przesuwanie obiektów koneksja afiniczna wyznaczona przez symbole Christoffela v = v α e α = d v = dv α e α + v α d e α = (dv α + v µ Γ α νµdx ν ) e α. Γ α βγ = 1 2 gαδ ( γ g δβ + β g γδ δ g βγ ) 1 2 gαδ (g δβ,γ + g γδ,β g βγ,δ ) cząstkowa pochodna kowariantna v α ;β = vα,β + Γα γβ vγ ω α;β = ω α,β Γ γ αβ ω γ T µν;α = T µν,α ΓµαT β βν ΓανT β µβ B µν ;α = B µν,α + Γ µ αβ Bβν + Γβα ν Bµβ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)

62 Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja afiniczna Przesuwanie obiektów koneksja afiniczna wyznaczona przez symbole Christoffela v = v α e α = d v = dv α e α + v α d e α = (dv α + v µ Γ α νµdx ν ) e α. Γ α βγ = 1 2 gαδ ( γ g δβ + β g γδ δ g βγ ) 1 2 gαδ (g δβ,γ + g γδ,β g βγ,δ ) cząstkowa pochodna kowariantna v α ;β = vα,β + Γα γβ vγ ω α;β = ω α,β Γ γ αβ ω γ T µν;α = T µν,α ΓµαT β βν ΓανT β µβ B µν ;α = B µν,α + Γ µ αβ Bβν + Γβα ν Bµβ Geometria pseudoriemannowska Γ α βγ = Γα γβ, g µν;α = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126)

63 Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty w czasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126)

64 Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty w czasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna) τ parametr geodezyjnej x µ (τ) d 2 x µ dτ 2 + Γ να µ dx ν dx α dτ dτ = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126)

65 Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty w czasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna) τ parametr geodezyjnej x µ (τ) Równanie geodezyjnej d 2 x µ dτ 2 + Γ να µ dx ν dx α dτ dτ = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126)

66 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Krzywizna tensor (krzywizny) Riemanna Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)

67 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Krzywizna tensor (krzywizny) Riemanna R δ αβγ := Γ δ αβ,γ Γ δ αγ,β + Γ δ µγγ µ αβ Γ δ µβ Γ µ αγ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)

68 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Krzywizna tensor (krzywizny) Riemanna R δ αβγ := Γ δ αβ,γ Γ δ αγ,β + Γ δ µγγ µ αβ Γ δ µβ Γ µ αγ R δαβγ = g µδ R µ αβγ = 1 2 (g αβ,δγ + g δγ,αβ g αγ,δβ g δβ,αγ ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)

69 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Krzywizna tensor (krzywizny) Riemanna R δ αβγ := Γ δ αβ,γ Γ δ αγ,β + Γ δ µγγ µ αβ Γ δ µβ Γ µ αγ R δαβγ = g µδ R µ αβγ = 1 2 (g αβ,δγ + g δγ,αβ g αγ,δβ g δβ,αγ ) Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka, że Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie składowe tensora krzywizny R δαβγ w każdym punkcie przestrzeni. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126)

70 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)

71 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii 1 symetria par: R αβµν = R µναβ, 2 antysymetria indeksów: R αβµν = R βαµν = R αβνµ = R βανµ, 3 cykliczność: R αβµν + R ανβµ + R αµνβ = 0. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)

72 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii 1 symetria par: R αβµν = R µναβ, 2 antysymetria indeksów: R αβµν = R βαµν = R αβνµ = R βανµ, 3 cykliczność: R αβµν + R ανβµ + R αµνβ = 0. 4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N 2 (N 2 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)

73 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii 1 symetria par: R αβµν = R µναβ, 2 antysymetria indeksów: R αβµν = R βαµν = R αβνµ = R βανµ, 3 cykliczność: R αβµν + R ανβµ + R αµνβ = 0. 4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N 2 (N 2 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny. 5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymi pochodne. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)

74 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii 1 symetria par: R αβµν = R µναβ, 2 antysymetria indeksów: R αβµν = R βαµν = R αβνµ = R βανµ, 3 cykliczność: R αβµν + R ανβµ + R αµνβ = 0. 4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N 2 (N 2 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny. 5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymi pochodne. Tensor Ricciego R αβ := g µν R µανβ = R ν ανβ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)

75 Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii 1 symetria par: R αβµν = R µναβ, 2 antysymetria indeksów: R αβµν = R βαµν = R αβνµ = R βανµ, 3 cykliczność: R αβµν + R ανβµ + R αµνβ = 0. 4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N 2 (N 2 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny. 5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymi pochodne. Tensor Ricciego R αβ := g µν R µανβ = R ν ανβ skalar krzywizny R = g µν R µν Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126)

76 Tensor energii-pędu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)

77 Tensor energii-pędu Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariację tensora metrycznego g αβ g αβ + δg αβ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)

78 Tensor energii-pędu Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariację tensora metrycznego g αβ g αβ + δg αβ Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii gęstość energii T αβ = c gęstość wektora pędu 1/c strumień energii przez powierzchnię prostopadłą do e k tensor napięć = strumienie składowych wektora pędu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)

79 Tensor energii-pędu Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariację tensora metrycznego g αβ g αβ + δg αβ Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii gęstość energii T αβ = c gęstość wektora pędu 1/c strumień energii przez powierzchnię prostopadłą do e k tensor napięć = strumienie składowych wektora pędu T α0 = c dpα dv, Tαk = dpα dtds k Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126)

80 Tensor energii-pędu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)

81 Tensor energii-pędu dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), u α = [c, v], p α = [E/c, p] ρ 0 gęstość (masy) pyłu, T αβ = ρ 0 u α u β, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)

82 Tensor energii-pędu dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), u α = [c, v], p α = [E/c, p] ρ 0 gęstość (masy) pyłu, T αβ = ρ 0 u α u β, relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze ɛ gęstość energii T αβ = diag[ɛ,ɛ/3,ɛ/3,ɛ/3] Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)

83 Tensor energii-pędu dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), u α = [c, v], p α = [E/c, p] ρ 0 gęstość (masy) pyłu, T αβ = ρ 0 u α u β, relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze ɛ gęstość energii T αβ = diag[ɛ,ɛ/3,ɛ/3,ɛ/3] płyn nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa) T αβ = (p + ρ)u α u β pg αβ p ciśnienie, ρ gęstość energii (wszystkich postaci) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)

84 Tensor energii-pędu dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), u α = [c, v], p α = [E/c, p] ρ 0 gęstość (masy) pyłu, T αβ = ρ 0 u α u β, relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze ɛ gęstość energii T αβ = diag[ɛ,ɛ/3,ɛ/3,ɛ/3] płyn nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa) T αβ = (p + ρ)u α u β pg αβ p ciśnienie, ρ gęstość energii (wszystkich postaci) dla pola elektromagnetycznego i innych pól Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126)

85 Własności tensora energii-pędu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)

86 Własności tensora energii-pędu Symetria T αβ = T βα Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)

87 Własności tensora energii-pędu Symetria T αβ = T βα Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na (infinitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni x µ x µ + ξ µ to znika czterodywergencja tensora energii pędu T µν ;ν = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)

88 Własności tensora energii-pędu Symetria T αβ = T βα Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na (infinitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni x µ x µ + ξ µ to znika czterodywergencja tensora energii pędu T µν ;ν = 0 Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noether dla pola grawitacyjnego. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126)

89 Tensor energii-pędu Przykład: Niech T αβ = ρu α u β Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)

90 Tensor energii-pędu Przykład: Niech T αβ = ρu α u β ( ρ ) T α0 ;α = c(ρ,αu α + ρu α ;α) = c t + (ρ v) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)

91 Tensor energii-pędu Przykład: Równanie ciągłości Niech T αβ = ρu α u β ( ρ ) T α0 ;α = c(ρ,αu α + ρu α ;α) = c t + (ρ v) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)

92 Tensor energii-pędu Przykład: Równanie ciągłości Niech T αβ = ρu α u β ( ρ ) T α0 ;α = c(ρ,αu α + ρu α ;α) = c t + (ρ v) T αβ ;α = (ρuα u β ) ;α = ρu α u β ;α = ρ ( v t + ( v ) v ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)

93 Tensor energii-pędu Przykład: Równanie ciągłości Niech T αβ = ρu α u β ( ρ ) T α0 ;α = c(ρ,αu α + ρu α ;α) = c t + (ρ v) T αβ ;α = (ρuα u β ) ;α = ρu α u β ;α Równanie Eulera = ρ ( v t + ( v ) v ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126)

94 Równanie Einsteina Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)

95 Równanie Einsteina Geometria czasoprzestrzeni rozkład i ruch materii oraz energii Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)

96 Równanie Einsteina Geometria czasoprzestrzeni rozkład i ruch materii oraz energii R µν 1 2 Rg µν = κt µν Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)

97 Równanie Einsteina Geometria czasoprzestrzeni rozkład i ruch materii oraz energii R µν 1 2 Rg µν = κt µν lub ( R µν = κ T µν 1 ) 2 g µνt, T = g αβ T αβ. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)

98 Równanie Einsteina Geometria czasoprzestrzeni rozkład i ruch materii oraz energii R µν 1 2 Rg µν = κt µν lub ( R µν = κ T µν 1 ) 2 g µνt, T = g αβ T αβ. Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć κ = 8πG c 4 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)

99 Równanie Einsteina Geometria czasoprzestrzeni rozkład i ruch materii oraz energii R µν 1 2 Rg µν = κt µν lub ( R µν = κ T µν 1 ) 2 g µνt, T = g αβ T αβ. Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć κ = 8πG c 4 Ogólniej dopuszczalna jest postać R µν 1 2 Rg µν + Λg µν = κt µν gdzie Λ stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejaw ciemnej energii (?) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126)

100 Granica newtonowska Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)

101 Granica newtonowska Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. v c Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)

102 Granica newtonowska Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. v c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn. g αβ = η αβ + h αβ, h αβ 1, h i j h 00 g αβ = η αβ h αβ, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)

103 Granica newtonowska Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. v c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn. g αβ = η αβ + h αβ, h αβ 1, h i j h 00 g αβ = η αβ h αβ, 3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu η αβ oraz η αβ. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)

104 Granica newtonowska Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. v c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn. g αβ = η αβ + h αβ, h αβ 1, h i j h 00 g αβ = η αβ h αβ, 3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu η αβ oraz η αβ. 4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ich pochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)

105 Granica newtonowska Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. v c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn. g αβ = η αβ + h αβ, h αβ 1, h i j h 00 g αβ = η αβ h αβ, 3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu η αβ oraz η αβ. 4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ich pochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych. Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla fal grawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastowe oddziaływanie pola grawitacyjnego. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126)

106 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej Jaki jest sens fizyczny wielkości h αβ? Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)

107 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej Jaki jest sens fizyczny wielkości h αβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej d 2 x µ dτ 2 + Γ µ dx 0 dx 0 00 dτ dτ +... = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)

108 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej Jaki jest sens fizyczny wielkości h αβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej d 2 x µ dτ 2 + Γ µ dx 0 dx 0 00 dτ dτ +... = 0 Γ µ 00 = 1 2 gνµ (g 0ν,0 + g 0,ν,0 g 00,ν ) 1 2 gνµ g 00,ν Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)

109 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej Jaki jest sens fizyczny wielkości h αβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej d 2 x µ dτ 2 + Γ µ dx 0 dx 0 00 dτ dτ +... = 0 Γ µ 00 = 1 2 gνµ (g 0ν,0 + g 0,ν,0 g 00,ν ) 1 2 gνµ g 00,ν składowa 0 równania geodezyjnej c d2 t dτ (ηk0 + h k0 ) (η 00 + h 00 ) x k c 2( dt ) 2 d 2 t +... = 0 = dτ dτ 2 = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)

110 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej Jaki jest sens fizyczny wielkości h αβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej d 2 x µ dτ 2 + Γ µ dx 0 dx 0 00 dτ dτ +... = 0 Γ µ 00 = 1 2 gνµ (g 0ν,0 + g 0,ν,0 g 00,ν ) 1 2 gνµ g 00,ν składowa 0 równania geodezyjnej c d2 t dτ (ηk0 + h k0 ) (η 00 + h 00 ) x k c 2( dt ) 2 d 2 t +... = 0 = dτ dτ 2 = 0 składowa j równania geodezyjnej d 2 x j dτ (ηk j + h k j ) (η 00 + h 00 ) x k c 2( dt ) = 0 dτ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126)

111 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej dla η αβ = [1, 1, 1, 1] mamy η jk h 00 x k = h 00, j = 1, 2, 3. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)

112 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej dla η αβ = [1, 1, 1, 1] mamy η jk h 00 x k = h 00, j = 1, 2, 3. ostatecznie d 2 r dt 2 + c2 2 h = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)

113 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej dla η αβ = [1, 1, 1, 1] mamy η jk h 00 x k = h 00, j = 1, 2, 3. ostatecznie d 2 r dt 2 + c2 2 h = 0 h 00 = 2V c 2 + const gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym oraz const = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)

114 Granica newtonowska równania linii geodezyjnej dla η αβ = [1, 1, 1, 1] mamy η jk h 00 x k = h 00, j = 1, 2, 3. ostatecznie d 2 r dt 2 + c2 2 h = 0 h 00 = 2V c 2 + const gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym oraz const = 0 g 00 = 1 + 2V c 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126)

115 Granica newtonowska równania pola Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)

116 Granica newtonowska równania pola Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego R δαβγ = 1 2 (g αβ,δγ + g δγ,αβ g αγ,δβ g δβ,αγ ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)

117 Granica newtonowska równania pola Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego R δαβγ = 1 2 (g αβ,δγ + g δγ,αβ g αγ,δβ g δβ,αγ ) R αγ 1 ) (h α,δγ δ 2 + hβ γ,αβ h αγ h,αγ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)

118 Granica newtonowska równania pola Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego R δαβγ = 1 2 (g αβ,δγ + g δγ,αβ g αγ,δβ g δβ,αγ ) R αγ 1 ) (h α,δγ δ 2 + hβ γ,αβ h αγ h,αγ R 00 1 ) (h δ 0,0γ 2 + hβ 0,0β h 00 h, h 00 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)

119 Granica newtonowska równania pola Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego R δαβγ = 1 2 (g αβ,δγ + g δγ,αβ g αγ,δβ g δβ,αγ ) R αγ 1 ) (h α,δγ δ 2 + hβ γ,αβ h αγ h,αγ R 00 1 ) (h δ 0,0γ 2 + hβ 0,0β h 00 h, h 00 Mamy dla tensora energii pędu T µν = ρu µ u ν T = T µ µ = ρu µ u µ = ρc 2[ 1 v2 ] c 2 ρc 2 ( κ T 00 1 ) 2 η 00T = 1 2 κρc2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)

120 Granica newtonowska równania pola Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego R δαβγ = 1 2 (g αβ,δγ + g δγ,αβ g αγ,δβ g δβ,αγ ) R αγ 1 ) (h α,δγ δ 2 + hβ γ,αβ h αγ h,αγ R 00 1 ) (h δ 0,0γ 2 + hβ 0,0β h 00 h, h 00 Mamy dla tensora energii pędu T µν = ρu µ u ν T = T µ µ = ρu µ u µ = ρc 2[ 1 v2 ] c 2 ρc 2 ( κ T 00 1 ) 2 η 00T = 1 2 κρc2 Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona 2 V = 4πGρ 2 h 00 = κρc 2 = κ = 8πG c 4 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 28(126)

121 Granica newtonowska równania pola Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)

122 Granica newtonowska równania pola Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)

123 Granica newtonowska równania pola Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych 1 ) (h µ 2 α,µβ + hµ β,αµ h αβ h,αβ = 8πG ( c 4 T αβ 1 ) 2 η αβt. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)

124 Granica newtonowska równania pola Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych 1 ) (h µ 2 α,µβ + hµ β,αµ h αβ h,αβ = 8πG ( c 4 T αβ 1 ) 2 η αβt. Wprowadźmy h α β := hα β 1 2 hδα β, h = hµ µ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)

125 Granica newtonowska równania pola Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych 1 ) (h µ 2 α,µβ + hµ β,αµ h αβ h,αβ = 8πG ( c 4 T αβ 1 ) 2 η αβt. Wprowadźmy h α β := hα β 1 2 hδα β, h = hµ µ wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym h α β,α = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)

126 Granica newtonowska równania pola Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych 1 ) (h µ 2 α,µβ + hµ β,αµ h αβ h,αβ = 8πG ( c 4 T αβ 1 ) 2 η αβt. Wprowadźmy h α β := hα β 1 2 hδα β, h = hµ µ wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym h α β,α = 0 Wówczas R αβ 1 2 h αβ R αβ 1 2 η αβr = 1 2 h αβ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)

127 Granica newtonowska równania pola Rezygnujemy z założenia o zaniedbaniu pochodnych czasowych 1 ) (h µ 2 α,µβ + hµ β,αµ h αβ h,αβ = 8πG ( c 4 T αβ 1 ) 2 η αβt. Wprowadźmy h α β := hα β 1 2 hδα β, h = hµ µ wybierzmy cechowanie Lorentza, w którym h α β,α = 0 Wówczas R αβ 1 2 h αβ R αβ 1 2 η αβr = 1 2 h αβ Ostatecznie otrzymujemy równanie falowe postaci h αβ = 16πG c 4 T αβ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 29(126)

128 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

129 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 10 równań z uwagi na symetryczność tensorów Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

130 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 10 równań z uwagi na symetryczność tensorów 4 równania cechowania Lorentza h αβ,α = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

131 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 10 równań z uwagi na symetryczność tensorów 4 równania cechowania Lorentza h αβ,α = 0 warunku cechowania nadal nie zmienia transformacja x µ x µ + ξ µ, o ile ξ µ = 0 (4 warunki) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

132 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 10 równań z uwagi na symetryczność tensorów 4 równania cechowania Lorentza h αβ,α = 0 warunku cechowania nadal nie zmienia transformacja x µ x µ + ξ µ, o ile ξ µ = 0 (4 warunki) cechowanie TT (transverse-traceless gauge) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

133 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 10 równań z uwagi na symetryczność tensorów 4 równania cechowania Lorentza h αβ,α = 0 warunku cechowania nadal nie zmienia transformacja x µ x µ + ξ µ, o ile ξ µ = 0 (4 warunki) cechowanie TT (transverse-traceless gauge) 1 można wybrać jedno ξ µ tak, aby h = 0, wówczas h αβ = h αβ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

134 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 10 równań z uwagi na symetryczność tensorów 4 równania cechowania Lorentza h αβ,α = 0 warunku cechowania nadal nie zmienia transformacja x µ x µ + ξ µ, o ile ξ µ = 0 (4 warunki) cechowanie TT (transverse-traceless gauge) 1 można wybrać jedno ξ µ tak, aby h = 0, wówczas h αβ = h αβ 2 można wybrać pozostałe ξ µ tak, aby h k0 = 0, wówczas 0 = h αβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0,k = h00,0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

135 Równanie falowe poza źródłami h αβ = 0 10 równań z uwagi na symetryczność tensorów 4 równania cechowania Lorentza h αβ,α = 0 warunku cechowania nadal nie zmienia transformacja x µ x µ + ξ µ, o ile ξ µ = 0 (4 warunki) cechowanie TT (transverse-traceless gauge) 1 można wybrać jedno ξ µ tak, aby h = 0, wówczas h αβ = h αβ 2 można wybrać pozostałe ξ µ tak, aby h k0 = 0, wówczas 0 = h αβ,α = hαβ,α = h00,0 + hk0,k = h00,0 3 można wybrać h 00 = 0 i wówczas h α0 = 0, h = 0, h jk, j = 0. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 30(126)

136 Rozwiązanie w postaci fali płaskiej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)

137 Rozwiązanie w postaci fali płaskiej Rozwiązaniem h αβ = 0 jest h αβ = A αβ cos(k σ x σ ), gdzie k σ = [ω/c, k], kσ k σ = 0, A αβ tensor polaryzacji. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)

138 Rozwiązanie w postaci fali płaskiej Rozwiązaniem h αβ = 0 jest h αβ = A αβ cos(k σ x σ ), gdzie k σ = [ω/c, k], kσ k σ = 0, A αβ tensor polaryzacji. fala jest poprzeczna: z h αβ,α = 0 wynika A αβ k α = 0. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)

139 Rozwiązanie w postaci fali płaskiej Rozwiązaniem h αβ = 0 jest h αβ = A αβ cos(k σ x σ ), gdzie k σ = [ω/c, k], kσ k σ = 0, A αβ tensor polaryzacji. fala jest poprzeczna: z h αβ,α = 0 wynika A αβ k α = 0. odpowiedni wybór stałych C α w ξ α = C α sin(k σ x σ ) pozwala wybrać cechowanie TT h α0 TT = 0, htt = 0, ( h TT ) jk, j = 0. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 31(126)

140 Polaryzacje plus i cross Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)

141 Polaryzacje plus i cross Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)

142 Polaryzacje plus i cross Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborom macierzy E + i j oraz E i j w postaci Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)

143 Polaryzacje plus i cross Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborom macierzy E + i j oraz E i j w postaci E + i j = E i j = i j i j, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)

144 Polaryzacje plus i cross Są dwie niezależne polaryzacje fali grawitacyjnej w próżni Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi z odpowiadają one wyborom macierzy E + i j oraz E i j w postaci Wówczas E + i j = E i j = h TT i j (ct z) = E + i j h +(ct z) + E i j h (ct z) i j i j, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 32(126)

145 Fala o dowolnym kierunku propagacji Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 33(126)

146 Fala o dowolnym kierunku propagacji Niech kierunek propagacji fali wyznacza wektor n = k/ k, wówczas h TT i j ( n) = Λ i j,kl ( n)h kl gdzie Λ jest projektorem na kierunek n, tzn. Λ i j,kl = P ik P jl 1 2 P i jp kl, P i j ( n) = δ i j n i n j Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 33(126)

147 Dwie niezależne składowe tensora krzywizny Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)

148 Dwie niezależne składowe tensora krzywizny w granicy newtonowskiej R 0i0 j 1 2 (h i0,0 j + h 0 j,i0 h i j,00 h 00,i j ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)

149 Dwie niezależne składowe tensora krzywizny w granicy newtonowskiej R 0i0 j 1 2 (h i0,0 j + h 0 j,i0 h i j,00 h 00,i j ) w cechowaniu TT R 0i0 j 1 TT h i j,00 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)

150 Dwie niezależne składowe tensora krzywizny w granicy newtonowskiej R 0i0 j 1 2 (h i0,0 j + h 0 j,i0 h i j,00 h 00,i j ) w cechowaniu TT R 0i0 j 1 TT h i j,00 2 tylko dwie składowe tensora krzywizny są niezależne R 0101 = R 0202, R 0201 = R 0102 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 34(126)

151 Rozwinięcie post-newtonowskie Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)

152 Rozwinięcie post-newtonowskie równanie Einsteina w próżni G µν [g µν ] := R µν 1 2 Rg µν = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)

153 Rozwinięcie post-newtonowskie równanie Einsteina w próżni G µν [g µν ] := R µν 1 2 Rg µν = 0 rozwinięcie względem małego parametru ɛ g µν = η µν + ɛh (1) µν + ɛ 2 h (2) µν +... Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)

154 Rozwinięcie post-newtonowskie równanie Einsteina w próżni G µν [g µν ] := R µν 1 2 Rg µν = 0 rozwinięcie względem małego parametru ɛ g µν = η µν + ɛh (1) µν + ɛ 2 h (2) µν +... G µν = G (0) µν + ɛg (1) µν + ɛ 2 G (2) µν +... Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)

155 Rozwinięcie post-newtonowskie równanie Einsteina w próżni G µν [g µν ] := R µν 1 2 Rg µν = 0 rozwinięcie względem małego parametru ɛ g µν = η µν + ɛh (1) µν + ɛ 2 h (2) µν +... G µν = G (0) µν + ɛg (1) µν + ɛ 2 G (2) µν +... G (1) µν [h (1) µν ] = 0, G (1) µν [h (2) µν ] = G (2) µν [h µν (1) ] } {{ } źródło Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 35(126)

156 Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)

157 Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wiele długości fali grawitacyjnej Tµν GW = c4 G µν (2) [h (1) µν ] 8πG Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)

158 Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wiele długości fali grawitacyjnej Tµν GW = c4 G µν (2) [h (1) µν ] 8πG Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ɛ 2 T GW µν = c4 32πG hi j TT,µ htt i j,ν Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)

159 Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wiele długości fali grawitacyjnej Tµν GW = c4 G µν (2) [h (1) µν ] 8πG Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ɛ 2 T GW µν = c4 32πG hi j TT,µ htt i j,ν Przypadek fali płaskiej h TT i j (ct z) = E + i j h +(ct z) + E i j h (ct z) T GW 00 = c4 16πG ( 0h + ) 2 + ( 0 h ) 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)

160 Tensor energii-pędu fali grawitacyjnej Uśrednienie po obszarze dostatecznie dużym, aby zawierał wiele długości fali grawitacyjnej Tµν GW = c4 G µν (2) [h (1) µν ] 8πG Isaacson w 1968 roku pokazał, że z dokładnością do ɛ 2 T GW µν = c4 32πG hi j TT,µ htt i j,ν Przypadek fali płaskiej h TT i j (ct z) = E + i j h +(ct z) + E i j h (ct z) T GW 00 = c4 16πG ( 0h + ) 2 + ( 0 h ) 2 Przypadek fali monochromatycznej o częstości ω T GW 00 = c4 ω 2 32πG (A2 + + A 2 ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 36(126)

161 Skutki przejścia fali grawitacyjnej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)

162 Skutki przejścia fali grawitacyjnej Przyspieszenie pływowe a = a( r + ξ) a( r ) = ( ξ ) a( r ) = ξ k V,km e m Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)

163 Skutki przejścia fali grawitacyjnej Przyspieszenie pływowe a = a( r + ξ) a( r ) = ( ξ ) a( r ) = ξ k V,km e m Tensor pływów ζ km = V,km a m = ξ k ζ km ( r) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)

164 Skutki przejścia fali grawitacyjnej Przyspieszenie pływowe a = a( r + ξ) a( r ) = ( ξ ) a( r ) = ξ k V,km e m Tensor pływów ζ km = V,km a m = ξ k ζ km ( r) Przykład: Dla potencjału newtonowskiego, oraz ξ = [0, 0, z], r = [0, 0, z] przy czym ζ i j ( r) = GM z r 5 (3x i x j δ i j r 2 ) a 1 = zζ 31, a 2 = zζ 32, a 3 = zζ 33 ζ(0, 0, z) = GM z z Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 37(126)

166 Skutki przejścia fali grawitacyjnej Przyspieszenie pływowe w OTW ζ i j = V,i j c2 2 h 00,i j c 2 R 0i0 j Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 38(126)

167 Skutki przejścia fali grawitacyjnej Przyspieszenie pływowe w OTW ζ i j = V,i j c2 2 h 00,i j c 2 R 0i0 j a k := ξ i ζ ik = c 2 ξ i R 0i0k Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 38(126)

168 Skutki przejścia fali grawitacyjnej Przyspieszenie pływowe w OTW ζ i j = V,i j c2 2 h 00,i j c 2 R 0i0 j a k := ξ i ζ ik = c 2 ξ i R 0i0k w przypadku płaskiej fali grawitacyjnej rozchodzącej się w kierunku z, R 0i0k = 1 2 h ik,00, zatem R 0101 = R 0202 = h + R 0102 = R 0201 = h Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 38(126)

170 Skutki przejścia fali grawitacyjnej przyspieszenie pływowe a 1 = c 2 R 0101 ξ 1 c 2 R 0201 ξ 2 = c2 2 (ξ h + + ξ h ) a 2 = c 2 R 0102 ξ 1 c 2 R 0202 ξ 2 = c2 2 (ξ h ξ h +) a 3 = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 39(126)

173 Źródła fali grawitacyjnej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)

174 Źródła fali grawitacyjnej Równanie falowe ze źródłem h αβ = 16πG c 4 T αβ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)

175 Źródła fali grawitacyjnej Równanie falowe ze źródłem h αβ = 16πG c 4 T αβ cechowanie Lorentza jest zgodne z warunkiem znikania (płaskiej) czterodywergencji tensora energii-pędu h µα,µ = 0 = T µα,µ = 0. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)

176 Źródła fali grawitacyjnej Równanie falowe ze źródłem h αβ = 16πG c 4 T αβ cechowanie Lorentza jest zgodne z warunkiem znikania (płaskiej) czterodywergencji tensora energii-pędu h µα,µ = 0 = T µα,µ = 0. Rozwiązaniem szczególnym równania falowego jest ( h αβ (x 0, r) = 4G T αβ x 0 r r, r ) c 4 r r d r S gdzie całkowanie przebiega po obszarze źródła, r jest odległością od źródła. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 40(126)

177 Skale odległości R λ r wielkość źródła typowa długość fali grawitacyjnej odległość do źródła Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)

178 Skale odległości R λ r Strefa daleka wielkość źródła typowa długość fali grawitacyjnej odległość do źródła R λ r Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)

179 Skale odległości R λ r Strefa daleka wielkość źródła typowa długość fali grawitacyjnej odległość do źródła R λ r Strefa bliska R r λ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)

180 Skale odległości R λ r Strefa daleka wielkość źródła typowa długość fali grawitacyjnej odległość do źródła R λ r Strefa bliska R r λ Obszar żródła Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 41(126)

181 Rozwiązane w strefie dalekiej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)

182 Rozwiązane w strefie dalekiej Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiej jest h αβ (x 0, r) 4G c 4 T αβ (x 0 r, r )d r r S Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)

183 Rozwiązane w strefie dalekiej Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiej jest h αβ (x 0, r) 4G c 4 T αβ (x 0 r, r )d r r S Wyznaczamy h i j. Rachunki prowadzą do wzoru h i j (x 0, r) 2G c 4 r 2 00 x i x j T 00 (x 0 r, r )d r S Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)

184 Rozwiązane w strefie dalekiej Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiej jest h αβ (x 0, r) 4G c 4 T αβ (x 0 r, r )d r r S Wyznaczamy h i j. Rachunki prowadzą do wzoru h i j (x 0, r) 2G c 4 r 2 00 x i x j T 00 (x 0 r, r )d r S Wprowadzamy tensor momentu kwadropulowego I i j (t ) := 1 c 2 x i x j T 00 (t, r )d r S Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)

185 Rozwiązane w strefie dalekiej Rozwiązaniem szczególnym równania falowego w strefie dalekiej jest h αβ (x 0, r) 4G c 4 T αβ (x 0 r, r )d r r S Wyznaczamy h i j. Rachunki prowadzą do wzoru h i j (x 0, r) 2G c 4 r 2 00 x i x j T 00 (x 0 r, r )d r S Wprowadzamy tensor momentu kwadropulowego I i j (t ) := 1 c 2 S x i x j T 00 (t, r )d r h i j (t, r) 2G c 4 r Ïi j (t r/c). Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 42(126)

186 Rozwiązanie TT w strefie dalekiej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 43(126)

187 Rozwiązanie TT w strefie dalekiej w cechowaniu TT wykorzystamy bezśladową postać tensora momentu kwadropulowego I- i j (t ) = 1 c 2 S ( x i x j 1 3 δi j r 2 )T 00 (t, r )d r Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 43(126)

188 Rozwiązanie TT w strefie dalekiej w cechowaniu TT wykorzystamy bezśladową postać tensora momentu kwadropulowego I- i j (t ) = 1 c 2 S ( x i x j 1 3 δi j r 2 )T 00 (t, r )d r h i j 2G TT (t, r) = c 4 r Ï- i j TT (t r/c), TT I- i j = Λ i j,kl I- kl Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 43(126)

189 Rozwiązane w strefie bliskiej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)

190 Rozwiązane w strefie bliskiej h αβ (x 0, r) = 4G c 4 S ( T αβ x 0 r r, r ) r r d r Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)

191 Rozwiązane w strefie bliskiej h αβ (x 0, r) = 4G c 4 S ( T αβ x 0 r r, r ) r r d r Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciu multipolowym (w różnych postaciach!) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)

192 Rozwiązane w strefie bliskiej h αβ (x 0, r) = 4G c 4 S ( T αβ x 0 r r, r ) r r d r Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciu multipolowym (w różnych postaciach!) Niech r = r n, wówczas r r r (1 n r ) r Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)

193 Rozwiązane w strefie bliskiej h αβ (x 0, r) = 4G c 4 S ( T αβ x 0 r r, r ) r r d r Rozwiązanie w strefie bliskiej opiera się na rozwinięciu multipolowym (w różnych postaciach!) Niech r = r n, wówczas r r r (1 n r ) r oraz T i j (t r r /c, r ) = T i j( n r t r/c , r ) c = T i j (t r/c, r ) + t T i j (t r/c, r n r ) + 1 c 2 2 ttt i j (t r/c, r ) ( n r ) 2 c Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 44(126)

194 Momenty tensora naprężeń Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)

195 Momenty tensora naprężeń M i j (t ) = M i j k (t ) = M i j kl (t ) = Rozwinięcie multipolowe S S S T i j (t, r )d r x k T i j (t, r )d r x k x l T i j (t, r )d r Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)

196 Momenty tensora naprężeń Rozwinięcie multipolowe M i j (t ) = M i j k (t ) = M i j kl (t ) = S S S T i j (t, r )d r x k T i j (t, r )d r x k x l T i j (t, r )d r h i j (t, r) = 4G [ c 4 M i j (t r/c) + n k r c Ṁi j k (t r/c) + 1 n k n ] l M i j kl 2 c 2 (t r/c) +... Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)

197 Momenty tensora naprężeń Rozwinięcie multipolowe M i j (t ) = M i j k (t ) = M i j kl (t ) = S S S T i j (t, r )d r x k T i j (t, r )d r x k x l T i j (t, r )d r h i j (t, r) = 4G [ c 4 M i j (t r/c) + n k r c Ṁi j k (t r/c) + 1 n k n ] l M i j kl 2 c 2 (t r/c) +... gdzie M i j = 1 2 Ïi j Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 45(126)

198 Rozwinięcie multipolowe Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 46(126)

199 Rozwinięcie multipolowe Momenty tensora naprężeń można wyrazić przez prostsze wielkości dzięki prawom zachowania T αβ,α = 0, np. Ṁ i j k = 1... I i jk ( P i jk + P k i j + P j ki ) gdzie P i jk (t) = 1 T 0i (t r/c, r )x j x k d r c S I i jk = 1 c 2 T 00 (t r/c, r )x i x j x k d r S Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 46(126)

200 Przykłady. Obracająca się niejednorodna bryła Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 47(126)

201 Przykłady. Obracająca się niejednorodna bryła Obracający się pręt o masie M = 1 kg, długości l = 1 m z prędkością kątową ω = 1 s 1 produkuje deformację czasoprzestrzeni na poziomie h 2G c 4 r Ï GMl2 ω 3 πc Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 47(126)

202 Przykłady. Obracająca się niejednorodna bryła Obracający się pręt o masie M = 1 kg, długości l = 1 m z prędkością kątową ω = 1 s 1 produkuje deformację czasoprzestrzeni na poziomie h 2G c 4 r Ï GMl2 ω 3 πc Obracająca się elipsoida trójosiowa, w chwili t = 0 układ współrzędnych orientujemy w kierunku osi głównych, obrót wokół osi Z z częstością ω gdzie T 00 ( r, t) = c 2 ρ(r z (ωt) r) R z (φ) = jest macierzą obrotu wokół osi Z cos φ sin φ 0 sin φ cos φ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 47(126)

203 Obracająca się bryła Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 48(126)

204 Obracająca się bryła I jest wówczas tensorem bezwładności oraz gdzie I(t) = R z (ωt)i 0 R 1 z (ωt) I 0 = I I I 3 jest początkowym tensorem momentu bezwładności Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 48(126)

205 Obracająca się bryła I jest wówczas tensorem bezwładności oraz gdzie I(t) = R z (ωt)i 0 R 1 z (ωt) I 0 = I I I 3 jest początkowym tensorem momentu bezwładności Ostatecznie I(t) = 1 2 I εi 3 cos 2ωt 1 2 εi 3 sin 2ωt εi 3 sin 2ωt 1 2 I 1 2 εi 3 cos 2ωt I 3 gdzie I = I 1 + I 2, ε = (I 1 I 2 )/I 3 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 48(126)

206 Deformacja metryki Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)

207 Deformacja metryki Tensor Ï(t) = 2ω 2 εi 3 cos 2ωt sin 2ωt 0 sin 2ωt cos 2ωt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)

208 Deformacja metryki Tensor Ï(t) = 2ω 2 εi 3 cos 2ωt sin 2ωt 0 sin 2ωt cos 2ωt jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)

209 Deformacja metryki Tensor Ï(t) = 2ω 2 εi 3 cos 2ωt sin 2ωt 0 sin 2ωt cos 2ωt jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z, h TT (t, z) = 4Gω 2 cos 2ω(t z/c) sin 2ω(t z/c) 0 εi 3 c 4 sin 2ω(t z/c) cos 2ω(t z/c) 0 z Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)

210 Deformacja metryki Tensor Ï(t) = 2ω 2 εi 3 cos 2ωt sin 2ωt 0 sin 2ωt cos 2ωt jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z, h TT (t, z) = 4Gω 2 cos 2ω(t z/c) sin 2ω(t z/c) 0 εi 3 c 4 sin 2ω(t z/c) cos 2ω(t z/c) 0 z Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstość obrotów! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)

211 Deformacja metryki Tensor Ï(t) = 2ω 2 εi 3 cos 2ωt sin 2ωt 0 sin 2ωt cos 2ωt jest bezśladowy i prostopadły do kierunku osi propagacji Z, h TT (t, z) = 4Gω 2 cos 2ω(t z/c) sin 2ω(t z/c) 0 εi 3 c 4 sin 2ω(t z/c) cos 2ω(t z/c) 0 z Częstość fali grawitacyjnej jest dwukrotnie większa niż częstość obrotów! Strumień energii przez powierzchnię ds prostopadłą do osi Z de dtds = ctgw 03 = ct00 GW = c3 16πG ḣ2 + + ḣ2 = 4Gε2 I3 2 πc 5 z 2 ω6 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 49(126)

212 Rozkład kątowy fali grawitacyjnej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)

213 Rozkład kątowy fali grawitacyjnej Niech fala rozchodzi się w kierunku n = [sinθ sin φ, sinθ cos φ, cosθ] Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)

214 Rozkład kątowy fali grawitacyjnej Niech fala rozchodzi się w kierunku n = [sinθ sin φ, sinθ cos φ, cosθ] h TT i j ( n, t) = 2G c 4 r Λ i j,kl( n)ï kl (t r/c) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)

215 Rozkład kątowy fali grawitacyjnej Niech fala rozchodzi się w kierunku n = [sinθ sin φ, sinθ cos φ, cosθ] h TT i j ( n, t) = 2G c 4 r Λ i j,kl( n)ï kl (t r/c) Podstawienie Λ i j,kl = P ik P jl 1 2 P i jp kl prowadzi do h TT ( n, t) = 2G ( c 4 PÏ(t r/c)p 1 ) tr(pï(t r/c))p, P r 2 i j = δ i j n i n j. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 50(126)

216 Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)

217 Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X Niech n będzie wzdłuż osi X, wówczas ( PÏP 1 ) tr(pï)p = 0 (Ï 22 Ï 33 )/2 Ï 23 0 Ï 23 (Ï 22 Ï 33 )/2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)

218 Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X Niech n będzie wzdłuż osi X, wówczas ( PÏP 1 ) tr(pï)p = 0 (Ï 22 Ï 33 )/2 Ï 23 0 Ï 23 (Ï 22 Ï 33 )/2 h + = 2G Ï 22 c 4 r 2 = 2GεI 3 c 2 r ω2 cos 2ωt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)

219 Przykład: Promieniowanie wzdłuż osi X Niech n będzie wzdłuż osi X, wówczas ( PÏP 1 ) tr(pï)p = 0 (Ï 22 Ï 33 )/2 Ï 23 0 Ï 23 (Ï 22 Ï 33 )/2 h + = 2G Ï 22 c 4 r 2 = 2GεI 3 c 2 r ω2 cos 2ωt h = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 51(126)

220 Moc promieniowania źródła Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)

221 Moc promieniowania źródła gdzie L GW = de dt = c3 r 2 32πG ḣtt i j ḣ i j TT dω, sfera ḣ TT i j = 2G... c 4 I i TT j = 2G r c 4 r Λ i j,kl( n)... I kl Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)

222 Moc promieniowania źródła gdzie Wówczas gdzie... I i TT j L GW = de dt = c3 r 2 32πG ḣtt i j ḣ i j TT dω, sfera ḣ TT i j L GW = = 2G... c 4 I i TT j = 2G r c 4 r Λ i j,kl( n)... I kl G 8πc 5... sfera I i TT j... I i j TT dω,... I i j TT = tr[p(ω)... I P(Ω)... I ] 1 2 (tr[p(ω)... I ]]) 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)

223 Moc promieniowania źródła gdzie Wówczas gdzie... I i TT j L GW = de dt = c3 r 2 32πG ḣtt i j ḣ i j TT dω, sfera ḣ TT i j L GW = = 2G... c 4 I i TT j = 2G r c 4 r Λ i j,kl( n)... I kl G 8πc 5... sfera I i TT j... I i j TT dω,... I i j TT = tr[p(ω)... I P(Ω)... I ] 1 2 (tr[p(ω)... I ]]) 2 Całkowanie po sferze daje... I i TT... j I i j TT dω = 8π 5... I kl... I kl 1 3 (... I k k) 2 sfera Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)

224 Moc promieniowania źródła gdzie Wówczas gdzie... I i TT j L GW = de dt = c3 r 2 32πG ḣtt i j ḣ i j TT dω, sfera ḣ TT i j L GW = = 2G... c 4 I i TT j = 2G r c 4 r Λ i j,kl( n)... I kl G 8πc 5... sfera I i TT j... I i j TT dω,... I i j TT = tr[p(ω)... I P(Ω)... I ] 1 2 (tr[p(ω)... I ]]) 2 Całkowanie po sferze daje... I i TT... j I i j TT dω = 8π 5... I kl... I kl 1 3 (... I k k) 2 Ostatecznie sfera L GW = G 5c 5... I kl... I kl 1 3 (... I k k) 2 = G 5c 5... I- kl... I- kl Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 52(126)

225 Przykład: Wirująca niejednorodna elipsoida Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 53(126)

226 Przykład: Wirująca niejednorodna elipsoida... I (t) = 4ω 3 εi 3 sin 2ωt cos 2ωt 0 cos 2ωt sin 2ωt 0 } 0 {{ 0 0 } B Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 53(126)

227 Przykład: Wirująca niejednorodna elipsoida... I (t) = 4ω 3 εi 3 sin 2ωt cos 2ωt 0 cos 2ωt sin 2ωt 0 } 0 {{ 0 0 } B L GW = G 5c 5 (4ω3 εi 3 ) 2 tr(b 2 ) = 32 G 5 c 5ε2 I3 2 ω6 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 53(126)

228 Przykład: Wirowanie z precesją Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 54(126)

230 Przykład: Wirowanie z precesją I 1 ( θ cos ψ + ϕ sinθ sin ψ) = J sinθ sin ψ = J 1 I 2 ( θ sin ψ + ϕ sinθ cos ψ) = J sinθ cos ψ = J 2 I 3 ( ψ + ϕ cosθ) = J cosθ = J 3 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 54(126)

232 Przykład: Wirowanie z precesją Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)

233 Przykład: Wirowanie z precesją Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną W układzie inercjalnym xyz moment pędu J = [0, 0, J] Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)

234 Przykład: Wirowanie z precesją Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną W układzie inercjalnym xyz moment pędu J = [0, 0, J] W układzie inercjalnym x y z moment pędu J = [J 1, J 2, J 3 ] Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)

235 Przykład: Wirowanie z precesją Oś rotacji nie pokrywa się z osią główną W układzie inercjalnym xyz moment pędu J = [0, 0, J] W układzie inercjalnym x y z moment pędu J = [J 1, J 2, J 3 ] Przy I 1 = I 2 = I 1 θ = 0 2 oś z obraca się ze stałą prędkością kątową ϕ = Ω = J/I wokół kierunku J 3 precesja z prędkością kątową Ω p Ω Ω p = ψ = εω cosθ = const., ε = I I 3 1 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 55(126)

237 Przykład: Wirowanie z precesją... I = εi 3 Ω 3 sinθ 4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt cosθ cos Ωt 4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt cosθ sin Ωt cosθ cos Ωt cosθ sin Ωt 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)

238 Przykład: Wirowanie z precesją... I = εi 3 Ω 3 sinθ 4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt cosθ cos Ωt 4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt cosθ sin Ωt cosθ cos Ωt cosθ sin Ωt 0 L GW = G 5c 5 (εi 3Ω 3 sinθ) 2 tr B 2 tr B 2 = 2(cos 2 θ + 16 sin 2 θ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)

239 Przykład: Wirowanie z precesją... I = εi 3 Ω 3 sinθ 4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt cosθ cos Ωt 4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt cosθ sin Ωt cosθ cos Ωt cosθ sin Ωt 0 L GW = G 5c 5 (εi 3Ω 3 sinθ) 2 tr B 2 tr B 2 = 2(cos 2 θ + 16 sin 2 θ) fala grawitacyjna ma dwie charakterystyczne częstości ω = 2Ω oraz ω = Ω Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)

240 Przykład: Wirowanie z precesją... I = εi 3 Ω 3 sinθ 4 sinθ sin 2Ωt 4 sinθ cos 2Ωt cosθ cos Ωt 4 sinθ cos 2Ωt 4 sinθ sin 2Ωt cosθ sin Ωt cosθ cos Ωt cosθ sin Ωt 0 L GW = G 5c 5 (εi 3Ω 3 sinθ) 2 tr B 2 tr B 2 = 2(cos 2 θ + 16 sin 2 θ) fala grawitacyjna ma dwie charakterystyczne częstości ω = 2Ω oraz ω = Ω w ogólności, gdy I 1 = I 2 = I 3 są dwie rodziny charakterystycznych częstości ω = 2Ω + kω p, ω = Ω + (2k + 1)Ω p Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 56(126)

241 Radialne spadanie w czarną dziurę Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)

242 Radialne spadanie w czarną dziurę ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z ż(0) = 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)

243 Radialne spadanie w czarną dziurę ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z ż(0) = 0 opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)

244 Radialne spadanie w czarną dziurę ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z ż(0) = 0 opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji 1 2 mż2 GMm = 0 z Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)

245 Radialne spadanie w czarną dziurę ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z ż(0) = 0 opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji 1 2 mż2 GMm = 0 z ( 2GM ) 1/2 ( RS ) 1/2 ż = = c z z Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)

246 Radialne spadanie w czarną dziurę ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z ż(0) = 0 opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji 1 2 mż2 GMm = 0 z ( 2GM ) 1/2 ( RS ) 1/2 ż = = c z z nieznikającą składową tensora bezwładności jest I 33 = mz 2 L GW = G 5c 5... I I = 2G 15c 5... I 2 33 = 2G 15 m2 cr 3 S z 5 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)

247 Radialne spadanie w czarną dziurę ciało o masie m rozpoczyna spadek z nieskończoności z ż(0) = 0 opis newtonowski w zlinearyzowanej teorii grawitacji 1 2 mż2 GMm = 0 z ( 2GM ) 1/2 ( RS ) 1/2 ż = = c z z nieznikającą składową tensora bezwładności jest I 33 = mz 2 L GW = G 5c 5... I I = 2G 15c 5... I 2 33 = 2G 15 m2 cr 3 S z 5 ilość wypromieniowanej energii do osiągnięcia punktu z = r E = 2 m ( RS ) 7/2 105 mc2 M r Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 57(126)

248 Radialne spadanie i siły pływowe Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)

249 Radialne spadanie i siły pływowe Siła pływowa F p = GMm/2 (r a) 2 GMm/2 (r + a) 2 2GMm a r 3 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)

250 Radialne spadanie i siły pływowe Siła pływowa F p = GMm/2 (r a) 2 GMm/2 (r + a) 2 2GMm a r 3 siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2 F g = G(m/2)2 (2a) 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)

251 Radialne spadanie i siły pływowe Siła pływowa F p = GMm/2 (r a) 2 GMm/2 (r + a) 2 2GMm a r 3 siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2 F g = G(m/2)2 (2a) 2 obiekt ulegnie rozerwaniu pod wpływem sił pływowych jeśli F p > F g r < η 3 M/ma r p gdzie η = w tym uproszczonym modelu. W ogólności η zależy od własności sprężystych obiektu. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)

252 Radialne spadanie i siły pływowe Siła pływowa F p = GMm/2 (r a) 2 GMm/2 (r + a) 2 2GMm a r 3 siła wzajemnego oddziaływania dwóch mas m/2 F g = G(m/2)2 (2a) 2 obiekt ulegnie rozerwaniu pod wpływem sił pływowych jeśli F p > F g r < η 3 M/ma r p gdzie η = w tym uproszczonym modelu. W ogólności η zależy od własności sprężystych obiektu. Rozwiązanie równania spadku 2 3 z3/2 = cr 1/2 S (t t 0) z3/2 0, z(t 0 ) = z 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 58(126)

253 Deformacja spadającego obiektu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)

254 Deformacja spadającego obiektu Niech w t 0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz 0 = 2a mija odległość r p. Wariacja względem z 0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do ( z 1/2 δz = z 1/2 rp ) 1/22a 0 δz 0, δz = z Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)

255 Deformacja spadającego obiektu Niech w t 0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz 0 = 2a mija odległość r p. Wariacja względem z 0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do ( z 1/2 δz = z 1/2 rp ) 1/22a 0 δz 0, δz = z Ponieważ z < r p, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osi z Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)

256 Deformacja spadającego obiektu Niech w t 0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz 0 = 2a mija odległość r p. Wariacja względem z 0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do ( z 1/2 δz = z 1/2 rp ) 1/22a 0 δz 0, δz = z Ponieważ z < r p, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osi z Zmienia się charakterystyka (także widmowa) promieniowania grawitacyjnego! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 59(126)

257 Deformacja spadającego obiektu Niech w t 0 obiekt rozciągły o rozmiarach δz 0 = 2a mija odległość r p. Wariacja względem z 0 (rozmiarów obiektu) prowadzi do ( z 1/2 δz = z 1/2 rp ) 1/22a 0 δz 0, δz = z Ponieważ z < r p, to rozmiary ciała zwiększają się w kierunku osi z Zmienia się charakterystyka (także widmowa) promieniowania grawitacyjnego! obiekt 2a [km] M/M (r p /R S ) 1/2 gwiazda ciągu głównego biały karzeł gwiazda neutronowa Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 1 59(126)

258 Siła reakcji promieniowania Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)

259 Siła reakcji promieniowania Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np. modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)

260 Siła reakcji promieniowania Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np. modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako T 0 FRR vdt = L GW = G 5c 5 T 0... I- i j... I- i j dt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)

261 Siła reakcji promieniowania Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np. modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako T 0 FRR vdt = L GW = G 5c 5 T 0... I- i j... I- i j dt Po przekształceniach T 0 Fj RR v j dt = 2Gm T 5c 5 0 d 5 I- i j dt 5 xi v j dt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)

262 Siła reakcji promieniowania Siła reakcji promieniowania jest odpowiedzią układu (np. modyfikacją jego ruchu) na emisję promieniowania grawitacyjnego W przybliżeniu newtonowskim określamy ją jako T 0 FRR vdt = L GW = G 5c 5 T 0... I- i j... I- i j dt Po przekształceniach T 0 Fj RR v j dt = 2Gm T 5c 5 0 d 5 I- i j dt 5 xi v j dt Stąd identyfikujemy F RR j = 2Gm 5c 5 x j d5 I- i j dt 5 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 60(126)

263 Utrata momentu pędu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)

264 Utrata momentu pędu W ogólności dj GW i dt = cε i jk sfera x j T kr x k T jr n r dω Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)

265 Utrata momentu pędu W ogólności dj GW i dt = cε i jk sfera x j T kr x k T jr n r dω W przybliżeniu newtonowskim określamy d J GW dt = r F RR Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)

266 Utrata momentu pędu W ogólności dj GW i dt = cε i jk sfera x j T kr x k T jr n r dω W przybliżeniu newtonowskim określamy d J GW dt = r F RR Ostatecznie J GW i dt = 2Gm 5c 5 ε i jk... I- k r Ï- jr Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 61(126)

267 Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)

268 Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej Przykład orbity kołowej o promieniu R dla dwóch mas m I 11 = 2mR 2 cos 2 ωt I 12 = 2mR 2 sin ωt cos ωt I 22 = 2mR 2 sin 2 ωt, ω = 1 2 ( Gm R 3 ) 1/2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)

269 Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej Przykład orbity kołowej o promieniu R dla dwóch mas m I 11 = 2mR 2 cos 2 ωt I 12 = 2mR 2 sin ωt cos ωt I 22 = 2mR 2 sin 2 ωt, ω = 1 2 ( Gm R 3 ) 1/2 Zaburzenie h i j = 2G c 4 r 4mR2 ω 2 cos 2ωt sin 2ωt 0 sin 2ωt cos 2ωt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)

270 Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej Przykład orbity kołowej o promieniu R dla dwóch mas m I 11 = 2mR 2 cos 2 ωt I 12 = 2mR 2 sin ωt cos ωt I 22 = 2mR 2 sin 2 ωt, ω = 1 2 ( Gm R 3 ) 1/2 Zaburzenie h i j = 2G c 4 r 4mR2 ω 2 cos 2ωt sin 2ωt 0 sin 2ωt cos 2ωt Moc promieniowania L GW = 2G4 m 5 5c 5 R 5 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 62(126)

271 Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej. Orbita eliptyczna Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 63(126)

272 Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej. Orbita eliptyczna W układzie środka masy układu dwóch mas m 1, m 2 o energii E i momencie pędu J r 1 = µ m 1 r 12, r 2 = µ m 2 r 12, 1 µ = 1 m m 2 r 12 = r 1 r 2 = a(1 e2 ) 1 + e cosϕ, a = Gm 1m 2, J 2 = Gm2 1 m2 2 a(1 e 2 ) 2E m 1 + m 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 63(126)

273 Układ podwójny jako źródło fali grawitacyjnej. Orbita eliptyczna W układzie środka masy układu dwóch mas m 1, m 2 o energii E i momencie pędu J r 1 = µ m 1 r 12, r 2 = µ m 2 r 12, 1 µ = 1 m m 2 r 12 = r 1 r 2 = a(1 e2 ) 1 + e cosϕ, a = Gm 1m 2, J 2 = Gm2 1 m2 2 a(1 e 2 ) 2E m 1 + m 2 cos I 11 = 2 ϕ α (1 + e cosϕ) 2 sinϕ cosϕ I 12 = α (1 + e cosϕ) 2 sin 2 ϕ I 22 = α (1 + e cosϕ) 2, α = µa2 (1 e 2 ) 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 63(126)

274 Orbita eliptyczna Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)

275 Orbita eliptyczna Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µ ϕr 2 12 ϕ = J(1 + e cosϕ)2 µa 2 (1 e 2 ) 2 = β(1 + e cosϕ) 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)

276 Orbita eliptyczna Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µ ϕr 2 12 ϕ = J(1 + e cosϕ)2 µa 2 (1 e 2 ) 2 = β(1 + e cosϕ) 2 Ostatecznie... I- 11 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 sin 2ϕ + e(5 sinϕ + 3 sin 3ϕ)]... I- 12 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 cos 2ϕ + e(5 cosϕ + 3 cos 3ϕ)]... I- 22 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 sin 2ϕ + e(5 sinϕ + 3 sin 3ϕ)] Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)

277 Orbita eliptyczna Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µ ϕr 2 12 ϕ = J(1 + e cosϕ)2 µa 2 (1 e 2 ) 2 = β(1 + e cosϕ) 2 Ostatecznie... I- 11 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 sin 2ϕ + e(5 sinϕ + 3 sin 3ϕ)]... I- 12 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 cos 2ϕ + e(5 cosϕ + 3 cos 3ϕ)]... I- 22 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 sin 2ϕ + e(5 sinϕ + 3 sin 3ϕ)] Moc promieniowania L GW = G 5c 5... I- kl... I- kl = 2G 1 5c 5 4 α2 β 6 l(ϕ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)

278 Orbita eliptyczna Przy różniczkowaniu należy pamiętać, że J = µ ϕr 2 12 ϕ = J(1 + e cosϕ)2 µa 2 (1 e 2 ) 2 = β(1 + e cosϕ) 2 Ostatecznie... I- 11 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 sin 2ϕ + e(5 sinϕ + 3 sin 3ϕ)]... I- 12 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 cos 2ϕ + e(5 cosϕ + 3 cos 3ϕ)]... I- 22 = 1 2 αβ3 (1 + e cosϕ) 2 [8 sin 2ϕ + e(5 sinϕ + 3 sin 3ϕ)] Moc promieniowania L GW = G 5c 5... I- kl... I- kl = 2G 1 5c 5 4 α2 β 6 l(ϕ) gdzie uśrednienie po okresie ma postać l(ϕ) = (1 e2 ) 3/2 2π 2π 0 l(ϕ)(1 + e cosϕ) 2 dϕ = 4π 3 ( e2 + 37e 4 ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 64(126)

279 Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)

280 Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny Utrata energii de dt = 32 5 G 4 (ca) 5 m2 1 m2 2 (m 1 + m 2 ) f (e) = 32 5 G 4 (ca) 5 µ2 M 3 f (e) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)

281 Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny Utrata energii de dt = 32 5 G 4 (ca) 5 m2 1 m2 2 (m 1 + m 2 ) f (e) = 32 5 G 4 (ca) 5 µ2 M 3 f (e) Utrata momentu pędu dj dt = 32 5 G 7/2 c 5 a 7/2 m2 1 m2 2 (m 1 + m 2 ) 1/2 g(e) = 32 5 G 7/2 c 5 a 7/2 µ2 M 3/2 g(e) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)

282 Utrata energii i momentu pędu przez układ podwójny Utrata energii de dt = 32 5 G 4 (ca) 5 m2 1 m2 2 (m 1 + m 2 ) f (e) = 32 5 G 4 (ca) 5 µ2 M 3 f (e) Utrata momentu pędu dj dt = 32 5 G 7/2 c 5 a 7/2 m2 1 m2 2 (m 1 + m 2 ) 1/2 g(e) = 32 5 G 7/2 c 5 a 7/2 µ2 M 3/2 g(e) f (e) = (1 e 2 ) 7/2( e e4), g(e) = (1 e 2 ) 2( e2) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 65(126)

283 Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)

284 Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego ( de ) dt = 32 G 4 n 5 (ca) 5 µ2 M 3 g(n, e) gdzie pierwsza częstość harmoniczna ω 2 0 = GM a 3 oraz ω n = nω 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)

285 Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego ( de ) dt = 32 G 4 n 5 (ca) 5 µ2 M 3 g(n, e) gdzie pierwsza częstość harmoniczna ω 2 0 = GM a 3 oraz ω n = nω 0 g(n,e) e = e = e = 0.01 e = n Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)

286 Mody harmoniczne promieniowania układu podwójnego ( de ) dt = 32 G 4 n 5 (ca) 5 µ2 M 3 g(n, e) gdzie pierwsza częstość harmoniczna ω 2 0 = GM a 3 oraz ω n = nω 0 g(n,e) e = e = e = 0.01 e = n g(n, e) są znane analitycznie i wyrażają się przez funkcje Bessela Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 66(126)

287 Zmiana parametrów orbity Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)

288 Zmiana parametrów orbity Półoś wielka a i mimośród e a = Gm 1m 2 2E, J 2 = Gm2 1 m2 2 m 1 + m 2 a(1 e 2 ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)

289 Zmiana parametrów orbity Półoś wielka a i mimośród e Zatem a = Gm 1m 2 2E da dt = Gm 1m 2 de 2E 2 dt = 64 5, J 2 = Gm2 1 m2 2 m 1 + m 2 a(1 e 2 ) G 3 c 5 a 3 m 1m 2 (m 1 + m 2 ) f (e) = 64 5 G 3 c 5 a 3 µm2 f (e) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)

290 Zmiana parametrów orbity Półoś wielka a i mimośród e Zatem a = Gm 1m 2 2E da dt = Gm 1m 2 de 2E 2 dt = 64 5, J 2 = Gm2 1 m2 2 m 1 + m 2 a(1 e 2 ) G 3 c 5 a 3 m 1m 2 (m 1 + m 2 ) f (e) = 64 5 G 3 c 5 a 3 µm2 f (e) 2J dj dt = Gm2 1 m2 [ 2 da m 1 + m 2 dt (1 e2 ) 2ea de ] dt de dt = 304 G 3 15 c 5 a 4 m 1m 2 (m 1 + m 2 )k(e) = 304 G 3 15 c 5 a 4 µm2 k(e) e ( k(e) = (1 e 2 ) 5/ e2) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)

291 Zmiana parametrów orbity Półoś wielka a i mimośród e Zatem a = Gm 1m 2 2E da dt = Gm 1m 2 de 2E 2 dt = 64 5, J 2 = Gm2 1 m2 2 m 1 + m 2 a(1 e 2 ) G 3 c 5 a 3 m 1m 2 (m 1 + m 2 ) f (e) = 64 5 G 3 c 5 a 3 µm2 f (e) 2J dj dt = Gm2 1 m2 [ 2 da m 1 + m 2 dt (1 e2 ) 2ea de ] dt de dt = 304 G 3 15 c 5 a 4 m 1m 2 (m 1 + m 2 )k(e) = 304 G 3 15 c 5 a 4 µm2 k(e) e ( k(e) = (1 e 2 ) 5/ e2) Orbita kołowa pozostaje kołowa! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)

292 Zmiana parametrów orbity Półoś wielka a i mimośród e Zatem a = Gm 1m 2 2E da dt = Gm 1m 2 de 2E 2 dt = 64 5, J 2 = Gm2 1 m2 2 m 1 + m 2 a(1 e 2 ) G 3 c 5 a 3 m 1m 2 (m 1 + m 2 ) f (e) = 64 5 G 3 c 5 a 3 µm2 f (e) 2J dj dt = Gm2 1 m2 [ 2 da m 1 + m 2 dt (1 e2 ) 2ea de ] dt de dt = 304 G 3 15 c 5 a 4 m 1m 2 (m 1 + m 2 )k(e) = 304 G 3 15 c 5 a 4 µm2 k(e) e ( k(e) = (1 e 2 ) 5/ e2) Orbita kołowa pozostaje kołowa! Dla e = 0, de dt < 0, zatem orbita ewoluuje w kierunku orbity o mniejszym mimośrodzie! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 67(126)

293 Zmiana czasu obiegu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)

294 Zmiana czasu obiegu Na mocy III prawa Keplera mamy a 3 = G(m 1 + m 2 ) (2π) 2 T 2 Ṫ T = 3 ȧ 2 a Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)

295 Zmiana czasu obiegu Na mocy III prawa Keplera mamy a 3 = G(m 1 + m 2 ) (2π) 2 T 2 Ṫ T = 3 ȧ 2 a Ṫ T = 96 (GM) 5/3 ( 2π ) 8/3 f (e), 5 c 5 T M = (m 1 m 2 ) 3/5 (m 1 + m 2 ) 1/5 = µ 3/5 M 2/5 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)

296 Zmiana czasu obiegu Na mocy III prawa Keplera mamy a 3 = G(m 1 + m 2 ) (2π) 2 T 2 Ṫ T = 3 ȧ 2 a Ṫ T = 96 (GM) 5/3 ( 2π ) 8/3 f (e), 5 c 5 T M = (m 1 m 2 ) 3/5 (m 1 + m 2 ) 1/5 = µ 3/5 M 2/5 Dla układu podwójnego gwiazd neutronowych PSR (Hulse i Taylor) m 1 = (7) M, m 2 = (7) M, T = (7) dnia, e = (4) Ṫ T = (5) s 1 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 68(126)

297 Czas do połączenia się obiektów Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)

298 Czas do połączenia się obiektów Niech początkowy okres obiegu wynosi T 0 0 T 0 T 5/3 dt = 95 t c (GM)5/3 (2π)8/3 5 c 5 f (e(t))dt 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)

299 Czas do połączenia się obiektów Niech początkowy okres obiegu wynosi T 0 0 T 0 T 5/3 dt = 95 t c (GM)5/3 (2π)8/3 5 c 5 f (e(t))dt 0 Dla orbit kołowych f (0) = 1, czas do połączenia t c określony jest jako t c = 5 ( T0 ) 8/3 c π (GM) 5/3 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)

300 Czas do połączenia się obiektów Niech początkowy okres obiegu wynosi T 0 0 T 0 T 5/3 dt = 95 t c (GM)5/3 (2π)8/3 5 c 5 f (e(t))dt 0 Dla orbit kołowych f (0) = 1, czas do połączenia t c określony jest jako t c = 5 ( T0 ) 8/3 c π (GM) 5/3 Ewolucja okresu [ 1 (GM) T(t) = 5/3 ] 3/8 16π 5 c 5 (t c t) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 69(126)

301 Ewolucja fazy Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)

302 Ewolucja fazy ϕ = dϕ dt = 2π T(t) = 1 [ 1 (GM) 5/3 ] 3/8 8 5 c 5 (t c t) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)

303 Ewolucja fazy ϕ = dϕ dt = 2π T(t) = 1 [ 1 (GM) 5/3 ] 3/8 8 5 c 5 (t c t) ϕ(t) = 1 (5c 5 ) 3/8 t 8 (GM) 5/8 (t c t ) 3/8 dt 0 = 1 (5c 5 ) 3/8 [t5/8 5 (GM) 5/8 c (t c t) 5/8 ] Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)

304 Ewolucja fazy ϕ = dϕ dt = 2π T(t) = 1 [ 1 (GM) 5/3 ] 3/8 8 5 c 5 (t c t) ϕ(t) = 1 (5c 5 ) 3/8 t 8 (GM) 5/8 (t c t ) 3/8 dt 0 = 1 (5c 5 ) 3/8 [t5/8 5 (GM) 5/8 c (t c t) 5/8 ] Oznaczając ϕ c = ϕ(t c ) = 1 5 (5c 5 ) 3/8 t5/8 (GM) 5/8 c Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)

305 Ewolucja fazy ϕ = dϕ dt = 2π T(t) = 1 [ 1 (GM) 5/3 ] 3/8 8 5 c 5 (t c t) ϕ(t) = 1 (5c 5 ) 3/8 t 8 (GM) 5/8 (t c t ) 3/8 dt 0 = 1 (5c 5 ) 3/8 [t5/8 5 (GM) 5/8 c (t c t) 5/8 ] Oznaczając ϕ c = ϕ(t c ) = 1 5 (5c 5 ) 3/8 t5/8 (GM) 5/8 c [ 1 c ϕ(t) = ϕ c 3 ] 5/8 5 GM (t c t) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 70(126)

306 Zmiany w kształcie fali grawitacyjnej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 71(126)

307 Zmiany w kształcie fali grawitacyjnej h TT i j = 2G GµM c 4 r a(1 e 2 ) [B e(ϕ)] i j B e (ϕ) macierz zależna od fazy i mimośrodu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 71(126)

308 Zmiany w kształcie fali grawitacyjnej h TT i j = 2G GµM c 4 r a(1 e 2 ) [B e(ϕ)] i j B e (ϕ) macierz zależna od fazy i mimośrodu Dla orbity kołowej i polaryzacji plus, w kierunku osi Z prostopadłej do płaszczyzny orbity układu h + (t) = 2G c 4 r GµM ( 2π (GM) 1/3 T(t ) ) 2/3 cos 2ϕ(t ) h + (t) = 2(GM)5/3 ( 2π ) 2/3 cos 2ϕ(t c 4 r T(t ), ) [ 1 (GM) T(t) = 5/3 ] 3/8 16π 5 c 5 (t c t) h + (t) = 1 ( GM ) 5/4( 5 ) 1/4 cos 2ϕ(t 2r c 2 c(t c t ) ) gdzie t = t r/c jest czasem retardowanym! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 71(126)

309 Chirp signal Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 72(126)

310 Chirp signal Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z) h + (t) = A + (t c t ) cos 2ϕ(t c t ), h (t) = A (t c t ) sin 2ϕ(t c t ) t = t r c gdzie A(t c t ) = 1 ( GM ) 5/4( 5 2r c 2 c(t c t ) [ ϕ(t c t 1 c ) = ϕ c 3 5 GM (t c t ) ] 5/8 ) 1/4 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 72(126)

311 Ewolucja częstości fali grawitacyjnej Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)

312 Ewolucja częstości fali grawitacyjnej f GW = 2 T(t) = 1 [ 5c (GM) 5/3 t c t ] 3/8 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)

313 Ewolucja częstości fali grawitacyjnej f GW = 2 T(t) = 1 [ 5c (GM) 5/3 t c t t c t = 2.18 s ] 3/8 ( 1.21 M ) 5/3 ( 100 Hz ) 8/3 M f GW Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)

314 Ewolucja częstości fali grawitacyjnej f GW = 2 T(t) = 1 [ 5c (GM) 5/3 t c t t c t = 2.18 s ] 3/8 ( 1.21 M ) 5/3 ( 100 Hz ) 8/3 M f GW Dla m 1 = m 2 = 1.4 M, chirp mass M = 1.21 M Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)

315 Ewolucja częstości fali grawitacyjnej f GW = 2 T(t) = 1 [ 5c (GM) 5/3 t c t t c t = 2.18 s ] 3/8 ( 1.21 M ) 5/3 ( 100 Hz ) 8/3 M f GW Dla m 1 = m 2 = 1.4 M, chirp mass M = 1.21 M 10 Hz 100 Hz 1 khz t c t 17 min 2 s 3 ms Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 73(126)

316 Częstość obcięcia Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)

317 Częstość obcięcia według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie ma stabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru o radialnej współrzędnej r < 3R S = 6Gm c 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)

318 Częstość obcięcia według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie ma stabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru o radialnej współrzędnej r < 3R S = 6Gm c 2 kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie i połączenie Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)

319 Częstość obcięcia według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie ma stabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru o radialnej współrzędnej r < 3R S = 6Gm c 2 kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie i połączenie można oszacować (z III prawa Keplera) częstość, przy której sygnał grawitacyjny zmieni swój charakter ω cut = 1 6 c 3 6 Gm Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)

320 Częstość obcięcia według OTW w czasoprzestrzeni Schwartzschilda nie ma stabilnych orbit (dla ciał masywnych) wewnątrz obszaru o radialnej współrzędnej r < 3R S = 6Gm c 2 kończy się faza orbitowania ciał, zaczyna się zderzenie i połączenie można oszacować (z III prawa Keplera) częstość, przy której sygnał grawitacyjny zmieni swój charakter ω cut = 1 6 c 3 6 Gm szacunkowe wartości częstotliwości obcięcia NS NS BH BH gwiazdowe BH BH supermas. f cut [Hz] mhz Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 74(126)

321 Charakterystyka widmowa promieniowania grawitacyjnego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)

322 Charakterystyka widmowa promieniowania grawitacyjnego Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h +, (t) ĥ +, (ω) = h +, (t)e iωt dt R Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)

323 Charakterystyka widmowa promieniowania grawitacyjnego Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h +, (t) ĥ +, (ω) = h +, (t)e iωt dt R odwrotna transformata Fouriera h +, (t) = 1 2π R ĥ +, (ω)e iωt dω Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)

324 Charakterystyka widmowa promieniowania grawitacyjnego Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h +, (t) ĥ +, (ω) = h +, (t)e iωt dt R odwrotna transformata Fouriera h +, (t) = 1 2π strumień energii w jednostce czasu de dtds = R ĥ +, (ω)e iωt dω c3 16πG ḣ2 + + ḣ2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)

325 Charakterystyka widmowa promieniowania grawitacyjnego Transformata Fouriera zaburzeń czasoprzestrzeni h +, (t) ĥ +, (ω) = h +, (t)e iωt dt R odwrotna transformata Fouriera h +, (t) = 1 2π strumień energii w jednostce czasu de dtds = R ĥ +, (ω)e iωt dω c3 16πG ḣ2 + + ḣ2 strumień energii de ds = c3 16πG R (ḣ2 + + ḣ2 )dt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 75(126)

326 Charakterystyka widmowa energii Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)

327 Charakterystyka widmowa energii mamy ḣ +, (t) = 1 2π iω ĥ+, (ω)e iωt dω R Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)

328 Charakterystyka widmowa energii mamy w konsekwencji de ds = ḣ +, (t) = 1 2π iω ĥ+, (ω)e iωt dω R c3 32π 2 G R ω2 ( ĥ+(ω) 2 + ĥ (ω) 2 )dω Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)

329 Charakterystyka widmowa energii mamy w konsekwencji de ds = ḣ +, (t) = 1 2π iω ĥ+, (ω)e iωt dω R c3 32π 2 G R ω2 ( ĥ+(ω) 2 + ĥ (ω) 2 )dω stąd odczytujemy charakterystykę widmową energii de dω = c3 r 2 32π 2 ω 2 ( ĥ+(ω, Ω) 2 + ĥ (ω, Ω) 2 )dω G sfera Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 76(126)

330 Charakterystyka widmowa energii dla układu podwójnego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 77(126)

331 Charakterystyka widmowa energii dla układu podwójnego Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z) gdzie h + (t) = A + (t c t ) cos 2ϕ(t c t ), h (t) = A (t c t ) sin 2ϕ(t c t ) A(t c t ) = 1 ( GM ) 5/4( 5 2r c 2 c(t c t ) [ ϕ(t c t 1 c ) = ϕ c 3 5 GM (t c t ) t = t r c ] 5/8 ) 1/4 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 77(126)

332 Charakterystyka widmowa energii dla układu podwójnego Sygnał grawitacyjny od układu podwójnego (w kierunku osi Z) gdzie h + (t) = A + (t c t ) cos 2ϕ(t c t ), h (t) = A (t c t ) sin 2ϕ(t c t ) A(t c t ) = 1 ( GM ) 5/4( 5 2r c 2 c(t c t ) [ ϕ(t c t 1 c ) = ϕ c 3 5 GM (t c t ) t = t r c ] 5/8 ) 1/4 Dla polaryzacji plus mamy ĥ + (ω) = A(t c t ) cos Φ(t c t )e iωt dt R = 1 2 e iωr/c R A(t c t )(e iφ(t c t ) + e iφ(t c t ) )e iωt dt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 77(126)

333 Charakterystyka widmowa energii dla układu podwójnego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)

334 Charakterystyka widmowa energii dla układu podwójnego Całkę określającą ĥ+(ω) można oszacować przyjmując dwa założenia 1 funkcja A(t c t ) jest wolnozmienna w czasie, Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)

335 Charakterystyka widmowa energii dla układu podwójnego Całkę określającą ĥ+(ω) można oszacować przyjmując dwa założenia 1 funkcja A(t c t ) jest wolnozmienna w czasie, 2 można stosować przybliżenie/metodę punktu stacjonarnego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)

336 Charakterystyka widmowa energii dla układu podwójnego Całkę określającą ĥ+(ω) można oszacować przyjmując dwa założenia 1 funkcja A(t c t ) jest wolnozmienna w czasie, 2 można stosować przybliżenie/metodę punktu stacjonarnego Przy tych założeniach otrzymamy przybliżoną postać transformaty ĥ + (ω) 1 ( 2 e iψ + A(t c t 2π ) 1/2 ) Φ(t c t ) gdzie t jest rozwiązaniem równania Φ = ω t c t = 5c 5 (4ω) 8/3 (GM) 5/3 oraz ψ + = ωr/c + ωt Φ(t c t ) π/4. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 78(126)

337 Charakterystyka widmowa energii Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)

338 Charakterystyka widmowa energii Ostatecznie ĥ + (ω) 2 r e iψ + ( 10π ) 1/2 (GM) 5/6 (4ω) 7/6 3 c 3/2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)

339 Charakterystyka widmowa energii Ostatecznie ĥ + (ω) 2 r e iψ + ( 10π ) 1/2 (GM) 5/6 (4ω) 7/6 3 c 3/2 wyrażenie opisujące ĥ (ω) różni się tylko fazą ψ (które i tak są nieistotne!) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)

340 Charakterystyka widmowa energii Ostatecznie ĥ + (ω) 2 r e iψ + ( 10π ) 1/2 (GM) 5/6 (4ω) 7/6 3 c 3/2 wyrażenie opisujące ĥ (ω) różni się tylko fazą ψ (które i tak są nieistotne!) uzupełniając ĥ+ oraz ĥ o zależność od kierunku i całkując po kątach otrzymamy Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)

341 Charakterystyka widmowa energii Ostatecznie ĥ + (ω) 2 r e iψ + ( 10π ) 1/2 (GM) 5/6 (4ω) 7/6 3 c 3/2 wyrażenie opisujące ĥ (ω) różni się tylko fazą ψ (które i tak są nieistotne!) uzupełniając ĥ+ oraz ĥ o zależność od kierunku i całkując po kątach otrzymamy de dω = c3 r 2 32π 2 G ω2 ( ĥ+(ω, Ω) 2 + ĥ (ω, Ω) 2 )dω sfera (GM)5/3 3G (4ω) 1/3 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 79(126)

342 Zakresy częstotliwości Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 80(126)

343 Zakresy częstotliwości zakres częstotliwości typowe źródła bardzo niski supermasywne układy BH BH (> 10 6 M ) 1 nhz 1mHz tło grawitacyjne niski supermasywne układy BH BH ( M ) 1 mhz 1 Hz układy WD WD układy podwójne o dużym stosunku masy obracające się gwiazdy z niesymetrycznym rozkładem masy wysoki gwiazdowe układy BH BH 1 Hz 10 khz układy podwójne NS NS pulsary z niesymetrycznym rozkładem masy Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 80(126)

344 Detektory rezonansowe Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 81(126)

345 Detektory rezonansowe nazwa lokalizacja budowa Allegro Baton Rouge, działający do 2008 roku aluminiowy walec USA typu Webera, chłodzony, f = 904 Hz Auriga Padwa, Włochy aluminiowy walec typu Webera, chłodzony Explorer Genewa, aluminiowy walec typu Webera, chłodzony Szwajcaria Mini GRAIL Leiden, Holandia kula ze stopu miedzi i aluminium, f = 3.25 khz Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 81(126)

346 Detektory rezonansowe nazwa lokalizacja budowa Allegro Baton Rouge, działający do 2008 roku aluminiowy walec USA typu Webera, chłodzony, f = 904 Hz Auriga Padwa, Włochy aluminiowy walec typu Webera, chłodzony Explorer Genewa, aluminiowy walec typu Webera, chłodzony Szwajcaria Mini GRAIL Leiden, Holandia kula ze stopu miedzi i aluminium, f = 3.25 khz Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 81(126)

348 Detektory rezonansowe Allegro 2300 kg of aluminum, 3 meters in length. Suspended in a cryogenic vacuum tank at 4.2 Kelvin, the bar s natural resonant frequency (the lowest longitudinal mode) is near 904 Hz. The strain on the bar is measured by coupling a second, much lighter, suspended mass to the main heavier mass as a mechanical transformer at the same resonant frequency. Therefore, small motions of the primary mass generate much larger motions in the smaller mass. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 82(126)

349 Detektory rezonansowe Allegro 2300 kg of aluminum, 3 meters in length. Suspended in a cryogenic vacuum tank at 4.2 Kelvin, the bar s natural resonant frequency (the lowest longitudinal mode) is near 904 Hz. The strain on the bar is measured by coupling a second, much lighter, suspended mass to the main heavier mass as a mechanical transformer at the same resonant frequency. Therefore, small motions of the primary mass generate much larger motions in the smaller mass. AURIGA is the Antenna Ultracriogenica Risonante per l Indagine Gravitazionale Astronomica. The detector consists of an aluminum cylinder 3 meters in length and weighing approximately 2.3 tons. The whole apparatus is cooled to a few thousandths of a degree above absolute zero to minimize the effect of thermal vibrations of its atoms. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 82(126)

350 Detektory rezonansowe Allegro 2300 kg of aluminum, 3 meters in length. Suspended in a cryogenic vacuum tank at 4.2 Kelvin, the bar s natural resonant frequency (the lowest longitudinal mode) is near 904 Hz. The strain on the bar is measured by coupling a second, much lighter, suspended mass to the main heavier mass as a mechanical transformer at the same resonant frequency. Therefore, small motions of the primary mass generate much larger motions in the smaller mass. AURIGA is the Antenna Ultracriogenica Risonante per l Indagine Gravitazionale Astronomica. The detector consists of an aluminum cylinder 3 meters in length and weighing approximately 2.3 tons. The whole apparatus is cooled to a few thousandths of a degree above absolute zero to minimize the effect of thermal vibrations of its atoms. The antenna EXPLORER (installed at CERN Laboratories in Geneva) is a cylinder of Aluminium, it weights 2300 kg, it is 3 m long and it has a diameter of 60 cm. It is cooled at the temperature of liquid helium (4.2 K) and it operates at the temperature of 2 K, which is reached by lowering the pressure on the liquid helium reservoir. Its resonance frequencies are around 906 and 923 Hz. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 82(126)

352 Detektory rezonansowe MiniGRAIL When gravitation waves pass through the MiniGRAIL ball, it will vibrate with displacements on the order of m. To improve sensitivity, the detector was intended to operate at a temperature of 20 mk. The original antenna for the MiniGRAIL detector was a 68 cm diameter sphere made of an alloy of copper with 6% aluminium. This sphere had a mass of 1,150 kg and resonated at a frequency of 3,250 Hz. It was isolated from vibration by seven 140 kg masses. The bandwidth of the detector was expected to be ±230 Hz. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 83(126)

353 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)

354 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h + (t) i rozchodzi się w kierunku Z Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)

355 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h + (t) i rozchodzi się w kierunku Z W walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m fala grawitacyjna wzbudza drgania w kierunku X Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)

356 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h + (t) i rozchodzi się w kierunku Z W walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m fala grawitacyjna wzbudza drgania w kierunku X Walec modelujemy dwoma kulami o masach m połączonych sprężyną o stałej sprężystości k ẍ + 2βẋ + ω 2 0 x = R 0101l (1) gdzie ω 0 = 2k m, R 0101 = 1 2 ḧ+ Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)

357 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Załóżmy, że fala grawitacyjna jest opisana funkcją h + (t) i rozchodzi się w kierunku Z W walcu o osi w kierunku X, długości l i masie 2m fala grawitacyjna wzbudza drgania w kierunku X Walec modelujemy dwoma kulami o masach m połączonych sprężyną o stałej sprężystości k ẍ + 2βẋ + ω 2 0 x = R 0101l (1) gdzie ω 0 = 2k m, R 0101 = 1 2 ḧ+ Z punktu widzenia teorii przetwarzania sygnałów h + (t) x(t) sygnał graw. przesunięcie Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 84(126)

358 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)

359 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Na poziomie transformaty Fouriera x(t) F X(ω), h + (t) F Ĥ(ω) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)

360 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Na poziomie transformaty Fouriera x(t) F X(ω), h + (t) F Ĥ(ω) X(ω) = G(ω)Ĥ(ω) gdzie G(ω) jest gęstością spektralną, która opisuje własności układu L przetwarzającego sygnał L : h + (t) x(t) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)

361 Uproszczona teoria detektorów rezonansowych Na poziomie transformaty Fouriera x(t) F X(ω), h + (t) F Ĥ(ω) X(ω) = G(ω)Ĥ(ω) gdzie G(ω) jest gęstością spektralną, która opisuje własności układu L przetwarzającego sygnał L : h + (t) x(t) W omawianym przypadku ω 2 G(ω) = l 2 (ω + iβ) 2 + β 2 ω 2 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 85(126)

362 Przesunięcie w rezonansie Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)

363 Przesunięcie w rezonansie Rozwiązanie szczególne (1) przy periodycznej fali grawitacyjnej h + (t) = h cos ωt jest postaci gdzie x(t) = x max cos(ωt + δ) x max = 1 2 hl ω 2 2βω, tg δ = (ω ω0 ) 2 + 4ω 2 β2 ω 2 ω 2 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)

364 Przesunięcie w rezonansie Rozwiązanie szczególne (1) przy periodycznej fali grawitacyjnej h + (t) = h cos ωt jest postaci gdzie x(t) = x max cos(ωt + δ) x max = 1 2 hl ω 2 2βω, tg δ = (ω ω0 ) 2 + 4ω 2 β2 ω 2 ω 2 0 w rezonansie ω = ω 0, (h = ) x rez = 1 2 hlq m, Q = ω 0 2β 105 gdzie Q jest dobrocią oscylatora. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)

365 Przesunięcie w rezonansie Rozwiązanie szczególne (1) przy periodycznej fali grawitacyjnej h + (t) = h cos ωt jest postaci gdzie x(t) = x max cos(ωt + δ) x max = 1 2 hl ω 2 2βω, tg δ = (ω ω0 ) 2 + 4ω 2 β2 ω 2 ω 2 0 w rezonansie ω = ω 0, (h = ) x rez = 1 2 hlq m, Q = ω 0 2β 105 gdzie Q jest dobrocią oscylatora. Energia kinetyczna w warunkach rezonansu E k rez 2mẋ 2 = mω 2 0 x2 rez Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 86(126)

366 Wzmocnienie odczytu przemieszczenia Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 87(126)

367 Wzmocnienie odczytu przemieszczenia Przetwornik mechaniczny drgań dodatkowa, niewielka masa m 0 sprzężona z walcem. Amplituda drgań masy m 0 jest wzmocniona A 0 m m 0 x rez, m m Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 87(126)

368 Wzmocnienie odczytu przemieszczenia Przetwornik mechaniczny drgań dodatkowa, niewielka masa m 0 sprzężona z walcem. Amplituda drgań masy m 0 jest wzmocniona A 0 m m 0 x rez, m m Wzmocnione drgania masy m 0 są dalej przetwarzane na zmiany pola elektromagnetycznego, które są odczytywane jako sygnał elektryczny. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 87(126)

369 Szumy Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)

370 Szumy Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastyczny czynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanej gęstości spektralnej n(t) ξ(t) szum dodatkowe przesunięcie Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)

371 Szumy Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastyczny czynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanej gęstości spektralnej n(t) ξ(t) szum dodatkowe przesunięcie Na poziomie transformaty Fouriera n(t) F N(ω), ξ(t) F ξ(ω) ξ(ω) = G(ω) N(ω) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)

372 Szumy Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastyczny czynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanej gęstości spektralnej n(t) ξ(t) szum dodatkowe przesunięcie Na poziomie transformaty Fouriera n(t) F N(ω), ξ(t) F ξ(ω) ξ(ω) = G(ω) N(ω) Spektralna gęstość szumu S n (ω) ([s] = [Hz 1 ]) A(t t ) = n(t)n(t ), A(τ) F 1 2 S n(ω) gdzie A(τ) jest funkcją autokorelacji szumu. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)

373 Szumy Zanieczyszczenie sygnału wejściowego przez stochastyczny czynnik wprowadzany przez układ przetwarzający L o znanej gęstości spektralnej n(t) ξ(t) szum dodatkowe przesunięcie Na poziomie transformaty Fouriera n(t) F N(ω), ξ(t) F ξ(ω) ξ(ω) = G(ω) N(ω) Spektralna gęstość szumu S n (ω) ([s] = [Hz 1 ]) A(t t ) = n(t)n(t ), A(τ) F 1 2 S n(ω) gdzie A(τ) jest funkcją autokorelacji szumu. Wówczas N(ω) N (ω ) = π S n (ω)δ(ω ω ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 88(126)

374 Gęstość spektralna szumu Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)

375 Gęstość spektralna szumu Z drugiej strony 4π (n(t)) 2 = S n (ω)dω = 2 Re S n (ω)dω 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)

376 Gęstość spektralna szumu Z drugiej strony 4π (n(t)) 2 = Z uwagi na ξ(ω) = G(ω) N(ω) oraz mamy S n (ω)dω = 2 Re S n (ω)dω N(ω) N (ω ) = π S n (ω)δ(ω ω ) 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)

377 Gęstość spektralna szumu Z drugiej strony 4π (n(t)) 2 = Z uwagi na ξ(ω) = G(ω) N(ω) oraz mamy S n (ω)dω = 2 Re S n (ω)dω N(ω) N (ω ) = π S n (ω)δ(ω ω ) ξ(ω) ξ (ω ) = G(ω)G (ω ) N(ω) N (ω ) 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)

378 Gęstość spektralna szumu Z drugiej strony 4π (n(t)) 2 = Z uwagi na ξ(ω) = G(ω) N(ω) oraz mamy S n (ω)dω = 2 Re S n (ω)dω N(ω) N (ω ) = π S n (ω)δ(ω ω ) ξ(ω) ξ (ω ) = G(ω)G (ω ) N(ω) N (ω ) 0 w konsekwencji S ξ (ω) = G(ω) 2 S n (ω) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 89(126)

379 Szum termiczny Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)

380 Szum termiczny Stochastyczna siła F(t) działa na jedną z mas m ẍ + 2βẋ + ω 2 0 x = F(t) m Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)

381 Szum termiczny Stochastyczna siła F(t) działa na jedną z mas m ẍ + 2βẋ + ω 2 0 x = F(t) m F(t) ma funkcję korelacyjną szumu termicznego, jeśli F(t)F(t ) = mβktδ(t t ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)

382 Szum termiczny Stochastyczna siła F(t) działa na jedną z mas m ẍ + 2βẋ + ω 2 0 x = F(t) m F(t) ma funkcję korelacyjną szumu termicznego, jeśli F(t)F(t ) = mβktδ(t t ) Gęstość spektralna szumu termicznego ma postać S F (ω) = 2mβkT Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 90(126)

383 Szum termiczny Szum siły objawia się jako szum w dodatkowym przesunięciu ξ(t) jako S ξ (ω) = Z(ω) 2 S F, Z(ω) = x(ω) F(ω) gdzie Z(ω) 2 = 1 m 2 1 (ω 2 ω 0 ) 2 + 4β 2 ω 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 91(126)

384 Szum termiczny Szum siły objawia się jako szum w dodatkowym przesunięciu ξ(t) jako S ξ (ω) = Z(ω) 2 S F, Z(ω) = x(ω) F(ω) gdzie Z(ω) 2 = 1 m 2 1 (ω 2 ω 0 ) 2 + 4β 2 ω 2 Ponieważ S ξ (ω) = G(ω) 2 S n (ω), to S n (ω) = 8βkT ml 2 ω 4 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 91(126)

385 Detektory rezonasowe. Podsumowanie Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)

386 Detektory rezonasowe. Podsumowanie Inne źródła szumów Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)

387 Detektory rezonasowe. Podsumowanie Inne źródła szumów szum związany ze sprzężeniem małej masy szum przetwornika sczytującego niewielkie drgania i zmieniającego go na prąd szumy innych układów elektronicznych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)

388 Detektory rezonasowe. Podsumowanie Inne źródła szumów szum związany ze sprzężeniem małej masy szum przetwornika sczytującego niewielkie drgania i zmieniającego go na prąd szumy innych układów elektronicznych Spektralna gęstość szumu jest na poziomie i nie przekracza S 1/2 n = Hz 1/2 S 1/2 n < Hz 1/2 w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f 0 = 930 Hz Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)

389 Detektory rezonasowe. Podsumowanie Inne źródła szumów szum związany ze sprzężeniem małej masy szum przetwornika sczytującego niewielkie drgania i zmieniającego go na prąd szumy innych układów elektronicznych Spektralna gęstość szumu jest na poziomie i nie przekracza S 1/2 n = Hz 1/2 S 1/2 n < Hz 1/2 w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f 0 = 930 Hz czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnego o energii 10 2M c2 odpowiadające h (NS NS merging) na częstotliwości 1 khz i czasie trwania 1 ms z naszej Galaktyki Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)

390 Detektory rezonasowe. Podsumowanie Inne źródła szumów szum związany ze sprzężeniem małej masy szum przetwornika sczytującego niewielkie drgania i zmieniającego go na prąd szumy innych układów elektronicznych Spektralna gęstość szumu jest na poziomie i nie przekracza S 1/2 n = Hz 1/2 S 1/2 n < Hz 1/2 w przedziale ±100 Hz wokół rezonansu f 0 = 930 Hz czułość ta pozwala wykryć błyski promieniowania grawitacyjnego o energii 10 2M c2 odpowiadające h (NS NS merging) na częstotliwości 1 khz i czasie trwania 1 ms z naszej Galaktyki czułość ta pozwala zaobserwować periodyczny sygnał z obracającej się NS z ok. 3 kpc Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 92(126)

391 Detektory rezonasowe. Podsumowanie Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 93(126)

392 Detektory rezonasowe. Podsumowanie obecnie nie da się zaobserwować ostatnich etapów ewolucji BH BH z uwagi na częstotliwość obcięcia w okolicach Hz w zależności od masy gwiazdowych BH, co jest poza zakresem czułości detektorów rezonansowych Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 93(126)

393 Detektory rezonasowe. Podsumowanie obecnie nie da się zaobserwować ostatnich etapów ewolucji BH BH z uwagi na częstotliwość obcięcia w okolicach Hz w zależności od masy gwiazdowych BH, co jest poza zakresem czułości detektorów rezonansowych spektralna gęstość szumu dla detektora kulistego minigrail jest na poziomie S 1/2 n Hz 1/2 ale planowana ma być na poziomie Hz 1/2. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 93(126)

394 Detektory interferometryczne Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 94(126)

395 Detektory interferometryczne nazwa lokalizacja budowa LIGO Hanford & Interferometr Michelsona (4 km + 2 km) z Livingston, USA wnękami Fabry-Perota i recyklingiem energii Virgo Piza, Włochy Interferometr Michelsona (3 km + 3 km) z wnękami Fabry-Perota i recyklingiem energii GEO Hannover, Interferometr Michelsona (600 m m) z 600 TAMA 300 CLIO Niemcy Tokyo, Japonia Kamioka, Japonia podwójnym recyklingiem energii do 2008 roku Interferometr Michelsona (600 m m) z podwójnym recyklingiem energii Interferometr Michelsona (100 m m) z chłodzonymi lustrami, podziemny Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 94(126)

396 Detektory interferometryczne II i III generacji Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 95(126)

397 Detektory interferometryczne II i III generacji nazwa lokalizacja budowa aligo Hanford & Livingston, USA oba ramiona 4 km i podwójny recykling energii advance Virgo Piza, Włochy podwójny recykling energii KAGRA Kamioka, Japonia Interferometr Michelsona (3 km + 3 km) z chłodzonymi lustrami, podziem- LISA, TianQin, DECIGO kosmiczne ny planowane na lata 20-te i 30-te Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 95(126)

398 LIGO (Hanford, Washington) (Livingstone, Lousiana) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 96(126)

399 Interferometr Michelsona Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 97(126)

400 Interferometr Michelsona E sym = E 0 2 [r 2e 2ikl 2 + r 1 e 2ikl 1]e iωt, E niesym = E 0 2 [r 2e 2ikl 2 r 1 e 2ikl 1]e iωt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 97(126)

401 Interferometr Michelsona Dobieramy l 1 oraz l 2 tak, aby w kierunku fotodiody nie biegły fotony (interferencja destruktywna) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 97(126) E sym = E 0 2 [r 2e 2ikl 2 + r 1 e 2ikl 1]e iωt, E niesym = E 0 2 [r 2e 2ikl 2 r 1 e 2ikl 1]e iωt

402 Interferometr Michelsona Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzenia czasoprzestrzeni na poziomie h Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)

403 Interferometr Michelsona Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzenia czasoprzestrzeni na poziomie h Deformacje względne, które można wykryć interferometrycznie h l l Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)

404 Interferometr Michelsona Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzenia czasoprzestrzeni na poziomie h Deformacje względne, które można wykryć interferometrycznie h l l zmiana długości ramion l = l 1 l 2 λ laser 1 µm h l l λ laser l 10 6 m 10 3 m 10 9 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)

405 Interferometr Michelsona Fale i błyski grawitacyjne powodują względne zaburzenia czasoprzestrzeni na poziomie h Deformacje względne, które można wykryć interferometrycznie h l l zmiana długości ramion l = l 1 l 2 λ laser 1 µm h l l λ laser l 10 6 m 10 3 m 10 9 Możemy zmniejszać l lub zwiększać l Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 98(126)

406 Interferometr Michelsona z wnęką Fabry-Perota Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 99(126)

407 Interferometr Michelsona z wnęką Fabry-Perota efektywna droga promieniowania l λ GW c/ f GW 1000 km h l l λ laser λ GW 10 6 m 10 6 m Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 99(126)

408 Szum liczby fotonów Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)

409 Szum liczby fotonów Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda? Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)

410 Szum liczby fotonów Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda? Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum (dyspersja) w liczbie fotonów N (statystyka Poissona) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)

411 Szum liczby fotonów Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda? Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum (dyspersja) w liczbie fotonów N (statystyka Poissona) możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada l 1 N λ laser Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)

412 Szum liczby fotonów Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda? Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum (dyspersja) w liczbie fotonów N (statystyka Poissona) możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada l 1 N λ laser czas integracji fotonów τ 1/ f GW Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)

413 Szum liczby fotonów Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda? Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum (dyspersja) w liczbie fotonów N (statystyka Poissona) możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada l 1 N λ laser czas integracji fotonów τ 1/ f GW Liczba fotonów N = P laserτ E foton = P laser hc/λ laser 1 f GW Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)

414 Szum liczby fotonów Jaką zmianę światła może zarejestrować fotodioda? Niech τ będzie czasem zbierania światła, N liczbą fotonów, szum (dyspersja) w liczbie fotonów N (statystyka Poissona) możliwa do wykrycia ilość światła odpowiada l 1 N λ laser czas integracji fotonów τ 1/ f GW Liczba fotonów N = P laserτ E foton = P laser hc/λ laser 1 f GW Przykład: dla P laser = 1 W, λ laser = 1 µm, f GW = 300 Hz, dostajemy N Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 100(126)

415 Szum liczby fotonów Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)

416 Szum liczby fotonów Dla danych z Przykładu h l l 1 N λ laser λ GW = Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)

417 Szum liczby fotonów Dla danych z Przykładu h l l 1 N λ laser λ GW = Zwiększanie mocy promieniowania laser większej mocy dla sygnału wejściowego Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)

418 Szum liczby fotonów Dla danych z Przykładu h l l 1 N λ laser λ GW = Zwiększanie mocy promieniowania laser większej mocy dla sygnału wejściowego układ odzyskiwania energii Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)

419 Szum liczby fotonów Dla danych z Przykładu h l l 1 N λ laser λ GW = Zwiększanie mocy promieniowania laser większej mocy dla sygnału wejściowego układ odzyskiwania energii (planowany) układ odzyskiwania sygnału Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 101(126)

420 Interferometr z układem odzyskiwania energii Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 102(126)

421 Interferometr z układem odzyskiwania energii Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 102(126)

422 Opis interferometru i jego oddziaływania z falą grawitacyjną Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)

423 Opis interferometru i jego oddziaływania z falą grawitacyjną Klasyczna optyka wykorzystująca współczynniki odbicia luster, współczynniki transmisji i odbicia dla wnęk (w szczególności relacje Stokesa), BS (beam splitter) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)

424 Opis interferometru i jego oddziaływania z falą grawitacyjną Klasyczna optyka wykorzystująca współczynniki odbicia luster, współczynniki transmisji i odbicia dla wnęk (w szczególności relacje Stokesa), BS (beam splitter) Opis w układzie laboratoryjnym: czasoprzestrzeń jest płaska, a wskutek przejścia fali grawitacyjnej zmieniają się współrzędne elementów optycznych i odległości, jakie światło ma do przebycia Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)

425 Opis interferometru i jego oddziaływania z falą grawitacyjną Klasyczna optyka wykorzystująca współczynniki odbicia luster, współczynniki transmisji i odbicia dla wnęk (w szczególności relacje Stokesa), BS (beam splitter) Opis w układzie laboratoryjnym: czasoprzestrzeń jest płaska, a wskutek przejścia fali grawitacyjnej zmieniają się współrzędne elementów optycznych i odległości, jakie światło ma do przebycia Opis w zmiennych cechowania TT: układ, w którym pozycje (współrzędne) elementów optycznych nie zmieniają się, a fala świetlna odczuwa zmiany pola grawitacyjnego na skutek zaburzenia metryki Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 103(126)

426 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)

427 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Dla fali o polaryzacji h + (t) rozchodzącej się w kierunku osi Z OTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci dl 2 = c 2 dt 2 (1 + h + (t))dx 2 (1 h + (t))dy 2 dz 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)

428 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Dla fali o polaryzacji h + (t) rozchodzącej się w kierunku osi Z OTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci dl 2 = c 2 dt 2 (1 + h + (t))dx 2 (1 h + (t))dy 2 dz 2 zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez ( dx = ± 1 1 ) ( 2 h +(t) cdt, dy = ± ) 2 h +(t) cdt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)

429 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Dla fali o polaryzacji h + (t) rozchodzącej się w kierunku osi Z OTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci dl 2 = c 2 dt 2 (1 + h + (t))dx 2 (1 h + (t))dy 2 dz 2 zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez ( dx = ± 1 1 ) ( 2 h +(t) cdt, dy = ± ) 2 h +(t) cdt światło biegnące w kierunku X od BS (w chwili t 0 ) do lustra l 1 = c(t 1 t 0 ) c 2 t1 t 0 h + (t)dt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)

430 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Dla fali o polaryzacji h + (t) rozchodzącej się w kierunku osi Z OTW wynika metryka w zmiennych cechowania TT postaci dl 2 = c 2 dt 2 (1 + h + (t))dx 2 (1 h + (t))dy 2 dz 2 zatem odległości w kierunkach X i Y są wyznaczone przez ( dx = ± 1 1 ) ( 2 h +(t) cdt, dy = ± ) 2 h +(t) cdt światło biegnące w kierunku X od BS (w chwili t 0 ) do lustra l 1 = c(t 1 t 0 ) c 2 t1 t 0 h + (t)dt światło biegnące w kierunku X od lustra (w chwili t 1 ) do BS l 1 = c(t 1 t 1) c 2 t 1 t 1 h + (t)dt Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 104(126)

431 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)

432 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Ostatecznie dodając powyższe równania t 1 t 0 = 2l 1 c + 1 t 1 h + (t)dt 2 t 0 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)

433 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Ostatecznie dodając powyższe równania Niech h + (t) = h 0 cos(ω gw t) t 1 t 0 = 2l 1 c + 1 t 1 h + (t)dt 2 t 0 t 1 t 0 = 2l 1 c + h 0 2ω gw [sin(ω gw t 1 ) sin(ω gwt 0 )] Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)

434 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Ostatecznie dodając powyższe równania Niech h + (t) = h 0 cos(ω gw t) t 1 t 0 = 2l 1 c + 1 t 1 h + (t)dt 2 t 0 t 1 t 0 = 2l 1 c + h 0 2ω gw [sin(ω gw t 1 ) sin(ω gwt 0 )] z uwagi na przybliżoną relację t 1 = t 0 + 2l 1 /c + o(h 0 ), mamy t 1 t 0 = 2l 1 c + l 1h 0 c sinc(ω gwl 1 /c) cos(ω gw (t 0 + l 1 /c)) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)

435 Oddziaływanie fali grawitacyjnej na układ pomiarowy Ostatecznie dodając powyższe równania Niech h + (t) = h 0 cos(ω gw t) t 1 t 0 = 2l 1 c + 1 t 1 h + (t)dt 2 t 0 t 1 t 0 = 2l 1 c + h 0 2ω gw [sin(ω gw t 1 ) sin(ω gwt 0 )] z uwagi na przybliżoną relację t 1 = t 0 + 2l 1 /c + o(h 0 ), mamy t 1 t 0 = 2l 1 c + l 1h 0 c sinc(ω gwl 1 /c) cos(ω gw (t 0 + l 1 /c)) Podobnie dla światła biegnącego w kierunku Y t 2 t 0 = 2l 2 c + l 2h 0 c sinc(ω gwl 2 /c) cos(ω gw (t 0 + l 2 /c)) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 105(126)

436 Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)

437 Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali Ostatecznie, na BS interferują fale, które opuściły go w chwilach t x 0 oraz ty 0 t x 0 = t 2l 1 c l 1 c h +(t l 1 /c)sinc(ω gw l 1 /c) t y 0 = t 2l 2 c + l 2 c h +(t l 2 /c)sinc(ω gw l 2 /c) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)

438 Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali Ostatecznie, na BS interferują fale, które opuściły go w chwilach t x 0 oraz ty 0 t x 0 = t 2l 1 c l 1 c h +(t l 1 /c)sinc(ω gw l 1 /c) t y 0 = t 2l 2 c + l 2 c h +(t l 2 /c)sinc(ω gw l 2 /c) Fale na BS biegnące w kierunku fotodiody (fazy ulegają zmianie tylko przy odbiciach/transmisji przez elementy optyczne) E x (t) = 1 2 E 0e iωtx 0 = 1 2 E 0e iω(t 2l 1/c)+i φ x E y (t) = 1 2 E 0e iωty 0 = 1 2 E 0e iω(t 2l 2/c)+i φ y Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)

439 Przesunięcie fazy w wyniku przejścia fali Ostatecznie, na BS interferują fale, które opuściły go w chwilach t x 0 oraz ty 0 t x 0 = t 2l 1 c l 1 c h +(t l 1 /c)sinc(ω gw l 1 /c) t y 0 = t 2l 2 c + l 2 c h +(t l 2 /c)sinc(ω gw l 2 /c) Fale na BS biegnące w kierunku fotodiody (fazy ulegają zmianie tylko przy odbiciach/transmisji przez elementy optyczne) gdzie E x (t) = 1 2 E 0e iωtx 0 = 1 2 E 0e iω(t 2l 1/c)+i φ x E y (t) = 1 2 E 0e iωty 0 = 1 2 E 0e iω(t 2l 2/c)+i φ y φ x = h 0ωl 1 sinc(ω gw l 1 /c) cos(ω gw (t l 1 /c)) c φ y = h 0ωl 2 sinc(ω gw l 2 /c) cos(ω gw (t l 2 /c)) c Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 106(126)

440 Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)

441 Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody W najprostszej sytuacji, gdy l 1 l 2 l, φ y = φ x Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)

442 Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody W najprostszej sytuacji, gdy l 1 l 2 l, φ y = φ x Fale E x (t) oraz E y (t) interferują E(t) = E x (t) + E y (t) = 1 2 E 0e iω(t 2l/c)( ) e φ x e i φ x = ie 0 e iω(t 2l/c) sin( φ x ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)

443 Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody W najprostszej sytuacji, gdy l 1 l 2 l, φ y = φ x Fale E x (t) oraz E y (t) interferują E(t) = E x (t) + E y (t) = 1 2 E 0e iω(t 2l/c)( ) e φ x e i φ x = ie 0 e iω(t 2l/c) sin( φ x ) Fala grawitacyjna powoduje przesunięcie fazowe fali na poziomie 10 8 rad! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)

444 Interferencja promieni biegnących w stroną fotodiody W najprostszej sytuacji, gdy l 1 l 2 l, φ y = φ x Fale E x (t) oraz E y (t) interferują E(t) = E x (t) + E y (t) = 1 2 E 0e iω(t 2l/c)( ) e φ x e i φ x = ie 0 e iω(t 2l/c) sin( φ x ) Fala grawitacyjna powoduje przesunięcie fazowe fali na poziomie 10 8 rad! W praktyce, interferometr kalibruje się tak, aby w warunkach normalnej pracy, na fotodiodę padało jak najmniej fotonów. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 107(126)

446 Szumy szum sejsmiczny S 1/2 n ( f ) 10 12( 10 Hz ) 2 Hz 1/2, f > 10 Hz f Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 108(126)

447 Szumy szum sejsmiczny S 1/2 n ( f ) 10 12( 10 Hz ) 2 Hz 1/2, f > 10 Hz f Lustra na wahadłach S 1/2 n f wah = 0, 76 Hz ( f ) 10 12( f wah f ) 2 ( 10 Hz ) 2 Hz 1/2, f > 10 Hz f Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 108(126)

448 Szumy szum sejsmiczny S 1/2 n ( f ) 10 12( 10 Hz ) 2 Hz 1/2, f > 10 Hz f Lustra na wahadłach S 1/2 n f wah = 0, 76 Hz ( f ) 10 12( f wah f Siedmiostopniowy tłumik drgań S 1/2 n ( f ) 10 12( f wah f ) 2 ( 10 Hz ) 2 Hz 1/2, f > 10 Hz f ) 2 ( 10 Hz ) 10 Hz 1/2, f > 10 Hz f Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 108(126)

450 Szumy Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany ze wzbudzeniami modów wibracyjnych luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 1/2 Hz 1/2, f Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)

451 Szumy Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany ze wzbudzeniami modów wibracyjnych luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 1/2 Hz 1/2, f oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 5/2 Hz 1/2, f Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)

452 Szumy Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany ze wzbudzeniami modów wibracyjnych luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 1/2 Hz 1/2, f oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 5/2 Hz 1/2, f dyspersja rozkładu fotonów (shot noise) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)

453 Szumy Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany ze wzbudzeniami modów wibracyjnych luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 1/2 Hz 1/2, f oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 5/2 Hz 1/2, f dyspersja rozkładu fotonów (shot noise) wahania ciśnienia promieniowania Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)

454 Szumy Szum termiczny w temperaturze pokojowej związany ze wzbudzeniami modów wibracyjnych luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 1/2 Hz 1/2, f oraz termiczną rozciągliwością podwieszenia luster S 1/2 n ( f ) 10 23( 100 Hz ) 5/2 Hz 1/2, f dyspersja rozkładu fotonów (shot noise) wahania ciśnienia promieniowania zmiany pola grawitacyjnego w okolicy S 1/2 n ( f ) ( 10 Hz ) 2 Hz 1/2, f > 10 Hz f Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 109(126)

455 Charakterystyka szumów Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 110(126)

456 Charakterystyka szumów Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 110(126)

457 Planowane modyfikacje Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 111(126)

458 Planowane modyfikacje ulepszona izolacja sejsmiczna aktywna izolacja sejsmiczna (sieć czujników z wyprzedzeniem informująca o zbliżających się ruchach gruntu) kompensująca przewidywane drgania lepszej jakości elementy optyczne zmniejszające szum termiczny na niskich częstotliwościach, a także umożliwiający zwiększenie mocy lasera masywniejsze lustra (dzięki temu mniejszy szum związany z ciśnieniem promieniowania) interferometry podziemne (mniejsze zaburzenia sejsmiczne) (Japonia) chłodzone lustra (cały układ tłumiący) (Japonia) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 111(126)

459 LISA Laser Interferometer Space Antenna (LISA) is a planned NASA/ESA mission to measure gravitational waves through spacecraft tracking using laser interferometry. LISA will consist of a triangular constellation of three spacecraft in heliocentric orbits that trail the Earth s orbit by 20. The inter-spacecraft distance will be m, and laser interferometry between pairs of detectors is used to track the inter-spacecraft separations. Contained within each spacecraft will be two proof masses that move along spacetime geodesics (the surrounding spacecraft follow the motion of the proof masses and shield them from external buffeting, e.g. from the solar wind and radiation). LISA will be sensitive to gravitational waves between 0.03 mhz and 0.1 Hz. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 112(126)

462 Filtr wzmacniający Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)

463 Filtr wzmacniający Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t). Detektor rejestruje sygnał s(t) = h(t) + n(t) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)

464 Filtr wzmacniający Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t). Detektor rejestruje sygnał s(t) = h(t) + n(t) n(t) = 0, N(ω)N (ω ) = π S n (ω)δ(ω ω ) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)

465 Filtr wzmacniający Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t). Detektor rejestruje sygnał s(t) = h(t) + n(t) n(t) = 0, N(ω)N (ω ) = π S n (ω)δ(ω ω ) szukamy (rzeczywistego) filtru wzmacniającego k(t), takiego aby stosunek sygnału do szumu SNR był maksymalny SNR := x (Var x)h=0, gdzie x jest zmienną losową x = R k(t)s(t)dt, x = k(t)h(t)dt R Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)

466 Filtr wzmacniający Sygnał grawitacyjny h(t) jest efektywnie zaszumiony przez n(t). Detektor rejestruje sygnał s(t) = h(t) + n(t) n(t) = 0, N(ω)N (ω ) = π S n (ω)δ(ω ω ) szukamy (rzeczywistego) filtru wzmacniającego k(t), takiego aby stosunek sygnału do szumu SNR był maksymalny SNR := x (Var x)h=0, gdzie x jest zmienną losową x = R k(t)s(t)dt, x = k(t)h(t)dt R Na poziomie częstości ( 1 ) 2 x 2 = 2π R K (ω)h(ω)dω 2 = ( 1 ) 2 K H 2 2π Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 113(126)

467 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)

468 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Na poziomie częstości Var x = x 2 h=0 = 1 4π S n(ω) K(ω) 2 dω = 1 R 4π S1/2 n K S 1/2 n K Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)

469 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Na poziomie częstości Var x = x 2 h=0 = 1 4π S n(ω) K(ω) 2 dω = 1 R 4π S1/2 n K S 1/2 n K Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako SNR 2 = 1 π K H 2 S 1/2 n K S 1/2 n K = 1 π S 1/2 n K S 1/2 n H 2 S 1/2 n K 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)

470 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Na poziomie częstości Var x = x 2 h=0 = 1 4π S n(ω) K(ω) 2 dω = 1 R 4π S1/2 n K S 1/2 n K Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako SNR 2 = 1 π K H 2 S 1/2 n K S 1/2 n K = 1 π Z nierówności Cauchy ego-schwartza S 1/2 n K S 1/2 n H 2 S 1/2 n K 2 S 1/2 n K S 1/2 n H 2 S 1/2 n K 2 S 1/2 n H 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)

471 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Na poziomie częstości Var x = x 2 h=0 = 1 4π S n(ω) K(ω) 2 dω = 1 R 4π S1/2 n K S 1/2 n K Stosunek sygnału do szumu można zapisać jako SNR 2 = 1 π K H 2 S 1/2 n K S 1/2 n K = 1 π Z nierówności Cauchy ego-schwartza Ostatecznie S 1/2 n K S 1/2 n H 2 S 1/2 n K 2 S 1/2 n K S 1/2 n H 2 S 1/2 n K 2 S 1/2 n H 2 SNR 2 1 π S 1/2 n H 2 przy czym równość jest osiągana przy spełnieniu warunku n (ω)k(ω) = αsn 1/2 (ω)h(ω) S 1/2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 114(126)

472 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 115(126)

473 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Postać k(t) (α = 2π) k(t) = R H(ω) S n (ω) eiωt dω Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 115(126)

474 Filtrowanie wzmacniające poszukiwany sygnał (matched filtering) Postać k(t) (α = 2π) k(t) = R H(ω) S n (ω) eiωt dω Optymalny stosunek sygnału do szumu SNR 2 = 1 π R H(ω) 2 S n (ω) dω Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 115(126)

475 Sygnał z 15 września 2015 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 116(126)

476 Sygnał z 15 września 2015 Rysunek : LIGO Livingston Observatory was the first detector to sense the passage of a gravitational wave. Hanford detected the gravitational wave signal 7 milliseconds after Livingston, but the Hanford signal was more prominent. Hanford s interferometer was more sensitive than Livingston at the time of the detection. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 116(126)

477 Sygnał z 15 września 2015 Rysunek : Shape of first detection waveform. The blue line shows the stretching and shrinking of the Hanford Observatory s arms, and the orange line shows how Livingston s arms responded in the presence of the gravitational wave. The scale on the vertical axis (10 18 meters) reveals that for this detection, LIGO measured movement times smaller than a proton! Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 117(126)

478 Sygnał z 15 września 2015 Rysunek : The top two plots show data received at Livingston and Hanford, along with the predicted shapes for the waveform. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 118(126)

479 Ogłoszenie obserwacji Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 119(126)

480 Detektor Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 120(126)

481 Algorytmy poszukujące Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)

482 Algorytmy poszukujące 1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniem filtrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matched filtering) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)

483 Algorytmy poszukujące 1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniem filtrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matched filtering) poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu o wzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej Teorii Względności (ok wzorców zderzeń) poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedziale częstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)

484 Algorytmy poszukujące 1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniem filtrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matched filtering) poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu o wzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej Teorii Względności (ok wzorców zderzeń) poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedziale częstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca 2 Sprawdzanie zgodności obserwacji na obu detektorach i określenie statystycznej istotności zdarzenia (1 zdarzenie na lat) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)

485 Algorytmy poszukujące 1 Dwa rodzaje algorytmów wyszukujących z zastosowaniem filtrowania wzmacniającego poszukiwany sygnał (matched filtering) poszukiwanie sygnału zderzeń masywnych obiektów w oparciu o wzorce sygnałów obliczone w ramach numerycznej Ogólnej Teorii Względności (ok wzorców zderzeń) poszukiwanie silnego sygnału w możliwie najszerszym przedziale częstości i minimalnych założeniach co do jego wzorca 2 Sprawdzanie zgodności obserwacji na obu detektorach i określenie statystycznej istotności zdarzenia (1 zdarzenie na lat) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 121(126)

486 Polska grupa Virgo-Polgraw Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 122(126)

487 Polska grupa Virgo-Polgraw 9 polskich jednostek naukowych Kierownikiem projektu jest prof. Andrzej Królak z Instytutu Matematycznego PAN Grupa zajmuje się analizą danych, rozwijaniem statystycznej teorii wykrywania sygnałów, modelowaniem astrofizycznych źródeł fal grawitacyjnych, przewidywaniami dotyczącymi populacji tych źródeł, obserwacjami emisji elektromagnetycznej towarzyszącej emisji fal grawitacyjnych oraz budową interferometru Virgo Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 122(126)

488 Dane astrofizyczne i wnioski Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 123(126)

489 Dane astrofizyczne i wnioski Masa grawitonu < ev/c 2 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 123(126)

490 Dane astrofizyczne i wnioski Masa grawitonu < ev/c 2 Istnienie czarnych dziur o masach > 25 M Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 123(126)

491 Sygnał z 26 grudnia 2015 Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 124(126)

492 Sygnał z 26 grudnia 2015 Rysunek : Based on current waveform modeling, we find that GW passed through LIGO s sensitive band in 1 s, increasing in frequency over approximately 55 cycles from 35 Hz to a peak amplitude at 450 Hz. The signal-to-noise ratio (SNR) accumulates equally in the early inspiral (45 cycles from 35 to 100 Hz) and late inspiral to merger (10 cycles from 100 to 450 Hz). This is different from the more massive GW binary for which only the last 10 cycles, comprising inspiral and merger, dominated the SNR Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 125(126)

493 Dane astrofizyczne Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 126(126)

494 Czekamy na kolejne detekcje Rysunek : The joint research team of NAOJ and other research institutes succeeded in observing a very close binary black hole system just before its merger. Recent observation results provide possible evidence that a supermassive black hole with billions of times the mass of the Sun exists in the center of active galactic nuclei 3C66B, which is a giant radio galaxy and a giant elliptical galaxy, by observing the orbital motion of the central core in the galaxy. The team conducted further detailed observations at millimeter wavelengths and identified that the binary black hole will merge in about 500 years. Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 127(126)

Pokazać jeszcze