tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1 t t - roczne wydatki na obuwie mierzone w zł na osobę - roczny dochód netto w tys. zł na osobę. Tabela 1. Dane Lp. X t Y t 1 3 4 5 6 7 8 6 8 1 1 14 16 18 7 95 11 15 145 17 195 1 1. Zinterpretuj uzyskane oceny parametrów oraz dokonaj oceny merytorycznej.. Wyznacz i zinterpretuj średni błąd równania. 3. Wyznacz i zinterpretuj błędy średnie ocen parametrów 4. Wyznacz i zinterpretuj R 5. Wyznacz wektor reszt 6. Zweryfikuj hipotezy dotyczące istotności parametrów; 7. Zweryfikuj hipotezy dotyczące autokorelacji składnika losowego; 8. Oceń model na podstawie uzyskanych wyników Rozwiązanie Zakłądamy, że założenia oraz waunki stosowalności MNK są spełnione. Aby oszacować parametry modelu, budujemy macierz obserwacji zmiennej objaśniającej (X) oraz zmiennej objaśnianej (Y): - 1 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl 6 1 8 1 1 X =[1 1 1 Y 1 14 1 16 1 18 1 ] =[ 7 95 11 15 145 17 195 1] jedynki w pierwszej kolumnie macierzy X oznaczają specjalną, pomocniczą zmienną rózną tożsamościowo jedności, przy której oszacowany parametr będzie w istocie wyrazem wolnym modelu. Wektor parametrów modelu obliczamy ze wzoru: Obliczamy poszczególne macierze: a= X T X 1 X T Y 6 8 1 1 14 16 18 ] [1 6 1 8 X T X =[ 1 1 1 1 1 1 1 1 X T Y =[ 1 1 1 1 1 1 1 1 6 8 1 1 14 16 18 ] [ 1 1 1 1 1 14 1 16 1 18 1 ]=[ 8 14 14 15] 7 95 11 15 145 164] [ 11 17 195 1]= Aby zastosować wzór na obliczenia parametrów strukturalnych, należy obliczyć macierz odwrotną - -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl do macierzy X T X. W przypadku macierzy stosujemy uproszczony schemat obliczeń. Obliczamy wyznacznik macierzy: det X T X = 8 14 14 15 =8 15 14 =1344 Macierz odwrotną wyznaczamy wg schematu: [ 1 a b = c d] 1 det [ d b c a ] X T X 1 = 1 1344 [ 15 14 14 8 ] X T X =[ 1 1,131,7738,7738,595 ] Wektor ocen parametrów strukturalnych: a= 1 1344 [ 15 14 Zatem a =1 a 1 =1 14 8 ] [ 11 Wyestymowana postać modelu jest następująca: ad. 1 164] = 1 1344 [ 1344] a= 1] [1 y t =1 1 X t Uzyskane oceny parametrów posiadają następującą interpretację: a 1 =1 - zwiększenie się rocznego dochodu netto o 1 tys. zł na osobę powoduje wzrost rocznych wydatków na obuwie (na osobę) średnio o 1 zł a =1 - wartości wyrazu wolnego zazwyczaj nie interpretuje się w tym przypadku można powiedzieć, że gdyby roczny dochód na osobe wynosił zł, to roczne wydatki na obuwie (na osobę) wyniosłyby 1 zł tylko, że jest to abstrakcyjna interpretacja, gdyż skąd przy zerowych dochodach wziętoby 1 zł na buty. Aby wyliczyć reszty równania, oraz błąd równania, wyznaczam wartości teoretyczne zmiennej - 3 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl objaśniającej w oparciu o wyliczone równanie regresji. Najlepiej zrobić to korzystając z formuły macierzowej: Y = X a 7 9 11 13 15 17 19 1] ad. =[ 6 1 8 1 1 Y =[1 1 1 1 14 [ 1] 1 16 1 18 1 ] Średni błąd równania (odchylenie standardowe reszt) wyznaczamy ze wzoru: gdzie e t = y t y t - reszty modelu. n liczba obserwacji k liczba szacowanych parametrów S e = 1 n n k e t t=1 W celu wykonania dalszych obliczeń (współczynnika determinacji, statystyki testowej Jarque-Bera) obliczenia przeprowadzone zostaną w tabeli: y t y t e t e t 7 95 11 15 145 17 195 1 7 95 11 15 145 17 195 1 5-5 -5 5 5 5 5 5 Tabela Obliczenia pomocnicze na resztach e t 3 15-15 -15 15 e t 4 e t e t 1 e t e t 1 y t y y t y 65 65 65 65 5-5 -5 5 5-5 5 5 5 5 5 5-7 -45-3 -15 5 3 55 7 49 5 9 5 5 9 35 49 Σ 11 1 5 15 169-4 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Suma reszt wynosi zero oznacza to, że model spełnia założenia MNK. Średni błąd równania (odchylenie standardowe reszt): S e= 1 8 = 1 6 S e =4,85 Obliczona wartość oznacza, że szacując roczne wydatki na obuwie na osobę na podstawie niniejszego modelu myslimy się w okresie próby średnio o 4,85 zł. ad 3. Aby obliczyć srednie błędy ocen parametrów, obliczamy macierz wariancji-kowariancji MNKestymatora: D a =S e X T X 1 S e = 1 6 D a = 1 6 1 1344 [ 15 14 14 8 ] D a =[ 1884,9 18,968 18,968 9,96 ] Średnie błędy ocen parametrów obliczamy jako pierwiastki z diagonalnych elementów powyższej macierzy: S a i = c ii w naszym przypadku: S a = 1884,9=43,416 S a 1 = 9,96=3,1497 powyższe wartości informują nas o ile rzeczywiste wartości poarametrów modelu średnio różnią się od wyestymowanych. ad 4. Mając wyznaczone reszty, można obliczyć wartość współczynnika determinacji. Można wyznaczyć go np. ze wzoru: - 5 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl R =1 n t=1 n e t t=1 y t y y= 11 =14 8 R =1 1 169 R =,9948 wartość ta oznacza, że zmiany rocznych wydatków na obuwie (na osobę) w 99,41% zostały wyjaśnione przez powyższy model (w 99,41% zależą od rocznych dochodów). ad 5. Wektor reszt odczytujemy z tabeli : 5 5 5 e=[ ] 5 ad 6. Hipotezy o istotności parametrów weryfikujemy w oparciu o statystykę testową: a i t i = S a i Hipotezą zerową jest hipoteza zakłądająca nieistotność parametru: H : a i = któa weryfikujemy przeciwko hipotezie alternatywnej: H 1 :a i odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść alternatywnej świadczy o istotności i-tego parametru. Dla parametru a : - 6 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl t = 1 43,416 t =,33 Dla parametru a 1 : t 1 = 1 3,1497 t 1 =31,749 Obliczone wartości statystyki testowej porównujemy z wartością krytyczną rozkładu Studenta o n k stopniach swobody dla przyjętego poziomu istotności. Zazwyczaj przyjmujemy poziom istotności a=,5. Wartość krytyczna rozkładu Studenta o 6 stopniach swobody dla a=,5 wynosi: t =,4469 Jak widać: t t na poziomie istotności,5 brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Wyraz wolny nie jest istotny statystycznie. t 1 t na poziomieistotności,5 odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej. Parametr stojący przy zmiennej X jest statystycznie istotny. Zamiast takiej weryfikacji jak powyżej, można za pomocą dowolnego programu statystycznego (np. MS Excell) wyznaczyć minimalny poziom istotności (wartość p), dl aktórego następuje odrzucenei hipotezy zerowej. Wartości te (wyznaczone w Excelu za pomocą funkcji ROZKŁAD.T) wynoszą: p t =,68 p t 1 =6,49 1 8 wartości p mniejsze od,5 zazwyczaj prtzyjmuje się jako potwierdzające istotność parametrów. ad 7. Do weryfikacji hipotezy o autokorelacji składnika losowego wykorzystujemy zazwyczaj statystykę testową Durbina-Watsona: - 7 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl d= n i= e t e t 1 n e t t =1 Wartość tę (bądź wartość 4 d w przypadku, gdy d > ) porównujemy z wartością krytyczną statystyki Durbina Watsona odczytaną z tablic. Test Durbina Watsona stosujemy wówczas, gdy reszty mają rozkłąd normalny. W pierwszej kojelności testuje się więc normalność reszt obliczając statystykę testową Jarque-Bera: gdzie: B 1 = A A= M 3 s 3 M 3 = 1 n n 3 e t t=1 JB=n 1 6 B 1 1 4 B 3 - kwadrat współczynnika asymetrii reszt, przy czym: - trzeci moment centralny wzór uproszczony z uwagi na zerowanie się sumy reszt moment centralny tożsamy jest z momentem zwykłym. s= 1 n n e i - obciążony estymator odchylenia standardowego reszt (pierwiastek z drugiego t =1 momentu centralnego reszt) B = M 4 s 4 - kurtoza reszt. Przy czym: M 4 = 1 n n 4 e t t=1 - czwarty moment centralny s= 1 = 15=35,355 8 B 1 = A = M 3 s 6 M 3 = (bo suma sześcianów reszt jest równa zero), stąd: B 1 = - 8 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl B = M 4 s 4 M 4 = 5 =315 8 B = 315 15 = JB=8 3 4 JB= 1 3 =,3333 Hipotezą zerową jest hipoteza zakładająca normalność reszt, zas alternatywną hipoteza zakładająca, że reszty nie mają rozkładu normalnego. W tym wypadku pozytywnym wynikiem testu jest nie odrzucenie hipotezy zerowej. Wartość krytyczną porównujemy z wartością krytyczną rozkładu o stopniach swobody, dla przyjętego poziomu istotności najczęściej,5. Wartość ta wynosi w tym przypadku: ponieważ: =5,991 JB zatem brak jhest podstaw do odrzucenia hipoetzy zerowej. Reszty mają rozkłąd normalny. Wyznaczam wartość statystyki testowej Durbina-Watsona (obliczenia w tabeli ): d= 15 1 d =1,5 W tablicach Durbina-Watsona dla danej ilości obserwacji (n = 8) oraz ilości zmiennych objaśniających (k = 1) odczytujemy dwie wartości krytyczne: ponieważ: d L =,763 d U =1,33 d d U zatem stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji reszt. Reszty nie wykazują autokorelacji. - 9 -
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl ad. 8 Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych świadczy o tym bardzo wysoka wartość współczynnika determinacji. Wartość parametru przy zmiennej objaśniającej jest istotna. Wyraz wolny nie przeszedł wprawdzie testu istotności, lecz akurat istotność wyrazu wolnego nie jest bardzo ważnym kryterium. Reszty nie wykazują autokorelacji, zatem uzyskane estymatory MNK są zgodne, nieobciążone i efektywne. - 1 -