POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 88 Eletrial Engineering 6 Mirosław WCIŚLIK* Paweł STRZĄBAŁA* ANALIZA SYMULACYJNA OBWODU PRĄDU PRZEMIENNEGO Z PROSTOWNIKIEM MOSTKOWYM W pray zaprezentowano sposób modelowania obiążenia nieliniowego w postai układu prostownika mostkowego (mostka Graetza) z obiążeniem RC dla niesztywnego systemu zasilania. Został opraowany matematyzny model obwodu prądu przemiennego dla takiego obiążenia z uwzględnieniem zmiennyh bezwymiarowyh. Model rozważanego obwodu przeanalizowano wykorzystują system MATLAB/Simulink. Przebiegi prądów i napięć poddano analizie harmoniznyh oraz wyznazono wskaźniki jakośi zasilania. Zaprezentowano harakterystyki prądowo napięiowe rozważanego obiążenia dla zmiennyh wartośi obiążenia pojemnośiowego układu prostownika. Na podstawie hwilowyh wartośi prądów i napięć w obwodzie sprawdzono przepływ moy zynnej i biernej. SŁOWA KLUCZOWE: prostownik mostkowy, obiążenie nieliniowe, modelowanie, mo zynna i bierna. WSTĘP Składowe harmonizne są jednym z głównyh problemów składająyh się na zapewnienie właśiwej jakośi energii elektryznej. Obiążenia nieliniowe natomiast są głównym źródłem ih propagaji w systemie zasilania. Energia przenoszona pierwszą harmonizną w obiążeniu nieliniowym jest zamieniana na energie wyższyh harmoniznyh i zwraana do systemu zasilania. Lizba [] obiążeń nieliniowyh iągle rośnie i szauje się, że w iągu kolejnyh lat ponad 6% wszystkih obiążeń użytkowyh będą stanowić obiążenia nieliniowe. Dlatego wymagane są wiarygodne modele matematyzne, które w poprawny sposób opiszą zjawiska występująe w proesie przesyłu energii od produenta do konsumenta oraz pozwolą na oenę oddziaływań obiążeń nieliniowyh na system zasilania. Biorą pod uwagę złożoność analiz oraz trudnośi z interpretają zjawisk zahodząyh w obwodzie z obiążeniem nieliniowym koniezna jest symulaja komputerowa tego obwodu. * Politehnika Świętokrzyska.
4 Mirosław Wiślik, Paweł Strząbała Do właśiwej oeny interakji obiążeń nieliniowyh i systemu zasilania tj. propagaji wyższyh harmoniznyh oraz moy biernej, koniezne jest opraowanie modelu obwodu, który umożliwi taką analizę. W tym elu opraowano model matematyzny obwodu prądu przemiennego z prostownikiem mostkowym. Shemat obwodu, który poddano analizie prezentuje rysunek. Obwód ten zawiera prostownik mostkowy, który jest obiążony kondensatorem C i rezystanją obiążenia R O. Prostownik mostkowy zasilany jest napięiem sinusoidalnym o pulsaji ω, poprzez szeregowo połązoną indukyjność L i rezystanję R S, które modelują szeregową impedanję m.in. systemu zasilania. Rys.. Shemat analizowanego obwodu z prostownikiem mostkowym Indukyjność L jest to suma indukyjnośi systemu zasilania oraz dodatkowej indukyjnośi szeregowej. Rozwiązanie to różni się od tyh znanyh z literatury [ i 3], w któryh dodatkowa indukyjność szeregowa jest uwzględniana, ale na wyjśiu prostownika. Prezentowany model obwodu daje możliwość symulaji pray prostownika zarówno w trybie przerywanym jak również iągłym.. MODEL MATEMATYCZNY OBWODU Model obwodu prądu przemiennego z prostownikiem mostkowym z rysunku opisano następująymi równaniami: dis L E sin( t) Is ( Rs Rd ) ( Ud U) sign( Is) () dt du C Is U () dt Ro gdzie: I S hwilowa wartość prądu płynąa przez układ prostownizy, indukyjność L oraz rezystanje R S, R d rezystanja szeregowa diody w stanie przewodzenia, U d spadek napięia diody w stanie przewodzenia, U C napięie wyjśiowe z prostownika.
Analiza symulayjna obwodu prądu przemiennego z prostownikiem... Model matematyzny prostownika (mostka Graetza) utworzono wykorzystują funkję signum prądu I S, dla której współzynnikiem proporjonalnośi jest suma spadków napięć na pojemnośi C oraz dwu przewodząyh diodah mostka. Z prostownika wyhodzi wartość bezwzględna prądu, która filtrowana jest na równolegle połązonyh: kondensatorze C oraz rezystanji obiążenia R O. Lizba parametrów (R d, R S, R O, L, C, ω, t, E, U d ), które uwzględniono w proponowanym opisie matematyznym powoduje, że model takiego obwodu jest rozbudowany oraz jego analiza jest utrudniona. W elu uproszzenia eksperymentu symulayjnego oraz analizy otrzymanyh wyników wprowadzono skalowanie zasu oraz zmienne odniesienia: E t; X L; Im ; Y C (3) X Następnie wykorzystują zmienne i parametry bezwymiarowe: Is Ud U is ; ud ; u (4) I E E m Rs Rd Ro rz ; ro ; XY LC; () L L równania modelu obwodu zapisano w następująej postai bezwymiarowej: dis sin( ) is rz ( ud u ) sign( is ) d (6) du ( is ro u ) d r (7) o Zastosowane przekształenia znaznie zredukowały lizbę parametrów wejśiowyh, któryh pozątkowa lizba była 9 natomiast po przekształeniah jest ih tylko (,, r z, u d, τ). 3. MODEL OBWODU W SIMULINKU Wykorzystują równania (6) i (7) zapisane w postai bezwymiarowej utworzono shemat operayjny rozważanego obwodu w programie Simulink, który przedstawiono na rysunku. Funkję signum zrealizowano wzmaniają sygnał tysią razy i stosują funkję nasyenia. Na shemaie można wyróżnić sumatory, bloki wzmonienia oraz integratory opisująe zmienne stanu rozważanego obwodu. Portami wyjśiowymi wyprowadzono hwilowe wartośi prądów i napięć, na podstawie, któryh przeprowadzono analizę harmoniznyh napięć i prądu oraz sprawdzono bilanse moy zynnyh i biernyh w obwodzie. Eksperyment symulayjny oraz analizę wyników została przeprowadzona z wykorzystaniem zmiennyh bezwymiarowyh opisanyh zależnośiami (4) i (). W tym elu modelem obwodu w Simulinku sterowano z pliku MATLABa.
6 Mirosław Wiślik, Paweł Strząbała Jako parametry wejśiowe zastosowano zmienne,, u d oraz r z. Przykładowe przebiegi napięć i prądu w stanie ustalonym dla wymuszenia sinusoidalnego w postai funkji sin(τ) i parametrów wejśiowyh =, = 6, u d =.6 oraz r z =. prezentuje rysunek 3. Rys.. Shemat operayjny modelowanego obwodu w Simulinku. u z i s u u p - - Rys. 3. Bezwymiarowe przebiegi napięć i prądu w obwodzie z rysunku. Oznazenia: u z napięie zasilania, u napięie wyjśiowe z prostownika, u p napięie na prostowniki widziane z zaisków źródła zasilania, i s prąd płynąy przez układ prostownika Zmienne i wyrażają odpowiednio bezwymiarową wartość obiążenia rezystanyjnego i pojemnośiowego układu prostownika odniesionyh do indukyjnośi systemu zasilania. W symulaji uwzględniono także bezwymiarową
Analiza symulayjna obwodu prądu przemiennego z prostownikiem... 7 wartość spadków napięć na dwu przewodząyh diodah u d oraz bezwymiarową rezystanję r z będąą sumą rezystanji systemu zasilania oraz rezystanji diod w stanie przewodzenia. Dla stałyh parametrów wejśiowyh =, u d =.6, r z =. oraz różnyh wartośi, wyznazono harakterystyki napięiowo prądowe u p (i s ) przedstawiająe zależność napięia na prostowniku u p widzianego z zaisków źródła zasilania w funkji prądu i s. Otrzymane wykresy prezentuje rysunek 4. =. =. - - - - - - =. = - - - - - - =. = - - u p - - - - = = - - - - - - = =6 - - - - - - i s =7 = - - - - - - i s Rys. 4. Charakterystyki napięiowo prądowe u p (i s ) dla =, r z =. i u d =.6 i różnyh wartośi Z przedstawionyh wykresów wynika, że harakterystyki układu prostownizego obserwowane na zaiskah AC nie są jednoznazne.
..3.3 8 Mirosław Wiślik, Paweł Strząbała Przyjmują stałe wartośi u d =.6 i r z =. wyznazono średnie wartośi napięia wyjśiowego u s dla różnyh wartośi i. Otrzymane wyniki zostały przedstawione na rysunkah i 6..4.3 u s.......3.4.6.7.8.9 Rys.. Średnia wartość napięia wyjśiowego u s dla zmiennego obiążenia i : wykres trójwymiarowy...........3.4.6.7.8.9.3.3.3.3.4.4.4.4 Rys. 6. Średnia wartość napięia wyjśiowego u s dla zmiennego obiążenia i : wykres konturowy Należy zauważyć, że napięie u s dla >.3 osiąga maksimum, którego wartość rośnie wraz ze wzrostem. Korzystają z przedstawionyh harakterystyk można określić przy jakiej pojemnośi napięie to, ma maksymalną wartość. W tym elu pomony jest wykres z rysunku 7, gdzie przedstawiono zależność napięia u s w funkji dla wybranyh wartośi. Jak można zauważyć napięie średnie u s dla <.3 narasta liniowo w funkji i nie zależy od. Dla >.3 napięie u s osiąga maksymalną wartość, gdy =. Wahania napięia wyjśiowego u dla różnyh wartośi i przedstawiono na rysunkah 8 i 9. Zarówno napięie u s jak i amplituda tętnień u t stanowią istotny parametr przy doborze stabilizatora napięia.
Analiza symulayjna obwodu prądu przemiennego z prostownikiem... 9.4.4.3 = = =.7 = u s.3.....3.4.6.7.8.9 Rys. 7. Maksymalne wartośi średnie u s napięia wyjśiowego u w funkji, dla różnyh wartośi y.8.6 u t.4......9.6.7.8.3.4. Rys. 8. Amplituda tętnień u t napięia wyjśiowego u dla i : wykres trójwymiarowy......3.3..4.4...3.4...3.4.6.7.8.9.3.6.6 Rys. 9. Amplituda tętnień u t napięia wyjśiowego u dla i : wykres konturowy
6 Mirosław Wiślik, Paweł Strząbała Z rysunku 9 wynika, że wraz ze wzrostem parametru y amplituda wahań u t napięia wyjśiowego jest oraz mniejsza oraz ustala się na stałym poziomie dla oraz szerszego zakresu zmian obiążenia. 4. HARMONICZNE I WSKAŹNIKI JAKOŚCI ZASILANIA Prądy i napięia z rysunku 3 poddano analizie harmoniznej. Dla okresowyh przebiegów odkształonyh analizę harmonizną wykonuje się przy użyiu szeregu Fouriera. W tym elu modelem obwodu z rysunku utworzonym w Simulinku sterowano z pliku MATLABa, pobierano kolejne wartośi hwilowe prądów i napięć, a następnie na ih podstawie przeprowadzano dyskretną transformaję Fouriera. u p - u z - i s -. u -u s -. 3 4 6 7 8 9 zęstotliwość karmonizna Rys.. Amplitudy zęśi rzezywistyh (kolor zarny) i urojonyh (kolor biały) harmoniznyh napięć i prądu z rysunku 3 Z rysunku wynika, że największą zawartośią harmoniznyh ehuje się napięie na prostowniku u p. Wartośi tyh harmoniznyh są harakterystyzne dla obiążenia nieliniowego, amplitudy poszzególnyh harmoniznyh maleją wraz ze wzrostem ih rzędów. Zawartość harmoniznyh w prądzie i s nie jest duża, obserwuje się znazną wartość harmoniznej podstawowej, harmonizną 3 i znikome wartośi pozostałyh harmoniznyh. Do oeny kształtu przebiegów napięć i prądu zastosowano współzynnik zniekształeń harmoniznyh, który zdefiniowano zgodnie ze standardem IEEE 9 następująą zależnośią [4]:
. Analiza symulayjna obwodu prądu przemiennego z prostownikiem... 6 THDi 3 4 i i i 3 i i i gdzie: i n - wartośi skutezne kolejnyh składowyh harmoniznyh. Dla analizowanyh napięć i prądu i s w obwodzie wartośi współzynnika THD zaprezentowano w tabeli. Tabela. Wartośi współzynnika THD dla napięć i prądu i s w obwodzie z rysunku THDu z THDu p THDi s THDu..4.9 Wartośi współzynników THD przedstawionyh w tabeli istotnie zależą od zmian parametrów i. Wpływ zmian obiążenia pojemnośiowego oraz rezystanyjnego układu prostownizego na współzynnik THD prądu i s prezentują wykresy z rysunku i. (8) THDi s.8.6.4.......3.4.7.6.8.9 Rys.. Współzynnik THD prądu w funkji i : wykres trójwymiarowy..4.6.7.8.9.3..4..6.7.8.9..3..4..3..6..3.4.6.7.8.9 Rys.. Współzynnik THD prądu w funkji i : wykres konturowy
.4.4.6 6 Mirosław Wiślik, Paweł Strząbała Z wykresów wynika, że wartośi THD prądu i s płynąego w obwodzie zasilania zależą zarówno od parametrów i. Dla rozważanyh wartośi parametrów i y maksymalna wartość THD jest równa %, występuje, gdy >.9. Wartość współzynnika moy dla rozważanego obwodu w funkji i, dla stałyh wartośi u d =,6 i r z =, przedstawiono na wykresah z rysunku 3 i 4. Dla >.98 i =. współzynnik moy osiąga wartość maksymalną, która jest równa.8. Oznaza to, że dla takiego przypadku w obwodzie wydzielana jest najmniejsza mo bierna..8.6 PF.4......4.3..9.8.7.6 Rys. 3. Współzynnik moy PF dla i : wykres trójwymiarowy....3.3.3.3.3.3.4.4.4.4...3.4.6.7.8.9.6.6.6.7.6.7.7.6.7.7.8 Rys. 4. Współzynnik moy PF dla i :wykres konturowy. BILANS MOCY Chwilowe wartośi moy zynnej i biernej na poszzególnyh elementah obwodu wyznazono stosują układ pomiarowy zaproponowany w []. Shemat tego układu prezentuje rysunek. Wartośi moy zynnej i biernej wyznazane są w wyniku mnożenia wektora spadków napięć U zz sformułowanyh w modelu z rysunku przez prąd i s oraz jego pohodną di s / dτ. Chwilowe wartośi tak wyznazanyh moy zynnej i biernej uśredniane są następnie na filtrah yfrowyh MeanV i MeanV za okres i wyświetlane na wyświetlazah oraz wyprowadzane portami wyjśiowymi P i Q.
Analiza symulayjna obwodu prądu przemiennego z prostownikiem... 63 Rys.. Shemat układu pomiarowego moy zynnej i biernej. Gdzie: P Z,, Q Z,; P L,, Q L,; P C, Q C ; P P, Q P - odpowiednio mo zynna i mo bierna zasilania, indukyjnośi, rezystanji r s i prostownika. Przyjęte parametry symulaji: =, =, u d =.6 oraz r z =..3 P. P Z P L P S P P - -. -.3 -.4.... 6 7 Rys. 6. Mo zynna na poszzególnyh elementah obwodu dla różnyh wartośi.4.3 Q. Q Z Q L Q S Q P - -. -.3.... 6 7 Rys. 7. Mo bierna na poszzególnyh elementah obwodu dla różnyh wartośi Na rysunkah 6 i 7 zamieszzono wykresy dla moy zynnyh i biernyh, które wyznazono w rozważanym obwodzie dla stałyh wartośi =, u d =.6, r z =. oraz różnyh wartośi. Z wyników tyh wynika, że bilanse moy zynnej oraz biernej w obwodzie są spełnione. Interesująe zjawisko można zauważyć dla moy biernej, gdzie prostownik ma mo bierną pojemnośiową. Wartość tej moy jest znaznie mniejsza od moy biernej indukyjnej. Z rysunku 7 wynika, że dla = mo bierna pojemnośiowa prostownika ma wartość Q P = -.7, która zapewnia maksymalną kompensaje moy biernej indukyjnej w obwodzie.
64 Mirosław Wiślik, Paweł Strząbała 6. PODSUMOWANIE Prezentowany model obwodu stanowi dobry przykład do badań oddziaływań obiążenia nieliniowego na sieć zasilania oraz inne odbiorniki przyłązone do tej siei. Charakterystyki prądowo napięiowe obserwowane na zaiskah AC mostka są niejednoznazne, mo bierna prostownika jest niezerowa i posiada znak ujemny tak jak źródło zasilania. Dla takiego przypadku w obwodzie obserwowana jest pewna kompensaja moy biernej indukyjnej. LITERATURA [] Das J. C., Power System Harmonis and Passive Filter Designs, John Wiley & Sons, New Jersey,. [] Dokić B. L., Blanusa B., Power Eletronis: Converters and Regulators, Third Edition, Springer,. [3] Mohan N., Undeland T. M., Robbins W. P., Power Eletronis: Converters, Appliations, and Design, John Wiley & Sons, 3. [4] Wiślik M., Harmonizne w obwodzie prądu przemiennego z obiążeniem nieliniowym i kompensają moy biernej, Computer Appliations in Eletrial Engineering, Poznań,, s. 77 84. [] Wiślik M., Bilanse moy w obwodzie prądu przemiennego z odbiornikiem nieliniowym, Przegląd Elektrotehnizny, 4, nr., -8. SIMULATION ANALYSIS OF THE AC CIRCUIT WITH BRIDGE RECTIFIER The papers deal with the nonlinear model of full-wave bridge retifier in AC iruit with RC load for non-rigid supply system. The mathematial model of the AC iruit for this load taking into aount dimensionless variables was worked out. The model of the iruit was reated and analyzed with MATLAB/Simulink. Analysis of harmoni distortion of the urrents and voltages in onsidered iruit was arried out. Indiators of power quality were designated. The urrent-voltage harateristis for different values of apaitive load were presented. The balanes ative and reative powers in the iruit were performed. (Reeived:.. 6, revised: 8. 3. 6)