Narzędzia obliczeniowe inżyniera MathCAD cz.1 Opracował: Zbigniew Rudnicki 1 Spis treści wykładu: 1) Narzędzia obliczeniowe inżyniera 2) Mathcad - cechy, struktura dokumentu, kursory,.. 3) Tworzenie regionów tekstowych, polskie litery,.. 4) Liczby, zmienne, wyrażenia i ich wprowadzanie 5) Wstawianie funkcji standardowych i ich opisy 6) Typy regionów matematycznych 7) Wyświetlanie wartości wyrażeń 8) Definicje zmiennych lokalnych i globalnych 9) Wstawianie jednostek miar i ich zmiana w wynikach 10) Zmienne zakresowe i ich dwie role 11) Zmienne indeksowane, wektory, macierze 12) Tworzenie wykresu XY 2 1
Komputerowe narzędzia obliczeniowe Dla obliczeń niezbędnych przy projektowaniu, inżynier może: A) zakupić wąsko wyspecjalizowane programy opracowane specjalnie dla danej tematyki, np.: program do obliczeń wałów, lub B) samodzielnie opracować aplikacje (programy) obliczeniowe przy użyciu jednego lub kilku wybranych narzędzi, którymi są: arkusze kalkulacyjne - jak Excel, Calc lub inne uniwersalne programy matematyczne - jak na przykład Mathcad języki programowania (np.: Basic, Fortran, Pascal, MATLAB, C, C++, i in.) 3 Wymagane oraz pożądane cechy aplikacji obliczeniowych 1) Ułatwienia we wprowadzaniu danych (np. wybór z listy) 2) Kontrola ich poprawności (np.: przez podanie dopuszczalnych zakresów wartości 3) Różne sposoby prezentowania wyników (tabele, wykresy,...) 4) Możliwości wczytywania danych z plików i różnych urządzeń wejściowych oraz zapisywania wyników do plików 5) Zapobieganie omyłkom w jednostkach miar oraz dokonywanie ich konwersji 6) Prezentowanie (bezpośrednie lub na żądanie) informacji dotyczących: tematyki i zakresu obliczeń znaczenia poszczególnych zmiennych dopuszczalnych zakresów zmiennych metod lub wzorów obliczeniowych dokładności obliczeń wersji, daty opracowania i autorów (instytucja, nazwiska) 4 2
Wyrażenia w aplikacjach obliczeniowych W każdym z narzędzi obliczeniowych występują wyrażenia składane z takich elementów jak: Stałe (literały) oraz zmienne różnych typów: np.:liczby i zmienne liczbowe teksty i zmienne tekstowe, daty i zmienne typu data ciągi liczb i zmienne wektorowe, tablice liczb i zmienne tablicowe Operatory działań arytmetycznych: +, -, *, /,... relacji: >, <,... i operacji logicznych: NIE, I, LUB, Nawiasy Funkcje Procedury obliczeniowe Budując model matematyczny trzeba przede wszystkim zdefiniować zmienne. 5 ZMIENNA: Zmienne a) w modelu matematycznym - zmienna to symboliczna reprezentacja cechy badanego obiektu, procesu lub samego modelu. b) w programach obliczeniowych - zmienna jest pojemnikiem (dokładniej: obszarem pamięci operacyjnej) służącym do przechowywania wartości określonego typu. Każda zmienna musi mieć ściśle określoną rolę oraz: Typ zdefiniowany przez: - rodzaj wartości (liczbowe, tekstowe, logiczne), - strukturę (skalar, wektor, tablica, lista, drzewo, sieć), - dopuszczalny zakres wartości Nazwę czyli identyfikator (a w arkuszach kalkulacyjnych: ADRES) Wartość, która w każdym momencie może być inna (lub zbiór wartości jeśli jest zmienną złożoną) 6 3
Zmienne c.d. Dodatkowo, zmienna w programie komputerowym: oprócz nazwy posiada adres lokalizujący ją w pamięci, a także charakteryzuje ją: określony czas życia: zmienne statyczne istnieją tak długo jak działa program, zmienne dynamiczne mogą być tworzone i usuwane w trakcie działania programu; zakres widoczności (dostępności): zmienne lokalne są widoczne tylko w konkretnym podprogramie, zmienne globalne są widoczne w całym programie (we wszystkich podprogramach z jakich składa się program). 7 Zmienne a struktury danych Oprócz zmiennych prostych - skalarnych stosuje się zmienne złożone - odpowiadające różnym strukturom danych - a mianowicie: wektory (tablice jednowymiarowe), tablice wielowymiarowe (macierze i in.), rekordy (zestawy pól różnych typów), listy jedno i dwukierunkowe stosy kolejki drzewa sieci... 8 4
Niektóre komercyjne pakiety oprogramowania matematycznego MAPLE stworzony w 1981 roku przez Symbolic Computation Group na Uniwersytecie Waterloo w Kanadzie, a od 1988 rozwijany i sprzedawany przez Waterloo Maple Inc. znane również jako Maplesoft. MATHEMATICA - opracowany w 1989 przez Stephena Wolframa i rozwijany w firmie Wolfram Research, MATHCAD od r. 1986 firmie Mathsoft, obecnie w firmie PTC MATLAB - rozwijany od roku 1985 w firmie MathWorks Inc. STATISTICA - zintegrowany pakiet oprogramowania statystycznego i analitycznego - od r. 1991 - firma StatSoft. 9 MATHCAD Uniwersalny program do obliczeń matematycznych Nie wymaga stosowania języka programowania Pozwala tworzyć dokumenty w formie publikacji zawierające: dowolne teksty wzory matematyczne (z wszelkimi symbolami) wykresy a także m. in.: po zmianie danych - automatycznie oblicza nowe wyniki umożliwia używanie i przeliczanie fizycznych jednostek miar kontroluje zgodność jednostek miar przy dodawaniu i odejmowaniu: np można dodać: 3.5m + 54cm ale nie: 2cm + 5 sec 10 5
MATHCAD W laboratorium WIMiR (B-2 p. 218) zainstalowany jest Mathcad 14 Aktualnie (r.2014) w sprzedaży jest wersja: Mathcad Prime 3.0 Do pobrania z PTC jest też darmowa wersja testowa, która jest w pełni funkcjonalna przez 30 dni. Po 30 dniach od aktywacji wersja testowa zamieni się w Mathcad Express Prime, o ograniczonej funkcjonalności, którego można używać bez ograniczeń czasowych. Całkowicie darmowy jest nieco podobny do Mathcad a program SMath Studio 11 MATHCAD - niektóre możliwości W zakresie matematyki można m.in.: prowadzić obliczenia z udziałem zmiennych, funkcji i ciągów arytmetycznych i uzyskiwać wyniki w formie tabel i wykresów znajdować pierwiastki wielomianów rozwiązywać układy równań i nierówności nieliniowych prowadzić działania na wektorach, macierzach, wyznaczać sumy i iloczyny ciągów oraz całki i pochodne, rozwiązywać równania różniczkowe i ich układy, wyznaczać regresje, korelacje i różne parametry statystyczne generować liczby przypadkowe według róznych rozkładów automatyczne przekształcać wzory (wykonywać obliczenia symboliczne) jak: wyciaganie przed nawias, rozkład na czynniki, wyznaczanie wzorów całek nieoznaczonych i pochodnych 12 6
Dokument Mathcad a zawiera: 1) regiony tekstowe, 2) regiony matematyczne 3) wykresy 13 Paski narzędzi i palety symboli matematycznych 14 7
Nazwy palet symboli matematycznych Calculator działania takie jak na kalkulatorze Evaluation m.in. symbole przypisywania zmiennym wartości (podstawiania) oraz rozkazy wyświetlenia obliczonej wartości Graph wstawianie różnego rodzaju wykresów Matrix operacje wektorowe i macierzowe Boolean relacje i operacje logiczne Calculus analiza matematyczna (całki, pochodne, sumy, iloczyny, granice) Greek greckie litery Symbolic przekształcenia symboliczne (działania na wzorach a nie liczbach) Programming programowanie 15 Symbole można także wpisywać z klawiatury poniżej podano klawisze, symbole i ich znaczenie: 16 8
Kolejne symbole używane w wyrażeniach oraz klawisze do ich wstawiania Zamiast klawiszami można oczywiście wybierać te symbole myszką z palet 17 Kursory Najważniejsze kursory to: czerwony krzyżyk (cross-hair) - pokazuje punkt wstawiania nowego regionu (lub usuwania pustych linii), istnieje zawsze w dokumencie i nie służy do poprawiania istniejącego regionu niebieska pionowa kreska lub pół-ramka - to kursor edycyjny, pojawia się po kliknięciu danego regionu i służy do wpisywania, poprawiania, dopisywania, formatowania itp. Uwaga: Aby poprawiać istniejący region trzeba kliknąć tak aby otrzymać kursor niebieski bo wpisywanie w miejscu czerwonego krzyżyka nie zmodyfikuje istniejącego regionu tylko utworzy nowy! 18 9
Zaznaczanie, przemieszczanie, wymazywanie regionów W Mathcadzie 6: kliknięcie - zaznacza region do edycji (modyfikacji) jego zawartości. Pojawi się niebieski kursor (lub pół-ramka) klawisze SPACJA oraz STRZAŁKI w górę i w dół powiększają lub zmniejszają obszar zaznaczony niebieską pół-ramką. zakreślenie z zewnątrz jednego lub kilku regionów przerywanym prostokątem - zaznacza je do przemieszczania, kopiowania, wymazywania,... Aby to zrobić wciśnij lewy przycisk gdy myszka wskazuje pusty obszar dokumentu i trzymając wciśnięty zakreśl regiony: W Mathcadzie 2001 oba te sposoby mogą być stosowane z jednakowym skutkiem to znaczy nie ma dwu typów zaznaczeń tylko jeden. 19 Regiony tekstowe Dokument Mathcad'a powinien zawierać niezbędne dla jego czytelności teksty a przynajmniej nagłówki i objaśnienia. Regiony tekstowe należy wstawiać klawiszem cudzysłowu ["]. Cudzysłów nie pojawi się na ekranie lecz utworzy się region (ramka) do wpisywania tekstu. UWAGA: Jeśli tekstu nie rozpoczniemy od naciśnięcia cudzysłowu to zostanie potraktowany jako region matematyczny (każdy wyraz traktowany będzie jako osobna nazwa zmiennej). W wersji 6 prawidłowo wprowadzone teksty są w kolorze niebieskim a wzory matematyczne w kolorze czarnym. Zrezygnowano z tego w wersji 2001. Uwaga: Naciskanie klawisza ENTER pozwala pisać dalsze linie tekstu a NIE kończy regionu tekstowego, dlatego aby zakończyć pisanie tekstu należy kliknięciem na zewnątrz regionu. 20 10
Polskie litery: Gdy w Windows jest ustawiony język polski (PL) i "klawiaturę programisty" to wpisujemy polskie litery tak jak w edytorach tekstowych czyli: z trzymaniem wciśniętego klawisza [prawy ALT]. Otrzymanie poprawnego widoku tych liter na ekranie i wydruku bywa nieco kłopotliwe. Można w tym celu przed pisaniem spróbować ustawić jako domyślną czcionkę dla Centralnej Europy (CE) np. Times New Roman CE lub Arial CE. W wersji 6 z menu: Text - Change Defaults Font. Jeśli to się nie uda to: - po napisaniu trzeba tekst zaznaczyć ("zamalować") i wybrać czcionkę z polskimi literami (CE). 21 Regiony matematyczne 22 11
Podstawowy element regionów matematycznych stanowią wyrażenia, które mogą zawierać: liczby zmienne różnych typów nawiasy tylko okrągłe funkcje symbole matematyczne wstawiane z palet lub przy pomocy klawiszy Przykład: ( ) 3 Ψ a := 4.23 2 α x 2 α acot x x α x + 1 23 Liczby dziesiętne Mathcad próbuje interpretować jako liczby wszystko to co zaczyna się od cyfry. Przy pisaniu ułamków dziesiętnych należy stosować kropkę pozycyjną a nie przecinek. Nie stosuje się tzw. notacji naukowej (z literą E) bo zamiast tego można pisać odpowiednią potęgę dziesięciu (np 2.5*10^5). Oprócz kropki dziesiętnej nie może być w zapisie liczby żadnych innych kropek, przecinków, spacji ani liter. 24 12
Liczby zespolone Część urojona liczby zespolonej musi mieć na końcu literę i albo j (bez odstępu) na przykład: 1i, -3.56j, 5+12.8i Nie można napisać samej litery i lub j bo byłaby potraktowana jako tekst dlatego musi być 1i zamiast i. 25 Nazwy zmiennych Nazwy zmiennych mogą być wieloliterowe, Nazwy mogą zawierać tylko duże i małe litery alfabetu angielskiego oraz cyfry i podkreślnik (shift minus) ale muszą zaczynać się od litery. Mathcad rozróżnia duże i małe litery! A więc nie dziwmy się kiedy podstawimy "SILA:=5" że zmienne "sila" oraz "Sila" są nieokreślone. Wszystkie znaki w nazwie zmiennej muszą mieć ten sam format (m.in. rodzaj i wielkość czcionki). Mathcad 2001 rozróżnia zmienne napisane różnymi czcionkami Nazwy zmiennych muszą być różne od nazw funkcji oraz nazw stałych Mathcad'a i nazw jednostek miar. Lepiej używać nazw wieloliterowych na przykład "masa1", "masa2" lub nazw z numerkami m1, m2 i.tp. a nie "m" bo to oznaczenie metra Nazwy zmiennych skalarnych (t.zn. nie wektorowych i nie indeksowanych) mogą mieć u dołu oznaczenie przy wpisywaniu poprzedzane kropką (np.: H.max da na ekranie H max ). Takie dolne oznaczenie nie jest indeksem przyjmującym wartości liczbowe i jeśli miałoby się nam mylić z indeksami to lepiej go nie stosować (np.: napisać Hmax). 26 13
Stałe i zmienne wbudowane 27 Wpisywanie wyrażeń matematycznych W wyrażeniach można używać nawiasów ale tylko okrągłych. Mathcad dopasuje na ekranie ich wielkość i kształt do danego wyrażenia. Można uniknąć pisania nawiasów przez odpowiednie poszerzenie - klawiszem SPACJA - obszaru zaznaczonego niebieską pół-ramką czyli kursorem edycji. Przykład: Chcemy napisać możemy to zrobić albo z użyciem nawiasów: ((x+y)/p)+q albo powiększając w odpowiednich miejscach obszar zaznaczony niebieskimi liniami edycji: 28 14
Składnia wyrażeń matematycznych c.d. Mimo podobieństwa do swobodnego zapisu matematycznego w Mathcadzie obowiązują pewne reguły (języka formalnego) zapewniające jednoznaczność zapisu a odbiegające od "niechlujnych" przyzwyczajeń matematyków, a mianowicie: nie wolno pomijać znaku mnożenia argumenty funkcji muszą być w nawiasach np.: sin(x) a nie sinx wykładnik potęgi nie może być pisany przy nazwie funkcji posiadającej argumenty np.: nie wolno pisać sin 2 (x) a należy pisać: sin(x) 2 lub (sin(x)) 2 29 Wstawianie funkcji z wykazu wywołanego przyciskiem f(x) lub z menu Insert Function. W oknie pojawi się objaśnienie. 30 15
Ważniejsze kategorie funkcji Mathcad a (z HELP u) Podstawowe matematyczne Trygonometryczne Wykładnicze i logarytmiczne Zaokrąglania Wyszukiwania Statystyczne Operowania na tekstach Wektorowe i macierzowe Przekształceń symbolicznych Bessel'a Zmiennej zespolonej Warunkowe Transformacji współrzędnych Dopasowania krzywych Analizy danych Impulsowe Transformacji dyskretnych Rozkładów prawdopodobieństwa Rozwiązywania równań algebraicznych Rozwiązywania równań różniczkowych Dostępu do plików dyskowych Finansowe Optymalizacji Histogramy Hiperboliczne Interpolacji Operowania na obrazach 31 Nazwa funkcji? czy nazwa zmiennej? Po nazwie funkcji zawsze występują nawiasy okrągłe a w nich: argumenty funkcji Liczba i kolejność (oraz znaczenie) argumentów są takie jak w opisie (funkcji wbudowanej) lub jak w definicji funkcji (zdefiniowanej przez użytkownika) Przykład: moja_funkcja(x,y):= 3*sin(2*x)+log(4*y) 32 16
Typy regionów matematycznych Aby Mathcad mógł realizować obliczenia musi rozpoznawać polecenia jakie mu wydajemy. Dlatego musimy wpisywać tylko dopuszczalne typy regionów matematycznych przedstawione poniżej, a ich budowa mysi być zgodna z regułami Mathcad a 33 Zmienne liczbowe w Mathcadzie Terminologia dotycząca zmiennych rozróżnia w Mathcadzie: zmienne skalarne - przechowujące pojedynczą liczby, zmienne zakresowe - przechowujące postępy arytmetyczne, zmienne indeksowane - elementy wektorów lub macierzy, zmienne macierzowe - przechowujące całą macierz lub wektor Każda z tych zmiennych może być zmienną - lokalną jeśli wartość przypisujemy do niej znakiem := albo zmienną globalną jeśli wartość przypisujemy do niej znakiem Zmienne globalne można wykorzystywać w dowolnym miejscu dokumentu a zmienne lokalne tylko na prawo i poniżej miejsca zdefiniowania 34 17
Instrukcja wyświetl wartość Znak = umieszczony po nazwie zmiennej lub po wyrażeniu jest dla Mathcad a rozkazem wyświetl aktualną wartość Polecenie wyświetlania wartości ma więc postać: wyrażenie = Zmienne występujące po lewej stronie muszą mieć już nadane wartości. Na przykład gdy poprzednio wpisano: To po wpisaniu z= Mathcad wyświetli obliczoną wartość z 35 Instrukcja przypisania zmiennej wartości wyrażenia Lokalna definicja zmiennej skalarnej ma postać: zmienna := wyrażenie oblicza wartość wyrażenia i podstawia tą wartość do zmiennej, inaczej mówiąc nadaje zmiennej obliczoną wartość wyrażenia. W najprostszych przypadkach wyrażenie może być pojedynczą liczbą lub zmienną. Przykłady: 36 18
Kolejność lokalnych definicji zmiennych Lokalne definicje zmiennych skalarnych, o postaci: zmienna := wyrażenie Muszą być ustawione w odpowiedniej kolejności: najpierw nadanie wartości zmiennym stanowiącym dane, potem wykorzystywanie ich w wyrażeniach Mathcad nie zna wartości zmiennych których nie określono wcześniej czyli powyżej lub na lewo od tego miejsca i sygnalizuje błąd kolorem czerwonym. Na przykład: 37 Globalna definicja zmiennej zmienna wyrażenie Znak nadaje wartość zmiennej globalnej, która będzie dostępna w całym dokumencie Definicje globalne są wykonywane w pierwszym przebiegu to znaczy przed wszystkimi definicjami lokalnymi (zawierającymi :=) W drugim przebiegu wykonywane są wszystkie definicje zarówno lokalne jak i globalne. Globalne definicje używane bywają na przykład do definiowania nowych jednostek miar a także w przypadkach gdy dane chcemy umieścić nie na początku lecz na końcu dokumentu 38 19
Autor Zalecana postać dokumentu Nagłówek (czego dotyczą obliczenia) Dane: Objasnienia danych......... Obliczenia Wyniki pośrednie Wyniki końcowe Wykres 39 Stosowanie jednostek miar Wartości liczbowe danych mogą być mnożone przez symbole jednostek miar, które można wstawiać z wykazu. Czasem różnią się one od obowiązujących w systemie SI. Aby przeliczyć wynik na inne jednostki wystarczy wpisać nazwę nowej jednostki przy wyniku. 40 20
Definiowanie zmiennych zakresowych Zmienna zakresowa przechowuje ciąg wartości stanowiących postęp arytmetyczny (stała różnica między kolejnymi elementami) Definicja zm. zakresowej wpisywana z klawiatury ma składnię: Na ekranie zamiast dwukropka [:] pojawi się [:=] a zamiast średnika [;] pojawią się dwie kropki [..] Ten sam symbol [..] można wstawić z palety macierzowej gdzie oznaczony jest jako[m..n] a NIE wolno klawiszem kropki Jeśli pominiemy drugi element to domyślnie będzie przyjęty przyrost równy 1 41 Rola zmiennych zakresowych Zmienne zakresowe przechowują ciągi typu postęp arytmetyczny. Są to pomocnicze zmienne, stosowane tylko w dwu rolach: a) jako indeksy - w definicjach zmiennych indeksowanych, (gdy mają wartości całkowite, nieujemne) np.: i := 1.. 5 X i := 2 i - 1 b) jako argumenty funkcji - w definicjach funkcji oraz na wykresach: Xp:=2 Xk:=22 dx:=0.01 (Xk-Xp) x:=xp, Xp+dx.. Xk fu1(x) := 3 exp(2 x) sin(3 x) 42 21
Indeksy Indeks to: - numer elementu wektora albo - numer kolumny lub wiersza w macierzy Ciąg wartości indeksu definiujemy jako zmienną zakresową Minimalną wartość indeksu (domyślnie zero) określa zmienna ORIGIN, dlatego zadania z indeksami trzeba zaczynać od ustawienia wartości zmiennej ORIGIN: 43 Wektory i Macierze Nazwy wektorów i macierzy tworzone są według tych samych reguł co nazwy innych zmiennych (litery angielskie i cyfry, rozróżnianie są duże i małe litery) Wektory i macierze można definiować: 1) jako zmienne macierzowe (wpisując wartości do macierzy) 2) jako zmienne indeksowane (po ustaleniu ORIGIN :=1) a) wzorem zawierającym indeksy b) wpisując wartości oddzielane przecinkami 3) wczytywać z plików dyskowych 44 22
Definiowanie zmiennej macierzowej Po wpisaniu nazwy zmiennej i znaku przypisania, należy wstawić szablon macierzy z paska Matrix i wpisać wartości. Klawisz TAB przenosi do następnej komórki. 45 Zmienne indeksowane Zmienne indeksowane (posiadające indeks) np.: W i, M w,k - reprezentują: konkretny element wektora lub macierzy gdy indeksy mają konkretną wartość skalarną, lub dowolny element wektora czy macierzy (albo jego podzbioru) gdy indeksy są ciągami (zmiennymi zakresowymi) Definicje ciągów indeksów wraz z definicją zmiennej indeksowanej pozwalają zdefiniować wektor lub macierz poprzez jej element np.: 46 23
ORIGIN i zmienne wbudowane Zmienna ORIGIN określa minimalną wartość indeksu: zero lub jeden Wartości zmiennych wbudowanych (Buit-in) można zmieniać: 47 Zignorowanie zmiennej ORIGIN może powodować błędy Mathcad domyślnie numeruje elementy wektorów i macierzy od ZERA Aby numerował od 1 należy zmienić wartość zmiennej ORIGIN na 1 48 24
Definiowanie macierzy przy pomocy zmiennych indeksowanych a) Jeśli zapomniano o zmiennej ORIGIN to Mathcad domyślnie numeruje elementy OD ZERA bo ORIGIN = 0 (standardowo) b) Po zmianie wartości ORIGIN na 1 otrzymujemy inne wyniki: 49 Zmienna zakresowa jako argument funkcji (Przy sporządzaniu tabel wartości oraz wykresów) Przykład: 50 25
Wykresy typu XY Zanim wstawisz wykres (z palety), określ: Przedział (zakres) Xp, Xk - w którym chcesz otrzymać wykres f(x), Przyrost zmiennej niezależnej np.: Dx := 0.01 (Xk-Xp) Ciąg wartości zmiennej niezależnej: x := Xp, Xp+Dx.. Xk funkcję f(x) lub wpisz wyrażenie bezpośrednio przy osi wykresu. Poniżej masz oba sposoby Dla kilku wykresów: oddzielaj przecinkiem ich wzory przy osi y 51 Tworzenie wykresu X-Y Tworzenie dowolnego wykresu typu XY - dla danego wyrażenia lub funkcji - warto wykonywać według następujących kroków: Określić zakres np.: Xmin, Xmax - dla zmiennej niezależnej. Wyznaczyć przyrost zmiennej niezależnej np.: Dx, tak aby otrzymać zawsze 100 (lub 200) punktów wykresu, niezależnie od danych: Dx := (Xmax-Xmin)/100 Zdefiniować, na podstawie Xmin, Xmax, Dx, ciąg wartości zmiennej niezależnej X - jako zmiennej zakresowej: X=Xmin,Xmin+Dx.. Xmax Wstawić szablon wykresu (z palety wykresów Graph) i wpisać w środkowe znaczniki przy osiach odpowiednio : zmienną niezależną oraz funkcję lub wyrażenie. Jeśli konieczne jest poszerzenie lub zawężenie przedziałów na osiach to można (po kliknięciu wykresu) wpisać ich dolne i górne granice. Powiększyć wykres myszką Sformatować wykres, po podwójnym kliknięciu (Grid Lines, Axes style Crossed,...) Gdy ma być kilka wykresów w jednym układzie to przy każdej z osi można wpisać kilka wyrażeń oddzielanych przecinkami 52 26
Argumenty funkcji trygonometrycznych Jeśli nie podasz jednostek to Mathcad domyślnie przyjmie, że argumenty te są w RADIANACH. Przykład: oblicz sin 30 stopni 53 Wykres funkcji sinus Należy pamiętać o jednostkach kątów oraz o formatowaniu wykresów 54 27