RCHUNEK ZDŃ 6 Do ozstzygania, któe fomuły achunku zdań są tautologiami, czyli pawami logiki, stosować możemy tzy odzaje metod: 1) metodę matycową (zeo-jedynkową), 2) metodę założeniową, 3) metodę aksjomatyczną. udując achunek zdań jako system fomalny (system dedukcyjny) stosuje się metodę założeniową lub aksjomatyczną. System dedukcyjny to okeślony język (zbió fomuł logicznych) wyposażony w apaatuę dedukcyjną, czyli zestaw eguł wnioskowania (eguł dowodzenia, eguł infeencyjnych) i ewentualnie aksjomaty (tylko dla metody aksjomatycznej). W systemach założeniowych mamy więc do dyspozycji ustalony zbió eguł wnioskowania, zgodnie z któymi pzepowadza się tzw. dowody założeniowe, wykazując wynikanie jednych zdań z innych. Każdy dowód zaczyna się od wypisania stosownych założeń, a następnie posługując się dostępnymi egułami wnioskowania dopisuje się kolejne fomuły. Dowód kończy się po uzyskaniu w ten sposób odpowiedniej konkluzji, któej postać zależy od odzaju dowodu (wpost lub nie wpost). Ponieważ ten sposób dowodzenia jest najbadziej zbliżony do sposobów stosowanych zaówno w poszczególnych dyscyplinach naukowych, jak i w ozumowaniach potocznych, metodę założeniową okeśla się często mianem dedukcji natualnej, a systemy założeniowe logiki okeśla się też mianem systemów logiki natualnej. Niech dany będzie pewien zbió fomuł logicznych (zwanych założeniami) { 1, 2,, n } oaz fomuła (zwana wnioskiem). Dowodem założeniowym wpost wniosku z założeń 1, 2,, n jest ciąg fomuł logicznych, spełniający następujące waunki: 1. Piewszymi fomułami dowodu są jego założenia. 2. Każda następna fomuła jest albo wcześniej udowodnionym twiedzeniem, albo fomułą otzymaną z popzedzających ją fomuł pzy użyciu dopuszczalnych eguł wnioskowania. 3. Ostatnią fomułą dowodu jest wniosek. Jeśli istnieje dowód wniosku z założeń { 1, 2,, n }, to mówimy, że fomuła jest dowodliwa (wypowadzalna) ze zbiou fomuł { 1, 2,, n }, co zapisuje się symbolicznie: Ponadto wówczas mówimy, że fomuła: oaz ównoważna jej fomuła: { 1, 2,, n } 1 2 n 1 ( 2 ( n ) ) są twiedzeniami (tezami) danego systemu założeniowego, co też zapisujemy symbolicznie: 1 2 n. 1
RCHUNEK ZDŃ 6 Dla odpowiednio dobanych eguł wnioskowania można pokazać, że jeśli jest dowodliwe ze zbiou { 1, 2,, n }, to wynika logicznie ze zbiou { 1, 2,, n }, czyli: jeśli { 1, 2,, n }, to { 1, 2,, n }. Zatem wszystkie twiedzenia takiego systemu są tautologiami: jeśli, to. by to zapewnić, eguły wnioskowania muszą powadzić zawsze od fomuł pawdziwych do fomuł pawdziwych, czyli muszą być opate na niezawodnych schematach wnioskowania (innymi słowy odpowiadają tautologiom w postaci implikacji). Systemy założeniowe można budować na óżne sposoby, okeślając dla nich óżne zestawy eguł wnioskowania. Tutaj pzyjmiemy następujący zbió piewotnych eguł wnioskowania (tj. uznawanych bez dowodu): (RO) eguła odywania: Jeśli do dowodu należą implikacja i jej popzednik, to wolno dołączyć do dowodu jej następnik. (DK) eguła dołączania koniunkcji: Jeśli do dowodu należą dwie fomuły, to wolno dołączyć do dowodu ich koniunkcję. (OK) eguła opuszczania koniunkcji: Jeśli do dowodu należy koniunkcja, to wolno dołączyć do dowodu dowolny czynnik tej koniunkcji. (D) eguła dołączania altenatywy: Jeśli do dowodu należy fomuła, to wolno dołączyć do dowodu jej altenatywę z dowolną fomułą. (O) eguła opuszczania altenatywy: 2
RCHUNEK ZDŃ 6 Jeśli do dowodu należą altenatywa i negacja jej jednego składnika, to wolno dołączyć do dowodu dugi składnik altenatywy. (DR) eguła dołączania ównoważności: Jeśli do dowodu należą dwie implikacje, posta i odwotna, to wolno dołączyć do dowodu odpowiadającą im ównoważność. (OR) eguła opuszczania ównoważności: Jeśli do dowodu należy ównoważność, to wolno dołączyć do dowodu odpowiadającą jej implikację postą, jak też odwotną. (RT) eguła tanspozycji: Jeśli do dowodu należy implikacja posta, to wolno dołączyć do dowodu odpowiadającą jej implikację pzeciwstawną. Do systemu założeniowego zwykle wpowadza się dodatkowe, tzw. wtóne eguły wnioskowania. Mianowicie, jeśli udowodni się twiedzenie w postaci implikacji, to można do systemu wpowadzić jako wtóną egułę wnioskowania egułę postaci: któa pozwala dołączyć do dowodu wyażenie w fomie następnika tej implikacji, o ile w dowodzie znajdzie się wyażenie w fomie jej popzednika. Np. jeśli udowodnimy w danym systemie twiedzenie (p q) (q ) (p ) (pawo sylogizmu hipotetycznego), to wolno nam dołączyć do tego systemu jako wtóną egułę wnioskowania: (RSH) egułę sylogizmu hipotetycznego ( ) ( C) C C C Dowody zapisuje się jako ciągi fomuł w kolejnych numeowanych wieszach, podając za nimi w nawiasach uzasadnienie ich dołączenia do dowodu. Dowód zaczyna się od wypisania wszystkich założeń, natomiast kończyć się powinien wnioskiem. Jeśli udowodnić należy twiedzenie w postaci implikacji 1 ( 2 ( n ) ), to założeniami będą wszystkie kolejne popzedniki 1, 2,, n, a wnioskiem. 3
RCHUNEK ZDŃ 6 ZDNIE 1 Pokaż, że poniższe fomuły są twiedzeniami opisanego wyżej systemu założeniowego (pzepowadzając ich dowody założeniowe wpost). (a) (p q) (q ) (p ) (b) (p q) [(q ) (p )] (c) ( ) [p (q )] (d) [p (q )] ( ) (e) ( ) [p (q )] (f) [(p q) (p )] [p (q )] (g) [p (q )] [(p q) ] (h) [p (q )] [q (p )] Jeśli istnieje dowód założeniowy wpost zdania z pewnych założeń, to zdanie to wynika logicznie z owych założeń. ZDNIE 2 Pzepowadzając dowód założeniowy wnioskowania jest niezawodny. p q wpost pokaż, że poniższy schemat ZDNIE 3 Pzepowadzając dowód założeniowy wpost pokaż, że wnioskowanie o poniższym schemacie jest dedukcyjne. p q ZDNIE 4 Czy następujące wnioskowanie jest dedukcyjne? Jeżeli pacuję, to zaabiam pieniądze. Jeżeli nie pacuję, to jestem szczęśliwy. Dlatego jeżeli nie zaabiam pieniędzy, to jestem szczęśliwy. ZDNIE 5 Rozwiąż poniższą zagadkę: Telewizo zepsuła nia lub asia. asia nie mogła jednocześnie czytać i zepsuć. Niepawda, że asia nie czytała. Kto zepsuł telewizo? 4
RCHUNEK ZDŃ 6 Dowodem założeniowym nie wpost wniosku z założeń 1, 2,, n jest ciąg fomuł logicznych, spełniający następujące waunki: 1. Piewszymi fomułami dowodu są jego założenia oaz tzw. założenie dowodu nie wpost (z.d.n.) w fomie negacji wniosku (tj. ). 2. Każda następna fomuła jest albo wcześniej udowodnionym twiedzeniem, albo fomułą otzymaną z popzedzających ją fomuł pzy użyciu dopuszczalnych eguł wnioskowania. 3. Ostatnią fomułą dowodu jest fomuła spzeczna z jakąś fomułą ją popzedzającą. Wystąpienie spzeczności w dowodzie oznacza, że jakieś założenie jest fałszywe; a zatem pokazujemy w ten sposób, że jeśli pawdziwe są założenia 1, 2,, n, to musi być fałszywe założenie dowodu nie wpost (tj. ) czyli wniosek musi być pawdziwy. ZDNIE 6 Pokaż, że poniższe fomuły są twiedzeniami opisanego wyżej systemu założeniowego, pzepowadzając ich dowody nie wpost. (a) (p q) q p (b) p p (c) p p (d) () p q (e) () p q (f) p p (g) ( q p) () (h) ( ) () (i) ( ) (p q) Jeśli istnieje dowód założeniowy nie wpost zdania z pewnych założeń, to zdanie to wynika logicznie z owych założeń. ZDNIE 7 Wykaż niezawodność poniższych schematów wnioskowania pzepowadzając ich dowody nie wpost. (a) p q (b) p q 5