Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni
|
|
|
- Bożena Świątek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Konferencja SEM Formalizmy tak czy nie? Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Joanna Jaszuńska Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz Instytut Matematyczny PAN Krzywe X 2017 Joanna Jaszuńska
2 Mamy dwa ziemniaki. Krzywe... 2 Joanna Jaszuńska
3 Mamy dwa ziemniaki. Wykaż, że istnieje taka krzywa zamknięta, którą da się narysować na powierzchni każdego z nich. Krzywe... 2 Joanna Jaszuńska
4 Mamy dwa ziemniaki. Wykaż, że istnieje taka krzywa zamknięta, którą da się narysować na powierzchni każdego z nich. Zamiast ziemniaków rozważmy ich duchy. Krzywe... 2 Joanna Jaszuńska
5 Mamy dwa ziemniaki. Wykaż, że istnieje taka krzywa zamknięta, którą da się narysować na powierzchni każdego z nich. Zamiast ziemniaków rozważmy ich duchy. Niech duchy te wzajemnie się przenikają. Krzywe... 2 Joanna Jaszuńska
6 Mamy dwa ziemniaki. Wykaż, że istnieje taka krzywa zamknięta, którą da się narysować na powierzchni każdego z nich. Zamiast ziemniaków rozważmy ich duchy. Niech duchy te wzajemnie się przenikają. Szukaną krzywą znajdziemy na wspólnej części ich powierzchni. Krzywe... 2 Joanna Jaszuńska
7 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Krzywe... 3 Joanna Jaszuńska
8 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Krzywe... 3 Joanna Jaszuńska
9 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Krzywe... 3 Joanna Jaszuńska
10 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób I (niezbyt formalny) Krzywe... 3 Joanna Jaszuńska
11 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób I (niezbyt formalny) Krzywe... 3 Joanna Jaszuńska
12 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób I (niezbyt formalny) Krzywe... 4 Joanna Jaszuńska
13 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób I (niezbyt formalny) Takie dwie krzywe muszą się gdzieś przeciąć. Krzywe... 4 Joanna Jaszuńska
14 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób I (niezbyt formalny) Takie dwie krzywe muszą się gdzieś przeciąć. Krzywe... 5 Joanna Jaszuńska
15 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób II (ciut bardziej formalny?) Krzywe... 6 Joanna Jaszuńska
16 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób II (ciut bardziej formalny?) Krzywe... 6 Joanna Jaszuńska
17 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób II (ciut bardziej formalny?) Dzień pierwszy: f(t), dzień drugi: g(t) Krzywe... 6 Joanna Jaszuńska
18 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób II (ciut bardziej formalny?) Dzień pierwszy: f(t), dzień drugi: g(t), obie są ciągłe, zatem h(t) = f(t) g(t) też. Krzywe... 6 Joanna Jaszuńska
19 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób II (ciut bardziej formalny?) Dzień pierwszy: f(t), dzień drugi: g(t), obie są ciągłe, zatem h(t) = f(t) g(t) też. h(8 00 ) < 0 oraz h(20 00 ) > 0 Krzywe... 6 Joanna Jaszuńska
20 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób II (ciut bardziej formalny?) Dzień pierwszy: f(t), dzień drugi: g(t), obie są ciągłe, zatem h(t) = f(t) g(t) też. h(8 00 ) < 0 oraz h(20 00 ) > 0, więc z własności Darboux istnieje takie 8 00 < t < 20 00, że h(t) = 0 Krzywe... 6 Joanna Jaszuńska
21 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób II (ciut bardziej formalny?) Dzień pierwszy: f(t), dzień drugi: g(t), obie są ciągłe, zatem h(t) = f(t) g(t) też. h(8 00 ) < 0 oraz h(20 00 ) > 0, więc z własności Darboux istnieje takie 8 00 < t < 20 00, że h(t) = 0, czyli f(t) = g(t). Krzywe... 6 Joanna Jaszuńska
22 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób III (zupełnie nieformalny) Krzywe... 7 Joanna Jaszuńska
23 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób III (zupełnie nieformalny) Drugiego dnia pod górę idzie sobowtór turysty, dokładnie naśladujący jego trasę z dnia pierwszego. Krzywe... 7 Joanna Jaszuńska
24 Pewnego poranka o godzinie 8 00 turysta wyruszył z domu u podnóża góry i o dotarł do schroniska na szczycie. Dzień później o 8 00 ruszył w dół tą samą trasą i o był w domu. Udowodnij, że istnieje taki punkt, w którym turysta był w oba dni dokładnie o tej samej godzinie. Sposób III (zupełnie nieformalny) Drugiego dnia pod górę idzie sobowtór turysty, dokładnie naśladujący jego trasę z dnia pierwszego. Turysta i jego sobowtór gdzieś się muszą minąć! Krzywe... 7 Joanna Jaszuńska
25 Gry Krzywe... 8 Joanna Jaszuńska
26 Gry Twierdzenie. Jeśli w grze dwuosobowej: gracze wykonują ruchy na przemian, Krzywe... 8 Joanna Jaszuńska
27 Gry Twierdzenie. Jeśli w grze dwuosobowej: gracze wykonują ruchy na przemian, nie ma elementów losowych, Krzywe... 8 Joanna Jaszuńska
28 Gry Twierdzenie. Jeśli w grze dwuosobowej: gracze wykonują ruchy na przemian, nie ma elementów losowych, obaj gracze mają pełną informację, Krzywe... 8 Joanna Jaszuńska
29 Gry Twierdzenie. Jeśli w grze dwuosobowej: gracze wykonują ruchy na przemian, nie ma elementów losowych, obaj gracze mają pełną informację, gra jest skończona i bez remisów, Krzywe... 8 Joanna Jaszuńska
30 Gry Twierdzenie. Jeśli w grze dwuosobowej: gracze wykonują ruchy na przemian, nie ma elementów losowych, obaj gracze mają pełną informację, gra jest skończona i bez remisów, to któryś z graczy (I rozpoczynający albo II) ma strategię wygrywającą. Krzywe... 8 Joanna Jaszuńska
31 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Krzywe... 9 Joanna Jaszuńska
32 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe Krzywe... 9 Joanna Jaszuńska
33 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: Krzywe... 9 Joanna Jaszuńska
34 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, Krzywe... 9 Joanna Jaszuńska
35 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, Krzywe... 9 Joanna Jaszuńska
36 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, Krzywe... 9 Joanna Jaszuńska
37 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, clr przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe... 9 Joanna Jaszuńska
38 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, clr przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe Joanna Jaszuńska
39 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, clr przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe Joanna Jaszuńska
40 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, clr przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe Joanna Jaszuńska
41 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, clr przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe Joanna Jaszuńska
42 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, clr przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe Joanna Jaszuńska
43 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, clr przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe Joanna Jaszuńska
44 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, Krzywe Joanna Jaszuńska
45 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Krzywe Joanna Jaszuńska
46 Black Path Game (William Black, Elwyn R. Berlekamp) Prostokątna plansza podzielona na kwadratowe pola jednostkowe, gracze na przemian rysują, lub, przy czym: gracz I zaczyna od + w lewym górnym rogu, gracz II gra obok, przedłużając jedno z ramion +, każdy gracz musi w swoim ruchu wydłużać czarną ścieżkę, przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy. Kto ma strategię wygrywającą? Krzywe Joanna Jaszuńska
47 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Krzywe Joanna Jaszuńska
48 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina Krzywe Joanna Jaszuńska
49 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Krzywe Joanna Jaszuńska
50 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Krzywe Joanna Jaszuńska
51 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Krzywe Joanna Jaszuńska
52 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Następnie zawsze gra w pustej kostce domina i do środka. Krzywe Joanna Jaszuńska
53 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Następnie zawsze gra w pustej kostce domina i do środka. Może tak robić! Krzywe Joanna Jaszuńska
54 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Następnie zawsze gra w pustej kostce domina i do środka. Może tak robić! Na planszy o parzystej liczbie pól wygrywa gracz I Krzywe Joanna Jaszuńska
55 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Następnie zawsze gra w pustej kostce domina i do środka. Może tak robić! Na planszy o parzystej liczbie pól wygrywa gracz I Po pierwszym ruchu gracza II dzieli całą planszę na kostki domina tak, aby dwa zajęte już pola tworzyły jedną kostkę (da się). Krzywe Joanna Jaszuńska
56 Na planszy o nieparzystej liczbie pól wygrywa gracz II Dzieli całą planszę bez początkowego pola na kostki domina (da się!). Następnie zawsze gra w pustej kostce domina i do środka. Może tak robić! Na planszy o parzystej liczbie pól wygrywa gracz I Po pierwszym ruchu gracza II dzieli całą planszę na kostki domina tak, aby dwa zajęte już pola tworzyły jedną kostkę (da się). Następnie gra jak wyżej. Krzywe Joanna Jaszuńska
57 Zmieńmy teraz regułę przegrywania: przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy, chyba że zrobi to w prawym dolnym rogu wtedy wygrywa. Krzywe Joanna Jaszuńska
58 Zmieńmy teraz regułę przegrywania: przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy, chyba że zrobi to w prawym dolnym rogu wtedy wygrywa. Strategia gracza I dla parzystej liczby pól działa teraz na planszy o nieparzystej liczbie pól z usuniętą metą. Krzywe Joanna Jaszuńska
59 Zmieńmy teraz regułę przegrywania: przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy, chyba że zrobi to w prawym dolnym rogu wtedy wygrywa. Strategia gracza I dla parzystej liczby pól działa teraz na planszy o nieparzystej liczbie pól z usuniętą metą. Jeśli plansza ma dokładnie jeden wymiar parzysty Krzywe Joanna Jaszuńska
60 Zmieńmy teraz regułę przegrywania: przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy, chyba że zrobi to w prawym dolnym rogu wtedy wygrywa. Strategia gracza I dla parzystej liczby pól działa teraz na planszy o nieparzystej liczbie pól z usuniętą metą. Jeśli plansza ma dokładnie jeden wymiar parzysty, gracz II dzieli na domina planszę bez pola startowego i mety (da się) i wygrywa jak zwykle. Krzywe Joanna Jaszuńska
61 Zmieńmy teraz regułę przegrywania: przegrywa gracz, który doprowadzi ścieżkę do brzegu planszy, chyba że zrobi to w prawym dolnym rogu wtedy wygrywa. Strategia gracza I dla parzystej liczby pól działa teraz na planszy o nieparzystej liczbie pól z usuniętą metą. Jeśli plansza ma dokładnie jeden wymiar parzysty, gracz II dzieli na domina planszę bez pola startowego i mety (da się) i wygrywa jak zwykle. Planszy o obu wymiarach parzystych z usuniętym polem startowym i metą nie da się podzielić na kostki domina. Krzywe Joanna Jaszuńska
62 Planszy o obu wymiarach parzystych z usuniętym polem startowym i metą nie da się podzielić na kostki domina Krzywe Joanna Jaszuńska
63 Planszy o obu wymiarach parzystych z usuniętym polem startowym i metą nie da się podzielić na kostki domina Krzywe Joanna Jaszuńska
64 Planszy o obu wymiarach parzystych z usuniętym polem startowym i metą nie da się podzielić na kostki domina Pole startowe i meta są jednego koloru Krzywe Joanna Jaszuńska
65 Planszy o obu wymiarach parzystych z usuniętym polem startowym i metą nie da się podzielić na kostki domina Pole startowe i meta są jednego koloru, więc bez nich zostaje inna liczba pól białych niż czarnych. Krzywe Joanna Jaszuńska
66 Planszy o obu wymiarach parzystych z usuniętym polem startowym i metą nie da się podzielić na kostki domina Pole startowe i meta są jednego koloru, więc bez nich zostaje inna liczba pól białych niż czarnych. Każda kostka domina ma jedno pole białe i jedno czarne. Krzywe Joanna Jaszuńska
67 Nowa strategia dla gracza II W pierwszym swoim ruchu kieruje ścieżkę w prawo i w dół: Krzywe Joanna Jaszuńska
68 Nowa strategia dla gracza II W pierwszym swoim ruchu kieruje ścieżkę w prawo i w dół: Krzywe Joanna Jaszuńska
69 Nowa strategia dla gracza II W pierwszym swoim ruchu kieruje ścieżkę w prawo i w dół: Dzieli na kostki domina planszę bez 3 zajętych już pól, 2 pól Z i mety Krzywe Joanna Jaszuńska
70 Nowa strategia dla gracza II W pierwszym swoim ruchu kieruje ścieżkę w prawo i w dół: Dzieli na kostki domina planszę bez 3 zajętych już pól, 2 pól Z i mety (da się!). Krzywe Joanna Jaszuńska
71 Nowa strategia dla gracza II W pierwszym swoim ruchu kieruje ścieżkę w prawo i w dół: Dzieli na kostki domina planszę bez 3 zajętych już pól, 2 pól Z i mety (da się!). Parę pól Z gracz II też uznaje za jedno domino. Krzywe Joanna Jaszuńska
72 Nowa strategia dla gracza II W pierwszym swoim ruchu kieruje ścieżkę w prawo i w dół: Dzieli na kostki domina planszę bez 3 zajętych już pól, 2 pól Z i mety (da się!). Parę pól Z gracz II też uznaje za jedno domino. Dalej gra jak zwykle. Krzywe Joanna Jaszuńska
73 Jaka bryła oświetlona z trzech prostopadłych kierunków równoległymi promieniami rzuci odpowiednio cienie w kształcie koła, kwadratu i trójkąta równoramiennego? Krzywe Joanna Jaszuńska
74 Jaka bryła oświetlona z trzech prostopadłych kierunków równoległymi promieniami rzuci odpowiednio cienie w kształcie koła, kwadratu i trójkąta równoramiennego? Krzywe Joanna Jaszuńska
75 Czy istnieje w przestrzeni taka łamana zamknięta, której żaden z rzutów na płaszczyzny w ustalonych trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach nie zawiera łamanej zamkniętej? Krzywe Joanna Jaszuńska
76 Czy istnieje w przestrzeni taka łamana zamknięta, której żaden z rzutów na płaszczyzny w ustalonych trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach nie zawiera łamanej zamkniętej? Krzywe Joanna Jaszuńska
77 Czy istnieje w przestrzeni taka łamana zamknięta, której żaden z rzutów na płaszczyzny w ustalonych trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach nie zawiera łamanej zamkniętej? Krzywe Joanna Jaszuńska
78 Czy istnieje w przestrzeni taka łamana zamknięta, której żaden z rzutów na płaszczyzny w ustalonych trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach nie zawiera łamanej zamkniętej? Krzywe Joanna Jaszuńska
79 Czy istnieje w przestrzeni taka łamana zamknięta, której żaden z rzutów na płaszczyzny w ustalonych trzech wzajemnie prostopadłych kierunkach nie zawiera łamanej zamkniętej? Krzywe Joanna Jaszuńska
80 Połącz kropki wersja raczej formalna Danych jest 9 punktów: wierzchołki, środki boków i środek kwadratu 2 2. Połącz wszystkie te punkty za pomocą łamanej złożonej z 4 odcinków. Krzywe Joanna Jaszuńska
81 Połącz kropki wersja raczej formalna Danych jest 9 punktów: wierzchołki, środki boków i środek kwadratu 2 2. Połącz wszystkie te punkty za pomocą łamanej złożonej z 4 odcinków. Krzywe Joanna Jaszuńska
82 Połącz kropki wersja nieformalna Połącz kropki, rysując 4 odcinki bez odrywania ołówka od papieru. Krzywe Joanna Jaszuńska
83 Połącz kropki wersja nieformalna Połącz kropki, rysując 4 odcinki bez odrywania ołówka od papieru. Krzywe Joanna Jaszuńska
84 Połącz kropki wersja nieformalna Połącz kropki, rysując 4 odcinki bez odrywania ołówka od papieru. Krzywe Joanna Jaszuńska
85 Literatura E.R. Berlekamp, J.H. Conway, R.K. Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, A K Peters 2003 A. Brandhof, J. Guichelaar, A. Jaspers, Half a Century of Pythagoras Magazine, MAA Press 2015 P. Winkler, Mathematical Mind Benders, A K Peters 2007 Delta 12/1985, 11/2017, 1/2018 Krzywe Joanna Jaszuńska
86 Czwartkowe wykłady popularne z matematyki 9 listopada 2017 Zajęcia dla grup licealnych na Wydziale MIM UW Kółka olimpijskie w Instytucie Matematycznym PAN gimnazjalne: pon. 16:30-18:00, sala 403, prowadzi Joanna Jaszuńska; licealne: śr. 16:30-18:00, sala 403, prowadzi Michał Wojciechowski. Krzywe Joanna Jaszuńska
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska
Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Zabawa z odległościami
Konferencja SEM Gdzie jest matematyka? Zabawa z odległościami Joanna Jaszuńska Soczewka, 28 listopada 2010 Zabawa z odległościami 1 Joanna Jaszuńska Odległość punktu od figury Odległość punktu A od figury
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Dlaczego warto uczyć się języków obcych?
Konferencja Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej Nim obliczysz, pomyśl! Dlaczego warto uczyć się języków obcych? Joanna Jaszuńska Instytut Matematyczny PAN oraz Wydział Matematyki, Informatyki
gra Chińczyk dla 6 osób
CHIŃCZYK Chińczyk to popularna gra planszowa dla dwóch, trzech lub czterech osób, w której celem graczy jest przejście dookoła planszy czterema pionkami z pozycji początkowych na końcowe. Pierwszy gracz,
ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest
Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)
PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Konkurs dla gimnazjalistów Etap szkolny 12 grudnia 2013 roku
Konkurs dla gimnazjalistów Etap szkolny 1 grudnia 01 roku Instrukcja dla ucznia 1. W zadaniach o numerach od 1. do 1. są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D. Dokładnie jedna z nich jest poprawna.
Treści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Pora na gry planszowe
Mirosław Dąbrowski Pora na gry planszowe Dzieci lubią gry i zabawy, dorośli na ogół zresztą też. To wspólne upodobanie może być bardzo dobrym punktem wyjścia do miłego i pożytecznego spędzenia czasu. Proponujemy
Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym.
Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym. Po uruchomieniu Geogebry (wersja 5.0) Pasek narzędzi Cofnij/przywróć Problem 1: Sprawdź co się stanie, jeśli połączysz
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE
Kraj bez matematyki nie wytrzyma współzawodnictwa z tymi krajami, które matematykę uprawiają Hugo Steinhause X I Dąbrowski Konkurs Matematyczny Dla uczniów klas pierwszych szkół ponad gimnazjalnych Konkurs
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
ARKUSZ VIII
www.galileusz.com.pl ARKUSZ VIII W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Iloczyn liczb 2+ 3 i odwrotności liczby 2 3 jest równy A) 2 3 B) 1 C) 2 3 D) 2+
Mecz Matematyczny. Rozwiązania 11 marca 2016
Mecz Matematyczny Rozwiązania 11 marca 016 Zadanie 1 Na stole leży 9 cuierków. Adam i Bartek grają w następującą grę: każdy z nich w swoim ruchu zabiera ze stołu od 1 do 4 cukierków. Przegrywa gracz, który
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
I. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
GEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY
Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 17 stron
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
MATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków
Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum
8 Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum imię i nazwisko ucznia...... data klasa Test 2 1 Na przeciwległych ścianach każdej z pięciu sześciennych kostek umieszczono odpowiednio liczby: 1 i 1,
Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016
Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH
...... kod pracy ucznia pieczątka nagłówkowa szkoły KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP SZKOLNY Drogi Uczniu, witaj na I etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019 MATEMATYKA Przykładowy arkusz egzaminacyjny (EO_1) Czas pracy: 100 minut GRUDZIEŃ 2017 Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa Zadanie 1. (0 1) Z okazji
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019 MATEMATYKA Przykładowy arkusz egzaminacyjny (EO_4) Czas pracy: do 150 minut GRUDZIEŃ 2017 Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa Zadanie 1. (0 1) Z okazji
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)
Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów województwa mazowieckiego w roku szkolnym 2017/2018. Model odpowiedzi i schematy punktowania
UWAGA KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów województwa mazowieckiego w roku szkolnym 07/08 Model odpowiedzi i schematy punktowania Za każde poprawne rozwiązanie, inne niż przewidziane w schemacie
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Lang: Długość okręgu. pole pierścienia będę chciał znaleźć inne wyrażenie na pole pierścienia. oszacowanie
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY
Kod ucznia Liczba punktów WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJÓW W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 04.01.2018 1. Test konkursowy zawiera 20 zadań. Są to zadania zamknięte i otwarte. Na ich rozwiązanie
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019 MATEMATYKA Przykładowy arkusz egzaminacyjny (EO_7) Czas pracy: do 150 minut GRUDZIEŃ 2017 Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa Zadanie 1. (0 1) Z okazji
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x
Scenariusz lekcji matematyki, klasa 1 LO.
Scenariusz lekcji matematyki, klasa 1 LO. Temat lekcji: Czworokąty: rodzaje, własności, pola czworokątów. Cele: po lekcji uczeń: - rozpoznaje czworokąty, - zna własności czworokątów, - potrafi wskazać
Scenariusz lekcji matematyki w kl. V.
Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. T em a t : Powtórzenie wiadomości o czworokątach. C z a s z a jęć: 1 jednostka lekcyjna (45 minut). C e l e o g ó l n e : utrwalenie wiadomości o figurach geometrycznych
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Regionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 5, grupa zaawansowana (7..009) Gry matematyczne.
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =
Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów oraz oddziałów gimnazjalnych województwa mazowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schematy punktowania Za każde poprawne i pełne rozwiązanie,
Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5
Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
HEX referat z teorii gier
HEX referat z teorii gier Michał Krzemiński i Justyna Signerska Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Hex - Michał Krzemiński, Justyna Signerska referat z teorii gier
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019 MATEMATYKA Przykładowy arkusz egzaminacyjny (EO_5) Czas pracy: do 150 minut GRUDZIEŃ 2017 Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa Zadanie 1. (0 1) Z okazji
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
ZLICZANIE REKURENCYJNE
ZLICZANIE REKURENCYJNE Andrzej Sendlewski Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu MA-TA II, Ciechanów 22 maja 2010 Liczby figuralne jako jeden z najprostszych sposobów wprowadzenia w myślenie rekurencyjne
Egzamin ósmoklasisty od roku szkolnego 2018 / Matematyka. Przykładowy arkusz egzaminacyjny (EO_6) Czas pracy: do 150 minut
Egzamin ósmoklasisty od roku szkolnego 2018 / 2019 Matematyka Przykładowy arkusz egzaminacyjny (EO_6) Czas pracy: do 150 minut Zadanie 1. (0-1) Z okazji Światowego Dnia Książki uczniowie klasy VII zorganizowali
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
COMENIUS PROJEKT ROZWOJU SZKOŁY. Sezamie, otwórz się! - rozwijanie zdolności uczenia i myślenia uczniów.
COMENIUS PROJEKT ROZWOJU SZKOŁY Sezamie, otwórz się! - rozwijanie zdolności uczenia i myślenia uczniów. GIMNAZJUM 20 GDAŃSK POLSKA Maj 2007 SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI Z WYKORZYSTANIEM METODY STOLIKÓW
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 2018/2019
Kod ucznia Data urodzenia ucznia dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 2018/2019 Instrukcja dla ucznia
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Regionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 2018/2019
Kod ucznia Data urodzenia ucznia dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego ETAP WOJEWÓDZKI rok szkolny 018/019 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź,
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR MATEMATYKA - poziom podstawowy
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdaj cego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamie ć w miejscu na to przeznaczonym.
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdaj cego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów szkół podstawowych województwa mazowieckiego w roku szkolnym 01/019 Model odpowiedzi i schematy punktowania Za każde poprawne i pełne rozwiązanie, inne niż przewidziane
Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/
Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A
Przyrządy do kreślenia, plansza połażenie prostych i odcinków, kąty, domino, krzyżówka, kartki z gotowymi figurami.
Powtórzenie wiadomości o figurach geometrycznych. 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: - zna podstawowe figury geometryczne, - zna własności figur, - zna pojęcie kąta oraz wierzchołka i ramion kąta. b)
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W ROKU SZKOLNYM 2015/2016
Etap wojewódzki 20 lutego 2016 r. Godzina 11.00 Kod ucznia Instrukcja dla ucznia Zanim przystąpisz do rozwiązywania arkusza przepisz na tę stronę Kod ucznia z karty kodowej. 1, Sprawdź, czy zestaw zawiera
Wymagania na poszczególne oceny szkolne
MATEMATYKA Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa 8 Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W poniższej tabeli umiejętności
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów i oddziałów gimnazjalnych województwa pomorskiego w roku szkolnym 2018/2019 etap wojewódzki
WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów i oddziałów gimnazjalnych województwa pomorskiego w roku szkolnym 2018/2019 etap wojewódzki Zad.1. (0-3) PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA I KRYTERIA OCENIANIA
XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012
XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012 Etap II Klasa IV Marcin, Michał i Bartek będąc w gościach zostali poczęstowani trzema rodzajami ciast: sernikiem, keksem
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
ARKUSZ X
www.galileusz.com.pl ARKUSZ X W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 3 2 jest równa A) 5 2 B) 6 2 C) 6 2 D) 2 Zadanie 2. (0-1 pkt) Kurtka zimowa
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VIII
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VIII DZIAŁ 1. PIERWIASTKI 1.1. Pierwiastek kwadratowy 1.2. Pierwiastek sześcienny pierwiastek drugiego stopnia z kwadratu liczby nieujemnej - podnosi do potęgi
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Ile takich samych butelek wody należy dolać do dzbanka, aby sok stanowił 25% napoju? Wybierz odpowiedź spośród podanych.
Zadanie 1. Do dzbanka wlano 2 jednakowe butelki soku. Ile takich samych butelek wody należy dolać do dzbanka, aby sok stanowił 25% napoju? Wybierz odpowiedź spośród podanych.. 2. 4 C. 6 D. 8 Zadanie 2.
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A I. Strona 1 z 7
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi Arkusz A I Strona z 7 Wersja A Odpowiedzi Zadanie 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 Odpowiedź C D B B C C A D A B A B C Zadanie 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej liczby
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.