ZLICZANIE REKURENCYJNE

Transkrypt

1 ZLICZANIE REKURENCYJNE Andrzej Sendlewski Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu MA-TA II, Ciechanów 22 maja 2010

2 Liczby figuralne jako jeden z najprostszych sposobów wprowadzenia w myślenie rekurencyjne

3 PROBLEM 1. Rysujemy kolejne kwadraty o bokach długości całkowitej i dzielimy je na kwadraty jednostkowe Z ilu kwadratów jednostkowych składa się kwadrat o boku długości n? Ile jest wszystkich kwadratów na n-tym rysunku?

4 3 4 k(n) = 1, jeżeli n = 1; k(n 1) + 2n 1, jeżeli n > 0.

5 2 3 4 k(n) = 1, jeżeli n = 1; 4, jeżeli n = 2; k(n 2) + 4n 4, jeżeli n > 0.

6 PROBLEM 2. Rysujemy kolejne trójkąty o bokach długości całkowitej i dzielimy je na przystające trójkąty o boku Z ilu małych trójkątów składa się trójkąt o boku długości n? Ile jest wszystkich trójkątów równobocznych na n-tym rysunku?

7 3 4 k(n) = 1, jeżeli n = 1; k(n 1) + n + (n 1), jeżeli n > 0.

8 PROBLEM 3. Z jednakowych monet układamy kolejne trójkąty równoboczne, tak jak na rysunku Jaka jest wartość monet tworzących n ty trójkąt?

9 3 4 t(n) = 1, jeżeli n = 1; t(n 1) + n, jeżeli n > 1.

10 k(n) = t(n) + t(n 1)

11 Z równości (n + 1) 2 = k(n + 1) = 2t(n) + (n + 1) mamy n(n + 1) t(n) = 2

12 PROBLEM 4. Z jednakowych sześciennych klocków budujemy kolejne piramidy trójkątne, jak na rysunku Z ilu sześciennych klocków zbudowana jest n ta piramida trójkątna?

13 3 4 Żółta ściana zbudowana jest z t(n) sześciennych klocków, a więc pt(n) = pt(n 1) + 1, jeżeli n = 1; n(n + 1), jeżeli n > 1. 2

14 PROBLEM 5. Z jednakowych sześciennych klocków budujemy kolejne piramidy kwadratowe, jak na rysunku Z ilu sześciennych klocków zbudowana jest n ta piramida?

15 3 Żółta podstawa zbudowana jest z k(n) sześciennych klocków, a więc p(n) = 1, jeżeli n = 1; p(n 1) + n 2, jeżeli n > 1. 4

16 Co wspólnego z ciągiem Fibonacci ego ma: bieganie po schodach, układanie kafelków, gra w koszykówkę, liczenie kodów kreskowych?

17 PROBLEM 6. Na taras wieży widokowej prowadzą schody o n stopniach. n n 1 n Turysta wchodzi na taras wykonując losowo kroki co 1 albo co 2 stopnie. Na ile sposobów turysta może przejść schody?

18 n 1 n n s(n) = 1, jeżeli n = 1; 2, jeżeli n = 2; s(n 2) + s(n 1), jeżeli n > 2.

19 PROBLEM 7. Mamy pokryć prostokątny pas podłogi o wymiarach n 2 prostokątnymi kafelkami o wymiarach 2 1. (kafelków nie wolno łamać.) Na ile sposobów możemy to zrobić?

20 s(n) = n 1 1 n 2 2 1, jeżeli n = 1; 2, jeżeli n = 2; s(n 2) + s(n 1), jeżeli n > 2.

21 PROBLEM 8. Ile jest sposobów zdobycia n punktów w meczu koszykówki przez jedną z drużyn?

22 l(1) = 1, l(2) = 2, l(3) = 4.

23 n 3 n 2 n 1 n l(n) = 1, jeżeli n = 1; 2, jeżeli n = 2; 4, jeżeli n = 3; l(n 3) + l(n 2) + l(n 1), jeżeli n > 3.

24 n l(n)

25 PROBLEM 9.(porównaj Junior 2010, pytanie 30) Pasek kodu kreskowego tworzą na przemian kreski czarne i białe. Kod ten zawsze zaczyna się i kończy czarną kreską. Każda z kresek (czy to czarna, czy biała) ma grubość 1 albo 2 (przykładowy kod na rysunku). n Ile jest pasków długości n o różnych kodach (kody zawsze czytamy od lewej do prawej strony)?

26 L(1) = 1, L(2) = 1, L(3) = 1, L(4) = 3.

27 n 2 n 3 n n n 3 n 4 n n L(n) = L(n 2) + 2 L(n 3) + L(n 4)

28 n L(n)

29 Zbiór skończony i jego podzbiory, rozkłady zbioru w rodziny podzbiorów

30 PROBLEM 10. Zbiór X ma n elementów. Ile jest różnych podzbiorów zbioru X o k elementach? Jeśli k > n, to nie istnieje żaden podzbiór zbioru X o k elementach. Załóżmy więc, że 0 k n. Niech C(n, k) oznacza liczbę wszystkich k elementowych podzbiorów zbioru X.

31 Oczywiście C(n, 0) = 1, C(n, n) = 1. Ustalmy element x X. Niech Y będzie dowolnym k elementowym podzbiorem zbioru X. Mamy dwa przypadki: x / Y albo x Y x x Y Y X X C(n, k) = C(n 1, k 1) + C(n 1, k)

32 Trójkąt Pascala n k

33 PROBLEM 11. Danych jest n różnokolorowych kredek. Kredki te rozkładamy do k jednakowych (nierozróżnialnych) pudełek tak, że w każdym z tych pudełek znajdzie się przynajmniej jedna kredka. Na ile sposobów możemy to zrobić? Niech X oznacza zbiór kredek. Każde rozłożenie kredek do k pudełek powoduje rozbicie zbioru X na k niepustych podzbiorów X 1, X 2,..., X k. Oznaczmy poszukiwaną liczbę przez S(n, k).

34 Jeśli k > n, to żądany rozkład jest niemożliwy. Załóżmy więc, że 1 k n. Gdy k = 1, to jedyną klasą musi być cały zbiór X, więc: S(n, 1) = 1. Podobnie, gdy k = n, to jedynym rozkładem jest rodzina zbiorów jednoelementowych {{z}; z X}, więc: S(n, n) = 1.

35 Niech 1 < k < n. Ustalmy element x X. Jeżeli weźmiemy dowolny rozkład zbioru X na k klas, to mamy dwa przypadki: albo {x} jest klasą tego rozkładu, albo {x} nie jest klasą tego rozkładu x klasa {x} k 1 klas x k klas X X {x} S(n, k) = S(n 1, k 1) + k S(n 1, k)

36 Liczby Stirlinga n k

37 O pewnym meczu piłkarskim, czyli o zliczaniu ścieżek w grafie skierowanym

38 PROBLEM 12. (porównaj Junior 2006, pytanie 30) W meczu piłki ręcznej drużyna gospodarzy objęła prowadzenie i utrzymała je do stanu n : k (oczywiście n > k). Na ile sposobów mogły padać bramki w tym meczu do tego momentu? Zilustrujmy możliwy przebieg meczu do stanu n : k, n > k, za pomocą grafu zorientowanego. Wynikowi x : y przyporządkujmy punkt kratowy o współrzędnych (x, y), a punkty (x, y) łączymy strzałkami z punktami (u, v), gdy wynik u : v jest możliwym wynikiem bezpośrednio po wyniku x : y. Graf taki dla n = 6 i k = 5 przedstawia rysunek na następnym slajdzie.

39 5 y B x O

40 Oznaczmy przez w(n, k) liczbę wszystkich ścieżek prowadzących od punktu (0, 0) do punktu (n, k). Mamy: a) jeżeli k = 0, to dla n > 0; w(0, 0) = 0 b) jeżeli k = 1, to oraz dla n > 2; oraz w(2, 1) = 1 w(n, 0) = 1 w(n, 1) = w(n, 0) + w(n 1, 1)

41 c) jeżeli 1 < k < n 1, to w(n, k) = w(n, k 1) + w(n 1, k) d) jeżeli k = n 1, to czyli w(n, k) = w(n, k 1), w(n, n 1) = w(n, n 2).

42 Tabela wartości w(n, k) n k

43 Większe wartości w(n, k) mogące być wynikami rzeczywistego meczu: w(20, 15) = , w(20, 16) = , w(20, 17) = , w(20, 18) = , w(20, 19) =