Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze zbioru {1,,3...,59}. Zdefiniuj algorytm dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym mogących posiadać 9 cyfr części całkowitej i 9 cyfr części ułamkowej. Określ algorytm za pomocą stosownych wiązań pomiędzy komórkami arkusza kalkulacyjnego. Zad. Tworzono tablice mnoŝenia liczb {1,, 3,..., 19, 0, 30, 40, 50} przez wybraną liczbę główną p. Liczby te zestawiono parami z wynikami mnoŝenia, otrzymując tablicę mnoŝenia. Przypuszcza się, Ŝe dobór liczb p był dokonywany ze standardowej tablicy odwrotności liczb. Konstrukcja tablicy mnoŝenia umoŝliwiała pamiętanie mniejszej ilości danych w celu wykonywania mnoŝenia innych liczb z uŝyciem dodawania, np. 47p = 40p + 7p. Wszelkie znaki liczb od do 9 i od 0 do 50 zestawiano jako sumy 1, i 3 znaków jedności lub 1, i 3 znaków dziesiątek: 4=3+1, 5=3+, 6=3+3, 7=3+3+1, 8=3+3+, 9, 40=3*10+10,50=3*10+*10. Gdy np. p=7, to iloczyn k*7 obliczano jako sumę k*3+k*3+k, a dla p=5, k*5=k*3+k*. Zbuduj w EXCEL-utablicę mnoŝenia {1,,3,...,59}. Zastanów się czy rachunki mnoŝenia uproszczą się jeśli zgodnie z zaproponowanym rozkładem liczb na sumy krotności jedności i dziesiątek, będziemy wykorzystywali tylko mnoŝenia przez {1,,3,0,30}. Wykonaj mnoŝenie 47*17. Zad. 3 a) Zadanie dotyczące znalezienia odwrotności (igibum) c -1 danej liczby c (igum), gdzie c*c -1 =60 n, dla n będącego liczbą całkowitą, rozwiązywano na podstawie niejednoznacznego algorytmu opartego na wzorach: c:= a+b, a + b = b(ab -1 + 1), d:=b, e:= ab -1 +1, c -1 :=(de) -1, (de) -1 = d -1 e -1. Korzystając z tablicy dodawania i mnoŝenia zbuduj w EXCEL-u tablice istniejących odwrotności liczb ze zbioru {1,,3,...,59}, dla n=0,1,. b) Odwrotnością liczby 81 w zapisie babilońskim jest liczba 44,6,40. W którym miejscu powinien być umieszczony średnik rozpoczynający część ułamkową w zapisie babilońskim? c) Oblicz odwrotność /3 i zapisz te liczby w systemie sześćdziesiątkowym. Sprawdź to obliczenie korzystając z algorytmu babilonczyków. Zad. 4 Przekątna kwadratu ([1], s. 30-33)
Rysunek prezentuje algorytm obliczania przekątnej kwadratu. Bok kwadratu a=30, b = = 1;4,51,10, przekątna c=a*b, c=4;5,35. Po pomnoŝeniu wielkości a,b,c przez odpowiedni współczynnik proporcjonalności, algorytm moŝna stosować dla innych kwadratów. Sprawdź w układzie dziesiątkowym zapisu liczb, Ŝe równość c=a*b jest spełniona z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku Zad. 5 Pierwiastki kwadratowe ([1], s. 8-30) Przedstawiamy tłumaczenie szóstej i siódmej części tabliczki BM 13901 z British Museum. Średniki zostały dodane przy transkrypcji rozwiązań zadań: dodałem pole i dwie trzecie boku kwadratu i otrzymałem liczbę 0;35. Bierzesz 1, współczynnik. Dwie trzecie z 1, współczynnika, stanowi 0;40. Połowę tego, 0;0, mnoŝysz przez 0;0 (i otrzymujesz wynik) 0;6,40 dodajesz do 0;35 i (wynik końcowy) 0;41,40 ma 0;50 jako pierwiastek kwadratowy. 0;0, które pomnoŝyłeś przez siebie, odejmiesz od 0;50 i 0;30 jest (bokiem) kwadratu. 0;40 0;40 We współczesnej notacji szukany bok kwadratu x= ( ) + 0;35 = 0;30. Jest to rozwiązanie równania x + /3 x = 0;35. Dokonaj stosownego sprawdzenia obliczeń w układzie dziesiątkowym i wyjaśnij zastosowany algorytm rozwiązania za pomocą równowaŝnych przekształceniach pól prostokątów i kwadratów: pole 0;35 szukanego prostokąta jest iloczynem (x+/3)x =0;35, /3 = 40/60=0;40. x x x*0; _ 0;35= = = {(0;0) + 0;35} - (0;0) x*0;40 x*0;0 (0;0) x + 0;0 Z rysunku widać, Ŝe (x + 0;0) = (0;0) + 0;35, a więc 0;40 x + 0;0 = ( ) + 0; 35.
Egipska wiedza matematyczna Zad. 6 Algorytm mnoŝenie krotności W staroŝytnym Egipcie dowolną krotność rozpisywano na sumę wyrazów ciągu 1,, 3,..., n,... Udowodnij, Ŝe dowolną liczbę naturalna moŝna tak zapisać. Czy ten rozkład nie prowadzi współcześnie do binarnego zapisu liczby? Niech liczba k = i1 + i +...+ ij, a i1<i<...<ij, oraz dla liczby n dysponujemy tablicą 1 1*n *n i1 i1 *n i i *n ij ij *n kolejnego mnoŝenia przez liczb otrzymanych z pierwszego mnoŝenia liczby n. MnoŜenie przez liczby a Egipcjanie sprowadzali do sumy a+a. Liczbę ij znajdowano jako taką, Ŝe ij k <* ij. Odejmując od k potęgę ij uzyskano liczbę dla której w te sam sposób znajdowano potęgę o mniejszym wykładniku. Rozumowanie to powtarzano aŝ do uzyskania wszystkich potęg, z których składała się liczba k. Po sporządzeniu powyŝszej tablicy sumowano odfajkowane wyniki mnoŝeń przez, uzyskując w ten sposób iloczyn k*n. Zastosuj powyŝszy algorytm do pomnoŝenia liczb k=369, n=19. Zad. 7 (liczenie postępów potegowych drabin liczb ) Dla celów ćwiczebnych układano zadania o treści rozrywkowej, nie mające bezpośredniego zastosowania w praktyce. Do najciekawszy takich zadań (mających róŝne odmiany) było zadanie na postęp geometryczny drabina siedem : drabina dom 7 kot 49 1 801 mysz 343 5 60 jęczmień 401 4 11 04 -------------------- miara 16 807 razem 1 9 607 W zadaniu jest mowa najpierw o 7 kotach w kaŝdym z 7domów;kaŜdy kot zjadł po 7 myszy, z których kaŝda zjadła po 7 kłosów jęczmienia; kaŝdy z kłosów mógł dać 7 miar ziarna. Sumę domów, kotów, kłosów i miar ziarna oblicza mnoŝenie 801*7 = 801 * (1++4). Korzystając z algorytmu mnoŝenia podanego w zad. 6 wyjaśnij tabelę obliczeń prowadzących do rozwiązania drabiny siódemki
Zad. 8 O rozkładach ułamków ([], t.1,s. 7-30) Ułamki w staroŝytnym Egipcie pojawiają się jako znaki części egipskiej jednostki pola setat. Znaki te oznaczają takie ułamki jak: 1/, 1/3, /3, 1/4, 3/4, 1/6 i 1/8. W papirusie Rhinda znajduje się wiele rozkładów ułamków na sumę ułamków postaci 1/n a takŝe wyróŝnionego ułamka /3, a na początku papirusu ztablicowano rozkłady od n=3 do n=101. Np. rozkłady 1/6 + 1/6 = 1/3, bo 6 części 1/6 jest 1, 1/3 z 6 części 1/6 jest po 1/3, 1/6 + 1/6 + 1/6 =1/, bo połowa z 6 części po 1/6 jest 3 części po 1/6, (0) 1/3 + 1/3 = /3, bo /3 to części po 1/3, (1) 1/3 + 1/6 = 1/, bo 1/3 z 6 części po 1/6 to części po 1/6, a dodać 1/6 jest 3 części po 1/6, a to jest połowa 1 składającej się z 6 części po 1/6. () 1/ + 1/3 + 1/6 = 1 Egipcjanie stosowali te rozkłady bardzo często i prawdopodobnie znali je na pamięć. Wymienione rozkłady słuŝyły do wyprowadzeń następujących równości (3) 1/6 + 1/1 = 1/4 (4) 1/9 + 1/18 = 1/6 (5) 1/1 + 1/1 = 1/8, itd. Powstałe przez podzielenie równości (0)-(5) przez, 3, 4. (0) i rozkład (6) /3 = 1/+ 1/6 daje równość 1/3 + 1/3 = 1/ + 1/6 z czego, dzieląc stronami przez 3 otrzymujemy 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18 I podobnie po dzieleniu przez 5 1/ 15 + 1/15 = 1/10 + 1/30. Ogólnie 1/3k + 1/3k =* 1/3k = /3 * 1/k = (1/ + 1/6)*1/k = 1/k + 1/6k. a) Uzasadnić na podstawie (1)-(5), Ŝe 1/13 = 1/6 + 1/39 + 1/78, b) Traktując ułamki typu 1/n jako n-te części jedności uzasadnij dlaczego /7 = 1/4 + 1/8 (1 składa się z części). c) Udowodnić, Ŝe dowolny ułamek a/b, dla 0<a<b moŝna rozłoŝyć na dwa róŝne ułamki postaci 1/n. Zad. 7 (dzielenie liczb przez liczby) Przytaczamy fragment schematu dzielenia liczby 37 przez (1 + /3 + 1/ + 1/7) podany w zadaniu 33 papirusu Rhinda. Wynik dzielenia poszukiwany jest jako stosowna suma potęg liczby : 1 1 + /3 + 1/ + 1/7 (dzielnik liczby 37) 4 + 1/3 + 1/4 + 1/8 (*dzielnik, poniewaŝ *1/7 = 1/4 + 1/8) 4 9 + 1/6 + 1/14 (*powyŝsza liczba, poniewaŝ /3 = 1/ + 1/6) 8 18 + 1/3 + 1/7 (* powyŝsza liczba) 16 36 + /3 + 1/4 + 1/8 (* powyŝsza liczba, z *1/7 = 1/4 + 1/8). Następnie poszukiwany była pewna krotność k ułamka 1/n, dla której wynik z dzielenia wynosi 16 + k/n, taka, Ŝe (16+k/n)* (1 + /3 + 1/ + 1/7) = 16*(1 + /3 + 1/ + 1/7) + k/n*(1 + /3 + 1/ + 1/7) = 36 + /3 + 1/4 + 1/8 + k/n*(1 + /3 + 1/ + 1/7) = 37, a więc /3 + 1/4 + 1/8 + k/n*(1 + /3 + 1/ + 1/7) = 1. Pada pytanie: na ile jednostek podzielić liczbę 1, aby wyznaczyć k/n. Najpierw obierano liczbę zwaną czerwoną, która po podstawieniu za 1 w równości 1*/3 + 1*1/4 + 1* 1/8 + k/n*(1 + 1*/3 + 1*1/ + 1*1/7) = 1
zmieniała ułamki na liczby całkowite. Np. taką liczbą moŝe być 4. Wtedy 14 + 10+1/ + 1 + 1/ + k/n*(4 + 8 +1 +6)=4, stąd 6 + k/n*97 = 4. Stąd n=97, bo k/n*97 daje liczbę całkowitą obranych jednostek liczby 1. Zatem k=16. Wynik z dzielenia wynosi : 16 + 16/97. Zastosuj opisany algorytm dzielenia: a) 5 : ( + /3 + /7), b) 100: (10 + 1/ + 1/3 + 1/5), c) (5 + /3+ 1/7) : ( +/3 + /7) - wprowadź najpierw liczbę czerwona i zamień 1*(5 + /3 + 1/7) na liczbę całkowitą i wykonaj dzielenie według algorytmu, a wynik podziel ponownie przez te liczbę czerwoną.