Elementarne reguły linearyzacji

Elementarne reguły linearyzacji lub Z X Y = z x y + = Z X Y / = z x y = Z X Y + = z Z x X y Y + = z S x S y Z X + = Z X Y = z Z x X y Y = ( - stała) ( - stała) Z X Y = z Z x X y Y = α X Y = α X Y = α α x y = x y = α

Wolumeny, ceny, wartości X wolumen ( ilość, wielkość realna, wartość wyrażona w cenach stałych). P cena V wartość (w dla procentowych przyrostów) Tożsamość na poziomach : V = XP Tożsamość na procentowych przyrostach : w = x+p W modelu CGE zmiany wartości (np. popytu, produkcji, nakładów pracy) dekomponowane są na zmianę wolumenu i ceny.

Zmiana kosztów pracy: Przykład 1 w1lab(i) = x1lab(i) + p1lab Z powyższego równania wynika, że np. jeśli zatrudnienie w sektorze AgricMining wzrasta o 1%, a płaca w gospodarce o 2%, wówczas koszty pracy w sektorze AgricMining wzrastają (w przybliżeniu) o 3%. UWAGA w modelu MINIMAL w większości pomijane są zmienne wyrażające wartości (bo pod względem ekonomicznym wolumeny i ceny bardziej interesujące).

Zmiany cen i wolumenów dla agregatów Przykłady zmian cen kategorii zagregowanych: ceny dóbr konsumpcyjnych wzrosły średnio o 3%, ceny (produktów wchodzących w skład) eksportu spadły o 5%, rentowność kapitału w gospodarce zwiększyła się przeciętnie o 1% itp. Przykłady zmian wolumenów kategorii zagregowanych: całkowita realna konsumpcja wzrasta o 4%, realny PKB zwiększył się o 2%, wolumen inwestycji (w całej gospodarce) zmniejszył się o 7% itp.

Wyznaczanie agregatowych zmian cen i wolumenów i i X i P P X = ) ( ) ( i i i i i p x P X p x P X + = + ) ( ) ( i i i i p x V p x V + = + i i V i x x V = i i V i p p V = i i S i x x = i i S i p p = lub gdzie S i udziały składników w wartości agregatu

Przykład 2 W koszyku dóbr konsumpcyjnych mamy 5 jabłek po 2 zł i 3 pomarańcze po 5 zł: a) Zakładając, że ceny są stałe, ilość jabłek wzrasta o 1 i ilość pomarańczy wzrasta o 1, o ile procent zmienia się łączna realna konsumpcja owoców (odpowiedz na podstawie równania zlinearyzowanego)? b) Zakładając, że ilości są stałe, cena jabłek wzrasta o 3%, a cena pomarańczy zmniejsza się o 4%, o ile procent zmienia się cena koszyka konsumpcji (in.: o ile średnio zmieniają się ceny owoców)?

Przykład 3 Dane 2005 (nominalne): konsumpcja 100, akumulacja 30, eksport 50, import 60. Dane 2010 (nominalne): konsumpcja 130, akumulacja 45, eksport 50, import 70. Zmiany wolumenu w okresie 2005-2010 konsumpcji 20%; akumulacji 50%; eksportu 10%; importu: 15%. O ile procent zmienia się realny PKB?

CGE vs. I-O W modelu MINIMAL m.in.: mechanizm substytucji dóbr krajowych i importowanych, mechanizm substytucji kapitału i pracy, konsumpcja gospodarstw domowych zależna od dochodów i cen, eksport zależny od relacji cen krajowych/światowych, stawki podatków w postaci zwykłych (tj. nie procentowych) przyrostów, więcej zmiennych zagregowanych, więcej współczynników, reprezentujących wielkości użyteczne w interpretacjach.

Model 1 Model 2 Model 3 MINIMAL (IO) (IO) (CGE) (CGE)

Model 3 vs. 2 Model 2 Powiązania międzygałęziowe Produkcja Ceny Model 3 Powiązania międzygałęziowe Produkcja Ceny Popyt finalny egzogeniczny Popyt na kapitał i pracę proporcjonalny do produkcji Konsumpcja zależna od cen i dochodu Substytucja kapitału i pracy pod wpływem zmian cen Nieograniczona podaż Ograniczone zasoby kapitału w krótkim okresie => ograniczona podaż

Dane USE 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja 4 Inwestycje Total 1 Wyroby 1 6 1.5 1.5 10 2 Uslugi 4 2 6.5 1.5 14 FACTOR 1 Wyroby 2 Uslugi 1 Praca 2 4 2 Kapital 3 2

Wzrost popytu inwestycyjnego na usługi o 20%. Wyniki makro Description Macros io cge Laczne naklady pracy (zatrudnienie) employ 2.86 0.31 Deflator (indeks cen) PKB od strony popytu p0gdpexp 0.00 0.00 Srednia rentownosc kapitalu p1captot 0.00-0.02 Stawka placy p1lab 0.00 0.02 Srednie ceny inwestycje p2tot 10.00 10.01 Srednie ceny towarow i uslug konsumpcyjnych p3tot 0.00 0.02 Realna placa realwage 0.00 0.00 Nominalny PKB od strony popytu w0gdpexp 2.73 0.17 Nominalny PKB od strony dochodow w0gdpinc 2.73 0.17 Konsumpcja nominalna w3tot 0.00-3.50 Realny PKB od strony popytu x0gdpexp 2.73 0.17 Naklady kapitalu x1captot 2.57 0.00 Inwestycje x2tot 10.00 10.01 Konsumpcja realna x3tot 0.00-3.52

Wyniki makro Wzrost PKB [io] 16x większy niż [cge] Powodem brak ograniczeń podażowych [io], nakł. K i L rosną stosownie do popytu W [cge] nakłady K stałe, więc wzrostowi I towarzyszy spadek C Stała realna płaca dodatkowo ogranicza w [cge] wzrost nakładów pracy (i produkcji); popyt na pracę wzrósłby przy niższej płacy

Dekompozycja PKB

Wyniki popyt, produkcja io x 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsump4 Inwestycj 1 Wyroby 2.14 3.21 0 0 2 Uslugi 2.14 3.21 0 20 cge x 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsump4 Inwestycj 1 Wyroby -0.23 0.50-3.35 0 2 Uslugi -0.23 0.50-3.55 20 x1tot io cge 1 Wyroby 2.14-0.23 2 Uslugi 3.21 0.50

Dekompozycja popytu S 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja 4 Inwestycje Total 1 Wyroby 0.10 0.60 0.15 0.15 1 2 Uslugi 0.29 0.14 0.46 0.11 1

Konsumpcja (all,i,ind) x(i,"konsumpcja") = w3tot - p(i);

Wyniki praca, kapitał, produkcja x1lab io cge x1cap io cge 1 Wyroby 2.14-0.56 1 Wyroby 2.14 0 2 Uslugi 3.21 0.75 2 Uslugi 3.21 0 x1prim io cge x1tot io cge 1 Wyroby 2.14-0.23 1 Wyroby 2.14-0.23 2 Uslugi 3.21 0.50 2 Uslugi 3.21 0.50

Praca, kapitał (all,i,ind) x1prim(i) = x1tot(i); (all,i,ind) x1lab(i) = x1prim(i) + SCAP(i)*(p1cap(i) - p1lab); (all,i,ind) x1cap(i) = x1prim(i) + SLAB(i)*(p1lab - p1cap(i)); skąd można wyprowadzić: x1prim(i) = SLAB(i)*x1lab(i) + SCAP(i)*x1cap(i) a przy x1cap(i)=0 [krótki okres]: x1prim(i) = SLAB(i)*x1lab(i) p1cap(i) = x1lab(i) + p1lab

Mechanizmy ujęte w modelu CGE przykład wzrostu popytu cena gałąź A cena gałąź B S S D 1 D 1 D 0 D 0 produkcja produkcja Na skutek szoku zmieniają się poziomy produkcji i cen. Efekty zależą od elastyczności podaży / popytu.

Wyniki ceny p io cge 1 Wyroby 0-0.15 2 Uslugi 0 0.06 p1cap io cge 1 Wyroby 0-0.55 2 Uslugi 0 0.77

Dekompozycja cen S-koszty 1 Wyroby 2 Uslugi 1 Wyroby 0.10 0.43 2 Uslugi 0.40 0.14 1 Praca 0.20 0.29 2 Kapital 0.30 0.14 Total 1 1

MINIMAL vs. Model 3 W modelu MINIMAL dodatkowo: Substytucja dóbr krajowych i importowanych (Armington) Substytucja kapitału i pracy bazująca na funkcji CES Eksport zależny od relacji cen krajowych/światowych, Stawki podatków (w postaci zwykłych, tj. nie procentowych, przyrostów)

Funkcja produkcji CES CES constant elasticity of substitution. Q [ ] ρ ρ ρ δ 1/ (1 δ K + ) = β L Można sprawdzić, że tego typu funkcja charakteryzuje się stałą elastycznością substytucji σ = 1/(1 + ρ)

Funkcja produkcji CES szczególne przypadki Im większa wartość σ tym łatwiejsza zastępowalność czynników produkcji. σ = 0: funkcja produkcji Leontiefa. σ = 1: funkcja produkcji Cobba-Douglasa. σ : doskonale substytucyjne czynniki produkcji.

Minimalizacja kosztów K i L Problem decyzyjny minimalizacja kosztów przy danym poziomie produkcji i technologii opisanej funkcją CES: przy warunku min Y K, L K P K + L P [ ] ρ ρ 1/ ρ δ K + (1 δ ) = β L L Produkcja i ceny czynników są ustalone

Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów K i L: równania dla % przyrostów Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów równania popytu na K i L: k l = y σ ( p p) K y ( p p) = σ p = S p + K K L S L p L Interpretacja elastyczności substytucji np. jeśli stawka płacy (p L ) wzrośnie o 1% w stosunku do średniej ceny pierwotnych czynników produkcji (p), to popyt na pracę spadnie o σ %.

Substytucja K/L przykład liczbowy Załóżmy np. y=7, p K =0, p L =5, S K =0,4; S L =0,6; elastyczność substytucji=0,5. p k l = 0,40 + 0,6 5 = 3 = 7 0,5 = ( 0 3) = 7 + 1,5 8, 5 ( 5 3) = 7 1 6 = 7 0,5 = wzrost nakładów czynników spowodowany wzrostem produkcji: 7%; efekt substytucyjny : +1,5% / 1%.

Substytucja K/L inna postać Odejmując stronami równania: ( ) k = y σ p K p l = y σ ( p p) L otrzymujemy: k l = σ ( p ) L p K Interpretacja: jeśli relacja cen PL/PK wzrośnie o 1%, to relacja nakładów K/L wzrośnie o σ %.

Elastyczność substytucji σ σ wzgledny przyrost ( K / L) wzgledny przyrost ( P L / P K ) d( K / L) K d( P P L L / L / P / P K K )

Zmiana produkcji jako ważona zmiana K i L Z rozwiązania problemu minimalizacji kosztów przy technologii opisywanej za pomocą funkcji CES można również wyprowadzić relację: y = SK k + S L l Przykład liczbowy: k=0, l=10, S K =0,4; S L =0,6 => y=6 Przykład ten pokazuje, że w krótkim okresie (tj. przy stałych zasobach kapitału) jednostkowe koszty produkcji rosną wraz ze wzrostem produkcji.

! Excerpt 5 of TABLO input file:!! Demands for capital and labour! Variable (all,i,ind) x1prim(i) # Industry demand for primary-factor composite #; (all,i,ind) p1prim(i) # Price of primary factor composite #; (all,i,ind) x1lab(i) # Employment by industry #; p1lab # Economy-wide wage rate #; (all,i,ind) x1cap(i) # Current capital stock #; (all,i,ind) p1cap(i) # Rental price of capital #; Coefficient (parameter) (all,i,ind) SIGMA1PRIM(i) # CES substitution, primary factors #; Read SIGMA1PRIM from file BASEDATA header "P028"; Equation E_x1lab (all,i,ind) x1lab(i) = x1prim(i) - SIGMA1PRIM(i)*[p1lab-p1prim(i)]; Equation E_x1cap (all,i,ind) x1cap(i) = x1prim(i) - SIGMA1PRIM(i)*[p1cap(i)-p1prim(i)]; Equation E_p1prim (all,i,ind) V1PRIM(i)*p1prim(i) = FACTOR("Labour",i)*p1lab + FACTOR("Capital",i)*p1cap(i);

! Excerpt 6 of TABLO input file:!! Demands for composite inputs to production! Variable (all,i,ind) x1tot(i) # Industry output #; (all,i,ind) a1prim(i) # All primary-factor augmenting technical change #; (all,i,ind) p1tot(i) # Unit cost of production #; Equation E_x1 # demand for commodity composites # (all,c,com)(all,i,ind) x_s(c,i)= x1tot(i); Equation E_x1prim # demand for primary-factor composites # (all,i,ind) x1prim(i) = a1prim(i) + x1tot(i); Equation E_p1tot # cost of production = cost of all inputs # (all,i,ind) V1TOT(i)*[p1tot(i)+ x1tot(i)] = sum{c,com,sum{s,src, USE(c,s,i)*[p(c,s) + x(c,s,i)]}} + FACTOR("Labour",i)*[p1lab + x1lab(i)] + FACTOR("Capital",i)*[p1cap(i)+ x1cap(i)];

Import specyfikacja Armingtona Dane empiryczne wskazują, że niemal w każdej grupie produktów współwystępuje produkcja krajowa i import. Odzwierciedlenie w modelu: założenie, że e produkty krajowe i importowane nie są doskonałymi substytutami (model Armingtona). Zakres możliwej substytucji opisywany za pomocą funkcji CES. Funkcja CES jako tzw. agregator. Im wyższa wartość σ, tym bliższymi substytutami są produkty krajowe i z importu.

Substytucja D/M ujęcie formalne Oznaczenia: D krajowy, M importowany. Problem decyzyjny minimalizacja kosztów zakupu złożonego produktu (ang. composite, bundle) przy możliwościach substytucji opisywanych za pomocą funkcji CES: przy warunku min D, M X D P D [ ] ρ ρ 1/ ρ δ D + (1 δ ) = β M Popyt na złożony produkt (X) i ceny produktów krajowych/importowanych są ustalone + M P M

Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów D i M: równania dla % przyrostów Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów równania popytu na dobra D i M: d m = x σ ( p p) D x ( p p) = σ p = S p + D D S M M p M W modelu MINIMAL specyfikacja Armingtona dotyczy nie tylko popytu na czynniki produkcji (materiały), ale każdego popytu na dobra, z wyjątkiem popytu zagranicy.

Funkcja produkcji w modelu MINIMAL Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL

! Excerpt 4 of TABLO input file:!! Import/Domestic sourcing decision for all non-export users! Variable (all,c,com)(all,s,src) p(c,s) # User price of good c, source s #; (all,c,com)(all,u,impuser) p_s(c,u) # User price of composite good c #; (all,c,com)(all,u,impuser) x_s(c,u) # Use of composite good c #; Coefficient (parameter) (all,c,com) SIGMA(c) # elasticity of substitution: domestic/imported #; (all,c,com)(all,s,src)(all,u,impuser) SRCSHR(c,s,u) # imp/dom shares #; Read SIGMA from file BASEDATA header "ARM"; Formula (all,c,com)(all,s,src)(all,u,impuser) SRCSHR(c,s,u) = USE(c,s,u)/USE_S(c,u); Equation E_x (all,c,com)(all,s,src)(all,u,impuser) x(c,s,u) = x_s(c,u) - SIGMA(c)*[p(c,s) - p_s(c,u)]; Equation E_p_s (all,c,com)(all,u,impuser) p_s(c,u) = sum{s,src, SRCSHR(c,s,u)*p(c,s)};

! Excerpt 7 of TABLO input file:!! Household demands! Variable p3tot # Consumer price index #; x3tot # Real household consumption #; w3tot # Nominal total household consumption #; Equation E_x3 (all,c,com) x_s(c,"households") + p_s(c,"households") = w3tot; Equation E_x3tot USE_CS("Households")*x3tot = sum{c,com, USE_S(c,"Households")*x_s(c,"Households")}; Equation E_p3tot USE_CS("Households")*p3tot = sum{c,com, USE_S(c,"Households")*p_s(c,"Households")};

Mechanizmy ujęte w modelu CGE przykład wzrostu popytu cena gałąź A cena gałąź B S S D 1 D 1 D 0 D 0 produkcja produkcja Na skutek szoku zmieniają się poziomy produkcji i cen. Efekty zależą od elastyczności podaży / popytu.

Mechanizmy ujęte w modelu CGE przykład wzrostu podatku cena gałąź A cena gałąź B S t 1 t 0 t 1 t 0 S D D produkcja produkcja

Zależność elastyczności podaży i popytu od danych i parametrów modelu Elastyczność podaży (krótki okres): tym większa, im niższy udział K w wartości dodanej, tym większa, im wyższa elastyczność substytucji K/L. Elastyczność popytu: tym większa, im wyższy udział elastycznych składników popytu (np. eksportu) w całkowitym popycie. tym większa, im wyższe elastyczności substytucji D/M (elastyczności Armingtona).