Rola wybranych czynników w dynamice zależności pomiędzy rynkami akcji

Rola wybranych czynników w dynamice zależności pomiędzy rynkami akcji Anna Czapkiewicz Wydział Zarządzania Akademii Górniczo-Hutniczej im. St. Staszica w Krakowie. 18 listopada 2016

Plan seminarium 1. Cel pracy 2. Rynek finansowy i indeksy giełdowe 3. Modelowanie szeregów finansowych 4. Wielowymiarowe modele zależności dynamicznej 5. Estymacja modeli przełącznikowych 6. Autorska procedura porównania dwóch modeli 7. Badania empiryczne 8. Wnioski końcowe

Cel pracy W pracy postawiono następujące cele główne: Cele teoretyczne: Opracowanie algorytmu estymacji metodą największej wiarogodności parametrów modeli przełącznikowych sterowanych ukrytym procesem Markowa dla dwóch przypadków: gdy proces Markowa jest ze stałą macierzą przejścia gdy proces Markowa jest ze zmienną macierzą przejścia Opracowanie procedury statystycznej mającej na celu porównanie dwóch modeli posiadającymi szczególne własności, które nie spełniają klasycznych warunków regularności Cele praktyczne Zbadanie dynamiki zależności pomiędzy głównymi indeksami światowymi Zweryfikowanie roli wybranych czynników egzogenicznych na zmiany zależności pomiędzy rynkami.

Rynek finansowy w Polsce Ogólna struktura rynku finansowego z punktu widzenia rodzaju instrumentu finansowego (Dębski, 2014). Rysunek: Klasyfikacja rynków finansowych. W rozwiniętych gospodarkach rynkowych GPW jest podstawowym elementem rynku kapitałowego i odgrywa ważną rolę w gospodarce danego państwa (duży udział w PKB)

Indeks giełdowy Aby indeks dobrze reprezentował daną giełdę powinien (W. Dębski,2014): wskazywać zmiany zaistniałe na danej sesji giełdowej w kursach akcji tworzących indeks w porównaniu z rokiem bazowym, uwzględniać stosunkowo dużą ilość walorów, którą obraca sie na giełdzie, być uzależniony jedynie od zmian cen notowanych walorów, a nie od ich bezwzględnych poziomów.

Indeksy na GPW w Warszawie Najważniejsze indeksy to: Warszawski Index Giełdowy (WIG), Warszawski Indeks Giełdowy Dużych Spółek (WIG30), Warszawski Indeks Giełdowy Srednich Spólek (WIG 50) Warszawski Indeks Giełdowy Małych Spółek (WIG 250). W skład indeksu może wejść spółka giełdowa, której wartość i liczba akcji w wolnym obrocie spełnia pewne wymagania. Indeksy obliczane są według wzoru: Indeks(t) = M(t) Indeks(0)/M(0) K(t), Indeks(0) - wartość indeksu w dniu bazowym, M(t) - kapitalizacja portfela indeksu na sesji t, M(0) - kapitalizacja portfela indeksu w dniu bazowym; K(t) - współczynnik korygujący indeks na sesji w chwili t.

Charakterystyka szeregów finansowych Rysunek: Wahania dziennych stóp zwrotu wybranych indeksów giełdowych.

Modelowanie szeregów finansowych Dzienne stopy zwrotu można opisać modelem typu AR (1) GARCH (1, 1): gdzie r t = µ + ϕr t 1 + ε t, ε t = σ t ɛ t, σ 2 t = α 0 + α 1 ε 2 t 1 + β 1 σ 2 t 1 α 0 > 0, α 1 0, β 1 0. Jako warunkowy rozkład w modelu definiuje się jakiś rozkład skośny, który dobrze modeluje tzw. grube ogony. Do rozkładów tego typu zalicza się, między innymi, rozkład skośny t-studenta, rozkład GED czy pewne uogólnienie skośnego rozkładu t-studenta.

Dynamiczne modele zależności wielowymiarowej Wielowymiarowe modele typu GARCH Model przełącznikowy Copula GARCH sterowany ukrytym procesem Markowa gdy proces Markowa jest ze stałą macierzą przejścia gdy proces Markowa jest ze zmienną macierzą przejścia

Wielowymiarowe modele typu GARCH Wielowymiarowe modele typu GARCH: X t = µ + ε t, oraz E (ε t ) = 0, gdzie Zakładamy, że: ε t = H 1/2 t η t. E(η t ) = 0, E(η t η T t ) = I N oraz η t N(0, I N ). Jeśli R t 1 oznacza informacje o procesie do chwili t 1, to: E(ε t R t 1 ) = 0 oraz E(ε t ε T t R t 1 ) = H t. Standardowo zakłada się, że: ε t R t 1 N (0, H t ).

Wielowymiarowe modele typu GARCH model V EC powstaje przez naturalne uogólnienie jednowymiarowych procesów GARCH, czyli: vech(h t ) = c + q j=1 ( ) A j vech ε t j ε T t j p + B j vech (H t j ), j=1 w modelu CCC zakłada się dekompozycję na H t : H t = D t RD t, gdzie warunkowa macierz korelacji R jest stała W modelu DCC dla H t przyjmuje się: H t = D t R t D t, gdzie R t jest warunkową macierzą korelacji dla wektora ε t. Wady modeli: m.in. M.Caporin, M. McAleer (2013).

Funkcja kopuli k-wymiarową kopulą nazywamy funkcję C : I k I, spełniającą warunki: dla dowolnego u = (u 1, u 2,..., u k ) I k zachodzi własność: C (u 1, u 2,..., u i 1, 0, u i+1,..., u k ) = 0. dla dowolnego u = (u 1, u 2,..., u k ) I k zachodzi również: C (1, 1,..., 1, u i, 1,..., 1) = u i. dla dowolnych u, u + t I k zachodzi warunek sgn (c) = c vert(b) sgn (c) C (c) 0, { 1, gdy cj = u j, gdy j parzyste, 1, gdy c j = u j, gdy j nieparzyste. B = [u, u + t] = [u 1, u 1 + t 1 ] [u 2, u 2 + t 2 ] [u k, u k + t k ].

Twierdzenie Sklara(1959) Niech F będzie k-wymiarową dystrybuantą łączną oraz niech F 1, F 2,..., F k będą dystrybuantami rozkładów brzegowych. Wówczas istnieje kopula C taka, że dla dowolnego punktu zachodzi związek: x = (x 1, x 2,..., x k ) R k F (x) = C (F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F k (x k )). Jeśli F 1, F 2,..., F k są ciągłe, wówczas kopula C jest wyznaczona jednoznacznie.

Model Copula-GARCH Model Copula GARCH łączy w sobie dwa podejścia do modelowania: do opisu jednowymiarowych szeregów czasowych są wykorzystane modele typu AR GARCH i jego modyfikacje, wielowymiarowa zależność opisana jest poprzez odpowiednią funkcję kopuli.

Model przełącznikowy Copula-GARCH Niech funkcje f 1 (r), f 2 (r),..., f l (r) będą dowolnymi gęstościami prawdopodobieństwa zdefiniowanymi na zbiorze R. Rozważmy parę procesów stochastycznych (S t, R t ) t=1 proces S t jest łańcuchem Markowa o zbiorze stanów S = {1, 2,..., l}, proces R t jest ciągiem zmiennych losowych przyjmujących wartości ze zbioru R według: (R t S t = j) f j (r), obserwowalne są tylko realizacje procesu R t, natomiast realizacje procesu S t są nieobserwowalne. O S t będziemy mówić, że jest ukrytym procesem (łańcuchem) Markowa, rozkład R t jest opisywanym modelem Copula GARCH.

Model TVPMS Copula-GARCH Proces S t jest łańcuchem Markowa o zbiorze stanów S = {1, 2,..., l} Macierz przejścia P t jest zależna od opóźnionych zmiennych egzogenicznych: f 1,t 1,..., f K,t 1. Dla modelu przełącznikowego z dwoma stanami, macierz P t przyjmuje postać: P t = exp(x T t 1 β 1) 1+exp(x T t 1 β 1) 1 exp(xt t 1 β 2) 1+exp(x T t 1 β 2) gdzie x t = [1, f 1,t,..., f K,t ] 1 exp(xt t 1 β 1) 1+exp(x T t 1 β 1) exp(x T t 1 β 2) 1+exp(x T t 1 β 2)

Estymacja modeli przełącznikowych Filtrem Hamiltona nazywamy iteracyjnie stosowanie wzorów: 1. ˆξ t+1 t = P ˆξ t t, 2. ˆξ t+1 t+1 = ˆξ t+1 t η t+1 1 T (ˆξ t+1 t η t+1 ), Funkcja wiarogodności: l (θ) ma postać: l (θ) = T t=1 log f (r t R t 1 ), f (r t R t ) = 1 T (ˆξt t 1 η t ). gdzie f (r t S t = 1, R t 1 ; θ) η t =. f (r t S t = s, R t 1 ; θ), ˆξ t t 1 = P (S t = 1 R t 1 ; θ).. P (S t = s R t 1 ; θ)

Estymacja modeli przełącznikowych W przypadku, gdy macierz przejścia P t w ukrytym procesie Markowa jest dynamiczna, to zastosujemy następujący filtr Hamiltona: 1. ˆξ t+1 t = P tˆξt t, 2. ˆξ t+1 t+1 = ˆξ t+1 t η t+1 1 T (ˆξ t+1 t η t+1 ),

Estymacja modeli przełącznikowych Algorytm EM: Zdefiniujmy następujący operator: Niech l l l f (s) = f (s 1, s 2,..., s T ). S s 1 =1 s 2 =1 s T =1 Q (θ l+1 ; θ l, r) = Idea algorytmu EM jest następująca: S log p (r, s; θ l+1 ) p (r, s; θ l ). 1. W sposób arbitralny wybieramy pierwsze przybliżenie ˆθ 0 wartości parametrów θ. 2. Przyjmujemy l = 0 i dopóki nie zostanie uzyskana pożądana dokładność powtarzamy poniższe kroki: 2.1 Znajdujemy wartości ˆθ ( l+1 maksymalizujące Q θ l+1 ; ˆθ ) l, r 2.2 Zwiększamy l o 1.

Test porównania dwóch modeli - test Vuonga(1989) Rozważmy dwa modele F θ1 oraz G θ2, gdzie : oraz F θ1 = {f(y; θ 1 ), θ 1 Θ 1 R p } (1) G θ2 = {g(y; θ 2 ), θ 2 Θ 2 R q }. (2) Przy czym nie zakładamy a priori, że prawdziwy rozkład należy do jednej z tych rodzin. Modele F θ1 oraz G θ2 mogą być niezagnieżdżone, nakładać się na siebie lub być zagnieżdżone przeciwko: H 0 : E (log f(y ; θ 1)) = E (log g(y ; θ 2)) (3) H 1 : E (log f(y ; θ 1)) > E (log g(y ; θ 2)), (4)

Test porównania dwóch modeli - test Vuonga(1989) Dla niezagnieżdżonych modeli F θ1, G θ2 statystyka postaci: T 1/2 LR T (ˆθ 1,T, ˆθ ) 2,T d /ˆω T N(0, 1) gdzie oraz ˆω 2 T = 1 T ( LR T (ˆθ 1,T, ˆθ ) T 2,T = log f Y t ; ˆθ ) 1,T ( t=1 g Y t ; ˆθ ) 2,T ( T log f Y t ; ˆθ ) 1,T 2 ( i=1 g Y t ; ˆθ ) 1 2,T T ( T log f Y t ; ˆθ ) 1,T 2 ( i=1 g Y t ; ˆθ ) 2,T Dla zagnieżdżonych modeli F θ1, G θ2 statystyka postaci: 2LR T (ˆθ1,T, ˆθ ) d 2,T χ 2 q p gdzie p oraz q oznaczają odpowiednio liczbę nieznanych parametrów.

Autorska procedura porównania dwóch modeli Porównanie modeli przełącznikowych może być równoważne zweryfikowaniu hipotezy: H 0 : E (log f (U t R t 1 ; θ 1)) = E (log g (U t R t 1 ; θ 2)). przeciwko H 1 : E (log f (U t R t 1 ; θ 1)) < E (log g (U t R t 1 ; θ 2)). Niech: m 1,t = E (log f (U t R t 1 ; θ 1)) m 2,t = E (log g (U t R t 1 ; θ 2)) oraz: M 1,T = 1 T m 1,t, M 2,T = 1 T m 2,t. T T t=1 t=1 H 0 : lim [M 1,T M 2,T ] = 0 T przeciwko hipotezie: H 0 : lim [M 1,T M 2,T ] < 0 T

Test porównania dwóch modeli przełącznikowych Etapy dowodu: przeprowadzono dowód celem wykazania, że konstruowana funkcja wiarogodności jest równoważna funkcji wiarogodności dla zmiennych niezależnych, co jest podstawą do stosowania centralnych twierdzeń granicznych. zostały wprowadzone dodatkowe założenia na wspólne ograniczenia wartości oczekiwanych odpowiednich statystyk, co pozwala nam na bezpośrednią adaptację dowodu Vuonga(1989) dla potrzeb ukrytych modeli Markowa. została wskazana korekta na wzory statystyk Vuonga w przypadku wykorzystywania ich dla potrzeb modeli przełącznikowych.

Badania empiryczne Tabela: Zależność pomiędzy wybranymi indeksami giełdowymi na podstawie modelu z trzema stanami. Pierwsze trzy kolumny to parametry kopuli Gaussa oznaczające zależność w każdym stanieostatnia kolumna to p-value dla testu porównującego model z trzema reżimami i najlepszy model z dwoma reżimami rynek 1 rynek 2 ρ 1 ρ 2 ρ 3 p-value Polska USA -0.027 0.412 0.541 0.137 Polska Rosja 0.187 0.510 0.645 0.074 Polska Szwecja 0.412 0.561 0.844 0.025 Polska Anglia 0.316 0.708 0.737 0.024 Polska Niemcy 0.396 0.588 0.828 0.004 Polska Francja 0.545 0.426 0.816 0.064 Niemcy Anglia 0.518 0.720 0.860 0.004 Niemcy Szwecja 0.636 0.817 0.928 0.000 Niemcy Rosja 0.238 0.462 0.750 0.010 Niemcy USA 0.362 0.723 0.859 0.007 Niemcy Chiny 0.002 0.295 0.340 0.658

Zależność pomiędzy wybranymi indeksami giełdowymi Rysunek: Zależność warszawskiej GPW z rynkami Francji (lewy panel) i rynkiem Niemiec (prawy panel) wyznaczony z modelu przełącznikowego z trzema reżimami (górny panel) oraz z modelu DCC(dolny panel) w okresie od 1998 do 2016 roku.

Zależność pomiędzy wybranymi indeksami giełdowymi Rysunek: Zależność warszawskiej GPW z rynkami Wielkiej Brytanii (lewy panel) i rynkiem Szwecji (prawy panel) wyznaczony z modelu przełącznikowego z trzema reżimami (górny panel) oraz z modelu DCC(dolny panel) w okresie od 1998 do 2016 roku.

Grupowanie indeksów giełdowych Rysunek: Wyniki grupowania stóp zwrotu głownych indeksów światowych w okresie 2006-2008.

Grupowanie indeksów giełdowych Rysunek: Wyniki grupowania stóp zwrotu głownych indeksów światowych w okresie 2014-2016,

Rola VIX i VSTOXX w dynamice zależności Tabela: Parametry dynamicznej macierzy przejścia oraz wartość statystyki (LM) dla testu porównującego dwa modele: model ze stałą macierzą przejścia oraz model z dynamiczną macierzą przejścia zastosowanego do opisu zależności Polski z wybranymi rynkami. rynek β0 1 β1 1 β0 2 β2 2 LM Niemcy 1.713 0.082** 3.338*** -0.023 6.407 ** 0.980 0.094*** 3.311*** -0.018 8.855 ** Francja -3.043 0.445*** 2.633*** 0.065 10.200 *** -4.579 0.424*** -0.128 0.189 12.240 *** W.Brytania 0.707 0.098** 2.761*** -0.018 16.995 *** -0.422 0.125*** 2.444-0.003 21.947 *** USA -6.876 0.800*** 6.989*** -0.027 12.290 *** -6.897 0.596*** 6.509-0.029 12.340 *** Szwecja -2.720 0.383*** 2.282*** 0.059 9.565*** -4.821 0.407*** -1.074 0.221 10.979*** Chiny -1.724 0.331* 0.371 0.119 5.373-3.974 0.365* -2.051 0.199 5.788

Rola WIBOR i LIBOR w dynamice zależności Tabela: Parametry dynamicznej macierzy przejścia oraz wartość statystyki (LM) dla testu porównującego dwa modele: model ze stałą macierzą przejścia oraz model z dynamiczną macierzą przejścia zastosowanego do opisu zależności Polski z wybranymi rynkami. rynek β0 1 β1 1 β0 2 β2 2 LM Niemcy 0.877 0.635*** 2.653*** 0.074 8.020** Francja 1.125 0.643*** 3.131-0.007 6.468** W.Brytania 0.531 0.626*** 2.354 0.072 9.915*** USA -3.215 3.140*** -2.809** 2.138 10.440*** Szwecja 1.474 0.244** 3.505-0.227** 8.906** Rosja 0.678 0.924** 2.801 0.073 7.643** Chiny 2.393* 0.445 2.443 0.164 1.464

Rola PMI w dynamice zależności PMI indeks (ang. Purchasing Managers Index) - jest to wskaźnik aktywności gospodarczej w sektorze produkcyjnym w danym kraju. Powstaje on na bazie anonimowych ankiet wysyłanych do menadżerów z całego kraju, którzy odpowiadają na pytania dotyczące swojej branży. Oceniają oni jak zmieniła się sytuacja w branży w relacji do poprzedniego miesiąca pod katem nowych zamówień, poziomu produkcji, dostaw zapasów oraz zatrudnienia. Indeks PMI nie odgrywa roli w dynamice zależności między wybranymi rynkami

Rola czynników makroekonomicznych w dynamice zależności CPI - (ang. Consumer Price Index) - wskaźnik inflacji konsumenckiej. W badaniach empirycznych oznaczany jako C 1 lub C 2, gdzie C 1 oznacza indeks CPI w Polsce, C 2 - indeks CPI w kraju, z którym badamy relację. Indeks produkcji przemysłowej - (ang. Index of industrial production) - oznaczany odpowiednio jako I 1 lub I 2, Długoterminowe stopy procentowe (ang.long-term interest rate ) - stopy procentowe, obliczane na podstawie długoterminowych obligacji rządowych lub porównywalnych papierów wartościowych - oznaczany odpowiednio jako L 1 lub L 2. stopa bezrobocia - oznaczany jako U 1 lub U 2, 2 2 2 2 x T t 1β i = β0+ i βc i i C i,t 1 + +βi i i I i,t 1 + βl i i L i,t 1 + βu i i U i,t 1. i=1 i=1 i=1 i=1

Rola czynników makroekonomicznych w dynamice zależności stopa bezrobocia i długoterminowa stopa procentowa odgrywają statystycznie istotną rolę w dynamice zależności pomiędzy rynkiem Polski i rynkami Europy Zachodniej (Grupa G6) w przypadku analizy krajów G5 (bez Polski) nie zauważono istotnie statystycznej poprawy modelu, gdy uwzględnione zostały czynniki makroekonomiczne przeprowadzona analiza dla przypadku, gdy stopa zwrotu WIG została skorygowana o stopę zwrotu wartości złotego do euro (lub do funta) wykazała brak statystycznie istotnej różnicy pomiędzy modelem ze zmieniająca się w czasie macierzą przejścia uzależnioną od zmiennych makroekonomicznych a modelem bez uwzględniania tych zmiennych. siła nabywcza pieniądza wpływa na zależność pomiędzy rynkami

Wnioski końcowe Ukryty model Markowa z dynamiczną macierzą przejścia jest bardzo przydatny do wskazania czynników wpływających na dynamikę zmian Opracowana procedura na weryfikację czy dane czynniki rzeczywiście poprawiają model i wpływają na dynamikę zmian jest bardzo przydatna w praktyce (wykazanie, że test Vuonga może byc stosowany dla porównania modeli sterowanych ukrytym procesem Markowa) Na dynamikę zależności wpływa indeks strachu (VIX, VSTOXX), stopa procentowa WIBOR i siła nabywcza pieniądza (stosunek złotówki do Euro) Zmienne makroekonomiczne, takie jak bezrobocie oraz długoterminowa stopa procentowa poprawiają model zależności Polski z innymi krajami, ale w obecności stosunku złotego do Euro - stają się nieistotne.