Wstęp do sieci neuronowych, wykład 10 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wstęp do sieci neuronowych, wykład 10 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda"

Transkrypt

1 Wstęp do sieci neuronowych, wykład 10. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

2 1 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 2 Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci 3 4 Pojemność sieci

3 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 1 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 2 Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci 3 4 Pojemność sieci

4 Sieci skierowane przypomnienie Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Sieci skierowane graf połączeń synaptycznych nie zawiera cykli wierzchołki dają się posortować topologicznie, dynamika odbywa się synchronicznie zgodnie z kolejnością zadaną przez otrzymaną kolejność,

5 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Graf sieci dopuszcza istnienie cykli skierowanych, sortowanie topologiczne nie jest możliwe, Czynnik czasowy w dynamice: sieć rozwijamy w szereg podsieci powiązanych ze sobą zależnościami czasowymi.

6 Motywacja Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Chcemy stworzyć rekurencyjną sieć neuronową, zdolną kodować i rozwiązywać (dyskretne) problemy optymalizacyjne Rozważania w poniższym rozdziale będą dotyczyły konstrukcji autoasocjatora graficznego, W dalszych wykładach pokażemy jak dostosować sieć do innych problemów.

7 typu Hopfielda Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci każda jednostka ma przypisany swój spin σ i { 1, +1} zmienny w trakcie dynamiki, połączenia synaptyczne mają przypisane wagi w ij = w ji R stałe w trakcie dynamiki, zmienne w trakcie uczenia, w ii = 0, jeżeli krawędzi nie ma w grafie, to w ij = 0, neurony otrzymują swoje pole zewnętrzne h i R stałe.

8 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Ogólna koncepcja dynamiki w sieciach rekurencyjnych neuron zmienia swój spin i wysyła informację do sąsiadów, po zmianie jest nieaktywny przez pewien okres czasu τ r czas refrakcji, po upływie τ r neuron może przyjmować i wysyłać impulsy, przesył impulsu po krawędzi zajmuje pewien okres czasu τ p (czas przesyłu, może zależeć od rodzaju lub długości krawędzi),

9 Dynamika Glaudera Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Jeżeli τ p τ r, to sieć jest niewielka i można stosować następującą dynamikę: wylosuj neuron σ i, przypisz σ i = sign( j w ij σ j + h i ) powtarzaj 1 i 2 aż do ustabilizowania się sytuacji. Oznaczmy M i = j w ijσ j + h i lokalne pole wypadkowe dla jednostki i.

10 Dynamika Little a Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Jeżeli τ p τ r, to działanie przybliżamy dynamiką synchroniczną: wszystkie neurony jednocześnie ustawiają się zgodnie z lokalnym polem wypadkowym, tj, przypisujemy: σ i = sign(m i ) przy wykorzystaniu zestawu spinów z poprzedniej iteracji.

11 Dynamika Little a Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Alternatywne sformułowanie: Rozpocznij z losowego σ 0 Powtarzaj wielokrotnie: Przypisz σ t+1 := sign(w σ t + H) gdzie: W = [w ij ] i,j=1..n jest macierzą wag, H wektor pól zewnętrznych σ t wektor spinów w t-tym kroku.

12 Dynamika Hybrydowa Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Jeżeli τ p τ r, to dynamika staje się skomplikowana ze względu na znaczne opóźnienia w przesyle. małe fragmenty sieci (tj. bliskie jednostki) przybliżamy dynamiką asynchroniczną (Glaudera), w dużej skali stosujemy dynamikę synchroniczną uwzględniającą różnice czasowe.

13 Energia sieci Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Określmy energię sieci (Hammiltonian) zależny od bieżącej konfiguracji spinów neuronów: Energia E( σ) = 1 w ij σ i σ j 2 i i j h i σ i Wagi w ij oraz pola zewnętrzne h i są ustalone, więc energia zależy tylko od spinów.

14 Twierdzenie Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Twierdzenie W trakcie dynamiki Glaudera energia sieci nie ulega wzrostowi.

15 Twierdzenie Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Twierdzenie W trakcie dynamiki Glaudera energia sieci nie ulega wzrostowi. Dowód na tablicy

16 Dowód Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Załóżmy, że z konfiguracji σ przeszliśmy do σ. Niech σ i będzie neuronem, który zmieniliśmy, tj σ i = σ i = sign(m i ).

17 Dowód Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Załóżmy, że z konfiguracji σ przeszliśmy do σ. Niech σ i będzie neuronem, który zmieniliśmy, tj σ i = σ i = sign(m i ). Zauważmy, że E( σ) = 1 2 j i,k i w jk σ j σ k w ij σ i σ j h j σ j h i σ i j j i

18 Dowód Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Załóżmy, że z konfiguracji σ przeszliśmy do σ. Niech σ i będzie neuronem, który zmieniliśmy, tj σ i = σ i = sign(m i ). Zauważmy, że E( σ) = 1 2 j i,k i w jk σ j σ k w ij σ i σ j h j σ j h i σ i j j i Zmieniliśmy tylko spin σ i więc j i,k i w jkσ j σ k oraz j i h jσ j nie wpływają na zmianę energii.

19 Dowód Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Załóżmy, że z konfiguracji σ przeszliśmy do σ. Niech σ i będzie neuronem, który zmieniliśmy, tj σ i = σ i = sign(m i ). Zauważmy, że E( σ) = 1 2 j i,k i w jk σ j σ k w ij σ i σ j h j σ j h i σ i j j i Zmieniliśmy tylko spin σ i więc j i,k i w jkσ j σ k oraz j i h jσ j nie wpływają na zmianę energii. Obliczmy E( σ ) E( σ) = = j w ij σ iσ j h i σ i j w ij σ i σ j h i σ i =

20 Dowód cd. Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci E( σ ) E( σ) = j w ij σ iσ j h i σ i + j w ij σ i σ j + h i σ i =

21 Dowód cd. Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci E( σ ) E( σ) = j w ij σ iσ j h i σ i + j w ij σ i σ j + h i σ i = j w ij (σ i σ i )σ j h i (σ i σ i ) =

22 Dowód cd. Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci E( σ ) E( σ) = j w ij σ iσ j h i σ i + j w ij σ i σ j + h i σ i = j w ij (σ i σ i )σ j h i (σ i σ i ) = (σ i σ i ) j w ij σ j h i = (σ i σ i )( M i )

23 Dowód cd. Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci E( σ ) E( σ) = j w ij σ iσ j h i σ i + j w ij σ i σ j + h i σ i = j w ij (σ i σ i )σ j h i (σ i σ i ) = (σ i σ i ) j w ij σ j h i = (σ i σ i )( M i ) Przypomnijmy, że podstawialiśmy σ i := sign(m i ). E( σ ) E( σ) = (sign(m i ) ( sign(m i ))M i = 2 M i 0

24 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Ewolucja sieci Hopfielda, dynamika Little a click

25 Wniosek Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Jeżeli ilość neuronów w sieci n jest skończona, to ilość możliwych konfiguracji σ również, podczas dynamiki osiągane jest minimum (być może lokalne!) funkcji energetycznej w skończonym czasie.

26 Wniosek Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci Jeżeli ilość neuronów w sieci n jest skończona, to ilość możliwych konfiguracji σ również, podczas dynamiki osiągane jest minimum (być może lokalne!) funkcji energetycznej w skończonym czasie. Wykorzystamy dynamikę asynchroniczną sieci do znajdowania rozwiązania problemów optymalizacyjnych. Wystarczy do tego sprecyzować wagi w ij i pola lokalne h j, Dostosowanie wag i pól zewnętrznych jest zagadnieniem uczenia sieci.

27 Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci 1 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 2 Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci 3 4 Pojemność sieci

28 Cel Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Chcemy stworzyć pamięć adresowaną zawartością, tj mając dany fragment obrazu będziemy w stanie go odtworzyć.

29 Cel Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Chcemy stworzyć pamięć adresowaną zawartością, tj mając dany fragment obrazu będziemy w stanie go odtworzyć. Oznaczmy: I µ = {ξ µ i } obraz wzorcowy, i = 1..N indeks piksela, N ilość pikseli, µ = 1..P indeks wzorca, P ilość wzorców, σ i neurony sieci, po jednym neuronie na każdy piksel obrazu, w ij wagi między neuronami, h i pola zewnętrzne.

30 Konstrukcja Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci

31 Konstrukcja Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Oznaczmy stopień zgodności stanu sieci σ ze wzorcem I µ M µ ( σ) = 1 N N σ i ξ µ i = 1 N σ, I µ i=1

32 Konstrukcja Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Oznaczmy stopień zgodności stanu sieci σ ze wzorcem I µ M µ ( σ) = 1 N N σ i ξ µ i = 1 N σ, I µ i=1 M µ ( σ) = 1 oznacza pełną zgodność, M µ ( σ) = 1 całkowitą niezgodność, ale przy naszych oznaczeniach należy pamiętać, że jest to idealny negatyw.

33 Energia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Zdefiniujmy energię E( σ) = N 2 P (M µ ( σ)) 2 = µ=1

34 Energia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Zdefiniujmy energię E( σ) = N 2 = N 2 µ=1 P (M µ ( σ)) 2 = µ=1 ( ) 2 P 1 N σ i ξ µ i = N i=1

35 Energia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Zdefiniujmy energię E( σ) = N 2 = N 2 µ=1 P (M µ ( σ)) 2 = µ=1 ( ) 2 P 1 N σ i ξ µ i = N i=1 N 2 P 1 N N 2 µ=1 N i=1 j=1,j i σ i σ j ξ µ i ξ µ j + 1 N 2 N σi 2 ξ µ i i=1 2

36 Energia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Zdefiniujmy energię E( σ) = N 2 = N 2 µ=1 P (M µ ( σ)) 2 = µ=1 ( ) 2 P 1 N σ i ξ µ i = N i=1 N 2 P 1 N N 2 µ=1 N i=1 j=1,j i σ i σ j ξ µ i ξ µ j + 1 N 2 N σi 2 ξ µ i i=1 2

37 Energia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci E( σ) = 1 2N P i j µ=1 σ i σ j ξ µ i ξ µ j

38 Energia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci E( σ) = 1 2N P i j µ=1 σ i σ j ξ µ i ξ µ j = 1 2N N i j µ=1 P σ i σ j ξ µ i ξ µ j

39 Energia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci E( σ) = 1 2N P i j µ=1 σ i σ j ξ µ i ξ µ j = 1 2N = 1 2 N i j µ=1 N σ i σ j 1 N i j P σ i σ j ξ µ i ξ µ j P ξ µ i ξ µ j µ=1

40 Wagi Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Otrzymujemy zależności na wagi: Wagi w ij = 1 N P ξ µ i ξ µ j µ=1 oraz na pola zewnętrzne Pola zewnętrzne h i = 0 Zerowe pola zewnętrzne sprawiają, że sieć nie ma preferencji odnośnie kolorów. Negatywy są rozpoznawane tak samo jak obrazy oryginalne.

41 Przestrzeń stanów Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci

42 Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Rekonstrukcja obrazu dynamika Glaudera Gdy sieć jest już nauczona możemy odzyskać wejściowy zaszumiony obraz: 1 Obraz wejściowy konwertujemy na konfigurację spinów σ, 2 Poddajemy bieżącą konfigurację ewolucji Glaudera: 1 Losujemy jednostkę i, 2 Ustawiamy spin σ i := sign( j w ijσ j ), 3 Powtarzamy 2.1 i 2.2 aż stan sieci się ustabilizuje, 3 Wyjściowy obraz odzyskujemy dekodując wyjściową konfigurację spinów σ.

43 Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Rekonstrukcja obrazu dynamika Little a Ustaloną mamy macierz wag W = (w ij ) N i,j=1 1 Obraz wejściowy konwertujemy na konfigurację początkową (t = 0) spinów σ 0, 2 Poddajemy konfigurację ewolucji: 1 Przypisujemy σ t+1 := W σ t σ t+1 i := sign( σ t+1 i ) 2 Powtarzamy 2.1 aż stan sieci się ustabilizuje, 3 Wyjściowy obraz odzyskujemy dekodując wyjściową konfigurację spinów σ T.

44 Trajektoria odzyskiwania obrazu Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Rysunek uproszczony, przestrzeń to { 1, +1} d a nie R

45 Trajektoria odzyskiwania obrazu Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci

46 Ograniczenia Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Jakie wymagania sieć musi spełniać aby poprawnie odtwarzać wzorce? Ile maksymalnie wzorców P =? może się pomieścić w sieci o N neuronach?

47 Fakt Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Jakie wymagania sieć musi spełniać aby poprawnie odtwarzać wzorce? Ile maksymalnie wzorców może się pomieścić w sieci o N neuronach?

48 Pojemność sieci Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Fakt W sieci o N wierzchołkach można przechować maksymalnie nieskorelowanych wzorców. N 4 log N

49 Pojemność sieci Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci W poprawnym działaniu ważną rolę odgrywa brak korelacji między wzorcami uczącymi.

50 Co to są wzorce skorelowane? Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci

51 Co to są wzorce skorelowane? Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci

52 Korelacja a poprawne odzyskiwanie Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci

53 Konstrukcja Odzyskiwanie obrazu Stabilność wzorca i pojemność sieci Niepoprawne odzyskiwanie za dużo wzorców lub wzorce skorelowane

54 Zapoznaj się z mechanizmem symulowanego wyżarzania. Dlaczego jest on często wprowadzany do dynamiki sieci Hopfielda? Oszacuj wymagania pamięciowe naiwnej implementacji sieci Hopfielda dla obrazów o rozdzielczości Jak można zredukować zapotrzebowanie pamięciowe? (*) Jak można zmusić sieć Hopfielda do uczenia się z rozróżnieniem obrazu od negatywu?

55 Zaimplementuj autoasocjator graficzny Hopfielda. Zaimplementuj autoasocjator lingwistyczny (dla par / trójek liter) bazujący na sieci Hopfielda. Jak sieć będzie działać dla problemy rozpoznawania małych liter na matrycy dużej rozdzielczości?

56 Pojemność sieci Poniższy fragment zawiera szkice oszacowań pojemności sieci, przy której można stabilnie odzyskać obraz, Nie obowiązuje na egzaminie.

57 Stabilność wzorca Pojemność sieci Załóżmy, że wzorce I µ są niezależne, tj. P(ξ µ i = +1) = P(ξ µ i = 1) = 1 2 Pytamy: kiedy I µ jest punktem stałym dynamiki sieci?

58 Stabilność wzorca Pojemność sieci Policzmy: M i ( σ) = j w ij σ i =

59 Stabilność wzorca Pojemność sieci Policzmy: M i ( σ) = j w ij σ i = j ( ) 1 ξ µ i ξ µ j N µ σ j

60 Stabilność wzorca Pojemność sieci Policzmy: M i ( σ) = j w ij σ i = j ( ) 1 ξ µ i ξ µ j σ j = N µ µ M µ ( σ)ξ µ i

61 Stabilność wzorca Pojemność sieci Policzmy: M i ( σ) = j w ij σ i = j ( ) 1 ξ µ i ξ µ j σ j = N µ µ M µ ( σ)ξ µ i Podstawmy za konfigurację wzorzec σ := I µ 0.

62 Stabilność wzorca Pojemność sieci Policzmy: M i ( σ) = j w ij σ i = j ( ) 1 ξ µ i ξ µ j σ j = N µ µ M µ ( σ)ξ µ i Podstawmy za konfigurację wzorzec σ := I µ 0. M i (I µ 0 ) = ξ µ 0 i + µ µ 0 M µ (I µ 0 )ξ µ i

63 Stabilność wzorca Pojemność sieci Policzmy: M i ( σ) = j w ij σ i = j ( ) 1 ξ µ i ξ µ j σ j = N µ µ M µ ( σ)ξ µ i Podstawmy za konfigurację wzorzec σ := I µ 0. M i (I µ 0 ) = ξ µ 0 i + µ µ 0 M µ (I µ 0 )ξ µ i }{{} } {{ } sygnał szum

64 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2

65 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Ξ = ξ µ i ξ µ j

66 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: Ξ = ξ µ i ξ µ j Wartość oczekiwana wynosi EΞ = 0, wariancja D 2 Ξ = 1:

67 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Ξ = ξ µ i ξ µ j Wartość oczekiwana wynosi EΞ = 0, wariancja D 2 Ξ = 1: Z centralnego twierdzenia granicznego. M µ (I µ 0 ) =

68 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: Ξ = ξ µ i ξ µ j Wartość oczekiwana wynosi EΞ = 0, wariancja D 2 Ξ = 1: Z centralnego twierdzenia granicznego. M µ (I µ 0 ) = 1 ξ µ i ξ µ j = N j

69 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Ξ = ξ µ i ξ µ j Wartość oczekiwana wynosi EΞ = 0, wariancja D 2 Ξ = 1: Z centralnego twierdzenia granicznego. M µ (I µ 0 ) = 1 ξ µ i ξ µ i j = Ξ i N 0 N N N 1 j

70 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Ξ = ξ µ i ξ µ j Wartość oczekiwana wynosi EΞ = 0, wariancja D 2 Ξ = 1: Z centralnego twierdzenia granicznego. M µ (I µ 0 ) = 1 ξ µ i ξ µ i j = Ξ i N 0 1 D N(0, 1) N N N 1 N j

71 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Ξ = ξ µ i ξ µ j Wartość oczekiwana wynosi EΞ = 0, wariancja D 2 Ξ = 1: Z centralnego twierdzenia granicznego. M µ (I µ 0 ) = 1 ξ µ i ξ µ i j = Ξ i N 0 1 D N(0, 1) N(0, 1 N N N 1 N N ) j

72 Stabilność wzorca Pojemność sieci Założyliśmy, że: Zdefiniujmy zmienną losową Ξ: P(ξ µ i ξ µ j = +1) = P(ξ µ i ξ µ j = 1) = 1 2 Ξ = ξ µ i ξ µ j Wartość oczekiwana wynosi EΞ = 0, wariancja D 2 Ξ = 1: Z centralnego twierdzenia granicznego. M µ (I µ 0 ) = 1 ξ µ i ξ µ i j = Ξ i N 0 1 D N(0, 1) N(0, 1 N N N 1 N N ) j I dalej: M µ (I µ0 )ξ µ i N(0, P 1 N ) µ µ 0

73 Stabilność wzorca Pojemność sieci Aby nie zepsuć wzorca musi zachodzić µ µ 0 M µ (I µ 0 )ξ µ i N(0, P 1 N ) < 1

74 Stabilność wzorca Pojemność sieci Aby nie zepsuć wzorca musi zachodzić µ µ 0 M µ (I µ 0 )ξ µ i N(0, P 1 N ) < 1 Wariancja musi być bardzo mała P 1 N 1

75 Stabilność wzorca Pojemność sieci Aby nie zepsuć wzorca musi zachodzić µ µ 0 M µ (I µ 0 )ξ µ i N(0, P 1 N ) < 1 Wariancja musi być bardzo mała P 1 N 1 czyli P N

76 Pojemność sieci Wzorzec I µ 0 zaburzamy w R punktach. Szum nadal wynosi N(0, P N ). Sygnał (1 R N )ξµ 0 i. Szukamy bezpiecznego α = P N, aby wciąż dało się odzyskać obraz.

77 Pojemność sieci Prawdopodobieństwo że uda się odtworzyć i-ty piksel wynosi: P(N(0, α) < 1 2R N ) =

78 Pojemność sieci Prawdopodobieństwo że uda się odtworzyć i-ty piksel wynosi: P(N(0, α) < 1 2R N ) = Φ(1 2R/N α ) =

79 Pojemność sieci Prawdopodobieństwo że uda się odtworzyć i-ty piksel wynosi: P(N(0, α) < 1 2R N 2R/N 1 2R/N ) = Φ(1 ) = 1 Φ( ) α α

80 Pojemność sieci Prawdopodobieństwo że uda się odtworzyć i-ty piksel wynosi: P(N(0, α) < 1 2R N 2R/N 1 2R/N ) = Φ(1 ) = 1 Φ( ) α α Chcemy odtworzyć wszystkie piksele (a nie jeden), więc prawdopodobieństwo wyniesie ( 1 Φ( 1 2R/N α )) N

81 Pojemność sieci Prawdopodobieństwo że uda się odtworzyć i-ty piksel wynosi: P(N(0, α) < 1 2R N 2R/N 1 2R/N ) = Φ(1 ) = 1 Φ( ) α α Chcemy odtworzyć wszystkie piksele (a nie jeden), więc prawdopodobieństwo wyniesie ( 1 Φ( 1 2R/N ) N ) 1 N Φ( 1 2R/N ) α α

82 Pojemność sieci Skorzystamy z przybliżenia Φ 1 x x2 exp( 2π 2 ).

83 Pojemność sieci Skorzystamy z przybliżenia Φ 1 x x2 exp( 2π 2 ). Jeżeli ograniczymy dopuszczalny błąd przez δ, to δ > N 1 2R/N Φ( ) α

84 Pojemność sieci Skorzystamy z przybliżenia Φ 1 x x2 exp( 2π 2 ). Jeżeli ograniczymy dopuszczalny błąd przez δ, to δ > N 1 2R/N Φ( ) α N α (1 2R/N) 2π 2R/N)2 exp( (1 ) 2α

85 Pojemność sieci Skorzystamy z przybliżenia Φ 1 x x2 exp( 2π 2 ). Jeżeli ograniczymy dopuszczalny błąd przez δ, to δ > N 1 2R/N Φ( ) α N α (1 2R/N) 2π 2R/N)2 exp( (1 ) 2α N α exp( (1 2R/N)2 2α ) 2π

86 Pojemność sieci Skorzystamy z przybliżenia Φ 1 x x2 exp( 2π 2 ). Jeżeli ograniczymy dopuszczalny błąd przez δ, to δ > N 1 2R/N Φ( ) α N α (1 2R/N) 2π 2R/N)2 exp( (1 ) 2α Po zlogarytmowaniu: N α exp( (1 2R/N)2 2α ) 2π (1 2R N )2 2α ( ln δ + ln N + ln α ) 2

87 Pojemność sieci Wniosek α (1 2R N )2 2 ln N 1 2 ln N W sieci o N wierzchołkach można przechować maksymalnie wzorców. N 4 log N

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9. M. Czoków, J. Piersa 2010-12-07 1 Sieci skierowane 2 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 3 Sieci skierowane Sieci skierowane Sieci skierowane graf połączeń synaptycznych

Bardziej szczegółowo

Najprostsze modele sieci z rekurencją. sieci Hopfielda; sieci uczone regułą Hebba; sieć Hamminga;

Najprostsze modele sieci z rekurencją. sieci Hopfielda; sieci uczone regułą Hebba; sieć Hamminga; Sieci Hopfielda Najprostsze modele sieci z rekurencją sieci Hopfielda; sieci uczone regułą Hebba; sieć Hamminga; Modele bardziej złoŝone: RTRN (Real Time Recurrent Network), przetwarzająca sygnały w czasie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline.

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline. Wstęp do sieci neuronowych, wykład 3 Warstwy, jednostka Adaline. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 13-1- Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline.

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline. Wstęp do sieci neuronowych, wykład 3 Warstwy, jednostka Adaline. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 211-1-18 1 Pomysł Przykłady Zastosowanie 2

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2012-10-10 Projekt pn. Wzmocnienie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty

Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2012-10-03 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011-10-11 1 Modelowanie funkcji logicznych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Wstęp do sieci neuronowych, wykład 2 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 213-1-15 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału

Bardziej szczegółowo

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji.

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. 8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. W tym ćwiczeniu zapoznamy się z modelem sztucznego neuronu oraz przykładem jego wykorzystania do rozwiązywanie prostego zadania klasyfikacji. Neuron biologiczny i

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Uczenie sieci neuronowych i bayesowskich

Uczenie sieci neuronowych i bayesowskich Wstęp do metod sztucznej inteligencji www.mat.uni.torun.pl/~piersaj 2009-01-22 Co to jest neuron? Komputer, a mózg komputer mózg Jednostki obliczeniowe 1-4 CPU 10 11 neuronów Pojemność 10 9 b RAM, 10 10

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

Sieci M. I. Jordana. Sieci rekurencyjne z parametrycznym biasem. Leszek Rybicki. 30 listopada Leszek Rybicki Sieci M. I.

Sieci M. I. Jordana. Sieci rekurencyjne z parametrycznym biasem. Leszek Rybicki. 30 listopada Leszek Rybicki Sieci M. I. Sieci M. I. Jordana Sieci rekurencyjne z parametrycznym biasem Leszek Rybicki 30 listopada 2007 Leszek Rybicki Sieci M. I. Jordana 1/21 Plan O czym będzie 1 Wstęp do sieci neuronowych Neurony i perceptrony

Bardziej szczegółowo

Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta

Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta www.michalbereta.pl Sieci radialne zawsze posiadają jedną warstwę ukrytą, która składa się z neuronów radialnych. Warstwa wyjściowa składa

Bardziej szczegółowo

Metody Sztucznej Inteligencji II

Metody Sztucznej Inteligencji II 17 marca 2013 Neuron biologiczny Neuron Jest podstawowym budulcem układu nerwowego. Jest komórką, która jest w stanie odbierać i przekazywać sygnały elektryczne. Neuron działanie Jeżeli wartość sygnału

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Uczenie sieci typu MLP

Uczenie sieci typu MLP Uczenie sieci typu MLP Przypomnienie budowa sieci typu MLP Przypomnienie budowy neuronu Neuron ze skokową funkcją aktywacji jest zły!!! Powszechnie stosuje -> modele z sigmoidalną funkcją aktywacji - współczynnik

Bardziej szczegółowo

Elementy Sztucznej Inteligencji. Sztuczne sieci neuronowe cz. 2

Elementy Sztucznej Inteligencji. Sztuczne sieci neuronowe cz. 2 Elementy Sztucznej Inteligencji Sztuczne sieci neuronowe cz. 2 1 Plan wykładu Uczenie bez nauczyciela (nienadzorowane). Sieci Kohonena (konkurencyjna) Sieć ze sprzężeniem zwrotnym Hopfielda. 2 Cechy uczenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

1. Logika, funkcje logiczne, preceptron.

1. Logika, funkcje logiczne, preceptron. Sieci neuronowe 1. Logika, funkcje logiczne, preceptron. 1. (Logika) Udowodnij prawa de Morgana, prawo pochłaniania p (p q), prawo wyłączonego środka p p oraz prawo sprzeczności (p p). 2. Wyraź funkcję

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

Sieć przesyłająca żetony CP (counter propagation)

Sieć przesyłająca żetony CP (counter propagation) Sieci neuropodobne IX, specyficzne architektury 1 Sieć przesyłająca żetony CP (counter propagation) warstwa Kohonena: wektory wejściowe są unormowane jednostki mają unormowane wektory wag jednostki są

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych lista zadań 1

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych lista zadań 1 Wprowadzenie do Sieci Neuronowych lista zadań 1 Maja Czoków, Jarosław Piersa 2010-10-04 1 Zasadyzaliczania 1.1 Oceny Zaliczenie laboratoriów na podstawie implementowania omawianych algorytmów. Każde zadanie

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Instrukcja realizacji ćwiczenia

Instrukcja realizacji ćwiczenia SIEĆ KOHONENA ROZPOZNAWANIE OBRAZÓW Cel ćwiczenia: zapoznanie się ze sposobem reprezentacji wiedzy w sieciach Kohonena i mechanizmami sąsiedztwa i sumienia neuronów. Zadanie do analizy: analizujemy sieć

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Oprogramowanie Systemów Obrazowania SIECI NEURONOWE

Oprogramowanie Systemów Obrazowania SIECI NEURONOWE SIECI NEURONOWE Przedmiotem laboratorium jest stworzenie algorytmu rozpoznawania zwierząt z zastosowaniem sieci neuronowych w oparciu o 5 kryteriów: ile zwierzę ma nóg, czy żyje w wodzie, czy umie latać,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Co to jest grupowanie

Co to jest grupowanie Grupowanie danych Co to jest grupowanie 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Szukanie grup, obszarów stanowiących lokalne gromady punktów Co to jest grupowanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Jarosław Piersa 10 marca 2014 1 Projekty 1.1 Problem plecakowy (1p) Oznaczenia: dany zbiór przedmiotów x 1,.., x N, każdy przedmiot ma określoną wagę w(x i ) i wartość

Bardziej szczegółowo

Elektroniczne materiały dydaktyczne do przedmiotu Wstęp do Sieci Neuronowych

Elektroniczne materiały dydaktyczne do przedmiotu Wstęp do Sieci Neuronowych Elektroniczne materiały dydaktyczne do przedmiotu Wstęp do Sieci Neuronowych Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011-12-21 Koncepcja kursu Koncepcja

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe

Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe Trening jednokierunkowych sieci neuronowych wykład 2. dr inż. PawełŻwan Katedra Systemów Multimedialnych Politechnika Gdańska

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Zastosowania sieci neuronowych

Zastosowania sieci neuronowych Zastosowania sieci neuronowych klasyfikacja LABORKA Piotr Ciskowski zadanie 1. klasyfikacja zwierząt sieć jednowarstwowa żródło: Tadeusiewicz. Odkrywanie własności sieci neuronowych, str. 159 Przykład

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału.

Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału. Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału Wiktor Miszuris 2 czerwca 2004 Przepustowość kanału Zacznijmy od wprowadzenia równości IA, B HB HB A HA HA B Można ją intuicyjnie

Bardziej szczegółowo

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką

Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Sztuczne sieci neuronowe Ćwiczenia. Piotr Fulmański, Marta Grzanek

Sztuczne sieci neuronowe Ćwiczenia. Piotr Fulmański, Marta Grzanek Sztuczne sieci neuronowe Ćwiczenia Piotr Fulmański, Marta Grzanek Piotr Fulmański 1 Wydział Matematyki i Informatyki, Marta Grzanek 2 Uniwersytet Łódzki Banacha 22, 90-232, Łódź Polska e-mail 1: fulmanp@math.uni.lodz.pl,

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t

Bardziej szczegółowo

S O M SELF-ORGANIZING MAPS. Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor

S O M SELF-ORGANIZING MAPS. Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor S O M SELF-ORGANIZING MAPS Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor Podstawy teoretyczne Map Samoorganizujących się stworzył prof. Teuvo Kohonen (1982 r.). SOM wywodzi się ze sztucznych sieci neuronowych.

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń)

Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń) Carl Adam Petri (1926-2010) Najkrótsza droga Maksymalny przepływ Najtańszy przepływ Analiza czynności (zdarzeń) Problemy statyczne Kommunikation mit Automaten praca doktorska (1962) opis procesów współbieżnych

Bardziej szczegółowo

Zastosowania sieci neuronowych

Zastosowania sieci neuronowych Zastosowania sieci neuronowych aproksymacja LABORKA Piotr Ciskowski zadanie 1. aproksymacja funkcji odległość punktów źródło: Żurada i in. Sztuczne sieci neuronowe, przykład 4.4, str. 137 Naucz sieć taką

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych

Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Piotr Dalka Przykładowe algorytmy decyzyjne Sztuczne sieci neuronowe Algorytm k najbliższych sąsiadów Kaskada klasyfikatorów AdaBoost Naiwny

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Laboratorium 02 Perceptron prosty cd

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Laboratorium 02 Perceptron prosty cd Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wprowadzenie do Sieci

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWEJ DO BADANIA WPŁYWU WYDOBYCIA NA SEJSMICZNOŚĆ W KOPALNIACH WĘGLA KAMIENNEGO. Stanisław Kowalik (Poland, Gliwice)

WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWEJ DO BADANIA WPŁYWU WYDOBYCIA NA SEJSMICZNOŚĆ W KOPALNIACH WĘGLA KAMIENNEGO. Stanisław Kowalik (Poland, Gliwice) WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWEJ DO BADANIA WPŁYWU WYDOBYCIA NA SEJSMICZNOŚĆ W KOPALNIACH WĘGLA KAMIENNEGO Stanisław Kowalik (Poland, Gliwice) 1. Wprowadzenie Wstrząsy podziemne i tąpania występujące w kopalniach

Bardziej szczegółowo

Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne

Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Wojciech Niemiro Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń i Uniwersytet Warszawski Statystyka Matematyczna Wisła, grudzień 2010 Wykład 1 1 Co to jest MCMC? 2

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Podstawy sztucznej inteligencji

Podstawy sztucznej inteligencji wykład 5 Sztuczne sieci neuronowe (SSN) 8 grudnia 2011 Plan wykładu 1 Biologiczne wzorce sztucznej sieci neuronowej 2 3 4 Neuron biologiczny Neuron Jest podstawowym budulcem układu nerwowego. Jest komórką,

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Sztuczne sieci neuronowe (SNN)

Sztuczne sieci neuronowe (SNN) Sztuczne sieci neuronowe (SNN) Pozyskanie informacji (danych) Wstępne przetwarzanie danych przygotowanie ich do dalszej analizy Selekcja informacji Ostateczny model decyzyjny SSN - podstawy Sieci neuronowe

Bardziej szczegółowo

Aby mówić o procesie decyzyjnym Markowa musimy zdefiniować następujący zestaw (krotkę): gdzie:

Aby mówić o procesie decyzyjnym Markowa musimy zdefiniować następujący zestaw (krotkę): gdzie: Spis treści 1 Uczenie ze wzmocnieniem 2 Proces decyzyjny Markowa 3 Jak wyznaczyć optymalną strategię? 3.1 Algorytm iteracji funkcji wartościującej 3.2 Algorytm iteracji strategii 4 Estymowanie modelu dla

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach

Bardziej szczegółowo

SIECI NEURONOWE Liniowe i nieliniowe sieci neuronowe

SIECI NEURONOWE Liniowe i nieliniowe sieci neuronowe SIECI NEURONOWE Liniowe i nieliniowe sieci neuronowe JOANNA GRABSKA-CHRZĄSTOWSKA Wykłady w dużej mierze przygotowane w oparciu o materiały i pomysły PROF. RYSZARDA TADEUSIEWICZA BUDOWA RZECZYWISTEGO NEURONU

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy

Bardziej szczegółowo

Sławomir Kulesza. Projektowanie automatów asynchronicznych

Sławomir Kulesza. Projektowanie automatów asynchronicznych Sławomir Kulesza Technika cyfrowa Projektowanie automatów asynchronicznych Wykład dla studentów III roku Informatyki Wersja 3.0, 03/01/2013 Automaty skończone Automat skończony (Finite State Machine FSM)

Bardziej szczegółowo

Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo

Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo 14.02.2006 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI

ALGORYTMY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI ALGORYTMY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Sieci neuronowe 06.12.2014 Krzysztof Salamon 1 Wstęp Sprawozdanie to dotyczy ćwiczeń z zakresu sieci neuronowych realizowanym na przedmiocie: Algorytmy Sztucznej Inteligencji.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe.

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. zajecia.jakubw.pl/nai Literatura: S. Osowski, Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. WNT, Warszawa 997. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA TECHNICZNE AI

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Projekt prostego układu sekwencyjnego Ćwiczenia Audytoryjne Podstawy Automatyki i Automatyzacji

Projekt prostego układu sekwencyjnego Ćwiczenia Audytoryjne Podstawy Automatyki i Automatyzacji WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego Projekt prostego układu sekwencyjnego Ćwiczenia Audytoryjne Podstawy Automatyki i Automatyzacji mgr inż. Paulina Mazurek Warszawa 2013 1 Wstęp Układ

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inteligentne Zadanie 4

Obliczenia inteligentne Zadanie 4 Sieci SOM Poniedziałek, 10:15 2007/2008 Krzysztof Szcześniak Cel Celem zadania jest zaimplementowanie neuronowej samoorganizującej się mapy wraz z metodą jej nauczania algorytmem gazu neuronowego. Część

Bardziej szczegółowo

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium - problem detekcji twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, P. Klukowski Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z gradientowymi algorytmami optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Sztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311

Sztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311 Sztuczne sieci neuronowe Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311 Wykład 7 PLAN: - Repetitio (brevis) -Algorytmy miękkiej selekcji: algorytmy ewolucyjne symulowane wyżarzanie

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Planowanie przedsięwzięć

Planowanie przedsięwzięć K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

Sieci komputerowe. Wykład 8: Wyszukiwarki internetowe. Marcin Bieńkowski. Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski

Sieci komputerowe. Wykład 8: Wyszukiwarki internetowe. Marcin Bieńkowski. Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski Sieci komputerowe Wykład 8: Wyszukiwarki internetowe Marcin Bieńkowski Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski Sieci komputerowe (II UWr) Wykład 8 1 / 37 czyli jak znaleźć igłę w sieci Sieci komputerowe

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane algorytmy i struktury danych

Zaawansowane algorytmy i struktury danych Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania binarnego.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo