Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie

Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie Rafał Kucharski rafal.kucharski@ue.katowice.pl

Literatura [1] B. Błaszczyszyn, T. Rolski, Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie, WNT Warszawa, 2004. [2] H. U. Gerber, Life insurance mathematics, Springer Verlag, 1997. [3] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Itasca, Ill., 1986. [4] S. Wieteska, Zbiór zadań z matematyki aktuarialnej: renty i ubezpieczenia życiowe, Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2002. Oznaczenia aktuarialne: wykaz w książce BR.

1. Elementy modelu demograficznego, tablice trwania życia. 2. Ubezpieczenia na życie i dożycie. 3. Renty życiowe. 4. Składki i rezerwy składek netto. znajomość tablic trwania życia, obliczanie składek jednorazowych dla różnych ubezpieczeń na życie, opanowanie rachunku rent życiowych.

Rozkład trwania życia (Ω, F, Pr) przestrzeń probabilistyczna, x wiek osoby, nieujemna liczba rzeczywista/całkowita, T x przyszły czas życia osoby w wieku x (future lifetime), x + T x wiek śmierci, F x (t) = Pr(T x t) dystrybuanta, f x (t) = F x(t) gęstość (zakładamy, że zawsze istnieje), s x (t) = 1 F x (t) = Pr(T x > t) = f t x (u) du funkcja przeżycia (survival function).

prawdopodobieństwo, że x-latek umrze przed upływem czasu t tq x := Pr(T x t) = F x (t), prawdopodobieństwo, że x-latek przeżyje więcej niż t lat tp x := Pr(T x > t) = 1 F x (t) = s x (t), prawdopodobieństwo, że x-latek przeżyje jeszcze s lat, a następnie umrze w przeciągu czasu t s tq x := Pr(s < T x s + t) = F x (s + t) F x (s) = = s+t q x s q x = s p x s+t p x, prawdopodobieństwo warunkowe przeżycia kolejnych t lat, pod warunkiem, że x-latek przeżyje wcześniej s lat: tp [x]+s = Pr(T x > s + t T x > s) = 1 F x(s + t) 1 F x (s) = s+t p x sp x,

prawdopodobieństwo warunkowe zgonu x-latka przed upływem s + t lat, pod warunkiem przeżycia s lat: tq [x]+s = Pr(T x s + t T x > s) = F x(s + t) F x (s) 1 F x (s) = s t q x sp x, [x] nawias oznacza, iż osoba została wyselekcjonowana w wieku x, jeśli indeks jest równy 1, to można go czasem pominąć: 1p x = p x, 1q x = q x, 1 1q x = q x? e x = E(T x ) = 0 tf x(t) dt oczekiwany przyszły czas życia.

Fakt. Zachodzi równość: s+t p x = s p x tp [x]+s s+tp x = Pr(T x > s + t) = Pr(T x > s + t T x > s) Pr(T x > s) = s p x tp [x]+s. Wniosek. Zachodzi równość: k p x = k 1 i=0 p [x]+i. kp x = 1+(k 1) p x = p x k 1 p [x]+1 = p x 1+(k 2) p [x]+1 = p x p [x]+1 k 2 p [x]+2 = = = p x p [x]+1 p [x]+2 p [x]+(k 1) = k 1 Fakt. Zachodzi równość: s t q x = s p x tq [x]+s i=0 p [x]+i. s tq x = Pr(s < T x s + t) = Pr(s < T x s + t T x > s) Pr(T x > s) = s p x t q [x]+s. Fakt. Dla nieujemnej zmiennej losowej X mamy EX = Pr(X > s) ds. 0 Niech µ będzie rozkładem zmiennej X: EX = t µ(dt) = [ ] t ds µ(dt) = (µ l [0, ) [0, ) 0 {(t,s) [0, ) [0, ):s<t} 1)(dt, ds) = = [ ] 0 (s, ) µ(dt) ds = µ((s, )) ds = Pr(X > s) ds. 0 0 Wniosek. Mamy e x = 0 t p x dt.

µ [x]+t natężenie zgonów, intensywność śmiertelności (mortality rate) x-latka w wieku x + t: Interpretacja: hq [x]+t h µ [x]+t := f x(t) 1 F x (t) = d dt ln(1 F x(t)) = d ln( tp x ). dt = zatem dla małych h 1 1 F x (t) Fx(t + h) F x (t) h h 0 f x(t) 1 F x (t) = µ [x]+t, hµ [x]+t h q [x]+t = Pr(t < T x < t + h T x > t). Natężenie zgonów wyznacza rozkład T x, mamy bowiem: tp x = exp ( ) t µ 0 [x]+u du, F x (t) = t 0 f x(u) du = t 0 µ [x]+u up x du.

Obcięty przyszły czas życia (curtate future lifetime): K x = T x. Pr(K x = k) = Pr(k T x < k + 1) = k 1 q x = k p x q [x]+k, k N. Obcięty oczekiwany czas życia: e x = E(K x ) = k=1 k Pr(K x = k) = k=1 k k p x q [x]+k. Fakt. e x = k=1 k p x. Ułamkowy czas życia: S x = T x K x. Ponieważ S x [0, 1), zakładając np. rozkład jednostajny otrzymujemy: Możemy także rozważać zmienną losową przyjmującą wartości 1 m, 2 m,..., 1. e x = E(T x ) = E(K x ) + E(S x ) = e x + 1 2. S (m) = 1 ms + 1 m

Hipoteza Jednorodnej Populacji (HJP) Pr(T x > t) = Pr(T 0 > x + t T 0 > x), x, t 0. Przyjmujemy oznaczenie: s(t) := s 0 (t) = Pr(T 0 > t) = t p 0. Zauważmy, że HJP można zapisać jako: t p x = x+t p 0 s(x + t) =. xp 0 s(x) Przyjmujemy: µ t = µ [0]+t = s (t) s(t), skąd s(x) = x exp( µ 0 u du). Fakt. HJP jest równoważna każdej z następujących równości: Dowód. Zakładając HJP mamy: tp x+u = tp [x]+u = t p x+u, µ [x]+t = s (x + t) s(x + t) = µ x+t. s(x + u + t) s(x + u) = s(x + u + t)/s(x) s(x + u)/s(x) = u+t p x up x = t p [x]+u. W drugą stronę, przyjmując x = 0 w równości u+t p x up x =: t p [x]+u = t p x+u, otrzymujemy u+t p 0 up 0 = t p u, co oznacza HJP.

Aby udowodnić drugą równość załóżmy HJP: µ [x]+t = d dt ln( tp x ) = d dt ln W drugą stronę: tp x = exp( t 0 µ [x]+u du) = exp( t = exp( x+t x = exp( x+t 0 s(x + t) = s (x + t)/s(x) s(x) s(x + t)/s(x) = (x + t) s s(x + t). µ u du) = exp(( x+t 0 0 µ x+u du) = µ u du) ( x 0 µ u du)) = µ u du)/ exp( x 0 µ u du) = s(x + t)/s(x). Hipoteza Agregacji (HA) Pr(K x k) = Pr(K 0 x + k K 0 x), x, k N. Fakt. Jeśli jest spełniona HJP, to jest spełniona HA. Fakt. HA jest równoważna każdej z następujących równości: kp [0]+x = k p x, kq [0]+x = k q x, p [x]+k = p x+k, q [x]+k = q x+k, x, k N.

Analityczne prawa śmiertelności de Moivre (1724): rozkład T 0 jednostajny na [0, ω], (ω = 100) s(t) = 1 t ω, µ t = 1 ω t, tp x = 1 t ω x. s(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 µ(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100

Gompertz (1824): µ t = Bc t, t > 0, gdzie B > 0, c > 1. Stąd s(t) = exp( B ln c (ct 1)), tp x = exp( B ln c (ct+x c x )). B=5*10^( 5), c=1.1 s(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 µ(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100

Makeham (1860): µ t = A + Bc t, t > 0, gdzie B > 0, A B, c > 1. Wtedy s(t) = exp( At B ln c (ct 1)), tp x = exp( At B ln c (ct+x c x )). A=0.01, B=5*10^( 5), c=1.1 s(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 µ(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100

Weibull (1939): µ t = kt n, t > 0, gdzie k > 0, n > 0. Wtedy s(t) = exp( k n+1 tn+1 ), tp x = exp( k n+1 ((t + x)n+1 x n+1 ))..0001, n=1.4 s(t) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100 µ(t) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 20 40 60 80 100

Historyczne TTŻ (źródło: Encyclopedia of Actuarial Science)

Tablice trwania życia Kohortową tablicą trwania życia związaną z funkcją przeżycia s(t) nazywamy zbiór liczb nieujemnych {l t } t 0 spełniających zależność s(t) = l t /l 0, t 0. Jeśli spełniona jest HA, a {l k } jest TTŻ zmiennej K 0, tzn. Pr(K 0 k) = l k l0, k = 0, 1,..., to wówczas {l x+k } jest TTŻ zmiennej K x, tzn. kp x = Pr(K 0 x+k) Pr(K 0 x) = l x+k l x, k = 0, 1,..., o ile l x > 0. Zakładając istnienie ω = min{k : l k = 0}, tak skonstruowane tablice dla K x, x = 0, 1,..., ω 1, nazywamy zagregowanymi tablicami trwania życia. l 0 - początkowa liczebność kohorty, l k - ilość dożywających co najmniej do wieku k, d k = l k l k+1 - ilość umierających w wieku k, q x = d x l x, p x = l x+1 l x.

Hipotezy interpolacyjne Zakładamy, że dany jest rozkład K x, czyli liczby n p x, k p [x]+n dla k, n N. Przez ciągłą interpolację rozumiemy określenie funkcji up x = f(u; n p x, n+1 p x ), n u < n + 1, n = 0, 1,.... Hipoteza jednostajności, HU Rozkład T x spełnia hipotezę jednostajności (UDD, uniform distribution of deaths), jeśli funkcja t p x = Pr(T x > t) zmiennej t jest ciągła i liniowa na przedziałach [n, n + 1), n N. Zatem: Dla n = 0 mamy n+up x = (1 u) n p x + u n+1 p x, 0 u < 1. up x = (1 u) + u p x, uq x = u q x, 0 u < 1.

Pod założeniem HU mamy: n+u p x µ [x]+n+u = u = n+up x = np x n+1 p x = (1 u) n p x + u n+1 p x 1 p [x]+n = (1 u) + u p [x]+n q [x]+n 1 uq [x]+n, a zmienna losowa S x ma rozkład jednostajny na [0, 1] i jest niezależna od K x : Pr(S x u, K x = n) = Pr(n T x n + u) = n p x n+u p x = = n p x (1 u) n p x u n+1 p x = = u( n p x n+1 p x ) = u Pr(K x = n), skąd zatem Pr(S x u K x = n) = Pr(S x u, K x = n) Pr(K x = n) Pr(S x u) = n=0 = u, Pr(S x u K x = n) Pr(K x = n) = u.

Hipoteza przedziałami stałego natężenia zgonów, HCFM Rozkład T x spełnia hipotezę HCFM (constant force of mortality), jeżeli funkcja µ [x]+t jest funkcją stałą zmiennej t w przedziałach [n, n + 1), n N: Mamy stąd µ [x]+n+u = µ [x]+n, 0 u < 1. np x = exp( n µ 0 [x]+t dt) = exp zatem p [x]+n = n+1 p x / n p x = exp( µ [x]+n ), czyli Ponadto n 1 µ [x]+k, µ [x]+n+u = µ [x]+n = ln p [x]+n, 0 u < 1, n N. ( n+up x = exp n µ 0 [x]+t dt ) n+u µ n [x]+t dt = n p x exp(u ln p [x]+n ) = = n p x (p [x]+n ) u = n p x ( n+1 p x / n p x ) u = ( n p x ) 1 u ( n+1 p x ) u, w szczególności dla n = 0 otrzymujemy: u p x = (p x ) u, 0 u < 1.

Hipoteza Balducciego, HB Rozkład T x spełnia hipotezę HB, jeżeli 1 uq [x]+n+u = (1 u)q [x]+n, 0 u < 1, n N. Równoważny powyższemu jest warunek: n+up x = = n+1p x 1 up [x]+n+u = n+1p x 1 1 u q [x]+n+u = n+1p x 1 (1 u)q [x]+n n+1p x 1 (1 u)(1 p [x]+n ) = np x p [x]+n u + (1 u)p [x]+n. Biorąc odwrotności po obu stronach, otrzymujemy zaś dla n = 0 mamy up x = 1 = u + (1 u)p [x]+n = u + 1 u, n+up x np x p [x]+n n+1p x np x p x u + (1 u)p x.

Możemy również wyliczyć: n+u p x µ [x]+n+u = u = n+up x q [x]+n 1 (1 u)q [x]+n = 1 p [x]+n u + (1 u)p [x]+n. Mamy dwie możliwości: najpierw interpolować funkcję t p 0, t 0, a następnie skorzystać z HJP, aby wyznaczyć t p x = x+t p 0 / x p 0, t 0, najpierw skorzystać z HA i obliczyć n p x, x, n N, a następnie interpolować wartości t p x, t 0. Mówimy, że interpolacja jest zgodna z HJP, jeżeli oba podejścia prowadzą do tego samego wyniku. Przedstawione metody interpolacji (HU, HCFM, HB) są zgodne z HJP.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 up x HU HCFM HB 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 µ x+u 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenie (polisa) na życie/dożycie: umowa, w której ubezpieczyciel, zobowiązuje się do wypłaty określonego świadczenia osobie uposażonej, jeżeli w okresie ubezpieczenia zajdą ściśle określone zdarzenia (np. zgon ubezpieczonego, przeżycie określonego okresu). ubezpieczyciel (firma ubezpieczeniowa) ubezpieczony (osoba, której życie jest podstawą umowy) ubezpieczający (osoba zawierająca umowę i opłacająca składkę) uposażony (otrzymuje świadczenie) Ceną ubezpieczenia jest składka. Składka może być opłacana jednorazowo (w momencie zawierania ubezpieczenia) lub systematycznie (z góry za każdy podokres). składka brutto = składka netto + narzut

i techniczna stopa procentowa, zwykle i [0.03, 0.05], v = 1 1+i = e δ, b(t) funkcja korzyści (benefit function) wysokość świadczenia, jeśli jego płatność nastąpi w chwili t, z(t) = b(t)v t wartość obecna świadczenia, jeśli jego płatność nastąpi w chwili t, Z obecna wartość ubezpieczenia, np.: Z = z(t x ) dla ubezpieczeń wypłacanych w momencie śmierci, Z = z(k x + 1) dla ubezpieczeń płatnych na koniec roku śmierci, A = E(Z) jednorazowa składka netto (JSN). Twierdzenie (Mocne Prawo Wielkich Liczb). Jeżeli Z 1, Z 2,... jest ciągiem niezależnych, całkowalnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, to z prawdopodobieństwem 1 lim n 1 n n i=1 Z i E(Z 7 ).

Zauważmy, że: dla c > 0, jeśli ˆb(t) = c b(t), to E(Ẑ) = E(c b(t )vt ) = c E(b(T )v T ) = c E(Z), dlatego będziemy rozważać głównie ubezpieczenia o znormalizowanej funkcji korzyści (b {0, 1}), Var(Z) = E(Z 2 ) (E(Z)) 2, jeżeli b(t) {0, 1}, to E(Z 2 ) = E((b(T )v T ) 2 ) = E(b(T )(v 2 ) T ) = A@v 2 =: 2 A.

Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci, T = T x 1. Ubezpieczenie na całe życie (ubezpieczenie bezterminowe, whole life insurance). Gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia w chwili śmierci (b(t) 1). Wartość obecna: Z = v T. JSN: Ā x = E(v T ) = 0 v t f x (t) dt = 0 2 Ā x = E(Z 2 ) = E((v T ) 2 ) = Var(Z) = 2 Ā x (Āx) 2. 0 v t tp x µ [x]+t dt. v 2t f x (t) dt = 0 v 2t tp x µ [x]+t dt.

2. Ubezpieczenie terminowe (ubezpieczenie czasowe, term insurance). Ubezpieczenie terminowe n-letnie gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia w chwili śmierci, o ile ta nastąpi w okresie n lat od zawarcia umowy: b(t) = 1, t n 0, t > n. Wartość obecna: JSN: Ā1 x:n = 0 Z 1 = v T 1(T n). v t 1 [0,n] (t)f x (t) dt = n 0 vt tp x µ [x]+t dt. 2 Ā1 x:n = E(Z 2 1) = n 0 v2t tp x µ [x]+t dt. Var(Z 1 ) = 2 Ā1 x:n (Ā1 x:n )2.

3. Czyste ubezpieczenie na dożycie (ubezpieczenie na dożycie, pure endowment). Ubezpieczenie na dożycie długości n wypłaca sumę ubezpieczenia w chwili n (licząc od zawarcia umowy) pod warunkiem, że ubezpieczony dożyje tej chwili. Wartość obecna: JSN: Z 2 = v n 1(T > n). Ā x:n 1 = E(v n 1(T > n)) = v n n f x(t) dt = v n np x. 2 Ā x:n 1 = E(Z 2 2) = v 2n np x. Var(Z 2 ) = 2 Ā x:n 1 (Āx:n 1)2 = v 2n np x n q x. Specjalne dodatkowe oznaczenie: n E x = Āx:n 1 = vn np x.

4. Ubezpieczenie na dożycie (ubezpieczenie na życie i dożycie, endowment). Ubezpieczenie na życie i dożycie jest, jak sama nazwa wskazuje, połączeniem ubezpieczenia na życie (terminowego) i ubezpieczenia na dożycie (o tej samej długości). Ubezpieczenie to gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia w momencie śmierci, jeśli ta nastąpi w okresie ubezpieczenia, lub wypłatę na jego koniec, jeśli ubezpieczony do niego dożyje. Wartość obecna: Z = v T 1(T n) + v n 1(T > n) = Z 1 + Z 2. JSN: Ā x:n = E(Z 1 + Z 2 ) = Ā1 x:n + Āx:n 1. Var(Z) = Var(Z 1 + Z 2 ) = Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) + 2 Cov(Z 1, Z 2 ) Ponieważ Z 1 Z 2 = 0, zatem Cov(Z 1, Z 2 ) = E(Z 1 Z 2 ) E(Z 1 )E(Z 2 ) = E(Z 1 )E(Z 2 ) skąd Var(Z) = Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) 2Ā1 x:n Ā x:n 1.

5. Odroczone ubezpieczenie na całe życie (deferred life insurance). Ubezpieczenie na całe życie odroczone o m lat wypłaca sumę ubezpieczenia w momencie zgonu ubezpieczonego, o ile ten nie nastąpił przed upływem m lat. Wartość obecna: JSN: Mamy także: Z = v T 1(T m). m Āx = m vt tp x µ [x]+t dt = Āx Ā1 x:m. m Āx = m vt tp x µ [x]+t dt = m vt mp x t m p [x]+m µ [x]+m+(t m) dt = = v m mp x m vt m t mp [x]+m µ [x]+m+(t m) dt = = v m mp x v t 0 tp [x]+m µ [x]+m+t dt = = v m mp x Ā [x]+m, a pod założeniem HJP: m Ā x = v m mp x Ā x+m = m E x Ā x+m.

6. Zmienna funkcja korzyści. ubezpieczenie na całe życie rosnące w sposób ciągły: b(t) = t, Z = T v T, (ĪĀ) x = tv t tp x µ [x]+t dt, ubezpieczenie na całe życie rosnące skokowo: b(t) = t + 1, Z = T + 1 v T, (IĀ) x = 0 t + 1 vt tp x µ [x]+t dt, ubezpieczenie na całe życie rosnące m-krotnie w roku: b(t) = tm+1 T m+1 m, Z = m vt, (I (m) Ā) x = 0 0 tm+1 m vt tp x µ [x]+t dt, ubezpieczenie n-letnie malejące skokowo: b(t) = (n t )1 [0,n] (t), Z = (n T )v T 1(T n), (DĀ)1 x:n = n 0 (n t )vt tp x µ [x]+t dt, ubezpieczenie n-letnie malejące ciągle: b(t) = (n t)1 [0,n] (t), Z = (n T )v T 1(T n), ( DĀ)1 x:n = n 0 (n t)vt tp x µ [x]+t dt,

Ubezpieczenia płatne na koniec roku lub podokresu śmierci Czas: liczymy od daty zawarcia umowy. Zastępujemy T = T x przez K + 1 = K x + 1. Zamiast f x (t) mamy Pr(K x = k) = k p x q [x]+k. Całki zmieniają się w sumy: A = E(Z) = E(b(K + 1)v K+1 ) = b(k + 1)v k+1 kp x q [x]+k.

1. Ubezpieczenie na całe życie (ubezpieczenie bezterminowe, whole life insurance). Gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia na koniec roku śmierci. Wartość obecna: Z = v K+1. JSN: A x = E(v K+1 ) = v k+1 Pr(K x = k) = v k+1 kp x q [x]+k. 2 A x = E(Z 2 ) = E((v K+1 ) 2 ) = v 2(k+1) Pr(K x = k) = v 2(k+1) kp x q [x]+k. Var(Z) = 2 A x (A x ) 2.

2. Ubezpieczenie terminowe (ubezpieczenie czasowe, term insurance). Ubezpieczenie terminowe n-letnie gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia na koniec roku śmierci, jeśli ta nastąpi w okresie n lat od zawarcia umowy. Wartość obecna: Z 1 = v K+1 1(K < n) = JSN: A1 x:n = E(v K+1 1(K < n)) = n 1 v K+1, K = 0, 1,..., n 1, 0, K = n, n + 1,... v k+1 Pr(K x = k) = n 1 v k+1 kp x q [x]+k. 2 A1 x:n = E(Z1) 2 = n 1 v 2(k+1) kp x q [x]+k. Var(Z 1 ) = 2 A1 x:n (A1 x:n ) 2.

3. Czyste ubezpieczenie na dożycie (ubezpieczenie na dożycie, pure endowment). Uwaga: patrz Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci. Ubezpieczenie na dożycie długości n wypłaca sumę ubezpieczenia w chwili n (licząc od momentu zawarcia umowy) pod warunkiem, że ubezpieczony dożyje tej chwili. Wartość obecna: Z 2 = v n 1(K n) = JSN: A x:n 1 = E(v n 1(K n)) = v n np x. 0, K = 0, 1,..., n 1, v n, K = n, n + 1,... 2 A x:n 1 = E(Z 2 2) = v 2n np x. Var(Z 2 ) = 2 Ā x:n 1 (Āx:n 1)2 = v 2n np x n q x. Specjalne dodatkowe oznaczenie: n E x = A x:n 1 = v n np x.

4. Ubezpieczenie na dożycie (ubezpieczenie na życie i dożycie, endowment). Ubezpieczenie na życie i dożycie to połączenie ubezpieczenia na życie (terminowego) i ubezpieczenia na dożycie (o tej samej długości): gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia na koniec roku śmierci, jeśli ta nastąpi w okresie ubezpieczenia, lub na jego koniec, jeśli ubezpieczony do niego dożyje. Wartość obecna: Z = v K+1 1(K < n) + v n 1(K n) = Z 1 + Z 2. JSN: A x:n = E(Z 1 + Z 2 ) = A1 x:n + A x:n 1. Var(Z) = Var(Z 1 + Z 2 ) = Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) 2A1 x:n A x:n 1.

5. Odroczone ubezpieczenie na całe życie (deferred life insurance). Ubezpieczenie na całe życie odroczone o m lat wypłaca sumę ubezpieczenia na koniec roku zgonu ubezpieczonego, o ile ten nie nastąpił przed upływem m lat. Wartość obecna: Z = v K+1 1(K m). JSN: Mamy także: m A x = k=m m A x = k=m = v m mp x v k+1 kp x q [x]+k = A x A1 x:m. v k+1 kp x q [x]+k = k=m = v m mp x = v m mp x A [x]+m, k=m v k+1 mp xk m p [x]+m q [x]+m+(k m) = v k+1 m k mp [x]+m q [x]+m+(k m) = v k+1 kp [x]+m q [x]+m+k = a pod założeniem HJP: m A x = v m mp x A x+m = m E x A x+m.

6. Zmienne sumy ubezpieczeń. rosnące ubezpieczenie na całe życie: Z = (K + 1)v K+1, (IA) x = (k + 1)v k+1 kp x q [x]+k, rosnące ubezpieczenie terminowe n-letnie: Z = (K + 1)v K+1 1(K < n), (IA)1 x:n = n 1 (k + 1)v k+1 kp x q [x]+k, malejące ubezpieczenie terminowe n-letnie: Z = (n K)v K+1 1(K < n), (DA)1 x:n = n 1 (n k)v k+1 kp x q [x]+k = (n + 1)A1 x:n (IA)1 x:n.

7. Wypłaty na koniec m-tej części roku. Czas liczymy od daty zawarcia umowy! Przypomnienie: S = T K, S (m) = 1 m ms + 1 { 1 m, 2 m,..., 1}. Wypłata następuje w chwili K + S (m). Przykład: obecna wartość ubezpieczenia na całe życie, płatnego na koniec m-tej części roku, w którym nastąpiła śmierć, wynosi Z = v K+S(m). Aby obliczyć JSN musimy znać rozkład łączny zmiennych K i S (m). Przy założeniu HU zmienne K i S są niezależne, zatem A (m) x = E(v K+S(m) ) = E(v K+1 v S(m) 1 ) = E(v K+1 )E(v S(m) 1 ) = A x E(v S(m) 1 ). Dalej przy założeniu HU: E(v S(m) 1 ) = E((1 + i) 1 S(m) ) = m 1 zatem A (m) x = i i (m) A x. (1 + i) k/m 1 m = 1 m 1 (1 + i) m/m 1 (1 + i) 1/m = i i (m)

Ubezpieczenie ogólne ubezpieczenie wypłacające na koniec roku śmierci kwotę c k, jeśli śmierć ubezpieczonego nastąpiła w k-tym roku trwania polisy: Z = c K+1 v K+1, E[Z] = c k+1 v k+1 kp x q [x]+k. ubezpieczenie wypłacające w chwili śmierci kwotę c(t), jeśli śmierć ubezpieczonego nastąpiła w momencie t: Z = c(t )v T, E[Z] = 0 c(t)v t tp x µ [x]+t dt.

Zależność między modelem ciągłym i dyskretnym Model ciągły możemy zredukować do dyskretnego: gdzie E[Z] ( = 0 = = = = c(t)v t tp x µ [x]+t dt ) E[Z K = k] Pr(K = k) E[c(k + S)v k+s K = k] Pr(K = k) E[c(k + S)(1 + i) 1 S K = k]v k+1 Pr(K = k) c k+1 v k+1 kp x q [x]+k, c k+1 = E[c(k + S)(1 + i) 1 S K = k]. Warunkowe wartości oczekiwane możemy obliczyć, na przykład, korzystając z hipotez interpolacyjnych.

Przykład. Przy założeniu HU: skąd E[(1 + i) 1 S ] = 1 (1 + 0 i)u du = s 1 = 1 0 eδu du = 1 δ eδu u=1 u=0 Ā x = E(v K+S ) = E(v K+1 (1 + i) 1 S ) = i δ A x. = eδ 1 δ = i δ, Również Ā1 x:n = E(v K+S 1(T < n)) = E(v K+1 1(K < n)(1 + i) 1 S ) = i δ A1, x:n ale uwaga: Ā 1 x:n = A x:n 1, zatem Ā x:n = Ā1 + x:n Āx:n 1 = i δ A1 + A x:n x:n 1 = A x:n + i δ 1 A1 x:n.

Funkcje komutacyjne Mamy dane l x, d x, x = 0, 1,..., oraz ustalone v. D x = v x l x (zdyskontowana liczba przeżywających), C x = v x+1 d x, Przy założeniu HA mamy: M x = C x+k, R x = M x+k. A x:n 1 = v n np x = vx+n l x+n v x l x A x = v k+1 kp x q [x]+k = = D x+n D x, v x+k+1 d x+k v x l x = M x D x, n A x = M x+n D x, A1 x:n = M x M x+n D x, A x:n = M x M x+n + D x+n D x, (IA) x = R x D x, (IA)1 x:n = R x R x+n nm x+n D x,

Zależności rekurencyjne A x = v k+1 kp x q [x]+k = vq x + v k+1 kp x q [x]+k k=1 = vq x + v k+2 k+1p x q [x]+1+k = vq x + vp x v k+1 kp [x]+1 q [x]+1+k = vq x + vp x A [x]+1. Przy założeniu HA: A x = vq x + vp x A x+1. Podobnie pokazujemy, że A1 x:n = vq x + vp x A1 x+1:n 1, A 1 x:n = vp x A x+1:n 1 1, A x:n = vq x + vp x A x+1:n 1.

Renty życiowe Renta życiowa (life annuity) długość (ilość rat, czas trwania) jest zmienną losową. Przykłady: okresowa składka za ubezpieczenie, wypłaty świadczenia emerytalnego, Rodzaje: dożywotnia, terminowa, odroczona. Płatności: ciągłe, dyskretne - okresowe: z góry, z dołu. Y wartość obecna renty (zmienna losowa), a = E(Y ) składka jednorazowa netto renty, obecna wartość aktuarialna,

Renty płatne w sposób ciągły Renta ogólna: strumień płatności c(t), 0 t T = T x, Y = T 0 c(t)vt dt, E(Y ) = E Liczenie wprost: E(Y ) = E ( ) T 0 c(t)vt dt. ( ) T 0 c(t)vt dt = 0 ( s W większości przypadków będzie to trudniejszy sposób. Szybsza metoda: E(Y ) = E ( ) T 0 c(t)vt dt = E ( 0 = 0 0 c(t)vt dt ) sp x µ [x]+s ds =... 1(t < T )c(t)v t dt ) E ( 1(t < T )c(t)v t) dt = 0 c(t)v t tp x dt.

1. Renta na całe życie (continuous whole life annuity). Wypłaca strumień o stałej intensywności c(t) 1 do końca życia. W każdym pełnym roku (nominalna) wypłata wynosi 1 1 dt = 1. Wartość obecna: JSN: ā x = E(Y ) = 0 Y = T 0 vt dt = ā T. ā t t p x µ [x]+t dt = 0 v t tp x dt. Ponieważ Y = ā T = 1 vt = 1 Z, gdzie Z jest wartością obecną δ δ ubezpieczenia na całe życie, zatem ā x = E(Y ) = E 1 Z = 1 E(Z) = 1 Āx, δ δ δ Var(ā T ) = Var(Y ) = Var 1 Z = Var(Z) 2 Ā x (Āx) 2 =. δ δ 2 δ 2 0

2. Renta terminowa (continuous temporary life annuity). Wypłaca strumień o stałej intensywności c(t) 1 od chwili zawarcia umowy (t = 0) do końca życia rentobiorcy, jednakże nie dłużej niż czas n. c(t) = 1 [0,n] (t). Wartość obecna: Y = ā T n = ā T, T n, ā n, T > n. JSN: ā x:n = E(Y ) = n 0 āt tp x µ [x]+t dt + ā n n p x = n 0 vt tp x dt. n 1 vt Ponieważ Y = ā T n = = 1 Z, gdzie Z jest wartością obecną δ δ ubezpieczenia na życie i dożycie, zatem ā x:n = E(Y ) = E 1 Z = 1 E(Z) = 1 Āx:n, δ δ δ Var(ā T n ) = Var(Y ) = Var 1 Z = Var(Z) 2 Ā x:n (Āx:n) 2 =. δ δ 2 δ 2

3. Renta odroczona na całe życie (continuous deferred life annuity). Wypłaca strumień o stałej intensywności c(t) 1 od chwili m do końca życia. c(t) = 1 [m, ) (t) = 0, 0 t < m, 1, m t. Wartość obecna: Y = 0, T < m, v m ā T m, T m, = ā T ā T, T < m, ā T ā m, T m, = ā T ā T m = Y 1 Y 2, gdzie Y 1, Y 2 są obecnymi wartościami rent, odpowiednio, dożywotniej i m-letniej terminowej. JSN: m ā x = E(Y ) = E(Y 1 Y 2 ) = ā x ā x:m = = 0 v t tp x dt m 0 v t tp x dt = m vt tp x dt.

Mamy również Y = ā T ā T m = 1 vt δ 1 vt m δ = vt m v T δ = Z 2 Z 1, δ gdzie Z 2, Z 1 są wartościami obecnymi ubezpieczeń, odpowiednio, m-letniego na życie i dożycie oraz na całe życie. Stąd m ā x = E Z 2 Z 1 δ = Āx:m Āx δ Ponieważ v T m v T = v m 1(T > m) v T 1(T > m) zatem również Y = vm 1(T > m) v T 1(T > m) δ. = Z 3 Z 4, δ gdzie Z 3, Z 4 są wartościami obecnymi: m-letniego czystego ubezpieczenia na dożycie i ubezpieczenia bezterminowego odroczonego o m-lat. Stąd m ā x = E Z 3 Z 4 δ = vm mp x m Ā x δ.

Ostatni związek pozwoli nam obliczyć drugi moment i wariancję: E(Y 2 ) = E((vm 1(T > m) v T 1(T > m)) 2 ) δ 2 = E((v2m 1(T > m) + v 2T 1(T > m) 2v m v T 1(T > m)) δ 2 = v2m mp x + m Āx 2 2v m m Āx δ 2 Var(Y ) = v2m mp x + 2 m Āx 2v m m Āx δ 2 ( m ā x ) 2 = v2m mp x + 2 m Āx 2v m m Āx δ 2 = v2m mp xm q x + ( 2 m Āx ( m Ā x ) 2 ) 2v m mq xm Ā x δ 2 Przyjmując ā [x]+m = 0 m ā x = m v s sp [x]+m ds otrzymujemy: v2m ( m p x ) 2 + ( m Ā x ) 2 2v m mp xm Ā x δ 2 vt tp x dt = m vm v t m mp x t m p [x]+m dt = v m mp x v s 0 sp [x]+m ds = v m mp x ā [x]+m.

zatem pod założeniem HJP mamy: m ā x = v m mp x ā x+m Przypomnijmy, że pod założeniem HJP: m Āx = v m mp x Ā x+m, zatem Var(Y ) = v2m mp xm q x + ( 2 m Āx ( m Ā x ) 2 ) 2v m mq xm Ā x δ 2 = v2m mp xm q x + v 2m mp x 2 Ā x+m v 2m mp 2 x(āx+m) 2 2v 2m mq xm p x Ā x+m = v2m mp x δ 2 = v2m mp x δ 2 = v 2m mp x = v 2m mp x (mq x + 2 Ā x+m m p x (Āx+m) 2 2 m q x Ā x+m ) δ 2 (mq x (1 2Āx+m + (Āx+m) 2 ) + 2 Ā x+m (Āx+m) 2) (1 mq Āx+m) 2 x + δ 2 mq x (ā x+m ) 2 + 2 Ā x+m (Āx+m) 2 δ 2 2 Ā x+m (Āx+m) 2 δ 2.

4. Odroczona renta terminowa. Wypłaca strumień o stałej intensywności c(t) 1 od momentu m przez n lat, o ile śmierć rentobiorcy nie nastąpi wcześniej: c(t) = 1 [m,m+n) (t) = 0, 0 t < m, 1, m t < m + n, 0, m + n t. Wartość obecna: Y = 0, T < m, ā T ā m, m T < m + n, ā m+n ā m, m + n T. JSN: m nā x = E(Y ) = m+n m v t tp x dt = ā x:m+n ā x:m. Ponieważ ā x:n = 1 Āx:n, zatem δ m nā x = Āx:m Āx:m+n. δ

Mamy także m nā x = m+n m v t tp x dt = m+n m v m v t m mp x t m p [x]+m dt = v m mp x n 0 vs sp [x]+m ds = v m mp x ā [x]+m:n gdzie ā [x]+m:n = n 0 vs sp [x]+m ds, zatem przy założeniu HJP m nā x = v m mp x ā x+m:n.

Renty na życie płatne dyskretnie Renta ogólna: w chwili k płaci kwotę c k dla k = 0, 1,..., K = K x, Y = K c k v k, Ponownie, liczenie wprost: E(Y ) = E E(Y ) = E K K c k v k. c k v k = n=0 n c k v k n p x q [x]+n =... w większości przypadków nie będzie rozwiązaniem prostym. Szybsza metoda: E(Y ) = E K c k v k = E = 1(k K)c k v k = E ( 1(k K)c k v k) = c k v k kp x.

1a. Renta na całe życie z góry (whole life annuity-due). Wypłaca kwotę 1 na początku każdego roku życia rentobiorcy: c k 1. Wartość obecna: Y = 1 + v + v 2 + + v K = ä K+1. JSN: ä x = E(Y ) = ä k+1 k p x q [x]+k = v k kp x = A x:k 1. Ponieważ Y = ä K+1 = 1 vk+1 = 1 Z, gdzie Z jest wartością d d obecną ubezpieczenia na całe życie (dyskretnego), zatem ä x = E(Y ) = E 1 Z = 1 E(Z) = 1 A x, d d d Var(ä K+1 ) = Var(Y ) = Var 1 Z = Var(Z) 2 A x (A x ) 2 =. d d 2 d 2

1b. Renta na całe życie z dołu (immediate life annuity). Wypłaca kwotę 1 na końcu każdego roku życia rentobiorcy: c 0 = 0, c k = 1, k = 1, 2,... Wartość obecna: Y = v + v 2 + + v K = a K. JSN: a x = E(Y ) = a k k p x q [x]+k = k=1 v k kp x. OW tej renty jest o 1 mniejsza od OW poprzedniej renty: a x = ä x 1. Mamy Y = a K = 1 vk 1 (1 + i)z =, gdzie Z jest wartością obecną i i ubezpieczenia na całe życie (dyskretnego), zatem a x = E(Y ) = E Var(a K ) = Var 1 (1 + i)z i 1 (1 + i)z i = 1 (1 + i)e(z) i = (1 + i)2 Var(Z) i 2 = 1 (1 + i)a x, i = Var(Z) d 2 = 2 A x (A x ) 2 d 2.

2a. Renta terminowa z góry (temporary life annuity-due). Renta terminowa n-letnia wypłaca 1 na początku każdego roku życia rentobiorcy, jednakże nie więcej niż n razy: c k = 1, k = 0, 1,..., n 1, c k = 0, k = n, n + 1,... Wartość obecna: Y = ä (K+1) n = JSN: ä x:n = E(Y ) = n 1 ä K+1, K = 0, 1,..., n 1,. ä n, K = n, n + 1,... ä k+1 k p x q [x]+k + ä n n p x = n 1 v k kp x = n 1 A x:k 1. Ponieważ Y = ä (K+1) n = 1 v(k+1) n = 1 Z, gdzie Z jest wartością d d obecną dyskretnego ubezpieczenia na życie i dożycie, zatem ä x:n = E(Y ) = E 1 Z = 1 E(Z) = 1 A x:n, d d d Var(ä (K+1) n ) = Var(Y ) = Var 1 Z = Var(Z) 2 A x:n (A x:n ) 2 =. d d 2 d 2

2b. Renta terminowa z dołu (temporary immediate life annuity). Wypłaca 1 na końcu każdego roku, dopóki rentobiorca żyje i nie więcej niż n razy: c k = 1, k = 1,..., n, c k = 0, k = 0, n + 1,... Wartość obecna: Y = a K n = a K, K = 1,..., n 1, a n, K = n, n + 1,... JSN: a x:n = E(Y ) = n 1 k=1 a k k p x q [x]+k + a n n p x = n k=1 v k kp x = n k=1 A x:k 1. Zauważmy, że Y = zatem zależności: Ỹ 1, gdzie Ỹ jest OW renty (n+1)-letniej z góry. Mamy a x:n = ä x:n 1 + A x:n 1, ä x:n+1 = a x:n + 1, Var(a K n ) = Var(Y ) = Var(Ỹ ) = 2 A x:n+1 (A x:n+1 ) 2 d 2.

3. Dożywotnia renta odroczona z góry (deferred life annuity-due). Renta odroczona o m lat wypłaca 1 na początku każdego roku życia rentobiorcy, począwszy od roku m: c k = 0, k = 0, 1,..., m 1, c k = 1, k = m, m + 1,... Wartość obecna: Y = 0, K = 0, 1,..., m 1, v m + v m+1 + + v K, K = m, m + 1,... = ä K+1 ä (K+1) m. JSN: m ä x = E(Y ) = v k kp x = k=m k=m A x:k 1.

Mamy również Y = ä K+1 ä (K+1) m = 1 vk+1 d = v(k+1) m v K+1 d 1 v(k+1) m d = = Z 2 Z 1, d gdzie Z 2, Z 1 są wartościami obecnymi ubezpieczeń, odpowiednio, m-letniego na życie i dożycie oraz na całe życie. Stąd m ä x = ä x ä x:m = A x:m A x. d Przyjmując ä [x]+m = v k kp [x]+m mamy m ä x = zatem zakładając HA: k=m = v m mp x v k kp x = k=m v m v k m mp x k m p [x]+m v k kp [x]+m = v m mp x ä [x]+m, m ä x = v m mp x ä x+m.

Ponieważ v (K+1) m v K+1 = v m 1(K m) v K+1 1(K m) zatem również Y = vm 1(K m) v K+1 1(K m) d = Z 3 Z 4, d gdzie Z 3, Z 4 są wartościami obecnymi: m-letniego czystego ubezpieczenia na dożycie i ubezpieczenia bezterminowego odroczonego o m-lat. Stąd m ä x = vm mp x m A x. d Z ostatniej zależności możemy wyznaczyć wariancję: E(Y 2 ) = E((vm 1(K m) v K+1 1(K m)) 2 ) d 2 = E(v2m 1(K m) + v 2(K+1) 1(K m) 2v m v K+1 1(K m)) d 2 = v2m mp x + m 2 A x 2v m m A x d 2

Var(Y ) = v2m mp x + 2 m A x 2v m m A x d 2 ( m ä x ) 2 = v2m mp x + 2 m A x 2v m m A x d 2 v2m ( m p x ) 2 + ( m A x ) 2 2v m mp xm A x d 2 = v2m mp xm q x + ( 2 m A x ( m A x ) 2 ) 2v m mq xm A x d 2. Przypomnijmy, że pod założeniem HA zachodzi: m A x = v m mp x A x+m, zatem Var(Y ) = v2m mp xm q x + v 2m mp x 2 A x+m v 2m mp 2 x(a x+m ) 2 2v 2m mq xm p x A x+m = v2m mp x d 2 = v2m mp x d 2 = v 2m mp x = v 2m mp x (mq x + 2 A x+m m p x (A x+m ) 2 2 m q x A x+m ) d 2 (mq x (1 2A x+m + (A x+m ) 2 ) + 2 A x+m (A x+m ) 2) (1 A x+m ) 2 mq x + d 2 mq x (a x+m ) 2 + 2 A x+m (A x+m ) 2 d 2 2 A x+m (A x+m ) 2 d 2.

4. Odroczona renta terminowa (z góry). Wypłaca świadczenie o wysokości 1 od momentu m przez n lat, o ile śmierć rentobiorcy nie nastąpi wcześniej: c k = 0, k = 0, 1,..., m 1, 1, k = m, m + 1,..., m + n 1, 0, k = m + n, m + n + 1,... Wartość obecna: Y = 0, K = 0, 1,..., m 1, ä K+1 ä m, K = m, m + 1,..., m + n 1, ä m+n ä m, K = m + n,... JSN: m nä x = E(Y ) = m+n 1 k=m v k kp x = ä x:m+n ä x:m. Ponieważ ä x:n = 1 A x:n, zatem d m nä x = A x:m A x:m+n. d

5. Renty rosnące. Dożywotnia renta rosnąca w postępie arytmetycznym płatna z góry: wypłaca k + 1 na początku k + 1 roku życia rentobiorcy (czyli w chwili k): c k = k + 1, k = 0, 1,... Wartość obecna: Y = (Iä) K+1 = äk+1 (K + 1)v K+1. d JSN: (Iä) x = E(Y ) = (k + 1)v k kp x = äx (IA) x d = n=0 k=n v k kp x = n=0 n ä x. =

Renty płatne m-krotnie w ciągu roku dzielimy każdy rok na m równych podokresów, z góry lub z dołu oznacza wypłatę na początku lub końcu każdego z podokresów, renta jednostkowa wypłaca w każdym podokresie kwotę 1/m, co daje nominalnie 1 w ciągu całego roku, do obliczenia wartości rent nie wystarczą same TTŻ; jeżeli nie posiadamy informacji o dokładnym rozkładzie musimy założyć hipotezę interpolacyjną.

1. Renta na życie z góry płatna m-krotnie: Y = 1 ( 1 + v 1/m + v 2/m + + v K+S(m) 1/m ) = 1 m(k+s (m) ) 1 v k/m m m = 1 1 v K+S(m) m 1 v = 1 1 Z 1/m m 1 v 1/m, gdzie Z jest OW ubezpieczenia na całe życie płatnego na koniec m-tej części roku po śmierci. Mamy ä (m) x = 1 m v k/m k/mp x v = 1 d = (1 d (m) /m) m v 1/m = 1 d (m) /m 1 v 1/m = d (m) /m m(1 v 1/m ) = d (m), skąd ä (m) x = 1 m 1 A(m) x 1 A(m) x =. 1 v1/m d (m)

Ponieważ d (m) ä (m) x + A (m) x = 1 = dä x + A x, zatem mamy również: ä (m) x = d d (m)äx + 1 d (m)(a x A (m) x ). Pod założeniem HU: A (m) x = i i (m) A x. Stąd Oznaczając mamy ä (m) x = 1 i = α(m) = A i (m) x = 1 i d (m) d (m) id i (m) d (m)äx i i(m) i (m) d (m) id i (m) d (m), ä (m) x i (m) (1 dä x ) i i(m) β(m) = i (m) d (m) = α(m)ä x β(m) Współczynniki α i β zależą jedynie od m, nie zależą od wieku ubezpieczonego, ani rozkładu jego życia.

α(m) m\i 2% 4% 8% 15% 25% 2 1.0000245 1.0000961 1.0003702 1.0012213 1.0031153 3 1.0000290 1.0001140 1.0004388 1.0014477 1.0036935 4 1.0000306 1.0001202 1.0004628 1.0015269 1.0038959 6 1.0000318 1.0001246 1.0004800 1.0015836 1.0040406 12 1.0000325 1.0001273 1.0004903 1.0016175 1.0041274 365 1.0000327 1.0001282 1.0004937 1.0016288 1.0041563 β(m) m\i 2% 4% 8% 15% 25% 2 0.2524876 0.2549510 0.2598076 0.2680951 0.2795085 3 0.3362816 0.3392012 0.3449575 0.3547814 0.3683147 4 0.3781095 0.3811888 0.3872600 0.3976217 0.4118974 6 0.4198914 0.4230847 0.4293808 0.4401268 0.4549329 12 0.4616271 0.4648889 0.4713200 0.4822965 0.4974210 365 0.5019470 0.5052315 0.5117075 0.5227608 0.5379913

Traktując α i β jako funkcje δ mamy: lim α(m) = lim δ 0 δ 0 = lim δ 0 = lim δ 0 id (e δ 1)(1 e δ ) = lim i (m) d (m) δ 0 m 2 (e δ/m 1)(1 e δ/m ) e δ 2 + e δ m 2 (e δ/m 2 + e δ/m ) e δ e δ m(e δ/m e δ/m ) = lim e δ + e δ = 1, δ 0 e δ/m + e δ/m lim β(m) = lim δ 0 δ 0 = lim δ 0 i i (m) (e δ 1) m(e δ/m 1) = lim i (m) d (m) δ 0 m 2 (e δ/m 1)(1 e δ/m ) e δ e δ/m m(e δ/m e δ/m ) = lim δ 0 e δ 1 m eδ/m e δ/m + e = 1 1 m δ/m 2 = m 1 2m Dla małych stóp procentowych otrzymujemy przybliżenie: ä (m) x ä x m 1 2m.

2. Renta na życie z dołu płatna m-krotnie: Y = 1 ( v 1/m + v 2/m + + v K+S(m) 1/m ) = 1 m(k+s (m) ) 1 v k/m m m k=1 = 1 v 1/m v K+S(m) = 1 v 1/m Z m 1 v 1/m m 1 v, 1/m gdzie Z jest OW ubezpieczenia na całe życie płatnego na koniec m-tej części roku po śmierci. a (m) x = 1 m k=1 v k/m k/mp x = ä (m) x 1 m.

3. Renta terminowa, n-letnia, płatna m-krotnie z góry: Y = 1 m Przy założeniu HU: oraz (1 + v 1/m + v 2/m + + v {[(K+S(m) ) n] 1/m} ) ä (m) x:n = 1 mn 1 v k/m k/mp x. m ä (m) x:n = ä (m) x n p x v n ä (m) x+n. ä (m) x:n = α(m)ä x β(m) n p x v n (α(m)ä x+n β(m)) = α(m)(ä x n p x v n ä x+n ) β(m)(1 n p x v n ) = α(m)ä x:n β(m)(1 n p x v n ).

4. Renta zupełna Rozważamy ciągły strumień płatności o wysokości δ/i (m), Strumień ten jest akumulowany i wypłacany, wraz ze zakumulowanymi odsetkami, na koniec każdego pełnego podokresu życia rentobiorcy o długości 1/m roku, lub w momencie śmierci, Wypłata na koniec każdego przeżytego podokresu wynosi: δ i (m) s 1/m = δ i (m) 1/m 0 e δt dt = ostatnia wypłata w chwili śmierci wynosi δ e δ/m 1 i (m) δ = (1 + i)1/m 1 i (m) = 1 + i(m) /m 1 i (m) = 1 m. δ i (m) s 1/m (S (m) S).

Strumień jaki potrzebny jest do skonstruowania tej renty to δ renty płatnej i (m) w sposób ciągły, zatem å (m) x = δ i (m)āx. Skoro zatem i (m) å (m) x å (m) x = δā x = 1 Āx = 1 Āx i (m).

5. Renta podzielna Rozważamy ciągły strumień płatności o wysokości δ/d (m), akumulowany i wypłacany na początku każdego podokresu życia rentobiorcy o długości 1/m roku; wypłata ta wynosi: δ d (m)ā1/m = δ d (m) 1/m 0 e δt dt = 1 m. W chwili śmierci płatnik renty otrzymuje zwrot za nieprzeżytą część: (m)eδ(1/m (S(m) ( ) δ S)) ā d 1/m ā 1/m (S (m) S) Strumień jaki potrzebny jest do skonstruowania tej renty to w sposób ciągły, zatem a {m} x = δ d (m)āx, = δ d (m)ās (m) S = 1 e δ(s(m) S) d (m). δ d (m) renty płatnej a skoro d (m) a {m} x = δā x = 1 Āx więc a {m} x = 1 Āx d (m).

Akumulacja aktuarialna 1. Renta powstrzymana Na początku kolejnych n lat, lecz nie dłużej niż ubezpieczony żyje, wypłaty c k lokowane są na oprocentowanym funduszu (tontyna) do chwili n. Kwota zgromadzona w funduszu zostaje wypłacona wraz z odsetkami, o ile ubezpieczony dożyje do chwili n. Jaka jest zakumulowana wartość aktuarialna tej renty? s = 1 np x n c k (1 + i) n k kp x = n c k v n k n kp [x]+k = n c k n ke [x]+k Liczbę k E x = v k kp x nazywamy czynnikiem dyskonta aktuarialnego, Liczbę 1 ke x = (1 + i)k kp x nazywamy czynnikiem akumulacji aktuarialnej.

Dla terminowych rent jednostkowych mamy standardowe oznaczenia: s x:n = äx:n ne x, s x:n = a x:n ne x, s x:n = āx:n ne x. Możemy również rozważać zakumulowane wartości ubezpieczeń terminowych: nk x = A1 x:n ne x, n k x = Ā1 x:n ne x,

Funkcje komutacyjne c.d. Definiujemy kolejne funkcje komutacyjne (D x = v x l x ): N x = D x+k, S x = N x+k. Mamy ä x = a x = k=1 n ä x = k=n v k kp x = v k kp x = D x+k D x D x+k k=1 v k kp x = k=n = N x D x = N x+1 D x D x D x+k D x ä x:n = ä x n ä x = N x N x+n (Iä) x = k ä x = D x N x+k D x = N x+n D x = S x D x

Wzory rekurencyjne Przy założeniu HA łatwo wyprowadzamy (ćwiczenie) takie wzory jak: ä x = 1 + vp x ä x+1, ä x:n = 1 + vp x ä x+1:n 1. Ponieważ ä (m) x = d + 1 d (m)äx d (m)(a x A (m) x ). oraz pod założeniem HU mamy A (m) x = i A i (m) x, zatem oraz 1 d (m) A x i i (m)a x i (m) i = A x i (m) d (m) = β(m)a x ä (m) x = d d (m)äx β(m)a x.

Stąd wyprowadzamy wzór rekurencyjny: ä (m) x = d d (m)(1 + vp xä x+1 ) β(m)(vq x + vp x A x+1 ) = d d β(m)vq (m) x + vp d x β(m)a d (m)äx+1 x+1 = d d β(m)vq (m) x + vp x ä (m) x+1.

Ubezpieczenia i renty dla wieku niecałkowitego Wyprowadzimy wartość jednorazowej składki netto renty i ubezpieczenia na całe życie dla osoby w wieku niecałkowitym, pod założeniami HJP oraz HU. Stosując założenie HU w postaci: u p x = 1 uq x, u [0, 1], x N, do równości otrzymujemy up x k p x+u = k+u p x = k p x u p x+k, u [0, 1], x, k N, (1 uq x ) k p x+u = k p x (1 uq x+k ), u [0, 1], x, k N. Mnożąc obie strony powyższej równości przez v k oraz sumując po k = 0, 1, 2,..., otrzymujemy: (1 uq x )ä x+u = (1 uq x ) = v k kp x+u = v k kp x uv 1 v k+1 kp x q x+k = ä x uv 1 A x.

Zauważmy, że (1 + i)d = i, skąd: Ostatecznie otrzymujemy: ä x uv 1 A x = ä x u(1 + i)(1 dä x ) ä x+u = = ä x u(1 + i) + uiä x uä x + uä x = (1 u)ä x + u(1 + i)(ä x 1) = (1 u)ä x + u(1 + i)vp x ä x+1 = (1 u)ä x + u(1 q x )ä x+1. 1 u ä x + u(1 q x) ä x+1, u [0, 1], x N, 1 uq x 1 uq x co oznacza, że (przy założeniach HJP i HU) renta dla osoby w wieku niecałkowitym jest kombinacją wypukłą odpowiednich rent dla osób w wieku całkowitym, z pewnymi szczególnymi współczynnikami.

Dzięki temu, przyjmując chwilowo λ = 1 u 1 uq x, 1 λ = u(1 q x) 1 uq x, mamy: A x+u = 1 dä x+u = [λ + (1 λ)] d [λä x + (1 λ)ä x+1 ] = = [λ dλä x ] + [(1 λ) (1 λ)dä x+1 ] = = λ [1 dä x ] + (1 λ) [1 dä x+1 ] = = 1 u A x + u(1 q x) A x+1. 1 uq x 1 uq x

Twierdzenie (Nierówność Jensena). Jeśli X jest całkowalną zmienną losową, natomiast f taką funkcją wypukłą, że E f(x) <, to f(e(x)) E(f(X)), przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy istnieją a, b R, że f(x) = ax+b, lub gdy istnieje takie c R, że Pr(X = c) = 1. Zastosowanie w ubezpieczeniach: Zdefiniujmy funkcję: Ā x = E(v T ) > v E(T ) = v e x ā x = 1 Āx δ < 1 v e x δ = a ex f(δ) = {E[e δt ]} 1/δ, δ > 0. Lemat. Funkcja f jest rosnąca. Dowód. Ustalmy 0 < u < w. Z nierówności Jensena: f(w) w = E[e wt ] = E[{e ut } w/u ] > {E[e ut ]} w/u = f(u) w.

Z lematu wynika, że dla trzech intensywności oprocentowania δ 1 < δ < δ 2 mamy f(δ 1 ) δ < f(δ) δ < f(δ 2 ) δ, a ponieważ f(δ) δ = E[e δt ] = Āx(δ), zatem {Āx(δ 1 )} δ/δ 1 < Āx(δ) < {Āx(δ 2 )} δ/δ 2. ( ) Nierówności te pozwalają nam szacować wartości składek Āx, ā x przy intensywności oprocentowania δ, o ile znane są wartości składek dla intensywności δ 1, δ 2. Przykład. Załóżmy, że znane są Ā50 = 0.41272 dla i = 4%, oraz Ā50 = 0.34119 dla i = 5%. Oszacujemy Ā50 oraz ā 50 dla i = 4.5%. Bezpośrednio z powyższej nierówności dla δ 1 = ln 1.04, δ = ln 1.045, δ 2 = 1.05 otrzymujemy: 0.3703866 = 0.41272 (ln 1.045/ ln 1.04) < Ā50 < 0.34119 (ln 1.045/ ln 1.05) = 0.3790396 14.10732 = 1 0.3790396 < ā 50 < 1 0.3703866 = 14.30391 ln 1.045 ln 1.045

Traktując w dalszym ciągu Āx jako funkcję δ policzmy jej pochodne: Ā x(δ) = E[T v T ] = (ĪĀ) x(δ), Ā x(δ) = E[T 2 v T ] > 0. Oznacza to, że Āx jest malejącą i wypukłą funkcją δ, zatem jej wartość możemy szacować z góry przez wartość siecznej: Ā x (δ) < δ 2 δ δ 2 δ 1 Ā x (δ 1 ) + δ δ 1 δ 2 δ 1 Ā x (δ 2 ), natomiast z dołu przez wartości stycznych: Ā x (δ) > Āx(δ 1 ) (δ δ 1 )(ĪĀ) x(δ 1 ), Ā x (δ) > Āx(δ 2 ) (δ δ 2 )(ĪĀ) x(δ 2 ). Oszacowania te mogą (ale nie muszą) być lepsze od uzyskanych z nierówności ( ). W naszym przykładzie otrzymujemy: Ā 50 < 0.3768694, ā 50 > 14.15663. Zastępując zmienną T przez K +1 otrzymujemy analogiczne oszacowania dla ubezpieczeń i rent dyskretnych.