HISTORIA MATEMATYKI I INFORMATYKI. Przedmiot historii matematyki oraz informatyki Czasy przedhistoryczne StaroŜytność

Transkrypt

1 HISTORIA MATEMATYKI I INFORMATYKI Przedmiot historii matematyki oraz informatyki Czasy przedhistoryczne StaroŜytność

2 Przedmiot historii matematyki oraz informatyki Badane są systemy tekstowe (kulturowe) jako systemy iteracyjne, tj.. systemy powtarzalnych procedur realizowanych w danej kulturze; Wiedza jako wyróŝniony przez człowieka zbiór obiektów o wspólnych cechach oraz pozostających w pewnych relacjach - pojęcie o czymś ; Źródłem wiedzy matematycznej są operacyjne struktury psychiczne i struktury działań człowieka będące wynikiem adaptacji do działania w systemach iteracyjnych oraz przyswojenia sobie powtarzalnych procedur aktywności kulturotwórczej;

3 Wiedza matematyczna oraz wiedza informatyczna Wiedza matematyczna jest ogólną wiedzą o iteracjach i schematach operacji na iteracjach oraz prawach ich dokonywania w systemach iteracyjnych, natomiast wiedza informatyczna jest ogólną wiedzą o systemach iteracyjnych, a w szczególności o algorytmach realizowanych w systemach iteracyjnych. Tak więc człowiek uczestnicząc w procesach wielokrotnego uaktywniania, wykonywania i składania ze sobą operacji w systemach iteracyjnych, na róŝnych poziomach abstrakcji dokonuje interioryzacji systemów iteracyjnych, wynikiem czego jest powstanie w jego psychice dynamicznych struktur logiczno-matematycznych, będących analogonami (modelami) tych operacji, a poprzez wykorzystywanie środków informatycznych, wynikiem uwewnętrznienia sytemu iteracyjnego jest takŝe powstanie dynamicznych struktur logiczno-algorytmicznych, będących analogonami (modelami) operacji przeprowadzających jedne stany sytemu iteracyjnego w drugie stany tego sytemu.

4 Przedmiot historii matematyki oraz informatyki Rozwój pojęć (wiedzy) i uwarunkowania, w których powstają te pojęcia, oraz posługiwanie się pojęciami regulowany jest przez systemy myślenia zrelatywizowane do skutecznej działalności człowieka na danym etapie cywilizacyjnego rozwoju MoŜna wyróŝnić następujące systemy myślenia: a) sylogistyczny - obejmujący myślenie identyfikujące cechy przedmiotów, b) logiczny - obejmujący myślenie zgodne (adekwatne) z ustalonym porządkiem rzeczywistości (realnym i racjonalnym, formalno-językowym, epistemicznym - dysponowania wiedzą, algorytmicznym, statycznym i dynamicznym), c) matematyczny - obejmujący myślenie prowadzące do wiedzy matematycznej, d) cybernetyczny - obejmujący myślenie algorytmiczne czy informatyczne.

5 Problemy Wyznaczenie epoki historycznej, w której powstało myślenie matematyczne - błąd rzutowania pojęć z teraźniejszości na zrozumienie wiedzy z przeszłości, Myślenie abstrakcyjne (myślenie symboliczne, pojęcie zmiennej) a pojawienie się myślenia matematycznego - rewolucja kopernikańska, uniwersalizm odrodzenia, Pierwsze teorie matematyczne: Newton, Liebniz, Euler, Kleine, Peano, Frege, Hilbert, Brouwer RóŜne koncepcje ścisłości matematyki - platonizm, nominalizm, formalizm i intuicjonizm (konstruktywizm), matematyka jako nauka dedukcyjna a empiryczna wizja matematyki u Lakatosa, czy matematyka ma przyszłość.

6 Prehistoryczne przesłanki wiedzy matematycznej materialna kooperacja międzyludzka dokumentująca wyniki zliczania dóbr i działań, występujących w gospodarce ludów koczowniczych i rolniczych, powstanie ekwiwalentnej wymiany dóbr - wytwarzanie i udostępnianie zasobów, usług, produktów, wartości, kształtowanie się przedpojęciowych systemów myślenia - myślenie konkretne, magiczne, stereotypowe, dogmatyczne, algorytmizacja pozyskiwania wiedzy matematycznej odzwierciedlana w wytworach cywilizacyjnych - w wynalazkach, technologii, wytwarzaniu i udostępnianiu produktów (technicznych, architektonicznych, dziełach sztuki, dokumentach pisanych).

7 WIEDZA MATEMATYCZNA W PALEOLICIE Kość z Ishango, ok lat p.n.e.

8 WIEDZA MATEMATYCZNA W PALEOLICIE Kreski w wierszach (a) i (b) dodają się do 60. Wiersz (b) zawiera liczby pierwsze pomiędzy 10 a 20. Wiersz (a) jest w miarę zgodny z systemem liczbowym opartym na 10, poniewaŝ liczby kresek w grupach wynoszą , 20-1, , oraz Wreszcie wiersz (c) wydaje się ilustrować metodę mnoŝenia przez 2, uŝywaną później w egipskiej matematyce. Mikroskopowe badania pokazują dodatkowe znaki, z których wynika Ŝe ta kość jest równieŝ kalendarzem faz księŝyca. (Niektórzy wyprowadzają z tego wniosek Ŝe pierwszym matematykiem była kobieta).

9 WIEDZA MATEMATYCZNA W PALEOLICIE Kość z Ishango, ok lat p.n.e.

10 WIEDZA MATEMATYCZNA W PALEOLICIE - wykorzystanie bazy 5

11 Prymitywne techniki rachunków

12 Prymitywne techniki rachunków zliczany przedmiot zaznaczany nacięciem na kości, kiju, itp. zliczany przedmiot zaznaczany odłoŝeniem jednej muszelki, zliczany przedmiot zaznaczamy odłoŝeniem kamienia, zliczany przedmiot zaznaczany jednoznacznie przez jedną z części ciała człowieka lub połoŝenie czy ułoŝenie tej części ciała, np..liczenie palcami i kciukami ręki, zliczany przedmiot przez przyporządkowanie mu kolekcji przedmiotów wymienianych na niego.

13 Prymitywne techniki rachunków Wódz jednego z plemion Papuasów z Nowej Gwinei w XIX w. wydał kiedyś następujące polecenie - Za kaŝdego wojownika, którego straciliśmy w walce mają nam zapłacić tyle naszyjników z paciorków, ile by ich było od małego palca mojej prawej ręki do prawego oka, następnie tyle futer zwierzęcych, ile by ich było od małego palca mojej prawej ręki aŝ do ust i wreszcie tyle koszy z Ŝywnością, ile by ich było od małego palca mojej prawej ręki do lewego nadgarstka Wojownik stracony w walce = 10 naszyjników z paciorków + 12 futer + 17 koszy Ŝywności.

14

15

16 Zliczanie palcami - 10 jako baza zliczania

17

18 Kalendarz empiryczny Rano czarownik plemienia Papuasów oznajmił przybycie nowego KsięŜyca, czyniąc kilka obrzędowych gestów: Wiele Słońc i wiele KsięŜyców musi pojawić się i zniknąć zanim święto nadejdzie. KsięŜyc, który się właśnie urodził, musi się wypełnić, a potem sczeznąć całkiem. Potem powinien się odrodzić tyle razy, ile zdoła od małego palca mojej prawej ręki aŝ do prawego łokcia. Potem Słońce powinno wzejść i zajść tyle razy, ile zdoła od małego palca mojej prawej ręki aŝ do ust. A gdy potem wzejdzie ponownie, obchodzić będziemy razem święto Wielkiego Totemu - święto odbędzie się dokładnie za 13 dni 8 i miesięcy od tego dnia.

19 Człowiek z plemienia wykonuje polecenie czarownika tatuując na ciele kółka w nowy KsięŜyc, a kreskami dni ósmego miesiąca.

20 Wiedza matematyczna w czasach staroŝytnych W staroŝytnym Egipcie, Babilonii, Chinach, Indiach, Grecji, pojawiają się pierwsze systemy rynkowe,, które poprzez działalność rynkową i gospodarczą umoŝliwiają po raz pierwszy grupowanie przedmiotów o wspólnych cechach im przysługujących, takie grupowanie odbywające się na rynku w procesie ekwiwalentnej wymiany towarów prowadzi do mierzenia wartości towarów przy pomocy wzorcowych towarów o dokładnie wyróŝnionych cechach (własnościach), podobnie w gospodarce mierzy się działania ludzkie i wyniki tych działań ilością zuŝywanych zasobów materialnych i zasobów pracy, dzięki temu kształtuje się system iteracyjny procedur mierzenia. Początkowo, w Babilonii, Egipcie, Chinach i Indiach, są to systemy jednostek miar oraz systemy zliczania.

21 Wiedza matematyczna w czasach staroŝytnych Systemy iteracyjne zliczania i mierzenia słuŝą jedynie do dokumentowania działalności gospodarczej, w tym sprawowania władzy (na przykład słuŝą temu pomiary czasu i pomiary astronomiczne). Nie znane są jeszcze wtedy Ŝadne procedury poznawcze, podstawianie za zmienne - symbole abstrakcyjne (nie ma matematycznych pojęć abstrakcyjnych), nie występują reguły myślenia, wspomagające mierzenie lub zliczanie - brak znaków operacji i relacji, liczby wiązane są tylko z liczonymi przedmiotami i jednostkami miary, kaŝdy wywód rozumowania ma charakter informatyczny, realizujący jakiś algorytm zliczania i mierzenia, i posiada cechy programu zliczania lub mierzenia, figury geometryczne są postrzegane jako pewne mierzone obszary, rozwiązywane problemy sprowadzane są do odpowiedzi na pytanie jakie własności (cechy) zliczania i mierzenia posiadają przedmioty. (Procedury myślenia pojawiają się dopiero w kulturze greckiej, są to prawa sylogistyki odkryte przez Arystotelesa ( p.n.e). Prawa te uŝywane są do grupowania przedmiotów według cech, które tym przedmiotom przysługują. Np. zwrot "P jest S" oznacza, Ŝe to co przysługuje przedmiotom P przysługuje przedmiotom S.)

22 Znaki liczbowe w czasach staroŝytnych

23 Wiedza matematyczna w czasach Babilonii

24 Wiedza matematyczna w czasach Babilonii Babiloński system numeracji o podstawie 60 stanowił bazę obszernej wiedzy arytmetycznej i algebraicznej dla całej staroŝytnej Mezopotamii. To arytmetyczno-algebraiczne nastawienie jest cechą szczególną odróŝniającą wiedzę matematyczną Babilonii od wiedzy matematycznej Grecji, mającej głównie charakter geometryczny. W Babilonii głównie zliczano a w Grecji mierzono kodując liczby geometrycznie. Wiedzę matematyczną zdobywano realizując stosowne algorytmy zliczania i mierzenia. Dale podamy kilka przykładów. Jak wiadomo, w systemie pozycyjnym zapisywania liczb wymiernych dla podstawy n>1 kaŝdą liczbę wymierną a, dającą się w tym systemie wyrazić, moŝemy jednoznacznie utoŝsamiać z ciągiem określonym przez wzór a = (a( k,...,a 0 ; a -1,...,a -m ) n = a k n k +... a 0 n 0 + a -1 n a -m n -m. Dla ustalonej podstawy n przyjmujemy zapis a = (a( k,...,a 0 ; a -1,...,a -m ) n Gdzie a i, a -j są mniejsze od n i większe lub równe 0. Np.. Dla n=60, 4/3 = 1 + 1/3 = 1+ 20/60 = *60-1 = 1;20.

25 Wiedza matematyczna w czasach Babilonii Matematyka obszaru staroŝytnej Mezopotamii jest zazwyczaj nazywana babilońską, ze względu na to, Ŝe najliczniejsze źródła (około 400 glinianych tabliczek) pochodzą z wykopalisk babilońskich. Tabliczki te były zapisywane wówczas, gdy glina była jeszcze miękka, po czym były wypalane w piecu lub na słońcu. Większość wykopanych tabliczek jest datowana na okres p.n.e.5 i dotyczy między innymi takich zagadnień jak ułamki, równania kwadratowe i sześcienne, oraz obliczanie liczb naturalnych spełniających twierdzenie Pitagorasa. Jedna z tabliczek podaje przybliŝenie liczby 2 2 z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku. Babilończycy uŝywali systemu liczbowego o podstawie 60 (system sześćdziesiątkowy). Podział okręgu na 360 (= 6*60) stopni, a w konsekwencji podział godziny na 60 minut i minuty na 60 sekund, wywodzi się właśnie z matematyki babilońskiej. Trudno odpowiedzieć na pytanie dlaczego Babilończycy obrali za podstawę akurat 60. Być moŝe jest to związane z sześćdziesiątkową podstawą miary ilości złota lub przybliŝoną liczbą dni w roku (6*60 = 360), lecz nie jest to pewne. Pozycyjność systemu liczbowego oznacza, Ŝe zapis liczb był prowadzony w kilku kolumnach, zaś kaŝda zawierała mnoŝnik kolejne potęgi 60, np = 6* *60 0 = (6,14) 60 (współczesny zapis matematyczny jest analogiczny, lecz jego podstawą jest 10).

26 Wiedza matematyczna w czasach Babilonii Babiloński system sześćdziesiątkowy zawierał 59 znaków tworzonych z dwu znaków oznaczających liczbę 1 i 10. Niekiedy jako zero stosowano puste miejsce albo inny wyróŝniony znak (zlepione trójkąciki). Dla ułamków 1/2, 1/3 i 2/3 stosowano odrębne znaki. Cyfry od 1 do 9 wyglądały następująco: zaś cyfry 10, 20, 30, 40 i 50 wyglądały tak: Brakujące cyfry pomiędzy 10 a 59 otrzymywano przez kombinację powyŝszych. Na przykład 11 otrzymywano przez połączenie jedynki z dziesiątką: Natomiast liczby większe od 59 były otrzymywane przez układanie cyfr w kolejnych kolumnach. Przykładowo, liczba 70 była zapisywana jako

27 Wiedza matematyczna w czasach Babilonii Na słynnej glinianej tabliczce nazwanej Plimpton 322 (rysunek na następnej stronie), pochodzącej równieŝ z ok p.n.e., czyli ponad tysiąc lat przed Pitagorasem, zapisane zostały obliczenia długości boków trójkątów, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa a 2 + b 2 = c 2. Tabliczka ta jest zapisana z prawa na lewo. W pierwszej kolumnie są podane kolejne numery porządkowe, kolumna druga zawiera słowo liczba, zaś kolumna trzecia zaczyna się od słowa długość, po czym wymienione są kolejne wartości a. Kolumna czwarta zaczyna się od słowa przekątna, po czym zapisane są kolejne wartości c. Ostatnia kolumna zawiera obliczone wartości b, z dokładnością co najmniej do czwartego miejsca po przecinku. W odczytaniu liczb czytelnik ma pewne trudności - w Mezopotamii nie oddzielano części ułamkowej liczby oraz nie znano zera ani jako liczby (którą moŝna dodawać, mnoŝyć, itd.), ani jako cyfry. Wskutek tego ten sam napis mógł oznaczać zarówno 361, 30601, 36001, jak i Niekiedy zaznaczano wolne miejsce. Zapisy liczb rozumiano na podstawie kontekstu. Dopiero za panowania Seleucydów (około roku 400 p.n.e.) na tabliczkach klinowych w zapisie liczb pojawia się symbol dwóch klinów, które oznaczają nieobecność cyfry w danej pozycji.

28 Wiedza matematyczna w czasach Babilonii Babilońska tabliczka Plimpton 322 z ok lat p.n.e., zawierająca obliczenia zgodne z twierdzeniem Pitagorasa

29 Program obliczania odwrotności liczby u Babilończyków Zadanie dotyczące znalezienia odwrotności (igibum( igibum) c -1 danej liczby c (igum( igum) rozwiązywano na podstawie niejednoznacznego algorytmu opartego na wzorach: c:= a+b, a + b = b(ab ), d:=b, e:= ab -1 +1, c -1 :=(de) -1, (de) -1 = d -1 e -1 Na -1. Na muzealnej babilońskiej tabliczce klinowej o numerze VAT 6505 przytoczony jest następujący program obliczeń: 2,13,20 jest igum.. Jakie jest igigum? Twoje postępowanie jest: Utwórz odwrotność 3,20. Znajdujesz pomnóŝ przez 2,10. Znajdujesz39. 1 dodaj. Znajdujesz 40. Utwórz odwrotność 40. Znajdujesz 1,30. 1,30 pomnóŝ przez 18. Znajdujesz 27. Igibum jest 27. Takie jest postępowanie.

30 Tablice mnoŝenia u Babilończyków Szkic oryginalnej tabliczki klinowej zawierającej tablicę mnoŝenia: kol.i * 9 = klo.ii.ii.

31 Program obliczania odwrotności liczby u Babilończyków Przetłumaczona na współczesny zapis tablica odwrotności liczb: (Kol.. I )-1 = Kol.. II lub (Kol( Kol.. II )-1 = Kol.. I. Odwrotność liczby 40 równą 1,30 oraz liczby 3,20 równą 18 pobrano w przytoczonym przykładzie z powyŝszej tablicy.

32 Program obliczania odwrotności liczby u Babilończyków Fotografia tabliczki z Nippur (pół. wsch.. od Babilonu). Gruba, pionowa rysa dzieli tabliczkę na dwie części.na lewej nauczyciel lub, starszy uczeń napisał tabliczkę mnoŝenia dla 45 (ostatnich 7 lub 8 linijek jest odłamanych), na prawej początkujący uczeń próbował ją skopiować. Widać, jak niepewna i niewyrobiona była ręka ucznia, który nie ukończył nawet swojej pracy. Lewa strona tabliczki we współczesnej transkrypcji ma postać ( a-ra ra oznacza razy, w nawiasach kwadratowych jest odtworzony tekst):

33 Program obliczania odwrotności liczby u Babilończyków Fotografia drugiej strony tabliczki z poprzedniej folii. Jest najprawdopodobniej pracą bardziej zdolnego i zaawansowanego ucznia niŝ tego, który wykonywał zadanie na pierwszej stronie tabliczki. MoŜna rozpoznać kilka fragmentów tablic mnoŝenia i standardowej tablicy odwrotności. Zapisane informacje mogły słuŝyć jako pomoc w wykonywaniu zadań.

34 Algorytm graficzny obliczania długości przekątnej kwadratu u Babilończyków Bok kwadratu a=30, b = 2 2 = 1;24,51,10, przekątna c=a*b, c=42;25,35. Po pomnoŝeniu wielkości a,b,c przez odpowiedni współczynnik proporcjonalności, ci, algorytm moŝna stosować dla innych kwadratów. w.

35 Algorytmiczny charakter arytmetyki babilońskiej - pierwiastkowanie Przedstawiamy tłumaczenie szóstej i siódmej części tabliczki BM z British Museum. Średniki zostały dodane przy transkrypcji rozwiązań zadań: dodałem pole i dwie trzecie boku kwadratu i otrzymałem liczbę 0;35. Bierzesz 1, współczynnik. Dwie trzecie z 1, współczynnika, stanowi 0;40. Połowę tego, 0;20, mnoŝysz przez 0;20 (i otrzymujesz wynik) 0;6,40 dodajesz do 0;35 i (wynik końcowy) 0;41,40 ma 0;50 jako pierwiastek kwadratowy. 0;20, które pomnoŝyłeś przez siebie, odejmiesz od 0;50 i 0;30 jest (bokiem) kwadratu. 0;40 2 0;40 We współczesnej notacji szukany bok kwadratu x= ( ) + 0;35 = 0;30. Jest 2 2 to rozwiązanie równania x 2 + 2/3 x = 0;35. Zastosowano prawdopodobnie algorytm rozwiązania za pomocą równowaŝnych przekształceniach pól prostokątów i kwadratów: pole 0;35 szukanego prostokąta jest iloczynem (x+2/3)x =0;35, 2/3 = 40/60=0;40. x 2 = x 2 x*0;2 0;35= = _ {(0;20) 2 + 0;35} - (0;20) 2 x*0;40 x*0;20 (0;20) 2 x + 0;20 Z rysunku widać, Ŝe (x + 0;20) 2 = (0;20) 2 + 0;35, a więc 0;40 x + 0;20 = ( ) 2 + 0; 35. 2

36 Algorytmiczny charakter arytmetyki babilońskiej - podsumowanie 1. Opracowano algorytm dodawania liczb w systemie sześćdziesiątkowym. 2.Tworzenie tablic mnoŝenia liczb {1, 2, 3,..., 19, 20, 30, 40, 50} przez wybraną liczbę główną p. Liczby te zestawiono parami z wynikami mnoŝenia, otrzymując tablicę mnoŝenia. Dysponowano tablicami dla p równego niektórym liczbom z pośród {1, 2, 3,..., 59}. Znane są tablice dla tak duŝego p, jak liczba 44,26,40 zapisana w układzie sześćdziesiątkowym,, ale nie znaleziono tablicy dla p=17. Przypuszcza się, Ŝe dobór liczb p był dokonywany ze standardowej tablicy odwrotności liczb. Konstrukcja tablicy mnoŝenia umoŝliwiała pamiętanie mniejszej ilości danych w celu wykonywania mnoŝenia innych liczb z uŝyciem dodawania, np.. 47p = 40p + 7p. 3. Budując tabele mnoŝenia, zgodnie z algorytmem wyŝej opisanym, natrafiano na iloczyny dające potęgi liczby 60 i zestawiano te iloczyny w standardową tabelę odwrotności liczb. 4. Standardowe tabele mnoŝenia i odwrotności pozwalały zamieniać ułamki zwykle na zapis sześćdziesiątkowy,, wykonywać dzielenie oraz odczytywać i szacować wartości pierwiastków kwadratowych. 5. W zadaniach geometrycznych stosowano metodę podobieństwa i analogii.

37 Wiedza matematyczna w staroŝytnym Egipcie

38 Kształtowanie się gospodarczego systemu iteracyjnego w staroŝytnym Egipcie

39 Kształtowanie się gospodarczego systemu iteracyjnego w staroŝytnym Egipcie Gra palców i gra słów słuŝąca zliczaniu i mierzeniu, według ilustracji z czasów Starego Państwa Egipskiego (XXVII - XXIII w. p.n.e.).

40 Zliczanie na palcach w staroŝytnym Egipcie

41

42

43 Algorytmiczny charakter egipskiej wiedzy matematycznej Porównując wiedzę matematyczną w Babilonii z wiedzą matematyczną dokumentowaną w staroŝytnym Egipcie takŝe moŝna zauwaŝyć jej algorytmiczny charakter, chociaŝ, jak się wydaje, wiedza amtematyczna jest bardziej prymitywna. Egipcjanie nie posunęli się poza arytmetykę wykorzystującą krotności i części ułamkowe znane z działań gospodarczych. Posługiwali się takŝe algorytmami rachunków znajdujących niewiadome opisywane współcześnie przez proste równania pierwszego i drugiego stopnia. Częściej niŝ w Babilonii posługiwali się dość dobrymi w praktyce przybliŝeniami obliczeń pola okręgu i objętości ostrosłupa, a takŝe metodą przybliŝonego rozwiązywania równań. PrzybliŜone obliczenie zaczynano od wprowadzenia dowolnej liczby jako wyniku (w średniowieczu tę metodę nazywano metodą fałszywego połoŝenia), po czym poprawiano ten wynik tyle razy aby spełnione były jak najlepiej warunki zadania. Np.. dla równania x + 1/4x = 15 pisali: licz z 4; od nich masz wziąć jedną czwartą, jest 1; razem 5; podziel 15 przez 5, jest 3, pomnóŝ przez 4, krotność od której liczysz; szukany wynik jest 12. Współczesne uzasadnienie moŝe być takie: x1=4, x1 + 1/4x1 = 4+1=5. Dzieląc (x + 1/x) : (x1 + 1/4x1) otrzymujemy x:x1=x:4 lub 15:5=3, a więc x=4*3=12.

44

45 Zastosowania egipskiej wiedzy matematycznej Matematyczna wiedza egipskiego pisarza pozawalała mu dokonywać obliczeń potrzebnych, do poboru podatków, rozdziału majątku, wymiany i rozdziału produktów (w dawnym Egipcie pieniędzy nie było), mierzenia pól i objętości tam i zbiorników zboŝa, zamiany miar wagi na inne jednostki itd.. W egipskich tekstach uwaga koncentrowała się przede wszystkim nie na metodach rozwiązywania zadań, lecz na samej technice obliczeń. W słynnym zbiorze zadań papirusie Rhinda zadania nie są sklasyfikowane według metod (np( np. Zadania na proporcje, równania liniowe itp.), lecz według praktycznych tematów (np.. na wypiek chleba, objętość zbiorników zboŝa, objętość naczyń). Dla celów ćwiczebnych układano zadania o treści rozrywkowej, nie mające bezpośredniego zastosowania w praktyce. Do najciekawszy takich zadań (mających róŝne odmiany) było zadanie na postęp geometryczny drabina siedem : drabina dom 7 kot mysz jęczmień miara razem W zadaniu jest mowa najpierw o 7 kotach w kaŝdym z 7domów;kaŜdy kot zjadł po 7 myszy, z których kaŝda zjadła po 7 kłosów jęczmienia; kaŝdy z kłosów mógł dać 7 miar ziarna. Sumę domów, kotów, kłosów i miar ziarna oblicza mnoŝenie 2801*7 = 2801 * (1+2+4).

46 Schemat obliczeń w rozwiązaniu zadania drabina siedem

47 Rachunki w cieniu piramid - dodawanie

48 Rachunki w cieniu piramid - mnoŝenie 1464 = razy 10 da =

49 Egipska wiedza matematyczna - algorytm mnoŝenia Algorytm mnoŝenie krotności W staroŝytnym Egipcie dowolną krotność rozpisywano na sumę wyrazów ciągu 1,2 2 2, 2 3,..., 2 n,... Udowodnij, Ŝe dowolną liczbę naturalna moŝna tak zapisać. Czy ten rozkład nie prowadzi współcześnie do binarnego zapisu liczby? Niech liczba k = 2 i1 + 2 i ij, a i1<i2<...<ij, oraz dla liczby n dysponujemy tablicą 1 1*n 2 2*n... 2 i1 2 i1 *n... 2 i2 2 i2 *n... 2 ij 2 ij *n kolejnego mnoŝenia przez 2 liczb otrzymanych z pierwszego mnoŝenia liczby n. MnoŜenie przez 2 liczby a Egipcjanie sprowadzali do sumy a+a. Liczbę 2 ij znajdowano jako taką, Ŝe 2 ij k <2* 2 ij. Odejmując od k potęgę 2 ij uzyskano liczbę dla której w te sam sposób znajdowano potęgę 2 o mniejszym wykładniku. Rozumowanie to powtarzano aŝ do uzyskania wszystkich potęg 2, z których składała się liczba k. Po sporządzeniu powyŝszej tablicy sumowano odfajkowane wyniki mnoŝeń przez 2, uzyskując w ten sposób iloczyn k*n.