MODELOWANIE INŻYNIESKIE ISSN 896-77X 4 s. 83-90 Gliwice 0 MODEL NUMEYCZNY ODDZIAŁYWAŃ TEMICZNYCH MIĘDZY TKANKĄ SKÓNĄ I ZEWNĘTZNYM ŹÓDŁEM CIEPŁA BOHDAN MOCHNACKI MAIUSZ CIESIELSKI Wydział Inżynierii Mechaniczne i Informatyk Politechnika Częstochowska e-mail: bohdan.mochnacki@im.pcz.pl mariusz.ciesielski@icis.pcz.pl Streszczenie. W pracy rozpatrue się nieednorodny obszar tkanki skórne (naskórek skóra właściwa tkanka podskórna) poddany oddziaływaniu zewnętrznego strumienia ciepła. Przyęta postać funkci opisuące przestrzenny rozkład zewnętrznego źródła ciepła determinue osiowo-symetryczny charakter zadania i zorientowanie rozpatrywanego fragmentu tkanki w układzie współrzędnych walcowych. Procesy cieplne zachodzące w obszarze tkanki opisue układ cząstkowych równań parabolicznych (tzw. równań Pennesa) uzupełniony odpowiednimi warunkami brzegowo-początkowymi. W obliczenia numerycznych zastosowano schemat awny metody różnic skończonych dla zadań nieliniowych. W końcowe części pracy przedstawiono wyniki symulaci numerycznych.. WSTĘP Tkanka skórna est obszarem nieednorodnym (warstwowym) kolene warstwy odpowiadaą podobszarom naskórka skóry właściwe i tkanki podskórne rys.. ys.. Tkanka skórna Grubości warstw są cechą osobniczą zależną od płc wieku a nawet wykonywanego zawodu w obliczeniach wprowadzono wartości średnie zaczerpnięte z [].
84 B. MOCHNACKI M. CIESIELSKI Procesy cieplne zachodzące w rozważanym obszarze opisue układ równań różniczkowych cząstkowych w postaci [ 3] Te x Ωe : ce( T ) = div[ λe( T ) gradte ] + Qpe( T ) + Qme( T ) () t gdzie e = 3 dotyczy kolenych warstw tkank c est obętościowym ciepłem właściwym λ est współczynnikiem przewodzenia ciepła Q p Q m są obętościowymi wewnętrznymi źródłami ciepła związanymi z perfuzą i metabolizmem T x t oznaczaą temperaturę współrzędne geometryczne i czas. Składnik perfuzyny dany est zależnością Q ( T ) k ( T )[ T T ( x ] = () pe e b e gdzie k e (T) = G be (T) c b G b est perfuzą wyrażoną w [m 3 krwi/s/m 3 tkanki] c b est obętościowym ciepłem właściwym krw T b est temperaturą krwi zasilaące tkankę. Zależność () dotyczy podobszaru tkanki zasilanego dużą liczbą włoskowatych naczyń krwionośnych w przypadku potrzeby uwzględnienia par lub poedynczych dużych naczyń równanie Pennesa () pozostae w mocy ale uzupełnia się e równaniami dotyczącymi naczyń i warunkami brzegowymi determinuącymi wymianę ciepła między naczyniem i tkanką (por. [3]). Składnik metaboliczny Q me traktue się z reguły ako stały przy czym w zależności od warunków fizycznych (wysiłek odpoczynek) wartość ego może zmieniać się nawet o rząd. Warunki brzegowe na powierzchniach kontaktu między naskórkiem a skórą właściwą oraz między skórą właściwą a tkanką podskórną są postaci x Γ : e λ Te e Te n T = T e+ e+ = λe+ n (3) przy czym wskaźniki e i e+ identyfikuą dwa pozostaące w kontakcie podobszary n oznacza kierunek normalny do brzegu obszaru (w przypadku omawianego zagadnienia n odpowiada kierunkowi osi pionowe z). Na powierzchni naskórka pozostaące w bezpośrednim kontakcie ze źródłem zewnętrznym zadany est brzegowy strumień ciepła (warunek Neumanna) a w szczególności T x Γ0 : λ = qb (4) n r rz Γ 0: qb xt = q0 r 0 r0 t tp (5) r 0 { } ( ) [ ] gdzie r est współrzędną promieniową w walcowym układzie współrzędnych x = {r z} r 0 est promieniem działania źródła q 0 est maksymalną wartością zewnętrznego strumienia ciepła t p est czasem ekspozyci. Dla r > r 0 a dla t > t p na całe górne powierzchni ciepło oddawane est do otoczenia zgodnie z prawem Newtona czyli
MODEL NUMEYCZNY ODDZIAŁYWAŃ TEMICZNYCH MIĘDZY TKANKĄ SKÓNĄ 85 T x Γ n [ T ( x ] 0 : λ = α T a (6) gdzie α T a oznaczaą współczynnik wymiany ciepła i temperaturę otoczenia. Na powierzchni boczne umownie przyętego obszaru walcowego oraz na dolne powierzchni ograniczaące ten obszar założono warunki adiabatyczne { r z} Te Γ : λe = 0 n = r z. (7) n Założono w tym miescu że wymiary rozpatrywanego obszaru tkanki są na tyle duże że na ego peryferiach można przyąć zerowe strumienie ciepła. Znany est również rozkład temperatury w chwili t = 0 czyli T ( x) t = 0 : T =. (8) e e0 Przedstawiony wyże układ równań i warunków brzegowo-początkowych stanowi opis matematyczny procesów zachodzących w obszarze tkanki skórne pokazanym na rys.. Można w tym miescu zaznaczyć że działanie bardzie intensywnych źródeł zewnętrznych wymaga pewne modyfikaci przedstawianego wyże modelu [4]. Na zakończenie należy podkreślić że równanie Pennesa dla podobszaru naskórka nie zawiera składników odpowiadaących wewnętrznym źródłom ciepła [5]. ys.. Osiowo-symetryczny podobszar tkanki. MODEL NUMEYCZNY Model numeryczny procesów cieplnych w nagrzewane tkance bazue na metodzie różnic skończonych w wersi omówione szczegółowo w [6 7]. W pierwsze koleności wprowadza się siatkę czasu 0 f f f F t < t <... < t < t < t <... < t < (9) o stałym kroku Δt.
86 B. MOCHNACKI M. CIESIELSKI óżnicową siatkę geometryczną pokazano na rys. 3. Można zauważyć że węzły brzegowe umieszczone są w odległości 0.5h lub 0.5k od brzegu (h k oznaczaą kroki regularne siatki geometryczne w kierunku r i z). Taka lokalizaca węzłów brzegowych poprawia dokładność rozwiązania numerycznego [6]. ys. 3. Siatka geometryczna Operator (λ T ) dla zadania osiowo symetrycznego w węźle wewnętrznym ( ) w chwili f- (rozpatruemy awny schemat różnicowy) est postaci f f f T T ( λ T) = r λ + λ r r r z z. (0) Sposób tworzenia aproksymaci różnicowe operatora (0) dla siatki geometryczne w otoczeniu punktu ( ) pokazanego na rys. 4 est następuący. ys. 4. Otoczenie punktu ( ) siatki geometryczne W odległościach 0.5h i 0.5k od punktu ( ) wprowadza się dodatkowe punkty zaznaczone na rys. 4. Wartości pochodnych w węzłach pomocniczych przybliżamy za pomocą ilorazów różnicowych średnich czyli f f f f f T f + T h T + T + 0.5 + 0.5 f + 0.5 + T rλ = r λ = r + r h ()
MODEL NUMEYCZNY ODDZIAŁYWAŃ TEMICZNYCH MIĘDZY TKANKĄ SKÓNĄ 87 f f f f f T T f h T T 0.5 0.5 f 0.5 i T rλ = r λ = r r h. () W tym miescu współczynniki przewodzenia λ oraz f + 0.5 f 0.5 λ przybliżono średnimi harmonicznymi współczynników przewodzenia w tych węzłach to znaczy λ λ λ λ λ = λ = f f f f f + f + 0.5 f f 0.5 f f λ +λ + λ +λ. (3) Wówczas występuące we wzorach () () wielkości 0.5h 0.5h 0.5h 0.5h = + = + f f + f f f f λ λ + λ λ (4) odpowiadaą oporom cieplnym między węzłem ( ) i węzłami ( +) oraz ( ). Na podkreślenie zasługue fakt że z formalnego punktu widzenia takie same definice oporów należy przyąć dla węzłów leżących w pobliżu powierzchni granicznych oddzielaących podobszar naskórka od podobszaru skóry właściwe i podobszar skóry właściwe od podobszaru tkanki podskórne (pamiętaąc oczywiście że współczynniki przewodzenia dotyczą dwóch różnych materiałów). Dowód poprawności takie aproksymaci pochodnych w węzłach brzegowych można znaleźć w monografii [6]. Wykorzystuąc powtórnie iloraz różnicowy średn otrzymue się f f f f f T + T T T f f i + T h h rλ = r + + r r r r r h. (5) Podobnie postępue się przy konstrukci wyrażenia różnicowego przybliżaącego drugi składnik operatora (0) f f f f f T f i+ T Ti+ T i+ 0.5 f i+ 0.5 i+ T λ =λ = z k f f f f f T T f i T T i i0.5 f i0.5 i T λ =λ = z k (6). (7) Następnie f f f f f Ti+ T Ti T f f i+ i T λ = + (8) z z k gdzie 0.5k 0.5k 0.5k 0.5k = + = + f f i+ f f i f f λ λi+ λ λi (9)
88 B. MOCHNACKI M. CIESIELSKI są oporami cieplnymi między węzłami ( ) i (i+ ) oraz (i ). Ostatecznie gdzie f f ( ) ( f i + f ) ( f λ T = T ) f i Ti + T f i + T i + + (0) f f f f ( Ti T ) + ( Ti+ T ) i i+ f f i i+ r 0.5h r + 0.5h = = = =. () r h r h k i i i i + i i+ i i Zgodnie z zasadami dotyczącymi konstrukci schematu awnego dla prześcia t f t f otrzymue się równanie różnicowe w postaci T T c = T T + T T + f f f f f + f f f f Δt + ( ) ( + ) f f f f f ( Ti T ) + ( Ti+ T ) + ( Qp) + ( Qm) i i+ f f f i i+ () z którego wyznacza się wartość temperatury w węźle wewnętrznym ( ) w chwili f. Założony krok czasu należy tak dobrać aby zapewnić warunki stabilności rozwiązania numerycznego. Problemy aproksymaci warunków brzegowych (w omawianym zagadnieniu warunków Neumanna i obina) dla przyęte siatki geometryczne omówiono szczegółowo w [6]. 3. PZYKŁADY OBLICZEŃ NUMEYCZNYCH Omówiony wyże wariant MS zastosowano do opracowania programu autorskiego realizuącego obliczenia numeryczne związane z nagrzewaniem tkanki. ozważano podobszar tkanki skórne w kształcie walca o wymiarach = 0 mm Z =. mm przy czym grubości poszczególnych warstw tkanki wynosiły: L = 0. mm L = mm L 3 = 0 mm (indeksy dolne oznaczaą koleno: naskórek skórę właściwą 3 tkankę podskórną). Przyęto następuące uśrednione parametry termofizyczne poszczególnych warstw: λ = 0.35 W/(mK) λ = 0.445 W/(mK) λ 3 = 0.85 W/(mK) c = 4.3068 0 6 J/(m 3 K) c = 3.96 0 6 J/(m 3 K) c 3 =.674 0 6 J/(m 3 K) oraz c b = 3.996 0 6 J/(m 3 K) T b = 37 ºC G b = 0 G b = G b3 = 0.005 (m 3 krwi/s/m 3 tkanki) Q m = 0 Q m = Q m3 = 45 W/m 3 (warunki odpoczynku). Warunki początkowe wynosiły T 0 = T 0 = T 3 0 = 37 ºC temperatura otoczenia T a = 0 ºC α = 0 W/(m K). Celem symulaci było określenie zależności między wartościami q 0 oraz t p przy których może dość do oparzenia I lub II stopnia (t. gdy temperatura powierzchni pomiędzy warstwą naskórka a skórą właściwą osiągnie wartość powyże 44 ºC). W symulacach przyęto stały promień działania źródła ciepła r 0 = / = 0 mm.
MODEL NUMEYCZNY ODDZIAŁYWAŃ TEMICZNYCH MIĘDZY TKANKĄ SKÓNĄ 89 Na rys. 5 przedstawiono krzywe nagrzewania (dla t t p ) i stygnięcia (dla t > t p ) w wybranych punktach analizowanego obszaru o współrzędnych: 0 (0 0) A (0 L ) B (r 0 / L ) oraz C (r 0 L ) punkty A B i C umieszczono pod warstwą naskórka. Pokazano wyniki dwóch symulac dla których oszacowano: q 0 = 5 kw/m i t p = 3.76 s oraz q 0 =.5 kw/m i t p = 34.670 s. ys. 5. Krzywe nagrzewania i stygnięcia w wybranych punktach analizowanego obszaru (dwa przypadki) Na rys. 6 zebrano wyniki symulaci numerycznych które określaą zależność q 0 od t p. Analizuąc tę zależność można np. oszacować dla określone wartości q 0 po akim czasie ekspozyci t p może nastąpić oparzenie I lub II stopnia. Dla otrzymane zależności można dobrać funkcę aproksymuącą typu potęgowego. ys. 6. Zależność q 0 w funkci czasu ekspozyci t p (wyniki numeryczne) 4. WNIOSKI W pracy dokonano analizy przebiegu procesów cieplnych które zachodzą w tkance skórne poddane oddziaływaniom zewnętrznego źródła ciepła o kształcie paraboloidalnym które może powodować oparzenia. ozpatrywano zadanie osiowo-symetryczne. Do symulaci numeryczne zastosowano metodę różnic skończonych która w stosunkowo prosty sposób może uwzględniać nieednorodność poszczególnych warstw tkanki skórne. Zaprezentowane w pracy wyniki pozwalaą oszacować wpływ natężenia zewnętrznego strumienia ciepła
90 B. MOCHNACKI M. CIESIELSKI i czasu ekspozyci na możliwość wystąpienia oparzenia I lub II stopnia. Dalsze etapy prac w tym zakresie dotyczyć będą uzupełnienia algorytmu o procedurę wyznaczania tzw. całki oparzeń [] które wartość decydue o stopniu oparzenia. LITEATUA. Torvi D.A. Dale J.D.: A finite element model of skin subected to a flash fire. Journal of Biomechanical Engineering 994 6 p. 50-55.. Machrzak E. Jasiński M:: Sensitivity analysis of burns integrals. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences 004 /3 p. 5-36. 3. Machrzak E. Mochnacki B.: Analysis of bio-heat transfer in the system of blood vesselbiological tissue. KLUWE Academic Publishers 00 p. 0-. 4. Abraham J.P. Sparrow E.M.: A thermal-ablation bioheat model including liquid-to vapour phase change pressure- and necrosis-dependent perfusion and moisturedependent properties. International Journal of Heat and Mass Transfer 007 50 p. 537-544. 5. Machrzak E. Mochnacki B. Jasiński M.: Numerical modelling of bioheat transfer in multi-layer skin tissue domain subected to a flash fire. W: Computational Fluid and Solid Mechanics. Elsevier Vol. II 003 p. 766-770. 6. Mochnacki B Suchy J.S.: Numerical methods in computations of foundry processes. Cracow: PFTA 995. 7. Machrzak E. Mochnacki B.: Metody numeryczne : podstawy teoretyczne aspekty praktyczne algorytmy. Gliwice: Wyd. Pol. Śl. 004. NUMEICAL MODEL OF THEMAL INTEACTIONS BETWEEN SKIN TISSUE AND EXTENAL HEAT SOUCE Summary. Non-homogeneous skin tissue domain subected to an external heat flux is considered. The form of external heating determines the axiallysymmetrical type of task considered and the sub-domain of tissue is oriented in cylindrical co-ordinate system. The thermal processes proceeding in the tissue domain are described by the system of partial differential equations (the Pennes equations) supplemented by the adequate boundary and initial conditions. At the stage of numerical computations the finite difference method for transient and non-linear problems is used. In the final part of the paper the examples of computations and also the conclusions are presented. Pracę wykonano w ramach realizaci proektu N 3-04-0.