ESTYMACJA PARAMETRYCZNA I WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH ZESTAW ZADAŃ ZALECANYCH DO PRZEROBIENIA PRZED PRZYSTĄPIENIEM DO EGZAMINU ZE STATYSTYKI 1 Oznaczenia: E estymacja, W weryfikacja, µ, σ, p, n wartość oczekiwana, odchylenie standardowe, frakcja, min. liczebność próby Zadanie 1 (E µ) Przy pewnym badaniu zysków z kapitału należy zbudować na podstawie próby losowej o liczebności n = 16, 99 procentowy przedział ufności dla średniej dywidendy z akcji wybranej branży. Wariancja dywidendy w populacji generalnej wynosi σ2 = 20,25 zł2, natomiast średni poziom dywidendy z akcji w próbie wynosi 150 zł. Podczas szacunku założyć, że dywidenda z akcji ma rozkład normalny. Zadanie 2 (E µ) Przeciętny wiek 25 pracowników wylosowanych niezależnie spośród załogi pewnego przedsiębiorstwa wynosił 37,5 roku, a odchylenie standardowe obliczony na podstawie próby S = 2,5. Przyjęto współczynnik ufności na poziomie 0,95. Zakładając, że rozkład wieku pracowników jest zbliżony do normalnego, oszacować nieznaną średnią wieku pracowników badanego przedsiębiorstwa. Zadanie 3 (E µ) Zainteresowane budową centrum handlowego pewne przedsiębiorstwo handlowe chce ocenić średnią liczbę samochodów przejeżdżających pobliską drogą w ciągu dnia. Dla losowo wybranych 100 dni otrzymano średnią równą 2150 samochodów oraz odchylenie standardowe S = 450. Na poziomie ufności 0,95 określić przedział ufności dla wartości oczekiwanej cechy. Zadanie 4 (E µ) Aby oszacować wartość oczekiwaną średniego spalania pewnego typu silników przeprowadzono badania na 6 pojazdach samochodowych, w których zainstalowano te silniki i otrzymano następujące średnie spalanie benzyny (w l/100 km): 7,1 7,3 6,6 6,9 8 6,1 Oszacować wartość oczekiwaną średniego spalania na wybranym przez siebie poziomie ufności. Zadanie 5 (E p) Instytut Badań Marketingowych chciał uzyskać od mężczyzn, na podstawie próby prostej 400-osobowej, informacje na temat przyzwyczajeń dotyczących golenia. 240 ankietowanych przyznało, iż regularnie używa do golenia maszynki elektrycznej. Wyznaczyć 99% przedział ufności dla frakcji panów golących się za pomocą maszynki elektrycznej. Zadanie 6 (E p) Spośród pracowników pewnego przedsiębiorstwa wylosowano niezależnie 240 pracowników i okazało się, że połowa z nich ma wykształcenie średnie, z czego wykształcenie techniczne ma 50%, wykształcenie ekonomiczne 20%, wykształcenie ogólnokształcące 20% i inne 10%. Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0,99 i oszacować punktowo oraz przedziałowe odsetek pracowników o wykształceniu: A. średnim ekonomicznym B. innym niż średnie Zadanie 7 (E n-p) Ilu studentów I roku Wydziału Ekonomii należy wylosować niezależnie do próby, aby przy współczynniku ufności 0,95 oszacować odsetek osób, które wybrały kierunek studiów głównie ze względu na swoje zainteresowania, jeżeli wśród 250 studentów 180 osób uważa, że zainteresowania były głównym powodem wyboru przez nich kierunku studiów. Przy szacowaniu tego odsetka osób nie chcemy pomylić się o więcej niż 5%. 1 Zadania w większości zostały zaczerpnięte z: I. Bąk i inni; Statystyka w zadaniach cz. II; Wydawnictwo Naukowo Techniczne; Warszawa 2001. 1
Zadanie 8 (E µ,σ) Na koniec 1996 roku wylosowano niezależnie 8 pracowników umysłowych w pewnym przedsiębiorstwie i uzyskano następujące informacje dotyczące stażu pracy (w latach): 10, 16, 9, 13, 6, 14, 2, 10 Przy założeniu, że staż pracy w przedsiębiorstwie ma rozkład normalny oszacować przedziałowe: a) przeciętny staż pracy pracowników umysłowych w badanym przedsiębiorstwie (współczynnik ufności 0,9); b) odchylenie standardowe stażu pracy pracowników umysłowych badanego przedsiębiorstwa (współczynnik ufności 0,9). Zadanie 9 (E µ,σ) Z populacji mężczyzn wylosowano niezależnie 200 osób i uzyskano dla nich przeciętną wagę oraz odchylenie standardowe odpowiednio na poziomie x = 72,5 kg oraz S = 8,5 kg. Wiadomo, że waga mężczyzn ma rozkład normalny. Oszacować przedziałowe: a) przeciętną wagę mężczyzn w populacji generalnej (1 - α = 0,99); b) odchylenie standardowe wagi mężczyzn w populacji generalnej (l - α= = 0,95). Zadanie 10 W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie 250 pracowników i zbadano kształtowanie się wysokości nagród przyznanych tym pracownikom w dniu 31 grudnia 1996 roku. Otrzymano następujące informacje: Wysokość nagrody [zł] Liczba pracowników 400-500 20 500-600 30 600-700 60 700-800 80 800-900 40 900-1000 20 Źródło: dane umowne. Na podstawie tych informacji, przy założeniu, że rozkład wysokości nagród w przedsiębiorstwie jest normalny, oszacować przedziałowo: a) wysokość przeciętnej nagrody w badanym przedsiębiorstwie (współczynnik ufności 0,9); b) odchylenie standardowe wysokości nagród (współczynnik ufności 0,95); c) odsetek pracowników przedsiębiorstwa, którym wypłacono nagrodę powyżej 700 zł (współ. ufności 0,9). Zadanie 11 (W µ) Wylosowano próbę składającą się z 12 pracowników pewnego zakładu i zbadano ich staż pracy (w latach). Otrzymano następujące informacje: 3, 5, 6, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 16, Czy na podstawie tych obserwacji można twierdzić, że przeciętny staż pracy wszystkich pracowników tego zakładu jest większy lub równy 8 lat? Przyjąć poziom istotności 0,05. Jakie dodatkowe założenie jest tutaj niezbędne? Zadanie 12 (W µ) Czy na poziomie istotności 0,1 można twierdzić, że średnia cena dwutygodniowych wczasów w Świnoujściu w 1996 roku była mniejsza lub równa 1000 zł, jeśli w wylosowanej próbie liczącej 10 skierowań z ośrodków wczasowych odnotowano następujące ceny: 750, 950, 1100, 1200, 650, 550, 1000, 1050, 580, 820. Można założyć, że rozkład cen wczasów jest rozkładem normalnym. Zadanie 13 (W µ) Z populacji studentów IV roku Uniwersytetu Szczecińskiego pobrano próbę losową 50 studentów i zapytano ich o średnią liczbę godzin przebywania na uczelni. Otrzymano następujące wyniki: x = 8 godz., S(x) =1,5 godz. Czy można twierdzić przy α = 0,01, że dla całej populacji IV roku średnia liczba godzin przebywania na uczelni w ciągu dnia jest mniejsza lub równa 9 godzin? Założyć, że średnia liczba godzin przebywania na uczelni ma rozkład normalny. 2
Zadanie 14 (W µ) Na losowo dobranej próbie 150 samochodów marki Seat Ibiza" zbadano zużycie benzyny po przejechaniu na szosie trasy 100 km. Średnie zużycie benzyny dla tej próby samochodów wynosiło 7,5 litra przy odchyleniu standardowym S = 0,9 litra. Norma fabryczna wynosi 7,01 litra na 100 km. Czy rzeczywiste zużycie benzyny różni się istotnie od normy fabrycznej na poziomie istotności 0,03 (zużycie benzyny ma rozkład normalny)? Zadanie 15 (W p) W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie do próby 380 mężczyzn, i spytano ich czy są skłonni zmienić swoje miejsce pracy. Odpowiedziało twierdząco 280 mężczyzn. Czy można sądzić przy α = 0,01, że frakcja mężczyzn skłonnych do zmiany miejsca pracy jest większa lub równa 75%? Zadanie 16 (W p) Z populacji studentów wylosowano 150 osób. Wylosowanym osobom zadano pytanie: Czy lubi pan (pani) pić alkohol? Twierdząco odpowiedziało 120 osób. Na poziomie istotności 0,02 zweryfikować hipotezę że procent studentów lubiących pić alkohol nie przekracza 75%. Zadanie 17 (W σ) W 1996 roku badano zatrudnienie w budownictwie w gminach wiejskich województwa zachodniopomorskiego. Do badania wylosowano 12 gmin i otrzymano następujące informacje (badania własne): 16, 38, 23, 23, 18, 68, 22, 44, 25, 49, 18, 16 (liczba pracujących). Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe liczby pracujących w budownictwie w gminach wiejskich województwa zachodniopomorskiego nie przekracza 16 osób. Zadanie 18 (W σ) Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe wzrostu studentów jest mniejsze lub równe 5 cm, jeżeli wybrano losowo 85 studentów i uzyskano odchylenie standardowe S = 6 cm. Zadanie 19 (E µ) + (W µ) W jednym z krakowskich Supermarketów przeprowadzono badanie czasu jaki potrzebują klienci na załatwienie sprawunków. W tym celu wylosowano 16 klientów w losowo dobranych dniach i godzinach otwarcia. Czas załatwiania zakupów prezentuje poniższy szereg czas x i 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 w min. liczba klientów f i 3 4 5 2 2 A. Na podstawie tej próby oszacować punktowo i przedziałowo wartość czasu jaki średnio potrzebuje klient tego supermarketu na załatwienie sprawunków. Zakłada się, że rozkład czasu załatwiania zakupów w całej populacji klientów jest normalny oraz poziom ufności 1 - α = 0.9. B. Na podstawie powyższych danych zweryfikować hipotezę głoszącą, że średni czas jaki potrzebuje kupujący na dokonanie zakupów jest równy medianie czasu jaki potrzebują respondenci badanej próby, wobec hipotezy alternatywnej głoszącej różność tych dwóch wielkości. Przy weryfikacji założyć poziom istotności α = 0.1. Uzasadnić swoją odpowiedź. Zadanie 20 (E µ) + (W µ) W celu ustalenia średniej oceny uzyskanej z pewnego przedmiotu na II roku studiów kierunku Towaroznawstwa pracownicy dziekanatu wybrali losowo grupę 15 studentów. Rozkład ocen przedstawia poniższa tabela. ocena x i 2 3 4 5 liczba studentów f i 1 5 2 2 Zakładając poziom ufności 1 - α = 0.95 oszacować punktowo i przedziałowo średnią ocenę dla 3
wszystkich studentów tego kierunku. (zakładamy, że rozkład ocen w całej zbiorowości studentów jest normalny) Czy jest prawdziwe stwierdzenie, że średnia ocen w całej populacji jest równa ocenie najczęściej występującej w próbie, jeśli poziom istotności α = 0.1? Zadanie 21 (E µ) Z pewnej partii towaru pobrano próbę i dokonano n=7 pomiarów ciężaru właściwego pewnego towaru i otrzymano następujące wartości (w KG): 31.85, 30.32, 31.36, 30.90, 30.70, 32.40, 31.60. Oszacować metodą przedziałową średni ciężar towaru dla całej partii towaru zakładając współczynnik ufności 0.99. Zadanie 22 (E p) "A" i "B" to dwaj kandydaci ostatniej tury głosowania na stanowisko prezydenta państwa. Pobrano losową próbę n = 1000 osób i stwierdzono, że za A opowiedziało się 637 respondentów. Przyjmując współczynnik ufności 0.95 znaleźć procent osób, które nie poparły kandydata A. Zadanie 23 (E p) Spośród szklanek wyprodukowanych przez fabrykę wylosowano niezależną próbę o liczności n = 100 sztuk i sprawdzono ich jakość. 16 z nich nie spełniało wymogów jakościowych. Przyjmując współczynnik ufności 1- α = 0.99, oszacować procent braków w wyprodukowanej partii szklanek. Zadanie 24 (E σ) W celu oszacowania dokładności pewnego przyrządu pomiarowego dokonano nim 5 pomiarów długości pewnego odcinka i otrzymano następujące wyniki w mm:15.5, 15.2, 15.14, 15.22, 15.04. Zakładając wsp. ufności 0.99, zbudować przedział ufności dla nieznanej wariancji pomiarów tym przyrządem. Zadanie 25 (E p) + (E n-p) + (W p) Spośród studentów AE wylosowano niezależnie do próby 150 studentów i zapytano ich czy przynajmniej raz w tygodniu piją piwo. 114 studentów stwierdziło, że uprawia ten proceder. Oszacować metodą przedziałową procent wszystkich studentów uczelni pijących regularnie piwo. Przyjąć współczynnik ufności 0.9. Czy przy założonym współczynniku ufności, liczebność popranej próby jest wystarczająca, jeżeli założymy, że maksymalny błąd szacunku d wynosi 0.06?. Przypuszcza się, że szacowany procent studentów pijących piwo jest równy frakcji studentów w badanej próbie. Czy przy założonym poziomie istotności 0.05 prawdziwa jest hipoteza że procent pijących piwo w całej populacji jest równy 50%, czy też jest on wyższy? Zadanie 26 (E σ) Na podstawie losowej próby 126 tabliczek czekolady otrzymano średni ciężar równy 95 g oraz odchylenie standardowe S = 10 g. Przyjmując poziom ufności 0.98, oszacować za pomocą przedziału ufności zróżnicowanie rozkładu wagi wszystkich produkowanych tabliczek czekolady. Zadanie 27 (E µ) W dużym sklepie podjęto próbę oszacowania czasu spędzanego przez klienta w kolejce. W sposób losowy obserwowano 100 klientów, którzy średnio poświęcali na stanie w kolejce 10 minut, odchylenie standardowe z próby wyniosło 3 minuty. Przyjmując poziom ufności 0.95, oszacuj metodą przedziałową średni czas stania w kolejce. Zadanie 28 (W µ) Kierownictwo dużego sklepu zamierza powiększyć ilość kas obsługujących klientów twierdząc, że nie powinni oni czekać na obsługę dłużej niż 2 minuty. Czy jest to uzasadnione, jeśli średni czas oczekiwania klienta w kolejce oszacowany na podstawie 100 osobowej próby wynosi 3 minuty, a odchylenie standardowe z próby S = 0,5 min.? Wnioskowanie przeprowadź dla poziomu istotności α = 0.05. 4
Zadanie 29 (W µ) Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ;σ=5). Kontrola techniczna pobrała w pewnym dniu 16 tabliczek i otrzymała ich średnią wagę 244g. Na poziomi istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę zerową, że waga czekolady jest co najmniej równa wadze normatywnej. Zadanie 30 (W µ) W szpitalu wylosowano niezależnie spośród pacjentów leczonych na pewną chorobę próbę 26 chorych i otrzymano dla nich średnią ciśnienia tętniczego krwi na poziomie 135 oraz odchylenie standardowe s = 45. Należy na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę zerową, że pacjenci mają średnie ciśnienie równe 120. Zadanie 31 (W r) Zweryfikować hipotezę zerową, że korelacja pomiędzy ocenami ze Statystyki na koniec I i II semestru nieistotnie różni się od zera. Wnioskowanie należy przeprowadzić na poziomie istotności α = 0,01. Przyjmijmy, że współczynnik korelacji liniowej pomiędzy ocenami na koniec I i na koniec II semestru wynosił r xy = 0,46. Wartość tego współczynnika została wyznaczona na bazie próby losowej liczącej n = 103 osoby. Zadanie 32 (W σ) Zweryfikować na poziomie istotności 0,01, hipotezę zerową, że odchylenie standardowe w populacji 2 dla dziennej liczby osób odwiedzających bibliotekę nie przekracza 15 (tj. H : σ 15 ) wobec 0 hipotezy alternatywnej, że odchylenie standardowe w badanej populacji jest większe niż 15 tj. 2 2 H 1 : σ > 15. Przypomnijmy dane wejściowe: n = 100; x 100 = 76, 1, oraz s = 18,74. Zadanie 33 (W σ) Zweryfikować hipotezę zerową głoszącą, że wariancja liczby punktów uzyskanych z egzaminu z Zarządzania jakością nie przekracza 25. Podczas weryfikacji przyjmiemy, że średnia liczba punktów w badanej próbie (n = 25) wynosiła x 25 = 30, 5, natomiast odchylenie standardowe z próby wynosiło s = 6,5. współczynnik ufności na poziomie 0,05. 5