10. Drgania i fale elektromagnetyczne 10.1. Elektryczny obwód drgający. Poprzednio omawialiśmy mechaniczne układy drgające. Teraz zapoznasz się z układem drgającym zupełnie innego rodzaju elektrycznym obwodem drgającym.
Rys. 50. Zachowanie układu LC można porównać do drgań wahadła. Wyobraź sobie obwód elektryczny złożony z kondensatora o pojemności C oraz zwojnicy o indukcyjności L. Ładujemy kondensator do napięcia U o dostarczając do obwodu pewną ilość energii, która gromadzi się między okładkami kondensatora. Czynność ta jest równoważna odchyleniu wahadła z położenia równowagi podnosząc kulkę wahadła nadajemy jej energię potencjalną ciężkości (rys. 50 a). Co się będzie działo dalej? Kondensator zacznie się rozładowywać. Napięcie na okładkach stopniowo maleje, aż spadnie do zera (rys. 50 b). Spadnie również do zera energia elektryczna zgromadzona między okładkami kondensatora. Co się stało z tą energią? Zasada zachowania energii mówi przecież, że energia układu izolowanego (a za taki można uważać nasz obwód gdy pominie się straty, np. wpływ oporu) pozostaje stała. Energia elektryczna stopniowo przekształca się w energię pola magnetycznego, ponieważ wzrost natężenia prądu w obwodzie powoduje wzrost pola magnetycznego w zwojnicy. Natomiast w przypadku wahadła energia potencjalna kulki przekształciła się w jej energię kinetyczną. Prąd w obwodzie będzie płynął nadal w tym samym kierunku, chociaż kondensator jest rozładowany (przypomnij zjawisko samoindukcji podczas włączania obwodu). Doprowadzi to do ponownego, ale odwrotnego naładowania kondensatora (rys. 50 c). Energia pola magnetycznego przekształci się w energię pola elektrycznego. Kulka wahadła natomiast osiągnęła swoje drugie maksymalne wychylenie (przeciwne do poprzedniego). Od tego momentu kondensator zacznie się rozładowywać. W obwodzie popłynie prąd ale w przeciwną stronę niż poprzednio (rys. 50 d). Kulka wahadła też rozpocznie ruch w przeciwnym kierunku. Całe zjawisko zacznie się powtarzać. W układzie elektrycznym zachodzą więc cykliczne przemiany energii pola elektrycznego w kondensatorze w energię pola magnetycznego w cewce i odwrotnie. Okresowo ładuje się i rozładowuje kondensator. Wynika z tego, że ładunek elektryczny porusza się w obwodzie jakby ruchem drgającym (z jednej okładki kondensatora na drugą i z powrotem). Mówimy w tym przypadku o drganiach elektrycznych, a sam obwód nazywamy obwodem elektrycznym drgającym. Drgania mechaniczne jakiegoś ciała miały (jak pamiętasz), okres drgań charakterystyczny dal danego ciała tzw. okres drgań własnych. Okazuje się, że drgania elektryczne mają również charakterystyczny dla danego obwodu okres drgań własnych. Wyraża się on tzw. wzorem Kelvina T = 2л L C [24] gdzie: L indukcyjność cewki mierzona w henrach (H), C pojemność kondensatora mierzona w faradach (F), T okres drgań obwodu elektrycznego, czyli czas, w którym kondensator się Rozładuje i ponownie naładuje się tak samo.
Z równania 24 wynika, że okres drgań obwodu elektrycznego zależy od pojemności kondensatora (im większa pojemność, tym większy ładunek zgromadzony jest w kondensatorze co oznacza dłużej trwające jego rozładowanie) i od indukcyjności cewki (im większa indukcyjność L cewki, tym bardziej skuteczne przeszkadza ona zmianie natężenia prądu w obwodzie co oznacza dłuższy czas przepływu ładunku). Rozważając przemiany energii w elektrycznym obwodzie drgającym pominęliśmy wszelkie straty. W rzeczywistości występuje w nim opór elektryczny, który powoduje zmniejszanie się energii w elektrycznym obwodzie drgającym. Nie jest to jednak jedyny powód o czym się wkrótce przekonasz. 10.2. Rezonans elektromagnetyczny. Znasz zjawisko rezonansu mechanicznego i akustycznego. Wiesz również jakie warunki muszą być spełnione, aby drgania wysyłane przez jedno ciało drgające zostało odebrane przez drugie ciało. Sprawdzimy czy zjawisko rezonansu zachodzić będzie w przypadku dwóch obwodów drgających. Jeden z obwodów musi być zasilany z zewnętrznego źródła energii, aby uzupełniać straty. W drugim natomiast musi istnieć możliwość zmiany pojemności kondensatora lub współczynnika indukcji własnej obwodu, czyli musi mieć możliwość zmiany okresu drgań własnych tego obwodu (rys. 51). Rys. 51. Schemat obwodów do pokazu rezonansu elektromagnetycznego. Jeżeli pierwszy obwód pobudzimy do drgań, to zmieniając okres drgań własnych drugiego obwodu doprowadzimy do pojawienia się drgań elektrycznych w obwodzie drugim (z prawej strony rys. 51).
Obwody elektryczne mogą więc przekazywać sobie energię wtedy, gdy okres drgań T 1 obwodu przekazującego energię jest równy okresowi drgań własnych T 2 obwodu, który ją odbiera. Opisane wyżej zjawisko nazywamy rezonansem elektromagnetycznym, a jego spełnienie jest uwarunkowane równością okresów drgań własnych dwóch obwodów, czyli T 1 = T 2 Na podstawie równania 24 możemy zapisać, że 2 л L 1 C 1 = 2 л L 2 C 2 a zatem L 1 C 1 = L 2 C 2 czyli iloczyn pojemności kondensatora C I indukcyjności zwojnicy L dla danych dwóch elektrycznych obwodów drgających jest wielkością stałą. Jak odbywa się przekazywanie energii między obwodami? Odpowiedź na to pytanie znajdziesz w dalszej części tej lekcji. 10.3. Fale elektromagnetyczne. Pobudzona do drgań struna gitary wysyła dźwięk, którego natężenie maleje. Wnioskujemy stąd, że amplituda drgań struny jest coraz mniejsza, maleje zatem również jej energia. Gdzie podziewa się energia struny? Energia odpływa ze struny w postaci energii fali dźwiękowej. To samo dotyczy oczywiście każdego ciała drgającego w ośrodku sprężystym. Mówiliśmy o tym, że elektryczny obwód drgający również traci energię i tajemniczo dodaliśmy, że opór elektryczny nie jest jedynym powodem strat energii. Nasuwa się myśl, czy i w tym przypadku straty energii nie są związane z powstaniem jakichś fal i transportem energii. Teoretycznie zagadnienie to rozwiązał fizyk angielski James Clerk Maxwell (1831 1879). Badając właściwości pola elektrycznego i magnetycznego Maxwell sformułował dwa postulaty zwane prawami Maxwella. II prawo Maxwella brzmi: Każda zmiana pola magnetycznego powoduje powstanie wirowego pola magnetycznego.
Prawo to wyjaśnia rys. 52. Zmienne pole magnetyczne wywołane ruchem magnesu powoduje powstanie w jego otoczeniu wirowego pola elektrycznego niezależnie od tego, czy znajduje się tam obwód zamknięty czy nie (na rysunku brak obwodu). Linie powstającego pola elektrycznego są liniami zamkniętymi, stąd nazwa pole wirowe. Rys. 52. Wirowe pole elektryczne wytwarzane przez poruszający się wzdłuż swojej osi magnes. Jeżeli zmienne pole magnetyczne owija się wirowym polem elektrycznym to można zadać pytanie: czy zmienne pole elektryczne wytwarza wirowe pole magnetyczne? Hipoteza ta została sformułowana w XIX wieku prze Maxwella i spowodowała prawdziwy przewrót w elektromagnetyzmie. Okazało się bowiem, że jest prawdziwa. Nazywamy ją I prawem Maxwella, które można sformułować następująco: Każdej zmianie pola elektrycznego towarzyszy tworzenie się wirowego pola magnetycznego. W drugiej połowie XIX wieku Maxwell podał pełny zestaw praw opisujących własności pola elektrycznego i magnetycznego. Noszą one nazwę równań Maxwella. Na ich podstawie Maxwell wykazał, że jeżeli gdziekolwiek w przestrzeni powstanie zmienne pole elektryczne lub magnetyczne, to powstają oba pola, tworząc pole elektromagnetyczne, którego zmiany rozchodzą się z tego obszaru przestrzeni ze skończoną prędkością. Rozchodzenie się tych zmian pola nazywamy falą elektromagnetyczną.
Fale, których rozchodzenie polega na przemieszczaniu się zmiennych pół elektrycznych i magnetycznych nazywamy falami elektromagnetycznymi. Fale elektromagnetyczne mogą istnieć w próżni. Nie potrzebują do rozchodzenia się żadnego ośrodka materialnego w przeciwieństwie do fal mechanicznych, które rozchodzą się tylko w ośrodkach materialnych. Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną, wektory E (natężenia pola elektrycznego) i B (indukcji pola magnetycznego) są prostopadłe do siebie a także do kierunku rozchodzenia się fali (rys. 53). Rys. 53. Wektory natężenia pola elektrycznego E i indukcji magnetycznej B w fali elektromagnetycznej. Równania Maxwella pozwoliły również obliczyć prędkość rozchodzenia się hipotetycznej jeszcze wówczas fali elektromagnetycznej. Była ona zgodna ze znaną w XIX wieku prędkością światła. Na tej podstawie Maxwell wysunął hipotezę, że światło jest falą elektromagnetyczną. W ten sposób po raz pierwszy została wyjaśniona natura fal świetlnych. Dzisiaj wiemy, że wszystkie rodzaje fal elektromagnetycznych rozchodzą się w próżni z jednakową prędkością, którą oznaczamy symbolem c. Jest to jedna z najważniejszych stałych fizycznych, a jej przybliżona wartość wynosi m km s s C = 3 10 8 = 300 000 Gdy już wiesz o istnieniu fal elektromagnetycznych masz odpowiedź na pytanie, dlaczego obwód drgający traci energię. Między płytkami kondensatora jest przecież zmienne pole elektryczne. W myśl teorii Maxwella staje się ono źródłem fal elektromagnetycznych. One niosą ze sobą energię, podobnie jak fale dźwiękowe niosą energię drgań struny czy innego źródła dźwięku.
Fala elektromagnetyczna niesie ze sobą energię pola elektromagnetycznego. Możesz odpowiedzieć też na drugie pytanie: jak obwody drgające przekazują sobie energię. Fala elektromagnetyczna docierając do drugiego obwodu, wywołuje w nim drgania elektromagnetyczne. Jeżeli częstotliwość fali (a więc i obwodu, który ją wysłał) jest taka sama jak obwodu odbierającego energię, dochodzi do najsilniejszych drgań tego obwodu. Na tym polega zjawisko rezonansu. Fale elektromagnetyczne podobnie jak fale mechaniczne w danym ośrodku rozchodzą się po linii prostej ze stałą prędkością. Mogą ulec odbiciu (od powierzchni metalowych), załamaniu, ugięciu, interferencji i polaryzacji. Będziemy jeszcze do tych zagadnień wracać. Dopiero 12 lat po śmierci Maxwella niemiecki fizyk Heinrich Rudolf Hertz (1857 1894) potwierdził wszystkie przewidywania Maxwella oraz pierwszy wytworzył falę elektromagnetyczną. Dzisiaj z falami elektromagnetycznymi mamy do czynienia na każdym kroku. Źródłem fali elektromagnetycznej jest często szybkozmienny prąd w prostoliniowym przewodniku, zwanym anteną. Wokół anteny powstaje zmienne pole elektromagnetyczne a jego zmiany przemieszczają się we wszystkich kierunkach (rys. 54). Rys. 54. Pole elektromagnetyczne wokół anteny. Kiedy słuchasz albo oglądasz program w telewizji przypomnij sobie, że to właśnie antena stacji nadawczej wysyła fale elektromagnetyczne o określonej częstotliwości. W Twoim odbiorniku też jest obwód drgający i aby słuchać czy oglądać ulubioną stację musisz odpowiednio dostroić odbiornik musisz doprowadzić do rezonansu elektromagnetycznego np. pokręcając gałką potencjometru radia.
10.4. Przegląd fal elektromagnetycznych. Klasyfikację fal elektromagnetycznych według ich długości w próżni lub częstotliwości nazywamy widmem fal elektromagnetycznych (rys. 55). Światło widzialne mające dla nas najistotniejsze znaczenie zawiera niewielki zakres długości fal w całym zakresie widma. Długość fal świetlnych zawarta jest między 0,4 μm (fiolet o najmniejszej długości fali) i 0,7 μm (czerwień, o największej długości fali). Mniejsze od światła widzialnego długości fal mają: promieniowanie nadfioletowe (0,4 μm 10 nm). Promieniowanie to wytwarzane jest np. w lampach kwarcowych. Jest ono także składnikiem promieniowania słonecznego i powoduje między innymi opalanie się. Można je rejestrować np. za pomocą kliszy fotograficznej. promieniowanie rentgenowskie (10 nm 0,001 nm) promieniowanie to znane jest najbardziej z jego zastosowania w medycynie do tzw. prześwietleń. Wytwarzane jest za pomocą lamp rentgenowskich. Duże dawki tego promieniowania są szkodliwe dla organizmów żywych. promieniowanie gamma (0,1 nm...?) Jest to bardzo groźne, wręcz zabójcze dla organizmów żywych promieniowanie pochodzące z przemian zachodzących w jądrach atomowych. Promieniowanie gamma wchodzi w skład promieniowania kosmicznego. Po stronie fal dłuższych mamy: promieniowanie podczerwone (0,7 μm 1 mm). Wysyłają je ciała stałe ogrzane do temperatury niższej od 500 C. Promieniowanie to jest wykorzystywane np. w pilotach telewizyjnych. mikrofale (1 mm 1 m). Promieniowanie to stosuje się w niektórych zabiegach leczniczych, w radarze, kuchenkach mikrofalowych. Fale ultrakrótkie (1 m 10 m). W skrócie fale te nazywane są UKF i stosuje się je w telewizji i radiofonii.
Fale radiowe (10 m 2000 m). Promieniowanie to wykorzystywane jest w działaniu radia. Tradycyjnie dzielimy je na fale krótkie (10 75 m), średnie (200 600 m) i długie (1000 2000 m). Fale elektromagnetyczne o długości fali większej od 2000 m nie mają swojej nazwy ani specjalnego zastosowania.
Rys. 55. Widmo promieniowania elektromagnetycznego. Pytania i zadania
1. Czy dwa obwody drgające, mające różną pojemność mogą mieć jednakową częstotliwość drgań własnych? 2. Jak zmieni się okres drgań własnych obwodu drgającego, jeżeli do solenoidu znajdującego się w tym obwodzie wsuniemy rdzeń z miękkiej stali? 3. Jak zmieni się częstotliwość obwodu drgającego, jeżeli próżniowy kondensator wypełnimy dielektrykiem o stałej dielektrycznej ε r = 4? 4. Obwód drgający zawiera solenoid, którego indukcyjność wynosi L = 2 H. Jaki kondensator trzeba włączyć do tego obwodu, aby jego okres drgań wynosił 0,02 s? 5. Częstotliwość drgań własnych pewnego obwodu drgającego jest równa f = 100 Hz. Oblicz indukcyjność zwojnicy wiedząc, że pojemność kondensatora wynosi C = 4 10-5 F. 6. Jaki warunek rezonansu elektromagnetycznego pomiędzy dwoma obwodami elektrycznymi? 7. Obwód drgający składa się ze zwojnicy o współczynniku o indukcji własnej L 1 = 10-3 H i kondensatora o zmiennej pojemności. Jak musi być pojemność tego kondensatora, aby obwód był w rezonansie z obwodem składającym się ze zwojnicy o L 2 = 5 10-3 H i kondensatora o pojemności C2 = 1 μf? 8. Obwód drgający o indukcyjności L 1 = 0,1 mh znajduje się w rezonansie przy częstotliwości f 1 = 5000 khz. Jaka powinna być indukcyjność L 2 obwodu, aby rezonans wystąpił przy częstotliwości f 2 = 1000 Hz? 9. Czy falom elektromagnetycznym do rozchodzenia się w przestrzeni potrzebny jest ośrodek materialny? 10. Jaką falą jest fala elektromagnetyczna: poprzeczną czy podłużną? 11. Czy fala elektromagnetyczna ulega zjawisku polaryzacji? Uzasadnij odpowiedź. 12. Z jaką prędkością rozchodzi się fala elektromagnetyczna w próżni? 13. Dlaczego obwód drgający pozostawiony samemu sobie traci energię (amplituda drgań zmniejsza się)? 14. Jak przekazywana jest energia między elektrycznymi obwodami drgającymi w czasie rezonansu? 15. Jakie zjawisko fizyczne wykorzystujesz szukając ulubionej stacji radiowej? 16. Do jakiego rodzaju fal zaliczamy falę o częstotliwości f = 10 15 Hz? 17. Do jakiego rodzaju fal zaliczamy falę o długości λ = 1000 m. 18. Który rodzaj promieniowania ma większą częstotliwość niż światło widzialne: nadfiolet, podczerwień, promieniowanie rentgenowskie czy mikrofale? 19. Wymień rodzaje fal elektromagnetycznych, które są niebezpieczne dla organizmów żywych.
1. Oblicz wychylenie y punktu z położenia równowagi w chwili t = T/6, jeżeli punkt ten znajduje się w odległości x = 1/12 l od źródła drgań o amplitudzie A = 5 cm. 2. Oblicz masę ciała wykonującego drgania harmoniczne o amplitudzie A =0,1 m i częstotliwości f = 2 Hz, jeżeli całkowita energia ciała jest równa 7 10-3 J. 3. Jak wpłynie na wskazanie zegara wahadłowego fakt przeniesienia go z powierzchni Ziemi na wysokość h = R nad jej powierzchnię (R promień Ziemi)? Wytłumacz zjawisko. 4. Stoisz w odległości 0,5 km od ściany szklanej. Czy będziesz słyszał powtórzenie przez echo trzysylabowego wyrazu, przyjmując, że czas potrzebny do jego wymówienia wynosi 2,5 s? 5. Na jaką długość6. fali nastawiony jest radioodbiornik, jeżeli obwód anteny składa się z cewki o indukcji L = 1,5 mh i kondensatora o pojemności C = 450 pf? Praca kontrolna Nr 2. 1. Oblicz amplitudę drgań harmonicznych ciała, jeżeli jego całkowita energia jest równa 0,4 J, a działająca na nie siła przy wychyleniu do połowy amplitudy wynosi 2 N. 2. Jak wpłynie na wskazanie zegara wahadłowego przeniesienie go z powierzchni Ziemi na Księżyc? Wytłumacz zjawisko. 3. Okres drgań swobodnych statku wynosi 10 s, a długość fali na morzu może dochodzić do 60 m. Przy jakiej prędkości fali możliwy jest rezonans wahań statku z falą?
4. Średnie natężenie dźwięku w odległości r 1 = 3 m od głośnika wynosi I 1 =10-6 W/m 2. Oblicz średnie natężenie dźwięku w odległości r 2 = 10 m od głośnika. 5. Elektryczny obwód drgający składa się z kondensatora o pojemności C = 0,5 m F i cewki o indukcyjności L = 5 mh. Po jakim czasie od momentu połączenia kondensatora z cewką energia pola elektrycznego będzie równa energii pola magnetycznego?